ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 -2

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
TP. HCM — 2013.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 1 / 24
Câu 1
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =
3
√
x
3
− 2x
2
.
Tập xác định D = R
y

=
3x
2
− 4x
3.
3

(x
3
− 2x
2
)
2

=
3x − 4
3.
3

x(x − 2)
2
y

= 0 ⇔ 3x − 4 = 0 ⇔ x =
4
3
.
y

= −
8
9
3

x
2
(x − 2)
5
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 2 / 24
Câu 1
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =
3
√
x

3
− 2x
2
.
Tập xác định D = R
y

=
3x
2
− 4x
3.
3

(x
3
− 2x
2
)
2
=
3x − 4
3.
3

x(x − 2)
2
y

= 0 ⇔ 3x − 4 = 0 ⇔ x =

4
3
.
y

= −
8
9
3

x
2
(x − 2)
5
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 2 / 24
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 3 / 24
Tiệm cận đứng: không có vì D = R
Tiệm cận ngang: không có vì
lim
x→∞
3
√
x
3
− 2x
2
= ∞
Tiệm cận xiên: có dạng y = ax + b trong đó
a = lim
x→∞

3
√
x
3
− 2x
2
x
= 1,
b = lim
x→∞
(
3
√
x
3
− 2x
2
− x) =
lim
x→∞
x


1 −
2
x

1/3
− 1


= lim
x→∞
x

−
2
3x

=
−
2
3
. Vậy tiệm cận xiên là y = x −
2
3
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 4 / 24
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 5 / 24
Câu 2
Tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi cung
y = e
−x
2
, 0  x  +∞ quay quanh trục Ox.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 6 / 24
Câu 2
Tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi cung
y = e
−x
2

, 0  x  +∞ quay quanh trục Ox.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 6 / 24
S
x
= 2π

b
a
|f (x)|

1 + f
2
(x)dx
S
x
= 2π
∞

0
e
−
x
2

1 +
e
−x
4
dx. Đặt
t = e

−
x
2
⇒ dt = −
1
2
e
−
x
2
dx.
x 0 +∞
t 1 0
⇒ S
x
= 2π
1

0
√
t
2
+ 4dt =
= π(t
√
t
2
+ 4 + 4 ln(t +
√
t

2
+ 4))



1
0
=
= π

√
5 + 4 ln

1 +
√
5
2

.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 7 / 24
Câu 3
Tìm α để tích phân sau hội tụ
I =
1
2

0
dx
x
α

.
√
1 − 4x
2
. Tính tích phân khi α = −2.
I =
1
4

0
dx
x
α
.
√
1 − 4x
2
+
1
2

1
4
dx
x
α
.
√
1 − 4x
2

= I
1
+ I
2
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 8 / 24
Câu 3
Tìm α để tích phân sau hội tụ
I =
1
2

0
dx
x
α
.
√
1 − 4x
2
. Tính tích phân khi α = −2.
I =
1
4

0
dx
x
α
.

√
1 − 4x
2
+
1
2

1
4
dx
x
α
.
√
1 − 4x
2
= I
1
+ I
2
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 8 / 24
Trường hợp 1: Nếu α < 0 thì I
1
là tích phân
xác định còn I
2
là tích phân suy rộng loại 2
1
x

α
.
√
1 − 4x
2
x→
1
2
−
∼
1
2
−α+1
.(
1
2
− x)
1
2
Do đó, I
2
hội tụ. Vậy I hội tụ.
Trường hợp 2: Nếu α = 0 thì I
1
là tích phân xác
định còn I
2
là tích phân suy rộng loại 2
1
√

1 − 4x
2
x→
1
2
−
∼
1
(
1
2
− x)
1
2
Do đó, I
2
hội tụ. Vậy I hội tụ.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 9 / 24
Trường hợp 1: Nếu α < 0 thì I
1
là tích phân
xác định còn I
2
là tích phân suy rộng loại 2
1
x
α
.
√
1 − 4x

2
x→
1
2
−
∼
1
2
−α+1
.(
1
2
− x)
1
2
Do đó, I
2
hội tụ. Vậy I hội tụ.
Trường hợp 2: Nếu α = 0 thì I
1
là tích phân xác
định còn I
2
là tích phân suy rộng loại 2
1
√
1 − 4x
2
x→
1

2
−
∼
1
(
1
2
− x)
1
2
Do đó, I
2
hội tụ. Vậy I hội tụ.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 9 / 24
Trường hợp 3: Nếu α > 0 thì I
1
và I
2
là những
tích phân suy rộng loại 2.
1
x
α
.
√
1 − 4x
2
x→0
+
∼

1
x
α
1
x
α
.
√
1 − 4x
2
x→
1
2
−
∼
1
2
−α+1
.(
1
2
− x)
1
2
I
2
hội tụ nên để I hội tụ thì I
1
hội tụ, có nghĩa là
α < 1.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 10 / 24
Khi α = −2, ta có I =
1
2

0
x
2
√
1 − 4x
2
.dx.
Đổi biến x =
1
2
sin t ⇒ dx =
1
2
cos tdt.
x 0
1
2
t 0
π
2
⇒ I =
π
2

0

1
8
sin
2
tdt =
π
32
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 11 / 24
Câu 4
Giải phương trình
1
y

=

2x + y
x

2
, y(1) = 2.
2
y

− 2y

+ 2y = e
2x
(3 cos x − sin x)
1. Đây là phương trình đẳng cấp cấp 1. Đặt

z =
y
x
⇒ y = x.z ⇒ y

= z + x.z

. Đưa phương
trình đã cho về phương trình
dz
z
2
+ 3z + 4
=
dx
x
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 12 / 24
Câu 4
Giải phương trình
1
y

=

2x + y
x

2
, y(1) = 2.
2

y

− 2y

+ 2y = e
2x
(3 cos x − sin x)
1. Đây là phương trình đẳng cấp cấp 1. Đặt
z =
y
x
⇒ y = x.z ⇒ y

= z + x.z

. Đưa phương
trình đã cho về phương trình
dz
z
2
+ 3z + 4
=
dx
x
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 12 / 24
⇒ ln |x| −
2
√
7
arctan

2
y
x
+ 3
√
7
= C .
Từ điều kiện y(1) = 2 ⇒ C = −
2
√
7
arctan
√
7.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 13 / 24
2. Giải phương trình
y

− 2y

+ 2y = e
2x
(3 cos x − sin x)
Phương trình thuần nhất y

− 2y

+ 2y = 0
Phương trình đặc trưng
k

2
− 2k + 2 = 0 ⇔ k
1
= 1 + i, k
2
= 1 − i.
Nghiệm thuần nhất y
tn
= e
x
(C
1
cos x + C
2
sin x).
Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất
y

− 2y

+ 2y = e
2x
(3 cos x − sin x) có dạng
y
r
= x
s
.e
2x
(A cos x + B sin x). Vì 2 + i không là

nghiệm của phương trình đặc trưng nên s = 0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 14 / 24
2 y
r
= e
2x
(A cos x + B sin x)
−2 y

r
= e
2x
[(2A + B) cos x + (2B −A) sin x]
1 y

r
= e
2x
[(3A + 4B) cos x + (3B −4A) sin x]
⇒ y

r
− 2y

r
+ 2y
r
= e
2x
[(A + 2B) cos x + (B −

2A) sin x] = e
2x
(3 cos x − sin x)
⇒

A + 2B = 3
−2A + B = −1
⇒

A = 1
B = 1
Nghiệm riêng y
r
= e
2x
(cos x + sin x).
Nghiệm tổng quát
y = e
x
(C
1
cos x + C
2
sin x) + e
2x
(cos x + sin x).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 15 / 24
Câu 5. Cách 1. Phương pháp khử 1
Giải hệ phương trình


x

= x + 2y + e
t
(1)
y

= −x + 3y (2)
Từ (2) ta có x = 3y − y

⇒ x

= 3y

− y

. Thay
x, x

vào phương trình (1) ta được
y

− 4y

+ 5y = −e
t
.
Phương trình đặc trưng k
2
− 4k + 5 = 0. Nghiệm

thuần nhất y
tn
= e
2t
(C
1
cos t + C
2
sin t).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 16 / 24
Câu 5. Cách 1. Phương pháp khử 1
Giải hệ phương trình

x

= x + 2y + e
t
(1)
y

= −x + 3y (2)
Từ (2) ta có x = 3y − y

⇒ x

= 3y

− y

. Thay

x, x

vào phương trình (1) ta được
y

− 4y

+ 5y = −e
t
.
Phương trình đặc trưng k
2
− 4k + 5 = 0. Nghiệm
thuần nhất y
tn
= e
2t
(C
1
cos t + C
2
sin t).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 16 / 24
Nghiệm riêng y
r
= −
1
2
e
t

.
Nghiệm tổng quát
y(t) = e
2t
(C
1
cos t + C
2
sin t) −
1
2
e
t
,
x(t) = e
2t
[(C
1
− C
2
) cos t + (C
1
+ C
2
) sin t] −e
t
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 17 / 24
Phương pháp khử 2
y =

1
2
(x

− x − e
t
). Thế vào phương trình thứ hai
ta được x

− 4x

+ 5x = −2e
t
.
Phương trình đặc trưng k
2
− 4k + 5 = 0. Nghiệm
thuần nhất x
tn
= e
2t
(C
1
cos t + C
2
sin t).
Nghiệm riêng x
r
= −e
t

. Nghiệm tổng quát
x(t) = e
2t
(C
1
cos t + C
2
sin t) −e
t
,
y(t) =
1
2
e
2t
[(C
1
+C
2
) cos t +(C
2
−C
1
) sin t]−
1
2
e
t
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 18 / 24

Cách 2. Phương pháp biến thiên hằng số
Hệ thuần nhất tương ứng là

x

= x + 2y
y

= −x + 3y
Phương trình đặc trưng của hệ thuần nhất




1 − λ 2
−1 3 − λ




= 0 ⇔ λ
2
− 4λ + 5 = 0
⇔ λ
1
= 2 − i, λ
2
= 2 + i.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 19 / 24