Các dạng bài tập tích phân thường gặp trong đề thi đại học

14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Chuyên đề độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân
Chủ đề 3: CÁC DẠNG TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Dạng 1: Tích phân các hàm phân thức và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối
Kỹ thuật phân tích hệ số bất định
Loại 1:
2
1 2
1
( )
mx n A B
dx dx dx
ax bx c a x x x x

 
   
  
với x
1
, x
2
là nghiệm của mẫu số
(A, B tìm theo đồng nhất hệ số)
Loại 2:
2
2 2
( )
( )( )
mx nx p A Bx C

dx dx
qx t ax bx c qx t ax bx c
  
 
     
 

(A, B, C tìm theo đồng nhất hệ số)
Ví dụ 1: Tính tích phân sau:

4
2
1
2
3
2 4
( 2)( 3 2)
x x
I dx
x x x
 

  


Giải:
Ta có
4 4 4
2
1

2 2
3 3 3
4
4 4
3 3
3
3 2 2 1 1
( 2)( 3 2) 2 3 2
1 1 6
ln( 2) | ( ) ln (ln | 2| ln | 1|) |
2 1 5
6 4 8
ln ln ln
5 3 5
x x x
I dx dx dx
x x x x x x
x dx x x
x x
   
  
     
        
 
  
  


Ví dụ 2: Tính tích phân sau:
1

2
3
0
3
1
I dx
x




Giải: Phân tích:

3 2
2
3
1 1 1
3 ( ) ( ) 1
A Bx C
x x x x
A B x B C A x A C x

 
   
          

14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Chuyên đề độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân

Từ đó suy ra:
0 1
0 1
3 2
A B A
B C A B
A C C
  
 
 
     
 
 
  
 

Vậy tích phân viết lại dưới dạng
1 1 1 1
1
0
3 2 2
0 0 0 0
3 1 2 2
ln( 1) |
1 1 1 1
x x
dx dx dx x dx
x x x x x x
   
    

     
   

Lại đặt
2 '
2 (1 )
x M x x N
     
, ta viết được tích phân
1 1
2 1 1
0 0
2 2
0 0
1
2 1 3 2 2
2
ln(1 )| arctan( ) |
1 2 2 1
3 3 3 3
2
x
x dx
dx x x
x x x x


 
      
   

 

Vậy
2
ln2
3 3
I

 
.
Bài tập luyện tập
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1)


2
1
2
2
127
dx
xx
x
2)


3
1
2
3

16x
dxx
3)
2
2
0
| x 2x 3|dx
 


4)
3
3 2
0
2
x x x dx
  

5)
1
2 2
1
(1 )
dx
x



6)
 

2
2
3 2
dx
x x 



2
2
2
3
1
1
7)
x
I dx
x x





4 2
8)
4 3
dx
x x
 


Hướng dẫn:
5) Đặt x = tant
2
2 2 2
1 1 2 1
6).
3 2 ( 1) ( 1)( 2) ( 2)
x x x x x x
 
  
 
     
 


14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Chuyên đề độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân
Dạng 2: Tích phân các hàm số vô tỷ
Kiểu 1: Đặt ẩn phụ
( )
t f x

Ví dụ 3: Tính tích phân

2
3
3

0
1 ( 1)
dx
I
x x

  


Giải
Đặt
1 2 .
2 1
dx
x t dt dx tdt
x
     


Khi đó ta có
3 3
3
3 2
1 1
2
2
1
tdt dt
I
t t t

 
 
 
. Đặt
2
tan
cos
dy
t y dt
y
  

Vậy
3 3
3
2 2
4 4
1
2 2 .
(1 tan ) cos 6
dy
I dy
y y
 
 

  

 

Kiểu 2: Lượng giác hóa
+) Nếu tích phân dạng
2 2
( , )
n
m
R x a x dx


thì đặt
sin
cos
x a t
x a t






+) Nếu tích phân dạng
2 2
( , )
n
m
R x a x dx


thì đặt
tan

x a t


Ví dụ 4: Tính tích phân sau
3
2 3
4
6
3
2
9 


( )
x
I dx
x

Giải:
Đặt
3sin 3cos
x t dx tdt
  
. Đổi cận lấy tích phân ta có
14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Chuyên đề độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân
 
3

2
4 4
2 2 2
4
6 6 2 6 4 2
6 6 6
2
4 5
2
6
6
9 9sin 3cos
cos 1 cos
3 sin 3 sin 9 sin sin
1 1 3
cot cot cot | .
9 45 5
t tdt
tdt tdt
I
t t t t
td t t
  
  





  

    
  


Kiểu 3: Kỹ thuật nhân liên hợp
Ví dụ 5: Tính tích phân
/4
5
2
/4
sin
1
x
I dx
x x




 


Giải
Nhân cả tử và mẫu của biểu thức dưới dấu tích phân với (
2
1
x x
 
) ta có:

/4
4
2
5
2
/4
4
4 4
2 ' ''
5 5
4 4
sin
( 1 )sin
1
1 sin sin
x
I dx x x xdx
x x
x xdx x xdx I I




 
 


 
   
 

    
 
 

+) Tính
'
5
I
. Đặt x = -t, khi đó ta có:

4 4
' 2 2 ' '
5 5 5
4 4
1 sin( ) ( ) 1 sin 0.
I t t d t t tdt I I
 
 


          
 

+) Tính
''
5
I
. Dùng công thức tích phân từng phần với

sin x cos

u x du dx
dv dx v x
 
 

 
  
 

14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Chuyên đề độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân

4
''
4 4
5
4 4
4
cos cos sin 2
I x x xdx x

 
 

 

     


Vậy
5
2
I 
Bài tập luyện tập
Bài 2: Tính các tích phân sau:
9)
2
3
1
1
1
dx
x x

10)
1
3 2
0
1
x x dx


11)
2
1
x
dx
1 x 1

 


12)
1
2
0
x
dx
(x 1) x 1
 


13)
1
2 2
0
2 1
xdx
x x
  

14)
2
0
xdx
x 2 2 x
  


15)
2
1
dx
x 2x 1


16)
2
3
0
x 1
dx
3x 1



17)
2
2
2
2
0
1
x
dx
x


18)

3
0
3
3. 1 3
x
dx
x x

  

19)
3
5 3
2
0
2
1
x x
dx
x



20)
1
2
2
0
1
4

x
dx
x




Hướng dẫn:
9) Đặt
3
1
x t
 
10) Đặt
2
1
x t
 
hoặc x = sint 11) Đặt
1
x t
 

12)
1 ,
x t
 
13) Nhân liên hợp 14) Nhân liên hợp
15) Đặt
2 1

x t
 
16)
3
3 1
x t
 
17) Đặt x = sint
18) Đặt
1 ,
x t
 
19) Đặt
2
1
x t
 
20) Đặt x = 2sint
Dạng 3: Tích phân các hàm số mũ và logarit
Loại 1: Biến đổi và sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản
14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Chuyên đề độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân
Ví dụ 6: Tính tích phân
1
2 2
0
2
1 2

x x
x
x e x e
dx
e
 



Giải:
1 1 1 1
2 2 2
2
1 2
0 0 0 0
2 (1 2 )
1 2 1 2 1 2
x x x x x
x x x
x e x e x e e e
dx dx x dx dx I I
e e e
   
    
  
   

+) Tính
1
1

3
2
1
0
0
1
3 3
x
I x dx
  


+) Tính
1 1
1
2 0
0 0
1 (1 2 ) 1 2
ln(1 2 )| ln
1 2 2 1 2 3
x x
x
x x
e d e e
I dx e
e e
 
    
 
 

Vậy
1 1 2 1
ln
3 2 3
e
I

 
Loại 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 7: Tính tích phân sau:
2
1
ln
(2 ln )
e
x
dx
x x


Giải:
Đặt 2 ln ln 2
dx
x t x t dt
x
      

Đổi cận: Với
3

x e t
  

Với
1 2
x t
  

3
3 3 3
2
2
2 2 2
2
( 2) 2 3 1
2 ln ln
2 3
t dt dt
I t dt t
t t t


 
       
 
 
  

Ví dụ 8: Tính nguyên hàm
1

(1 )
x
x
dx
x xe




14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Chuyên đề độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân
Giải:
Đặt
1 (1 ) (1 )
x x
x
dt
xe t e x dx dt x dx
e
       

1 1
(1 ) ( 1) ( 1)
x x
x dt dt t t
dx dt
x xe xe t t t t t
  

   
  
   

( 1) 1
ln 1 ln ln
1
d t dt t
t t C C
t t t
 
       

 
ln
1
x
x
xe
C
xe
 



Ví dụ 9: Tính tích phân
3
1
ln (ln 1)
(ln 1)

e
x x dx
I
x x


 


Giải:
Chia cả tử và mẫu cho x
3
, ta được:
2
3
3
1 1
ln ln 1
ln (ln 1)
(ln 1)
ln 1
1
e e
x x
x x dx
x x x
I dx
x x
x
x x

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 

Đặt
2
ln 1 ln
1
x x
t dt dx
x x x
     
2
2 2
2 3
3 2
2
2
2 2
1
1 1

( 1) 1 1 3 1 1
( )
2 2
2 8
1 2(1 )
e
e e
t dt
I t t dt
t t t
e e
 

 

 
          
 
 
 
 

Loại 3: Sử dụng công thức tích phân từng phần
Ví dụ 10: Tính tích phân sau:
2
1
3 x
0
I x e dx




Giải:
14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Chuyên đề độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân
Đặt
2 2
2
2
2
1
2
x x
x
du xdx
u x
v xe dx e
dv xe dx




 

 
 








Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có
2 2 2
1
2 1 1
0 0
0
1 1 1
| | .
2 2 2 2
x x x
e
I x e xe dx e
    


Bài tập luyện tập
Bài 3: Tính các tích phân sau:
23)
ln2
2
0
1
x
x
e dx

e


; 24).
2
1
1 ln
e
x
dx
x


; 25)
1
2
0
(1 )
x
x
e
dx
e


;
26).
3
0
2 4

x
dx


27)
10
2
1
lg
x xdx

28)
ln8
x 2x
ln3
e 1.e dx




ln2
2
0
29)
x x
dx
e e


30)



1
2
0
ln 1 x
dx
1 x



31)












e
dxxx
xx
x
I
1

2
ln3
ln1
ln

32)
ln3
x
x 3
0
e dx
(1 e )


33)
2
1
3 x
0
x e dx

34)
1
2
2
0
ln( 1 )
1
x x x
dx

x
 



35)
1
3 2ln
1 2ln
e
x
dx
x x



36)
4
1
ln(1 )
x
dx
x x



37)
0
2x
3

1
x(e x 1)dx

 




Hướng dẫn:
14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Chuyên đề độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân
23) Đặt 1
x
e t
 
27) Dùng công thức từng phần
2
2
2
2 1
lg
ln 10
2
du dx
u x
x
dv xdx x
v








 







28) 1
x
e t
 
29)
x
t e

30)
tan
x t

và
4
t u


 

31) Kết hợp từng phần và đặt ẩn phụ 32) 1
x
e t
 

33)
2
x t

và dùng tích phân từng phần 34) dùng từng phần với
2
ln( 1 )
u x x
  
35) Đặt 1 2ln
x t
 
36) Đặt 1
x t
 


Dạng 4: Tích phân các hàm số lượng giác
Loại 1: Dùng công thức nguyên hàm hàm số hợp
Ví dụ 10: Tính tích phân
2
2

2
cos
4 sin
x x
I dx
x








Giải:
)
2 2
1 2
2 2
2 2
cos
4 sin 4 sin
x x
I dx dx I I
x x
 
 
 
   
 

 

+) Tính I
1

Ta có:
0
2
1
2 2
0
2
4 sin 4 sin
x x
I dx dx
x x



 
 
 
(1)
Xét
0
2
2
4 sin
x
J dx

x






14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Chuyên đề độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân
Đặt
x t dx dt
    

Đổi cận: Với
2 2
x t
 

  

Với
0 0
x t
  

0 0 0
2 2 2
2 2 2

4 sin 4 sin 4 sin
x t x
J dx dt dx
x t x
  

    
  
  
(2)
Thay (2) vào (1)
1
0
I
 

+) Tính
2
I

Ta có:
2 2 2
2
2
2 2 2
cos (sin ) 1 (2 sinx) (2 sinx) (sin )
4 sin (2 sin )(2 sinx) 4 (2 sin )(2 sinx)
x d x d x
I dx
x x x

  
  
  
  
  
    
  


2 2
2
2
2 2
1 (sin 2) 1 (2 sin ) 1
(ln sinx 2 ln 2 sinx )
4 2 sinx 4 2 sin 4
d x d x
x
 


 

 
 
     
 
 

2
2
1 2 sinx 1
ln ln9
4 2 sinx 4




 


Vậy
1
ln9
4
I 
Bình luận: Trong tích phân này chúng ta nhận dạng tích phân
( ) 0
a
a
f x dx



nếu f(x) là hàm số lẻ
(Chứng minh bằng cách đặt x = -t).
Loại 2: Dùng công thức tích phân từng phần
Tính:
 

( ) lg
b
a
f x bt dx


14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Chuyên đề độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân
Phương pháp:
   
'( )
( )
lg lg
du f x dx
u f x
dv bt dx v bt dx




 

 
 







Ví dụ 11: Tính tích phân:
3
2
3
sin
cos
x x
I dx
x






Giải:

Đặt
2
1




 

 



 


sin x
cos
os
u x
du dx
dx
dv
v
x
c x

3
3
1
3
3
4
3







    


cos cos
x dx
I I
x x

Tính I
1

I
1
=
3 3 3 3 3
2 2
3 3 3 3 3
1 1 1
1 1 2 1 1
1
    
    
    
  
   
   

    
cos (sin ) (sin ) ( sinx) ( sinx) (sin )
cos ( sin )( sinx) ( sin )( sinx)
cos sin
dx xdx d x d x d x

x x x
x x

 
3 3
3
3
3 3
1 1 1 1 1
1 1
2 1 2 1 2
 


 

 
 
     
 
 
(sinx ) ( sinx)
ln sinx ln sinx
sinx sinx
d d

=
1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
2 2 2 2 2 2 2
2 3

 
      
 
     
 

 
ln ln ln ln ln ln ln
Vậy
4 2 3
3
2 3


 

lnI
14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Chuyên đề độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân
Loại 3: Đặt ẩn phụ
Ví dụ 12: Tính các tích phân sau
a)
2
2 2
0
sin 2
cos 4sin
x

dx
x x



b)
4
0
4
2 2 1


 

 
 
  

sin
sin ( sinx cos )
x dx
x x


Giải:
a) Ta có:
I =
2
2 2
0

sin 2
cos 4sin
x
dx
x x



2
2
0
2sin .cos
1 3sin
x x
dx
x





Đặt
2 2 2
2
1 3sin 1 3sin 6sin cos 2 2sin cos
3
tdt
x t x t x xdx tdt x xdx        
Đổi cận: Với
0 1

x t
  
,
2
2
x t

  

1
2 2
0
1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
tdt
I dt t
t
    
 

b)
4 4
0 0
4 4
2 2 2 2 1 1 2
 
 
 
 

      
 
sin( ) sin( )
sin (sin cos ) sin (sinx cos )
x dx x
I dx
x x x x x


4
2
0
2
2
1 2



   

sin cos
(sinx cos ) (sinx cos )
x x
dx
x x


4
2
0

2
2
1 2


 
   

(sin cos )
(sinx cos ) (sinx cos )
d x x
x x

Đặt
 
sinx cos
x t

Đổi cận: Với
0 1
  
x t

14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Chuyên đề độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân
Với
2
4


  x t
2 2
2
2
1 1
2 2
1 1
2 2
1

 
    

 
( ) ( )
( )
dt
I t d t
t
2
1
2 2 2 2 2
2 1 4
2 2 1 4 2 1

  

 
( )

( ) ( )
t

Loại 4: Dạng tích phân đưa về tanx và cotx

Ví dụ 13: Tính
2
4
3
6
cos
sin sin( )
4
x
dx
x x






Giải
Ta có:
2 2 2
4 4 4
3 2
6 6 6
2
4 4

4
6
6 6
1 1
2 2 2
1
1
2 1 2 2 1
1 2
2 3 2
2 2 2 3 3 1 2 2 6 2
2 2
1 3
  
  
 


 
 
   

 
        

        

  
 
os cot (cot ) cot

cot
sin .(sin cos ) sin .(cot x )
cot cot
(cot ) cot [ cot ln(cot )]|
cot
ln [ ln( )] ln
c x xdx x d x
I dx
x
x x x x
d x x
x d x x x
x


Bài tập luyện tập
Bài 4: Tính các tích phân sau:
40)
4
2
0
1 sin 2
cos
x
dx
x



41)

1
2
0
sin ( )
x
e x dx


42)
3
2
4
cos
1 sin
x
dx
x





43)
4
4
0
sin
xdx



44)
2
3
0
4sin
(sin cos )
x
dx
x x



45)
2
2
0
sin
xdx

 
 
 


14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Chuyên đề độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân
46)
2

0
sin 2 sin
1 3cos
x x
dx
x




47)
2
3 56
0
1 cos x.sin x cos xdx



48)
6
0
cos2
sin 3 cos
xdx
x x




49)

2
3 5
0
(cos cos )
x x dx



50)
4
0
x
dx
1 cos2x



51)
2
cosx
0
e sin 2xdx



52)
2
4
4 2
4

sin
cos (tan 2tan 5)
x
dx
x x x



 

53)
3
2
23
0
sin cos
1 sin
x x
dx
x




54)
3 3
2
3
3
sin sin

cot
sin
x x
xdx
x




55)
2
sin x cosx 1
dx
sin x 2cosx 3
0

 
 

56)
1
2 3
0
( sin )
1
x
x x dx
x






Hướng dẫn:
40)
4 4
4
0
2 2
0 0
1 sin 2 sin
tan |
cos 1 sin
x d x
dx x
x x
 


 

 
41) Hạ bậc và dùng từng phần
42)
3 2
2 2
4 4
cos (1 sin ) sin
1 sin 1 sin
x x d x

dx
x x
 
 


 
 
43) Dùng công thức hạ bậc
44) Đặt
2
x t

 
45) Đặt
x t

và dùng từng phần
46) Đặt
1 3cos .
x t
 
47) Đặt
6
3
1 cos
x t
 

6 6
0 0
cos2 1 cos2
48)
2
sin 3cos
sin( )
3
xdx xdx
x x
x
 




 

Đặt
3
t x

 

49) sinx = t 50) Dùng công thức từng phần 51) Đặt cosx = t và dùng cttp

14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Chuyên đề độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân

52) Đặt tanx = t
3
2
53) 1 sin .
x t
 


Dạng 5: Ứng dụng tích phân
Ví dụ 14:
a) Tính diện tích của hình tạo bởi
2
4 , 2 0
y x x y
    

b)
Tính diện tích của hình tạo bởi
2 2
y x
 
và
2
2 2
y x x
   

Giải:
a) Hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là nghiệm của phương trình:

2
4 2
   
x x

2
2 2
4 0
2 0
4 4 4

 

   


   

x
x
x x x
2
2 22 2
0
2
0
2
2
2 4 0
 

    


 
   


 




 

 


xx
x
x
x
x
x
x x

Diện tích hình phẳng cần tìm là:
2 2 2 2
2 2 2
0 0 0 0
4 2 4 2 2 2 4            

   
( ) ( ) ( )
S x x dx x x dx x d x x dx

=
2
2
0
2
2
2

   
( )x
I I

+) Tính I
Đặt 2 2
  
sin cos
x t dx tdt
và
2 2 2 2
4 4 4 2 1 2 2      
sin sin os cos
x t t c t t

2 2
2
2

0
0 0
4 2 1 2 2 2
 


      
 
os ( os ) ( sin )I c tdt c t dt t t
14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Chuyên đề độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân
Vậy
2

 
S
(đvdt)
b) Hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là nghiệm của phương trình:

2
2 2 2 2
x x x
    
(1)
+) Nếu
2 2 0 1
x x
    

thì
2
(1) 2 2 2 2
x x x
     


2
0
4 0
4( )
x
x x
x l


   

 


+) Nếu
1
x
 
thì
2
(1) 2 2 2 2
x x x
    

2
2 ( )
4 0
2
x l
x
x


   

 


Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 0 hoặc x = -2
Diện tích hình phẳng cần tìm là
0 1 0
2 2 2
2 2 1
2 2 2 2 4 4
S x x x dx x dx x x dx

  
        
  


1 0

1 0
3 3
2 2 2
2 1
2 1
5 5 10
(4 ) ( 4 ) 4 2
3 3 3 3 3
x x
x dx x x dx x x


 
 
   

           
   
   
 
(đvdt)

Ví dụ 15:
a) Tính thể tích tròn xoay sinh bởi các đường sau khi quay quanh Ox:

2
1 2
y x x
  
và

1
y


b) Tính thể tích tròn xoay sinh bởi các đường sau

3
ln(1 ) ; 0
y x x y
  
và x = 1

Giải:
a) Hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là nghiệm của phương trình:
14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Chuyên đề độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân

2
2
1 2 1
0
2 0
2
  


   




x x
x
x x
x

Thể tích tròn xoay cần tính được cho bởi




2 2
2
2 2 2
0 0
1 2 1 1 2 2 2 1
 
         
 
V x x dx x x x x dx


2 2 2
2 2
0 0 0
4
2 2 2 2
3


 
      
  
( )
x dx xdx x x dx I

+) tính I
2 2
2 2
0 0
2 1 1 1 1
        
 
( ) ( )
I x x dx x dx

Đặt 1
   
sin cos
x t dx tdt

Đổi cận: Với 0 2
2 2
 

     
,x t x t
2 2 2
2 2
2 2 2

1 2
1
2
  
  
  

    
  
os
sin cos os
c t
I t tdt c tdt dt


2 2
2
2
2 2
1 1 1 1
2 2 2
2 2 2 2 2
 


 


 
 

 
 
    
 
 
 
 
 
 
 
os ( ) sindt c td t t t
Vậy V =
2
4 4
2
3 2 3
  
 
  
. (đvtt)
b)
Hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là nghiệm của phương trình:
14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Chuyên đề độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân

3
ln(1 ) 0
x x

 

3 3
3
0
0 0
0
ln(1 ) 0 1 1
ln(1 ) 0
x
x x
x
x x
x


 
 
    

 
   
 

 


Thể tích tròn xoay cần tính được cho bởi
1 1
2 3 2 3

0 0
ln(1 ) ln(1 )
V x x dx x x dx
 
   
 

Đặt
2
3
3
2
3
3
ln(1 )
1
1
3
x
du dx
u x
x
dv x dx
v x




 
 



 








1
1
5
3 3
3
0
0
1
.ln(1 ) ln 2
3 1
x
V x x dx I
x
     



+) Tính I
1 1 1

2 3
2 2
3 3
0 0 0
1 ( 1)
1 3 1
x d x
I x dx x dx
x x
 

   
 
 
 
  


1
3
3
0
1 1 1
ln 1 ln2.
3 2 3 2
x
x
 
    
 

 

Vậy
3 1
ln 2
2 3
V
 
(đvtt)
Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 trong các đường sau:
a)
3
3
y x x
 
và tiếp tuyến với đường cong tại điểm có hoành độ
1
2
x
 

b)
y x

sin
2
, 0, 0,
4
x y x x


  
14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Chuyên đề độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân
c)
1
ln , 0, ,
y x y x x e
e
   
d)
1 1
, (
( ) )
x
y e
y e x x
  
e)
2
4 , 2 0
y x x y
    
f)

2
2 2 , 2 2
y x y x x
     

g)
, 2 0, 0.
x y x y y
    

Bài 6: Tính thể tích của các vật thể tròn xoay tạo bởi các đường sau khi quay quanh Ox.
a)
4 4
sin os , 0, ,
2
y x c x y x x


    
b)
2 2 2
8, 2
x y y x
  

c)


3
ln 1 , 1, 0
y x x x y
   

d) y = xe

x
, y = 0, x =e.