Tải bản đầy đủ (.doc) (44 trang)

Tuyển tập bất đẳng thức

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (336.26 KB, 44 trang )

Trần Duy Thái Tuyển tập Bất đẳng thức
PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN
I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản:
1. Cho a, b > 0 chứng minh:
+ +
 

 ÷
 
3
3 3
a b a b
2 2
2. Chứng minh:
+ +

2 2
a b a b
2 2
3. Cho a + b ≥ 0 chứng minh:
+ +

3 3
3
a b a b
2 2
4. Cho a, b > 0 . Chứng minh:
+ ≥ +
a b
a b
b a


5. Chứng minh: Với a ≥ b ≥ 1:
+ ≥
+
+ +
2 2
1 1 2
1 ab
1 a 1 b
6. Chứng minh:
( )
+ + + ≥ + +
2 2 2
a b c 3 2 a b c
; a , b , c ∈ R
7. Chứng minh:
( )
+ + + + ≥ + + +
2 2 2 2 2
a b c d e a b c d e
8. Chứng minh:
+ + ≥ + +
2 2 2
x y z xy yz zx
9. a. Chứng minh:
+ + + +
≥ ≥
a b c ab bc ca
; a,b,c 0
3 3
b. Chứng minh:

+ + + +
 

 ÷
 
2
2 2 2
a b c a b c
3 3
10. Chứng minh:
+ + ≥ − +
2
2 2
a
b c ab ac 2bc
4
11. Chứng minh:
+ + ≥ + +
2 2
a b 1 ab a b
12. Chứng minh:
+ + ≥ − +
2 2 2
x y z 2xy 2xz 2yz
13. Chứng minh:
+ + + ≥ − + +
4 4 2 2
x y z 1 2xy(xy x z 1)
14. Chứng minh: Nếu a + b ≥ 1 thì:
+ ≥

3 3
1
a b
4
15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh:
a. ab + bc + ca ≤ a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca).
b. abc ≥ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)
c. 2a
2
b
2
+ 2b
2
c
2
+ 2c
2
a
2
– a
4
– b
4
– c

4
> 0
1
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Duy Thái
II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:
1. Chứng minh:
+ + + ≥ ≥(a b)(b c)(c a) 8abc ; a,b,c 0
2. Chứng minh:
+ + + + ≥ ≥
2 2 2
(a b c)(a b c ) 9abc ; a,b,c 0
3. Chứng minh:
( ) ( ) ( )
( )
+ + + ≥ +
3
3
1 a 1 b 1 c 1 abc
với a , b , c ≥ 0
4. Cho a, b > 0. Chứng minh:
+
   
+ + + ≥
 ÷  ÷
   
m m
m 1
a b
1 1 2
b a

, với m ∈ Z
+

5. Chứng minh:
+ + ≥ + + ≥
bc ca ab
a b c ; a,b,c 0
a b c
6. Chứng minh:
+
≥ − ≥
6 9
2 3
x y
3x y 16 ; x,y 0
4
7. Chứng minh:
+ ≥ −
+
4 2
2
1
2a 3a 1
1 a
.
8. Chứng minh:
( )
> −
1995
a 1995 a 1

, a > 0
9. Chứng minh:
( ) ( ) ( )
+ + + + + ≥
2 2 2 2 2 2
a 1 b b 1 c c 1 a 6abc
.
10. Cho a , b > 0. Chứng minh:
 
+ + ≤ + +
 ÷
 
+ + +
2 2 2 2 2 2
a b c 1 1 1 1
2 a b c
a b b c a c
11. Cho a , b ≥ 1 , chứng minh:
≥ − + −ab a b 1 b a 1
.
12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chứng minh: xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1)
13. Cho a > b > c, Chứng minh:
( ) ( )
≥ − −
3
a 3 a b b c c
.
14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh:
a) b + c ≥ 16abc.
b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ≥ 8abc

c)
   
+ + + ≥
 ÷ ÷ ÷
   
1 1 1
1 1 1 64
a b c
15. Cho x > y > 0 . Chứng minh:
( )
+ ≥

1
x 3
x y y
16. Chứng minh:
a)
+

+
2
2
x 2
2
x 1
,∀x ∈ R b)
+


x 8

6
x 1
, ∀x > 1 c)
+

+
2
2
a 5
4
a 1
17. Chứng minh:
+ +
+ + ≤ >
+ + +
ab bc ca a b c
; a, b, c 0
a b b c c a 2
18. Chứng minh:
+ ≤
+ +
2 2
4 4
x y 1
4
1 16x 1 16y
, ∀x , y ∈ R
19. Chứng minh:
+ + ≥
+ + +

a b c 3
b c a c a b 2
; a , b , c > 0
2
Trần Duy Thái Tuyển tập Bất đẳng thức
20. Cho a , b , c > 0. C/m:
+ + ≤
+ + + + + +
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
abc
a b abc b c abc c a abc
21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:
a.
+ + + ≥
4
a b c d 4 abcd
với a , b , c , d ≥ 0 (Côsi 4 số)
b.
+ + ≥
3
a b c 3 abc
với a , b , c ≥ 0 , (Côsi 3 số )
22. Chứng minh:
+ + ≥ + +
3 3 3 2 2 2
a b c a bc b ac c ab
; a , b , c > 0
23. Chứng minh:
+ + ≥

3 9
4
2 a 3 b 4 c 9 abc
24. Cho
= +
x 18
y
2 x
, x > 0. Định x để y đạt GTNN.
25. Cho
= + >

x 2
y ,x 1
2 x 1
. Định x để y đạt GTNN.
26. Cho
= + > −
+
3x 1
y , x 1
2 x 1
. Định x để y đạt GTNN.
27. Cho
= + >

x 5 1
y ,x
3 2x 1 2
. Định x để y đạt GTNN.

28. Cho
= +

x 5
y
1 x x
, 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN.
29. Cho
+
=
3
2
x 1
y
x
, x > 0 . Định x để y đạt GTNN.
30. Tìm GTNN của
+ +
=
2
x 4x 4
f(x)
x
, x > 0.
31. Tìm GTNN của
= +
2
3
2
f(x) x

x
, x > 0.
32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x)
33. Cho y = x(6 – x) , 0 ≤ x ≤ 6 . Định x để y đạt GTLN.
34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 ≤ x ≤
5
2
. Định x để y đạt GTLN
35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) ,
− ≤ ≤
5
x 5
2
. Định x để y đạt GTLN
36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) ,

1
2
≤ x ≤
5
2
. Định x để y đạt GTLN
37. Cho
=
+
2
x
y
x 2
. Định x để y đạt GTLN

38. Cho
( )
=
+
2
3
2
x
y
x 2
. Định x để y đạt GTLN
3
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Duy Thái
III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki
1. Chứng minh: (ab + cd)
2
≤ (a
2
+ c
2
)(b
2
+ d
2
) BĐT Bunhiacopxki
2. Chứng minh:
+ ≤sinx cosx 2
3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a
2
+ 4b

2
≥ 7.
4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a
2
+ 5b
2

725
47
.
5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a
2
+ 11b
2

2464
137
.
6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a
4
+ b
4
≥ 2.
7. Cho a + b ≥ 1 Chứng minh:
+ ≥
2 2
1
a b
2
Lời giải :

I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản:
1. Cho a, b > 0 chứng minh:
+ +
 

 ÷
 
3
3 3
a b a b
2 2
(*)
(*) ⇔
+ +
 
− ≥
 ÷
 
3
3 3
a b a b
0
2 2

( ) ( )
+ − ≥
2
3
a b a b 0
8

. ĐPCM.
2. Chứng minh:
+ +

2 2
a b a b
2 2
()
 a + b ≤ 0 , () luôn đúng.
 a + b > 0 , () ⇔
+ + +
− ≤
2 2 2 2
a b 2ab a b
0
4 2

( )


2
a b
0
4
, đúng.
Vậy:
+ +

2 2
a b a b

2 2
.
3. Cho a + b ≥ 0 chứng minh:
+ +

3 3
3
a b a b
2 2

( )
+ +

3
3 3
a b a b
8 2


( )
( )
− − ≤
2 2
3 b a a b 0

( ) ( )
− − + ≤
2
3 b a a b 0
, ĐPCM.

4. Cho a, b > 0 . Chứng minh:
+ ≥ +
a b
a b
b a
()
() ⇔
+ ≥ +a a b b a b b a

( ) ( )
− − − ≥a b a a b b 0

( )
( )
− − ≥a b a b 0

( ) ( )
− + ≥
2
a b a b 0
, ĐPCM.
5. Chứng minh: Với a ≥ b ≥ 1:
+ ≥
+
+ +
2 2
1 1 2
1 ab
1 a 1 b
()

4
Trần Duy Thái Tuyển tập Bất đẳng thức

+ − − ≥
+ +
+ +
2 2
1 1 1 1
0
1 ab 1 ab
1 a 1 b

( )
( )
( )
( )
− −
+ ≥
+ + + +
2 2
2 2
ab a ab b
0
1 a 1 ab 1 b 1 ab

( )
( )
( )
( )
( )

( )
− −
+ ≥
+ + + +
2 2
a b a b a b
0
1 a 1 ab 1 b 1 ab


 
− ≥
 ÷
+
+ +
 
2 2
b a a b
0
1 ab
1 a 1 b

( ) ( )
 
− + − −

 ÷
 ÷
+
+ +

 
2 2
2 2
b a a ab b ba
0
1 ab
1 a 1 b

( ) ( )
( )
( ) ( )
− −

+ + +
2
2 2
b a ab 1
0
1 ab 1 a 1 b
, ĐPCM.
 Vì : a ≥ b ≥ 1 ⇒ ab ≥ 1 ⇔ ab – 1 ≥ 0.
6. Chứng minh:
( )
+ + + ≥ + +
2 2 2
a b c 3 2 a b c
; a , b , c ∈ R

( ) ( ) ( )
− + − + − ≥

2 2 2
a 1 b 1 c 1 0
. ĐPCM.
7. Chứng minh:
( )
+ + + + ≥ + + +
2 2 2 2 2
a b c d e a b c d e

− + + − + + − + + − + ≥
2 2 2 2
2 2 2 2
a a a a
ab b ac c ad d ae e 0
4 4 4 4

       
− + − + − + − ≥
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
2 2 2 2
a a a a
b c d e 0
2 2 2 2
. ĐPCM
8. Chứng minh:
+ + ≥ + +
2 2 2
x y z xy yz zx


+ + − − − ≥
2 2 2
2x 2y 2z 2xy 2yz 2zx 0


( )
( )
( )
− + − + − ≥
2 2
2
x y x z y z 0
9. a. Chứng minh:
+ + + +
≥ ≥
a b c ab bc ca
; a,b,c 0
3 3

+ + ≥ + +
2 2 2
a b c ab bc ca

+ + + + + + + + +
 
= ≥
 ÷
 
2
2 2 2

a b c a b c 2ab 2bc 2ca ab bc ca
3 9 3

+ + + +

a b c ab bc ca
3 3
b. Chứng minh:
+ + + +
 

 ÷
 
2
2 2 2
a b c a b c
3 3


( ) ( )
+ + = + + + + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 a b c a b c 2 a b c
( ) ( )
≥ + + + + + = + +
2
2 2 2
a b c 2 ab bc ca a b c

+ + + +

 

 ÷
 
2
2 2 2
a b c a b c
3 3
10. Chứng minh:
+ + ≥ − +
2
2 2
a
b c ab ac 2bc
4
5
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Duy Thái

( )
− − + + − ≥
2
2 2
a
a b c b c 2bc 0
4

( )
 
− − ≥
 ÷

 
2
a
b c 0
2
.
11. Chứng minh:
+ + ≥ + +
2 2
a b 1 ab a b

+ + − − − ≥
2 2
2a 2b 2 2ab 2a 2b 0


− + + + + + + + ≥
2 2 2 2
a 2ab b a 2a 1 b 2b 1 0


( ) ( ) ( )
− + − + − ≥
2 2 2
a b a 1 b 1 0
.
12. Chứng minh:
+ + ≥ − +
2 2 2
x y z 2xy 2xz 2yz


+ + − + − ≥
2 2 2
x y z 2xy 2xz 2yz 0
⇔ (x – y + z)
2
≥ 0.
13. Chứng minh:
+ + + ≥ − + +
4 4 2 2
x y z 1 2x(xy x z 1)

+ + + − + − − ≥
4 4 2 2 2 2
x y z 1 2x y 2x 2xz 2x 0

( )
( ) ( )
− + − + − ≥
2
2 2
2 2
x y x z x 1 0
.
14. Chứng minh: Nếu a + b ≥ 1 thì:
+ ≥
3 3
1
a b
4

° a + b ≥ 1 ⇒ b ≥ 1 – a ⇒ b
3
= (1 – a)
3
= 1 – a + a
2
– a
3

⇒ a
3
+ b
3
=
 
− + ≥
 ÷
 
2
1 1 1
3 a
2 4 4
.
15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh:
a. ab + bc + ca ≤ a
2
+ b
2
+ c
2

< 2(ab + bc + ca).
 ab + bc + ca ≤ a
2
+ b
2
+ c
2
⇔ (a – b)
2
+ (a – c)
2
+ (b – c)
2


> − > − > −a b c , b a c , c a b


> − +
2 2 2
a b 2bc c
,
> − +
2 2 2
b a 2ac c
,
> − +
2 2 2
c a 2ab b


⇒ a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca).
b. abc ≥ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)

( )
> − −
2
2 2
a a b c

( ) ( )
> + − + −
2
a a c b a b c

( )
> − −
2
2 2
b b a c

( ) ( )
> + − + −
2
b b c a a b c


( )
> − −
2
2 2
c c a b

( ) ( )
> + − + −
2
c b c a a c b

( ) ( ) ( )
> + − + − + −
2 2 2
2 2 2
a b c a b c a c b b c a

( ) ( ) ( )
> + − + − + −abc a b c a c b b c a
c. 2a
2
b
2
+ 2b
2
c
2
+ 2c
2

a
2
– a
4
– b
4
– c
4
> 0
⇔ 4a
2
b
2
+ 2c
2
(b
2
+ a
2
) – a
4
– b
4
– 2a
2
b
2
– c
4
> 0

⇔ 4a
2
b
2
+ 2c
2
(b
2
+ a
2
) – (a
2
+ b
2
)
2
– c
4
> 0
⇔ (2ab)
2
– [(a
2
+ b
2
) – c
2
]
2
> 0 ⇔ [c

2
– (a – b)
2
][(a + b)
2
– c
2
] > 0
⇔ (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > 0 . đúng
° Vì a , b , c là ba cạnh của tam giác
⇒ c – a + b > 0 , c + a – b > 0 , a + b – c > 0 , a + b + c > 0.
6
Trần Duy Thái Tuyển tập Bất đẳng thức
II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:
1. Chứng minh:
+ + + ≥ ≥(a b)(b c)(c a) 8abc ; a, b, c 0
 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm:

+ ≥a b 2 ab
,
+ ≥b c 2 bc
,
+ ≥a c 2 ac

( ) ( ) ( )
+ + + ≥ =
2 2 2
a b b c a c 8 a b c 8abc
.
2. Chứng minh:

+ + + + ≥ ≥
2 2 2
(a b c)(a b c ) 9abc ; a,b,c 0
 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:

+ + ≥
3
a b c 3 abc
,
+ + ≥
3
2 2 2 2 2 2
a b c 3 a b c

( )
( )
+ + + + ≥ =
3
2 2 2 3 3 3
a b c a b c 9 a b c 9abc
.
3. Chứng minh:
( ) ( ) ( )
( )
+ + + ≥ +
3
3
1 a 1 b 1 c 1 abc
, với a , b , c ≥ 0.


( ) ( ) ( )
+ + + = + + + + + + +
1 a 1 b 1 c 1 a b c ab ac bc abc.

+ + ≥
3
a b c 3 abc
,
+ + ≥
3
2 2 2
ab ac bc 3 a b c

( ) ( ) ( )
( )
+ + + ≥ + + + = +
3
3
2 2 2
3 3
1 a 1 b 1 c 1 3 abc 3 a b c abc 1 abc
4. Cho a, b > 0. Chứng minh:
+
   
+ + + ≥
 ÷  ÷
   
m m
m 1
a b

1 1 2
b a
, với m ∈ Z
+


+
         
+ + + ≥ + + = + +
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
         
≥ =
m m m m m
m m 1
a b a b b a
1 1 2 1 . 1 2 2
b a b a a b
2 4 2
5. Chứng minh:
+ + ≥ + + >
bc ca ab
a b c ; a, b, c 0
a b c
 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm:
+ ≥ =
2
bc ca abc
2 2c
a b ab
,

+ ≥ =
2
bc ba b ac
2 2b
a c ac
,
+ ≥ =
2
ca ab a bc
2 2a
b c bc

+ + ≥ + +
bc ca ab
a b c
a b c
.
6. Chứng minh:
+
≥ − ≥
6 9
2 3
x y
3x y 16 ; x,y 0
4
()
() ⇔
+ + ≥
6 9 2 3
x y 64 12x y


( )
( )
+ + ≥
3
3
2 3 3 2 3
x y 4 12x y
Áp dụng BĐT Côsi cho ba số không âm:
( )
( )
+ + ≥ =
3 3
2 3 3 2 3 2 3
x y 4 3x y 4 12x y
.
7
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Duy Thái
7. Chứng minh:
+ ≥ −
+
4 2
2
1
2a 3a 1
1 a
()
() ⇔
+ + + + ≥
+

4 4 2 2
2
1
a a a 1 4a
1 a
.
Áp dụng BĐT Côsi cho 4 số không âm:
+
+
4 4 2
2
1
a , a , a 1,
1 a
( )
+ + + + ≥ + =
+ +
4 4 2 4 4 2 2
4
2 2
1 1
a a a 1 4 a a a 1 4a
1 a 1 a
8. Chứng minh:
( )
> −
1995
a 1995 a 1
() , a > 0
() ⇔

> − ⇔ + >
1995 1995
a 1995a 1995 a 1995 1995a


+ > + = + + + + ≥ =
1 4 2 4 3
1995
1995 1995 1995 1995
1994 soá
a 1995 a 1994 a 1 1 1 1995 a 1995a

9. Chứng minh:
( ) ( ) ( )
+ + + + + ≥
2 2 2 2 2 2
a 1 b b 1 c c 1 a 6abc
.
°
( ) ( ) ( )
+ + + + + = + + + + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a 1 b b 1 c c 1 a a a b b b c c c a
 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 6 số không âm:
°
+ + + + + ≥ =
6
2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 6
a a b b b c c c a 6 a b c 6abc
10. Cho a , b > 0. Chứng minh:

 
+ + ≤ + +
 ÷
 
+ + +
2 2 2 2 2 2
a b c 1 1 1 1
2 a b c
a b b c a c
°
≤ =
+
2 2
a a 1
2ab 2b
a b
,
≤ =
+
2 2
b b 1
2bc 2c
b c
,
≤ =
+
2 2
c c 1
2ac 2a
a c

° Vậy:
 
+ + ≤ + +
 ÷
 
+ + +
2 2 2 2 2 2
a b c 1 1 1 1
2 a b c
a b b c a c
11. Cho a , b ≥ 1 , chứng minh:
≥ − + −ab a b 1 b a 1
.
°
( ) ( )
= − + ≥ − = − + ≥ −a a 1 1 2 a 1, b b 1 1 2 b 1
°
≥ − ≥ −ab 2b a 1, ab 2a b 1
°
≥ − + −ab a b 1 b a 1
12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. C/m: xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1)
°
( ) ( )
= − + = − + + + −x x 1 1 x 1 x y z 3
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )

= − + − + − + − ≥ − − −
2
4
x 1 x 1 y 1 z 1 4 x 1 y 1 z 1

Tương tự:
( )
( )
( )
≥ − − −
2
4
y 4 x 1 y 1 z 1
;
( )
( )
( )
≥ − − −
2
4
z 4 x 1 y 1 z 1
⇒ xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1).
13. Cho a > b > c, Chứng minh:
( ) ( )
≥ − −
3
a 3 a b b c c
.
°
( ) ( ) ( ) ( )

= − + − + ≥ − −
3
a a b b c c 3 a b b c c
8
Trần Duy Thái Tuyển tập Bất đẳng thức
14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh:
a) b + c ≥ 16abc.
°
+
 

 ÷
 
2
b c
bc
2

( )
+ −
   
≤ = = −
 ÷  ÷
   
2 2
2
b c 1 a
16abc 16a 16a 4a 1 a
2 2
°

( ) ( )
( )
( ) ( )
 
− = − − = − − − ≤ − = +
 
2 2
2
4a 1 a 1 a 4a 4a 1 a 1 1 2a 1 a b c
b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ≥ 8abc
° (1 – a)(1 – b)(1 – c) = (b + c)(a + c)(a + b) ≥
=2 bc.2 ac.2 ab 8abc
c)
   
+ + + ≥
 ÷ ÷ ÷
   
1 1 1
1 1 1 64
a b c
°
+ + +
   
+ = ≥
 ÷  ÷
   
4
2
1 a a b c 4 a bc
1

a a a
°
+ ≥
4
2
1 4 ab c
1
b b
°
+ ≥
4
2
1 4 abc
1
c c

   
+ + + ≥
 ÷ ÷ ÷
   
1 1 1
1 1 1 64
a b c
15. Cho x > y > 0 . Chứng minh:
( )
+ ≥

1
x 3
x y y


( )
( )
( )
( )

= − + + ≥ =
− −
3
x y y
1
VT x y y 3 3
x y y x y y
16. Chứng minh:
a)
+

+
2
2
x 2
2
x 1

+ ≥ +
2 2
x 2 2 x 1

+ + ≥ +
2 2

x 1 1 2 x 1
b)
+

x 8
x 1
=
− +
= − + ≥ − =
− − −
x 1 9 9 9
x 1 2 x 1 6
x 1 x 1 x 1
c.
( ) ( )
+ + ≥ + = +
2 2 2
a 1 4 2 4 a 1 4 a 1

+

+
2
2
a 5
4
a 1
17. Chứng minh:
+ +
+ + ≤ >

+ + +
ab bc ca a b c
; a, b, c 0
a b b c c a 2
° Vì :
+ ≥a b 2 ab

≤ =
+
ab ab ab
a b 2
2 ab
,
≤ =
+
bc bc bc
b c 2
2 bc
,
≤ =
+
ac ac ac
a c 2
2 ac
°
+ + ≥ + +a b c ab bc ca
, dựa vào:
+ + ≥ + +
2 2 2
a b c ab bc ca

.
°
+ + + +
+ + ≤ ≤
+ + +
ab bc ca ab bc ac a b c
a b b c c a 2 2
9
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Duy Thái
18. Chứng minh:
+ ≤
+ +
2 2
4 4
x y 1
4
1 16x 1 16y
, ∀x , y ∈ R
°
( )
= ≤ =
+
+
2 2 2
4 2 2
x x x 1
8
1 16x 2.4x
1 4x
°

( )
= ≤ =
+
+
2 2 2
4 2 2
y y y 1
8
1 16y 2.4y
1 4y

+ ≤
+ +
2 2
4 4
x y 1
4
1 16x 1 16y
19. Chứng minh:
+ + ≥
+ + +
a b c 3
b c a c a b 2
; a , b , c > 0
Đặt X = b + c , Y = c + a , Z = a + b.
° a + b + c =
1
2
(X + Y + Z)
°

+ − + − + −
= = =
Y Z X Z X Y X Y Z
a , b , c
2 2 2
°
 
     
+ + = + + + + + −
 ÷  ÷  ÷
 
+ + +      
 
a b c 1 Y X Z X Z Y
3
b c a c a b 2 X Y X Z Y Z
[ ]
≥ + + − =
1 3
2 2 2 3
2 2
.
Cách khác:
°
     
+ + = + + + + + −
 ÷  ÷  ÷
+ + + + + +
     
a b c a b c

1 1 1 3
b c a c a b b c a c a b
( ) ( ) ( )
[ ]
 
= + + + + + + + −
 ÷
+ + +
 
1 1 1 1
a b b c c a 3
2 b c a c a b
 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:
°
( ) ( ) ( )
[ ]
 
+ + + + + + + ≥ − =
 ÷
+ + +
 
1 1 1 1 9 3
a b b c c a 3
2 b c a c a b 2 2
20. Cho a , b , c > 0. C/m:

+ + ≤
+ + + + + +
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1

abc
a b abc b c abc c a abc
°
( )
( )
( )
+ = + − + ≥ +
3 3 2 2
a b a b a ab a a b ab


( ) ( )
+ + ≥ + + = + +
3 3
a b abc a b ab abc ab a b c
, tương tự
°
( ) ( )
+ + ≥ + + = + +
3 3
b c abc b c bc abc bc a b c
°
( ) ( )
+ + ≥ + + = + +
3 3
c a abc c a ca abc ca a b c

( ) ( ) ( )
+ +
 

≤ + + =
 ÷
+ + + + + + + +
 
1 1 1 1 a b c
VT
ab a b c bc a b c ca a b c a b c abc
10
Trần Duy Thái Tuyển tập Bất đẳng thức
21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:
a.
+ + + ≥
4
a b c d 4 abcd
với a , b , c , d ≥ 0 (Côsi 4 số)

+ ≥ + ≥a b 2 ab , c d 2 cd

( )
( )
+ + ≥ + ≥ ≥
4
a b cd 2 ab cd 2 2 ab. cd 4 abcd
b.
+ + ≥
3
a b c 3 abc
với a , b , c ≥ 0 , (Côsi 3 số )

+ + + +

+ + + ≥
4
a b c a b c
a b c 4. abc
3 3

+ + + +

4
a b c a b c
abc
3 3

+ + + +
 

 ÷
 
4
a b c a b c
abc
3 3

+ +
 

 ÷
 
3
a b c

abc
3

+ + ≥
3
a b c 3 abc
.
22. Chứng minh:
+ + ≥ + +
3 3 3 2 2 2
a b c a bc b ac c ab
; a , b , c > 0
°
+ ≥
3 2
a abc 2a bc
,
+ ≥
3 2
b abc 2b ac
,
+ ≥
3 2
c abc 2c ab
°
( )
+ + + ≥ + +
3 3 3 2 2 2
a b c 3abc 2 a bc b ac c ab


( )
( )
+ + ≥ + +
3 3 3 2 2 2
2 a b c 2 a bc b ac c ab
,
vì :
+ + ≥
3 3 3
a b c 3abc
Vậy:
+ + ≥ + +
3 3 3 2 2 2
a b c a bc b ac c ab
23. Chứng minh:
+ + ≥
3 9
4
2 a 3 b 4 c 9 abc
 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 9 số không âm:
°
= + + + + + + + + ≥
3 3 3 9
4 4 4 4
VT a a b b b c c c c 9 abc
24. Cho
= +
x 18
y
2 x

, x > 0. Định x để y đạt GTNN.
 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm:
= + ≥ =
x 18 x 18
y 2 . 6
2 x 2 x
° Dấu “ = ” xảy ra ⇔
= ⇔ = ⇔ = ±
2
x 18
x 36 x 6
2 x
, chọn x = 6.
Vậy: Khi x = 6 thì y đạt GTNN bằng 6
25. Cho
= + >

x 2
y ,x 1
2 x 1
. Định x để y đạt GTNN.


= + +

x 1 2 1
y
2 x 1 2
 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm



x 1 2
,
2 x 1
:
− −
= + + ≥ + =
− −
x 1 2 1 x 1 2 1 5
y 2 .
2 x 1 2 2 x 1 2 2
11
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Duy Thái
° Dấu “ = ” xảy ra ⇔
( )
=


= ⇔ − = ⇔

= −


2
x 3
x 1 2
x 1 4
x 1(loaïi)
2 x 1
Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTNN bằng

5
2
26. Cho
= + > −
+
3x 1
y , x 1
2 x 1
. Định x để y đạt GTNN.

+
= + −
+
3(x 1) 1 3
y
2 x 1 2
 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm
( )
+
+
3 x 1 1
,
2 x 1
:
( ) ( )
+ +
= + − ≥ − = −
+ +
3 x 1 1 3 3 x 1 1 3 3
y 2 . 6

2 x 1 2 2 x 1 2 2
° Dấu “ = ” xảy ra ⇔

( )
( )

= −

+

= ⇔ + = ⇔

+
= − −


2
6
x 1
3 x 1 1 2
3
x 1
2 x 1 3
6
x 1(loaïi)
3
Vậy: Khi
= −
6
x 1

3
thì y đạt GTNN bằng

3
6
2
27. Cho
= + >

x 5 1
y ,x
3 2x 1 2
. Định x để y đạt GTNN.


= + +

2x 1 5 1
y
6 2x 1 3
 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm


2x 1 5
,
6 2x 1
:
− − +
= + + ≥ + =
− −

2x 1 5 1 2x 1 5 1 30 1
y 2 .
6 2x 1 3 6 2x 1 3 3
Dấu “ = ” xảy ra

( )

+
=



= ⇔ − = ⇔


− +
=


2
30 1
x
2x 1 5
2
2x 1 30
6 2x 1
30 1
x (loaïi)
2
Vậy: Khi

+
=
30 1
x
2
thì y đạt GTNN bằng
+30 1
3
28. Cho
= +

x 5
y
1 x x
, 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN.
12
Trần Duy Thái Tuyển tập Bất đẳng thức
°
( )
− + − −
= + = + + ≥ + = +
− − −
x 5 1 x 5x x x 1 x 1 x
f(x) 5 5 2 5 5 2 5 5
1 x x 1 x x 1 x x
Dấu “ = ‘ xảy ra ⇔
− −
 
= ⇔ = ⇔ =
 ÷

− −
 
2
x 1 x x 5 5
5 5 x
1 x x 1 x 4
(0 < x < 1)
° Vậy: GTNN của y là
+2 5 5
khi

=
5 5
x
4
29. Cho
+
=
3
2
x 1
y
x
, x > 0 . Định x để y đạt GTNN.
°
+
= + = + + ≥ =
3
3
2 2 2 2 3

x 1 1 x x 1 x x 1 3
x 3
2 2 2 2
4
x x x x
° Dấu “ = ‘ xảy ra ⇔
= =
2
x x 1
2 2
x

=
3
x 2
.
° Vậy: GTNN của y là
3
3
4
khi
=
3
x 2
30. Tìm GTNN của
+ +
=
2
x 4x 4
f(x)

x
, x > 0.
°
+ +
= + + ≥ + =
2
x 4x 4 4 4
x 4 2 x. 4 8
x x x
° Dấu “ = ‘ xảy ra ⇔
=
4
x
x
⇔ x = 2 (x > 0).
° Vậy: GTNN của y là 8 khi x = 2.
31. Tìm GTNN của
= +
2
3
2
f(x) x
x
, x > 0.
°
 
 
+ = + + + + ≥ =
 ÷
 ÷

 
 
3
2
2 2 2 2
2
5
3 3 3 3 5
2 x x x 1 1 x 1 5
x 5
3 3 3 3
27
x x x x
° Dấu “ = ‘ xảy ra ⇔
= ⇔ =
2
5
3
x 1
x 3
3
x
⇔ x = 2 (x > 0).
° Vậy: GTNN của y là
5
5
27
khi
=
5

x 3
.
32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x)
° f(x) = –10x
2
+ 11x – 3 =
   
− − − = − − + ≤
 ÷  ÷
   
2
2
11x 11 1 1
10 x 3 10 x
10 20 40 40
° Dấu “ = “ xảy ra ⇔
=
11
x
20
13
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Duy Thái
° Vậy: Khi
=
11
x
20
thì y đạt GTLN bằng
1
40

.
33. Cho y = x(6 – x) , 0 ≤ x ≤ 6 . Định x để y đạt GTLN.
 Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm x và 6 – x (vì 0 ≤ x ≤ 6):
°
( ) ( )
= + − ≥ −6 x 6 x 2 x 6 x
⇒ x(6 – x) ≤ 9
° Dấu “ = “ xảy ra ⇔ x = 6 – x ⇔ x = 3
° Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTLN bằng 9.
34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 ≤ x ≤
5
2
. Định x để y đạt GTLN.
 y = (x + 3)(5 – 2x) =
1
2
(2x + 6)(5 – 2x)
 Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 6 và 5 – 2x ,
 
− ≤ ≤
 ÷
 
5
3 x
2
:
°
( ) ( ) ( ) ( )
= + + − ≥ + −11 2x 6 5 2x 2 2x 6 5 2x


1
2
(2x + 6)(5 – 2x) ≤
121
8
° Dấu “ = “ xảy ra ⇔ 2x + 6 = 5 – 2x ⇔
= −
1
x
4
° Vậy: Khi
= −
1
x
4
thì y đạt GTLN bằng
121
8
.
35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) ,
− ≤ ≤
5
x 5
2
. Định x để y đạt GTLN.
 y = (2x + 5)(5 – x) =
1
2
(2x + 5)(10 – 2x)
 Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 5 , 10 – 2x ,

 
− ≤ ≤
 ÷
 
5
x 5
2
:
°
( ) ( ) ( ) ( )
+ + − ≥ + −2x 5 10 2x 2 2x 5 10 2x

1
2
(2x + 5)(10 – 2x) ≤
625
8
° Dấu “ = “ xảy ra ⇔ 2x + 5 = 10 – 2x ⇔
=
5
x
4
° Vậy: Khi
=
5
x
4
thì y đạt GTLN bằng
625
8

36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) ,

1
2
≤ x ≤
5
2
. Định x để y đạt GTLN
 y = 3(2x + 1)(5 – 2x)
 Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 1 , 5 – 2x ,
 
− ≤ ≤
 ÷
 
1 5
x
2 2
:
°
( ) ( ) ( ) ( )
+ + − ≥ + −2x 1 5 2x 2 2x 1 5 2x
⇒ (2x + 1)(5 – 2x) ≤ 9
° Dấu “ = “ xảy ra ⇔ 2x + 1 = 5 – 2x ⇔ x = 1
14
Trần Duy Thái Tuyển tập Bất đẳng thức
° Vậy: Khi x = 1 thì y đạt GTLN bằng 9.
37. Cho
=
+
2

x
y
x 2
. Định x để y đạt GTLN
°
+ ≥ =
2 2
2 x 2 2x 2x 2


+
2
1 x
2 2
2 x


1
y
2 2
° Dấu “ = “ xảy ra ⇔
= ⇒
2
x 2 và x > 0 x= 2
° Vậy: Khi
=x 2
thì y đạt GTLN bằng
1
2 2
.

38. Cho
( )
=
+
2
3
2
x
y
x 2
. Định x để y đạt GTLN
°
+ = + + ≥
3
2 2 2
x 2 x 1 1 3 x .1.1

( )
( )
+ ≥ ⇒ ≤
+
2
3
2 2
3
2
x 1
x 2 27x
27
x 2

° Dấu “ = “ xảy ra ⇔
= ⇔ = ±
2
x 1 x 1
° Vậy: Khi
= ±x 1
thì y đạt GTLN bằng
1
27
.
III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki
1. Chứng minh: (ab + cd)
2
≤ (a
2
+ c
2
)(b
2
+ d
2
) () BĐT Bunhiacopxki
() ⇔
+ + ≤ + + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b 2abcd c d a b a d c b c d

+ − ≥
2 2 2 2
a d c b 2abcd 0


( )
− ≥
2
ad cb 0
.
2. Chứng minh:
+ ≤sinx cosx 2
 Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx :
°
+ =sinx cosx
( )
( )
+ ≤ + + =
2 2 2 2
1. sinx 1. cos x 1 1 sin x cos x 2
3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a
2
+ 4b
2
≥ 7.
 Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số
3 , 3 a , 4 , 4 b
:
°
( )
( )
+ = + ≤ + +
2 2
3a 4b 3. 3a 4. 4b 3 4 3a 4b

⇔ 3a
2
+ 4b
2
≥ 7.
4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a
2
+ 5b
2

725
47
.

− = −
2 3
2a 3b 3 a 5b
3 5
 Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số

2 3
, 3a , , 5 b
3 5
:
15
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Duy Thái
°
( )
 
− ≤ + +

 ÷
 
2 2
2 3 4 9
3 a 5b 3a 5b
3 5
3 5
⇔ 3a
2
+ 5b
2

735
47
.
5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a
2
+ 11b
2

2464
137
.

− = −
3 5
3a 5b 7 a 11b
7 11
 Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số


3 5
, 7 a , , 11b
7 11
:
°
( )
 
− ≤ + +
 ÷
 
2 2
3 5 9 25
7 a 11b 7a 11b
7 11
7 11
⇔ 7a
2
+ 11b
2

2464
137
.
6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a
4
+ b
4
≥ 2.
 Áp dụng BĐT Bunhiacopski:
°

( )
( )
= + ≤ + +
2 2
2 a b 1 1 a b
⇔ a
2
+ b
2
≥ 2
°
( )
( )
( )
≤ + ≤ + +
2 2 4 4
2 a b 1 1 a b
⇔ a
4
+ b
4
≥ 2
7. Cho a + b ≥ 1 Chứng minh:
+ ≥
2 2
1
a b
2
°
( )

( )
≤ + ≤ + + ⇔ + ≥
2 2 2 2 2 2
1
1 a b 1 1 a b a b
2
16
Trần Duy Thái Tuyển tập Bất đẳng thức
PHẦN II. ĐỀ THI ĐẠI HỌC
1. (CĐGT II 2003 dự bị)
Cho 3 số bất kì x, y, z. CMR:
+ + + + ≥ +
2 2 2 2 2 2
x xy y x xz+z y yz+z
2. (CĐBC Hoa Sen khối A 2006)
Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng: x
3
+ y
3
+ z
3
≥ x + y + z.
3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006)
Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: A = x + y + z +
+ +
1 1 1
x y z
4. (CĐSPHCM khối ABTDM 2006)
Cho x, y là hai số thực dương và thoả x + y =

5
4
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: A =
+
4 1
x 4y
.
5. (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006)
Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh bất đẳng thức:
+ + +
+ + + + + + + +
a b c d
a b c b c d c d a d a b
< 2
6. (CĐKT Cao Thắng khối A 2006)
Chứng minh rằng nếu x > 0 thì (x + 1)
2
 
+ +
 ÷
 
2
1 2
1
x
x
≥ 16.
7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006)
Cho 3 số dương a, b, c. Ch. minh rằng:

+ + + + + +
+ + ≥
a b c a b c a b c
9
a b c

8. (CĐKTYTế1 2006)
Cho các số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y ≤ 0; x
2
+ x = y + 12.
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + x + 2y + 17
9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)
Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz.
10. (Học viện BCVT 2001)
Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 1
thì:
 
+ + ≥ + +
 ÷
 
a b c a b c
1 1 1 a b c
3
3 3 3 3 3 3
11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2)
Cho ba số dương a, b, c thoả a
2
+ b
2
+ c

2
= 1. Chứng minh:
+ + ≥
+ + +
2 2 2 2 2 2
a b c 3 3
2
b c c a a b
17
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Duy Thái
12. (ĐH Kiến trúc HN 2001)
Cho các số a, b, c thoả:

+ + =


+ + =


2 2 2
a b c 2
ab bc ca 1
Chứng minh:
− ≤ ≤ − ≤ ≤ − ≤ ≤
4 4 4 4 4 4
a ; b ; c
3 3 3 3 3 3
13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001)
Cho ∆ABC có 3 cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:
 

+ + ≥ + +
 ÷
− − −
 
1 1 1 1 1 1
2
p a p b p c a b c
14. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)
Cho 3 số x, y, z > 0. Chứng minh rằng:
+ + ≤ + +
+ + +
3 2 3 2 3 2 2 2 2
2 y
2 x 2 z 1 1 1
x y y z z x x y z
15. (ĐH PCCC khối A 2001)
Ch. minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì:
+ + +
+ + >
b c c a a b
log a log b log c 1
16. (ĐH Quốc gia HN khối D 2001)
Ch. minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi α > 1 ta luôn có: x
α
+ α – 1 ≥ αx.
Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì:
+ + ≥ + +
3 3 3
3 3 3
a b c a b c

b c a
b c a
17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)
Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh rằng:
− + − ≤a b 1 b a 1 ab
(*)
18. (ĐH Vinh khối A, B 2001)
Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi
bằng 3 thì: 3a
2
+ 3b
2
+ 3c
2
+ 4abc ≥ 13
19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001)
Cho a, b, c là những số dương và a + b = c. Ch. minh rằng:
+ >
2 2 2
3 3 3
a b c
20. (ĐHQG HN khối A 2000)
Với a, b, c là 3 số thực bất kì thoả điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh
rằng: 8
a
+ 8
b
+ 8
c
≥ 2

a
+ 2
b
+ 2
c
21. (ĐHQG HN khối D 2000)
Với a, b, c là 3 số thực dương thoả điều kiện: ab + bc + ca = abc. Chứng
minh rằng:
+ + +
+ + ≥
2 2 2 2 2 2
b 2a c 2b a 2c
3
ab bc ca
22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000)
Cho 2 số a, b thoả điều kiện a + b ≥ 0. Ch. minh rằng:
+ +
 

 ÷
 
3
3 3
a b a b
2 2
23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000)
18
Trần Duy Thái Tuyển tập Bất đẳng thức
Cho 3 số a, b, c bất kì. Chứng minh các BĐT:
a) a

2
+ b
2
+ c
2
≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca)
2
≥ 3abc(a + b + c)
24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)
Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: P =
+ +
+ + +
2 2 2 2 2 2
bc ca ab
a b a c b c b a c a c b
25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000)
Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta đều có:
(a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥
( )
+
3
3
1 abc
26. (ĐH Y HN 2000)
Giả sử x, y là hai số dương thoả điều kiện
+ =
2 3
6
x y

. Tìm giá trị nhỏ nhất
của tổng x + y.
27. (ĐH An Giang khối D 2000)
Cho các số a, b, c ≥ 0. Chứng minh: a
c + 1
+ b
c + 1
≥ ab(a
c – 1
+ b
c – 1
)
28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)
CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx >
+
18xyz
2 xyz
29. (ĐH An Ninh khối A 2000)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 3 ta đều có: n
n + 1
> (n + 1)
n
30. (CĐSP Nha Trang 2000)
Cho 2 số thực a, b thoả điều kiện: a, b ≥ –1 và a + b = 1. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức: A =
+ + +a 1 b 1
31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)
Chứng minh BĐT sau đây luôn luôn đúng với mọi số thực x, y, z bất kì
khác không:
+ + ≥

+ +
2 2 2 2 2 2
1 1 1 9
x y z x y z
BĐT cuối cùng luôn đúng ⇒ BĐT cần chứng minh đúng.
32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999)
Cho 3 số a, b, c khác 0. Chứng minh:
+ + ≥ + +
2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c a
b c a
33. (ĐH Hàng hải 1999)
Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z ≤ 3. Chứng minh rằng:
+ + ≤ ≤ + +
+ + +
+ + +
2 2 2
x y z 3 1 1 1
2 1 x 1 y 1 z
1 x 1 y 1 z
34. (ĐH An ninh HN khối D 1999)
Cho 3 số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1]. Chứng minh rằng:
2(x
3
+ y
3
+ z
3

) – (x
2
y + y
2
z + z
2
x) ≤ 3 (*)
35. (Đại học 2002 dự bị 1)
19
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Duy Thái
Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của ∆ABC có 3 góc
nhọn đến các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
+ +
+ + ≤
2 2 2
a b c
x y z
2R
(a, b, c là các cạnh của ∆ABC, R là
bán kính đường tròn ngoại tiếp). Dấu “=” xảy ra khi nào?
36. (Đại học 2002 dự bị 3)
Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y =
5
4
. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S =
+
4 1
x 4y
37. (Đại học 2002 dự bị 5)

Giả sử a, b, c, d là 4 số nguyên thay đổi thoả mãn 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50.
Chứng minh bất đẳng thức:
+ +
+ ≥
2
a c b b 50
b d 50b
và tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức: S =
+
a c
b d
.
38. (Đại học 2002 dự bị 6)
Cho tam giác ABC có diện tích bằng
3
2
. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các
cạnh BC, CA, AB và h
a
, h
b
, h
c
tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ
các đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng:
 
 
+ + + + ≥
 ÷

 ÷
 
 
a b c
1 1 1 1 1 1
3
a b c h h h
39. (Đại học khối A 2003)
Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z ≤ 1. Chứng minh rằng:
+ + + + + ≥
2 2 2
2 2 2
1 1 1
x y z 82
x y z
40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = sin
5
x +
3
cosx
41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2)
Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng:
− ≤




=



4p(p a) bc (1)
A B C 2 3 3
sin sin sin (2)
2 2 2 8
trong đó BC = a, CA = b, AB = c, p =
+ +a b c
2
.
42. (Đại học khối A 2005)
Cho x, y, z là các số dương thoả mãn :
+ + =
1 1 1
4
x y z
.
20
Trần Duy Thái Tuyển tập Bất đẳng thức
Chứng minh rằng:
+ + ≤
+ + + +
1 1 1
1
2x+y+z x 2y z x y 2z
43. (Đại học khối B 2005)
Chứng minh rằng với mọi x ∈ R, ta có:

     
+ + ≥ + +
 ÷  ÷  ÷

     
x x x
x x x
12 15 20
3 4 5
5 4 3
Khi nào đẳng thức xảy ra?
44. (Đại học khối D 2005)
Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:
+ + + +
+ +
+ + ≥
3 3 3 3
3 3
1 x y 1 y z
1 z x
3 3
xy yz zx
Khi nào đẳng thức xảy ra?
45. (Đại học khối A 2005 dự bị 1)
Cho 3 số x, y, z thoả x + y + z = 0. CMR:
+ + + + +
x y z
3 4 3 4 3 4
≥ 6
46. (Đại học khối A 2005 dự bị 2)
Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có:
( )
 
 

+ + +
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
2
y 9
1 x 1 1
x
y
≥ 256
Đẳng thức xảy ra khi nào?
47. (Đại học khối B 2005 dự bị 1)
Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c =
3
4
. Chứng minh rằng:
+ + + + + ≤
3 3 3
a 3b b 3c c 3a 3
Khi nào đẳng thức xảy ra?
48. (Đại học khối B 2005 dự bị 2)
Chứng minh rằng nếu 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 thì
− ≤
1
x y y x
4
.
Đẳng thức xảy ra khi nào?

49. (Đại học khối D 2005 dự bị 2)
Cho x, y, z là 3 số dương và xyz = 1. CMR:
+ + ≥
+ + +
2 2 2
x y z 3
1 y 1 z 1 x 2
50. (Đại học khối A 2006)
Cho 2 số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thay đổi và thoả mãn điều kiện:
(x + y)xy = x
2
+ y
2
– xy.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =
+
3 3
1 1
x y
.
51. (Đại học khối B 2006)
Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A =
( ) ( )
− + + + + + −
2 2
2 2
x 1 y x 1 y y 2
21
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Duy Thái

LỜI GIẢI
1. (CĐGT II 2003 dự bị)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét các điểm:
A
 
+
 ÷
 ÷
 
y 3
x ; z
2 2
, B
 
+
 ÷
 ÷
 
3 3
0; y z
2 2
, C
 

 ÷
 
y z
;0
2 2
Ta có: AB =

 
 
+ + = + +
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
2
2
2 2
y 3
x y x xy y
2 2
AC =
 
 
+ + = + +
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
2
2
2 2
z 3
x z x xz z
2 2
BC =

 
 
− + + = +
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
2
2
2 2
y z 3
(y z) y yz+z
2 2 2
Với 3 điểm A, B, C ta luôn có: AB + AC ≥ BC

+ + + + ≥ +
2 2 2 2 2 2
x xy y x xz+z y yz+z
2. (CĐBC Hoa Sen khối A 2006)
x
3
+ y
3
+ z
3
≥ 3
3 3 3
3
x y z

⇒ 2(x
3
+ y
3
+ z
3
) ≥ 6
x
3
+ 1 + 1 ≥ 3
3
3
x
⇒ x
3
+ 2 ≥ 3x(1)
Tương tự: y
3
+ 1 + 1 ≥ 3
3
3
y
⇒ y
3
+ 2 ≥ 3y(2)
z
3
+ 1 + 1 ≥ 3
3
3

z
⇒ z
3
+ 2 ≥ 3z (3)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.
3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006)
• Cách 1:
Theo BĐT Côsi: 1 ≥ x + y + z ≥ 3
3
xyz
> 0
+ + ≥
3
1 1 1 3
x y z
xyz
Từ đó: A ≥ 3
3
xyz
+
3
3
xyz
Đặt: t =
3
xyz
, điều kiện: 0 < t ≤
1
3
Xét hàm số f(t) = 3t +

3
t
với 0 < t ≤
1
3
22
Trần Duy Thái Tuyển tập Bất đẳng thức
f′(t) = 3 –
2
3
t
=

2
2
3(t 1)
t
< 0, ∀t ∈
 


 
1
0;
3
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta suy ra: A ≥ 10. Dấu "=" xảy ra khi x = y = z =
1
3
Vậy A

min
= 10 đạt được khi x = y = z =
1
3
.
• Cách 2:
Theo BĐT Côsi: 1 ≥ x + y + z ≥ 3
3
xyz
> 0 ⇔
3
1
xyz
≥ 3
x +

1 2
9x 3
, y +

1 2
9y 3
, z +

1 2
9z 3
Từ đó: A=
   
   
+ + + + + + + +

 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
   
1 1 1 8 1 1 1
x y z
9x 9y 9z 9 x y z
≥ 2 +
3
8 3
9
xyz
≥ 10
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z =
1
3
.Vậy A
min
= 10 đạt được khi x = y = z =
1
3
4. (CĐSPHCM khối ABT 2006)
Ta có: x + y =
5
4
⇔ 4x + 4y – 5 = 0
A =
+
4 1
x 4y

=
+ + −
4 1
4x+ 4y 5
x 4y
⇒ A ≥ 2
4
.4x
x
+ 2
1
.4y
4y
– 5
⇒ A ≥ 5
Dấu "=" xảy ra ⇔

=



=




+ =


>


4
4x
x
1
4y
4y
5
x y
4
x,y 0

=



=


x 1
1
y
4
. Vậy A
min
= 5.
5. (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006)
Vì a, b, c, d > 0 nên ta luôn có:
+ < + =
+ + + + + +

a c a c
1
a b c c d a a c a c
23
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Duy Thái
+ < + =
+ + + + + +
b d b d
1
b c d d a b b d b d
Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được đpcm.
6. (CĐKT Cao Thắng khối A 2006)
Ta có: (x + 1)
2
 
+ +
 ÷
 
2
1 2
1
x
x
≥ 16 (1) ⇔ (x + 1)
2
 
+
 ÷
 
2

1
1
x
≥ 16
⇔ (x + 1)
 
+
 ÷
 
1
1
x
≥ 4 (do x > 0) ⇔ (x + 1)
2
≥ 4x ⇔ (x – 1)
2
≥ 0 (2)
(2) luôn đúng nên (1) được chứng minh.
7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006)
Xét vế trái của BĐT đã cho: VT =
+ + + + + + + +
b c a c a b
1 1 1
a a b b c c
= 3 +
     
+ + + + +
 ÷  ÷  ÷
     
b a c a c b

a b a c b c
Do a, b, c > 0 nên theo BĐT Côsi ta có:
+ ≥ =
b a b a
2 . 2
a b a b
;
+ ≥ =
b c b c
2 . 2
c b c b
;
+ ≥ =
c a c a
2 . 2
a c a c
Khi đó: VT ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 (đpcm).
8. (CĐKTYTế1 2006)
y ≤ 0, x
2
+ x = y + 12 ⇒ x
2
+ x – 12 ≤ 0 ⇒ – 4 ≤ x ≤ 3
y = x
2
+ x – 12 ⇒ A = x
3
+ 3x
2
– 9x – 7

Đặt f(x) = A = x
3
+ 3x
2
– 9x – 7 với – 4 ≤ x ≤ 3
f′(x) = 3x
2
+ 6x – 9 ; f′(x) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = – 3
f(–4) = 13, f(–3) = 20, f(1) = –12, f(3) = 20
Vậy maxA = 20 (x = 3, y = 0), minA = –12 (x = 1, y = –10).
9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)
Ta có: x + y + z ≥ 3
3
xyz
⇔ xyz ≥ 3
3
xyz
⇔ (xyz)
2
≥ 27 ⇔ xyz ≥ 3
3
Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z =
3
.
Vậy minA = 3
3
.
10. (Học viện BCVT 2001)
Ta có hàm số f(x) =
x

1
3
là hàm nghịch biến nên:
(a – b)
 

 ÷
 
a b
1 1
3 3
≤ 0, ∀a, b.

+ ≤ +
a b a b
a b b a
3 3 3 3
, ∀a, b. (1)
Tương tự:
+ ≤ +
b c c b
b c b c
3 3 3 3
(2)
24
Trần Duy Thái Tuyển tập Bất đẳng thức
+ ≤ +
c a c a
c a a c
3 3 3 3

(3)
Mặt khác:
+ + = + +
a b c a b c
a b c a b c
3 3 3 3 3 3
(4)
Cộng (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được:
   
+ + ≤ + + + +
 ÷  ÷
   
a b c a b c
a b c 1 1 1
3 (a b c)
3 3 3 3 3 3
Hay
 
+ + ≤ + +
 ÷
 
a b c a b c
a b c 1 1 1
3
3 3 3 3 3 3
(vì a + b + c = 1)
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c =
1
3
.

11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2)
Do a
2
+ b
2
+ c
2
= 1 nên
= =
+ − −
2
2 2 2 2
a a a
b c 1 a a(1 a )
(1)
Mà 2a
2
.(1 – a
2
)
2

 
+ − + −
 
=
 ÷
 ÷
 ÷
 

 
3
3
2 2 2
2a (1 a ) (1 a ) 2
3 3
⇒ a
2
.(1 – a
2
)
2

4
27
⇒ a(1 – a
2
) ≤
2
3 3
(2)
Từ (1), (2) suy ra:

+
2
2 2
a 3 3
a
2
b c

Do đó:
+ + ≥ + + =
+ + +
2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b c 3 3 3 3
(a b c )
2 2
b c c a a b
Dấu “=” xảy ra ⇔

= −


= −


= −


2 2
2 2
2 2
2a 1 a
2b 1 b
2c 1 c
⇔ a = b = c =
1
3
.

12. (ĐH Kiến trúc HN 2001)
Ta có:

+ + =


+ + =


2 2 2
a b c 2
ab bc ca 1


+ − = −


+ + =


2 2
(a b) 2ab 2 c
c(a b) ab 1
Ta xem đây là hệ phương trình của a, b và đặt
+ =


=

a b S

ab P
(S
2
– 4P ≥ 0)
Ta được hệ:

− = −




2 2
S 2P 2 c (1)
cS+P =1 (2)
Từ (2) ⇒ P = 1 – cS, thay vào (1) ta được:
25

×