Dạy học khái niệm toán học cho học sinh các lớp 4, 5 với sự hỗ trợ của phần mềm dạy học.

B GIO DC V O TO
VIN KHOA HC GIO DC VIT NAM
W X





NGUYN HOI ANH





DY HC KHI NIM TON HC CHO HC SINH CC LP 4, 5
VI S H TR CA PHN MM DY HC







Chuyên ngành : Lý luận và phơng pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số : 62 14 10 01

TểM TT LUN N TIN S GIO DC HC







H NI - 2008




Luận án được hoàn thành tại
VIỆN KHOA HỌC GIÁO DỤC VIỆT NAM



Người hướng dẫn khoa học:

1. PGS.TS. ĐỖ TIẾN ĐẠT
2. PGS. TS. TRẦN VUI




Phản biện 1: PGS. TS. Thái Văn Thành
Trường Đại học Vinh

Phản biện 2: PGS. TS. Phan Huy Khải

Viện Toán học

Phản biện 3: TS. Nguyễn Vũ Quốc Hưng
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội



Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Nhà nước
họp tại Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam

Vào hồi 8h30 ngày 25 tháng 03 năm 2009




Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia
- Thư viện Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam




DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ ĐÃ CÔNG BỐ
(Liên quan đến đề tài luận án)

1. Nguyễn Hoài Anh (2008), Đồ dùng dạy học ảo thao tác được trong dạy học toán ở
tiểu học, Tạp chí Giáo dục, số 182, kì 2 tháng 1.
2. Nguyễn Hoài Anh (2008), Sử dụng đồ dùng dạy học ảo thao tác được trong dạy
học khái niệm toán học ở tiểu học, Tạp chí Giáo dục, số 188, kì 2 tháng 4.
3. Nguyễn Hoài Anh (2004) Dạy học các mệnh đề toán học ở

tiểu học, Tạp chí giáo
dục, số tháng 5.
4. Nguyễn Hoài Anh (2008), Dạy học khái niệm toán học ở tiểu học, Tạp chí Khoa
học và giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế số 01 (05).
5. Nguyễn Thị Kim Thoa, Nguyễn Hoài Anh (2007), Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh
giỏi toán ở tiểu học, Dự án phát triển giáo viên tiểu học, Bộ giáo dục và đào tạo,
Nxb Giáo dục, Hà Nộ
i.
6. Nguyễn Hoài Anh (2005), Sử dụng máy tính khi dạy khái niệm phân số ở bậc tiểu
học, Tạp chí Thiết bị Giáo dục, số 04, tháng 11.
7. Đỗ Tiến Đạt, Nguyễn Hoài Anh (2006), So sánh nội dung chủ đề “Phân số” trong
chương trình tiểu học Việt Nam và Bru-nêy, Chuyên san Sách Giáo dục và thiết bị
trường học, số 16, tập 4.
8. Nguyễn Hoài Anh (2007), Phần mềm The Geometer’s Sketchpad với việ
c dạy học
toán ở tiểu học, Kỉ yếu Hội thảo khoa học Ứng dụng Công nghệ thông tin vào đào
tạo giáo viên tiểu học và dạy học ở tiểu học, Trường Đại học Sư phạm Thành phố
Hồ Chí Minh, tháng 10.
Một số đề tài nghiên cứu khoa học các cấp đã tham gia
9. Nghiên cứu thực trạng dạy học theo sách giáo khoa Toán 1 và Toán 2 ở một số
trườ
ng tiểu học của tỉnh Thừa Thiên - Huế, Đề tài nghiên cứu khoa học cấp bộ, năm
2006 (tham gia).
10. Nghiên cứu thực tế các hoạt động đào tạo giáo viên tiểu học để đề xuất biện pháp
vận dụng chuẩn nghề nghiệp giáo viên tiểu học vào hoạt động đào tạo của các
trường sư phạm nhằm đào tạo sinh viên đạt được các yêu cầu của chuẩ
n, Đề tài
nghiên cứu khoa học thuộc Dự án phát triển giáo viên tiểu học năm 2006 (tham gia).

- 1 -

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Các kiến thức toán học mà đặc biệt là các khái niệm (KN), cho dù là ở bậc tiểu học,
có tính trừu tượng, khái quát cao. Việc học các KN toán học không những chỉ giúp học
sinh (HS) nhận biết những kiến thức trừu tượng của một môn khoa học chính xác mà còn
làm cho HS hiểu được rằng các kiến thức toán học xuất phát từ thực tế, rất gần gũi với đời
s
ống hàng ngày của các em; giúp cho HS có những phương pháp, cách thức vận dụng các
kiến thức toán học vào giải quyết những vấn đề trong thực tiễn cuộc sống; đồng thời tạo cơ
sở cảm tính cho việc học các KN toán học ở các bậc học trên của các em. Nghiên cứu về
quá trình hình thành KN cho trẻ, nhiều nhà khoa học khẳng định rằng việc nhận thức trực
tiếp các đối tượng và hiện tượ
ng đơn nhất, kinh nghiệm nhận thức cá nhân và hoạt động
thực tiễn là phương pháp tốt nhất để hình thành KN cho HS. Đồng thời nếu không thể tổ
chức cho HS tiếp xúc với các đối tượng học tập trong điều kiện tự nhiên, trong thiên nhiên
thì có thể sử dụng rộng rãi các đồ dùng dạy học (ĐDDH) trực quan được chế tạo một cách
đặc biệt (mô hình, tranh ảnh, phim ảnh ). Điều này là hoàn toàn phù hợ
p bởi các kiến thức
toán ở tiểu học mà đặc biệt là các lớp 4, 5 được trình bày với mức độ trừu tượng tăng dần,
cung cấp nhiều KN mới hơn các năm trước. Hơn nữa đây là những lớp cuối cấp, là giai
đoạn chuyển tiếp giữa bậc tiểu học và trung học cơ sở cho nên cần có nhiều phương tiện
nhằm giúp phát triển trực giác, trí tưở
ng tượng và tư duy trừu tượng của các em.
Một trong những định hướng sử dụng công nghệ thông tin và truyền thông
(CNTT&TT) như công cụ trong dạy học toán ở tiểu học đang được các nước Hoa Kỳ,
Canada, Úc triển khai nghiên cứu, ứng dụng là giáo viên (GV) và HS vừa sử dụng
ĐDDH vừa sử dụng máy tính điện tử. Cùng với các phần mềm dạy học (PMDH), máy tính
điện tử có thể tạo ra nhữ
ng đồ dùng trực quan trên màn hình như các mô hình hình tam

giác, hình chữ nhật, các khối lập phương gọi là các đồ dùng dạy học ảo (ĐDDHA). Một
khi mà ta có thể thực hiện các thao tác vật lý trên các ĐDDHA giống như với các ĐDDH
thực thì những ĐDDHA đó được gọi là đồ dùng dạy học ảo thao tác được (ĐDDHATTĐ).

Đây chính là các mô hình toán học được thiết kế bằng những phương tiện CNTT&TT, là
những công cụ thiết yếu để dạy học toán. Đặc biệt, những mô hình toán học được thiết kế
bằng các PMDH động trên máy tính cung cấp những hình ảnh trực quan về các ý tưởng
toán học, cho phép HS thao tác trên các mô hình đó để thay đổi các yếu tố, qua đó giúp các
em nhận ra được các nội dung thông tin, dấu hiệu bản chất tiềm ẩn trong mô hình, tiến tớ
i
chiếm lĩnh tri thức cần học.
Hiện nay, ở một số trường tiểu học trong nước, việc ứng dụng CNTT&TT trong dạy
học đã được quan tâm, triển khai thực hiện. Tuy nhiên việc thực hiện vẫn chưa thật phổ
biến, chưa thật đồng bộ và hiệu quả cũng chưa thật cao. Bên cạnh đó, khai thác các nguồn
ĐDDHATTĐ từ mạng internet cũng nh
ư sử dụng các PMDH để bước đầu thiết kế các
ĐDDHATTĐ trong dạy học toán ở tiểu học thì hầu như chưa được đề cập đến.
- 2 -

Vì những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài: “Dạy học KN toán học cho HS các lớp
4, 5 với sự hỗ trợ của phần mềm dạy học".
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của đề tài này là xây dựng quy trình dạy học các KN toán học ở tiểu học
với sự hỗ trợ của PMDH. Từ đó nghiên cứu khai thác một số ĐDDHATTĐ có sẵn trên
mạng internet để sử dụ
ng và bước đầu tiếp cận một số PMDH để thiết kế một số
ĐDDHATTĐ hỗ trợ trong dạy học KN toán học cho HS các lớp 4, 5.

3. Đối tượng, khách thể, phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu

Dạy học KN toán học ở các lớp 4, 5 có sự hỗ trợ của PMDH
3.2. Khách thể nghiên cứu
- Quá trình dạy học toán ở các lớp 4, 5;
- Một số PMDH.
3.3. Phạm vi nghiên cứu
Nội dung chương trình môn Toán ở các lớp 4, 5.
4. Giả thuyết khoa học
Nếu tận dụng được các nguồn ĐDDHATTĐ có sẵn trên mạng internet và biết khai
thác tiềm năng của một số PMDH để thiết kế các ĐDDHATTĐ thì sẽ tạo được những hỗ
trợ tích cực trong việc dạy học các khái niệm toán học cho HS các lớp 4, 5, qua đó góp
phần nâng cao chất lượng dạy học toán ở tiểu học, đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp
dạy học.

5. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Xác định cơ sở lý luận về xu hướng sử dụng CNTT&TT nói chung, PMDH nói
riêng như là công cụ dạy học trong dạy học toán ở tiểu học;
- Phân tích quá trình dạy học các KN toán học ở tiểu học;
- Tìm hiểu đặc điểm nhận thức của HS tiểu học;
- Khảo sát thực trạng sử dụng CNTT&TT cũng như PMDH trong dạy học toán ở lớp
4 và lớp 5;
- Khai thác một số nguồn ĐDDHATTĐ có sẵn trên mạng internet và bước đầu tiếp cận
phần mềm GSP để thiết kế một số ĐDDHATTĐ hỗ trợ dạy học KN toán ở các lớp 4, 5;
- Tổ chức thực nghiệm sư phạm.

6. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận;
- Phương pháp quan sát;
- Phương pháp chuyên gia;
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm;
- Phương pháp thống kê;

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
- 3 -

7. Những đóng góp của luận án
- Xác định được cơ sở lý luận và thực tiễn của việc sử dụng PMDH trong dạy học
toán nói chung, ở các lớp 4, 5 nói riêng.
- Làm sáng tỏ vấn đề dạy học các khái niệm toán học ở tiểu học và định hướng sử
dụng, thiết kế các đồ dùng trực quan dựa trên các PMDH nhằm hỗ trợ HS lớp 4, lớp 5 lĩnh
hội các khái niệm toán học.
- Khai thác ngu
ồn ĐDDHATTĐ có sẵn trên mạng internet và bước đầu đề xuất quy
trình thiết kế ĐDDHATTĐ dựa trên phần mềm GSP nhằm hỗ trợ hoạt động dạy và học
khái niệm toán học ở các lớp 4, 5.
- Tổ chức thực nghiệm sư phạm và tiến hành phân tích, đánh giá kết quả để rút ra
được những kết luận sư phạm về việc sử dụng PMDH trong dạy h
ọc khái niệm toán học
cho HS ở các lớp 4, 5.
- Luận án góp phần thực hiện đổi mới phương pháp dạy học theo hướng đổi mới
phương tiện dạy học, mà cụ thể là tiếp cận xây dựng nguồn các ĐDDHA hỗ trợ cho hoạt
động học toán của HS tiểu học nói riêng, các bậc học khác ở nước ta nói chung. Trong
tương lai, có thể thiết kế nhiều hơn nữa các ĐDDHA và tiế
n tới xây dựng một thư viện
điện tử về các ĐDDHA nhằm hỗ trợ cho hoạt động dạy và học toán ở nước ta.

8. Những luận điểm đưa ra bảo vệ
• Quy trình dạy học các KN toán học cho HS các lớp 4, 5 có sự dụng hỗ trợ của
ĐDDHATTĐ;
• PMDH và máy tính điện tử tạo ra môi trường dạy học tích cực, nếu chúng ta biết
khai thác, thiết kế và sử dụng để tổ chức các hoạt động học tập toán thì sẽ giúp phát
triển việc hiểu các kiến thức toán học c

ủa HS, góp phần nâng cao chất lượng, hiệu
quả dạy học toán ở các lớp 4, 5 nói riêng, ở tiểu học nói chung.
11. Bố cục của luận án
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận án gồm có 3 chương
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn của vấn đề nghiên cứu;
Chương 2: Sử dụng ĐDDHATTĐ trong dạy học KN toán học cho HS các lớp 4, 5;
Chương 3: Thực nghiệm sư
phạm.
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1.1. Tổng quan tình hình nghiên cứu
Nghiên cứu về dạy học KN toán học và xu hướng sử dụng CNTT&TT nói chung,
PMDH nói riêng trong dạy học toán ở các bậc học mà đặc biệt là ở tiểu học theo định
hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được nhiều nhà giáo dục trong và ngoài nước
quan tâm nghiên cứu và triển khai ứng dụng. Ch
ẳng hạn như ở Hoa Kỳ, Canada, Thổ Nhĩ
Kì, Úc, Hàn Quốc, Trung Quốc có nhiều nhà giáo dục, nhiều tổ chức đã nghiên cứu, triển
khai thiết kế các ĐDDHATTĐ trong dạy học toán ở các bậc học. Ở nước ta, các tác giả
- 4 -

Nguyễn Bá Kim [48], Hoàng Chúng [12] đã trình bày tổng quan về dạy học KN toán học ở
bậc trung học. Đây là những kiến thức lý thuyết nền tảng, làm cơ sở cho các nghiên cứu
sâu hơn sau này. Bên cạnh đó, cũng đã có một số công trình của một số nhóm tác giả như
Trần Vui, Đào Thái Lai, Trịnh Thanh Hải, Nguyễn Sỹ Đức, Vũ Thị Thái, Thái Văn Thành,
Công ty Công nghệ tin học nghiên cứu về việc ứng d
ụng CNTT&TT trong dạy học nhằm
góp phần nâng cao chất lượng, hiệu quả dạy học toán. Các tác giả cũng đã gián tiếp đề cập
đến các ĐDDHA. Tuy nhiên việc xác định rõ các vấn đề lý luận về ĐDDHA và khả năng
khai thác, sử dụng trong dạy học toán ở tiểu học nước ta thì hầu như chưa được đề cập đến.
1.2. Đặc điểm nhận thức của HS ti
ểu học

Tuổi thơ là một giai đoạn phát triển của đời người. Sự phát triển sinh lý của HS tiểu
học đầy biến động và rất nhanh chóng. Thể lực của các em phát triển tương đối êm ả và
đồng đều. Trọng lượng não của trẻ gần bằng trọng lượng não của người lớn. Chức năng
của não dần dần hoàn thiện, đặc biệt chứ
c năng phân tích tổng hợp của vỏ não được phát
triển. Ở lứa tuổi tiểu học thì nhận thức cảm tính chiếm ưu thế, điều đó được nhận thấy rất
rõ qua quá trình nhận thức của HS như tri giác, chú ý, trí nhớ, tư duy, tưởng tượng.
1.3. Dạy học KN toán học ở tiểu học
1.3.1. KN toán học ở tiểu học
KN là một hình thức của tư duy ph
ản ánh những dấu hiệu và thuộc tính bản chất và
chung của các sự vật hay hiện tượng khác nhau của hiện thực khách quan. Do đó một KN
có thể được xem xét theo hai phương diện: thứ nhất, đó là các dấu hiệu và thuộc tính bản
chất của sự vật, hiện tượng, gọi là nội hàm của KN; thứ hai là lớp các sự vật, hiện tượng có
chung các dấu hiệu và thuộc tính bản chất đ
ó, gọi là ngoại diên của KN [105].
KN toán học là một hình thức của tư duy toán học, trong đó phản ánh những dấu
hiệu cơ bản khác biệt và những mối liên hệ của các đối tượng toán học.
Việc trình bày các KN toán học ở tiểu học có sự thể hiện khác so với các bậc học
trên. Cụ thể, mỗi KN toán học ở bậc trung học được diễn tả bằng lời theo những quy
định
chặt chẽ về từ ngữ và kí hiệu. Còn ở tiểu học thì mỗi KN toán học ở tiểu học được mô tả
bằng một câu, một mệnh đề, nêu các điều kiện đủ để nhận biết một đối tượng (có khi các
điều kiện đủ đó được nêu ẩn tàng trong hình vẽ hay ví dụ kèm theo), không tuân thủ một
cách nghiêm ngặt các yêu cầu logic của một định nghĩa,
được xây dựng bằng trực quan và
thừa nhận qua trực giác.
1.3.2. Mục đích yêu cầu của dạy học KN toán học ở tiểu học
Việc dạy học các KN toán ở tiểu học nhằm giúp HS: nắm vững một số dấu hiệu,
thuộc tính đặc trưng cho một KN; biết phát biểu rõ ràng các dấu hiệu bản chất của một

KN; biết nhận dạng và thể hiện ở
mức độ đơn giản các KN; biết vận dụng các KN đã học
trong một số tình huống cụ thể, trong hoạt động giải toán và ứng dụng vào thực tiễn; bước
đầu nhận biết được mối liên hệ đơn giản giữa KN vừa học với một số KN khác.
1.3.3. Vai trò của KN toán học trong chương trình tiểu học
- 5 -

a) Các KN toán học nói chung và đặc biệt là ở bậc tiểu học đều có hình ảnh cụ thể
trong thực tế. Do vậy, học các KN toán sẽ giúp HS nhận biết được toán học xuất phát từ
thực tiễn cuộc sống;
b) Các KN trong môn Toán ở tiểu học là cơ sở cảm tính để xây dựng các định nghĩa
KN ở bậc trung học;
c) Các KN trong môn Toán ở Tiểu học là cơ sở không thể thiếu để giả
i toán và tạo
nên các quy tắc, các mệnh đề.
1.3.4. Đặc điểm của việc dạy học KN toán học ở tiểu học
a) Dạy học KN toán học ở tiểu học gắn liền với hình ảnh trực quan của các đồ vật
gần gủi với cuộc sống hàng ngày của HS;
b) Các KN toán học ở tiểu học được hình thành chủ yếu thông qua việc tìm hiểu và
giải quyết mộ
t hay một vài bài toán, ví dụ cụ thể;
c) Có những KN chỉ hình thành qua một hoặc hai tiết dạy nhưng cũng có những KN
được xây dựng từng bước, rải rác trong nhiều chương hay nhiều lớp khác nhau;
d) Do đặc điểm nhận thức của HS tiểu học mà dạy học các KN toán học ở tiểu học
có những nét riêng, không đòi hỏi các em phải nhận biết và phát biểu được các câu định
nghĩa như các bậc h
ọc trên mà chỉ yêu cầu nắm bắt được các dấu hiệu bản chất của KN.
e) Nội dung dạy học các KN toán học ở tiểu học mà đặc biệt là các KN hình học phù
hợp với các mức độ đầu trong sơ đồ năm mức độ tư duy của Van Hiele (Mức độ 1: Trực
quan hóa; Mức độ 2: Phân tích; Mức độ 3: Suy diễn không hình thức; Mức độ 4: Suy diễn;

Mức độ 5: Chính xác).
1.3.5. Quy trình dạ
y học KN toán học ở tiểu học theo hướng sử dụng PMDH
Bước 1: GV nêu nhiệm vụ nhận thức, định hướng sự quan sát, chú ý của HS.
Hình thành KN ở tiểu học thường bắt đầu với việc GV giới thiệu một ví dụ hay một
hình ảnh hoặc một bài toán cụ thể, trong thực tế liên quan đến KN toán học mà HS sắp
được học. Việc giúp HS làm quen với những hình ảnh trực quan, những bi
ểu tượng cụ thể
liên quan đến KN sẽ học giúp HS trước hết tin tưởng rằng KN toán học xuất phát và phản
ánh thế giới hiện thực khách quan, sau đó là giúp HS dễ dàng bước sang cấp độ nhận thức
trừu tượng có tính hình thức cao của KN.
Bước 2: Tổ chức các hoạt động hướng đến việc hình thành hình ảnh trực quan và
biểu tượng cụ thể mà dựa trên cơ sở đó có thể
tiến hành giới thiệu, tìm kiếm KN mới.
Ở bước này, GV tổ chức cho HS tiến hành quan sát, thao tác trên các ĐDDHA. Đây
là giai đoạn mà HS thể hiện khả năng tri giác, chú ý và trí nhớ với mức cao hơn. Các em đã
có thể thoát ra khỏi những tác động bên ngoài của các hình ảnh trực quan như màu sắc,
kích thước, vị trí để bước đầu nhận ra những cái bất biến, những dấu hiệu bản chất và
không bản chất c
ủa KN.
Bước 3: Khái quát hoá để rút ra các dấu hiệu chung
Mỗi KN được hình thành như là kết quả của sự khái quát hóa vốn kinh nghiệm tri
- 6 -

giác và các biểu tượng đã tích lũy được. Việc khái quát hoá để hình thành các KN được
thực hiện nhờ vào sự trừu tượng hoá. Mặc dù khả năng trừu tượng hoá còn ít nhiều phụ
thuộc vào trực quan nhưng HS cũng đã có thể tách ra và trừu xuất những dấu hiệu, thuộc
tính bản chất, ổn định, bền vững của một lớp các đối tượng, sự vật nào đó khỏi nhữ
ng dấu
hiệu không bản chất và từ đó tiến hành khái quát hóa, trừu tượng hóa.

Bước 4: Tổ chức cho HS các hoạt động ngôn ngữ liên quan đến lĩnh hội khái niệm
như: giới thiệu thuật ngữ, kí hiệu và phát biểu KN
Mỗi KN liên quan đến những thuật ngữ nhất định. Trong quá trình dạy học, cùng với
việc tổ chức cho HS quan sát, hướng dẫn HS nhận xét sự khác nhau giữa những thuộc tính
bả
n chất và không bản chất của các đối tượng, GV cần sử dụng các thuật ngữ để kết nối
những dấu hiệu đã được tách ra nhưng chung cho cả một lớp các đối tượng. Đồng thời, GV
cũng cần phải làm cho các thuật ngữ, kí hiệu mới trở thành quen thuộc với HS và được sử
dụng thuần thục trong những trường hợp cần thiết.
Bước 5:
Củng cố và vận dụng KN
Một KN được lĩnh hội khi và chỉ khi HS có thể vận dụng được KN đó trong thực tế.
Trong quá trình dạy học, GV cần phải tổ chức để hình thành cho HS kĩ năng vận dụng KN
trong những tình huống đơn giản nhất nhưng là những tình huống điển hình, vận dụng theo
cả hai chiều, chiều từ cụ thể đến khái quát hóa và từ trừu t
ượng, khái quát đến cụ thể hóa.
1.3.6. Hệ thống các KN toán học ở lớp 4 và lớp 5 có thể ứng dụng PMDH vào tổ chức
các hoạt động dạy học
a) Chủ đề số học: Phân số, Tỉ số; Tỉ lệ bản đồ; Phân số thập phân; Hỗn số; Số thập phân;
Tỉ số phần trăm
b) Chủ đề đại lượng và đo đại lượng:
Yến, tạ, tấn; Đề-xi-met vuông; Mét vuông; Ki-lô-mét
vuông; Thể tích một hình; Xen-ti-mét khối, Đề-xi-mét khối; Mét khối; Vận tốc; Quãng
đường; Thời gian
c) Chủ đề các yếu tố thống kê: Biểu đồ; Biểu đồ hình quạt;
d) Chủ đề các yếu tố hình học: Góc nhọn, góc tù, góc bẹt; Hai đường thẳng vuông
góc; Hai đường thẳng song song; Hình bình hành; Hình thoi; Hình tam giác; Hình
thang; Hình tròn; Hình hộp chữ nhật. Hình lập phương; Hình trụ. Hình cầu.
1.4. Phầm mềm dạy học trong dạy học toán ở tiểu học
1.4.1. Xu hướng ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học

Ngày nay, sự phát triển có tính chất bùng nổ của CNTT&TT đã làm cho việc đưa tin
học vào nhà trường trở thành một trào lưu mạnh mẽ, thể hiện qua hai hướng:
a) Đưa một số vấn đề về tin học cơ bản như là một môn học trong nhà trường phổ thông;
b) Sử dụng CNTT&TT trong quá trình dạy học như là như là một công cụ hỗ trợ để đẩy
mạnh đổi mới phương pháp dạy học nhằm nâng cao hiệu quả và chất lượng giáo dục.
1.4.2. Những ưu điểm và nhược điểm chính của việc sử dụng công nghệ thông tin và
truyền thông như là một công cụ hỗ trợ dạy học
- 7 -

1.4.2.1. Những ưu điểm chính
a) Dạy học với sự hỗ trợ CNTT&TT đảm bảo tính cá thể hoá cao độ trong dạy học
b) CNTT&TT có thể cung cấp một khối lượng lớn các đồ dùng, hình ảnh trực quan hoặc
các bài tập luyện tập từ đơn giản đến phức tạp
c) CNTT&TT tạo ra môi trường tương tác, giao lưu thân thiện giữa HS với máy tính, giữa
HS với HS và giữ
a HS với GV
d) CNTT&TT góp phần đổi mới công việc giảng dạy của GV
e) CNTT&TT góp phần đổi mới kiểm tra, đánh giá
f) CNTT&TT góp phần đổi mới phương pháp dạy học
1.4.2.2. Các nhược điểm
a) Công việc lập trình các chương trình hỗ trợ HS học tập gặp nhiều khó khăn
b) Việc chuẩn bị cho một tiết dạy có sử dụng CNTT&TT tốn nhiề
u thời gian
c) Việc quản lý các thao tác của HS khi hoạt động trên máy tính điện tử gặp nhiều khó khăn
1.4.3. Phần mềm dạy học
1.4.3.1. KN về phần mềm dạy học
Phần mềm tin học, gọi tắt là phần mềm là một chương trình chạy trên máy tính để
xử lý thông tin. Monet định nghĩa “phần mềm tin học là nội dung thông minh trong máy
tính, bao gồm toàn bộ những chỉ dẫn nhằm h
ướng dẫn hoạt động chung (hệ thống khai

thác) và riêng (ứng dụng riêng cho một cách sử dụng chính xác hay đặc thù)”, [14, tr. 3].
Phần mềm tin học được coi là chỗ dựa cho dạy học gọi là PMDH. Theo Nguyễn Vũ
Quốc Hưng, Nguyễn Thượng Chung, PMDH là phương tiện chứa chương trình để ra lệnh
cho máy tính thực hiện các yêu cầu về nội dung và phương pháp dạy học theo các mục tiêu
dạy học, [dẫn theo 23, tr. 41].
Như vậy, PMDH là mộ
t phần mềm được sử dụng trong quá trình dạy học của GV và
HS, đóng vai trò vừa là một phương tiện truyền tải thông tin vừa là nội dung thông tin bao
gồm các kênh hình (tĩnh và động), kênh chữ, kênh âm thanh phong phú, sinh động, hấp
dẫn. PMDH là một phương tiện dạy học ở cấp độ cao hơn so với các loại phương tiện dạy
học trực quan khác, tạo nhiều điều kiện và cơ hội để hình thành
ở HS các năng lực học tập,
làm việc, sống và thích nghi với môi trường xã hội hiện đại, thực hiện đổi mới căn bản về
phương pháp dạy học, phương pháp giáo dục.
1.4.3.2. Một số yêu cầu sư phạm đối với phần mềm dạy học
a) PMDH phải phù hợp với chương trình và nội dung sách giáo khoa (SGK)
b) PMDH phải đảm bảo minh họa các yếu tố trực quan
c) PMDH ph
ải đảm bảo phù hợp với đặc điểm tâm sinh lí lứa tuổi của HS
d) PMDH phải phù hợp với quan điểm phát huy tính tích cực học tập của HS
e) PMDH phải đảm bảo thuận tiện khi tương tác
f) PMDH phải đảm bảo phối hợp các hình thức dạy học, các phương pháp dạy học và các
phương tiện dạy học khác
- 8 -

g) PMDH phải đảm bảo hỗ trợ kiểm tra đánh giá người học
1.4.4. Các hướng khai thác phần mềm dạy học hỗ trợ dạy học toán ở tiểu học
1.4.4.1. Khai thác các sản phẩm của các phần mềm dạy học trên mạng internet
Có nhiều cách thức sử dụng internet trong dạy học toán như: thông qua danh sách
thư tín, thông qua những người cố vấn mạng, hợp tác mạng và khai thác nguồn tài nguyên

mạng như
ĐDDHATTĐ. Trong khuôn khổ của luận án, chúng tôi đề cập đến việc khai
thác nguồn các ĐDDHATTĐ có sẵn trên mạng internet được thiết kế trên các PMDH.
Hiện nay, có nhiều tổ chức, nhóm nghiên cứu triển khai thiết kế các ĐDDHATTĐ
dựa trên các PMDH và truyền tải lên mạng internet. Chẳng hạn, Tổ chức khoa học quốc
gia cùng với nhóm nghiên cứu của Đại học Utah đã xây dựng trang web Thư viện quốc gia
về
ĐDDHATTĐ (National Library of Virtual Manipulatives for Interactive Mathematics),
[106a]; Hiệp hội quốc gia các GV toán và MarcoPolo đã phối hợp xây dựng trang web về
ĐDDHATTĐ, [106g]; Nhóm nghiên cứu của đại học Drexel đã đưa lên diễn đàn một danh
sách các nguồn ĐDDHATTĐ dành cho toán học trên mạng, [106c]
1.4.4.2. Sử dụng PMDH để thiết kế các ĐDDHA nhằm hỗ trợ dạy học toán ở tiểu học
Có nhiều cách thức ứng dụng các PMDH trong dạy học toán ở
tiểu học như: thiết kế
các mô hình trực quan, thiết kế giáo án điện tử, thiết kế đề thi, kiểm tra để đánh giá kết quả
học tập của HS. Ở phạm vi đề tài này, chúng tôi đề cập đến việc sử dụng PMDH để thiết
kế một số ĐDDHA nhằm hỗ trợ quá trình dạy học các KN toán học cho HS các lớp 4, 5.
Nội dung chương trình môn toán ở tiểu h
ọc có rất nhiều ví dụ, hình ảnh minh hoạ trực
quan và có sử dụng nhiều ĐDDH. Nếu biết khai thác những lợi thế của ĐDDHA, tận dụng
những ĐDDHATTĐ có sẵn trên mạng internet và sử dụng các PMDH để thiết kế các mô
hình thay thế cho các hình ảnh và ĐDDH cụ thể đó, theo chúng tôi, sẽ mang lại những
chuyển biến tốt trong nhận thức của HS về một KN toán học cụ
thể.
Một số phần mềm dạy học thường được sử dụng trong dạy học toán ở tiểu học như:
phần mềm trình diễn PowerPoint, phần mềm Violet, phần mềm hình học động Cabri
Geometry, Phần mềm hình học động The Geometer’s Sketchpad. Ngoài ra, trong dạy học
toán ở tiểu học cũng có thể sử dụng một số phần mềm khác như: phần mềm hình học
Euclide, ph
ần mềm Logo, phần mềm đánh giá Testor

1.4.5. Đồ dùng dạy học ảo với việc dạy học toán ở tiểu học
1.4.5.1. Đồ dùng dạy học toán ở tiểu học
a) Đồ dùng dạy học
Trong các từ điển Bách khoa toàn thư Việt Nam, từ điển Giáo dục học cùng với một
số tài liệu của các tác giả như Nguyễn Cương, Đào Thái Lai có sự
thống nhất cao về định
nghĩa ĐDDH. Trên cơ sở đó, chúng tôi nhận định rằng, ĐDDH là những vật được sử dụng
trong quá trình dạy học: bút, mực, giấy, vở, thước, compa, bảng con, bộ que tính, các mô
hình, sơ đồ, bảng biểu nhằm giúp HS lĩnh hội các kiến thức, hình thành các kĩ năng, kĩ
xảo, qua đó nâng cao chất lượng và hiệu quả dạy học.
- 9 -

b) Đồ dùng dạy học toán ở tiểu học
ĐDDH toán là những ĐDDH mà GV và HS sử dụng trong quá trình tổ chức hoạt
động dạy học toán ở tiểu học để đạt được mục đích dạy học.
ĐDDH toán đóng vai trò quan trọng trong việc tổ chức dạy học toán ở tiểu học như:
cung cấp các kiến thức toán học một cách chắc chắn và chính xác; giúp HS rèn luyện và
phát triển các nă
ng lực nhận thức như: quan sát, phân tích, tổng hợp ; giúp cho việc tổ
chức giờ học thêm sôi nổi, làm cho việc giảng dạy trở nên nhẹ nhàng
1.4.5.2. Đồ dùng dạy học ảo
a) Quan niệm về đồ dùng dạy học ảo
Nhờ vào kết quả của những đổi mới về kỹ thuật, sự phổ biến của mạng internet, các
PMDH và việc có sẵn máy tính ở lớp họ
c cũng như ở nhà ngày càng tăng, nên một trong
những xu hướng nổi bật đối với việc dạy và học toán là vừa sử dụng ĐDDH vừa sử dụng
máy tính. Tuy nhiên, trong thực tế dạy học toán ở tiểu học, bộ ĐDDH còn hạn chế về số
lượng và chủng loại. Bên cạnh đó, những công cụ phần mềm cùng với máy tính điện tử
cho phép tạo ra m
ột loạt các đồ dùng trực quan trên màn hình, chẳng hạn như các khối hộp

mẫu, các hình lắp ghép (tangram), các thanh phân số, các bảng hình học (goeboard) và các
lập thể hình học gọi là các ĐDDHA (chúng tôi tạm dịch từ thuật ngữ tiếng Anh là Virtual
Material). Một khi các đồ dùng như vậy có sẵn trên trang web, trên màn hình thì chúng
được xem như là ảo. Như vậy, ĐDDHA chính là hình ảnh, mô hình của các ĐDDH thực.
Chúng khác với các ĐDDH thực ở chỗ là hiện hữ
u trong không gian hai chiều, không thể
cầm, nắm, sờ, ngửi được.
b) Quan niệm về ĐDDHATTĐ
Thuật ngữ tiếng Anh được các nhà nghiên cứu trên thế giới sử dụng là “Virtual
Manipulative Material”, chúng tôi tạm dịch là ĐDDHATTĐ. Moyer, Bolyard và Spikell
[98], Matthieu Petit [95] và Durmus và Karakirik [88] cùng chung nhận định rằng
“ĐDDHATTĐ là một sự biểu diễn trực quan có tính tương tác qua lại trên màn hình máy
tính hoặc trên website của một vật động mà tạo ra các cơ hội để
xây dựng hoặc củng cố các
kiến thức toán học”. Theo chúng tôi, ĐDDHATTĐ là ĐDDHA có tính động và có tính
tương tác qua lại dựa trên các trang web hoặc các PMDH, với sự hỗ trợ của máy tính, tạo
ra các cơ hội để HS có thể khám phá, xây dựng và củng cố các kiến thức toán học. Tính
động của ĐDDHATTĐ thể hiện ở chỗ có thể được dịch chuyển, thay đổi kích thước, hình
dạng, vị trí, màu sắc. Tính t
ương tác ở đây được hiểu là ĐDDHATTĐ cho phép người sử
dụng điều khiển các thao tác vật lý trên các đồ dùng này bằng cách sử dụng con chuột máy
tính để chọn, kích và kéo rê theo cách mà họ mong muốn thực hiện.
d) Những thuận lợi và khó khăn khi sử dụng ĐDDHA trong dạy học toán ở tiểu học
(i) Những thuận lợi khi sử dụng ĐDDHA trong dạy học toán ở tiểu học
- Tr
ực quan hoá thông tin và quy trình thực hiện các thao tác
Theo Spicer [103], ĐDDHA có thể diễn tả trực quan các KN toán học mà ta khó
- 10 -

nhận biết một cách cụ thể trong thực tế. Chẳng hạn, việc đưa ra một cách trực tiếp mối liên

hệ giữa chu vi với đường kính của một hình tròn có thể là trừu tượng đối với HS lớp 5.
Trong trường hợp này, sử dụng ĐDDHA có thể là một hỗ trợ lớn. Ta có thể tạo một hình
tròn lăn trên một thước kẻ có vạch đến milimét, độ dài đ
oạn thẳng khi lăn hình tròn đi một
vòng là chu vi của hình tròn đó. Bằng cách thay đổi đường kính của hình tròn, chu vi của
hình tròn cũng thay đổi theo. Còn khi sử dụng ĐDDH thực, HS phải làm nhiều lần với các
hình tròn có đường kính khác nhau. Hơn nữa quá trình thực hiện lăn hình tròn nhiều khi
không được kết quả như mong muốn, không có độ chính xác cao.
- Khả năng kiểm nghiệm
Thao tác trên các ĐDDHA cho phép HS kiểm tra kết quả trực tiếp. Các em có thể
kiể
m nghiệm những dự đoán của mình. Những chức năng như đo đạc, tính toán, vẽ hình,
kéo rê của máy tính tạo điều kiện cho các em thử nhanh các dự đoán. Máy tính hỗ trợ
cho các em biết được mình đã làm sai hay đúng, đồng thời cũng tạo cơ hội cho các em làm
lại trong những trường hợp sai hoặc thiếu sót.
- Khả năng hỗ trợ tìm kiếm, khám phá và sáng tạo
Với khả năng cho phép HS kiể
m nghiệm những dự đoán của mình, việc thao tác trên
ĐDDHA tạo điều kiện cho các em có những ý tưởng sáng tạo. Hadas, Hershkowitz và
Schwarz [89] nêu rõ rằng ĐDDHA có thể mang lại cơ hội cho HS đặt ra những câu hỏi
hoài nghi, tìm tòi lời giải thích, từ đó khám phá tri thức mới.
- Nguồn ĐDDH có sẵn và lớn
Theo Dorward và Heal [87], ĐDDHA hứa hẹn một nguồn ĐDDH lớn sử dụng trong
lớp học. ĐDDHA có sẵn trên các trang web, vì vậy cho phép truy cậ
p miễn phí ở nhiều
trường học có nối mạng internet và có sẵn cho các GV bận rộn công việc, không có thời
gian để tự thiết kế các ĐDDHA trong giờ dạy.
- Hỗ trợ nghiên cứu
Đối với việc nghiên cứu trong phương pháp dạy học toán, ĐDDHA là một công cụ
có tầm quan trọng lớn. Clement và Sarama [84] đã nêu rõ rằng có thể lưu trữ lại và in ra

công việc của HS khi các em thao tác trên ĐDDHA. Việc phân tích những hành động đ
ó
có thể đưa ra những dữ kiện phục vụ cho việc nghiên cứu dựa trên tương tác của HS với
mô hình trên máy tính.
- Giúp phát triển trí tưởng tượng toán học
Rich và Joyner [101] chỉ ra rằng, việc dạy và học toán có sử dụng ĐDDHA giúp
phát triển trí tưởng tượng và khả năng tri giác không gian.
- Tính hiệu quả trong tổ chức dạy học
Những thuận lợi nêu trên tất yếu dẫn đến những hiệu quả trong việ
c tổ chức dạy học.
Theo Jones [94] thì một môi trường động tích cực mang lại ngày càng nhiều hiệu quả đối
với người học. Máy tính có thể giúp người dạy hướng dẫn HS học một KN toán học. Sự
giúp đỡ này là rất có lợi, bởi vì GV khó có thể bao quát tất cả HS theo cách của mình trong
- 11 -

mỗi hoạt động.
(ii) Những khó khăn khi sử dụng ĐDDHA
- Sử dụng ĐDDHA có thể giúp HS thư giản mà xao lãng nhiệm vụ học tập
Với tính năng động và đa dạng về màu sắc, hình ảnh, các ĐDDHA rất dễ tạo cho HS
sự tò mò và dễ trở thành trò tiêu khiển hay là cơ hội cho các em thư giản. Cần phải chú ý
đến điều mà Olive [99] gọi là “nghịch lý của trò chơi”: HS chỉ th
ư giản với ĐDDHA và
xao lãng phương diện toán học. Theo Connell và Harnish [85], nếu HS có thể đi đến kết
quả mà không biết vì sao mà đạt được kết quả đó thì việc học là không đạt yêu cầu.
- Khả năng tương thích với nội dung chương trình SGK còn hạn chế
Các ĐDDHA có sẵn trên mạng internet với nhiều chủng loại khác nhau có thể sử
dụng được trong lớp học. Tuy nhiên, do đặc thù nội dung chương trình giáo dục c
ủa từng
quốc gia nên việc sử dụng các ĐDDHA cũng có những khó khăn nhất định. Có một số
ĐDDHA, trong quá trình tiến hành thao tác, không tương thích với nội dung chương trình

SGK của nước ta.
- Sự e ngại khi sử dụng ĐDDHA của GV và HS
Các ĐDDHA có sẵn trên mạng internet kèm theo các chỉ dẫn sử dụng hoàn toàn
bằng tiếng Anh, nên cũng gây khó khăn đối với một số vùng miền chưa triển khai nối
mạ
ng rộng rãi và không sử dụng phổ biến ngoại ngữ này. Bên cạnh đó, năng lực và trình
độ ngoại ngữ cũng như khả năng tin học của GV mà đặc biệt là HS còn rất hạn chế. Hơn
nữa, việc trang bị các điều kiện cơ sở vật chất phục vụ cho việc sử dụng ĐDDHA trong
dạy học cũng gặp không ít khó khăn. Những đi
ều này dễ dẫn đến tâm lý e ngại khi sử dụng
các ĐDDHA trong dạy học.
1.4.6. Tổ chức lớp học ở nhà trường tiểu học theo hướng sử dụng PMDH
Để tổ chức dạy học toán ở tiểu học theo hướng sử dụng ĐDDHA, cần thiết phải có
một phòng máy vi tính (khoảng từ 20 máy trở lên) có nối mạng nội bộ (hoặc nối mạng
internet càng tốt), máy chi
ếu màu projector và màn hình lớn. Việc bày trí phòng học sao
cho thích hợp với diện tích của phòng và có thể tạo được không khí giao lưu thân thiện
giữa GV và HS. Đồng thời cũng đòi hỏi cả GV lẫn HS phải có một năng lực, trình độ tin
học và ngoại ngữ nhất định.
1.5. Thực trạng sử dụng ĐDDHA trong dạy học các KN toán học ở các lớp 4, 5
Tìm hiểu về một số vấn đề liên quan đến
ĐDDHA trong dạy học toán, chúng tôi
nhận thấy hầu hết các GV đều chưa có điều kiện tìm hiểu và nắm bắt những thông tin về
ĐDDHA. Chỉ khi chúng tôi giải thích sơ lược về ĐDDHA thì các GV đều nhận ra đó là
một hình thức ứng dụng CNTT&TT trong dạy học nên đã có đánh giá cao về sự cần thiết
phải sử dụng ĐDDHA trong dạy học toán ở tiểu học (92%). Đi
ều kiện cơ sở vật chất, trang
thiết bị kĩ thuật để tổ chức dạy học có sử dụng ĐDDHA ở các trường là khá đầy đủ, tuy
nhiên vẫn chưa thật đồng bộ. Mặc dù vậy, các GV đều khẳng định tính khả thi của việc
triển khai nghiên cứu, sử dụng ĐDDHA trong dạy học toán (89%) trong tương lai.

- 12 -

Khảo sát trên đối tượng là HS các lớp thực nghiệm của 5 trường tiểu học chúng tôi
nhận thấy, có 52% số HS có máy vi tính ở nhà, còn lại 48% là nhà các em không có máy vi
tính. Tuy nhiên, khi hỏi về khả năng và mức độ sử dụng thì cho thấy có đến 91,2% số HS
biết sử dụng máy vi tính, số còn lại là 8,8% HS không biết sử dụng máy vi tính.
Kết luận chương 1
• Các KN toán học ở tiểu học có tính trừu tượng, khái quát cao. Vì vậy, sử dụng các
Đ
DDH nhằm hỗ trợ HS nắm bắt được các KN phù hợp với hoạt động nhận thức của trẻ
theo đúng quy luật: “Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu tượng
đến thực tiễn khách quan”.
• Kết quả điều tra, khảo sát thực trạng cho thấy việc sử dụng PMDH trong dạy học
toán ở các trường tiểu học chủ yếu là các phần mềm PowerPoint và Violet. Tuy nhiên việc
khai thác các ĐDDHATTĐ sẵn có trên mạng internet và vận dụng PMDH để thiết kế các
ĐDDHATTĐ trong dạy học toán ở tiểu học thì hầu như chưa được đề cập đến.

• Sử dụng ĐDDHA trong dạy học toán ở tiểu học là một trong những giải pháp có thể
mang lại hiệu quả cao trong việc tổ chức dạy học; là giải pháp nhằm thực hiện định hướng
ứng dụng CNTT&TT trong dạy học góp phần thực hiện đổi mới phương pháp dạy học.
CHƯƠNG 2: SỬ DỤNG ĐỒ DÙNG DẠY HỌC ẢO THAO TÁC ĐƯỢC TRONG
DẠY HỌ
C KHÁI NIỆM TOÁN HỌC CHO HỌC SINH CÁC LỚP 4, 5
2.1. Sử dụng ĐDDHATTĐ trong dạy học KN toán học ở các lớp 4, 5
2.1.1.
Những định hướng sử dụng ĐDDHATTĐ trong dạy học KN toán học ở các lớp 4, 5
2.1.1.1. Sử dụng ĐDDHATTĐ trong dạy học KN toán học ở các lớp 4, 5 phù hợp với tiến
trình hoạt động trí tuệ của HS
2.1.1.2. Sử dụng ĐDDHATTĐ trong dạy học KN toán học ở các lớp 4, 5 theo hướng minh
họa trực quan, mô phỏng cấu trúc của KN

2.1.3. Sử dụng ĐDDHATTĐ trong dạy học KN toán học ở các lớp 4, 5 theo hướng tăng
cường hoạ
t động độc lập, tích cực, tự giác của HS
2.1.4. Sử dụng ĐDDHATTĐ trong dạy học KN toán học ở các lớp 4, 5 theo hướng góp
phần đổi mới phương pháp dạy học
2.1.2. Các yêu cầu khi lựa chọn và sử dụng ĐDDHATTĐ
a) Phù hợp với nội dung dạy học của chương trình, SGK;
b) Đảm bảo các nguyên tắc sử dụng ĐDDH;
c) Sử dụng ĐDDHATT
Đ trong dạy học KN toán học ở các lớp 4, 5 phải tạo môi
trường tương tác giữa HS với máy tính, giữa HS với HS, giữa HS với GV;
d) Sử dụng ĐDDHATTĐ trong dạy học KN toán học ở các lớp 4, 5 tạo điều kiện
cho HS đánh giá và tự đánh giá;
e) Sử dụng ĐDDHATTĐ theo quy trình dạy học KN toán học;
f) Một số yêu cầu khác: trình độ, năng lực tin học và ngoại ngữ c
ủa GV và HS, các
chương trình PMDH.
- 13 -

2.1.3. Khai thác và sử dụng ĐDDHATTĐ có sẵn hỗ trợ dạy học KN toán học ở các
lớp 4, 5

2.1.3.1. Quy trình sử dụng ĐDDHATTĐ trong dạy học KN toán học ở tiểu học
Bước 1: GV giới thiệu ĐDDHATTĐ và giao nhiệm vụ.
Mục đích của bước này là giới thiệu về ĐDDHATTĐ chứa đựng thông tin về KN
cần học và nêu nhiệm vụ nhận thức với HS.
Bước 2: HS hoạt động trên ĐDDHATTĐ
Mục đích của bước này là thông qua các ho
ạt động trên các ĐDDHATTĐ, HS hoàn
thành được nhiệm vụ nhận thức và bước đầu rút ra được những nhận xét về KN cần học.

Bước 3: Thảo luận, giải quyết nhiệm vụ
Đây là bước đệm cho việc GV hướng dẫn HS khái quát hoá để rút ra KN cần học.
2.1.3.2. Sử dụng ĐDDHATTĐ trong dạy học KN toán học cho HS các lớp 4, 5
a) Sử dụng ĐDDHA nhằm giúp HS phát hiện và hình thành KN
(i) Gi
ải thích
Đây là giai đoạn đầu của quá trình dạy học các KN toán học ở tiểu học. Theo xu
hướng đổi mới phương pháp dạy học, cần phải tổ chức sao cho HS tự mình phát hiện và
dẫn đến hình thành KN. Việc tổ chức cho HS thực hành quan sát, thao tác trên các
ĐDDHATTĐ cần phải giúp các em nhận ra các dấu hiệu bản chất của KN cần học. Quá
trình phát hiện và hình thành KN thông qua các hoạt động cụ thể: kết hợp quan sát v
ới thao
tác trên các ĐDDHATTĐ; phân tích; so sánh; tổng hợp; khái quát hoá.
(ii) Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Sử dụng ĐDDHATTĐ nhằm giúp HS phát hiện và hình thành KN phân số [38, tr.
106]
Chúng tôi chọn từ địa chỉ một số
ĐDDHATTĐ và tiến hành “Việt hoá”.
Bước 1: GV giới thiệu ĐDDHATTĐ và giao nhiệm vụ
GV khởi động trang màn hình (Hình 2.2a), giao nhiệm vụ và hướng dẫn (có thể làm
mẫu) HS trình tự các thao tác trên ĐDDHATTĐ.


a) d)
Hình 2.2
Bước 2: HS hoạt động trên ĐDDHATTĐ
- 14 -

HS tiến hành thao tác trên ĐDDHATTĐ. Mỗi lần kích chuột để chia hình thành các
phần bằng nhau, HS thấy số chỉ mẫu số thay đổi; mỗi lần kích chuột để tô màu, HS thấy tử

số thay đổi. Kết hợp với các giải thích, HS sẽ nhận biết được KN ban đầu về phân số. Các
em cũng có thể làm tiếp những ví dụ tương tự với các hình minh họa khác nhau.
Bước 3: Thảo luận, giải quy
ết nhiệm vụ
GV cho một vài HS trình bày kết quả của mình trên màn hình để cả lớp cùng theo
dõi, nhận xét kết quả của bạn. Sau đó, GV chốt lại cho HS về phân số: cách viết, cách đọc,
cấu tạo của phân số.
Ví dụ 2: Sử dụng ĐDDHATTĐ theo hướng tổ chức hoạt động thực hành sáng tạo cho HS
trong dạy học chu vi hình tròn [29, tr. 97]
Các ĐDDHATTĐ có thể hỗ trợ cho HS rèn luyệ
n và phát triển tư duy sáng tạo.
Thông qua thao tác trên ĐDDHATTĐ, HS có những ý tưởng mới, phát hiện ra những quy
luật, những mối quan hệ mà nhiều khi SGK không chỉ ra hết hoặc giới thiệu với HS một
cách áp đặt. Tính sáng tạo của HS thể hiện ở chỗ (với sự gợi ý của GV và sự hỗ trợ của
ĐDDHATTĐ): Tự mình phát hiện ra các dấu hiệu bản chất của KN; Tự mình phát hiện ra
quy t
ắc toán học; Tự mình phát hiện những lời giải khác nhau của một bài toán.
Sử dụng ĐDDHATTĐ từ trang web có thể giúp HS nhận
biết được KN về chu vi của hình tròn và hình thành công thức tính chu vi hình tròn.
Cũng với trình tự các bước như trên, GV chia nhóm và giao nhiệm vụ cho HS: tạo
lần lượt ba hình tròn với đường kính khác nhau, cho từng hình lăn một vòng trên thước
thẳng, ghi lại các kết quả quan sát được về đường kính, bán kính và chu vi của mỗi hình
tròn đ
ó (hình 2.8).

Hình 2.8
Sau đó, GV kích hoạt màn hình, giới thiệu với HS cụ thể cách thao tác trên các nút
chức năng. Khi HS đã hoàn thành nhiệm vụ, GV tổ chức cho các em thảo luận để rút ra các
nhận xét:
- Chu vi hình tròn phụ thuộc vào đường kính của hình tròn

- Chu vi của hình tròn cũng phụ thuộc vào bán kính của hình tròn
GV gợi ý cho HS phát hiện ra được chu vi hình tròn so với đường kính thì gấp hơn 3
lần rồi giới thiệu với các em công thức tính chu vi hình tròn theo đường kính hoặc bán kính
của hình tròn.
Quá trình cho hình tròn lăn một vòng trên thướ
c thẳng nhằm giúp HS có được KN
- 15 -

ban đầu về chu vi hình tròn và hình thành công thức tính chu vi của hình tròn như vậy trực
quan hơn, tự nhiên và nhẹ nhàng hơn.
b) Sử dụng ĐDDHATTĐ nhằm giúp HS củng cố, vận dụng KN
(i) Giải thích
Luyện tập, củng cố và vận dụng thuộc vào giai đoạn cuối của quá trình dạy học các
KN toán học ở tiểu học. Các ĐDDHA cần đảm bảo cho HS có thể tự kiểm tra được những
kết quả của mình. Trong quá trình tổ chức cho HS luyện tập, củng cố, cần đảm bảo cho các
em thực hiện các hoạt động: nhận dạng, thể hiện, ngôn ngữ, hệ thống hoá.
(ii) Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 3: Sử dụng ĐDDHATTĐ trong luyện tập, củng cố KN phân số
• Hoạt động nhận dạng phân số: Hoạt động nhận dạng phân số ở đ
ây là cho một hình
minh họa (đơn vị) được chia thành một số phần bằng nhau và đã tô màu một số phần, yêu
cầu HS nhận ra phân số có trong hình minh họa đó.
Bước 1: GV giới thiệu ĐDDHATTĐ và giao nhiệm vụ
GV giới thiệu ĐDDHATTĐ (Hình 2.3a) trên màn hình lớn và nêu yêu cầu hoạt
động. GV có thể chia nhóm nếu cần thiết, hướng dẫn các em các thao tác kích chuột vào
từng ô vuông để nhập các chữ số từ bàn phím, sử
dụng các nút lệnh trên trang màn hình.
Bước 2: HS hoạt động trên ĐDDHATTĐ

a) b)
Hình 2.3
Trên mỗi trang màn hình, xuất hiện ngẫu nhiên một hình hình học tùy ý, được chia
thành các phần bằng nhau và đã được tô màu một số phần. HS quan sát, nhận ra phân số
cho bởi hình minh họa trên rồi kích chuột nhập vào tử số và mẫu số của phân số đó. Các
em có thể sử dụng nút lệnh kiểm tra để xem kết quả của mình. Trong trường hợp HS làm
sai, máy tính sẽ thông báo lỗi cụ thể, HS có thể sửa lại cho đế
n khi có kết quả đúng. Máy
tính cũng cho phép các em làm nhiều lần tương tự nhưng với nhiều hình vẽ minh hoạ các
phân số khác nhau.
Bước 3: Thảo luận, giải quyết nhiệm vụ
GV cho một số HS trình bày kết quả của mình. GV tổ chức cho cả lớp nhận xét cách
- 16 -

làm của bạn, lưu ý hỏi thêm HS về tử số, mẫu số của phân số.
• Hoạt động thể hiện: Hoạt động thể hiện ở đây là cho trước một phân số và một hình
hình học (đơn vị), yêu cầu HS biểu diễn phân số đó trên hình.
Cũng cách tổ chức cho HS thực hành thao tác tương tự với bài tập dạng sau (hình
2.4a). Hoạt động này nhằm giúp cho HS hiểu rõ hơn v
ề ý nghĩa của tử số và mẫu số vì đòi
hỏi HS thực hiện các lệnh chia hình đã cho thành một số phần bằng nhau (mẫu số) và tô
màu một số phần (tử số) để có được phân số đã cho.


a) d)
Hình 2.4
Ví dụ 4: Sử dụng ĐDDHATTĐ theo hướng tổ chức hoạt động trò chơi học tập
Ở lứa tuổi tiểu học, hoạt động vui chơi giữ một vị trí quan trọng. Trò chơi học tập là
hoạt động được tổ chức có tính chất vui chơi, giải trí nhưng có nội dung gắn với bài học
hoặc hoạt động học tập củ

a HS.
Tên trò chơi: Ai nhanh hơn
Mục đích: Thông qua việc chơi để giúp HS nhận dạng và thể hiện các loại hình tam
giác: tam giác nhọn, tam giác tù, tam giác vuông.
Chia nhóm: Mỗi nhóm 2 HS thực hành trên một máy, GV hướng dẫn cụ thể các thao
tác trên màn hình và cho HS thực hành làm thử trên máy của mình.


c) d)
Hình 2.9
Luật chơi: Khi có tín hiệu bắt đầu, các nhóm tiến hành chơi. Yêu cầu HS tạo ra các
- 17 -

hình tam giác với các kích thước, hình dạng khác nhau (Hình 2.9d); Mỗi hình tam giác
khác nhau được tính 10 điểm; Nhóm nào có điểm số nhiều hơn là thắng cuộc, đồng thời
với tiêu chí là các hình tam giác phải phong phú về hình dạng, kích thước và màu sắc.
Tiến hành chơi: Sau khi có hiệu lệnh, HS tiến hành chơi, GV quan sát và kiểm soát
các thao tác của HS. Thời gian chơi là 2 phút.
Nhận xét kết quả: Kết thúc trò chơi, GV cho các nhóm HS kiểm tra chéo nhau và
thông báo kết quả điểm số của nhóm bạn. Tổng hợp k
ết quả và biểu dương, khen thưởng
những nhóm có số điểm cao nhất, đồng thời cũng nhắc nhở những nhóm có số điểm thấp,
động viên các nhóm còn lại cần cố gắng hơn nữa.
Trò chơi này còn có thể áp dụng để giúp HS củng cố các KN hình học trong mặt
phẳng như: hình chữ nhật, hình vuông, hình bình hành, hình thoi, hình thang
2.2. Sử dụng phần mềm GSP nhằm thiết kế các ĐDDHATTĐ trong dạ
y học các KN
toán học cho HS ở các lớp 4, 5
2.2.1. Một số yêu cầu khi thiết kế đồ dùng dạy học ảo thao tác được
Để thiết kế các ĐDDHATTĐ, cần thiết phải tuân thủ các nguyên tắc đối với việc

thiết kế các ĐDDH như: tính sư phạm, tính kĩ thuật, tính thẫm mĩ, tính kinh tế.
2.2.2. Các tính năng cơ bản của phần mềm The Geometer’s Sketchpad
Phần mềm hình họ
c GSP đã được phát triển như một phần của Dự án Hình học trực
quan của Trường Đại học Eugene Klotz ở bang Pennsylvania. Tác giả của phần mềm này
là Nicholas Jackiw, phiên bản đầu tiên ra đời năm 1991 và liên tục được nâng cấp. Phần
mềm này có các tính năng như: trực quan, hoạt hình, khả năng đo đạc, tính toán, tính cơ
hoạt, hỗ trợ soạn thảo văn bản và hỗ trợ việc dạy h
ọc.
2.2.3. Quy trình thiết kế
Bước 1: Phân tích nội dung bài học và xác định mục tiêu thiết kế
Ở bước này, người thiết kế phải xác định được đích cần đạt của việc thiết kế các
ĐDDHATTĐ.
Bước 2: Tiến hành thiết kế
- Lập kế hoạch bài học, lựa chọn nội dung và phần mềm thiết kế
- Hình thành ý tưởng thiết kế
- Thiết kế
- Dùng thử, kiểm tra và điều chỉnh
Bước 3: Viết hướng dẫn sử dụng
Sau khi hoàn tất việc thiết kế, người thiết kế tiến hành viết hướng dẫn cụ thể cho
từng đối tượng sử dụng (HS, GV và có thể cả phụ huynh HS).
2.2.4. Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Sử dụng phần mềm GSP thiết kế ĐDDHATTĐ nh
ằm giúp HS hình thành KN hình
- 18 -

bình hành [38, tr. 102]
Bước 1: Phân tích nội dung bài dạy và xác định mục tiêu thiết kế
Mục tiêu bài dạy: Giúp HS nhận biết KN ban đầu về hình bình hành qua các dấu
hiệu đặc trưng của hình bình hành.

Xác định mục tiêu thiết kế: ĐDDHATTĐ cần thiết kế ở đây là mô hình hình bình
hành, nhằm giúp HS phát hiện ra dấu hiệu bản chất của hình bình hành khi các em tiến
hành thao tác trên ĐDDHATTĐ đó.
Bước 2: Tiến hành thiết kế
a) Lậ
p kế hoạch bài học và lựa chọn nội dung thiết kế
- GV giới thiệu hình tứ giác ABCD;
- Tổ chức cho HS quan sát, thao tác, nhận ra được các dấu hiệu đặc trưng của hình;
- Giới thiệu với HS thuật ngữ “hình bình hành”;
- Yêu cầu HS phát biểu KN hình bình hành.
Lựa chọn nội dung thiết kế: Quá trình tổ chức cho HS quan sát và thao tác trên
ĐDDHATTĐ để rút ra được các dấu hiệu đặc trưng của hình bình hành.
b) Hình thành ý tưởng


Hình 2.11
Trên màn hình lưới kẻ ô vuông, tạo một mô hình hình bình hành ABCD, các cạnh
biểu diễn bởi nét đậm, để HS quan sát. Miền ngoài của các đoạn thẳng biểu diễn bởi nét
đứt, cho phép ẩn/hiện để giúp HS nhận ra tính song song của các cặp cạnh đối diện. Sau đó
cho HS kích chuột vào các một trong các điểm A, B, C, D và kéo rê để thay đổi kích thước,
màu sắc, vị trí của hình (chọn chế độ đ
iểm di chuyển trên các mắt lưới kẻ ô vuông, để HS
dễ quan sát và so sánh). Qua việc quan sát hình sau mỗi lần kích và rê chuột, cùng với việc
đếm số ô vuông trên màn hình nền, HS có thể nhận ra được các yếu tố song song và bằng
nhau của các cặp cạnh đối của hình bình hành ABCD.
c) Thiết kế (Hình 2.11)
Bước 3: Viết hướng dẫn sử dụng
- Hướng dẫn sử dụng thao tác: Kích chuột vào nút Hướng dẫn sử dụng để xem các
cách và các yêu cầ
u sử dụng. Kích chuột vào nút câu lệnh để xem yêu cầu thực hiện. Kích

chuột vào các điểm A, B, C, D và rê chuột để thay đổi kích thước, vị trí của hình.
- Hướng dẫn đối với GV hoặc phụ huynh HS: Yêu cầu HS sau mỗi lần thao tác kích
- 19 -

và rê chuột, dừng lại để quan sát, phân tích và so sánh về các yếu tố liên quan đến các cặp
cạnh đối diện của hình.
Ví dụ 2: Sử dụng phần mềm GSP trong thiết kế các ĐDDHATTĐ nhằm giúp HS củng cố,
khắc sâu KN hình thoi [38, tr. 140]
Cũng với các bước như trên, có thể tiến hành thiết kế các ĐDDHATTĐ nhằm giúp
HS củng cố khắc sâu KN hình thoi như sau:
• Xác định mục tiêu thiết k
ế: Thiết kế các ĐDDHATTĐ để giúp HS nhận dạng và thể
hiện KN về hình thoi.
• Hình thành ý tưởng thiết kế
Bài 1: Nhận dạng hình thoi
Trước hết, tạo một hình chữ nhật lớn làm nền. Sau đó tạo nhiều loại hình tứ giác ở
một phía còn lại của trang màn hình: hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi,
hình vuông với các kích thước, vị trí tuỳ ý, màu sắc khác nhau. Yêu cầu HS chọn những
hình thoi trong số đó rồi g
ắp nó vào trong hình hình học phía bên kia. Mỗi lần như vậy,
máy tính sẽ báo cho các em kết quả đúng hay sai và thông báo số các hình đúng mà các em
phát hiện ra. Các em có thể thực hiện lại nếu gặp sự lựa chọn sai (Hình 2.12).


Hình 2.12
Bài 2: Thể hiện hình thoi



Hình 2.13

Hình 2.14 Hình 2.15
- 20 -

Dạng 1: Hãy vẽ đoạn thẳng nối các điểm còn lại trên hình để tạo thành hình thoi
(Hình 2.13).
Dạng 2: Hãy lấy thêm một điểm sao cho khi nối các đoạn thẳng còn lại thì được hình
thoi (Hình 2.14)
Dạng 3: Hãy vẽ hình thoi trên nền lưới kẻ ô vuông (Hình 2.15)
• Thiết kế: Bài 1 và bài 2 như các hình 2.13, 2.14, 2.15 ở trên.
Ví dụ 3: Thiết kế các ĐDDHA theo hướng tổ chức hoạt động thực hành sáng tạo cho HS
trong dạy học bài di
ện tích hình tròn [29, tr. 99]
Dựa vào quy trình thiết kế như trên, có thể tiến hành thiết kế các ĐDDHATTĐ
nhằm giúp HS tìm kiếm, sáng tạo quy tắc diện tích hình tròn như sau:
• Mục tiêu thiết kế: Cách trình bày trong SGK là có tính áp đặt với HS. Ở đây chúng
tôi thiết kế hình ảnh chia và ghép hình tròn để giúp HS phát hiện ra quy tắc tính diện tích
của hình tròn.
• Hình thành ý tưởng
Tạo một hình tròn có bán kính thay đổi tuỳ ý. Thiết lập lệnh chia hình tròn ra thành
một số chẵn phầ
n bằng nhau sao cho có thể điều chỉnh, thay đổi được (nên theo cấp số
nhân, công bội 2, tối thiểu là 8 phần). Tổ chức cho HS quan sát lần lượt quá trình chia hình
tròn đó ra thành 8, 16 (có thể đến 32 hoặc 64) phần bằng nhau và cắt, ghép các phần được
chia để tạo thành dạng một hình bình hành. Từ đó giúp HS rút ra quy tắc tính diện tích
hình tròn thông qua tính diện tích hình chữ nhật này bằng cách tổ chức cho các em nhận ra
mối liên hệ giữa chiều cao của hình bình hành với bán kính củ
a hình tròn, giữa cạnh đáy
của hình bình hành với nửa chu vi của hình tròn.
• Thiết kế (các hình 2.16 và 2.17)

Hình 2.16 Hình 2.17
Kết luận chương 2
• Hiện nay trên mạng internet, có rất nhiều trang web về ĐDDHATTĐ, nếu chúng ta
lựa chọn và khai thác được các ĐDDHATTĐ này thì chúng sẽ hỗ trợ rất nhiều trong việc
tổ chức dạy học toán học ở tiểu học. Bên cạnh đó, với sự phát triển lớn mạnh của một số
PMDH như GSP, Cabri Geometry II Plus cho phép chúng ta tiếp cận để thiết kế
được
những ĐDDHATTĐ phù hợp với đặc trưng môn học và dễ sử dụng hơn.
• Hiệu quả của việc sử dụng ĐDDHA trong dạy học toán ở tiểu học phụ thuộc rất
- 21 -

nhiều vào năng lực tổ chức điều khiển giờ dạy có sử dụng CNTT&TT của GV.
• Việc sử dụng ĐDDHATTĐ trong dạy học toán ở tiểu học phải song hành cùng việc
giảng dạy tin học ở nhà trường. Đồng thời, trong quá trình dạy học cần phối hợp với các
hình thức dạy học khác như sử dụng phiếu học tập, thả
o luận nhóm để tạo cơ hội cho HS
được rèn luyện các kĩ năng suy nghĩ, tính toán, rèn luyện ngôn ngữ nói, viết.
CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
3.1. Mục đích, nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm
3.1.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm
- Kiểm chứng hiệu quả của việc khai thác các ĐDDHATTĐ có sẵn trên mạng
internet và sử dụng một số PMDH vào thiết k
ế ĐDDHATTĐ trong dạy học KN toán học ở
lớp 4 và lớp 5.
- Khẳng định tính khả thi của giải pháp đổi mới phương tiện dạy học theo hướng sử
dụng PMDH trong dạy học các KN toán học ở các lớp 4, 5 nói riêng, dạy học toán ở tiểu
học nói chung.
3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm
- Viết các kịch bản dạy học các tiết dạy thực nghi

ệm và các hướng dẫn sử dụng khi
thao tác trên các ĐDDHATTĐ và hướng dẫn sử dụng phần mềm GSP;
- Thiết kế các phiếu hỏi dành cho HS, hội ý, rút kinh nghiệm tiết dạy với GV đứng
lớp và các GV dự giờ ngay sau khi kết thúc giờ học.
3.2. Thời gian và nội dung thực nghiệm
3.2.1. Thời gian thực nghiệm
Thực nghiệm vòng 1 từ tháng 12/2005 đến tháng 03/2006 và tháng 11/2006.
Thực nghiệm vòng 2 được tiến hành từ tháng 11/2007 đến tháng 03/2008.
3.2.2.
Nội dung thực nghiệm
a) Các tiết dạy thực nghiệm
- Bài Phân số (Lớp 4); Bài Giới thiệu Hình thoi (Lớp 4); Bài Luyện tập (Lớp 5); Bài
Hình hộp chữ nhật, Hình lập phương (Lớp 5).
b) Các trường thực nghiệm
• Tại thành phố Hà Nội: Trường Tiểu học Hoàng Diệu và Trường Tiểu học Ái Mộ
• Tại tỉnh Thừa Thiên – Huế: Trường Tiểu họ
c Lê Quý Đôn và Trường Tiểu học số 1
Lộc Trì
3.3. Tiến hành thực nghiệm và phân tích kết quả
3.3.1. Thực nghiệm vòng 1
Chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên một số bài dạy: Phân số và Luyện tập. Trong
các tiết dạy, chúng tôi có mời các giảng viên chuyên ngành phương pháp dạy học toán ở
tiểu học và đại diện Ban giám hiệu nhà trường, GV chủ nhiệm lớp tham dự. Đánh giá hiệu
- 22 -

quả thực nghiệm của giai đoạn này chủ yếu thông qua việc quan sát giờ dạy học, qua nhận
biết thái độ, hứng thú học tập, tinh thần, ý thức tham gia phát biểu xây dựng bài, làm bài
của HS, qua việc phỏng vấn trực tiếp một số HS và qua ý kiến nhận xét của các GV dự giờ.
3.3.2. Thực nhiệm vòng 2
Chúng tôi thực nghiệm qua ba tiết dạy: Hình hộp chữ nhật, Hình lập phương, Phân

số và Hình thoi. Cả ba tiết dạy này đều sử dụng các ĐDDHATTĐ. Mục đích của thực
nghiệm ở giai đoạn này là rút kinh nghiệm của việc triển khai thực nghiệm ở vòng 1, khai
thác và thiết kế các ĐDDHATTĐ phong phú, đa dạng và phù hợp hơn, hướng đến việc
hình thành KN toán học thông qua hoạt động của HS. Đánh giá kết quả thực nghiệm bao
gồm nhận xét rút kinh nghiệm sau ti
ết học, khảo sát HS qua phiếu điều tra và bài kiểm tra
ngắn (trên cả lớp thực nghiệm và lớp đối chứng). Trong khuôn khổ của bản tóm tắt, chúng
tôi xin trích kết quả cụ thể của một tiết dạy về Hình hộp chữ nhật, Hình lập phương ở
trường tiểu học Ái Mộ như sau:
• Kết quả khảo sát trên đối tượng HS (Bảng 3.1)
Bảng 3.1.
Nội dung hỏi Tỷ lệ phương án trả lời
Tiết học hôm này em cảm thấy thích không? 100% rất thích
81% rất hiểu
Các em có hiểu bài không?
19% hiểu sơ sơ
Các em đã được học những giờ toán mà có sử dụng máy vi tính
như thế này chưa?
100% chưa bao giờ
Các em có thích được học những giờ toán như thế này không? 100% rất thích
Như vậy có thể thấy rằng HS rất thích được học những tiết dạy có sử dụng máy vi
tính, điều này khẳng định hứng thú học tập của HS được kích thích phát triển khi các em
được thực hành thao tác trên các ĐDDHATTĐ.
• Kết quả bài kiểm tra (Bảng 3.2)
Bảng 3.2.
Lớp 5C (Lớp đối chứng) Lớp 5H (Lớp thực nghiệm)
Điểm số (x
i
)
Tần số (n

i
) Tổng số Tần số (n
i
) Tổng số
10 1 10 6 60
9 9 81 8 72
8 10 80 11 88
7 9 63 4 28
6 2 12 1 6
5 0 0 0 0
Tổng số 31 246 30 254
Trung bình mẫu X
7.94 8.47
Phương sai mẫu
2
x
S

0.99 1.15
Độ lệch chuẩn
δ

0.99 1.07