Các dạng bài tập tích phân của trần phương
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.76 MB, 34 trang )
Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương
1
ST&BS: Cao Văn Tú
Email:
CHƯƠNG II. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
BÀI 1. BÀI TẬP SỬ DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
1. Định nghĩa:
Giả sử y
f(x) liên tục trên khoảng (a, b), khi đó hàm số y
F(x) là một nguyên
hàm của hàm số y
f(x) khi và chỉ khi F
(x)
f(x),
x
(a, b).
Nếu y
F(x) là một nguyên hàm của hàm số y
f(x) thì tập hợp tất cả các nguyên
hàm của hàm số y
f(x) là tập hợp I
F( x) c c R
và tập hợp này còn được kí
hiệu dưới dấu tích phân bất định
I f( x)dx F( x) c
2. Vi phân:
2.1
Giả sử y
f(x) xác định trên khoảng (a, b) và có đạo hàm tại điểm x
(a,b).
Cho x một số gia
x sao cho (x +
x)
(a,b), khi đó ta có:
• Công thức vi phân theo số gia:
dy y x x
df x f x x
• Công thức biến đổi vi phân:
Chọn hàm số y
x
dy = dx = x’.
x =
x
dx =
x.
Vậy ta có:
dy y x x
df x f x x
dy y x dx
df x f x dx
• Nếu hàm số f(x) có vi phân tại điểm x thì ta nói f(x) khả vi tại điểm x.
Do
df x f x x
nên f(x) khả vi tại điểm x
f(x) có đạo hàm tại điểm x
2.2. Tính chất:
Giả sử u và v là 2 hàm số cùng khả vi tại điểm x. Khi đó:
2
udv vdu
u
d u v du dv ; d uv udv vdu ; d
v
v
2.3 Vi phân của hàm hợp
Nếu
y f (u )
u g( x )
và f, g khả vi thì
dy f u du f u u x dx
Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương
Page2
ST&BS: Cao Văn Tú
Email:
3. Quan hệ giữa đạo hàm
nguyên hàm và vi phân:
f x dx F x c F x f x dF x f x dx
4. Các tính chất của nguyên hàm và tích phân
4.1.
Nếu f(x) là hàm số có nguyên hàm thì
f x dx f x
;
d f x dx f x dx
4.2.
Nếu F(x) có đạo hàm thì:
d F x F x c
4.3. Phép cộng:
Nếu f(x) và g(x) có nguyên hàm thì:
f x g x dx f x dx g x dx
4.4. Phép trừ:
Nếu f(x) và g(x) có nguyên hàm thì:
f x g x dx f x dx g x dx
4.5. Phép nhân với một hằng số thực khác 0:
kf x dx k f x dx
,
k
0
4.6. Công thức đổi biến số:
Cho y = f(u) và u = g(x).
Nếu
f x dx F x c
thì
f g x g x dx f u du F u c
5. Nhận xét:
Nếu
f x dx F x c
với F(x) là hàm sơ cấp thì ta nói tích phân
bất định
f x dx
biểu diễn được dưới dạng hữu hạn. Ta có nhận xét:
Nếu một tích phân bất định biểu diễn được dưới dạng hữu hạn thì hàm số dưới dấu
tích phân là hàm sơ cấp và điều ngược lại không đúng, tức là có nhiều hàm số dưới
dấu tích phân là hàm sơ cấp nhưng tích phân bất định không biểu diễn được dưới
dạng hữu hạn mặc dù nó tồn tại. Chẳng hạn các tích phân bất định sau tồn tại
2
x
dx sinx cos x
e dx; ; sinx dx; dx; dx
lnx x x
nhưng chúng không thể biểu diễn được dưới dạng hữu hạn.
Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương
3
ST&BS: Cao Văn Tú
Email:
II. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1. Định nghĩa:
Giả sử hàm số f(x) xác định và bị chặn trên đoạn [a, b]. Xét một phân hoạch
bất kì
của đoạn [a, b], tức là chia đoạn [a, b] thành n phần tuỳ ý bởi các điểm chia:
0 1 n 1 n
a x x x x b
. Trên mỗi đoạn
k 1 k
x ,x
lấy bất kì điểm
1k k k
x ,x
và gọi
1kkk
xx
là độ dài của
1kk
x ,x
. Khi đó:
n
k k 1 1 2 2 n n
k1
f f f f
gọi là tổng tích phân của hàm f(x)
trên đoạn [a, b]. Tổng tích phân này phụ thuộc vào phân hoạch
, số khoảng chia n
và phụ thuộc vào cách chọn điểm
k
.
Nếu tồn tại
k
n
kk
Max 0
k1
lim f
(là một số xác định) thì giới hạn này gọi là tích phân
xác định của hàm số f(x) trên đoạn [a, b] và kí hiệu là:
b
a
f x dx
Khi đó hàm số y
f(x) được gọi là khả tích trên đoạn [a, b]
2. Điều kiện khả tích:
Các hàm liên tục trên [a, b], các hàm bị chặn có hữu hạn điểm gián đoạn trên [a, b]
và các hàm đơn điệu bị chặn trên [a, b] đều khả tích trên [a, b].
3. Ý nghĩa hình học:
Nếu f(x) > 0 trên đoạn [a, b] thì
b
a
f x dx
là diện tích của hình thang cong giới hạn
bởi các đường: y
f(x), x
a, x
b, y
0
O
y
x
0
a=x
1
1
x
2
x
2
k-1
x x
k
x
n
x
n-1
=b
k-1
k n-1
n
C
1
2
C
3
C
k-1
N
k
N
n-1
C
n
C
n
N
N
1
C
k
B
1
2
B
B
k
B
n
B
k+1
Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương
Page4
ST&BS: Cao Văn Tú
Email:
4. Các định lý, tính chất và công thức của tích phân xác định:
4.1. Định lý 1:
Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì nó khả tích trên đoạn [a, b]
4.2. Định lý 2:
Nếu f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a, b] và f(x)
g(x),
x
[a, b]
thì
bb
aa
f x dx g x dx
. Dấu bằng xảy ra
f(x)
g(x),
x
[a, b]
4.3. Công thức Newton - Leipnitz:
Nếu
f x dx F x c
thì
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
4.4. Phép cộng:
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
4.5. Phép trừ:
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
4.6. Phép nhân với một hằng số khác 0:
bb
aa
kf x dx k f x dx
,
k
0
4.7. Công thức đảo cận tích phân:
ba
ab
f x dx f x dx
;
a
a
f x dx 0
4.8. Công thức tách cận tích phân:
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
4.9. Công thức đổi biến số:
Cho y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và hàm x
(t) khả vi, liên tục trên đoạn
[m, M] và
t m,M t m,M
Min t a; Max t b
;
m a; M b
.
Khi đó ta có:
bM
am
f x dx f t t dt
4.10. Công thức tích phân từng phần:
Giả sử hàm số u(x), v(x) khả vi, liên tục trên [a, b], khi đó:
bb
b
a
aa
u x v x dx u x v x v x u x dx
Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương
5
ST&BS: Cao Văn Tú
Email:
Iii. B¶ng c«ng thøc nguyªn hµm më réng
1
1
1
1
ax b
ax b dx c,
a
1
cos ax b dx sin ax b
a
c
1dx
ln ax b c
ax b a
c
1
sin ax b dx cos ax b c
a
1
ax b ax b
e dx e c
a
1
tg ax b dx ln cos ax b c
a
1
ax b ax b
m dx m c
alnm
1
cotg ax b dx ln sin ax b c
a
22
1dx x
arctg c
aa
ax
2
1dx
cotg ax b c
a
sin ax b
22
1
2
dx a x
ln c
a a x
ax
2
1dx
tg ax b c
a
cos ax b
22
22
dx
ln x x a c
xa
22
xx
arcsin dx xarcsin a x c
aa
22
dx x
arcsin c
a
ax
22
xx
arccos dx xarccos a x c
aa
22
1dx x
arccos c
aa
x x a
22
2
x x a
arctg dx xarctg ln a x c
aa
22
22
1dx a x a
ln c
ax
x x a
22
2
x x a
arccotg dx xarccotg ln a x c
aa
b
ln ax b dx x ln ax b x c
a
1
2
dx ax b
ln tg c
sin ax b a
2 2 2
22
22
x a x a x
a x dx arcsin c
a
1
2
dx ax b
ln tg c
sin ax b a
22
ax
ax
e a sinbx bcosbx
e sinbxdx c
ab
22
ax
ax
e acosbx bsinbx
e cosbxdx c
ab
Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương
Page6
ST&BS: Cao Văn Tú
Email:
IV. NHỮNG CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG CÔNG THỨC KHÔNG CÓ TRONG SGK 12
Các công thức có mặt trong II. mà không có trong SGK 12 khi sử dụng phải chứng
minh lại bằng cách trình bày dưới dạng bổ đề. Có nhiều cách chứng minh bổ đề
nhưng cách đơn giản nhất là chứng minh bằng cách lấy đạo hàm
1. Ví dụ 1:
Chứng minh:
22
dx 1 x a
ln c
2a x a
xa
;
22
dx 1 a x
ln c
2a a x
ax
Chứng minh:
22
dx 1 1 1 1 dx dx 1 x a
dx ln c
2a x a x a 2a x a x a 2a x a
xa
22
dx 1 1 1 1 dx d a x 1 a x
dx ln c
2a a x a x 2a a x a x 2a a x
ax
2. Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
22
22
dx
ln x x a
xa
c
Chứng minh: Lấy đạo hàm ta có:
22
22
22
1 x a
ln x x a c
x x a
22
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 x 1 x x a 1
1
x x a x a x x a x a x a
3. Ví dụ 3: Chứng minh rằng:
22
dx 1
uc
a
ax
(với
x
tgu
a
)
Đặt
x
tgu
a
,
u,
22
22
22
d a tgu
dx 1 1
du u c
aa
ax
a 1 tg u
4. Ví dụ 4: Chứng minh rằng:
22
dx
uc
ax
(với
x
sin u
a
, a > 0)
Đặt
x
sin u
a
,u
,
22
22
22
dx d asinu
du u c
ax
a 1 sin u
Bình luận: Trước năm 2001, SGK12 có cho sử dụng công thức nguyên hàm
22
dx 1 x
arctg c
aa
ax
và
22
dx x
arcsin c
a
ax
(a > 0) nhưng sau đó không giống
bất cứ nước nào trên thế giới, họ lại cấm không cho sử dụng khái niệm hàm ngược arctg
x, arcsin x. Cách trình bày trên để khắc phục lệnh cấm này.
Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương
7
ST&BS: Cao Văn Tú
Email:
V. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN ĐƠN GIẢN
V.1. CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN:
1. Biểu diễn luỹ thừa dạng chính tắc:
1
n
n
xx
;
mm
n
nk
mm
n nk
x x ; x x
1
n
n
n
n
11
x ; x
x
x
;
m
n
n
m
1
x
x
;
m
nk
n
k
m
1
x
x
2. Biến đổi vi phân:
dx
d(x ± 1)
d(x ± 2)
…
d(x ± p)
adx
d(ax ± 1)
d(ax ± 2)
…
d(ax ± p)
xp
1
x 1 x 2
dx d d d
a a a
a
V.2. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HOẠ
1.
3
dx
1
x
x
3
2
1 1 1
dx 1 dx
11
x
xx
xx
2 3 2
1
11
1 dx ln 1
1 3 2
dx
x x x x x x c
x
2.
1
4 7 dx = 4 7 7 4 7 dx
4
x x x x
3 5 3
1
2 2 2 2
1 1 2 2
4 7 7 4 7 4 7 4 7 7 4 7
16 16 5 3
x x d x x x c
3.
17
22
2
d2
d1
25
2
25
x
x
I
x
x
1 10
arctg
5
10
xc
4.
x
dx 1 2 1 1 1 1 2
2 ln
ln2 5ln2 5ln2
2 + 5 2 2 5 2 5
2 2 5
xx
x
x x x
xx
d
dc
5.
5
3 2 3
cos
cos 1 sin 1 sin cos cos sin dx
1 sin
x
dx x x dx x x x x
x
34
23
sin cos
1 sin sin cos cos sin
34
xx
x d x xd x x c
Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương
Page8
ST&BS: Cao Văn Tú
Email:
V.3
. CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI
1
x 1 x 2 x 3 x 4
J dx
xx
;
2
7 x 3
J dx
2x 5
;
2
3
3x 7 x 5
J dx
x2
3 2 2 2
4 5 6
10
2x 5x 7x 10 4x 9x 10 2x 3x 9
J dx ;J dx ; J dx
x 1 2x 1
x1
3 2 3 2
78
15 30
x 3x 4x 9 2x 5x 11x 4
J dx ; J dx
x 2 x 1
dx1x25x3xJ;dx2x51xJ;dx1x3xJ
33
2
11
152
10
3100
9
2
4
3
2 4 5
5
9
12 13 14
4
7
x 3x 5
J 2x 3 . x 1 dx ; J dx ; J x . 2x 3 dx
2x 1
93
15 16 17
4 2 2
10
5
x x x
J dx ; J dx ; J dx
x x 1 x x 1
2 3x
18 19 20
2 2 2 2
dx dx dx
J ; J ; J
x 2 x 5
x 2 x 6 x 2 x 3
21 22 23
2 2 2 2 2 2
xdx dx dx
J ; J ; J
x 3 x 7 3x 7 x 2 2x 5 x 3
ln2 ln2 ln2 ln2
2x x
x
24 25 26 27
x
xx
1 0 0 0
dx e dx 1 e
J ; J ; J e 1dx ; J dx
1e
e 1 e 1
22
xx
1 1 1 1
x
28 29 30 31
x 2x 2x x 3x
0 0 0 0
1 e dx 1 e
e dx dx
J ; J ; J ; J dx
1 e 1 e e e e
ln2 ln4 1 e
3x
32 33 34 35
x 3 x x x
0 0 0 1
dx dx e dx 1 lnx
J ; J ; J ; J dx
x
e e 4e 1 e
3 1 1
6
5 2 5 3 3 2
36 37 38
0 0 0
J x 1 x dx ; J x 1 x dx ; J x 1 x dx
2
x
1 1 1 1
2x x
39 40 41 42
x x x x
0 0 0 0
2 1 dx
dx dx
J ; J ; J ; J e 1 e dx
4 3 4 2 4
Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương
9
ST&BS: Cao Văn Tú
Email:
BÀI 2. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CÓ MẪU SỐ CHỨA TAM THỨC BẬC 2
A. CÔNG THỨC SỬ DỤNG VÀ KỸ NĂNG BIẾN ĐỔI
1.
22
du 1 u
arctg c
aa
ua
4.
du
2 u c
u
2.
22
du 1 u a
ln c
2a u a
ua
5.
22
du u
arcsin c a 0
a
au
3.
22
du 1 a u
ln c
2a a u
au
6.
2
2
du
ln u u p c
up
Kỹ năng biến đổi tam thức bậc 2:
1.
2
2
2
2
b b 4ac
ax bx c a x
2a
4a
2.
2
22
ax bx c mx n p
B. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN
I. Dạng 1:
2
dx
A=
ax + bx + c
1. Phương pháp:
22
2
dx dx 1 mx n
arctg c
mp p
ax bx c
mx n p
22
2
mx n p
dx dx 1
ln c
2mp mx n p
ax bx c
mx n p
2. Các bài tập mẫu minh họa
•
1
2 2 2
2
d d 1 d 2 2 1 2 2 3
ln
2
4 8 1
4 3 2 2 3
2 2 3
2 2 3
x x x x
Ac
xx
x
x
x
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
1
2
dx
A
3x 4x 2
;
23
22
dx dx
A ; A ;
4x 6x 1 5x 8x 6
2 1 1
4 5 6
2 2 2
1 0 0
dx dx dx
A ; A ; A
7x 4x 3 6 3x 2x 4x 6x 3
Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương
Page1
0
ST&BS: Cao Văn Tú
Email:
II. Dạng 2:
2
mx + n
B = dx
ax + bx + c
1. Phương pháp:
22
m mb
2ax b n
mx n
2a 2a
B dx dx
ax bx c ax bx c
2
2
d ax bx c
m mb
nA
2a 2a
ax bx c
2
m mb
ln ax bx c n A
2a 2a
Cách 2:
Phương pháp hệ số bất định (sử dụng khi mẫu có nghiệm)
• Nếu mẫu có nghiệm kép
0
xx
tức là
22
0
()ax bx c a x x
thì ta giả sử:
22
0
0
mx n
x
xx
ax bx c
xx
Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số ở hai vế để tìm
,
.
Với
,
vừa tìm ta có:
2
mx n
B dx
ax bx c
ln
0
0
x x c
xx
• Nếu mẫu có 2 nghiệm phân biệt
12
,xx
:
2
12
( )( )ax bx c a x x x x
thì ta giả sử
2
12
mx n
x
x x x x
ax bx c
Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số ở hai vế để tìm
,
.
Với
,
vừa tìm ta có:
dx
2
mx n
B
ax bx c
ln ln
12
x x x x c
2. Các bài tập mẫu minh họa:
•
1
2
2x + 3
B = dx
9x 6x + 1
2 2 2
1 11
18 6
1 18 6 d 11 d
93
d
93
9 6 1 9 6 1 9 6 1
x
x x x
x
x x x x x x
2
22
1 9 6 1 11 3 1 2 11
ln 3 1
9 9 9 9 3 1
9 6 1
31
d x x d x
xc
x
xx
x
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
1 2 3
2 2 2
7 3x dx 3x 4 dx 2 7 x dx
B ; B ; B
4x 6x 1 2 x 7x 9 5x 8x 4
;
Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương
11
ST&BS: Cao Văn Tú
Email:
III. Dạng 3:
2
dx
C=
ax + bx + c
1. Phương pháp:
Bổ đề:
ln
2
2
du
u u k c
uk
Biến đổi nguyên hàm về 1 trong 2 dạng sau:
2
22
dx dx 1
lnC mx n mx n k c
m
ax bx c
mx n k
22
2
dx dx 1
arcsin 0
mx n
Cp
mp
ax bx c
p mx n
2. Các bài tập mẫu minh họa:
•
2
3
22
d 1 d 5
5 45
ln
4 16
24
45
4 10 5
5
4
16
xx
C x x c
xx
x
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
1 2 3
22
2
dx dx dx
C ; C ; C
3x 8x 1 7 8x 10x
5 12x 4 2 x
IV. Dạng 4:
2
mx + n dx
D=
ax + bx + c
1. Phương pháp:
22
2 dx
dx
22
ax b
m mb
D
aa
ax bx c ax bx c
2
2
22
d ax bx c
m mb
C
aa
ax bx c
2. Các bài tập mẫu minh họa:
• D
1
=
1 1 1
2 2 2
0 0 0
4 d 2 d d
2
4 5 4 5 4 5
x x x x x
x x x x x x
11
1
2
22
22
0
00
1 d 4 5 d
2 4 5 2ln 2 4 5
2
45
21
x x x
x x x x x
xx
x
3 10
10 5 2ln 3 10 2ln 2 5 10 5 2ln
25
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
1 2 3
2 2 2
5 4x dx 3x 7 dx 8x 11 dx
D ; D ; D
3x 2x 1 2x 5x 1 9 6x 4x
Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương
Page1
2
ST&BS: Cao Văn Tú
Email:
V. Dạng 5:
2
dx
E=
px + q ax + bx + c
1. Phương pháp:
Đặt
2
1 dt 1 1
dx ;px q p x q
t p t
t
. Khi đó:
2
2 2 2
2
dt pt
dx dt
E
px q ax bx c t t
1 a 1 b 1
q q c
t t p t
p
2. Các bài tập mẫu minh họa:
•
3
1
2
2
dx
E=
x - 1 x - 2x + 2
. Đặt
2
21
1
11
3
1;
2
dx
xt
t
xt
xx
tt
dt
t
Khi đó:
12
3
2
1
22
21
dt t
dx
E
1
x-1 x 2 x 2
t 1 t 1
22
tt
t
1
1
2
2
12
12
dt 1 5 2 2 2
ln t t 1 ln 1 2 ln ln
2
15
t1
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
2 3 3
1 2 3
2 2 2
1 2 2
dx dx dx
E ; E ; E
2x 3 x 3x 1 3x 4 2x 3x 7 x 1 x 1
VI. Dạng 6:
2
mx + n dx
F=
px + q ax + bx + c
1. Phương pháp:
22
dx
dx
mq
m
px q n
mx n
pp
F
px q ax bx c px q ax bx c
22
dx dx
mq mq
mm
F n C n E
pp
pp
ax bx c px q ax bx c
2. Các bài tập mẫu minh họa:
1
1
2
0
2 3 d
1 2 2
xx
F
x x x
11
22
00
dx dx
2 2I J
x 2x 2 x 1 x 2x 2
Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương
13
ST&BS: Cao Văn Tú
Email:
1
2
0
dx
22
I
xx
1
1
2
0
2
0
dx 2 5
ln 1 1 1 ln
12
11
xx
x
1
2
0
1 2 2
dx
J
x x x
. Đặt
2
01
1
1
1
1
2
dx
xt
xt
x
t
dt
t
. Khi đó:
12
1
2
1
2
22
12
1 1 2
dt t
dt 2 2 2
J ln t t 1 ln
15
1
t1
11
1 2 1 2
tt
t
F
1
2I + J
2 5 2 2 2 2 9 4 5
2ln ln ln
1 2 1 5
1 2 1 5
•
32
2
2
5
1
21
22
2 1 4 3
x
dx
x x x
-3 2
2
2
-2
x + 3 dx
F=
2x + 1 -x - 4x - 3
3 2 3 2
22
22
1 dx 5 dx 1 5
IJ
2 2 2 2
x 4x 3 2x 1 x 4x 3
32
2
2
43
dx
I
xx
32
32
2
2
2
dx
arcsin x 2
6
1 x 2
32
2
2
2 1 4 3
dx
J
x x x
. Đặt
2
1
2
3
11
3
1
21
22
2
2
xt
t
xt
x x ;
tt
dt
dx
t
1 2 1 3
2
22
1 3 1 2
13
13
22
12
12
dt 2t
dt
J
1
5t 6t 1
1 1 1
1 2 1 3
4 t t
t
1 dt 1 5t 3 1 2 1
arcsin arcsin arcsin
2 3 4
5 5 5
3
2
t
55
Vậy
2
5
5
1 2 1
F I J arcsin arcsin
2 2 12 2 3 4
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
1 1 1
1 2 3
2 2 2
0 0 0
4x 7 dx 6 7x dx 7 9x dx
F ; F ; F
8 5x 3x 4x 2 2x 5 x x 4 4x 3 2x x 1
Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương
Page1
4
ST&BS: Cao Văn Tú
Email:
VII. Dạng 7
:
22
xdx
G=
ax + b cx + d
1. Phương pháp:
Đặt
2
2 2 2 2
t d tdt
t cx d t cx d x ;xdx
cc
Khi đó:
2 2 2
2
1 1 1t dt dt
GA
c
c at bc ad c
a t d
bt
c
2. Các bài tập mẫu minh họa:
•
1
1
22
0
xdx
G=
5 - 2x 6x + 1
. Đặt
2
01
6 1 1 7
6
xt
t x x t
xdx t dt
. Khi đó:
7
77
1
22
2
1
11
3 4 7
1 t dt 1 dt 1 1 4 t 1
G ln ln
6 2 2 8 4 t 16
4t
16 t
5 4 7
t
3
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
2 2 1
1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 1 0
xdx xdx xdx
G ; G ; G
4x 3 5 x 5x 11 7 3x 8 7x 2x 1
VIII. Dạng 8:
22
dx
H=
ax + b cx + d
1. Phương pháp:
Đặt
2 2 2 2 2
22
2
d td.dt
xt cx d x t cx d x xdx
tc
tc
2
2
2
2
2
td.dt t c
dx xdx dt
x xt
tc
td t c
cx d
. Khi đó ta có:
2
22
2
2
dx dt dt
HA
ad
bt ad bc
ax b cx d
b t c
tc
2. Các bài tập mẫu minh họa:
•
3
1
22
2
dx
H=
x - 2 x + 3
. Đặt
2
2
2
3
3
3
3
7
2
2
xt
x
xt x t
x
xt
Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương
15
ST&BS: Cao Văn Tú
Email:
và
2 2 2 2 2 2
22
2
3 3tdt
x t x 3 t 1 x 3 x xdx
t1
t1
2
2
2
2
2
3tdt t 1
dx xdx dt
x xt
t1
3t t 1
x3
. Khi đó ta có:
23
1
2
72
dt
25
H
t
23
72
1 2 5 1 2 2 15 14 2 5
ln ln
2 10 2 5 2 10
2 2 15 14 2 5
t
t
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
2 2 2
2
1 2 3
2
2 2 2 2
1 1 1
d d 5
; ; d
2
3 1 5 2 3 2 3 1
x x x
H H H x
x
x x x x x x
IX. Dạng 9:
22
mx + n dx
I=
ax + b cx + d
1. Phương pháp:
2222
xdx dx
I m n mG nH
ax b cx d ax b cx d
2. Các bài tập mẫu minh họa:
•
3
22
2
4 1 7
1 5 3 1 2
x dx
xx
3
1
22
2
4x + 3 dx
I=
x - 2x - 4 3x - 6x + 5
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
du udu du
4u 7
4 7 4J 7L
u 5 3u 2 u 5 3u 2 u 5 3u 2
Xét
2
22
1
5 3 2
udu
J
uu
. Đặt
2
22
2
32
33
t tdt
t u u udu
14
2 14 14
2
2
22
1
55
5
udu tdt dt 1 t 17
J ln
2 17 t 17
t 17
t 17 t
u 5 3u 2
17 14 17 5
1 17 14 17 5 1
ln ln ln
2 17 17 14 17 5 2 17
17 14 17 5
Xét
2
22
1
5 3 2
du
L
uu
. Đặt
2 2 2 2 2
2
2
3 2 3 2
3
ut u u t u u
t
2
2
22
2
2
2
2tdt t 3
2tdt du udu dt
udu
u ut
t3
2t t 3
3u 2
t3
. Khi đó:
Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương
Page1
6
ST&BS: Cao Văn Tú
Email:
14 2 14 2
2
2
22
2
1 2 2
2
du dt dt
L
2
17 5t
u 5 3u 2
5 t 3
t3
14 2
2
1 1 17 t 5
ln
5 2 17 17 t 5
1 70 2 17 2 5 17
ln
2 85
70 2 17 2 5 17
1
17 14 17 5
4 7 70 2 17 2 5 17
I 4J 7L ln ln
2 17 2 85
17 14 17 5 70 2 17 2 5 17
•
61
22
21
2 1 1
1 5 2 1 3
x dx
xx
6 -1
2
22
2-1
2x + 1 dx
I=
x + 2x + 6 2x + 4x - 1
6 6 6
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2u 1 du udu du
2 2J L
u 5 2u 3 u 5 2u 3 u 5 2u 3
Xét
6
22
2
5 2 3
udu
J
uu
. Đặt
2
22
3
23
22
t tdt
t u u udu
6 3 3
2
2
22
11
2
udu tdt dt 2 3 1
J arctg arctg
t 13
13 13 13
t 13 t
u 5 2u 3
Xét L
6
22
2
5 2 3
du
uu
. Đặt
2 2 2 2 2
2
3
2 3 2 3
2
ut u u t u u
t
2
2
3tdt
udu
2t
2
2
2
2
2
3tdt 2 t
du udu dt
u ut
2t
3t 2 t
2u 3
. Khi đó:
3 6 3 6 3 6
6
2
22
2
2
2 1 2 1 2 1 2
2
du dt dt 1 dt
L
13
3
5
13 5t
u 5 2u 3
t
5 2 t
5
2t
36
12
13 5 t
1 1 1 78 3 5 26 5
ln ln ln
5
2 13 5 13 5 t 2 65 78 3 5 26 5
2
4 3 1 1 78 3 5 26 5
I 2J L arctg arctg ln
13 13 13 2 65
78 3 5 26 5
Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương
17
ST&BS: Cao Văn Tú
Email:
BÀI 3. BIẾN ĐỔI VÀ ĐỔI BIẾN NÂNG CAO
TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ
I. DẠNG 1: TÁCH CÁC MẪU SỐ CHỨA CÁC NHÂN TỬ ĐỒNG BẬC
Các bài tập mẫu minh họa:
•
1
dx
A=
x 2 x+ 5
1 5 2 1 1 1 1 2
ln
7 2 5 7 5 5 7 5
x x x
dx dx c
x x x x x
1 x 4 x 5
dx
9 x 5 x 2 x 4
2
dx
A=
x 5 x+ 2 x+ 4
1 1 1 1 2 5 1 4 2
9 5 2 2 4 63 5 2 18 2 4
1 1 1 1 1 1 1 5 1 4
ln ln
63 5 2 18 4 2 63 2 18 2
x x x x
dx dx dx
x x x x x x x x
xx
dx dx c
x x x x x x
II. DẠNG 2: TÁCH CÁC MẪU SỐ CHỨA CÁC NHÂN TỬ KHÔNG ĐỒNG BẬC
1. Các bài tập mẫu minh họa:
22
2
22
22
2
22
dx 1 x x 3 1 xdx dx
dx
3 3 x
x3
x x 3 x x 3
1 1 d x 3 dx 1 1 1 x 3
ln x 3 ln x c ln c
3 2 x 3 2 6
x 3 x
1
3
dx
B=
x 3x
•
44
43
3 4 3 4
dx 1 x x 10 1 xdx dx
dx
10 10
x 10 x
x x 10 x x 10
2
73
dx
B=
x 10x
22
2 3 2
2
2
1 1 d x dx 1 1 x 10 1
ln c
10 2 20
xx
10 x 10
x 10
2. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
1 2 3 4 5
3 9 4 11 5 6 7
dx dx dx dx dx
B ; B ;B ; B ; B
x 5x x 7x x 8x x 9x x 13x
6 7 8
3 2 3 2 4 3 2
dx dx dx
B ; B ;B
x 6x 19x 22 x 3x 14x 12 x 4x 6x 7x 4
III. DẠNG 3: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU SỐ LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 4
Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương
Page1
8
ST&BS: Cao Văn Tú
Email:
22
2 2 2 2
dx 1 x 1 x 1 1 x 1 1
dx ln arctgx c
2 4 x 1 2
x 1 x 1 x 1 x 1
1
4
dx
C=
x1
22
2
2 2 2
22
1 d x 1 1 1 1 x 1
d x ln c
2 4 4
x 1 x 1 x 1
x 1 x 1
2
4
xdx
C=
x1
22
22
22
22
1 x 1 x 1 1 1 1
dx dx
22
x 1 x 1
x 1 x 1
1 dx 1 dx 1 x 1 1
ln arctgx c
2 2 4 x 1 2
x 1 x 1
2
3
4
x dx
C=
x1
•
4
4
4
1 d x 1 1
ln x 1 c
44
x1
3
4
4
x dx
C=
x1
4
1
44
x 1 1 dx 1 x 1 1
dx dx x C x ln arctgx c
4 x 1 2
x 1 x 1
4
5
4
x dx
C=
x1
2
2
2
2
1 d x 1
arctg x c
22
x1
6
4
xdx
C=
x + 1
4
4
4
1 d x 1 1
ln x 1 c
44
x1
3
7
4
x dx
C=
x + 1
2
2
2
2
2
1
11
1
d x x 2
1
xx
x
dx ln c
1
1
22
1
x2
x
x2
x
x
x
2
8
4
x1
C = dx
x +1
•
2
2
2
2
2
2
1
1
1
dx
1 x 1
x
x
dx arctg c
1
2 x 2
1
x
x2
x
x
2
9
4
x + 1
C = dx
x + 1
2 2 2 2
4 4 4
22
98
2
1 x 1 x 1 1 x 1 x 1
dx dx dx
22
x 1 x 1 x 1
1 1 1 x 1 1 x x 2 1
C C arctg ln c
22
2 x 2 2 2 x x 2 1
10
4
dx
C=
x + 1
2 2 2 2
4 4 4
22
98
2
1 x 1 x 1 1 x 1 x 1
dx dx dx
22
x 1 x 1 x 1
1 1 1 x 1 1 x x 2 1
C C arctg ln c
22
2 x 2 2 2 x x 2 1
2
11
4
x dx
C=
x + 1
4 2 2
4
2
x 1 1 1 1 x 1 1 x x 2 1
dx x arctg ln c
2
x1
2 x 2 2 2 x x 2 1
4
12
4
x dx
C=
x + 1
Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương
19
ST&BS: Cao Văn Tú
Email:
2
2
2
2
2
22
1
1
1 dx
dx
x
x
11
11
x 5 x 4
x 5 x 6
x
x
xx
d u du 1 1 1 1 x 6x 1
du ln c
7 u 6 u 1 7
u 6 u 1
u 5u 6 x x 1
2
13
4 3 2
x -1 dx
C=
x 5x 4x 5x+ 1
•
2 2 2 2
4 2 4 2 4 2
1 x 1 x 1 1 x 1 x 1
dx dx dx
22
x x 1 x x 1 x x 1
14
42
dx
C=
x + x +1
22
22
22
22
11
11
1 dx 1 dx
d x d x
11
xx
xx
11
24
11
x 1 x 1
x 3 x 1
xx
xx
22
2
11
x x 1
1 1 1 x 1 1 x x 1
xx
arctg ln c arctg ln c
1
44
x x 1
2 3 3 2 3 x 3
x1
x
IV. DẠNG 4: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU SỐ LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 3
•
2
2
dx d x 1
x 1 x x 1
x 1 x 1 3 x 1 3
1
3
dx
D=
x1
22
2
22
dt 1 t 3t 3 t 3t 1 dt t 3 dt
dt
3 3 t
t 3t 3
t t 3t 3 t t 3t 3
22
1 dt 1 2t 3 dt 3 dt
3 t 2 2
t 3t 3 t 3t 3
2
2
1 x 2x 1 1 2x 1
ln arctg c
6
x x 1
2 3 3
•
2
2
dx d x 1
x 1 x x 1
x 1 x 1 3 x 1 3
2
3
dx
D=
x + 1
22
2
22
dt 1 t 3t 3 t 3t 1 dt t 3 dt
dt
3 3 t
t 3t 3
t t 3t 3 t t 3t 3
2
22
1 dt 1 d t 3t 3 3 dt
3 t 2 2
3
t 3t 3
3
t
2
4
22
22
1 1 t 2t 3 1 x 2x 1 1 2x 1
ln 3arctg c ln arctg c
3 2 6
t 3t 3 x x 1
3 2 3 3
Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương
Page2
0
ST&BS: Cao Văn Tú
Email:
•
2
2
22
xdx 1 x x 1 x 1
dx
3
x 1 x x 1 x 1 x x 1
3
3
xdx
D=
x1
2
1 1 x 1
dx
3 x 1
x x 1
22
2
1 dx 1 2x 1 dx 3 dx
3 x 1 2 2
x x 1
3
1
x
22
2
1 1 2x 1
ln x 1 ln x x 1 3arctg c
32
3
•
2
2
22
xdx 1 x x 1 x 1
dx
3
x 1 x x 1 x 1 x x 1
4
3
xdx
D=
x + 1
2 2 2
2
1 1 x 1 1 dx 1 2x 1 dx 3 dx
dx
3 x 1 3 x 1 2 2
x x 1 x x 1
3
1
x
22
2
2
2
1 1 2x 1 1 x 2x 1 1 2x 1
ln x 1 ln x x 1 3arctg c ln arctg c
3 2 6
x x 1
3 3 3
V. DẠNG 5: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 6
•
12
33
33
dx 1 dx dx 1
DD
22
x 1 x 1
x 1 x 1
1
6
dx
E=
x1
22
22
22
22
1 1 x 2x 1 1 2x 1 1 x 2x 1 1 2x 1
ln arctg ln arctg
2 6 6
x x 1 x x 1
2 3 3 2 3 3
1 x 2x 1 x x 1 1 2x 1 2x 1
ln arctg arctg c
12
4 3 3 3
x 2x 1 x x 1
•
2
1
33
2
1 d x 1 du 1
D
2 2 2
u1
x1
2
6
xdx
E=
x1
2 4 2 2
2 4 2
1 1 u 2u 1 1 2u 1 1 x 2x 1 1 2x 1
ln arctg c ln arctg c
2 6 12
u u 1 x x 1
2 3 3 2 3 3
3 3 3
6 3 3
1 d x 1 1 x 1 1 x 1
ln c ln c
3 3 2 6
x 1 x 1 x 1
2
3
6
x dx
E=
x1
•
22
63
2
1 x d x 1 udu 1 udu
2 2 2
x 1 u 1
u 1 u u 1
3
4
6
x dx
E=
x1
2
4 2 2
2 4 2
1 u 1 1 2u 1 1 x 2x 1 1 2x 1
ln arctg c ln arctg c
12 12
u u 1 x x 1
2 3 3 2 3 3
Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương
21
ST&BS: Cao Văn Tú
Email:
4 2 2
2 4 2 6
2 4 2
x x 1 x 1 2 dx dx dx
dx 2
x 1 x x 1 x 1
x 1 x x 1
4
5
6
x dx
E=
x1
2 2 2
22
1 x 2x 1 x x 1 1 2x 1 2x 1 x 1
ln arctg arctg arctg c
12
2 3 3 3 x 3
x 2x 1 x x 1
•
6
6
6
1 d x 1
ln x 1 c
66
x1
5
6
6
x dx
E=
x1
•
6
1
66
x 1 1 dx
dx dx x E
x 1 x 1
6
7
6
x dx
E=
x1
22
22
1 x 2x 1 x x 1 1 2x 1 2x 1
x ln arctg arctg c
12
4 3 3 3
x 2x 1 x x 1
•
2 2 2
2
42
2 4 2
2
2
1
1 dx
x 1 x 1 dx x 1 dx
x
1
x x 1
x 1 x x 1
x1
x
4
8
6
x1
E = dx
x + 1
2
2
2
2
1
1
dx
x3
1 1 x x 3 1
x
x
ln c ln c
1
2 3 2 3 x x 3 1
1
x3
x3
x
x
•
4 2 2 2
26
2 4 2
x x 1 x dx x dx
dx
x 1 x 1
x 1 x x 1
4
9
6
x + 1
E = dx
x + 1
3
3
26
dx 1 d x 1
arctgx arctg x c
33
x 1 x 1
44
98
6
2
3
2
1 x 1 x 1 1
dx E E
22
x1
1 1 1 x x 3 1
arctgx arctg x ln c
23
2 3 x x 3 1
10
6
dx
E=
x + 1
•
3 2 3
2
6 6 6
1 d x 1 d x 1 d x 1
D
3 2 3 2
x 1 x 1 x 1
2
11
6
x + x
E = dx
x + 1
(thay x
2
vào D
2
)
4 2 2
3
42
1 1 1 x 2x 1 1 2x 1
arctg x ln arctg c
3 2 6
x x 1
2 3 3
VI. DẠNG 6: SỦ DỤNG KHAI TRIỂN TAYLOR
• Đa thức P
n
(x) bậc n có khai triển Taylor tại điểm x
a là:
Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương
Page2
2
ST&BS: Cao Văn Tú
Email:
n
2n
n n n
nn
P a P a P a
P x P a x a x a x a
1! 2! n!
1. Các bài tập mẫu minh họa:
•
43
1
50
3x 5x +7x 8
F = dx
x + 2
. Đặt
43
4
P x 3x 5x 7x 8
34
2 3 4
4 4 4 4
44
P 2 P 2 P 2 P 2
P x P 2 x 2 x 2 x 2 x 2
1! 2 ! 3! 4!
2 3 4
4
P x 66 149 x 2 48 x 2 29 x 2 3 x 2
2 3 4
1
50
50 49 48 47 46
49 48 47 46 45
66 149 x 2 48 x 2 29 x 2 3 x 2
F dx
x2
66 x 2 149 x 2 48 x 2 29 x 2 3 x 2 dx
66 149 48 29 3
c
49 x 2 48 x 2 47 x 2 46 x 2 45 x 2
VII. DẠNG 7: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC CAO
1. Các bài tập mẫu minh họa:
•
99 99 98
99
99 99
1 3 5 3 1 3
55
35
3 5 3 5
1
100
dx
G=
3x + 5x
dx x x dx x dx
dx
x
x
x x x x
99 99
99
99 99
1 dx 1 d 3x 5 1 1 1 x
ln x ln 3x 5 c ln c
5 x 99 5 99 495
3x 5 3x 5
50 50 49
22
50
50 50
50 50 49 49 49
2 50 2
50
50 50
50
50
1 2x 7 2x 1 dx 2x dx
dx
77
x 2x 7
x 2x 7 2x 7
1 1 2x 7 2x 2x dx 1 dx 2x dx 1 2x dx
dx
7 7 49 x 7
2x 7
x 2x 7
2x 7 2x 7
1 dx 1 d 2x 7
49 x 50
2x 7
2
2
50
dx
G=
x 2x +7
50
2
50
50
50
50
50 50
1 d 2x 7
350
2x 7
1 1 1 1 x 1
ln x ln 2x 7 ln c
49 49.50 49.50
2x 7
350 2x 7 350 2x 7
n n n
k k 1 k
n n n
1 ax b ax 1 dx 1 d ax b
dx
b b nb
x ax b x ax b ax b
3
k
n
dx
G=
x ax + b
Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương
23
ST&BS: Cao Văn Tú
Email:
nn
2 k 2 2 k 1 k
n n n
1 dx 1 d ax b 1 d ax b
nb
b nb
x ax b ax b ax b
n
k k 1 k
k 1 n
n
n
k n k 1
k 1 n
n
1 1 1 1 1
ln x ln ax b c
n
bb
b ax b
b k 1 ax b
1 x 1 1 1
ln c
n
nb ax b
b ax b
b k 1 ax b
2000 2000 1999
2000 2000
2000 1000
2000
2000
2000
1 x 2x dx 2x dx
dx
x
x 1 x 1 x
dx 1 d 1 x 1 x
ln x ln 1 x c ln c
x 1000 1000
1x
1x
2000
4
2000
1 x dx
G=
x 1+ x
10 9 10 10 10
10
2 2 2
10 10 10
10 10
10
10 2
10
10
1 .10 1 1 3 3
3
10 10 10
3 3 3
1 3 3 1 3
3 ln 3
10 10
3
10 3
3
19
5
2
10
x dx
G = =
3 + x
x x dx x d x x
dx
x x x
d x d x
xc
x
x
x
50 49 50
50
77
50 50
50 50
6 7 5 6
50 50 50 50
50 50
66
50 50
x .x dx 1 2x 3 3
d 2x 3
200
2x 3 2x 3
1 d 2x 3 d 2x 3 1 1 1
3c
200 200
2x 3 2x 3 5 2x 3 2 2x 3
1 2 2x 3 5 1 4x
cc
200
10 2x 3 2000 2x 3
99
6
7
50
x dx
G=
2x 3
•
n n 1
k
n
x x dx
ax b
2n-1
7
k
n
x dx
G=
ax + b
n
n
2k
n
1 ax b b
d ax b
na
ax b
nn
2 k 1 k 2 k 2 k 1
n n n n
1 d ax b d ax b 1 1 b
bc
na na
ax b ax b k 2 ax b k 1 ax b
nn
2 k 1 k 1
n 2 n
1 b k 2 k 1 ax b kax b
cc
na
k 1 k 2 ax b na k 1 k 2 ax b
2. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
5
****
1 2 3 4 5
8 8 8 8 8
xdx x x dx xdx dx
G ;G dx;G ;G ;G
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương
Page2
4
ST&BS: Cao Văn Tú
Email:
VIII. DẠNG 8: KĨ THUẬT CHỒNG NHỊ THỨC
•
10
2
3x 5 dx
x2
x2
10
1
12
3x 5
H = dx
x + 2
10 11
1 3x 5 3x 5 1 3x 5
dc
11 x 2 x 2 121 x 2
•
99 99
2
7x 1 dx 1 7x 1 7x 1
d
2x 1 9 2x 1 2x 1
2x 1
99
2
101
7x 1
H = dx
2x + 1
100 100
1 1 7x 1 1 7x 1
cc
9 100 2x 1 900 2x 1
•
5 5 6 2
8
dx 1 1 dx
x 3 x 3
x 5 x 5
x5
x 5 x 5
3
53
dx
H=
x + 3 x + 5
6
6
7 5 7 5
1 1 x 3 x 5 1 1
x3
d u 1 du
x5
x5
2 2 u
x3
x5
6 5 4 3 2
75
7 2 3 4 5
2
7 2 3 4
1 u 6u 15u 20u 15u 6u 1
du
2u
1
15 20 15 6
1
u 6 du
u
2 u u u u
1u
20 15
21
6u 15ln u c
u
2
2 2u u 4u
2
7
2 3 4
7
1 1 x 3
x 3 x 3
6 15ln
x 5 x 5
2 x 5
2
1
x 5 15 x 5 x 5 x 5
1
20 2 c
x 3 2 x 3 x 3 4 x 3
2
Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
•
1
73
dx
H=
3x 2 3x+ 4
;
1
2
34
dx
H=
2x 3x -1
;
3
54
dx
H=
3x+ 2 4x - 1
BÀI 4. TÍCH PHÂN CƠ BẢN CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Các dạng bài tập Tích phân của Trần Phương
25
ST&BS: Cao Văn Tú
Email:
A. CÔNG THỨC SỬ DỤNG
1. KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON
0 1 1 1 1
n
n n k n k k n n n n
n n n n n
a b C a C a b C a b C ab C b
trong đó
!
!!
k
n
n
C
k n k
và
1 2 1m! . m m
với qui ước 0!
1
2. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC
22
11
11
cos ax b dx sin ax b c sin ax b dx cos ax b c
aa
dx dx
tg ax b c cotg ax b c
aa
cos ax b sin ax b
B. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN
I. Dạng 1:
nn
1.1 1.2
A = sinx dx ; A cosx dx
1. Công thức hạ bậc
2 2 3 3
1 2 1 2 3 3 3 3
2 2 4 4
cos x cos x sin x sin x cos x cos x
sin x ;cos x ;sin x ;cos x
2. Phương pháp
2.1.
Nếu n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc
2.2.
Nếu n
3 thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi theo 2.3.
2.3.
Nếu 3
n lẻ (n
2p
1) thì thực hiện biến đổi:
2
2
1
p
p
sinx sinxdx cos x d cosx
n 2p+1
1.1
A = sinx dx = sinx dx
kp
kp
0 1 2 k 2 p 2
p p p p
kp
2k 1 2p 1
0 1 3 k p
p p p p
C C cos x 1 C cos x 1 C cos x d cos x
1 1 1
C cosx C cos x C cosx C cos x c
3 2k 1 2p 1
2
2
1
p
p
cosx cosxdx sin x d sinx
n 2p+1
1.2
A = cosx dx = cosx dx
