Tự luận và trắc nghiệm đại số tổ hợp (đại học)

Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp


1

Nguyễn Phú Khánh















TỰ LUẬN VÀ TRẮÉC NGHIỆM

ĐẠI SỐ TỔ HP




TẬP 1

Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp


2

Lời Mở Đầu
Các em học sinh thân mến! Trong những năm gần đây những đề thi
hay thường có một lượng nhỏ dạng toán tổ hợp. Từ đó thấy rằng Đại số
Tổ hợp chiếm một vò trí khá quan trọng. Đây là dạng toán tương đối khó,
khá hay, khổ thay hơn nữa tài liệu tham khảo hoàn chỉnh phần này không
nhiều lắm. Hiện nay có rất nhiều tài liệu về Đại số tổ hợp không phù hợp
với sự tự học và ôn luyện, mà phù hợp cho học sinh chuyên chọn. Bởi
vậy, chúng tôi đã nghiên cứu và tinh lọc những dạng toán hỗn hợp phù
hợp và bám sát chương trình của Bộ Giáo Dục ban hành. Do vậy tài liệu
này đã được nhiều bạn đọc và đồng nghiệp đánh giá cao.
Đại số Tổ hợp không chỉ có trong lónh vực giảng dạy và nghiên cứu,
mà còn ứng dụng trong công nghệ thông tin, Điện – Điện tử và các ngành
kinh tế – kỹ thuật. Chính vì lẽ đó, từng dạng toán trong tổ hợp càng mang
tính khoa học và trí tuệ.
Tài liệu đã được biên soạn khá công phu, phân loại từng dạng toán
và đề cập nhiều bài toán sai lầm phổ biến khi giải toán đại số tổ hợp
trong trường phổ thông, do tính kế thừa phương pháp trắc nghiệm trong
tuyển sinh, chúng tôi đã tinh lọc và giới thiệu dạng trắc nghiệm cho bạn
đọc. Chúng tôi hy vọng với quyển sách này, các em có thể tự luyện tập
để khỏi bỡ ngỡ trước các đề toán kiểm tra và thi bằng phương pháp trắc
nghiệm phần đại số tổ hợp.

Dù biên soạn hết sức thận trọng, song cũng không thể tránh những
thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp chân tình của quý bạn đọc và đồng
nghiệp, để tập sách này được hoàn thiện. Mọi sự đóng góp xin vui lòng
liên hệ : 79/1 đường 3/2 , Dalat, Lâm Đồng.
Dalat, mùa thi 2007 – 2008
Nguyễn Phú Khánh
Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp


3

GIAI THỪA

I. Giai thừa: với mọi số tự nhiên n
≠
0, tích 1.2.3. n được
gọi là n giai thừa và được ký hiệu là n! ; n! = n(n – 1)(n – 2)
2.1.
II. Công thức:
n 2) p1)(n p(n
)!(
!
++=
− pn
n
⇒
n 2). 1)(p (p
!
!
++=

p
n

n! = (n – 1)!n , n! (n + 1) = (n+1)!
Ví dụ 1:
Giải phương trình :
6
1
)!1m(
)!
1
m
(
!
m
=
+
−−

⇔
6
1
)1m(m)!1m(
)
1
m
(
)!
1
m

(
=
+−
−−

• Nếu m = 1 thì phương trình dạng
6
1
!2.1!0
0
!.
0
=
hay 0 =
6
1
vô lý. Vậy m = 1
không là nghiệm.
•
Nếu m
≥
2 thì phương trình dạng
6
1
)1m(m
1
m
=
+
−

⇔
(m – 2)(m – 3) = 0
⇔

m = 2
∨
m = 3
Ví dụ 2:
Giải bất phương trình:
5
!2)!4n)(3n(12
)!1n(n
!4)!3n(
)!1n(
.
1n
5
2n
1
≤








−−
−

−
−
+
+−

Theo đề n ≥ 4 . Bất phương trình dạng
5
6
)1n(n
!4
n)1n)(2n(
!4
n)1n)(2n(5
2n
1
≤
−
=






−−
−
−−
−

⇔ n(n –1) ≤ 30 ⇔




===
≥
trìnhphươngbấtcủanghiệmlà6n,5n,4n
4n

Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp


4



QUY TẮC CỘNG VÀ QUY TẮC NHÂN
I. Quy tắc cộng:
nếu có m
1
cách chọn x
1
, m
2
cách chọn đối tượng x
2
,
m
n
cách chọn x
n

và nếu cách chọn đối tượng x
j
không trùng với bất kỳ
cách chọn j nào (i≠j), j = 1, 2, 3 ,n) thì có m
1
+ m
2
+ + m
n
cách chọn
đối tượng “x
1
hoặc x
2
hoặc x
n
“.
II. Quy tắc nhân:
Nếu một phép chọn được thực hiện qua n bước lên
tiếp. Bước 1 có m
1
cách chọn đối tượng x
2
, bước 2 có m
1
cách chọn đối
tượng x
2
và cứ thế cho đến bước n có m
n

cách chọn đối tượng x
n
.Cuối
cùng, với cách chọn x
1
, x
2
x
n–1
, x
n
như thế ta thực hiện theo m
1
, m
2
m
n

cách khác nhau.
Vd1:
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số và chia hết cho 5?
Bg:
Gọi số cần tìm dạng
654321
aaaaaa và E = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
* x dạng
0aaaaa
54321
: a
1

∈ E\{0} ⇒ a
1
có 9 cách chọn;
a
2
,a
3
,a
4
,a
5
∈ E ⇒ a
2
= a
3
= a
4
= a
5
= 10 cách. Do vậy có 9.10
4
=
90.000 số dạng
0aaaaa
54321
.
* x dạng:
5aaaaa
54321
tương tự có 90.000 số dạng 5aaaaa

54321

Vậy có 90.000 + 90.000 = 180.000 số.

TỔ HP
I. Số tập con của một hợp có n phần tử:

Cho tập hợp A có n phần tử. Ta hãy xét xem tập hợp tất cả các tập
con của nó. T(A) có bao nhiêu phần tử.
Đònh lý:
Số tất cả các tập con của một tập hợp có n phần tử bằng 2
n

m(T(A)) = 2
n

II. Số tập con K phần tử của 1 tập hợp n phần tử .
Đònh lý :Số tất cả các tập con K phần tử của một tập hợp n phần tử
bằng
Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp


5

m(T
k
(A)) =
)!kn(!k
!
n

C
)!kn(!k
!
n
k 3.2.1
)
1
k
n
(

.
)
1
n
(
n
k
n
−
=⇔
−
=
+−−


III. Tổ hợp:

1. Đònh nghóa:
Một tập con k phần tử của một tập hợp n phần tử được gọi

là 1 tổ hợp chập k của n phần tử.
2. Số tổ hợp chập k của n phần tử :
Số đó chính là
k
n
C = m(T
K
(A))

k
n
C =
K 3.2.1
)
1
K
n
) (
1
n
(
n
)!Kn(!K
!
n
+−−
=
−

Chú ý:

!1!0CC
m
m
0
m
===
; 0
≤
K
≤
n
Ví dụ 1:
Các đường chéo của một n đa giác lồi gặp nhau tại bao nhiêu
điểm, nếu lấy bất kỳ 3 đường chéo nào cũng không cắt nhau tại 1 điểm?
Xác đònh 1 giao điểm đó là giao điểm của các đường chéo của từ giác
xác đònh bới các đỉnh ấy. Vì vậy số tất cả các giao điểm bằng số tổ hợp
chập 4 của n đỉnh:

4
n
C =
24
)
3
n
)(
2
n
)(
1

n
(
n
−−−

Ví dụ 2
: Xác đònh số lớn nhất trong các số:
n
n
K
n
2
n
1
n
0
n
C ,C ,C,C,C
Vì :
k
n
C =
1
1
−
+
−
k
n
C

k
kn
nên
k
n
k
n
CC
≤
−1
nếu
1
1
≥
+
−
k
kn

⇒
k
≤

2
1
n
+

k
n

C
≤

1+
k
n
C
nếu
1
1
≤
+
−
k
kn
⇒
k + 1
≥

2
1
n
+
⇒
k
≥

2
1
n

−

Nếu :
k
n
C
lớn nhất thì
k
n
k
n
CC
≤
−1
≤
1K
n
C
+

⇒

2
1
n
−
≤
k
≤
2

1
n
+

1. Nếu n chẵn: n = 2m thì m –
2
1

≤
k
≤
m+
2
1

⇒
K = m =
2
n
. Vậy
m
m
C
2
lớn nhất.
2. Nếu n lẻ: n = 2m + 1 thì m
≤
k
≤
m

+ 1
Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp


6

⇒
k =
2
1
n
−

∨

2
1
n
+
Vậy
1m
1m2
m
1m2
CC
+
++
=
là lớn nhất
Ví dụ 3:

Giải hệ phương trình






=
≤≤∈=
+
)2(153
0;,)1(
2
2
x
y
x
y
x
C
xyNyxCC

(2)





=
−

=
+
153
2
)1(
2
xx
CC
y
x
y
x

⇔






≤
−−+
=
−
16y
)xy18()!2y(
!18
)!y18(!y
!18
⇔




≤
=
16y
8y

Vậy hệ có nghiệm là (x = 8, y = 18)
3. Một số tính chất quan trọng của
k
n
C

k
n
C =
k
n
n
C
−
; 0 ≤ k ≤ n ;
0
n
C =
n
n
C = 1 ;
1

n
C =
1
n
n
C
−
= n
k
n
C =
1
k
1n
C
−
−
+
k
1n
C
−
1 ≤ k ≤ n – 1;
k
n
C =
1k
n
C
k

1
k
n
−
+−

k
n
C =
!)!(!
!
k
A
knk
n
k
n
=
−
;
k
1n
C
+
=
k
n
C +
1
k

n
C
−
;
k
n
C +
`
k
n
C
+
=
1
k
1n
C
+
+



HOÁN VỊ – CHỈNH HP
I. Hoán vò
:
Những tập hợp sắp thứ tự khác nhau, mà chỉ khác nhau thứ tự
các phần tử do được tạo nên từ cùng 1 tập hợp được gọi là những hoán vò
của tập hợp đó. Số hoán vò của tập A có n phần tử là:
P
n

= n! ; n(n – 1).(n – 2) 2.1 = n!
Ví dụ 1

: Có bao nhiêu hoán vò n phần tử , trong đó 2 phần tử đã cho
không đứng cạnh nhau.
Nếu a đứng ở vò trí thứ nhất thì b đứng vò trí thứ hai. Do vậy a đứng
Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp


7

ở vò trí thứ n –1 thì b đứng ở vò trí thứ n và chúng có thể đổi chỗ cho nhau.
Với mỗi cách đó có (n–2)! cách hoán vò các phần tử khác. Do đó hoán vò
a, b đứng cạnh nhau là 2(n – 1).(n – 2)! = 2(n – 1)!. Vậy số hoán vò 2
phần tử đã cho không đứng cạnh nhau: n! – 2(n – 1)! = (n – 1)!(n – 2)


Ví dụ 2:Có thể lập được bao nhiêu số từ các chữ số
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 sao cho:

1 . Mỗi chữ số đều có mặt một lần trong các số được lập?
2. Chữ số 0 không đứng ở vò trí thứ nhất bên trái?
Theo 1 la có 10! , Số đầu tiên khác 0 có 9!. Do vậy để thỏa điều
kiện 1,2 ta có: 10! – 9! = 9! 9 = 3265920.
Ví dụ 3
:Có bao nhiêu cách xếp 6 người ngồi xung quanh bàn tròn.’
Th1
: Nếu các ghế được đánh số rõ ràng, mỗi cách xếp là hoán vò
của 6 phần tử . Do vậy có P
6

= 6! = 720 cách.
Th2
: Nếu các ghế trên kh6ong được đánh số thì mỗi hoán vò của 6
người thì được tính đổi chỗ 6 lần theo 1 chiều và có khả năng đổi chỗ
ngược lại. Do vậy có
66
P
6
+
= 60 cách
II. Chỉnh hợp
: các tập con sắp thứ tự k phần tử của một tập hợp có
n phần tử được gọi là chỉnh hợp chập k của n phần tử đó. Số chỉnh hợp
khác nhau chập k của n phần tử là:
)!kn(
!
n
)1kn( )1n(nA
k
n
−
=+−−=
Ví dụ 1
: Giải phương trình 12
1x
3x
C
−
+
= 55

2
1x
A
+

Ta có
1x
3x
C
−
+
=
)1x()3x(
3x
C
−−+
+
=
4
3x
C
+

Phương trình cho
⇔ 12
4
3x
C
+
= 55

2
1x
A
+
⇔ (x + 3) (x+2) = 110 ⇒ x
= 8
Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp


8

Ví dụ 2 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên trong đó không có số nào lặp lại?
5 chữ số trên ta có 5! cách, trong đó 4! cách lập 5 chữ số bắt đầu bởi
0. Do vậy có: 5! – 4! = 96
* Số có 4 chữ số: có thể lập được
4
5
A cách từ những chữ số trên và
có
3
4
A cách lập từ những chữ số trên bắt đầu bởi 0. Vậy có
4
5
A –
3
4
A =
96 cách

* Số có 3 chữ số có thể lập được
3
5
A cách từ những chữ số trên và
có
2
4
A cách lập từ những chữ số trên bắt đầu bởi 0. Vậy có
3
5
A –
2
4
A =
48 cách.
* Tương tự có
2
5
A –
1
4
A = 16 cách chọn số có 2 chữ số và 5 cách
chọn số có 1 chữ số.
Theo ycbt có: 96 + 96 + 48 + 16 + 5 = 261 số.

CHỈNH HP CÓ LẶP
I. Đònh nghóa
: Cho 1 tập hợp A có n phần tử. Ta rút ra từ A một
phần tử bất kỳ, ký hiệu là a
1

rồi thả lại vào tập hợp A. Ta lại rút ra từ A
một phần tử, ký hiệu là a
2
(a
2
có thể trùng a
1
) rồi trả lại nó vào tập hợp A.
Cứ thế cho đến k lần (k
≤ n) và như vậy ta tìm được một dãy (a
1
,a
2
a
k
)
gồm k phần tử (có thể trùng nhau) của A. Một dãy như thế gọi là 1 chỉnh
hợp có lặp.
II. Đònh ly
ù: Số chỉnh hợp có lặp chập k của n phần tử, ký hiệu là
k
n
A
k
n
A = m(A
k
) = n
k

Ví dụ
: Mỗi số điện thoại gồm 6 chữ số, có bao nhiêu số điện thoại
không chứa các số khác ngoài 2, 3, 5 và 7?
Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp


9

Số phải tìm là số chỉnh hợp có lặp của 4 chữ số chập 6:
Ta có
6
4
A
= 4
6
= 4096

HOÁN VỊ CÓ LẶP

I. Hoán vò tròn
: Khi n phần tử được sắp xếp vào n vò trí của dãy sắp
xếp khép kín thì số hoán vò tròn (không thẳng) là:
c
n
P = (n – 1)!
II. Đònh nghóa
: Hoán vò có lặp là 1 chỉnh hợp có lặp, trong đó có kể
đến số lần lặp lại của mỗi phần tử.
III. Số phân hoạch của 1 tập hợp hữu hạn (hoán vò có lặp lại)
Cho các số tự nhiên k

1
, k
2
k
s
sao cho k
1
+ k
2
+k
3
+ k
s
= n. Số
phân hoạch của 1 tập hợp A chứa n phần tử thành hợp rời rạc của S tập
con B
1
, B
2
B
S
với số phần tử theo thứ tự là k
1
, k
2
k
s
bằng
!k !k!k
!

n
s21

Số và ký hiệu C
m
(k
1
, k
2
k
s
)
:
C
m
(k
1
, k
2
k
s
) =
!k !k!k
!
n
s21

Ví dụ 1
: Có bao nhiêu cách phân phối 7 chuyên gia trẻ vào 3 ban,
theo thứ tự cần 1 ,2 ,4 chuyên gia?

Số cách phân phối là: C
7
(1, 2, 4) =
!4!2!1
!
7
= 105 cách
Chú ý
: Số hoán vò có lặp của 2 phần tử cấp m kiểu (k, m – k) bằng
số tổ hợp chập k của m phần tử C
m
(k, m – k) =
k
m
C =
)!km(!k
!
m
−

Ví dụ 2
: Có bao nhiêu số có 7 chữ số, trong mỗi số đó có 6 chữ số 6
lặp lại 3 lần, và chữ số 5 lặp lại 4 lần.
C
7
(3,4) =
3
7
C = 35
Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp

10

TỔ HP CÓ LẶP

I. Đònh nghóa
: Cho m phần tử khác nhau. Một tập hợp có lặp chập n
(n
≤ m) của m phần tử đã cho là một tập hợp chứa n phần tử, trong đó mỗi
phần tử là 1 trong m phần tử đã cho
II. Đònh lý
: Số tổ hợp lặp chập n của m phần tử, ký hiệu là
n
m
C
1m
1mn
n
1mn
n
m
CCC
−
−+−+
==
Vd : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 ,5 có thể lập được bao nhiêu số, sao
cho mỗi số đó số chữ số ≤ 5. Và các chữ số được sắp theo thứ tự không
giảm?
Vì

1
5
C =
1
115
C
−+
=
1
5
C = 5 ,
2
5
C =
2
152
C
−+
=
2
6
C = 15
3
5
C =
3
153
C
−+
=

3
7
C = 35 ;
4
5
C =
4
154
C
−+
=
4
8
C = 70 ;
5
5
C =
5
9
C =
126
Vậy có 5 + 15 + 35 + 70 + 126 = 251 số.

NHỊ THỨC NEWTON
I. Nhò thức:
(a+b)
n
=
∑
=

−−−
+++++=
n
0k
n0n
n
kknk
n
1n1
n
0n0
n
kknk
n
baC baC baCbaCbaC
Tổng quát:
∑
=
−
+
=
n
0k
kknk
n1k
baCT
Số hạng thứ 1: k = 0 : T
1
=
n0n0

n
abaC
=

Số hạng thứ k: T
k
= T
(k – 1) + 1
=
kn)1k(n1k
n
baC
−−−−

Số hạng thứ k + 1 : T
k+1
=
kknk
n
baC
−

Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp


11

Số hạng thứ n + 1 : T
n+1
=

nnnnn
n
bbaC
=
−

II. Nhò thức dưới dạng tường minh
(a + b)
n
= a
n
+ na
n–1
b +
2
.
1
)1(
−
nn
.a
n
–2b
2
+ +

n1nkkn
bnab b.a
k 2.1
)

1
k
n
(

)
1
n
(
n
+++
+−−
−−

III. Tổng quát:
n21
m1
m1
a
m
n
2
n
1
nn 2nn
0n 0n
m21
n
n21
a a.a

!n !n!n
!
n
)a aa(
∑
=+++
≥≥
=+++

Bài Tập


Bài tập 1
1. Cho tập hợp S = {1, 2, 3, 4, 6, 8}. Có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên lẻ gồm 3 chữ số khác nhau từng đôi một được thành lập S.
2. Có bao nhiêu số khác nhau gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số
của mỗi số là 1 số chẵn.
Bài Giải

1. Gọi x =
321
aaa là số cần tìm; và x lẻ nên a
3
= 1
Cách 1:



2
1

achọncách3Có
achọncách4Có
⇒ Có 4.3 = 12 số
Cách 2:
2
4
A = 12 số
Cách 3:





chẵnsốchữ3cósốA.4Có
aaasố3chọncáchACó
2
4
321
3
5
⇒
2
4
3
5
A4A − = 12 số
2. Với mỗi số có 6 chữ số
654321
aaaaaa ta lập được 10 số có 7 chữ
số

7654321
aaaaaaa mà trong đó chỉ có 5 số có tổng các chữ số là số chẵn.
Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp


12

Rõ ràng a
1
có 9 cách chọn, và có 10
5
cách chọn cho a
2
, a
3
, a
4
, a
5
, a
6
. Vậy
có 5.9.10
5
= 4500000 số.

Bài tập 2
Có 5 miếng bìa, mỗi miếng ghi một trong 5 chỉ số 0, 1, 2, 3, 4. Lấy 4
miếng bìa từ 5 miếng bìa này lần lượt đặt cạnh nhau từ trái sang phải để
được các số gồm 3 chữ số.Hỏi có thể lập bao nhiêu số có nghóa gồm 3 chữ

số trong đó bao nhiêu số chẵn.?
Bài Giải

1. Gọi x =
321
aaa là số cần tìm
Cách 1:





≠
chọncách3cóa:a
chọncách4cóa:a
chọncách4cóa:0a
33
22
11
⇒ Có 4.4.3 = 48 số khác nhau
Do x: chẵn ⇒ a
3
= (0, 2, 4}
• Nếu a
3
= 0 : thì



chọncách3cóa

chọncách4cóa
2
1
⇒ 4.3 = 12 số dạng 0aa
21

• Nếu a
3
= {2, 4} : có 2 cách chọn a
3
thì



chọncách3cóa
chọncách3cóa
2
1

⇒ Có 2.(3.3) = 18 số
Vậy có cả thảy: 12 + 18 = 30 số chẵn ⇒ 48 – 30 = 18 số lẻ.
Cách 2: Có
3
5
A cách chọn 3 số chọn trong 5 chữ số, trong đó có
2
4
A

số (a

1
= 0) ⇒
3
5
A –
2
4
A
= 48 số có 3 chữ số khác nhau.
Do x chẵn: nên a
3
= {0, 2, 4} có 3 cách chọn và có
2
4
A
số chọn từ
21
aa trong đó có 2.
1
3
A số (a
1
= 0).
Vậy có cả thảy 3.
2
4
A
– 2.
1
3

A = 30 số chẵn.
Cách 3: Giả sử x lẻ: ⇒ a
3
= {1, 3} có 2 cách ⇒ có 2.
2
4
A

số lẻ trong
đó có 2.
2
4
A
số (a
1
= 0) ⇒ có 2.
2
4
A
– 2.
1
3
A = 18 số lẻ
Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp


13

Vậy có cả thảy (
3

5
A –
2
4
A ) – (2.
2
4
A – 2.
1
3
A ) = 30 số.
Bài tập 3
Cho tập S = {2, 3, 4, 5, 6, 8}. Hỏi có bao nhiêu số x gồm 3 chữ số
khác nhau lấy từ S thỏa điều kiện :
a. Không có điều kiện gì thêm?
b. x phải là số chẵn.
Bài Giải

1. Gọi x =
321
aaa là số cần tìm
Cách 1:





chọncách4cóa
chọncách5cóa
chọncách6cóa

3
2
1
⇒ Có 6.5.4 = 120 số
Cách 2: 3 số a
1
, a
2
, a
3
khác nhau được chọn từ 6 số của tập S là một
chỉnh hợp chập 3 của 6 là :
3
6
A = 120 số.
2. x chẵn ⇒ a
3
= {2, 4, 6, 8}
Cách 1:



chọncách4cóa
chọncách5cóa
2
1
⇒ Có 5.4 = 20 số dạng 2aa
21

Tương tự cũng có 20 số cho:

4aa
21
hoặc 6aa
21
hoặc 8aa
21

Vậy có cả thảy: 20 + 20 + 20 + 20 = 80 số chẵn.
Cách 2: Theo câu 1: ta có 120 số có 3 chữ số khác nhau, trong đó có
2.
2
5
A số lẻ ⇒ có 120 – 2.
2
5
A = 80 số chẵn.
Cách 3: a
3
= {2, 4, 6, 8}: có 4 cách chọn, có
2
5
A cách chọn
21
aa
⇒ Có 4.
2
5
A = 80 số chẵn.
Bài tập 4
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ các số đã cho ta lập được:

1. Bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số và 4 chữ số đó khác nhau đôi một?
2. Bao nhiêu số chia hết cho 5, có 3 chữ số và 3 chữ số đó khác nhau
đôi một ?
3. Bao nhiêu số chia hết cho 9, có 3 chữ số và 3 chữ số đó khác nhau
Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp


14

đôi một ?
Bài Giải

1. Gọi x =
4321
aaaa là số cần tìm
x chẵn ⇒ a
4
= {0, 2, 4}
Cách 1: Nếu a
4
= 0





chọncách3cóa
chọncách4cóa
chọncách5cóa
3

2
1

⇒ Có 5.4.3 = 60 số dạng
0aaa
321

Nếu a
4
= {2, 4}







≠
chọncách3cóa
chọncách4cóa
)0a(chọncách4có:a
chọncách2có:a
3
2
11
4

⇒ Có 2.4.4.3 = 96 số dạng
2aaa
321

, 4aaa
321

Vậy có tất cả 60 + 96 = 156 số.
Cách 2: a
4
= {0, 2, 4}: có 3 cách chọn ⇒ có
3
5
A cách chọn cho 3 số
321
aaa . Trong đó có 2.
2
4
A số (a
1
= 0).
Vậy có: 3.
3
5
A – 2. = 156 số.
Cách 3: Có
4
6
A cách chọn 4 số bất kỳ trong đó có
3
5
A cách chọn 4 số
có a
1

= 0. Ta lại có 3.
3
5
A số lẻ trong đó có 3.
2
4
A số lẻ. Có a
1
= 0.
Vậy có cả thảy:
4
6
A –
3
5
A – (3.
3
5
A – 3.
2
4
A ) = 156 số.
2. Gọi x =
321
aaa là số cần tìm; x: chia hết cho 5 ⇒ a
3
= {0, 5}
Cách 1:






5aadạngsố16Có
0aadạngsố20Có
21
21
⇒ có 20 + 16 = 36 số chia hết cho 5
Cách 2:





= 0ầubắtsốACó
5chohếtchiasốchữ3cósốA2Có
1
1
4
2
5

⇒ Có 2.
2
5
A –
1
4
A
= 36 số.

Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp


15

Cách 3:







=
=
5hếtchiakhông,0ầubắtsốA.4
5hếtchiakhôngsốchữ3cósốA.4
0ầubắtsốA
nhaukhácsốchữ3cósốA
1
1
4
2
5
1
2
5
3
6

⇒ Có
3
6
A –
2
5
A – (4
2
5
A – 4
1
4
A ) = 36 số.
3. x: chia hết 9 khi (a
1
+ a
2
+ a
3
) chia hết 9 ⇒ {a
1
, a
2
, a
3
} có thể là
{0, 4, 5} ; {1, 3, 5} ; {2, 3, 4}
+ Khi {a
1
, a

2
, a
3
} = {0, 4, 5} thì có: 3! – 2! = 4 số chia hết cho 9.
+ Khi {a
1
, a
2
, a
3
} = {1, 3, 5} thì có: 3! = 6 số chia hết cho 9.
+ Khi {a
1
, a
2
, a
3
} = {2, 3, 4} thì có: 3! = 6 số chia hết cho 9.
Vậy có tất cả : 4 + 6 + 6 = 16 số chia hết cho 9.

Bài tập 5
1. Số điện thoại của Huyện Nghóa Hành có 6 chữ số và bắt đầu bởi 3
chữ số đầu tiên là 861. Hỏi Huyện Nghóa Hành có tối đa bao nhiêu máy
điện thoại ?
2. Hãy tìm tất cả các máy điện thoại có 7 chữ số bắt đầu bằng chữ
số 8?
Bài Giải

1. Gọi số điện thoại có 6 chữ số và được bắt đầu bởi 3 số 861 có
dạng x =

abc
861
. Và như vậy a, b, c là 3 chữ số chọn bất kỳ chữ số nào
trong 10 số tự nhiên trong E = {
9;0 }. Có 10
3
cách chọn.
Vậy số máy tối đa của Huyện Nghóa Hành là 10
3
= 1000 máy.
2. Gọi số máy cần tìm dạng x =
765432
aaaaaa8 và a
2
, a
3
,a
4
, a
5
, a
6
,
a
7
là 6 chữ số chọn bất kỳ chữ số nào trong E = { 9;0 } nên có 10
6
cách
chọn. Vậy có 10
6

= 1.000.000 máy.

Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp


16

Bài tập 6
1. Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu
bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau không lớn hơn 789?
2. Có bao nhiêu chữ số chẵn có 3 chữ số khác nhau tạo từ các chữ
số 1, 2, 3, 4, 5?
3. Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau tạo thành từ các chữ số 1,
2, 3, 4, 5, 6 mà các chữ số đó nhỏ hơn 345?
Bài Giải

1. Gọi x =
321
aaa là số cần tìm và x chẵn ⇒ a
3
= {2, 4, 6, 8}. Do
không lớn ơn 789 ⇒ a
1
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
• TH1: Nếu a
1
= 1 thì x =
32
aa1 ⇒




chọncách7Có:a
chọncách4Có:a
2
3

⇒ Có 4.7 = 28 số.
• TH2: Nếu a
1
= 3 hoặc a
1
= 5 thì cũng có 4.7 = 28 số.
• TH3: Nếu a
1
= 2 thì x =
32
aa2 ⇒



chọncách7Có:a
chọncách3Có:a
2
3

⇒ Có 3.7 = 21 số.
• TH4: Nếu a
1
= 4 hoặc a

1
= 6 ta cũng có 3.7 = 21 số.
• TH5: Nếu a
1
= 7 thì x =
32
aa7 ⇒



chọncách6Có:a
chọncách4Có:a
2
3

⇒ Có 4.6 = 24 số.
Vậy có cả thảy: 28.3 + 21.3 + 24 = 171 số.
2. Gọi x =
321
aaa là số cần tìm và x chẵn nên a
3
= {2, 4} có 2 cách
chọn và có
2
4
A cách chọn
21
aa ⇒ có tất cả 2.
2
4

A = 24 số.
3. Gọi x =
321
aaa là số cần tìm và x < 345 ⇒ a
1
có thể ;à 1, 2, 3.
• TH1: Nếu a
1
= 1 thì x =
32
1 aa
và có
2
5
A cách chọn
32
aa .
• TH2: Nếu a
1
= 2 thì x =
32
aa2 và có
2
5
A cách chọn
32
aa .
• TH3: Nếu a
2
= 1, 2 thì a

3
: có 4 cách chọn ⇒ có 2.4 = 8 số.
Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp


17

• TH2: Nếu a
2
= 4 thì x =
3
a34 và a
3
có 2 cách chọn {1, 2}
⇒ có 2 số. Vậy có cả thảy
2
5
A +
2
5
A + 8 + 2 = 50 số x < 345.
Bài tập 7
1. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6có thể lập được bao nhiêu bao
nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và trong đó nhất thiết
phải có chữ số 5?
2. Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số khác nhau lớn hơn 500.000?
Bài Giải

1. Cách 1: Có (
5

6
A –
4
5
A ) số có 5 chữ số có nghóa không có chữ số 5
Có (
5
7
A –
4
6
A ) sớ có 5 chữ số có nghóa.
Vậy có : (
5
6
A –
4
5
A ) – (
5
7
A –
4
6
A ) = 2160 – 600 = 1560 số.
Cách 2: Gọi số cần tìm x =
54321
aaaaa
Nếu a
1

= 5 : có
4
6
A cách chọn
5432
aaaa
Nếu a
1
≠ 5






≠
lạicònsốchữ3chochọncáchA
5sốchữchotrívò4
)01a(chọncách5Có:a
3
5
1
⇒ Có 5.4.
3
5
A số.
Vậy có cả thảy:
4
6
A + 4.5.

3
5
A = 1560 số.
Cách 3: 5.
4
6
A – 4.
3
5
A = 1560 số.
2. Cách 1: Gọi x =
654321
aaaaaa là số cần tìm.
Φ x lẻ ⇒





5432
4
8
1
6
aaaachọncáchA
chọncách8:a
chọncách5:a
⇒ Có 5.8.
4
8

A
Φ Do x < 500.000 ⇒



9,7,5,3,1làthểcóchỉanên:lẻ:x
4,3,2,1làthểcóChỉ:a
6
1

Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp


18

+ Nếu a
1
chẵn





5432
4
8
6
1
aaaachọncáchA
chọncách5Có:a

chọncách2Có:a
⇒ Có 2.5.
4
8
A = 16800
+ Nếu a
1
lẻ





5432
4
8
6
1
aaaachọncáchA
chọncách4Có:a
chọncách2Có:a
⇒ Có 2.4.
4
8
A = 13400
Vậy có 5.8.
4
8
A – 2.5.
4

8
A = 36960 số.
Cách 2: Giả sử x: lẻ và x > 500.000 ⇒ a
1
chỉ có thể là 5, 6, 7, 8, 9
Φ Nếu a
1
= 5 ⇒





5432
4
8
6
aaaachọncáchA
chọn
cách
4
Có
:
a
⇒ 4.
4
8
A = 6720 số
Φ Nếu a
1

= 6 ⇒





5432
4
8
6
aaaachọncáchA
chọn
cách
5
Có
:
a
⇒ 5.
4
8
A = 8400 số
Φ Tương tự có:





=
==
8achosốA5

9ahoặc7achosố2:)A.4(
1
4
8
11
4
8

Vậy có cả thảy: 3.4.
4
8
A + 2.5.
4
8
A = 36960 số.

Bài tập 8
Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ta lập được các số mà mỗi số có 5
chữ số trong đó các chữ số khác nhau đôi một. Hỏi
1. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 2?
1. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt 2 chữ số 1 và 6?
Bài Giải

1. Gọi x =
54321
aaaaa là số cần tìm:
Cách 1:
Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp

19




2sốchữmặtcókhôngvàmộtđôinhaukhácsốchữ5cóSốACó
mộtđôinhaukhácsốchữ5cóSốACó
5
5
6
5

⇒ có
5
6
A –
5
5
A
= 600 số.
Cách 2:



lạicòntrívò5chochọncáchACó
2sốchữxếptrívò5Có
4
5
⇒ Có 5.
4

5
A = 600
số.
2. Cách 1:






lạicònsốchữ3choACó
6và1sốchữtrívò2choACó
3
4
2
5
⇒ Có
2
5
A
.
3
4
A
= 480 số.
Cách 2:







1sốchữcókhôngmà6sốchữchosốACó
6sốchữcókhôngmà1sốchữchosốACó
kỳbấtsốchữ5chosốACó
5
5
5
5
5
6

Có
5
5
5
5
5
6
A.AA − = 180 số.
Bài tập 9
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được:
1. Bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?
1. Bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?
Bài Giải
1. Gọi số cần tìm dạng x =
4321
aaaa
1. Cách 1:






= )0acảkể(nhaukhácsốchữ4cósốACó
nhaukhácsốchữ4cóACó
1
3
4
4
5

⇒ Có
3
4
4
5
AA − = 96 số.
Cách 2:
Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp


20










≠
chọncách2Có:a
chọncách3Có:a
chọncách4Có:a
)01a(:chọncách4Có:a
4
3
2
1
⇒ Có 4.4.3.2 = 96 số
2. Cách 1: x lẻ





≠
=
32
2
3
11
4
aachọncáchA
)0a(chọncách3Có:a
chọncách4Có:}3,1{a
⇒ 2.3.
2

3
A
= 36
số.
Cách 2: Giả sử x: chẵn ⇒ a
4
= {0, 2, 4)
Φ TH1: a
4
= 0 thì x =
0aaa
321
⇒





chọncách2Có:a
chọncách3Có:a
chọncách4Có:a
3
2
1

⇒ Có 2. 3. 4 = 24 số.
Φ TH2: a
4
= {2, 4}: chó 2 cách chọn dạng
2aaa

321
,
4aaa
321
.
⇒





≠
chọncách2Có:a
chọncách3Có:a
)01a(chọncách3Có:a
3
2
1
⇒ Có 2.(3.3.2) = 36 số.
⇒ Vậy có 24 + 36 = 60 số chẵn ⇒ 96 – 60 = 36 số lẻ.
Cách 3: 2
3
4
A
– 2.
2
3
A
= 36 số.
Bài tập 10

Số máy điện thoại ở Việt Nam là một số gồm 6 chữ số. Hỏi
1. Có tất cả bao nhiêu máy điện thoại?
2. Thực tế người ta chỉ dùng số 7, 8, 9 làm chữ số đầu tiên. Có bao
nhiêu máy như vậy?
Bài Giải
Gọi số cần tìm dạng x =
654321
aaaaaa là số cần tìm
Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp


21

1. Có 10
6
máy.
2.







65432
5
65432
5
65432
5

aaaaa9dạngmáy10Có
aaaaa8dạngmáy10Có
aaaaa7dạngmáy10Có
⇒ Có 3. 10
5
máy

Bài tập 11
1. Hãy tìm tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau dạng x =
654321
aaaaaa sao cho a
1
+ a
6
= 10 , a
2
+ a
5
= 10 ; a
3
+ a
4
= 10.
2.Có bao nhiêu biển số xe gồm 4 chữ số hoàn toàn khác nhau? Từ
đó tìm ra số xe gồm 4 số có thể trùng nhau.
Bài Giải
1. Rõ ràng số 0 và 5 có trong x không thỏa mãn bài toán. Do vậy
còn 8 số 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9.
⇒






⇒
⇒
⇒
chọncách4Có:achọncách4Có:a
chọncách6Có:achọncách6Có:a
chọncách8Có:achọncách8Có:a
43
52
61

⇒ Có 8.6.4.4.6.8 = 36864 số.
2. Gọi x =
4321
aaaa là số xe cần tìm
a. Cách 1:







4
3
2
1

achọncách7Có
achọncách8Có
achọncách9Có
achọncách10Có
⇒ Có 10.9.8.7 = 5040 biển số.
Cách 2: Chọn 4 số thứ tự trong 10 số có
4
10
A = 5040 biển số.
b. Do a
1
= a
2
= a
3
= a
4
và chọn trong 10 số nên có 10
4
= 10000 số.
Bài tập 12
Từ các chữ số 0, 4, 5, 7, 9
1. Tìm tất cả các số có 4 chữ số khác nhau?
2. Có bao nhiêu số lớn hơn 5000?
Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp


22

3. Có bao nhiêu số chia hết cho 5?

Bài Giải

1. Gọi x =
4321
aaaa là số cần tìm.
Cách 1







≠
chọncách2cóa
chọncách3cóa
chọncách4cóa
)0a(chọncách4cóa
2
3
2
11
⇒ có 4.4.3.2 = 96 số.
Cách 2





= )0a(Acó:4trong3Chọn

Acó:5trong4Chọn
1
4
3
4
5
⇒ Có
3
4
4
5
AA − = 96 số.
2. Số lớn hơn 5000 thì a
1
≥ 5
Cách 1: a
1
≥ 5: nên a
1
có 3 cách chọn và
3
4
A cách chọn 3 vò trí a
2
a
3
a
4

trong 4 vò trí còn lại ⇒ Có 3.

3
4
A = 72 số.
Cách 2: Có 4.3.2 = 24 số dạng
5
aaaa5
432
. Tương tự cũng có 24 số
dạng
5
aaaa7
432
; 24 số dạng
5
aaaa9
432
.
Vậy có 24 + 24 + 24 = 72 số.
3. Số x chia hết cho 5 nên : a
5
= 0 hoặc a
5
= 5.
Cách 1:





=

=
2
31
3
4
55
Alà0acósốcácSố
A.2là5chohếtchiasốchữ4cósốcácSố
chọncách2cóa:}5,0{a

⇒ 2.
2
3
3
4
AA − = 42 số
Cách 2: Nếu a
5
= 0 thì x = 0aaaa
4321
⇒







chọncách1có:a
chọncách2có:a

chọncách3có:a
chọncách4có:a
4
3
2
1

⇒ 4.3.2.1 = 24 số.
Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp


23

Nếu a
5
= 5 thì x = 5aaaa
4321
⇒







chọncách1có:a
chọncách2có:a
chọncách3có:a
chọncách3có:a
4

3
2
1

⇒ 3.3.2.1 = 18 số.
Vậy có 24 + 18 = 42 số.
Bài tập 13
Cho các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
1. Có bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau?
2. Có bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số khác nhau nhỏ hơn 400?
Bài Giải

1. Gọi x =
4321
aaaa là số cần tìm. x chẵn
Cách 1: a
5
= { 0, 2, 4, 6} ⇒ a
5
: 4 cách chọn nên có 4.
4
6
A số có 5
chữ số chẵn khác nhau và có 3.
3
5
A số có a
1
= 0.
Vậy số cần tìm: 4.

4
6
A – 3.
3
5
A = 1260 số.
Cách2:







chọncách3có:a
chọncách4có:a
chọncách5có:a
chọncách6có:a
4
3
2
1
⇒ Có 6.5.4.3 = 360 số dạng 0aaaa
4321

và








≠
chọncách3có:a
chọncách4có:a
chọncách5có:a
)0a(chọncách5có:a
4
3
2
11
⇒ Có 5.5.4.3 = 300 số dạng
2aaaa
4321

Tương tự có 300 số dạng
4aaaa
4321
, 300 số dạng 6aaaa
4321

Vậy có 360 + 300 + 300 + 300 = 1260 số.
2. Gọi x =
321
aaa là số cần tìm; x lẻ nên a
3
= {1, 3, 5}
Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp

24

⇒ Có:



≠
chọncách5có:a
)0a(chọncách5có:a
2
11
Có 5.5 = 25 số dạng 1aa
21

Tương tự có 25 số dạng
3aa
21
; 25 số dạng 5aa
21

Vậy có cả tay 25 + 25 + 25 = 75 số lẻ.
Cách 1: x < 400 nên



≠
5,3,1làphảianênlẻx
0avà3,2,1:làthểcóa
3

11

TH1: Nếu a
1
= 1 thì x =
32
aa1 ⇒



chọncách5Có:a
chọncách2Có:a
2
3

⇒ Có 2.5 = 10 số
TH2: Nếu a
1
= 2 thì x =
32
aa2 ⇒



chọncách5Có:a
chọncách3Có:a
2
3

⇒ Có 3.5 = 15 số

TH3: Nếu a
1
= 3 thì x =
32
aa3 ⇒



chọncách5Có:a
chọncách2Có:a
2
3

⇒ Có 2.5 = 10 số
Vậy có cả thảy: 10 + 15 + 10 = 35 số có 3 chữ số khác nhau là sổ lẻ
và nhỏ hơn 400.
Cách 2:





=
=
=
sốA.2Có:3a
sốA.3Có:2a
sốA.2Có:1a
1
51

1
51
1
51
⇒
1
5
1
5
1
5
A.2A.3A.2 ++ = 35 số.


Bài tập 14
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5.
1. Hãy tìm tất cả các số có 3 chữ số khác nhau nằm trong khoảng
(300,500)
2. Các chữ số không cần khác nhau.

Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp


25

Bài Giải

1. Gọi x =
321
aaa và 300 < x < 500 ⇒ a

1
= 3 hoặc a
1
= 4.
Cách 1: Nếu a
1
= 3



chọncách3Có:a
chọncách4Có:a
3
2
⇒ 3.4 = 12 số dạng
32
aa3
Nếu a
1
= 4



chọncách3Có:a
chọncách4Có:a
3
2
⇒ 3.4 = 12 số dạng
32
aa4

⇒ Có cả thảy 12 + 12 = 24 số.
Cách 2: Có 2.
2
4
A = 24 số.
2. Các chữ số không cần khác nhau :





chọncách2Có:a
chọncách5Có:a
chọncách5Có:a
1
3
2
⇒ có 5.5.2 = 50 số.
Bài tập 15
Từ các chữ số 1, 2 ,3, 4, 5. Hãy tín tổng tất cả các số có 5 chữ số
khác nhau được tạo thành từ các số trên.

Bài Giải

Cách 1: Có 5! số khác nhau.Có











5aaaadạngsố24
4aaaadạngsố24
3aaaadạngsố24
2aaaadạngsố24
1aaaadạngsố24
4321
4321
4321
4321
4321
⇒