ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
TP. HCM — 2013.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 1 / 23
Câu 1
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x
2
ln
2
x.
Tập xác định x > 0
y

= 2x. ln
2
x + x
2
.2.
1
x
ln x = 2x ln x(ln x + 1)
y

= 0 ⇔ ln x(ln x + 1) = 0 ⇔

x = e
−1
x = 1
y


= 2 ln
2
x + 2x.2.
1
x
ln x + 2 ln x + 2x.
1
x
= 2(ln
2
x +
3 ln x + 1) = 2

ln x −
−3 −
√
5
2

ln x −
−3 +
√
5
2

y

= 0 ⇔ x = exp


−3 +
√
5
2

∨ x = exp

−3 −
√
5
2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 2 / 23
Câu 1
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x
2
ln
2
x.
Tập xác định x > 0
y

= 2x. ln
2
x + x
2
.2.
1
x
ln x = 2x ln x(ln x + 1)

y

= 0 ⇔ ln x(ln x + 1) = 0 ⇔

x = e
−1
x = 1
y

= 2 ln
2
x + 2x.2.
1
x
ln x + 2 ln x + 2x.
1
x
= 2(ln
2
x +
3 ln x + 1) = 2

ln x −
−3 −
√
5
2

ln x −
−3 +

√
5
2

y

= 0 ⇔ x = exp

−3 +
√
5
2

∨ x = exp

−3 −
√
5
2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 2 / 23
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 3 / 23
Không có Tiệm cận đứng vì
lim
x→0
+
x
2
ln
2

x = lim
t→+∞,t=1/x
ln
2
t
t
2
= 0.
Không có Tiệm cận ngang vì
lim
x→+∞
x
2
ln
2
x = +∞.
Không có tiệm cận xiên vì lim
x→+∞
x
2
ln
2
x
x
= +∞.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 4 / 23
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 5 / 23
Câu 2
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
x + y = 2, (x − 1)(y + 2) = 2.

Phương trình hoành độ giao điểm của y = 2 − x
và y =
2
x − 1
− 2
2 − x =
2
x − 1
− 2 ⇔ (4 − x)(x −1) = 2
⇔ x
2
− 5x + 6 = 0 ⇔

x = 2
x = 3
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 6 / 23
Câu 2
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
x + y = 2, (x − 1)(y + 2) = 2.
Phương trình hoành độ giao điểm của y = 2 − x
và y =
2
x − 1
− 2
2 − x =
2
x − 1
− 2 ⇔ (4 − x)(x −1) = 2
⇔ x
2

− 5x + 6 = 0 ⇔

x = 2
x = 3
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 6 / 23
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 7 / 23
Diện tích hình phẳng cần tìm
S =

3
2

2 − x −
2
x − 1
+ 2

dx =
=

3
2

4 −x −
2
x − 1

dx
=


4x −
x
2
2
− 2 ln |x − 1|

3
2
=
3
2
− 2 ln 2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 8 / 23
Câu 3
Cho tích phân I =
+∞

1
dx
(x
m
+ 2)
√
x
2
− 1
. Tìm m
để tích phân I hội tụ và tính tích phân khi m = 2.
I vừa là tích phân suy rộng loại 1 vừa là tích phân
suy rộng loại 2. Do đó

I =
2

1
dx
(x
m
+ 2)
√
x
2
− 1
+
+∞

2
dx
(x
m
+ 2)
√
x
2
− 1
=
I
1
+ I
2
.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 9 / 23
Câu 3
Cho tích phân I =
+∞

1
dx
(x
m
+ 2)
√
x
2
− 1
. Tìm m
để tích phân I hội tụ và tính tích phân khi m = 2.
I vừa là tích phân suy rộng loại 1 vừa là tích phân
suy rộng loại 2. Do đó
I =
2

1
dx
(x
m
+ 2)
√
x
2
− 1

+
+∞

2
dx
(x
m
+ 2)
√
x
2
− 1
=
I
1
+ I
2
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 9 / 23
Khi x → 1
+
1
(x
m
+ 2)
√
x
2
− 1
∼

1
3
√
2(x − 1)
1/2
Do đó I
1
hội tụ.
Khi x → +∞ và m < 0
1
(x
m
+ 2)
√
x
2
− 1
∼
1
2x
Do đó I
2
phân kỳ.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 10 / 23
Khi x → +∞ và m = 0
1
(x
m
+ 2)
√

x
2
− 1
∼
1
3x
Do đó I
2
phân kỳ.
Khi x → +∞ và m > 0
1
(x
m
+ 2)
√
x
2
− 1
∼
1
x
m +1
I
2
hội tụ vì với m > 0 thì m + 1 > 1. Vậy I hội tụ
khi m > 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 11 / 23
Khi m = 2 thì I =
+∞


1
dx
(x
2
+ 2)
√
x
2
− 1
=
+∞

1
xdx
x
2
(x
2
+ 2)

1 −
1
x
2
. Đặt t =

1 −
1
x
2

⇒
x
2
=
1
1 − t
2
⇒ xdx =
tdt
(1 −t
2
)
2
,
x 1 +∞
t 0 1
.
I =

1
0
tdt
(1 − t
2
)
2
.
1
1 − t
2

.

1
1 −t
2
+ 2

.t
=
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 12 / 23
I =

1
0
dt
2(3/2 −t
2
)
=
1
2
.
1
2

3/2

ln







3/2 + t

3/2 −t






1
0
=
1
√
6
ln(
√
3+
√
2)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 13 / 23
Câu 4
Giải phương trình
1
y


√
y
−
2x
√
y
1 + x
2
=
4 arctan x
√
1 + x
2
2
y

+ 5y

− 14y =
(12x + 21) cos 2x −(64x + 81) sin 2x
1. Đây là phương trình Bernouli. Đặt
z =
√
y ⇒ z

=
y

2
√

y
. Phương trình đã cho tương
đương z

−
x
1 + x
2
.z =
2 arctan x
√
1 + x
2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 14 / 23
Câu 4
Giải phương trình
1
y

√
y
−
2x
√
y
1 + x
2
=
4 arctan x
√

1 + x
2
2
y

+ 5y

− 14y =
(12x + 21) cos 2x −(64x + 81) sin 2x
1. Đây là phương trình Bernouli. Đặt
z =
√
y ⇒ z

=
y

2
√
y
. Phương trình đã cho tương
đương z

−
x
1 + x
2
.z =
2 arctan x
√

1 + x
2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 14 / 23
Đây là phương trình tuyến tính cấp 1 với
P(x) = −
x
1 + x
2
, Q(x) =
2 arctan x
√
1 + x
2
. Nghiệm của
phương trình đã cho
z = e
−

P(x)dx
.


e

P(x)dx
.Q(x)dx + C

.
z = e


x
1+x
2
dx
.


e
−

x
1+x
2
dx
.
2 arctan x
√
1 + x
2
dx + C

.
= (1+x
2
)
1/2
.


(1 + x

2
)
−1/2
.
2 arctan x
√
1 + x
2
dx + C

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 15 / 23
=
√
x
2
+ 1.


2 arctan x
1 + x
2
dx + C

z =
√
x
2
+ 1.

(arctan x)

2
+ C

y = z
2
= (x
2
+ 1).

(arctan x)
2
+ C

2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 16 / 23
2. Giải phương trình y

+ 5y

− 14y =
(12x + 21) cos 2x −(64x + 81) sin 2x
Phương trình thuần nhất y

+ 5y

− 14y = 0.
Phương trình đặc trưng
k
2
+ 5k −14 = 0 ⇔ k

1
= −7, k
2
= 2.
Nghiệm thuần nhất y
tn
= C
1
e
−7x
+ C
2
e
2x
Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất
có dạng
y
r
= x
s
.e
0x
[(Ax + B) cos 2x + (Cx + D) sin 2x].
Vì 0 + 2i không là nghiệm của phương trình đặc
trưng nên s = 0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 17 / 23
−14 y
r
= (Ax + B) cos 2x + ( Cx + D) sin 2x
5 y


r
= A cos 2x + (Ax + B)(−2 sin 2x)+
+ C sin 2x + (Cx + D)(2 cos 2x)
1 y

r
= −4A sin 2x + (Ax + B)(−4 cos 2x)+
+ 4C cos 2x + (Cx + D)(−4 sin 2x)
y

r
+5y

r
−14y
r
= (−18A + 10C )x cos 2x+
+ (−10A −18C )x sin 2x
+ (−18B + 10D + 5A + 4C ) cos 2x
+ (−10B + 18D −4A + 5C ) sin 2x
⇒







−18A + 10C = 12

−10A −18C = −64
−18B + 10D + 5A + 4C = 21
−10B + 18D −4A + 5C = −81
⇒







A = 1
B = 2
C = 3
D = 4
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã cho
y
tq
= y
tn
+ y
r
= C
1
e
−7x
+ C
2
e
2x

+ (x + 2) cos 2x + (3x + 4) sin 2x.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 18 / 23
Câu 5
Giải hệ phương trình



x

(t) = x −3y + z
y

(t) = 3x − 3y −z
z

(t) = 3x − 5y + z
Phương trình đặc trưng của hệ






1 − λ −3 1
3 −3 − λ −1
3 −5 1 − λ







= 0 ⇔ −λ
3
− λ
2
+ 4λ + 4 = 0
⇔ λ
1
= −2, λ
2
= −1, λ
3
= 2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 19 / 23
Câu 5
Giải hệ phương trình



x

(t) = x −3y + z
y

(t) = 3x − 3y −z
z

(t) = 3x − 5y + z
Phương trình đặc trưng của hệ







1 − λ −3 1
3 −3 − λ −1
3 −5 1 − λ






= 0 ⇔ −λ
3
− λ
2
+ 4λ + 4 = 0
⇔ λ
1
= −2, λ
2
= −1, λ
3
= 2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 19 / 23
Ứng với λ
1

= −2 ta xét hệ



3p
1
− 3p
2
+ p
3
= 0
3p
1
− p
2
− p
3
= 0
3p
1
− 5p
2
+ 3p
3
= 0
⇒ P
1
=



2
3
3


Ứng với λ
2
= −1 ta xét hệ



2p
1
− 3p
2
+ p
3
= 0
3p
1
− 2p
2
− p
3
= 0
3p
1
− 5p
2
+ 2p

3
= 0
⇒ P
2
=


1
1
1


TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 20 / 23