CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ pptx

Các chuyên đề toán 12 sưu tầm và biên soạn doquan
CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
CHUYÊN ĐỀ :TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
DẠNG 1: XÉT CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Quy tắc:
1.Tìm TXĐ của hàm số.
2.Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm x
i
mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
3.Sắp xếp các điểm x
i
theo thứ tự tăng dần và lập BBT.
4.Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Bài 1. Xét chiều biến thiên các hàm số sau:
1) y = 2x + 3x + 2
2) y =
3 2
1
3 8 2
3
x x x− + −
3) y = x - 2x + x
4) y =
2
2 5
1
x x
x
− +
−
5) y = x +

6) y =
3 2
3 3 2x x x+ + +
7)
3 2
y 2x + 3x + 1=
8) y = x -
9) y =
3 2
1 1
2 2
3 2
x x x− − −

10) y = x - 2x - 5
11) y =
3 2
2 3 1x x+ +

12) y =
4 2
2 5x x− −

13)
2
x 2x + 3
y
x 1
−
=

+

14)
3x 2
y
x 1
+
=
+
15)
4 2
y = x 2x 3− +
Bài 2. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
3
2
2 2
x x x
a) y 25 x b) y c) y d) y
x 100
16 x x 6
= − = = =
+
− −
Bài 3. Chứng minh rằng:
a) Chứng minh rằng hàm số f(x) =
2
4 x−
nghịch biến trên đoạn
[ ]
0;2

b) Hàm số
2
y x 1 x= + −
đồng biến trên khoảng
1
1;
2
 
−
 ÷
 
và nghịch biến trên khoảng
1
;1
2
 
 ÷
 
.
c) Hàm số
2
y x x 20= − −
nghịch biến trên khoảng
( )
; 4−∞ −
và đồng biến trên khoảng
( )
5;+∞
.
Bài 4. Chứng minh rằng:

a)
( )
3
f x x x cosx 4= + − −
đồng biến trên R
b)
( )
f x cos2x 2x 3= − +
nghịch biến trên R.
c)
( )
2
f x x cos x= +
đồng biến trên R.
Bài 5. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
( )
[ ]
5
a) y sin x, x 0;2 b) y x sin x, x 0;2 c) y x 2cosx, x ;
6 6
π π
 
= ∈ π = − ∈ π = + ∈
 ÷
 
DẠNG 2: TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN MIỀN K
Phương pháp: Sử dụng các kiến thức sau đây:
1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
 Nếu
f '(x) 0, x K≥ ∀ ∈

thì f(x) đồng biến trên K.
 Nếu
f '(x) 0, x K≤ ∀ ∈
thì f(x) nghịch biến trên K.
2. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c có biệt thức
2
b 4ac∆ = −
. Ta có:

a 0
f (x) 0, x R
0
>

≥ ∀ ∈ ⇔

∆ ≤

1
Các chuyên đề toán 12 sưu tầm và biên soạn doquan

a 0
f (x) 0, x R
0
<

≤ ∀ ∈ ⇔


∆ ≤

3. Xét bài toán: “Tìm m để hàm số y = f(x,m) đồng biến trên K”. Ta thực hiện theo các bước sau:
 B1. Tính đạo hàm f’(x,m).
 B2. Lý luận:
Hàm số đồng biến trên K
f '(x,m) 0, x K
⇔ ≥ ∀ ∈

( )
m g(x), x K m g(x)
⇔ ≥ ∀ ∈ ≤
 B3. Lập BBT của hàm số g(x) trên K. Từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m.
Cách khác: (Phương pháp tam thức bậc 2)
Ta chuyển yêu cầu bài toán ⇔ so sánh một số α với các nghiệm của tam thức bậc hai
Cần nhớ: Cho f(x) = ax + bx + c (a ≠ 0)
1. f(x) ≥ 0 ∀x ∈
¡
⇔
a 0
0
>


∆ ≤

2.
a 0
f (x) 0 x
0

<

≤ ∀ ∈ ⇔

∆ ≤

¡

3.
1 2
x x af ( ) 0< α < ⇔ α <
4.
1 2
0
x x af ( ) 0
S
2


∆ >

α < < ⇔ α >



> α

5.
1 2
0

x x af( ) 0
S
2


∆ >

< < α ⇔ α >



< α

So sánh hai số α, β với các nghiệm của tam thức bậc hai:

1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
x x
1. f( ).f( ) 0
x x
a.f( ) 0
2.x x
a.f( ) 0
0
a.f( ) 0
3. x x

a.f( ) 0
S
( ; )
2
0
4.x x a.f( ) 0
S
2
0
5. x x a.f( ) 0
S
2
<α< <β

⇔ α β<

α< <β<

α<

<α<β< ⇔

β<

∆>


α>



α< < <β⇔
 β>


∈αβ




∆>

< <α<β⇔ α>



<α



∆>

α<β< < ⇔ β >



>β


Bài 1: a)Với giá trị nào của a, hàm số
( )

3 2
1
f (x) x 2x 2a 1 x 3a 2
3
= − + + + − +
nghịch biến trên R ?
b) Với giá trị nào của m, hàm số
( )
3 2
f (x) mx 3x m 2 x 3= − + − +
nghịch biến trên R ?
2
Các chuyên đề toán 12 sưu tầm và biên soạn doquan
Bài 2: Với giá trị nào của m, hàm số
( )
2
3x mx 2
f x
2x 1
− + −
=
−
nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
Bài 3: Định m để hàm số
mx 1
y
x m
+
=
+

luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
Bài 4: Tìm m để hàm số
( ) ( )
3 2
1 1
y mx m 1 x 3 m 2 x
3 3
= − − + − +
đồng biến trên
[
)
2;
+∞
.
Bài 5: Tìm m để hàm số
2
mx 6x 2
y
x 2
+ −
=
+
nghịch biến trên nửa khoảng
[
)
1;
+∞
.
Bài tập về nhà:
Bài 1. Tìm các giá trị của tham số a để hàm số

( )
3 2
1
f x x ax 4x + 3
3
= + +
đồng biến trên R
Bài 2. Với giá trị nào của m, hàm số
m
y x 2
x 1
= + +
−
đồng biến trên mỗi khoảng xác định ?
Bài 3. Định a để hàm số
( )
( )
2 3 2
1
y a 1 x a 1 x 3x 5
3
= − + + + +
luôn đồng biến trên R ?
Bài 4. Cho hàm số
( )
2
m 1 x 2x 1
y
x 1
− + +

=
+
. Xác định m để hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
Bài 5. Cho hàm số
( )
( )
3 2 2
y x m 1 x m 2 x m
= − + + − + +
. Chứng minh rằng hàm số luôn nghịch biến trên R với
mọi m.
Bài 6. Tìm m để hàm số y = 3x
3
– 2x
2
+ mx – 4 đồng biến trên khoảng
( )
0;
+∞
.
Bài 7. Tìm m để hàm số y = 4mx
3
– 6x
2
+ (2m – 1)x + 1 tăng trên khoảng (0;2).
Bài 8. Cho hàm số
2
x 2mx m 2
y
x m

− + +
=
−
.
a) Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
b) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
( )
1;
+∞
.
DẠNG 3:SỬ SỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Phương pháp: Sử dụng kiến thức sau:
 f(x) đồng biến trên đoạn
[ ]
a; b
thì
( ) ( ) ( )
[ ]
f a f x f b , x a; b
≤ ≤ ∀ ∈
 f(x) nghịch biến trên đoạn
[ ]
a; b
thì
( ) ( ) ( )
[ ]
f a f x f b , x a; b
≥ ≥ ∀ ∈
Bài 1: Cho hàm số
( )

f x 2sin x tan x 3x
= + −
.
a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng
0;
2
π
 
÷

 
.
b) Chứng minh rằng:
2sin x tan x 3x, x 0;
2
π
 
+ > ∀ ∈
 ÷
 
.
Bài 2: a) Chứng minh rằng hàm số
( )
f x tan x x
= −
đồng biến trên nửa khoảng
0;
2
π
 

÷

 
.
b)Chứng minh rằng
3
x
tan x x , x 0;
3 2
π
 
> + ∀ ∈
 ÷
 
.
Bài tập về nhà:
Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
sin x x, x 0
< ∀ >
và
sin x 0, x 0
< ∀ <
b)
2
x
cosx 1 , x 0
2
> − ∀ ≠
3

Các chuyên đề toán 12 sưu tầm và biên soạn doquan
c)
3
x
sin x x , x 0
6
> − ∀ >
và
3
x
sin x x , x 0
6
< − ∀ <
d)
sin x tan x 2x, x 0;
2
π
 
+ > ∀ ∈
 ÷
 
e)
2x
sin x , x 0;
2
π
 
> ∀ ∈
 ÷
π

 
f)
tan x sin x>
với
0 x
2
π
< <
Bài 2. Cho hàm số
( )
4
f x x tan x, x 0;
4
π
 
= − ∈
 
π
 
.
a) Xét chiều biến thiên của hàm số trên đoạn
0;
4
π
 
 
 
.
b) Từ đó suy ra rằng:
tan x x, x 0;

4 4
π π
 
≤ ∀ ∈
 
 
.
Bài 3. Chứng minh rằng:
2
1 x 1
1 x 1 x 1 x
2 8 2
+ − < + < +
với
( )
x 0;∈ +∞
DẠNG 4: SỬ SỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM
DUY NHẤT
LOẠI 1: CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ 1 NGHIỆM
Bài 1: Cho hàm số
( )
2
f x 2x x 2
= −
.
a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng
[
)
2;
+∞

.
b) Chứng minh rằng phương trình
2
2x x 2 11
− =
có một nghiệm duy nhất.
Bài 2: Cho hàm số f(x) = sin
2
x + cosx.
a) CMR hàm số đồng biến trên đoạn
0;
3
π
 
 
 
và nghịch biến trên đoạn
;
3
π
 
π
 
 
.
Chứng minh rằng với mọi
( )
m 1;1
∈ −
, phương trình sin

2
x + cosx = m có một nghiệm duy nhất thuộc đoạn
[ ]
0;
π
.
LOẠI 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1: Giải phương trình:
5 3
x x 1 3x 4 0+ − − + =
Bài 2: Giải phương trình: x + x - + 4 = 0
Bài 3: Giải phương trình: + + = 3 +
Bài 4: Giải phương trình: 2x + (1 - 2x) =
4