Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC
TỔ TOÁN - TIN
CHUYÊN ĐỀ
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Trần Anh Tuấn
Vĩnh Phúc, Năm 2009-2010
Mục lục
1 Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số 2
1.1 Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Ví dụ và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Cực đại và cực tiểu 3
2.1 Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Ví dụ và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 6
3.1 Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Ví dụ và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị 11
4.1 Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 Ví dụ và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 Tiệm cận 12
5.1 Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.1.1 Một số chú ý về giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.2 Ví dụ và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6 Đồ thị của hàm số mang dấu giá trị tuyệt đối 13
6.1 Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6.2 Ví dụ và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7 Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số 15
7.1 Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
7.2 Ví dụ và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8 Khoảng cách 20

9 Họ đường cong 20
10 Tâm đối xứng. Trục đối xứng của đồ thị hàm số. 21
10.1 Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10.2 Ví dụ và bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
11 Phần các đề luyện tập 22
1
2
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
1 Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
1.1 Tóm tắt lí thuyết
1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.1 Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; b). Ta nói:
- Hàm số y = f(x) đồng biế n (tăng) trên khoảng (a; b) nếu với mọi x
1
, x
2
∈ (a; b) mà
x
1
< x
2
thì f(x
1
) < f(x
2
).
- Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a; b) nếu với mọi x
1
, x
2

∈ (a; b) mà
x
1
< x
2
thì f(x
1
) > f(x
2
).
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng được gọi là đơn điệu trên khoảng đó.
2. Điều kiện đủ của tính đơn điệu
Định lý 1.1 (Định lí Lagrange) Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b] và có
đạo hàm trên khoảng (a; b) thì tồn tại một điểm c ∈ (a; b) sao cho
f(b) − f(a) = f

(c)(b − a) hay f

(c) =
f(b) − f(a)
b −a
Định lý 1.2 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng (a; b).
a) Nếu f

(x) > 0 ∀x ∈ (a; b) thì hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng đó.
b) Nếu f

(x) < 0 ∀x ∈ (a; b) thì hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng đó.
Định lý 1.3 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b). Nếu f


(x) ≥ 0 hoặc
f

(x) ≤ 0) ∀x ∈ (a; b), và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a; b)
thì hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến ) trên khoảng đó.
Chú ý 1 Trong các hàm số sơ cấp được học (ngoại trừ hàm hằng), ta có kết quả sau:
- y = f(x) là hàm số đồng biến trên (a; b) ⇐⇒ f

(x) ≥ 0 ∀x ∈ (a; b)
- y = f(x) là hàm số nghịch biến trên (a; b) ⇐⇒ f

(x) ≤ 0 ∀x ∈ (a; b)
* Các bước xét tính đơn điệu của hàm số:
- Tìm các đi ểm tới hạn
- Xác định dấu của đạo hàm trong các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn.
- Lập bảng biế n thiên, từ đó suy ra chiều biến thiên của hàm số.
3. Nhắc lại định lí dấu tam thức bậc hai
1
1.2 Ví dụ và bài tập
 1.1 Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
1
Phải nhắc lại định lí thuận và định lí đảo
Trần Anh Tuấn
3
a) y = 4x
3
− 3x + 1
b) y =
3
4

x
4
+ x
3
− 3x
2
+ 1
c) y =
x + 1
x −1
d) y =
x
2
+ 3x + 3
x + 1
e) y =
x
4
+ 2x
2
− 3
x
2
f) y = x
4
− 3x
2
+ 15
 1.2 Cho hàm số y = −
1

3
x
3
+ (m − 1)x
2
+ (m + 3)x − 4. Tìm m để hàm số tăng trên
(0; 3)
 1.3 Cho hàm số y = 2 x
2
+ 2mx + m −1. Tìm m để hàm số tăng trên (−1; +∞)
 1.4 Cho hàm số y = x
3
−3mx
2
+ 3(2m −1)x + 1. Tìm m để hàm số tăng trên tập xác
định
 1.5 Cho hàm số y =
mx
2
+ 6x −2
x + 2
. Tìm m để hàm số giảm trên (1; +∞)
 1.6 Cho hàm số y =
1
3
mx
3
− (m −1)x
2
+ 3(m −2)x +

1
3
. Tìm m để hàm số tăng trên
(2; +∞)
 1.7 Cho hàm số y =
2x
2
+ (1 −m)x + 1 + m
x −m
. Tìm m để hàm số tăng trên (1; +∞)
 1.8 Cho hàm số y =
1
3
x
3
+ mx
2
− mx + 1. Tìm m để hàm số:
a) Tăng trên tập xác định
b) Tăng trên (−∞; 0)
 1.9 Cho hàm số y =
x
2
+ mx −5
3 − x
. Tìm m để hàm số:
a) Giảm trên tập xác định b) Giảm trên (−1; 0) c) Tăng trên (−2; 2)
2 Cực đại và cực tiể u
2.1 Tóm tắt lí thuyết
1. Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Định lý 2.1 (Định lí Fermat) Nếu hàm số y = f(x) có đạo h àm tại x
0
và đạt cực trị
tại điểm đó thì f

(x
0
) = 0.
2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Định lý 2.2 (Dấu hiệu I) Giả sử hàm số y = f(x) có đạo h àm trên một lân cận của
điểm x
0
(có thể trừ điểm x
0
).
i) Nếu f

(x) > 0 trên khoảng (x
0
−δ; x
0
); f

(x) < 0 trên khoảng (x
0
; x
0
+ δ) thì x
0
là một

điểm cực đại của hàm số y = f (x).
ii) Nếu f

(x) < 0 trên khoảng (x
0
−δ; x
0
); f

(x) > 0 trên khoảng (x
0
; x
0
+ δ) thì x
0
là một
điểm cực tiểu của hàm số y = f(x)
Trần Anh Tuấn
2.2 Ví dụ và bài tập 4
Nói một cách vắn tắt: Nếu khi đi qua x
0
, đạo hàm đổi dấu thì x
0
là một điểm cực trị. Và
nếu đổi dấu từ + sang - thì x
0
là điểm cực đại còn nếu đổi dấu từ - sang + thì x
0
là điểm
cực tiểu.

Quy tắc I
- Tìm f

(x)
- Tìm các điểm tới hạn
- Xét dấu đạo hàm
- Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Định lý 2.3 (Dấu hiệu II) Giả sử y = f (x) có đạo hàm tới cấp hai liên tục tại x
0
và
f

(x
0
) = 0, f

(x
0
) = 0 thì x
0
là một điể m cực trị hàm số, hơn nữa:
- Nếu f

(x
0
) > 0 thì x
0
là điểm cực tiểu.
- Nếu f


(x
0
) < 0 thì x
0
là điểm cực đại.
Quy tắc II
- Tìm f

(x). Giải phương trình f

(x) = 0. Gọi x
i
là các nghiệm
- Tính f

(x)
- Từ dấu của f

(x
i
) suy ra các điểm cực trị.
Chú ý 2 - Nếu f

(x
0
) = f

(x
0
) = 0 thì không thể khẳng định được x

0
có là điểm cực trị
hay không.
- Chúng ta dùng dấu hiệu I trong trường hợp tổng quát, còn dấu hiệu II chỉ dùng khi gặp
các hàm số dễ tính đạo hàm (như hàm đa thức, hàm lượng giác).
2.2 Ví dụ và bài tập
 2.1 Tìm cực trị của các hàm số:
a) y = 2x
2
− x
4
b) y =
x
2
− x + 1
x
2
+ x + 1
c) y = x +
√
3x
2
+ 6
d) y =
x
ln x
e) y = e
x
sin x f) y =
5

√
x
4
 2.2 Xác định m để hàm số y =
x
2
+ mx + 1
x + m
đạt cực đại tại x = 2.
 2.3 Chứng minh rằng hàm số y =
x
2
+ 2x + m
x
2
+ 2
luôn có một cực đại và một cực tiểu.
 2.4 Tìm a và b để các cực trị của hàm số y =
5
3
a
2
x
3
+ 2ax
2
− 9x + b đều là những số
dương và x
0
= −

5
9
là điểm cực đại.
 2.5 Cho hàm số y = x
3
−3mx
2
+ 3(m
2
−1)x −(m
2
−1). Tìm m để hàm số đạt cực đại
tại x = 1.
 2.6 Cho hàm số y = a sin x +
1
3
sin 3x. Tìm a để hàm số đạt cực trị tại x =
π
3
.
 2.7 Tìm m để hàm số dưới đây đạt cực đại và cực tiểu
Trần Anh Tuấn
2.2 Ví dụ và bài tập 5
a) y =
1
3
x
3
+ mx
2

+ (m + 6)x −1
b) y =
x
2
− 2x + m
4 − x
 2.8 Cho hàm số y =
x
2
+ mx + 1
x + m
. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 2.
 2.9 Cho hàm số y = x
3
−(m −3)x
2
+ (4m −1)x −m. Tìm m để hàm số đạt cực trị t ạ i
các điểm x
1
, x
2
thoả mãn điều kiện x
1
< −2 < x
2
.
 2.10 Cho hàm số y =
x
2
− x + m

x + 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2
b) Tìm m để hàm số có hai cực trị.
c) Tìm m để hàm số có hai giá trị cực trị cùng dấu.
 2.11 Cho hàm số y =
x
2
+ (m + 1)x + 1 − m
x − m
. Tìm m để hàm số có:
a) Một cực đại và một cực tiểu.
b) Hai cực trị và các giá trị cực trị trái dấu.
c) Cực tiểu có hoành độ nhỏ hơn 1.
 2.12 Cho hàm số y =
mx + 1
1 − x
2
. Tìm m để hàm số có hai cực trị. Trong trường hợp đó
chứng minh rằng các điểm cực trị của đồ thị ở cùng một phía đối với trục hoành.
 2.13 Cho hàm số y =
mx
2
− 2x + m
x
2
− x
. Tìm m để hàm số:
a) Tăng trên từng khoảng xác định.
b) Chỉ có một cực trị.
c) Đạt cực đại và cực tiểu tại các điểm có hoành độ dương.

 2.14 Tìm m để hàm số
y = −x
3
+ 3(m + 1)x
2
− (3m
2
+ 7m −1)x + m
2
− 1
đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ nhỏ hơn 1.
 2.15 Tìm m để hàm số sau có ba cực trị
y = x
4
+ 4mx
3
+ 3(m + 1)x
2
+ 1
 2.16 Cho hàm số
y = x
4
+ 8mx
3
+ 3(1 + 2m)x
2
− 4
Tìm m để hàm số có một cực tiểu mà không có cực đại.
Trần Anh Tuấn
6

3 Giá trị lớ n nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
3.1 Tóm tắt lí thuyết
1. Phương pháp bất đẳng thức
2
2. Phương pháp hàm số
Phương pháp hàm số thường sử dụng khi gặ p bài toán tìm GTLN, GTNN hoặc chứng
minh BĐT chỉ có một tham số. Khi đó chúng ta thường tìm điều kiện chặt của tham số.
Xét hàm số y = f(x) trên tập X ⊂ D. Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm số trên X, ta làm như sau:
a. Phương pháp chung:
- Lập bảng biến thiên của hàm số trên X
- Dựa và bảng biến thiên (chú ý đến sự thay đổi giá trị của hàm số trên X), ta tìm được
các giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số trên X.
b. Trường hợp đặc biệt:
Khi X = [a; b], ta có thể làm như sau:
- Giải HPT

y

= 0 hoặc y

không xác định
x ∈ (a; b)
, giả sử các nghiệm là x
1
, x
2
, , x
n
- Tính f(x

1
), f(x
2
), , f(x
n
) và f (a), f(b).
- Số lớn nhất trong các số trên là giá trị lớn nhất.
- Số nhỏ nhất trong các số trên là giá trị nhỏ nhất.
Chú ý 3 Trong trường hợp hàm số có chu kì c húng ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN trên
một đoạn có độ dài bằng chu kì.
3. Phương pháp sự biến thiên để giải và biện luận phương trình có tham số
Phương pháp chung để giải và biện luận phương trình có tham số bằng PP sự biến
thiên là:
Bước 1
: Đặt ẩn phụ (nếu cần) t = u(x), đặt điều kiện chặt cho t.
Bước 2: Từ giả thiết bài toán biến đổi về một trong các dạng sau:
f(t) = g(m); f(t) ≥ g( m); f (t) ≤ g(m);
f(t) > g(m); f(t) < g(m)
Tức là biến đổi để cô lập m về một vế, còn vế kia độc lập với m.
Bước 3
: Lập bảng biến thiên của hàm số f(t) trên miền giá trị của t đã tìm được sau bước
1.
Bước 4
: Từ bảng biến thiên suy ra miền giá trị của f (t). Sử dụng các kết quả bảng biến
thiên, để tìm ra kết luận của bài toán.
Chú ý 4 Điều kiện chặt cho t có nghĩa là tìm các giá trị của t để p h ươn g trình t = u(x)
có nghiệm.
Giả sử f(x) là một hàm liên tục trên miền D và giả thiết rằng tồn tại các giá trị lớn
nhât, nhỏ nhất của f(x), xét trên miền D (kí hiệu là: max
x∈D

f(x), min
x∈D
f(x)). Khi đó ta có
các định lí sau:
2
Làm kĩ về cá ch chứng minh BĐT nhờ BĐT Cauchy
Trần Anh Tuấn
3.1 Tóm tắt lí thuyết 7
Định lý 3.1 Giả sử D = [a; b].
Nếu như f( a).f (b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (a; b).
Định lý 3.2 Phương trình f (x) = m có nghiệm khi và chỉ khi:
min
x∈D
f(x) ≤ m ≤ max
x∈D
f(x).
Chứng minh. =⇒ Giả sử phương trình đã cho có nghiệm x
0
∈ D =⇒ f (x
0
) = m.
Ta có:
min
x∈D
f(x) ≤ f (x
0
) ≤ max
x∈D
f(x).
hay:

min
x∈D
f(x) ≤ m ≤ max
x∈D
f(x).
⇐= Giả sử min
x∈D
f(x) ≤ m ≤ max
x∈D
f(x).
Do f(x) liên tục nên nó nhận mọi giá trị từ min
x∈D
f(x) tới max
x∈D
f(x) do đó nó nhận g iá trị m,
tức là ∃x
0
∈ D sao cho f(x
0
) = m. Điều này có nghĩa là phương trình f (x) = m, x ∈ D
có nghiệm.
Định lý 3.3 a) Bất phương trình f(x) ≥ m, x ∈ D có nghiệm khi và chỉ khi: max
x∈D
f(x) ≥
m.
b) Bất phương trình f (x) ≥ m đúng ∀x ∈ D khi và chỉ khi min
x∈D
f(x) ≥ m.
Chứng minh. a)
=⇒/ Giả sử bất phương trình f (x) ≥ m, x ∈ D có nghiệm =⇒ ∃x

0
∈ D sao cho
f(x
0
) ≥ m.
Rõ ràng:
max
x∈D
f(x) ≥ f(x
0
) ≥ m.
⇐=/ Giả sử max
x∈D
f(x) ≥ m.
Phản chứng rằng bất phương trình đã cho vô nghiệm, tức là f (x) < m, ∀x ∈ D =⇒
max
x∈D
f(x) < m điều này mâu thuẫn với giả thiết.Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
b) Chứng minh tương tự như phần a).
Định lý 3.4 a) Bấ t phương trình f (x) ≤ m, x ∈ D có nghiệm khi và chỉ khi: min
x∈D
f(x) ≤
m.
b) Bất phương trình f (x) ≤ m đúng ∀x ∈ D khi và chỉ khi max
x∈D
f(x) ≤ m.
Định lý 3.5 Cho phương trình f (x) = g(x) với x ∈ D.
Giả sử trên miền D hàm f(x) luôn đồng biến, còn hàm g(x) luôn nghịch biến. Khi đó nếu
phương trình trên có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
Trần Anh Tuấn

3.2 Ví dụ và bài tập 8
Định lý 3.6 Xét bất phương trình f (x) ≤ g(x) trên miền D. Nếu max
x∈D
f(x) ≤ min
x∈D
g(x)
thì bất phương trình trên thoả mãn ∀x ∈ D.
Chú ý: max
x∈D
f(x) ≤ min
x∈D
g(x) chỉ là điều kiện đủ để f (x) ≤ g(x), x ∈ D chứ không phải
là điều kiện cần và đủ.
Giả sử
D = [a; b], α, β ∈ R, α < β.
max
x∈[a;b]
f(x) = β > α = min
x∈[a;b]
g(x)
Nhưng f(x) < g(x), ∀x ∈ D.
3.2 Ví dụ và bài tập
 3.1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) y = f(x) =
x
2
+ x + 1
x
(x>0)
b) y = f(x) = 1 + 4x − x

2
c) y = f(x) = x
4
− 2x
2
+ 5 (x ∈ [−2; 3])
d) y = f(x) =
√
x − 2 +
√
4 − x
e) y = f(x) =
2x
2
+ 4x + 5
x
2
+ 1
f) y = sin
5
x +
√
3 cos x
 3.2 Tìm x để hàm số sau đạt giá trị nhỏ nhất y = f(x) = lg
2
x +
1
lg
2
x + 2

 3.3 Giả sử x, y là hai số dương thoả mãn điều kiện x + y =
5
4
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức S =
4
x
+
1
4y
 3.4 Cho x, y, z là các số dương thoả mãn
1
x
+
1
y
+
1
z
= 4
Tìm GTLN của
1
2x + y + z
+
1
x + 2y + z
+
1
x + y + 2z
 3.5 Cho x, y, z > 0 thoả mãn xyz = 1 Tìm GTNN của


1 + x
3
+ y
3
xy
+

1 + y
3
+ z
3
yz
+
√
1 + z
3
+ x
3
zx
 3.6 Tìm GTLN, GTNN của y =
ln
2
x
x
, x ∈ [1; e
3
].
 3.7 Tìm m để phương trình sau có nghiệm
m(

√
1 + x
2
−
√
1 − x
2
+ 2) = 2
√
1 − x
4
+
√
1 + x
2
−
√
1 − x
2
Trần Anh Tuấn
3.2 Ví dụ và bài tập 9
 3.8 Cho phương trình:
log
2
3
x +

log
2
3

x + 1 − 2m −1 = 0
a) Giải phương trình khi m = 2
b) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 3
√
3
]
 3.9 Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN
x
x + 1
+
y
y + 1
+
z
z + 1
 3.10 Với giá trị nào của m bất phương trình sau đúng ∀x ∈ [−5; 1]
4
√
5−4x−x
2
+ 2
1+
√
5−4x−x
2
≤ m
 3.11 Cho phương trình 9
x
− m3
x

+ 2m = 0
a) Giải phương trình với m = −1
b) Tìm m để phương trình trên có nghiệm.
 3.12 Tìm GTLN, GTNN của hàm số
y =
√
1 + sin x +
√
1 + cos x
 3.13 Cho phương trình
cos
6
x + sin
6
x
cos
2
x −sin
2
x
= m tan 2x
a) Giải phương trình khi m =
13
8
b) Tìm m để phương trình vô nghiệm.
 3.14 Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm thuộc (0; 1)
4(log
2
√
x)

2
− log
1
2
x + m = 0
 3.15 Tìm GTLN, GTNN của hàm số
y = x
6
+ 4(1 −x
2
)
3
x ∈ [−1; 1]
 3.16 Tìm m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [0;
π
2
]
2(sin
4
x + cos
4
x) + cos 4x + 2 sin 2x + m = 0
 3.17 Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Tìm GTNN
(a +
1
a
)(b +
1
b
)(c +

1
c
)
 3.18 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:
4
x
− m.2
x
− m + 3 ≤ 0
Trần Anh Tuấn
3.2 Ví dụ và bài tập 10
 3.19 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
a)
3
sin
2
x
+ 3 tan
2
x + m(cot x + tan x) − 1 = 0
b) 5x
2
− (x + 1)
2
=
m + 2
2x
2
− x + 1
c) (

1 + x
√
x
)
2
+ 2m(
1 + x
√
x
) + 1 = 0
d)
4x
2
1 + 2x
2
+ x
4
+
2mx
1 + x
2
+ 1 −m
2
= 0
e) x
6
+ 3x
5
+ (6 −m)x
4

+ (7 −2m)x
3
+ (6 −m)x
2
+ 3x + 1 = 0
f)
√
x
2
+ x + 1 −
√
x
2
− x + 1 = m
g)

2x
2
− 2(m + 4)x + 5m + 10 + 3 − x = 0
h)
√
3 + x +
√
6 − x −

(3 + x)(6 − x) = m
i)
√
x −1 +
√

5 − x = m
j) (x − 3)(x + 1) + 4(x −3 )

x + 1
x −3
= 3m − m
2
 3.20 Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm x ∈ [−
π
2
;
π
2
]
2 + 2 sin 2x = m(1 + cos x)
2
 3.21 Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau đúng ∀x ∈ [0;
π
2
]:
sin 3x + m. sin 2x + 3. sin x ≥ 0
 3.22 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:

x
5
− (x − 3)
5
= m
0 ≤ x ≤ 3
 3.23 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:


√
x + 1 +
√
y + 2 = m
x + y = 3m
 3.24 Tìm m để các hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
a)







(4 − 6m). sin
3
x + 3(2m − 1) sin x
+2(m − 2) sin
2
x cos x − (4m −3) cos x = 0
0 ≤ x ≤
π
4
b)






2x
2
= y +
m
2
y
2y
2
= x +
m
2
x
Trần Anh Tuấn
11
 3.25 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x < 0:
x
4
+ x
3
+ mx
2
+ 2x + 4 < 0
 3.26 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:
√
x + 1 −
√
4 − x ≥ m
 3.27 Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x : 3 cos
4
x − 5 cos 3x − 36 sin

2
x −
15 cos x + 36 + 24m −12m
2
≥ 0
 3.28 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi |x| ≥ 2:
x
4
− 5x
2
+ x + 4 − m ≥ 0
 3.29 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm trên [1; 2]:
4
2x−x
2
+ 2
2x−x
2
+1
+ 2m −3 ≥ 0
4 Tính l ồ i lõm và điểm uốn của đồ thị
4.1 Tóm tắt lí thuyết
Định lý 4.1 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng (a; b).
i) Nếu f

(x) < 0; ∀x ∈ (a; b) thì đồ thị hàm số trên là lồi trên khoảng đó.
ii) Nếu f

(x) > 0; ∀x ∈ (a; b) thì đồ thị hàm số trên là lõm trên khoảng đó.
Định lý 4.2 Cho hàm số y = f (x) liên tục trên một lân cận nào đó của điểm x

0
và có
đạo hàm tới cấp hai trong lân cận đó. Nếu đạo hàm cấp hai đổi dấu khi x đi qua x
0
thì
điểm U(x
0
; f(x
0
)) là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho.
Chú ý 5 Cho hàm số y = f (x) liên tục trên một lân cận nào đó của điểm x
0
và có đạo
hàm tới cấp hai trong lân cận đó. Nếu x
0
là hoành độ của điểm uốn thì f

(x
0
) = 0, ngược
lại thì không đúng.
4.2 Ví dụ và bài tập
 4.1 Tìm khoảng lõm, lồi và điểm uốn của đồ thị các hàm số sau:
a) y = 2x
3
− 6x
2
+ 2x
b) y =
1

2
x
4
− 3x
2
+
5
2
c) y =
x
2
− x + 4
x
d) y = ln x
 4.2 Tìm a để đồ thị hàm số y = x
4
− ax
2
+ 3
a) Có hai điểm uốn.
b) Không có điểm uốn.
 4.3 Chứng minh rằng đường cong y =
x + 1
x
2
+ 1
có ba điểm uốn cùng nằm trên một đường
thẳng.
Trần Anh Tuấn
12

 4.4 Tìm m để y = −
x
3
m
+ 3mx
2
− 2 nhận I(1; 0) làm điểm uốn.
 4.5 Tìm a, b để y = ax
3
+ bx
2
+ x −4 nhận J(2; −6) làm điểm uốn.
 4.6 Tìm a, b, c, d để y = x
4
+ ax
3
+ bx
2
+ cx + d có hai điểm uốn là U
1
(1; 1), U
2
(3; −7).
 4.7 Cho hàm số y = x(x − a)(x − b) với a < 0 < b. Tìm a, b để điểm uốn của đồ thị
nằm trên đường cong y = x
3
 4.8 Tìm m để đồ thị hàm số y = x
4
+ 8mx
3

+ 3(2m + 1)x
2
−1 có hai điểm uốn có hoành
độ thoả mãn bất phương trình
x
2
− 2x
√
5 − 4x − x
2
< 0.
 4.9 Chứng minh rằng y =
2x + 1
x
2
+ x + 1
có ba điểm uốn thẳng hàng. Viết phương trình
đường thẳng đi qua ba điểm uốn đó.
 4.10 Cho hàm số y = x
3
− 3mx
2
+ (m + 2)x + 2m
a) Tìm m để đồ thị của hàm số có điểm uốn nằm trên Parabol y = x
2
.
b) Chứng minh rằng tại điểm uốn thì tiếp tuyến với đồ thị có hệ số góc là nhỏ nhất.
5 Tiệm cận
5.1 Tóm tắt lí thuyết
Giả sử hàm số y = f (x) có đồ thị là (C).

1. Tiệm cận đứng
Định lý 5.1 Nếu lim
x−→x
0
f(x) = ∞ thì đường thẳng d : x = x
0
là một tiệm cận đứng của
đồ thị (C).
Chú ý 6 Nếu lim
x−→x
−
0
f(x) = ∞ ( lim
x−→x
+
0
f(x) = ∞ ) thì đường thẳng d : x = x
0
là một
tiệm cận đứng bên phải (bên trái) của đồ thị (C).
2. Tiệm cận ngang
Định lý 5.2 Nếu lim
x−→∞
f(x) = y
0
thì đường thẳng d : y = y
0
là một tiệm cận ngang của
đồ thị (C).
Chú ý 7 Nếu lim

x−→+∞
f(x) = y
0
( lim
x−→− ∞
f(x) = y
0
) thì đường thẳng d : y = y
0
là một
tiệm cận ngang bên phải (bên trái) của đồ thị (C).
3. Tiệm cận xiên
Trần Anh Tuấn
5.2 Ví dụ và bài tập 13
Định lý 5.3 Điều kiện cần và đủ để đường thẳng d : y = ax + b là một tiệm cận xiên của
(C) là
lim
x−→+∞
[f(x) − (ax + b)] = 0 ( 1)
hoặc lim
x−→− ∞
[f(x) − (ax + b)] = 0 (2)
hoặc lim
x−→∞
[f(x) − (ax + b)] = 0 ( 3)
Nếu (1) xảy ra thì d được gọi là tiệm cận xiên bên phải của (C). Nếu (2) xảy ra thì d
được gọi là tiệm cận xiên bên trái của (C). Nếu (3) xảy ra thì d được gọi là tiệm cận xiên
hai bên của (C).
Cách xác định tiệm cận xiên d : y = ax + b
a = lim

x−→∞
f(x)
x
; b = lim
x−→∞
[f(x) − ax]
5.1.1 Một số chú ý về giới hạn hàm số
5.2 Ví dụ và bài tập
 5.1 Tìm tiệm cận của các hàm số sau:
a) y =
2x
2
− 1
x
2
− 3x + 2
b) y = 1 + e
−x
2
c) y =
2x
2
+ x + 1
x + 1
d) y =
√
x
2
− 1
 5.2 Tìm m để hàm số y =

x
2
x − m
có tiệm cận.
 5.3 Tìm m để hàm số y =
mx
2
+ 6x −2
x + 2
không có tiệm cận đứng.
 5.4 Tìm a để y =
−x
2
+ x + a
x + a
có tiệm cận xiên đi qua A(2; 0).
6 Đồ t hị của hàm số mang dấu giá trị tuyệt đối
6.1 Tóm tắt lí thuyết
+ Hai điểm M
0
(x
0
; y
0
) và M
1
(−x
0
; −y
0

) đối xứng nhau qua gốc toạ độ.
+ Hai điểm M
0
(x
0
; y
0
) và M
2
(x
0
; −y
0
) đối xứng nhau qua trục hoành.
+ Hai điểm M
0
(x
0
; y
0
) và M
3
(−x
0
; y
0
) đối xứng nhau qua trục trục tung.
Trần Anh Tuấn
6.2 Ví dụ và bài tập 14
6.2 Ví dụ và bài tập

 6.1 Vẽ đồ thị hàm số
y =
(x − 1)(x + 2)
x + 1
(C
0
)
Từ đó hãy vẽ các đồ thị các hàm số sau:
y = −
(x −1)(x + 2)
x + 1
(C
1
)
y =


(x − 1)(x + 2)
x + 1


(C
2
)
y =
(|x| − 1)(|x|+ 2)
|x| + 1
(C
3
)

y =
|(x − 1)|(x + 2)
x + 1
(C
4
)
y =
(x − 1)|x + 2|
x + 1
(C
5
)
y =
(x − 1)(x + 2)
|x + 1|
(C
6
)
Từ (C
0
) chuyển sang (C
1
) bằng cách lấy đối xứng (C
0
) qua trục hoành.
Từ (C
0
) chuyển sang (C
2
) bằng cách giữ nguyên phần nằm trên trục hoành, lấy đối xứng

phần dưới trục hoành của (C
0
) qua trục hoành.
O
y
x
O
y
x
C
0
C
1
O
y
x
O
y
x
C
0
C
2
Từ (C
0
) chuyển sang (C
3
) bằng cách giữ nguyên phần nằm bên phải trục tung, lấy đối
xứng phần bên phải trục tung của (C
0

) qua trục tung.
Từ (C
0
) chuyển sang (C
4
) bằng cách giữ nguyên phần nằm bên phải đường thẳng x = 1,
lấy đối xứng phần bên trái đường thẳng x = 1 của (C
0
) qua trục hoành.
Từ (C
0
) chuyển sang (C
5
) bằng cách giữ nguyên phần nằm bên phải đường thẳng
x = −2, lấy đối xứng phần bên trái đường thẳng x = −2 của (C
0
) qua trục hoành.
Từ (C
0
) chuyển sang (C
6
) bằng cách giữ nguyên phần nằm bên phải đường thẳng x = −1,
lấy đối xứng phần bên trái đường thẳng x = −1 của (C
0
) qua trục hoành.
Trần Anh Tuấn
15
O
y
x

O
y
x
C
0
C
3
O
y
x
O
y
x
C
0
C
4
O
y
x
O
y
x
C
0
C
5
O
y
x

O
y
x
C
0
C
6
Chú ý 8 Với hàm số y = u(x).v(x) (C) hoặc y =
u(x)
v(x)
muốn vẽ đồ thị các hàm số
y = |u(x)|v(x) (C
1
) hoặc y =
u(x)
|v(x)|
. Ta giữ nguyên đồ thị (C) trong miền làm cho
u(x) > 0 hoặc v(x) > 0, (tương ứng) . Lấy đố x ứng phần còn lại qua trục hoành.
7 Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số
7.1 Tóm tắt lí thuyết
Bài toán 1. Tìm giao điểm hai đường
Giả sử hàm số y = f (x) có đồ thị là (C) và hàm số y = g(x) có đồ thị là (C
1
). Hãy
tìm các giao điểm của (C) và (C
1
).
Hoành độ giao điểm của (C) và (C
1
) là nghiệm của phương trình

f(x) = g(x) (1)
Nếu x
0
, x
1
, là nghiệm của (1) thì các điểm
M
0
(x
0
; f(x
0
)), M
1
(x
1
; f(x
1
)), là các giao điểm của (C) và (C
1
).
Bài toán 2. Viết phương trình tiếp tuyến
Trần Anh Tuấn
7.1 Tóm tắt lí thuyết 16
Cho hàm số y = f (x) .
a) G ọi (C) là đồ thị của nó, hãy viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm
M
0
(x
0

; f(x
0
)).
b) Hãy viết phương trình các đường thẳng đi qua điểm M
1
(x
1
; y
1
) và tiếp xúc với (C).
c) Hãy viết phương trình các đường thẳng có hệ số góc k và tiếp xúc với (C).
Cách giải
a) Tiếp tuyến của (C) tại M
0
(x
0
; f((x
0
)) là y = f

(x
0
)(x − x
0
) + y
0
.
b) Đường thẳng d đi qua M
1
(x

1
; y
1
) và có hệ số góc k có phương trình là y = k(x−x
1
)+y
1
.
Để đường thẳng d tiếp xúc với (C), hệ phương trình sau phải có nghiệm:

f(x) = k(x − x
1
) + y
1
f

(x) = k
Hệ phương trình này cho phép ta xác định hoành độ x
0
của tiếp điểm, và hệ số góc
k = f

(x
0
) của tiếp tuyến.
Chú ý 9 - Số nghiệm của hệ trên không phải lúc nào cũng là s ố tiếp tuyến.
- Có thể mở rộng vấ n đề hai đồ thị tiếp xúc với nhau tại một điểm chung. Cho hai hà m số
y = f(x) và y = g(x), gọi (C) và (C

) theo thứ tự là đồ thị của chúng. Hai đồ thị được gọi

là tiếp xúc với nhau tại một điểm chung, nếu tại điểm đó chúng có cùng một tiếp tuyến.
Khi đó điểm chung được gọi là tiếp điểm. Như vậy, hai đồ thị (C) và (C

) tiếp xúc với
nhau nếu và chỉ nếu hệ phương trình sau đây có nghiệm:

f(x) = g(x)
f

(x) = g

(x)
Bài toán 3. Biện luận phương trình bằng PP đồ thị
Giả sử chúng ta đã có đồ thị hàm số y = f(x) (nhờ khảo sát, hoặc biến đổi từ đồ thị
một hàm số nào đó). Bài toán đặt ra là biện luận số nghiệm phương trình P (x) = Q(x)
có chứa tham số m thông thường ta làm như sau.
- Biến đổi P (x) = Q(x) về f(x) = g(x, m)
- Hạn chế đồ thị hàm số y = f (x) nếu cần
- Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của hai đồ thị
(C) : y = f(x)
∆ : y = g(x, m)
- Cho ∆ chuyển động theo sự biến thiên của tham số m, biện luận theo m số giao điểm
của ∆ và (C) từ đó ta được số nghiệm của phương trình.
Các dạng đồ thị của y = g(x, m)
Dạng 1.
g(x, m) = h(m) thì ∆ là đường thẳng vuông góc với Oy và cắt trục tung tại điểm
có tung độ bằng h(m).
Dạng 2. g(x, m) = kx + h(m), k = const thì ∆ là đường thẳng cùng phương với đường
thẳng y = k x và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng h(m). Tìm các tiếp tuyến song
song với đường thẳng y = kx.Để giải và biện luận loại hệ này ta cần so sánh h(m) với các

tung độ giao điểm của các tiếp tuyến với Oy.
Dạng 3.
g(x, m) = h(m)(x − x
0
) + y
0
, x
0
, y
0
= const thì ∆ là đường thẳng luôn quay
quanh điểm A(x
0
; y
0
) cố định. Tìm các tiếp t uyến đi qua điểm A(x
0
; y
0
). Để giải và biện
luận loại hệ này ta cần so sánh h(m) với các hệ số góc của các tiếp tuyến.
Trần Anh Tuấn
7.2 Ví dụ và bài tập 17
7.2 Ví dụ và bài tập
 7.1 Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị các hàm số
y =
x
2
− 6x + 3
x + 2

và y = x −m
Lời giải. Số giao điểm của đồ thị các hàm số đã cho là số nghiệm của PT:
x
2
− 6x + 3
x + 2
= x −m (1)
ĐK: x = −2
(1) ⇔ (8 −m)x = 3 + 2m (2)
• Nếu m = 8, PT (2) vô nghiệm, suy ra PT (1) vô nghiệm.
• Nếu m = 8, PT (2) có nghiệm duy nhất x =
3 + 2m
8 − m
. Nghiệm này là nghiệm của (1)
⇔
3 + 2m
8 − m
= −2 ⇔ 3 = −16.
Kết luận:
• Nếu m = 8 hai đồ thị không cắt nhau.
• Nếu m = 8 hai đồ thị cắt nhau tại 1 điểm.
 7.2 Biện luận bằng đồ thị số nghiệm của phương trình
x
3
+ 3x
2
− 2 = m
 7.3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số
y = (2 −x
2

)
2
(C)
biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; 4).
 7.4 Khảo sát vị trí tương đối giữa đồ thị (C) của hàm số y = 4x
3
− 3x + 1 và đường
thẳng d : y = m(x −1) + 2.
Lời giải. Xét PT 4x
3
− 3x + 1 = m(x −1) + 2 ⇔ 4x
3
− (m + 3)x + m − 1 = 0
⇔ (x −1)(4x
2
+ 4x −m + 1) = 0 ⇔

x = 1
f(x) = 4x
2
+ 4x −m + 1 = 0 (∗)
PT (*) có ∆

= 4m, f(1) = 9 −m.
Kết luận:
• 0 < m = 9: Số giao điểm là 3.
• m < 0: Số giao điểm là 1.
• m = 0 hoặc m = 9: Số giao điểm là 2.
Trần Anh Tuấn
7.2 Ví dụ và bài tập 18

 7.5 Cho hàm số y =
x + 2
x −2
. Chứng minh rằng với mọi b đường thẳng y = x + b luôn cắt
đồ thị (C) của hàm số tại hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt.
 7.6 Xác định m sao cho đồ thị của hàm số
y = −x
4
+ 2mx
2
− 2m + 1
cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng.
 7.7 Xác định m để đường thẳng d : y = −x + m cắt đồ thị (C) của hàm số
y =
x
2
− 2x + 2
x −1
tại hai điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng y = x + 3.
 7.8 Tìm m để đường thẳng d : y = 3x + m tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số
y =
x
2
− 3x + 3
1 − x
 7.9 Cho hàm số y = x
3
− 3x có đồ thị (C) và đường thẳng d đi qua điểm A(1; −2) và
có hệ số góc k. Biện luận theo k vị trí tương đối giữa (C) và d.
 7.10 Xác định định a để đường thẳng y = x cắt đồ thị hàm số y = x

3
−3ax
2
+ 4a
3
tại
ba biểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC.
 7.11 Xác định m để hàm số y = x
3
− 3x
2
− 9x + m cắt trục hoành tại ba điểm phân
biệt có các hoành độ lập thành cấp số cộng.
 7.12 Cho hàm số y =
(3m + 1)x − m
2
+ m
x + m
với m = 0. Xác định m để tại giao điểm
của đồ thị với trục hoành tiếp tuyến sẽ song song với đường thẳng y = x − 10
 7.13 Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
x
2
− x + 1
x −1
đều không đi
qua điểm I(1; 1).
 7.14 Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số y = x
3
−3x + 1 biết rằ ng

tiếp tuyến này qua A(
2
3
; −1).
 7.15 Tìm điểm A trên trục tung sao cho qua A có thể kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị
của hàm số y = x
4
− x
2
+ 1.
 7.16 Cho hàm số y =
x
2
− 3x + 4
2x − 2
a) Tìm phương trình tiếp tuyến d với đồ thị hàm số tại điểm A(0; −2)
b) Đường thẳng d cắt tiệm cận của đồ thị hàm số t ạ i điểm B, C. Chứng minh rằng A là
trung điểm của đoạn BC
Trần Anh Tuấn
7.2 Ví dụ và bài tập 19
 7.17 Cho hàm số y =
mx
2
+ (2 −m
2
)x − 2m − 1
x − m
. Tìm m để hàm số có cực trị. Chứng
minh rằng với m tìm được, trên đồ thị hàm số luôn tìm được hai điểm mà tiếp tuyến tại
hai điểm đó vuông góc nhau.

 7.18 Cho hàm số y =
x
2
+ 3x + m
x + 1
. Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số trên
có tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác thứ nhất của góc hợp bởi hai trục toạ độ.
Chứng minh rằng khi đó đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu
 7.19 Cho hàm số y =
2x
2
− x + 1
x −1
. Chứng minh rằng trên đường thẳng y = 7 có bốn
điểm sao cho từ mỗi điểm đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số và hai tiếp
tuyến này hợp với nhau một góc 45
0
 7.20 Cho hàm số y =
−x + 3
2x − 1
a) Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến song song với đường
phân giác thứ hai của mặt phẳng toạ độ.
b) Biện luận theo k số nghiệm của phương trình
2x
2
− 2kx −2x + k + 3 = 0
 7.21 Cho hàm số y = x
3
− 3x. Dựa vào đồ thị của hàm số, hãybiện luận theo m số
nghiệm của phương trình

x
3
− x(m + 3) + m −2 = 0
 7.22 Cho hàm số y =
x
2
+ mx + 2m − 1
mx + 1
a) Xác định m sao cho hàm số có cực trị và đường tiệm cận xiên đi qua gốc toạ độ.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
c) Biện luân theo m số nghiệm của phương trình

cos 2x + 2(1 − m) cos x + 3 − 2m = 0
−π < x < π
 7.23 Cho hàm số y =
−3x
2
+ mx + 4
4x + m
a) Với giá trị nào của m thì tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ bằng không vuông
góc với tiệm cận xiên của đồ thị.
b) Xác định các giá trị của a để phương trình sau có nghiệm
sin
6
x + cos
6
x = a|sin 2x|
 7.24 Cho hàm số y =
2x
2

− 3x + m
x −1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.
b) Biện luận theo a số nghiệm của phương trình
2x
2
− 3x + 2
x − 1
+ log
1
2
a = 0
Trần Anh Tuấn
20
8 Khoảng cách
 8.1 Cho hàm số y =
x
2
− x + 1
x −1
. Xác định hai điểm A, B trên hai nhánh phân biệt của
đồ thị sao cho AB ngắn nhất.
 8.2 Cho hàm số y =
x + 1
x −1
. Gọi d : 2x −y + m = 0. Chứng minh rằng d luôn cắt đồ thị
hàm số tại hai điểm phân biệt A, B trên hai nhánh của đồ thị. Xác định m để độ dài AB
là ngắn nhất.
 8.3 Cho hàm số y =
x

2
x − 1
. Xác định k sao cho đường thẳng y = k cắt đồ thị hàm số
tại hai điểm có khoảng cách bằng
√
5.
 8.4 Cho hàm số y =
x
2
+ x −5
x −2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm trên hai nhánh phân biệt của (C) hai điểm A, B sao cho khoảng cách AB là ngắn
nhất.
c) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì trên ( C) đến hai tiệm cận
luôn bằng một hằng số.
 8.5 Cho (C) : y =
x − 1
x + 1
. Tìm M ∈ (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ
độ là nhỏ nhất.
 8.6 Cho đồ thị hàm số (C) : y =
x
2
+ 5x + 15
x + 3
a) Tìm M ∈ (C) để toạ độ của M là các ssó nguyên.
b) Tìm M ∈ (C) để để khoảng cách từ M đến Ox gấp hai lầ n khoảng cách từ M đến Oy.
 8.7 Tìm M ∈ (C) : y =
x

2
+ 3x + 3
x + 2
để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là
nhỏ nhất.
 8.8 Cho (C) : y =
x
2
+ 2x −2
x −1
. Tìm điểm M ∈ (C) để khoảng cách từ M đến giao
điểm hai tiệm cận là nhỏ nhất.
9 Họ đường cong
Định lý 9.1 Cho đa thức
P
n
(x) = a
n
x
n
+ + a
1
x + a
0
Khi đó P
n
(x) = 0 có tối đa n nghiệm. Nếu P
n
(x) có nhiều hơn n nghiệm thì P
n

(x) có tất
cả các hệ số bằng không.
Trần Anh Tuấn
21
 9.1 Tìm điểm cố định của các họ (C
m
):
a) y = x
3
− (m + 1)x
2
− (2m
2
− 3m + 2)x + 2m(2m − 1)
b) y =
2x
2
+ (1 − m)x + (1 + m)
x −m
với m = −1
 9.2 Chứng minh rằng (C
m
) : y = (m + 2)x
3
− 3(m + 2)x
2
− 4x + 2m − 1 có ba điểm
cố định thẳng hàng. Viết phương trình đường thẳng đi qua ba điểm cố định đó.
 9.3 Cho đường cong (C
m

) : y =
−x
2
+ mx −m
2
x −m
. Tìm các điểm trong mặt phẳng sao
cho có đúng hai đường cong của họ (C
m
) đi qua.
 9.4 Cho họ đường cong
(C
m
) : y =
mx
2
− (m
2
+ m −1)x + (m
2
− m + 2)
x −m
Chứng minh rằng mỗi điểm ở bên phải đường thẳng x = 1 luôn có đúng hai đường cong
(C
m
) đi qua.
 9.5 Tìm trên mặt phẳng những điểm mà không có đồ thị nào của họ (C
m
) đi qua:
a) y =

(3m + 1)x − m
2
+ m
x + m
b) y = 2x
3
+ 3mx
2
− m
3
− 5m
2
− 4
10 Tâm đ ố i xứng. Trục đối xứng của đồ thị hàm số.
10.1 Tóm tắt lí thuyết
Công thức đổi hệ trục toạ độ
Cho hệ trục toạ độ Đềcác Oxy và hệ trục toạ độ IXY . Giải sử điểm M(x; y) và I( x
0
; y
0
)
trong hệ trục toạ độ Oxy. Khi đó trong hệ trục t oạ độ IXY điểm M(X; Y ) và ta có

x = x
0
+ X
y = y
0
+ Y
Định nghĩa 10.1 Hàm số y = f(x) có tập xác định là D được gọ i là hàm số chẵn trên

D nếu ∀x ∈ D thì −x ∈ D và f(x) = f (−x). Hàm số y = f(x) có tập xác định là D được
gọi là hàm số lẻ trên D nếu ∀x ∈ D thì −x ∈ D và f (x) = −f(−x).
Định lý 10.1 Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. Đồ thị hàm số lẻ
nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.
Chú ý 10 - Muốn chứng min h đồ thị một hàm số có tâm đối xứng hay có trục đối xứng
ta cần dùng phép đổi hệ trục toạ độ và chứng minh hàm số là hàm số lẻ h a y chẵn.
- Đồ thị h àm số bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. Đồ thị các hàm số phân thức
(bậc hai/bậc nhất hay bậc nhất/bậc nhất) nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
Đồ thị hàm số trùng phương nhận trục tung làm trục đối xứng.
Trần Anh Tuấn
10.2 Ví dụ và bài tập 22
10.2 Ví dụ và bài tập
 10.1 Chứng minh rằng đường thẳng ∆ : x = 1 là trục đối xứng của đồ thị (C) của hàm
số
y = x
4
− 4x
3
+ 7x
2
− 6x + 4
 10.2 Cho đồ thị (C) : y =
2x + 3
x −1
.Chứng minh r ằng (C) nhận I(1; 2) làm tâm đối xứng.
11 Phần các đề luyện tập
 11.1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y =
2x
2
− 4x − 3

2(x − 1)
.
b) Tìm m để phương trình 2x
2
− 4x − 3 + 2m|x −1| = 0 có hai nghiệm phân biệt.
 11.2 Cho hàm số
y =
x
2
+ (2m + 1)x + m
2
+ m + 4
2(x + m)
(1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
b) Tìm m để hàm số (1) có cực trị và tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số (1).
 11.3 Cho hàm số y = (x −1)(x
2
+ mx + m) (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 4.
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
 11.4 Cho hàm số y =
2x − 1
x −1
(1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
b) Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến
của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM.
 11.5 Cho hàm số y =

x
2
+ 5x + m
2
+ 6
x + 3
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1
b) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞).
 11.6 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = 2x
3
− 3x
2
− 1
b) Gọi d
k
là đường thẳng đi qua điểm M(0; −1) và có hệ số góc k. Tìm k để đường thẳng
d
k
cắt (C) tại ba điểm phân biệt.
 11.7 Cho hàm số y = x
4
− mx
2
+ m −1 (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 8
b) Xác định m sao đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
 11.8 Cho hàm số y =
x
2
− 2x + m

x − 2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
b) Xác định m để hàm số nghịch biến trên đoạn [−1; 0].
c) Tìm a để phương trình sau có nghiệm:
9
1+
√
1−t
2
− (a + 2)3
1+
√
1−t
2
+ 2a + 1 = 0
Trần Anh Tuấn
23
 11.9 Cho hàm số y =
1
3
x
3
+ mx
2
− 2x −2m −
1
3
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m =
1
2

. Viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị hàm số, biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d : y = 4x + 2
b) Tìm m ∈

0;
5
6

sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số và các đường thẳng
x = 0, x = 2, y = 0 có diện tích bằng 4.
 11.10 Cho hàm số y = (x −m)
3
− 3x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1
b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0.
c) Tìm k để hệ phương trình sau có nghiệm:



|x − 1|
3
− 3x − k < 0
1
2
log
2
x
2
+
1

3
log
2
(x −1)
3
≤ 1.
 11.11 Cho hàm số y =
x
2
+ mx
1 − x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0
b) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. Với giá trị nào của m thì khoảng cách giữa
hai điểm cực trị của hàm số bằng 10.
 11.12 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y =
1
3
x
3
− 2x
2
+ 3x
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và trục hoành.
 11.13 Cho hàm số y =
x
2
− x + 1
x −1
(1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Dựa vào đồ thị hàm số (1), hãy vẽ đồ thị hàm số sau y =
x
2
− |x| + 1
|x|− 1
 11.14 Cho hàm số y =
x + 3
x + 2
(1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
b) Chứng minh rằng đường thẳng y =
1
3
x − m luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm
phân biệt A, B. Xác định m sao cho độ dài đoạn AB là nhỏ nhất.
 11.15 Cho hàm số y = −x
3
+ 3x −2 (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (1), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(−2; 0)
c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
x
3
− 3x + 2 + log
2
m = m
với m là tham số dương.
Trần Anh Tuấn
24
 11.16 Cho hàm số y = x + 1 +

1
x −1
(1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
b) Tiếp tuyến tuỳ ý với đồ thị (1) của hàm số cắt hai tiệm cận tại A, B, gọi I là giao điểm
hai tiệm cận. Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không đổi khi tiếp tuyến thay đổi.
 11.17 Cho hàm số y =
x
2
+ x −1
x −1
(1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
b) Tìm m để đường thẳng y = mx −2m + 2 cắt đồ thị (1) tại hai điểm thuộc hai nhánh
của (1).
 11.18 Cho hàm số y =
x
2
+ 2x + 2
x + 1
(1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
x
2
+ 2x + 2
x + 1
− mx −m = 0
 11.19 Cho hàm số
y = x

3
− (m + 1)x
2
+ (m −1)x + 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1
b) Chứng minh rằng khi m = 0, đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
 11.20 Cho hàm số y =
x
2
− x + m
1 − x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1
b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu, đồng thời hai điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai
phía của trục tung.
 11.21 Cho hàm số y =
x
2
+ (m + 2)x + 2(m + 1)
x + 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0
b) Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tạo với hai trục toạ độ một tam giác có
diện tích bằng 8
 11.22 Cho hàm số y =
2
3
x
3
− mx
2
+ 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1
b) Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành.
 11.23 Cho hàm số y =
2x + 4
x + 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
b) Chứng minh rằng đường thẳng y = 2x + m luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân
biệt A, B. Tìm m để AB ngắn nhất.
Trần Anh Tuấn