Toạ độ trong không gian
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (534.67 KB, 42 trang )
Tọa độ trong không gian GV: Nguy
ễn Tất Thu ĐT: 0918927276
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai
1
Vấn đề 1: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Tọa độ véc tơ – Tọa độ điểm
Cho
1 1 1 2 2 2
a (x ;y ;z ), b (x ;y ;z )
r r
và số thực
k
. Khi đó
*
1 2 1 2
a b (x x ;y y )
r r
*
1 1 1
ka (kx ;ky ;kz )
r
*
1 2
1 1 1
1 2
2 2 2
1 2
x x
x y z
a //b a kb k a b y y
x y z
z z
r r r r r r
.
Chú ý: nếu
(
)
2 2 2
x 0 y 0,z 0
= = =
thì
(
)
1 1 1
x 0 y 0,z 0
= = =
*
2 2 2
1 1 1
|a | x y z
r
*
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
a.b x x y y z z a b x x y y z z 0
r r r r
*
a.b
cos(a,b)
| a || b |
r r
r r
r r
Cho
A A A B B B C C C D D D
A (x ;y ;z ), B (x ;y ;z ), C(x ;y ;z ), D(x ;y ;z )
. Khi đó:
*
B A B A B A
AB (x x ;y y ;z z )
uuur
*
2 2 2
B A B A B A
AB | AB| (x x ) (y y ) (z z )
uuur
* Trung điểm I của đoạn AB:
A B A B A B
x x y y z z
I ( ; ; )
2 2 2
*Trọng tâm G của
ABC
:
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
G( ; ; )
3 3 3
*Trọng tâm G của tứ diện ABCD:
A B C D A B C D A B C D
x x x x y y y y z z z z
G( ; ; )
4 4 4
2. Tích có hướng của hai véc tơ và ứng dụng
Định nghĩa: Cho
1 1 1
a x ; y ; z
và
2 2 2
b x ; y ; z
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
y z z x x y
[a,b] ; ;
y z z x x y
r r
Các tính chất:
*
a
r
cùng phương
b a,b 0
r r r r
*
a,b a
r r r
và
a,b b
r r r
*
a,b a . b .sin(a,b)
r r r r r r
Diện tích tam giác:
ABC
1
S AB,AC
2
uuur uuur
.
Thể tích:
Tọa độ trong không gian GV: Nguy
ễn Tất Thu ĐT: 0918927276
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai
2
* Hình hộp:
ABCD.A ' B'C ' D'
V AB,AD .AA'
uuur uuur uuur
* Tứ diện:
ABCD
1
V AB,AC .AD
6
uuur uuur uuur
Điều kiện 3 véctơ đồng phẳng:
*
a,b,c
r r r
đồng phẳng
a,b .c 0
r r r
* A, B, C, D đồng phẳng
AB,AC .AD 0
uuur uuur uuur
Ví dụ1: Trong không gian cho bốn điểm
A(0;2;0), B( 1;0; 3), C(0; 2;0), D(3;2;1)
1) Chứng minh rằng A,B,C,D không đồng phẳng
2) Tính diện tích tam giác BCD và đường cao BH cảu tam giác BCD
3) Tính thể tích tứ diện ABCD và đường cao của tứ diện hạ từ A
4) Tìm tọa độ E sao cho ABCE là hình bình hành
5) Tính góc giữa hai đường thẳng Ac và BD
6) Tìm điểm M thuộc Oy sao cho tam giác BCM cân tại M
7) Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD và chứng minh A, G, A’ thẳng hàng
với A’ là trọng tâm tam giác BCD.
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp chữ nhật
ABCD.A'B'C'D'
có A trùng với gốc tọa độ,
(
)
(
)
(
)
B a;0;0 ,D 0;a;0 ,A' 0;0;b
với
(
)
a 0,b 0
> >
.Gọi M là trung điểm của
CC'
. Tính thể tích của khối tứ diện
BDA'M
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho
A(1;2;1). B(5;3;4), (8; 3;2)
-
1) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông
2) Tìm tọa độ chân đường phân giác trong góc B cảu tam giác ABC
3) TÍnh thể tích tứ diện OABC
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho
0 0
A(4;0;0), B(x ;y ;0)
với x
0
, y
0
thỏa mãn
AB 8
=
và
·
0
AOB 60
=
.
1) Tìm C trên Oz sao cho thể tích tứ diện OABC bằng 8.
2) Gọi G là trọng tâm
ΔABO
và M trên cạnh AC sao cho AM=x. Tìm x để
OM GM
^
.
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a ,AD = 2a
đường cao SA = 2a.Trên cạnh CD lấy điểm M sao cho MD = x
0
x a
1)Tìm vị trí của M để diện tích tam giác SBM lớn nhất, nhỏ nhất.
2)Tìm vị trí của M để mp(SBM) chia hình chóp thành hai phần
C.SBM S.ABCD
1
V V
3
Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Đề Các vuông góc Oxy cho tứ diện ABCD
với
A(2;3;2), B(6; 1; 2), C( 1; 4;3), D(1;6;-5)
- - - -
. Tính góc giữa hai đường thẳng
AB và CD. Tìm tọa độ M trên CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất.
Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
Tọa độ trong không gian GV: Nguy
ễn Tất Thu ĐT: 0918927276
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai
3
1. Véc tơ pháp tuyến:
Định nghĩa: Cho (). Véc tơ
n 0
r r
gọi là véc tơ pháp tuyến (VTPT) của
mp() nếu
n
r
nằm trên đường thẳng
vuông góc với (), kí hiệu
( )
n
r
.
Chú ý: *Nếu
n
r
là VTPT của () thì
kn (k 0)
r
cũng là
VTPT của (). Vậy mp() có vô số
VTPT.
* Nếu hai véc tơ
a,b
r r
(không cùng
phương) nằm trên hai đường thẳng song song (hoặc nằm trên) () thì
[ , ]
n a b
r r r
là một
véc tơ pháp tuyến của (). Cặp véc tơ
,
a b
r r
gọi là cặp véc tơ chỉ phương của mp().
* Nếu ba điểm A,B,C không thẳng hàng thì véc tơ
n [AB,AC]
r uuur uuur
là một VTPT của
mp(ABC).
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
* Cho mp() đi qua
0 0 0
M(x ;y ;z )
, có VTPT là
n (A;B;C)
r
. Khi đó phương trình
tổng quát của mp() có dạng:
0 0 0
A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0
.
* Nếu
mp( ):Ax By Cz D 0
thì
n (A;B;C)
r
là một VTPT của mp().
* Nếu
A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)
thì phương trình của mp(ABC) có dạng:
x y z
1
a b c
và được gọi là phương trình theo đoạn chắn của mp().
3. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Lập phương trình của mp(P) trong các trương hợp sau:
1) (P) đi qua
A 1;2;1
và song song với mp
Q :x y 3z 1 0
.
2) (P) đi qua
M 0;1;2 , N 0;1;1 , P 2;0;0
.
3) (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn MN (M,N ở câu 2).
4) (P) đi qua các hình chiếu của
A(1;2;3)
lên các trục tọa độ.
5) (P) đi qua
E 1;2;0 , F 0;2;0
và vuông góc với mp
R : x y z 1 0
.
Lời giải:
1) mp (Q) có VTPT
Q
n (1;1;3)
uur
. Vì
(P)//(Q)
nên (P) có VTPT
P Q
n n (1;1;3)
uur uur
.
Vậy pt mp(P) là :
1(x 1) 1(y 2) 3(z 1) 0
hay
x y 3z 6 0
.
2) (P) đi qua M,N,P nên (P) có cặp VTCP
MN (0;0; 1), NP (2; 1; 1)
uuuur uuur
, do đó
VTPT của (P):
n [MN,NP] ( 1; 2;0)
r uuuur uuur
Vậy pt của (P):
2 0
x y
.
3) Gọi I là trung điểm của MN
3
I(0;1; )
2
. mp(P) là mp trung trực của đoạn MN nên
(P) đi qua I và nhận
MN
uuuur
làm VTPT. Vậy phương trình (P): z-1=0.
n
r
P
Tọa độ trong không gian GV: Nguy
ễn Tất Thu ĐT: 0918927276
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai
4
4) Tọa độ hình chiếu của A lên các trục tọa độ là
1 2 3
A 1;0;0 ,A 0;2;0 , A 0;0;3
.
Áp dụng phương trình đoạn chắn ta có phương trình của mp(P) là:
x y z
1 6x 3y 2z 6 0
1 2 3
5) Vì mp(P) đi qua E,F và vuông góc với mp(R) nên (P) nhận
( 1;0;0)
EF
uuur
và
(1;1;1)
R
n
uur
làm cặp VTCP
P R
VTPT (P): n [EF,n ] (0;1; 1)
uur uur uuur
Vậy phương trình mp(P):
y 2 0
.
Chú ý: 1)Qua các ví dụ trên ta thấy để lập phương trình của một mặt phẳng ta phải
xác định một điểm mà mặt phẳng đi qua và VTPT của nó. Để xác định VTPT ta cần
chú ý một số tính chất sau đây
* Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì chúng có cùng VTPT.
* Nếu mp(P) chứa hoặc song song với AB thì
AB
uuur
là một VTCP của mp()
* Nếu mp(P)(Q) thì VTPT của mặt phẳng này sẽ là VTCP của mặt phẳng kia.
* Nếu mp(P) AB thì
AB
uuur
là một VTPT của mp(P).
* Thông thường để lập phương trình mặt phẳng ta phải đi tìm cặp VTCP, từ đó tìm
được VTPT.
2)
0 0 0
M(x ;y ;z )
(P):
0 0 0
Ax By Cz D 0 Ax By Cz D 0
.
Ví dụ 2: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua
A 1;2;3
và vuông góc với hai mặt
phẳng :
:x 2 0
;
: y z 1 0
.
Giải: Vì mp(P) vuông góc với hai mp
( )
và mp
( )
nên mp(P) có VTPT là
P
n [n ,n ] (0;1;1) pt mp(P):y z 5 0
uur uur uur
.
Ví dụ 3: Cho mp
P : 2x y z 1 0
và
A 1;2;3
.
1) Tìm hình chiếu vuông góc H của A lên (P).
2) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua mp(P).
Giải:
1) Gọi
H(x;y;z)
là hình chiếu của A lên mp(P), ta có:
2x y z 1 0
(1)
Mặt khác:
AH (P) AH (x 1;y 2;z 3)
uuur
cùng phương với
P
n (2;1;1)
uur
x 1 y 2 z 3
t x 2t 1;y t 2;z t 3
2 1 1
thay vào (1) ta được:
4 5 2 5
2(2t 1) t 2 t 3 1 0 t H( ; ; )
3 3 3 3
.
2) Gọi
A'(x;y;z)
đối xứng với A qua mp(P), khi đó H là trung điểm của AA’
13 2 1
A'( ; ; )
3 3 3
.
Tọa độ trong không gian GV: Nguy
ễn Tất Thu ĐT: 0918927276
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai
5
Bài tập:
Bài 1: Viết phương trình mp(P) biết
1) (P) đi qua
A 1;0; 3
và có VTPT
n (1; 3;5)
r
.
2) (P) đi qua
M 1; 1;1 , N 0;2;0 , P 2; 3; 4
.
3) (P) là mp trung trực của đoạn AB với
A 4;3;2 , B 0; 1;4
.
4) (P) đi qua
2;3;2
M
và có cặp VTCP là
u 1;1; 2 ;v 3;1;2
r r
.
5) (P) đi qua
2;3;4
M và song song với trục
Ox;Oz
.
6) (P) đi qua hai điểm
M 1; 2;1 ;N 1;1;3
và // với trục
Oy
.
7) (P) đi qua
M 2; 1;1 ;N 2;3; 1
và vuông góc với mp
Q :4x y 2z 1 0
.
8) (P) đi qua các hình chiếu của điểm
4; 1;2
M
trên các mặt phẳng toạ độ.
Bài 2: Cho mp
P : 2x y z 1 0
và hai điểm
A 1;1;3 , B 0;2;1
.
a) Tìm hình chiếu của A lên mp(P).
b) Tìm
M 1;y;z
thuộc (P) sao cho
MA MB
.
Bài 3: Cho mp
P : 3x 8y 7z 1 0
và hai điểm
A 0;0; 3 , B 2;0; 1
. Tìm M
thuộc (P) sao cho tam giác AMB là tam giác đều.
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có
A 5;1;3 ;B 1;6;2 ;C 5;0;4 ;D 4;0;6
1) Viết phương trình mặt phẳng (BCD).
2) Viết phương trình mặt phẳng
1
P
đi qua A và vuông góc với BC
3) Viết phương trình mặt phẳng
2
P
đi qua A,B và //CD
4) Viết phương trình mặt phẳng
3
P
đi qua A và chứa Ox
5) Viết phương trình mặt phẳng
4
P
đi qua B và // mặt phẳng (ACD)
6) Tìm toạ độ hình chiếu của A trên mặt phẳng (BCD).
Vấn đề 3: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG
1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng :
Cho hai mp(P):
Ax By Cz D 0
và (Q):
A’x B’y C’z D’ 0
Tọa độ trong không gian GV: Nguy
ễn Tất Thu ĐT: 0918927276
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai
6
* (P) cắt (Q)
A:B:C A’:B’:C’
.
A B C D
*(P)//(Q)
A' B' C' D'
A B C D
*(P) (Q)
A' B' C' D'
*(P) (Q) AA' BB' CC' 0
2. Chùm mặt phẳng:
Cho hai mp(P) và (Q) cắt nhau ; () là mp đi qua giao tuyến của (P) và (Q). Khi đó
phương trình của () có dạng :
(Ax By Cz D) (A'x B'y C'z D') 0
và được gọi là phương trình
chùm mp.
3. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho ba mặt phẳng:
1 2
( ):x y z 3 0; ( ):2x 3y 4z 1 0
và
3
( ): x 2y z 4 0
1) Xét vị trí tương đối giữa
1 2
( ),( )
và
1 3
( ),( )
.
2) Viết phương trình mp(P) đi qua
1;0;1
A và giao tuyến của
1
( )
và
2
( )
.
3) Viết pt mp(Q) đi qua giao tuyến của hai mp (α
1
) và (α
3
) và đồng thời vuông góc
với mp (α
2
).
Giải:
1) Ta có:
1
1 1 1
( )
2 3 4
và
2
( )
cắt nhau.
Tương tự thì hai mặt phẳng
1
( )
và
3
( )
cũng cắt nhau.
2) Vì mp(P) đi qua giao tuyến của
1
( )
và
2
( )
nên phương trình của (P) có dạng:
(x y z 3) (2x 3y 4z 1) 0
với
2 2
0
( 2 )x ( 3 )y ( 4 )z 3 0
.
Vì
A(1;0;1) (P) 5 0 5
Vậy phương trình mp(P):
7x 8y 9z 16 0
.
3) Phương trình của mp(Q) có dạng:
(x y z 3) (x 2y z 4) 0
( )x ( 2 )y ( )z 3 4 0
Vì
2
2 Q
(Q) ( ) n .n 0 2( ) 3( 2 ) 4( ) 0 0
uur uuuur
Vậy phương trình mp(Q):
x 2y z 4 0
hay
3
(Q) ( )
.
Ví dụ 2: Tìm m,n để hai mặt phẳng sau song song với nhau
P : 2x my nz 5 0
và
Q : m 1 x 6y 6z 2 0
.
Giải:
Tọa độ trong không gian GV: Nguy
ễn Tất Thu ĐT: 0918927276
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai
7
Hai mp (P) và (Q) song song với nhau
m 1 6 6 2
2 m n 5
Từ
2
m 4
m 1 6
m m 12 0
m 3
2 m
.
* Với
m 4 n 4
* Với
m 3 n 3
Vậy
(m;n) ( 4;4), (3; 3)
là các cặp số cần tìm.
Ví dụ 3: Tìm m,n để 3 mặt phẳng sau cùng đi qua một đường thẳng:
P : 2x my nz 3 0
,
Q : x y 3z 1 0
,
R : 2x 3y z 1 0
.
Giải:
Cách 1: Lấy hai điểm A,B thuộc cả hai mp(Q) và (R), khi đó tọa độ của A,B là
nghiệm của hệ:
x y 3z 1 0
2x 3y z 1 0
*Cho
z 1 x 6,y 4 A(6; 4;1)
.
*Cho
z 0 x 4,y 3 A( 4;3;0)
.
Ba mp đã cho cùng đi qua một đường thẳng
A,B (P)
5
m
4m n 15
3
3m 5 25
n
3
là giá trị cần tìm.
Cách 2: Phương trình của mọi mp đi qua giao tuyến của (Q) và (R) đều có dạng
( 2 )x ( 3 )y ( 3 )z 0
.
Ba mp trên cùng đi qua một đường thẳng
2 3 3
2 m n 3
Từ
2
8
2 3
, chọn
5 25
1 8 m ,n
3 3
.
Bài tập:
1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua
M 1;0;1
và đi qua giao tuyến của
và
. Với
:2x y z 4 0
,
: x y 3z 1 0
.
2) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của hai mp (P):
x y 2 0
và
(Q):4y z 2 0
đồng thời song song với mặt phẳng(R):
x 3y z 2 0
.
3) Xét vị trí tương đối giữa các cặp mặt phẳng sau:
a)
x 2y z 0
và
2x 4y 2z 1 0
b)
5 1 0
x y
và
5 1 0
y x
4) Tìm m,n để hai mp sau đây song song với nhau
(P):mx 2y (n 1)z 1 0 ; 3x (m 1)y mz 2 0
5) Với giá trị nào của m thì hai mp sau đây vuông góc với nhau
Tọa độ trong không gian GV: Nguy
ễn Tất Thu ĐT: 0918927276
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai
8
(P):mx 2y (2m 1)z 1 0 ; 3x (m 1)y 3z m 1 0
6) Chứng minh rằng ba mp sau cùng đi qua một đường thẳng:
(P):x 3y 2z 1 0; (Q):3x y z 1 0; (R):25x 5y 6z 9 0
.
Vấn đề 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. Phương trình tổng quát của đường thẳng:
Cho hai mp
P : Ax By Cz D 0
và
Q : A’x B’y C’z D’ 0
. Giả sử
(P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ( ). Khi đó phương trình của có dạng.
Ax By Cz D 0
A'x B'y C'z D' 0
(1)
(1) Gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng .
2. Phương trình tham số của đường thẳng:
a) Định nghĩa: Cho đường thẳng . Véc tơ
0
n
r r
gọi là véc tơ chỉ phương của đ/t
nếu nó nằm trên đường thẳng song song hoặc trùng với .
Chú ý: * Nếu có pt tổng quát (1) thì
[ , ']
u n n
r r ur
là một véc tơ chỉ phương của .
* Đường thẳng AB có
AB
uuur
là VTCP .
b) Cho đường thẳng đi qua
0 0 0
M(x ;y ;z )
và có VTCP
u (a;b;c)
r
. Khi đó phương
trình đường thẳng có dạng:
0
0
0
x x at
y y bt t R (2)
z z ct
(2) gọi là phương trình tham số của đường thẳng , t gọi là tham số.
3. Phương trình chính tắc:
Cho đường thẳng đi qua
0 0 0
M(x ;y ;z )
và có VTCP
u (a;b;c)
r
. Khi đó phương
trình đường thẳng có dạng:
0 0 0
x x y y z z
(3)
a b c
(3) gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng .
Chú ý: Trong (3) nếu mẫu bằng 0 thì ta quy ước tử cũng bằng 0.
4. Cách chuyển từ pttq sang ptts và ngược lại:
a) Chuyển từ tham số sang tổng quát
Từ 1 trong 3 phương trình của hệ (2) ta rút t rồi thế vào hai pt còn lại
b) Chuyển từ pttq sang ptts
Tọa độ trong không gian GV: Nguy
ễn Tất Thu ĐT: 0918927276
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai
9
C 1: Từ (1) suy ra VTCP
[ , ']
u n n
r r ur
, để chọn điểm đi qua ta cho một ẩn và giải hệ
tìm hai ẩn còn lại.
C 2: Đặt một ẩn bằng t, giải hai ẩn còn lại qua t ta tìm được ptts.
5. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Lập ptts, ptct và pttq của đường thẳng d biết:
1) d đi qua
A 2;0;1
và có VTCP
u (1; 1; 1)
r
.
2) d đi qua
A 1;2;1
và
B 1;0;0
.
3) d đi qua
M 2;1;0
và vuông góc với mp(P):
x 2y 2z 1 0
.
4) d đi qua
N 1;2; 3
và song song với đường thẳng
x y z 3 0
:
2x y 5z 4 0
.
Giải:
1) Phương trình tham số của d:
x 2 t
y t
z 1 t
Phương trình chính tắc của d:
x 2 y z 1
1 1 1
Phương trình tổng quát của d:
x 2 y
x y 2 0
1 1
y z 1 y z 1 0
1 1
.
2) Vì d đi qua A và B nên d nhận
AB ( 2; 2; 1)
uuur
là VTCP
Phương trình tham số của d:
x 1 2t
y 2 2t
z 1 t
Phương trình chính tắc của d:
x 1 y 2 z 1
2 2 1
Phương trình tổng quát của d:
x 1 y 2
x y 1 0
2 2
y 2 z 1 y 2z 0
2 1
.
3) Vì d vuông góc với mp(P) nên d nhận VTPT của (P)
P
n (1;2; 2)
uur
làm VTCP
Phương trình tham số của d:
x 2 t
y 1 2t
z 2t
Tọa độ trong không gian GV: Nguy
ễn Tất Thu ĐT: 0918927276
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai
10
Phương trình chính tắc của d:
x 2 y 1 z
1 2 2
Phương trình tổng quát của d:
x 2 y 1
2x y 5 0
1 2
y 1 z y z 1 0
2 2
.
4) Đường thẳng
có VTCP:
1 2
u [n ,n ] (4; 7; 3)
uur uur uur
Vì d//
nên d nhận
d
u (4; 7; 3)
uur
làm VTCP.
Phương trình tham số của d:
x 1 4t
y 2 7t
z 3 3t
Phương trình chính tắc của d:
x 1 y 2 z 3
4 7 3
.
Phương trình tổng quát của d:
x 1 y 2
7x 4y 1 0
4 7
y 2 z 3 3y 7z 27 0
7 3
.
Chú ý:
Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết:
1) Nó là giao tuyến của hai mặt phẳng: Vì có nhiều cặp mp đi qua đường thẳng nên
khi chọn cặp mp ta cần chú ý các tính chất sau:
*) Nếu đường thẳng d đi qua M và vuông góc với d’ thì đường thẳng d nằm trong mặt
phẳng đi qua M và vuông góc với d’
*) Nếu đường thẳng d đi qua M và cắt đường thẳng d’ thì đường thẳng d nằm trong
mặt phẳng đi qua M và đường thẳng d’
*) Nếu đường thẳng d đi qua M và song song với mặt phẳng (P) thì đường thẳng d
nằm trong mặt phẳng đi qua M và song song vơi mp(P)
*) Nếu đường thẳng d song song với đường thẳng d’ và cắt đường thẳng d” thi
đường thẳng d nằm trong mặt phẳng chứa d” và song song với đường thẳng d’
2) Đi qua một điểm và VTCP.
Ví dụ 3: Viết phương trình của đường thẳng
biết
1)
đi qua
M 1;0; 1
và vuông góc với hai đường thẳng
1 2
x y z 3 0 2x y 1 0
(d ): (d ):
2x y 6z 2 0 z 0
.
Giải:
Ta có:
1
d
có VTCP
1
u (5; 8; 3)
uur
;
2
d
có VTCP
2
u (1; 2;0)
uur
Cách 1: Giả sử
u (a;b;c)
r
là một VTCP của
. Vì
vuông góc với d
1
và d
2
nên
Tọa độ trong không gian GV: Nguy
ễn Tất Thu ĐT: 0918927276
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai
11
1
2
a 2b
u .u 0
5a 8b 3c 0
b
u .(6;3;2)
2
a 2b 0
3
c b
u .u 0
3
uur uur
r
uur uur
Phương trình
là:
x 1 6t
y 3t
z 1 2t
.
Cách 2: Gọi (P) là mp đi qua M và vuông góc với
1
d (P)
nhận
1
u (5; 8; 3)
uur
làm
VTPT
(P):5x 8y 3z 8 0
Goi (Q) là mp đi qua M và vuông góc với
2
d (P)
nhận
2
u (1; 2;0)
uur
làm
VTPT
(P): x 2y 1 0
.
2)
đi qua
M 1;4; 2
và song song với hai mp
P : 6x 6y 2z 3 0
và
Q :3x 5y 2z 1 0
.
Giải :
Cách 1 : Gọi d là giao tuyến của hai mp(P) và (Q)
d P Q
VTCP u [n ,n ] ( 1;9; 24)
uur uur uur
Vì
d
//(P)
//d u u ( 1;9; 24)
//(Q)
uur uur
Vậy phương trình của
x 1 t
: y 4 9t (t R)
z 2 24t
.
Cách 2 : Gọi
( )
là mp đi qua M, song song với (P)
( ):3x 3y z 13 0
Gọi
( )
là mp đi qua M, song song với (Q)
( ):3x 5y 2z 13 0
Vì
//(P) ( ) 3x 3x z 13 0
:
//(Q) ( ) 3x 5y 2z 13 0
.
3)
nằm trong mp(P):
y 2z 0
và cắt hai đường thẳng
1 1
x 1 t x 2 t
(d ): y t (d ): y 4 2t
z 4t z 1
.
Giải: Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (P) với d
1
, d
2
Thay phương trình d
1
vào phương trình (P) ta có :
t 8t 0 t 0 A(1;0;0)
+ = Û = Þ
Thay phương trình d
2
vào phương trình (P) ta có :
2t 6 0 t 3 B(6; 2;1)
+ = Û = - Þ -
Vì
nằm trong (P) đồng thời
cắt d
1
, d
2
nên
đi qua A,B
Þ
nhận
AB (5; 2;1)
= -
uuur
làm VTCP
Tọa độ trong không gian GV: Nguy
ễn Tất Thu ĐT: 0918927276
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai
12
Vậy phương trình của đường thẳng
là:
x 1 5t
y 2t
z t
ì
= +
ï
ï
ï
ï
= -
í
ï
ï
=
ï
ï
î
.
4)
đi qua
(
)
M 4; 5;3
- - và cắt hai đường thẳng
1
x 1 y 3 z 2
(d ):
3 2 1
và
2
x 2 y 1 z 1
(d ):
2 3 5
Giải:
Cách 1: Ta có
1
d
đi qua
1
M ( 1; 3;2)
- - và VTCP
1
u (3; 2; 1)
= - -
uur
Đường thẳng
2
d
đi qua
2
M (2; 1;1)
-
và VTCP
2
u (2;3; 5)
= -
uur
Gọi (P) là mp đi qua M và chứa đường thẳng d
1
. Khi đó (P) có cặp VTCP là
1
MM (3;2; 1)
= -
uuuuur
và
1
u (3; 2; 1)
= - -
uur
Suy ra (P) có VTPT
P 1 1
n [MM ,u ] ( 4;0; 12)
= = - -
uur uuuuur uur
Phương trình (P):
x 3z 5 0
+ - =
.
Tương tự gọi (Q) là mp đi qua M và đường thẳng d
2
, ta có phương trình của
mp(Q):
7x 13y 5z 22 0
- - - =
.
Vì
đi qua M và cắt hai đường thẳng
1 2
d ,d
nên
là giao tuyến của (P) và (Q)
Vậy
có phương trình là:
x 3z 5 0
7x 13y 5z 22 0
ì
+ - =
ï
ï
í
ï
- - - =
ï
î
.
Cách 2: Gọi A, B lần lượt là giao điểm của
và
1 2
d ,d
Vì
1
2
A d
A( 1 3t; 3 2t;2 t) MA (3t 3; 2t 2; t 1)
B d B(2 2y; 1 3y;1 5y)
MB (2y 6;3y 4; 5y 2)
ì
ï
ì
ì
Î
- + - - - = + - + - -
ï
ï
ï
ï ï ï
Þ Þ
í í í
ï ï ï
Î + - + -
= + + - -
ï
îï
î
ï
ï
î
uuur
uuur
đi qua M nên
MA
uuur
cùng phương với
MB
uuur
hay
3(t 1) 2(t 1)
2y 6 3y 4
3(t 1) (t 1)
2y 6 5y 2
ì
+ - -
ï
ï
=
ï
ï + +
ï
í
ï
+ +
ï
=
ï
ï
+ +
ï
î
y t 0 MA (3;2; 1)
Û = = Þ = -
uuur
.
Vậy phương trình
:
x 4 3t
y 5 2t
z 3 t
ì
= - +
ï
ï
ï
ï
= - +
í
ï
ï
= -
ï
ï
î
(t R)
Î
.
Tọa độ trong không gian GV: Nguy
ễn Tất Thu ĐT: 0918927276
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai
13
Nhận xét: * Khi bài toán yêu cầu viết phương trình đường thẳng mà không nói gì
thêm thì ta viết một trong ba loại phương trình tham số, tổng quát, chính tắc
* Cách giải thứ hai là ta xác định đường thẳng bằng cách xác định hai điểm thuộc
đường thẳng . Để xác định một điểm thuộc đường thẳng ta chuyển phương trình
đường thẳng về phương trình tham số, việc làm này giúp chúng ta giảm bớt số ẩn
cần tìm.
5)
đi qua
(
)
M 0;1;1
, vuông góc với đường thẳng
1
x 1 y 2 z
d :
3 1 1
và cắt
đường thẳng
2
x y z 2 0
d :
x 1 0
.
Giải :
Cách 1 : Đường thẳng
2
d
đi qua
A( 1;1;3)
-
và có VTCP
2
u (0;1;1)
=
uur
Đường thẳng
1
d
có CTCP
1
u (3;1;1)
=
uur
Gọi (P) là mp đi qua M vuông góc với đường thẳng
1
d
Þ
(P) nhận
1
u (3;1;1)
=
uur
làm
VTPT
Þ
phương trình của (P) :
3x y z 2 0
+ + - =
.
Gọi (Q) là mp đi qua M và cắt đường thẳng
2
d
Þ
(Q) có cặp chỉ phương là
2
u (0;1;1)
=
uur
và
MA ( 1;0;2)
= -
uuur
Q 2
n [u ,MA] (2; 1;1)
Þ = = -
uur uur uuur
Phương trình (Q) :
2x y z 0
- + =
.
Vì
là giao tuyến của hai mp(P) và (Q)
Þ
3x y z 2 0
:
2x y z 0
.
Cách 2 : Gọi N là giao điểm của
và
2
d N( 1;t;t 1) MN ( 1;t 1;t)
Þ - + Þ = - -
uuur
Vì
vuông góc với
1 1
d MN.u 0 t 2 MN ( 1;1;2)
Þ = Û = Þ = -
uuur uur uuur
Phương trình
:
x t
y 1 t
z 1 2t
ì
= -
ï
ï
ï
ï
= +
í
ï
ï
= +
ï
ï
î
(t R)
Î
.
Ví dụ 4: Cho đường thẳng
:
x 2 y 1 z 1
2 1 2
và điểm A(2;3;1)
1) Tìm tọa độ hình chiếu A’ của A lên đường thẳng
.
2) Tìm M thuộc
sao cho
MA 4
.
Giải :
1) Cách 1 : Vì
A' A'(2 2t;1 t; 1 2t) AA' (2t;t 2; 2t 2)
Î D Þ + + - - Þ = - - -
uuur
Mặt khác
2 14 7 5
AA' AA'.u 0 t A'( ; ; )
9 9 9 9
D
^ D Þ = Û = - Þ -
uuur uur
Cách 2 : Gọi (P) là mp đi qua A vuông góc với
D
(P):2(x 2) (y 3) 2(z 1) 0 2x y 2z 5 0
Þ - + - - - = Û + - - =
Tọa độ trong không gian GV: Nguy
ễn Tất Thu ĐT: 0918927276
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai
14
A’ chính là giao điểm của
D
và (P)
14 7 5
A'( ; ; )
9 9 9
Þ -
.
2)
M M(2 2t;1 t; 1 2t) AM (2t;t 2; 2t 2) MA 4
Î D Þ + + - - Þ = - - - Þ =
uuur
2 2 2 2
2 2 19
4t (t 2) 4(t 1) 16 9t 4t 8 0 t
9
- ±
Û + - + + = Û + - = Û =
Vậy
14 4 19 7 2 19 5 4 19
M( ; ; )
9 9 9
+ + - -
;
14 4 19 7 2 19 5 4 19
M( ; ; )
9 9 9
- - - +
Bài tập:
Bài 1. Cho
M 4; 5;3
và hai đ/t
1
x 1 y 3 z 2
(d ):
3 2 1
và
2
x 2 2t
d : y 1 3t
z 1 5t
ì
= +
ï
ï
ï
ï
= - +
í
ï
ï
= -
ï
ï
î
1) Viết pt mp(P) đi qua M và chứa (d
1
).
2) Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt (d
1
) và vuông góc với (d
2
).
3) Viết pt đường thẳng đi qua M cắt (d
1
) và (d
2
).
4) Viết pt mp(Q) đi qua (d
1
) và song song với (d
2
).
5) Viết pt đường thẳng đi qua M vuông và cắt (d
1
).
6) Viết pt mp(R) đi qua A(1 ;2 ;3) và vuông với (d
2
).
Bài 2. Viết pt đường thẳng đi qua
(
)
A 1 ;1 ; 2
-
song song với mp (P) :
x y z 1 0
và vuông góc với đường thẳng
x 1 y 1 z 2
2 1 3
Bài 3. Trong không gian cho
A 0;0;1 , B 1; 2;0
và
C 2;1; 1
.
1) Viết pt tổng quát của mp
ABC
.
2) Viết pt đường thẳng đi qua trọng tâm ∆ABC và vuông góc với mp(ABC).
Bài 4: Cho
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
A a;0;0 ,B 0;a;0 ,C a;a;0 ,D 0;0;d a,d 0
>
.Gọi
1 1
,
A B
là hình chiếu
vuông góc của gốc tọa độ O xuống DA,DB. Viết pt
(
)
1 1
OA B
.CM :
(
)
1 1
OA B CD
^ .Tính d theo a để
·
1 1
π
A OB
4
=
.
Bài 5: Chuyển phương trình của các đường thẳng sau:
1)
3x y 2z 1 0
x y z 1 0
về ptts. 2)
x 2 3t
y 1 t
z 3t
về pttq
3)
x y z 3 0
2x 2x 3z 1 0
về ptct 4)
x 1
y 1 2t
z 2 t
về pttq và ptct
Tọa độ trong không gian GV: Nguy
ễn Tất Thu ĐT: 0918927276
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai
15
Bài 6. Cho hai đường thẳng
1 2
x 1 t
x 2y z 4 0
(d ): (d ): y 2 t
x 2y 2z 4 0
z 1 2t
1) Viết pt mp(P) chứa (d
1
) song song với (d
2
).
2) Cho M(2;1;4). Tìm H thuộc (d
2
) sao cho MH nhỏ nhất. (ĐH Khối A-2002)
Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1
x y 1 z 2
d :
2 1 1
và
2
x 1 2t
d :
y 1 t ; z 3
.Viết phương trình đường thẳng d
vuông góc với mặt phẳng (P):
7x y 4z 0
và cắt hai đường thẳng d
1
, d
2
.(ĐH
Khối A -2007).
Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm
A( 4; 2;4)
và đường thẳng
x 3 y 1 z 1
:
2 1 4
. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, vuông và cắt
đường thẳng
(ĐH Khối B – 2004 ).
Bài 9:
Tọa độ trong không gian GV: Nguy
ễn Tất Thu ĐT: 0918927276
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai
16
Vấn đề 5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG
VÀ MẶT PHẲNG
1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:
Cho hai đ/t
0 0 0
x x y y z z
(d):
a b c
đi qua
0 0 0
M(x ;y ;z )
có VTCP
u (a;b;c)
r
và
, , ,
0 0 0
x x y y z z
(d'):
a' b' c'
đi qua
, , ,
0 0 0
M'(x ;y ;z )
có VTCP
u' (a';b';c')
ur
.
*Nếu
[u,u']MM' 0 d và d'
r ur uuuuur
đồng phẳng. Khi đó xảy ra ba trường hợp
+) d và d’ cắt nhau
a :b:c a':b':c'
+)
0 0 0 0 0 0
d//d' a :b:c a':b':c' (x x' ;y y ';z z' )
+)
0 0 0 0 0 0
d d' a :b :c a':b':c' (x x' ;y y ';z z' )
* Nếu
[u,u']MM' 0
r ur uuuuur
d và d’ chéo nhau
2. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho
mp( ):Ax By Cz D 0
có VTPT
n (A;B;C)
r
và đường thẳng
0 0 0
x x y y z z
( ):
a b c
có VTCP
u (a;b;c)
r
và đi qua
0 0 0 0
M (x ;y ;z )
.
* (∆) cắt (α)
và
n u
r r
không cùng phương
Aa Bb Cc 0
. Khi đó tọa độ giao
điểm là nghiệm của hệ :
0 0 0
Ax By Cz D 0 (1)
x x y y z z
(2)
a b c
Từ (2)
0 0 0
x x at,y y bt,z z ct
thế vào (1)
t
giao điểm
*
0 0 0
0
Aa Bb Cc 0
n u
( )//( )
Ax By Cz D 0
M ( )
r r
*
0 0 0
0
Aa Bb Cc 0
n u
( ) ( )
Ax By Cz D 0
M ( )
r r
*
( ) ( ) n và u
r r
cùng phương
A :B:C a:b:c
.
3. Các ví dụ
Ví dụ 1 : Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau :
1 2
1 2
x y z 7 0 x 2y z 1 0
1) d : d :
3x 4y 11 0 x y 1 0
x 1 t x 1 2t'
2) d : y 2 t d : y 1 2t'
z 3 t z 2 2t'
Giải :
Đường thẳng d
1
có VTCP
1
u (4;3;1)
uur
và đi qua
1
M (5;1; 3)
Tọa độ trong không gian GV: Nguy
ễn Tất Thu ĐT: 0918927276
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai
17
Đường thẳng d
2
có VTCP
2
u (1; 1; 1)
uur
và đi qua
2
M ( 1;0; 2)
1 2 1 2 1 2 1 2
M M ( 6; 1;1) [u ,u ].M M 0 d và d
uuuuuur uur uur uuuuuur
đồng phẳng.
Mà
1 2
và
u u
uur uur
không cùng phương nên d
1
và d
2
cắt nhau.
Cách 2 : Xét hệ phương trình :
x 2y z 1 0
x y 1 0
x y z 7 0
3x 4y 11 0
x 1
y 2
z 4
thay vào phương trình
thứ tư ta thấy thỏa mãn
hệ có nghiệm duy nhất
Vậy hai đường thẳng d
1
và d
2
cắt nhau tại A(1 ;-2 ;-4).
2) Đường thẳng d
1
có VTCP
1
u (1;1; 1)
uur
và đi qua
1
M (1;2;3)
Đường thẳng d
2
có VTCP
2
u (2;2; 2)
uur
và đi qua
2
M (1; 1;2)
Ta thấy
1 2
và
u u
uur uur
cùng phương và điểm M
1
không thuộc d
2
Vậy d
1
//d
2
.
Ví dụ 2 : Tìm m để hai đường thẳng sau cắt nhau và tìm tọa độ giao điểm của chúng.
1 2
x 7 y 1 z 3 x 4 y z 2
d : d :
2 4 m 1 4 3 2
.
Giải :
Cách 1 : Ta có ptts của đường thẳng
1
x 7 2t
d : y 1 4t
z 3 (m 1)t
và
2
x 4 4t'
d : y 3t'
z 2 2t'
1
d
và
2
d
cắt nhau
hệ
7 2t 4 4t'
1 4t 3t'
3 (m 1)t 2 2t'
có nghiệm.
Từ hai phương trình đầu của hệ
13 5
t ;t'
22 11
thay vào phương trình thứ ba ta
có :
13 10 103
3 (m 1) 2 m
22 11 13
.
Khi đó tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là :
64 15 12
A( ; ; )
11 11 11
.
Cách 2 : Đường thẳng
1
d
có VTCP
1
u (2;4;m 1)
uur
và đi qua
1
M (7;1;3)
Đường thẳng
2
d
có VTCP
2
u (4; 3;2)
uur
và đi qua
2
M (4;0; 2)
1 2 1 2
[u ;u ] (3m 5;4m 8; 22), M M ( 3; 1; 5)
uur uur uuuuuur
1
d
và
2
d
cắt nhau
1 2 1 2
1 2
[u ;u ].M M 0
3(5 3m) (4m 8) 110 0
[u ;u ] 0
uur uur uuuuuur
uur uur r
Tọa độ trong không gian GV: Nguy
ễn Tất Thu ĐT: 0918927276
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai
18
103
m
13
và tọa độ giao điểm là :
64 15 12
A( ; ; )
11 11 11
.
Ví dụ 3 : Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng (d) và mp(α). Tìm tọa độ giao điểm
cảu chúng nếu có.
x 12 4t
1) d: y 9 3t
( ):3x 4y z 2 0
z 1 t
2x 3y 6z 2 0
2) d: ( ):y 4z 17 0
x y z 5 0
x 13 y 1 z 4
3) d: ( ):x 2y 4z 1 0.
8 2 3
Giải :
1) Cách 1 : Thay phương trình của d vào phương trình của
( )
ta có :
3(12 4t) 4(9 3t) 1 t 2 0 23t 69 0 t 3
Vậy d cắt
( )
tại
A(0;0; 2)
.
Cách 2 : Ta có :
d d
u (4;3;1), n (3;4; 1) u .n 35 0
uur uur uur uur
Vậy d và
( )
cắt nhau
2) Cách 1 : Xét hệ phương trình
2x 3y 6z 2 0 y 4z 17
x y z 5 0 2x 6z 49 0
y 4z 17 0 x 3y 12 0
Ta thấy hệ này vô nghiệm
d//( )
.
Cách 2 : Ta có :
d d
u ( 3;4; 1), n (0;1;4) u .n 0
uur uur uur uur
Mặt khác điểm
28 13
M(0; ; ) d
3 3
mà
M ( ) d//( )
.
3) Ta có
d d
u (8;2;3), n (1;2; 4) u .n 0
uur uur uur uur
và điểm
M(13;1;4) d
đồng thời
M ( ) d ( )
.
Chú ý : Để chứng minh đường thẳng
( ) ( )
ta có thể lấy hai điểm thuộc
( )
và
chứng minh 2 điểm đó cũng thuộc
mp( )
.
Ví dụ 4 : Cmr đ/t
5x 2y 3z 5 0
d:
x 4y 5z 15 0
nằm trong
mp( ):2x 3y z 10 0
.
Giải :
Cách 1 : Lấy hai điểm thuộc đường thẳng d là
46 6
( 1; ; )
11 11
A và
24 16
(1; ; )
11 11
B .
Kiểm tra ta thấy hai điểm A và B đều thuộc
mp( ) d ( )
.
Cách 2 : Đường thẳng d có VTCP là
u ( 22; 22;22)
r
và
mp( )
có VTPT
(2; 3; 1)
n
r
. Ta có
u.n 0 d //( )
r r
Tọa độ trong không gian GV: Nguy
ễn Tất Thu ĐT: 0918927276
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai
19
Mặt khác
46 6
( 1; ; )
11 11
A
thuộc d và
( )
mp
nên ta có
( )
d
.
Ví dụ 5 : Tìm m để đường thẳng (d
m
) :
(2m 1)x (1 m)y m 1 0
mx (2m 1)z 4m 2 0
Song song với mp(P) :
2 2 0
x y
(ĐH Khối D-2002)
Giải:
Cách 1: Đường thẳng d
m
có VTCP
2 2 2
u ( 2m m 1; 4m 4m 1;m m)
r
và đi
qua A(0;1;-2). Mặt phẳng (P) có VTPT
(2; 1;0)
n
r
2 2
m
u.n 0
1
4m 2m 2 4m 4m 1 0
d //(P) m
2
A (P)
1 2 0
r r
.
Cách 2:
/ /( )
m
d P
hệ pt sau vô nghiệm:
(2m 1)x (1 m)y m 1 0
mx (2m 1)z 4m 2 0
2x y 2 0
2
m 1
x
3
(2m 1)x (1 m)y m 1 0
m 11m 6
mx (2m 1)z 4m 2 0 (2m 1)z
3
y 2x 2
y 2x 2
Suy ra hệ vô nghiệm
1
2m 1 0 m
2
.
Ví dụ 1: Cho hai đ/t:
x 1 y 1 z 2 x 2 y 2 z
d: , d':
2 3 1 1 5 2
. Cmr (d) và
(d’) chéo nhau. Lập phương trình đường vuông góc chung của (d) và (d’).
Giải :
Ta có : d đi qua
M( 1;1;2)
và có VTCP
d
u (2;3;1)
uur
; d’ đi qua
M'(2; 2;0)
và có
VTCP
d '
u (1;5; 2)
uuur
.
d d ' d d'
[u ;u ]=( 11;5;7), MM' (3; 3; 2) [u ;u ].MM' 62 0
uur uuur uuuuur uur uuur uuuur
.
d và d’ chéo nhau.
Lập phương trình đường vuông góc chung
Cách 1 : Gọi (P) là mp đi qua d và nhận
d d'
u [u ;u ]=( 11;5;7)
r uur uuur
làm VTCP.
P d
n [u;u ]=(16; 25;43)
uur r uur
và (P) đi qua M
Phương trình (P) :
16(x 1) 25(y 1) 43(x 2) 0
hay
16x 25y 43x 45 0
Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua d’ và nhận
d d '
u [u ;u ]=( 11;5;7)
r uur uuur
làm VTCP.
Tương tự ta có phương trình của mp(Q) là :
3x y 4z 4 0
.
Tọa độ trong không gian GV: Nguy
ễn Tất Thu ĐT: 0918927276
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai
20
Phương trình đường vuông góc chung của d và d’ là:
16x 25y 43x 45 0
3x y 4z 4 0
.
Cách 2 : Gọi AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d và d’
A d A( 1 2t;1 3t;2 t)
,
B d' B(2 t'; 2 5t'; 2t')
AB (t' 2t 3;5t' 3t 3; 2t' t 2)
uuur
.
Vì AB là đoạn vuông góc chung
d
d '
37
t'
AB.u 0
15t' 14t 5
195
30t' 15t 8 2
AB.u 0
t
13
uuur uur
uuur uuur
.
AB
682 62 434
AB ( ; ; ) u (11; 5; 7)
195 39 195
uuur uuuur
và
17 7 24
A( ; ; )
13 13 13
.
Vậy phương trình AB:
17 7 24
x y z
13 13 13
11 5 7
.
Chú ý : Để lập phương trình vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau (d) và
(d’) ta có các cách sau:
C 1: Tìm
d d '
u u ,u
r uur uuur
, lập phương trình mp(P) đi qua (d) và nhận
u
r
làm VTCP và
phương trình mp(Q) đi qua (d’) nhận
u
r
làm VTCP. Khi đó đường vuông góc chung
(P) (Q)
.
C 2: Chuyển pt (d) và (d’) về dạng tham số
0 0
0 0
0 0
x x at x x ' a't'
d: y y bt ; d': y y ' b't'
z z ct z z ' c't'
Lấy M và N thuộc (d) và (d’), khi đó
0 0 0
M(x at;y bt;z ct)
,
0 0 0
N(x ' a't';y ' b't';z ' c't')
. Khi đó MN là đường vuông góc chung của (d) và
(d’)
MN.u 0
MN.u' 0
uuuur r
uuuur ur
giải hệ này ta tìm được t, t’ từ đó ta có M, N.
Bài tập
Bài 1. Cho
mp( ):3x y 2z 2 0
và đường thẳng
x 3 x 4 z
(d):
3 1 2
a) Chứng minh rằng :
d ( )
tại A. Xác định A.
b) Cmr đường thẳng
x 1 0
( ):
y 2z 1 0
nằm trong
( )
. Viết phương trình
( )
mp
chứa đường thẳng (d) và song song với
( )
. Chứng minh
( ) ( )
.
Bài 2. Cho hai đường thẳng
1 2
2x y 1 0 3x y z 3 0
d : , d :
x y z 1 0 2x y 1 0
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) cắt nhau tại A.
Tọa độ trong không gian GV: Nguy
ễn Tất Thu ĐT: 0918927276
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai
21
b) Viết phương trình mp(P) đi qua hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
).
Bài 3. Cho hai điểm A(0;0;-3), B(2;0;-1) và mp(P): 3x-8y+7z-1=0
a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng AB và mp(P).
b) Tìm tọa độ điểm C nằm trên mp(P) sao cho tam giác ABC đều.
Bài 4. Chứng minh rằng hai đường thẳng
1
x x 1 z
d :
1 2 3
;
2
3x y z 3 0
d :
2x y 1 0
và A(1;-1;1) cùng nằm trong một mặt phẳng.
Bài 5. Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng :
x y 2z 0
( ):
x y z 1 0
và đường
thẳng
x 2 y z 2
(d):
1 2 1
.
Bài 6. Cho A(2 ;3 ;5) và mp(P) :
2x 3y z 17 0
a) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với (P).
b) Chứng minh rằng đường thẳng (d) cắt trục Oz tại M. Tìm tọa độ điểm M
c) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua (P).
Bài 7. Cho đường thẳng
k
x 3 y 1 z 1
(d ):
k 1 2k 3 1 k
a) Cmr (d
k
) luôn nằm trong một mp cố định. Viết phương trình mp cố định đó.
b) Tìm k để (d
k
) song song với hai mp:
6x y 3z 13 0
và
x y 2z 3 0
.
Bài 8. Cho hai đ/t
x y z 2 0
x 1 y 2 z 1
d: , d':
x 3y 12 0
3 1 2
a) Cmr (d) //(d’). Viết pt mp đi qua (d) và (d’).
b) mp(Oxz) cắt (d) và (d’) tại A và B. Tính diện tích tam giác OAB.
Bài 9. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 3 đường thẳng:
1
x y 2 0
d :
2x z 6 0
,
2
x 4 y 2 z 1
d :
1 2 1
,
3
x 5 y 1 z 2
d :
2 1 1
Chứng minh rằng d
1
,d
2
chéo nhau và viết phương trình đường thẳng d cắt d
1
,cắt d
2
và
song song với d
3
.
Bài 10. Trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho hai đường thẳng
1
( )
và
2
( )
:
1
8x z 23 0
( ):
4x y 10 0
và
2
2x z 3 0
( ):
2x y 2 0
Viết phương trình đường thẳng
( )
song song với trục Ox và đồng thời cắt cả hai
đường thẳng
1
( )
,
2
( )
.
Bài 11: Viết pt đường vuông góc chung của (d) và (d’)
3x y 5z 1 0
x 3 y 1 z 1
1) d : d':
2x 3y 8z 3 0
7 2 3
x 7 y 3 z 9 x 3 y 1 z 1
2) d: d':
1 2 1 7 2 3
.
Tọa độ trong không gian GV: Nguy
ễn Tất Thu ĐT: 0918927276
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai
22
Vấn đề 6: KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Khoảng cách từ M(x
0
;y
0
;z
0
) đến mp(P):
Ax By Cz+D=0
là:
0 0 0
2 2 2
| Ax By Cz D |
d(M,(P))
A B C
.
2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Cho đường thẳng
đi qua M
0
, có VTCP
u
r
và điểm M
. Khi đó để tính
khoảng cách từ M đến
ta có các cách sau:
C 1: Sử dụng công thức:
0
|[M M,u]|
d(M, )
| u |
uuuuur r
r
.
C 2: Lập phương trình mp(P) đi qua M vuông góc với
. Tìm giao điểm H của (P)
với
. Khi đó độ dài MH là khoảng cách cần tìm.
3. Khoảng cách giữ hai đường thẳng chéo nhau:
Cho hai đường thẳng chéo nhau
đi qua M
0
có VTCP
u
r
và
’ đi qua M’
0
có
VTCP
u'
ur
. Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
’ được tính theo các
cách sau:
C 1: Sử dụng công thức:
0 0
u,u' .M M'
d( , ')
u,u'
r ur uuuuuuur
r ur
.
C 2: Tìm đoạn vuông góc chung MN. Khi đó độ dài MN là khoảng cách cần tìm.
C 3: Lập phương trình mp(P) đi qua
và song song với
’. Khi đó khoảng cách cần
tìm là khoảng cách từ một điểm bất kì trên
'
đến (P).
Ví dụ 1: Tính khoảng cách từ A(1;-2;3) đến đường thẳng
x 1 t
: y 1 t
z 2t
.
Giải:
Cách 1: Đường thẳng
đi qua
M(1;1;0)
và có VTCP
u (1; 1;2)
uur
AM (0;3; 3) [AM,u ] ( 3;3;3)
uuuur uuuur uur
Vậy
|[AM,u ]|
3 3 3 2
d(A, )
2
| u |
6
uuuur uur
uur
.
Cách 2: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
H(1 t;1 t;2t)
3
AH (t;3 t;2t 3) AH.u 0 6t 9 0 t
2
uuur uuur uur
3 3 3 2
AH ( ; ;0) d(A, ) AH
2 2 2
uuur
.
Tọa độ trong không gian GV: Nguy
ễn Tất Thu ĐT: 0918927276
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai
23
Ví dụ 2: Tính khoảng cách giữa cặp đường thẳng sau:
x 1
: y 4 2t
z 3 t
và
x 3t'
': y 3 t'
z 2
.
Giải:
Cách 1:
Đường thẳng
đi qua M(1;-4;3) và có VTCP
u (0;2;1)
uur
Đường thẳng
’ đi qua M’(0;3;-2) và có VTCP
'
u ( 3;1;0)
uuur
' '
[u ,u ]=( 1; 3;6), MM' ( 1;7; 5) [u ,u ].MM' 50
uur uuur uuuuur uur uuur uuuuur
.
Vậy
'
'
|[u ,u ].MM'|
50
d( , ')
|[u ,u ]|
46
uur uuur uuuuur
uur uuur
.
Cách 2:
Lấy
A A(1; 4 2t;3 t)
và
B ' B( 3t';3 t'; 2)
AB ( 3t' 1;t' 2t 7; t 5)
uuur
AB là đoạn vuông góc chung của
và
'
'
AB.u 0
AB.u 0
uuur uur
uuur uuur
16
t'
2t' 5t 9
23
10t' 2t 10 35
t
23
25 75 150 50
AB ( ; ) AB
23 23 23
46
uuur
Vậy
50
d( , ') AB
46
.
Ví dụ 3: Lập phương trình mp(P) biết :
1) (P) song song với mp(Q): 2x-3y-6z-14=0 và khoảng cách từ O đến (P) bằng 5.
2) (P) chứa đường thẳng
:
x 2 y 1 z
3 2 1
và khoảng cách từ
1
M(0;0; )
2
đến (P)
bằng
7
6 3
.
Giải:
1) Vì (P) // (Q)
(P):2x 3y 6z D 0
Mà
2 2 2
| D|
d(O,(P)) 5 5 D 35
2 3 6
.
Vậy phương trình mp(P):
2x 3y 6z 35 0
.
2) Phương trình tổng quát của
x 3z 2 0
:
y 2z 1 0
. Vì (P) chứa
nên phương trình
Tọa độ trong không gian GV: Nguy
ễn Tất Thu ĐT: 0918927276
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai
24
mp
(P): (x 3z 2) (y 2z 1) 0 x y (3 2 )z 2 0
.
Vì
2 2 2
1
| (3 2 ) 2 |
7 7
2
d(M,(P))
6 3 6 3
(3 2 )
2 2
17 12 5 0
5
17
.
* Với
(P):x y 5z 1 0
.
* Với
5
17
chọn
17 5 (P):5x 17y 36z 27 0
.
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ toạ độ đề các vuông góc Oxy cho bốn điểm
A(1;0;0) , B(1;1;0) ,C(0;1;0), D(0;0;m) với m là tham số khác 0.
1) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD khi m=2
2) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên BD .Tìm các giá trị của tham số m để
diện tích tam giác OBH đạt giá trị lớn nhất.
Giải:
Ta có:
AB (0;1;0), CD (0; 1;m)
uuur uuur
1) Với m=2 ta có:
CD (0; 1;2)
uuur
và
AC ( 1;1;0)
uuur
[AB,CD] (2;0;0) [AB,CD].AC 2
uuur uuur uuur uuur uuur
|[AB,CD].AC| 2
d(AB,CD) 1
2
|[AB,CD]|
uuur uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
.
2) Đặt
2 2 2
x OH BH OB OH 2 x
2 2 2 2 2
OBH
1 1 1 1
S x. 2 x x (2 x ) (x 2 x )
2 2 4 2
.
Đẳng thức xảy ra
x 1 OH 1 d(O,BD)=1
Ta có:
BD ( 1; 1;m), OB (1;1;0) [BD,OB] ( m;m;0)
uuur uuur uuur uuur
2 2
2
|[BD,OB| m 2
d(O,BD)= 1 2m 2 m m 1
| BD|
2 m
uuur uuur
uuur
.
Vậy
m 1
là giá trị cần tìm.
Ví dụ 5: (ĐH Khối A – 2004 )
Trong không gian cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC và BD cắt
nhau tại gốc tọa độ O. Biết A(2;0;0), B(0;1;0),
S(0;0;2 2)
. Gọi M là trung điểm của
SC.
1) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BM.
2) Giả sử mp(ABM) cắt SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN
Giải:
1) Vì C và D lần lượt đối xứng với A và B qua gốc tọa độ O nên C(-2;0;0), D(0;-1;0)
Tọa độ trong không gian GV: Nguy
ễn Tất Thu ĐT: 0918927276
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai
25
tọa độ trung điểm
M( 1;0; 2)
1) Ta có:
SA ( 2;0;2 2), BM ( 1; 1; 2), SB (0;1; 2 2)
uuur uuur uur
[SA,BM] (2 2;0;2) [SA,BM].SB 4 2
uuur uuur uuur uuur uur
.
Vậy
|[SA,BM].SB| 4 2 2 6
d(SA,BM)
3
|[SA,BM]|
2 3
uuur uuur uur
uuur uuur
.
2) Ta có
AB//CD//MN N
là trung điểm của SD
1
N(0; ; 2)
2
1
SM ( 1;0; 2), SN (0; ; 2)
2
uuur uuur
*
SABN
1 2 2
V |[SA,SB].SN|
6 3
uuur uur uuur
*
SAMN
1 2
V |[SA,SM].SN|
6 3
uuur uuur uuur
Vậy
S.ABMN SABN SAMN
V V V 2
.
Bài tập:
Bài 1: Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
x 1 3t
x 2 y 1 z
1) : y 2 2t ':
2 2 2
z 1
x 3 y 3 z 4 x 1 y 6 z 1
2) : ':
2 2 3 1 2 0
Bài 2: Tính khoảng cách
1) Từ M(2;3;1) đến đường thẳng
x 2 y 1 z 1
:
1 2 2
.
2) Từ N(2;3;-1) đến đường thẳng
x y 2z 1 0
:
x 3y 2z 2 0
.
Bài 3: Trong không gian cho hai đường thẳng :
1
x az a 0
d :
y z 1 0
và
2
ax 3y 3 0
d :
x 3z 6 0
.
1) Tìm a để hai đường thẳng d
1
và d
2
cắt nhau.
2) Với a=2: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d
2
và song song với
đường thẳng d
1
. Tính khoảng cách giữa d
1
và d
2
.
Bài 4: Lập phương trình mp(P) biết
1) (P) song song mp: 2x-3y-5z+1=0 và khoảng cách từ M(-1;3;1) đến (P) bằng 3.
2) (P) đi qua A(2;0;0), B(0;3;0) và khoảng cách từ O đến (P) bằng
6
7
