các dạng bài tập tích phân

BÀI TẬP CHƯƠNG TÍCH PHÂN
1 Tính tích phân
1.1 Cách tính tích phân
1. Tích phân phân thức đơn giản loại 2:

mx + n
(ax
2
+ bx + c)
k
dx. Biến đổi để đưa về thành tổng 2
tích phân dạng

du
u
k
,

du
(u
2
+ a
2
)
k
với k = 1, 2
2. Tích phân hàm hữu tỉ : f(x) =
P
n
(x)
Q

m
(x)
:
Phân tích 5 f (x) =

mx + n
(ax + b)
k
+

mx + n
(ax
2
+ bx + c)
k
, k = 1, 2
3. Tích phân hàm vô tỉ dạng : f(x,
n

ax + b
cx + d
) ; đặt t =
n

ax + b
cx + d
4. Tích phân hàm vô tỉ dạng : f(x,
√
ax
2

+ bx + c).
Ta biến đổi : ax
2
+ bx+c =

√
a

x +
b
2a

2
+
4ac − b
2
4a
tức là đưa
√
ax
2
+ bx + c thành 1 trong
3 dạng
√
u
2
+ a
2
,
√

u
2
− a
2
,
√
a
2
− u
2
Sau đó đặt u = a.tant, u = a.sint, u =
a
cost
hoặc sử dụng trực tiếp các tích phân dạng

du
√
u
2
± a
2
,

du
√
a
2
− u
2
,


√
u
2
− a
2
du
5. Dạng đặc biệt 1: f (x) =
mx + n
√
ax
2
+ bx + c
Tính như tính tích phân phân thức đơn giản loại 2, đưa về thành tổng 2 tp dạng

du
√
u
và

du
√
u
2
± a
2
,
du
√
a

2
− u
2
6. Dạng đặc biệt 2: f(x) =
c
(mx + n)
√
ax
2
+ bx + c
Đặt mx + n =
1
t
để đưa về dạng trên.
7. Tích phân Trebusev: f(x) = x
m
(a + bx
n
)
p
, với m, n, p là các số hữu tỉ với 3 trường hợp :
a. p ∈ Z : đặt x = t
s
với s = BCNN(m, n)
b.
m + 1
n
∈ Z : đặt a + bx
n
= t

s
với s là mẫu số của p
c.
m + 1
n
+ p ∈ Z : đặt ax
−n
+ b = t
s
với s là mẫu số của p
1.2 Tính các tích phân sau:
1. I
1
=

e
√
x
dx
2. I
2
=

arcsinx
x
2
dx
1
3. I
3

=

cosx
e
x
dx
4. I
4
=

arcsin
√
x
√
1 − x
5. I
5
=

dx
2x
2
− 4x + 5
6. I
6
=

xdx
x
4

+ 6x
2
+ 13
7. I
7
=

x
4
+ 3x
3
+ 3x
2
− 5
(x + 1)
3
dx
8. I
8
=

3x
2
+ 2x − 1
x
3
− 3x + 2
dx
9. I
9

=

dx
x(x
6
+ 1)
10. I
10
=

dx
4cosx + 3sinx + 5
11. I
11
=

dx
sin
4
xcos
2
x
12. I
12
=

dx
√
cosxsin
3

x
13. I
13
=

dx
4sin
2
x − 7cos
2
x
14. I
14
=

1
x

x − 1
x + 1
dx
15. I
15
=

x − 1
√
1 − 4x − x
2
dx

16. I
16
=

x
√
x
2
− 4dx
17. I
17
=

dx
(x
2
+ 9)
√
16 − x
2
18. I
18
=

dx
√
x
4
√
x+

19. I
19
=
ln6

ln2
e
x
√
e
x
− 2)
e
x
+ 2
dx
20. I
20
=
2
√
3

2
√
x
2
+ 4
x
2

dx
2
2 Ứng dụng hình học của tích phân
2.1 Công thức
1. Diện tích miền D giới hạn bởi f
1
(x) ≤ y ≤ f
2
(x), a ≤ x ≤ b được tính bởi
S(D) =
b

a
(f
2
(x) − f
1
(x)) dx
2. Thể tích vật thể tròn xoay tạo ra khi quay hình thang cong 0 ≤ y ≤ f(x), a ≤ x ≤ b quanh
a. Trục Ox: V
x
= π
b

a
f
2
(x)dx
b. Trục Oy: V
y

= 2π
b

a
xf(x)dx
3. Diện tích mặt tròn xoay khi quay cung AB : y = f(x), a ≤ x ≤ b quanh trục Ox là :
S = 2π
b

a
f(x)

1 + f

2
(x)dx
Khi quay quanh trục Oy: ta đổi vai trò x, y cho nhau
4. Độ dài cung AB : y = f(x), a ≤ x ≤ b là : L =
b

a

1 + f

2
(x)dx
2.2 Bài tập
1. Tính diện tích các miền phẳng sau:
D
1

: y
2
= 2x, x
2
= 2y
D
2
: x
2
+ y
2
= 8, y
2
= 2x phần trong hình tròn
D
3
: y = ln(x + 2), y = 2lnx, y = 0
D
4
: (y − 2)
2
= x − 1, y = 0, và tiếp tuyến với đường cong tại điểm có tung độ là 3
D
5
: y = e
x
, y = e
−x
, x = 1
D

6
: y =
1
1 + x
2
, y =
x
2
2
2. Tính thể tích vật thể tạo ra khi quay miền D quanh trục tương ứng:
V
x
: y = 2x − x
2
, y = 0, 0 ≤ x ≤ 2
V
x
: y
2
= (x − 1)
3
, x = 2
V
y
: y =
x
2
2
+ 2x + 2, y = 2
V : y = x

2
, y = 4 quay quanh đường thẳng x = 2
3. Tính diện tích mặt cong tạo khi quay miền D quanh trục tương ứng:
S
x
, S
y
:
x
2
4
+
y
2
9
≤ 1
S
x
: y = x
2
, y = x
S
x
: y = tanx, 0 ≤ x ≤
π
4
3
4. Tính độ dài cung:
y =
x

2
4
−
lnx
2
, 1 ≤ x ≤ e
y =
√
x
3
, 0 ≤ x ≤ 4
y = lncosx, 0 ≤ x ≤ a, a ≤
π
2
4