Phương pháp chứng minh đại số lớp 9

Phương pháp Chứng minh Đại số 9 oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng
Trang 1


I
I
.
.

Phương pháp Chứng minh và Áp dụng giải Toán


Đ
Đ
A
A
Ï
Ï
I
I


S
S
O
O
Á
Á

 oOo 

Vấn đề 1: So sánh các số.
 oOo 
-
Ôn tập giáo khoa:
Với hai số dương a, b . Ta có:
22
baba >⇔>
-
baba >⇔>
-
mbmaba ±>±⇔>

-



<<
>>
⇔>
0c nếu bcac
0c nếu bcac
ba
-
caba >⇔>> c b,
-
ba
ba

11
<⇔>

Bài tập áp dụng:
Bài 1:
3223
1232
1823
32 và 23
>
=
=
a) b)
( )
3-3 48
4
1
131 nên 32
1333-3
1348
4
1
3-3 và 48
4
1
>
−>>
−=
⋅=
c)

( )
( )
32 23
033
22321
3 và 21
32 và 23
2
2
+>+
+=
+=+
+
++

d)
355035257525 +=+=+
d)
1211242222 +<+===⋅<

e)
( )
2
13
2
13
4
13
4
324

2
32
2
3
1
2
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=+

f)
( )
( )
( )
13
13
13
13
13
3610
324
2
3

3
2
3
+=
+
+
=
+
+
=
+
+

Bài 2:
a)

0a.b với ≥= baba
b)
0a.b với
33
≥= bababa

c)
( )
( )
1 b0,a với 11
2
2
≤≥−=− baba
d)

( )
( )
( )( )
2
1
a b,a với 12144
2
2
≥≥−−=+−− abaaaba

Bài tập tự rèn luyện:
1. So sánh các số sau (không dùng máy tính):
a) 4 và
15
b) 3 và
22
c)
52
và
19

d)
32
và
23
; e)
54
và
35
. f)

32 +
và
23 +
;
g)
34 −
và
56 −
; h)
103 −
và
52 −

2. So sánh 2 số sau đây( không dùng máy tính):
a)
26 và 5
b)
7 và 34
c)
54 và 103

d)
53 và 22
e)
5 và 62
f)
4 và 227 −

g)
26 và 52 −+

h)
325 và 223 −−
i)
3. So sánh các số sau:
a)
15 và 15101726 ++++

b)
520 và
12
1
19981999
1
19992000
1
+
++
+
+
+





Phương pháp Chứng minh Đại số 9 oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng
Trang 2
Vấn đề 2: Rút gọn, tính giá trò của biểu thức, chứng minh biểu thức
thỏa điều kiện.
 oOo 

Ôn tập giáo khoa:
Ôn luyện về Căn bậc hai
1.Đònh nghóa: Căn bậc hai của một số a là một số mà lũy thừa bậc hai bằng a.
2.Dấu hiệu nhận biết:
( )





==
≥
⇔=
aax
x
xa
2
2
0

3.Điều kiện tồn tại:
a
có nghóa khi
0≥a
.
a)
4.Các tính chất:
AA =
2
b)

0B 0,A với ≥≥= BABA
c)
0B 0,A với >≥=
B
A
B
A

5.Các phép biến đổi:
0B với
2
≥= BABA

a) b)
0B 0,A với A.B
1
>≥=
BB
A

c)
( )
BA 0,B 0,A với ≠≥≥
−
=
±
BA
BAM
BA
M 

Ôn luyện về Căn bậc ba
1.Đònh nghóa: Căn bậc ba của một số a là một số mà lũy thừa bậc ba bằng a.
2.Dấu hiệu nhận biết:
( )
aaxxa ==⇔=
3
3
3
3

3.Điều kiện tồn tại:
3
a
có nghóa với mọi a là một số thực.
a)
4.Các tính chất:
AA =
3
3

b)
33
3
BABA =

c)
0B với
3
3

3
≠=
B
A
B
A

I. Rút gọn, Thực hiện phép tính,…
Bài tập áp dụng:
Bài 1:
( ) ( )
1122212221222
22
=−+−=−+−=−+−
a)
b)
( ) ( )
4133531533153
22
=−+−=−+−=−+−

c)
( )
( )
3752757275727
22
=−+−=−+−=−+−

Bài 2:
6

65
2
6
3
6
2
3
3
2
=+=+=x
a) ,
6
25
2
=x
.

2116
6
65
6
25
6166
2
=+⋅−⋅=+−= xxA

b)
( )
( )
( )

2323223
43
2323223
23
23
2
2
2
2
2
2
+






+−−=
−
+






+−
=
−







−
=
−
−
=
+
−
x
x
x
x

c)
( )
12
2
122
2
22
112
112
1
1
+=

+
=
+
=
−+
++
=
−
+
x
x

Phương pháp Chứng minh Đại số 9 oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng
Trang 3
d)
( ) ( ) ( )
( )
4 32 2
4332 2
22 2 2
2
A x 2x x 2x 1 khi x x 4
A x x x x 2x 2x 1
Axxxxxx2xx1
A 4 x x 2.4 1
A 4.4 8 1 7
= + − − − +=
=+++− −−
= ++ +− +−
= +− −

= −−=

Bài 4:
( ) ( ) ( ) ( )
2224
1141414 aaaaaaa +=−+=−+=−+
a)
b)
( )
( )



<−=−−
>−=+−
=
−
−
+−=
−
−
+−
2a với a11a2
2a với 112
2
2
2
2
2
2

2
2
aa
a
a
a
a
a
a

c)
( )
( ) ( )
( ) ( )
0
2
2
=+−+=
+
+
−
−
−+
=
+
++
−
−
−
baba

ba
ba
ba
baba
ba
abba
ba
ba

b)
( ) ( ) ( )( ) ( )
0111
32
32
1
32
1212
1
32
12
22
=−=−
+
+
=−
+
−−++++
=−
+
+−+

a
a
a
aaaa
a
aa

c)
( ) ( )
( )( )
aaa
a
aa
a
aa
a
aa
a
aa
−=−+=








−
−

−








+
+
+=








−
−
−









+
+
+ 111
12
12
1
1
1
1
12
2
1
1
1

Bài tập tự rèn luyện:
1. Tính (rút gọn):
1. a)
1471227532 −+−
; b)
12580345220 +−+
;
c)
32450823 −+−
.
2. a)
625
1
625

1
−
−
+
; b)
25
2
25
2
+
−
−
.
3. a)
( ) ( )
22
5352 −+−
; b)
( ) ( )
22
3332 −−−
;
c)
( )
( )
22
67273 −−−
.
4. a)









+
+
+








−
−
+ 1
71
77
71
77
1
; b)
61
5
23

3223
+
−
−
−
.
5. a)
12527220126 +−−
; b)
45280318502 +++−

6. a)
223 +
; b)
347 −
; c)
56145614 ++−

2. Tính giá trò của biểu thức sau(sau khi rút gọn, nếu được):
1. A=
1a49a12a4
2
−−+−
với
2
1
a =
.
2. B=
9x6x1x4x4

2424
+−−+−
với
2x =
.
3. Rút gọn ( loại bỏ dấu căn thức và dấu giá trò tuyệt đối):
1. a)
( )
2
1x −
; b)
( )
2
x2 −
; c)
2
x
1
.
2. a)
4x4x
2
+−
; b)
2
xx69 +−
; c)
1x4x4
2
−+−

.
3. a)
1x
1x2x
2
−
+−
; b)
2x
4x4x
2
−
−+−
; c)
9x12x4
x23
2
−+−
−

4. a)
( )
2x
4x4x
2x
2
2
−
+−
+−

; b)
( )
4
x2x8 −+

4. Cho biểu thức
3223
3223
yxyyxx
yxyyxx
A
−−+
+
−−
=

a. Rút gọn biểu thức A. b. Tính các giá trò của A khi cho
3x =
và
2y =

Phương pháp Chứng minh Đại số 9 oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng
Trang 4
c. Với giá trò nào của x và y thì A = 1.
5. Cho biểu thức
x2
1
6xx
5
3x

2x
B
2
−
+
−+
−
+
+
=

a. Rút gọn biểu thức B. b. Tính giá trò của B, biết
32
2
x
+
=

c. Tìm giá trò nguyên của x để B có giá trò nguyên.
6. Cho biểu thức
( )

















−
+
+
⋅








+
−
−
+
−
= x
x1
x1
x
x1
x1

:
x1
x1x
C
33
2
2
2

a. Rút gọn biểu thức C. b. Tính giá trò của C khi
223x +=

c. Tính giá trò của x để cho 3.C = 1
7. Cho biểu thức
32
2
2
2
xx2
x3x
:
x2
x2
4x
x4
x2
x2
D
−
−









+
−
−
−
−
−
+
=

a. Rút gọn biểu thức D. b. Tính giá trò của D khi
25x =−

8. Cho biểu thức
( )( )
4x9
1x1x
21x4
E
2
2
−
−++−

=

a. Rút gọn biểu thức E. b. Tìm x để E > 0
9. Cho biểu thức
( )( )
9x6x
3x2x49x
F
2
2
+−
−+−−
=

a. Rút gọn biểu thức F. b. Tìm các giá trò nguyên của x sao cho F là một số nguyên
10. Cho biểu thức






−
+
−
−
+







+
−
−
−
+
=
1x
2
x1
x
1x
1
:
1x
1x
1x
1x
G
2

a. Rút gọn biểu thức G. b. Tính giá trò của biểu thức G khi
324x +=

c. Tìm giá trò của x để G = –3
11. Cho biểu thức
1x
xx

x1x
1
x1x
1
H
3
−
−
+
+−
+
−−
=

a. Rút gọn biểu thức H. b. Tính giá trò của biểu thức H khi
729
53
x
−
=

c. Tình giá trò của x khi H = 16
12. Cho niểu thức









−−+
−
−








+
+=
1xxxx
x2
1x
1
:
1x
x
1K

a. Rút gọn biểu thức K. b. Tính giá trò của biểu thức K khi
324x +=

c. Tìm giá trò của x để K > 1
13. Cho biểu thức













−
−
+
⋅






+
−
+









−
+
=
a
b
ba
ba
b
a
ba
ba
:
ba
ba
L
2
22
22

a. Rút gọn biểu thức L. b. Tính giá trò của biểu thức L khi
2
b
a
=

14. Cho biểu thức









++
−
+








−
+
+
=
ab2ba
a
ba
a
:
ab
a
ba
a
M

22
32
22
2

a. Rút gọn biểu thức M b. Tính giá trò của biểu thức M khi cho
21a +=
và
21b −=

c. Tìm các giá trò của a và b trong trường hợp
2
1
b
a
=
thì M = 1
15. Cho biểu thức
ab
ba
aab
b
bab
a
N
+
−
−
+
+

=

a. Rút gọn biểu thức N. b. Tính giá trò của biểu thức N khi
324a +=
và
324b −=

Phương pháp Chứng minh Đại số 9 oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng
Trang 5
c. Chứng minh rằng nếu
5b
1a
b
a
+
+
=
thì N có giá trò không đổi.
16. Cho biểu thức
( )( ) (
)
( ) ( )
3
x1x
3x241x3x2
P
2
2
−+
−−−−

=

a. Rút gọn biểu thức P. b. Tính giá trò của biểu thức P khi
223x +=

c. Tìm các giá trò của x để P > 1
17. Cho biểu thức








+
−
−








−
+
+
−

−
−
=
1x3
2x3
1:
1x9
x8
1x3
1
1x3
1x
Q

a. Rút gọn biểu thức Q. b. Tính giá trò của biểu thức Q khi
526x +=

c. Tìm các giá trò của x khi
5
6
Q =

18. Cho biểu thức
6b3a2ab
ab6
6b3a2ab
b3a2
R
+++
−

−
−−+
+
=

a. Rút gọn biểu thức R. Chứng minh rằng nếu
81b
81b
R
−
+
=
thì khi đó
b
a
là một số nguyên
chia hết cho 3.
19. Cho biểu thức






−
−−







−
+−=
1x
1
1x:
1x
1
3xS

a. Rút gọn biểu thức S. b. Tìm các giá trò của x khi S > 5.
c. Tính giá trò của biểu thức S khi
14012x +=

20. Cho biểu thức








−
+
−
++
+
+

−
+
=
1x
1x
1xx
1x
1xx
2x
:1T

a. Rút gọn biểu thức T. b. Chứng minh T > 3 với mọi giá trò x > 0, x ≠ 1.
21. Cho biểu thức
3x
3x2
x1
2x3
3x2x
11x15
U
+
+
−
−
−
+
−+
−
=

a. Rút gọn biểu thức U. b. Tìm giá trò của x khi
2
1
U =

c. Tìm giá trò lớn nhất của U và giá trò tương ứng của x.
22. Cho biểu thức








+
−
+
+
−
+
+
−
+









+
−=
6x5
x
2x
x3
2x
2x
3x
:
x1
x
1V

a. Rút gọn biểu thức V. Tìm giá trò của x để V < 0
23. Cho biểu thức
1x
1
x1
1
x1
1
:
x1
1
x1
1
Y

+
+






+
−
−






+
+
−
=

a. Rút gọn biểu thức Y. b. Tính giá trò của Y khi
21x +=

c. Tìm giá trò của x khi
2
3
Y =

Vấn đề 3:
Vẽ đồ thò, Tương giao của hai đưởng (D) và (P).
 oOo 
Ôn tập giáo khoa:
+ Hàm số y = ax + b.
Tập xác đònh của hàm số y = ax + b là R
Hàm số y = ax + b đồng biến trong R nếu a > 0, nghòch biến trong R nếu a < 0.
Đường thẳng y = ax đi qua O(0;0) và E(1;a).
Đường thẳng y = ax + b đi qua P(0;b) và Q(-b/a;0).
+ Hàm số y = ax
2
.
Tập xác đònh của hàm số y = ax
2
là R.
Phương pháp Chứng minh Đại số 9 oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng
Trang 6
3
2
1
0
1
2 3
2
1
1
2
3
4

5
6
6
2
x
2
2 x 1
33 ,x x
Nếu a > 0 hàm số y=ax
2
đồng biến trong R
+
nghòch biến trong R
-
và bằng 0 khi x=0.
Nếu a < 0 hàm số y=ax
2
đồng biến trong R
-
nghòch biến trong R
+
và bằng 0 khi x=0.
Đồ thò hàm số y=ax
2
là một đường Parabol có đỉnh là gốc tọa độ O, trục đối xứng Oy, nằm
phía trên trục hoành nếu a > 0, và nằm phía dưới trục hoành nếu a < 0.
+ Sự tương giao của đồ thò của hai hàm số.
Tọa độ giao điểm của đồ thò của hai hàm số là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
số mà mỗi phương trình của hệ là một phương trình của hàm số .
Bài tập áp dụng:

Bài 1:
Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình:




=
=
⇔





=
+−
⇔



−=
=
1
112
12
2
2
2
y
x

xy
xx
xy
xy

Dựa vào đồ thò ta cũng có nghiệm của hệ phương
trình là



=
=
1
1
y
x

Bài 2:

Dùng phương pháp giải như bài tập 7 ta đưa
về được phương trình bậc hai, tìm được ∆, biện luận
∆ cho số nghiệm của phương trình, đưa về giải bất
phương trình hay phương trình ẩn số là m.


Bài tập tự rèn luyện:
1. Cho hàm số
2x)x(f +=

1. Tìm tập giá trò của hàm số.

2. Tìm giá trò của x để f(x) = 1.
3. Chứng minh hàm số f(x) đồng biến trên tập xác đònh.
2. Cho hàm số f(x) = (m + 1)x + 2
1. Với giá trò nào của m thì hàm số đã cho đồng biến.
2. Xác đònh giá trò của m để đồ thò hàm số đi qua A(1; 4).
3. Với giá trò nào của m đồ thò hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1. Vẽ đồ
thò hàm số trong trường hợp này.
3. Xác đònh hàm số y = ax + b, biết:
1. Đồ thò hàm số đi qua A(1; –1) và có hệ số góc là 2.
2. Đồ thò hàm số song song với đường thẳng y = 2 – 3x và cắt trục tung tại điểm có tung
độ bằng 1.
4. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm B(1; 4) và C(–2; 3).
5. Cho hàm số: y = – 2x
1. Chứng minh hàm số nghòch biến với x > 0 ; Đồng biến với x < 0 .
2

2. Vẽ đồ thò của hàm số.
3. Bằng phép tính hãy tìm toạ độ giao điểm của đồ thò hàm số với đường thẳng y = x – 3 .
6. Vò trí tương đối của 2 điểm đối với các trục, đối với gốc O. Đường thẳng qua gốc O.
Trong mặt phẳng toạ độ, cho điểm A(2;1).
1. Tìm các điểm đối xứng của A qua trục hoành, trục tung, gốc hệ trục.
2. Tính khoảng cách OA.
3. Viết phương trình đường thẳng OA.
4. Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với OA.
7. Lập phương trình đường thẳng.
Lập phương trình của đường thẳng (D) trong các trường hợp sau và vẽ các đường thẳng ấy trong
mặt phẳng tọa độ:
1. (D) có hệ số góc a = 2 qua A(2; 1).
Phương pháp Chứng minh Đại số 9 oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng
Trang 7

2. (D) có hệ số góc a = –1 và qua B(–1; 2).
3. (D) qua C(1; 1) và song song với đường thẳng (D’): y =
x
2
1
−
.
4. (D) qua E(2; –1) và vuông góc với đường thẳng (D’): y = –2x + 1.
5. (D) qua F(2; 3) và song song với trục tung.
6. (D) qua G(-1; -2) và song song với trục hoành.
7. (D) qua 2 điểm H(2; 1) và K(3; 3).
Các câu trên độc lập với nhau, có thể vẽ riêng.
8. Toán tổng hợp về đường thẳng trong hệ trục:
Trong mặt phẳng toạ độ, gọi (D) là đường thẳng có phương trình: y – 2x – 2 = 0.
1. Vẽ (D) qua giao điểm A của (D) với trục tung y’y và giao điểm B của (D) với trục
hoành x’x.
2. Viết phương trình đường thẳng (D
1
3. (D
) qua C(1;0) và song song với (D).
1
4. Viết phương trình đường thẳng (D
) cắt trục tung tại E. Giải thích rõ tính chất đặc biệt của tứ giác ABEC.
2
5. (D
) qua A và vuông góc với (D).
2
) cắt (D
1
9. Khảo sát, vẽ đồ thò hàm số y = ax

) tại F. Tìm toạ độ của F; tính diện tích của tứ giác ABEF.
2
Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol (P):
(a ≠ 0) và sự tương giao với y = ax + b.
2
xy =
và đường thẳng (D): y = x + 2.
1. Khảo sát và vẽ đồ thò (P) của hàm số
2
xy =
.
2. Vẽ (D).
3. Tìm tọa độ giao điểm của A và B của (P) và (D) bằng đồ thò và phép toán.
4. Từ A và B vẽ AH ⊥ x’x; BK ⊥ x’x . Tính diện tích của tứ giác AHKB.
10. Xác đònh hàm số y = ax
2
Cho hàm số
(a ≠ 0). Đặc điểm hình học qua tọa độ:
2
axy =
có đồ thò (P).
1. Tìm a biết (P) qua điểm A(1; –1). Vẽ (P) với a vừa tìm được.
2. Trên (P) lấy điểm B có hoành độ bằng –2, tìm phương trình của đường thẳng AB và tìm
toạ độ giao điểm D của đường thẳng AB và trục tung.
3. Viết phương trình đường thẳng (d) qua O và song song với AB, xác đònh toạ độ giao
điểm C của (d) và (P). (C khác O).
4. Chứng tỏ OCDA là hình vuông.


Vấn đề 4:

Giải hệ phương trình, biện luận về số nghiệm.
 oOo 
Ôn tập giáo khoa:
Đònh nghóa hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số. Số nghiệm của nó. Các phương pháp giải
hệ phương trình: Phương pháp đồ thò, phương pháp đại số (phương pháp cộng và phương pháp
thế). Phương pháp đặt ẩn số phụ.
Bài tập áp dụng:
Bài 1:
nghiệm. vô
02
2
012
2
1
2
1
1
1
2





=++
=−+
⇒−≠=
y
x
yx

Phương pháp dùng đònh nghóa để chỉ rõ sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình (phương
pháp này không xác đònh được nghiệm số bằng bao nhiêu).

nghiệm. vô
142
32
1
3
4
2
2
1



=−
=−
⇒≠
−
−
=
yx
yx

Bài 2:
a)
Ôn tập các phép biến đổi tương đương hệ phương trình. Từ đó biến đổi hệ phương trình về
dạng đơn giản nhất, sau đó áp dụng các phương pháp đã học để giải hệ phương trình :
( ) ( )






=
=
⇔



=−
=+
⇔







=
−−−
+
−=
−
+
5
14
69
41314

104521
3
1410
3
5
2
4
3
7
y
x
yx
yx
y
xyx
y
x
yx

Phương pháp Chứng minh Đại số 9 oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng
Trang 8
b)
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )








=
=
⇔



=−
=−
⇔



+−=+−
++=++
23
67
23
9
15316
723
26537532
8153
y
x
yx
yx
yxyx
yxyx

c)
( )
( )



=
=
⇔



=−−
−=
⇔



=−
=+
⇔







=
−

−
+
=
+
−−−
2
4
6515344
1534
654
3415
5,1
4
3
20
94
0
5
1
231
y
x
yy
yx
yx
yx
yx
x
y

d)
( ) ( )



=
−=
⇔



−=+
−=−
⇔



−=+
−=−
⇔





+=+−−
=
−
+
1

1
167
1064
167
532
123252
1
23
32
y
x
yx
yx
yx
yx
xxyyx
y
x

Bài 12:
a)
Học sinh đặt ẩn số phụ để đưa hệ phương trình về những hệ phương trình đơn giản đã
học.








=
=
⇔







−=
−
=
==
⇔







−=
=
⇔



=+
=−

−
==







=−
−
+
=
−
−
5
3
3
4
4
5
2
1
b
4
31
a
4
5
4

3
13
2a
:có Ta
2
1
b;
1
a Đặt
01
2
13
2
2
11
y
x
y
x
b
a
ba
b
yx
yx
yx

b)




=
±=
⇔



==
==



=
=
⇔



−=+
=−
⇔



=
=−
==






=−
=−−
0y
2x
0
4
:đó Do
0
4
12b93a-
1243a
43b-a
1243a
:có Ta . b; a Đặt
43
01243
2
2
2
2
yb
xa
b
abb
yx
yx
yx

Tương tự như bài tập 12 a, c. Học sinh giải bài tập 12 b, d. như sau: Chọn ẩn số phụ, đưa hệ
phương trình đã cho thành hệ phương trình đơn giản, giải hệ phương trình bằng phương pháp thích
hợp như: phương pháp cộng hoặc phương pháp thế (chú ý: Không dùng phương pháp đồ thò để
giải, trừ trường hợp đề bài tập yêu cầu).
Bài tập tự rèn luyện:
11. Giải các hệ phương trình sau: a)



−=+
=+
4yx2
1y2x
; b)







=+
=−
5
y
4
x
3
1
y

1
x
1

12. Tìm m và n để hệ phương trình sau có nghiệm (–3; 2) :



−=+
−=+
m57nyx4
11n6y5mx

13. Giải hệ phương trình:







=
+
++
=
+
+
+
4
2y

6
1x
5
2y
3
1x2

14. Cho hệ phương trình:



−=+
=−
3yax
6y2x3

a) Giải hệ đã cho với a = 4;
Phương pháp Chứng minh Đại số 9 oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng
Trang 9
b) Tìm a sao cho hệ có nghiệm (x;y) thỏa y =
x
4
3

15. Giải các hệ phương trình 2 ẩn x; y sau đây bằng đồ thò, kiểm tra lại bằng phép toán (cả 2
phương pháp cộng và thế).
a.




+=
=
1xy
x2y
; b.



+=
−=
x1y
1x2y
; c.



=+
=−
4yx
2yx2
; d.



=+−
=++−
03y2x4
01yx2
; đ.




=+−
=+−
02y4x2
01y2x



Vấn đề 5: Giải phương trình và các phương trình quy về phương
trình bậc hai, biện luận về số nghiệm theo tham số.
 oOo 
Ôn tập giáo khoa:
a) Giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm khi b lẻ.
ax
2
+ bx + c = 0
∆ = b
2
– 4ac.
∆ < 0 : phương trình vô nghiệm.
∆ = 0 : phương trình có nghiệm số kép x
1
= x
2
a
b
2
−
=

∆ > 0 : phương trình có 2 nghiệm số phân biệt.
x
1
a
b
2
∆+−
= ; x
2
a
b
2
∆−−
= .
b) Giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm thu gọn khi b chẵn.
ax
2
+ bx + c = 0
∆’= b’
2
– 4ac.
∆’ < 0 : phương trình vô nghiệm.
∆’ = 0: phương trình có 1 nghiệm số kép x
1
= x
2
a
b'
−
=

∆ > 0 : phương trình có 2 nghiệm số phân biệt.
x
1
a
b '' ∆+−
= ; x
2
a
b '' ∆−−
= .
c) Tương quan về số nghiệm của phương trình bậc hai theo biệt số ∆:
∆ < 0 ⇔ phương trình vô nghiệm.
∆ = 0 ⇔ phương trình có 1 nghiệm số.
∆ > 0 ⇔ phương trình có 2 nghiệm số phân biệt.

biệt phândương số nghiệm haicó trình phương
0
0
0
⇔





>
>
>∆
S
P

biệt phânâm số nghiệm haicó trình phương
0
0
0
⇔





<
>
>∆
S
P


dấu trái số nghiệm haicó trình phương0
⇔<P


hơnlớn đốituyệt trò giá có âm nghiệm dấu, trái số nghiệm haicó trình phương
0
0
⇔




<
<
S
P


hơnlớn đốituyệt trò giá có dương nghiệm dấu, trái số nghiệm haicó trình phương
0
0
⇔



>
<
S
P


nhau bằngđốituyệt trò giá có nghiệm haidấu, trái số nghiệm haicó trình phương
0
0
⇔



=
<
S
P

Để tìm tham số theo điều kiện của ẩn ta :
Phương pháp Chứng minh Đại số 9 oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng
Trang 10
Lập ∆ ; ∆’ ≷ 0.
Giải phương trình hoặc bất phương trình theo tham số.
Để chứng minh 1 phương trình có 0, 1, 2, nghiệm số ta:
Lập ∆ ; ∆’ .
Chứng tỏ ∆ ; ∆’ ≷ 0 hoặc bằng 0 để có 0, 1, 2 nghiệm.
d) Hệ thức Vi-et: Nếu phương trình bậc hai ax
2
+bx+c = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
thì tổng và tích
hai nghiệm đó là: S= x
1
+x
2
a
b
= - P= x
1
.x
2
a
c
= .
Nếu phương trình ax

2
+bx+c = 0 có dạng a+b+c =0 thì x
1
= 1, x
2
a
c
=
Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 có dạng a-b+c =0 thì x
1
= -1, x
2
a
c
−
=
e) Dùng ẩn số phụ, đưa phương trình đã cho về phương trình đã học.
Các phương trình quy về phương trình bậc hai một ẩn số là:
Phương pháp giải phương trình tích như sau:
-Dùng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi đa thức bên trái thành tích các
thừa số, dùng tính chất của tích khi vế bên phải bằng 0. Tiến hành cho từng nhân tử bằng 0, Giải
phương trình bậc nhất hay bậc hai tương ứng.
Chú ý: Việc dùng hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành nhân tử là rất quan trọng.
Phương pháp giải phương trình chúa ẩn số ở mẫu như sau:
-Tìm tập xác đònh của phương trình (hay tím điều kiện của phương trình). Quy đồng khử mẫu
phương trình để đưa phương trình về dạng có hệ số nguyên đơn giản.
Phương pháp giải phương trình trùng phương như sau:
-Đưa phương trình trùng phương về phương trình bậc hai một ẩn số bằng cách đặt ẩn số phụ:

y = x
2
( ) ( )
0.
2
=++ cxbfxfa
.
Mở rộng cho trường hợp sau:
Đặt y = f(x), đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai một ẩn số.
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Học sinh nhận đònh thứ tự ưu tiên khi giải phương trình bậc hai một ẩn số: Nhẩm (Dùng
đònh lý nghiệm hay đònh lý Vi-ét), dùng công thức nghiệm khi b lẻ, dùng công thức nghiệm thu
gọn khi b chẵn.
a) x
2
–11x + 30 = 0 x
1
= 5 x
2
= 6 b) x
2
–10x + 21 = 0 x
1
= 3 x
2
= 7
c) 0,3x
2
-2x+1,7= 0 ; x
1

=1 , x
2
3
17
= d)
( )
0221
2
=+−− xx
; x
1
=1, x
2
2
=
Bài 2: Học sinh trả lời bài tập: Phương trình bậc hai một ẩn số có một nghiệm số thì ta thay ẩn số
bằng giá trò mà đề bài tập đã cho. Giải phương trình theo tham số cần tìm.
Bài 3: Học sinh trả lời câu hõi sau: Phương trình bậc hai một ẩn số có hai nghiệm số trái dấu khi
nào? Phương trình bậc hai một ẩn số không thể có hai nghiệm dương khi nào? Phương trình bậc
hai một ẩn số có một nghiệm bằng 1 khi nào?
Học sinh lên bảng giải bài tập 15.
Bài 4:
1. Giải trực tiếp phương trình bậc hai:
Học sinh: Dùng ẩn số phụ, đưa phương trình đã cho về phương trình đã học.
Học sinh lên bảng giải bài tập 16.
Bài tập tự rèn luyện:
Giải trực tiếp(không dùng công thức nghiệm) các phương trình bậc hai sau đây:
1. a)
0x2x
2

=−
; b)
0x4x
2
=+−
.
2. a)
04x
2
=−
; b)
05x
2
=+−
.
3. a)
09x
2
=+
; b)
016x
2
=−−
.
4. a)
01x2x
2
=+−
; b)
01x4x4

2
=+−
.
Phương pháp Chứng minh Đại số 9 oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng
Trang 11
5. a)
( )
041x2
2
=−+
; b)
( )
061x2
2
=++
; c)
( )
01x4x48
2
=+−−
; d)
54x4x
2
=+−
.
6. a)
( )( )
( )
1x6x921x1x3
2

+−=+−
; b)
( )( )
1x8x161x4x82
2
+−=−−
;
c)
( )( )
9x43x3x2
2
−=++
; d)
9x12x48x8x2
22
+−=+−
.
2. Giải các phương trình sau(dùng công thức nghiệm):
1. a)
06x5x
2
=++
; b)
010xx2
2
=−−
.
2. a)
0
6

1
x
6
5
x
2
=+−
; b)
0
8
1
x
4
3
x
2
=−+−

3. a)
05x4x
2
=+−
; b)
012x6x
2
=−+−

4. a)
09x6x
2

=+−
; b)
025x20x4
2
=+−
; c)
0
4
1
xx
2
=+−

5. a)
03x4x
2
=+−
; b)
03x5x2
2
=++

6. a)
01x3x2
2
=−−
; b)
01x4x
2
=++

7. a)
( )
06x32x
2
=++−
; b)
( )
05x51x
2
=+++

3. Giải và biện luận (về số nghiệm) các phương trình bậc hai sau:
1.
0mx2x
2
=+−

2. a)
01mx2x
2
=+−
; b)
( )
02x1mx
2
=++−

3. a)
( )

03x1m2x
2
=−+−
; b)
( )
05x1m2x
4
1
2
=+−+−

4.
05mx4x
22
=++−

4. Áp dụng hệ thức Viét (loại 1).
Không dùng công thức nghiệm áp dụng vào phương trình sau:
012xx
2
=−−
.
1. Chứng tỏ rằng phương trình có 2 nghiệm phân biệt x
1
;x
2
2. Tính:
.
a)
2

2
2
1
xx +
. b)
1
2
2
1
x
x
x
x
+
c)
1
2
2
1
x
1x
x
1x
+
+
+
d)
21
xx −
e)

21
2
2
2
1
xx với xx <−

5. Áp dụng hệ thức Viét (loại 2)
Cho phương trình bậc hai sau:
(1) 01mx4x
2
=++−
.
1. Tìm điều kiện của m để (1) có nghiệm.
2. Tìm m sao cho có 2 nghiệm x
1
; x
2
a)
thoả mản:
10xx
2
2
2
1
=+
b)
3
10
x

x
x
x
1
2
2
1
=+
c)
16xx
2
2
2
1
=×

3. Tìm m sao cho có 2 nghiệm x
1
; x
2
a) x
thoả mản:
1
; x
2
0xx
2
2
2
1

=+
đối nhau. b) c)
( )
2xxxx
2121
=+−


Vấn đề 6:
Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
 oOo 
Ôn tập giáo khoa:
Các bước giải bài tập bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
+Lập phương trình (hoặc hệ phương trình)
-Chọn ẩn số, đơn vò, điều kiện cho ẩn số.
-Biểu diễn các số liệu đã biết qua ẩn số.
-Dùng các quan hệ của bài toán mà lập phương trình (hệ phương trình).
+Giải phương trình (hệ phương trình ): Dùng phương pháp thích hợp.
+Đối chiếu nghiệm với điều kiện của bài toán để chọn nghiệm thích hợp.
Bài tập áp dụng:
Phương pháp Chứng minh Đại số 9 oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng
Trang 12
Bài 1: Học sinh tiến hành bài tập 17 theo thứ tự như giáo khoa. Sau đó học sinh lên bảng giải bài
tập 17.
Chú ý: Độ dài cạnh góc vuông của tam giác bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh huyền và luôn
luôn lớn hơn 0. Phương trình bậc hai một ẩn số khi khuyết b, c thì giải trực tiếp
Bài 2: Học sinh tiến hành bài tập 17 theo thứ tự như giáo khoa. Sau đó học sinh lên bảng giải bài
tập 17.
Chú ý:
1. Hai tỉnh A và B cách nhau 225km. Một ô tô đi từ A đến B. Cùng một lúc ô tô thứ hai đi từ B

đến A. Sau 3 giờ chúng gặp nhau. Tìm vận tốc của mỗi ô tô; biết rằng ô tô đi từ tỉnh A có
vận tốc lớn hơn vận tốc ô tô đi từ tỉnh B là 5km/h.
Vận tốc xuôi dòng bằng tổng của vận tốc thực với vận tốc nước. Vận tốc ngược dòng
bằng hiệu của vân tốc thực với vận tốc nước. Vận tốc dòng nước bằng nửa hiệu của vận tốc xuôi
dòng và vận tốc ngược dòng. Vận tốc thực bằng nửa tổng của vận tốc xuôi dòng và vận tốc
ngược dòng.
Bài tập tự rèn luyện:
2. Một Ô tô đi từ A đến B. Cùng một lúc Ô tô thứ hai đi từ đến A với vận tốc bằng
3
2
vận tốc
của Ô tô thứ nhất. Sau 5 giờ chúng gặp nhau. Hỏi mỗi Ô tô đi cả quảng đường AB mất bao
lâu?
3. Một Ô tô du lòch đi từ A đến C. Cùng một lúc từ đòa điểm B nằm trên đoạn đường AC, có
một Ô tô vận tải cùng đi đến C. Sau 5 giờ hai Ô tô gặp nhau tại C. Hỏi Ô tô du lòch đi từ A
đến B mất bao lâu, biết rằng vận tốc của Ô tô vận tải bằng
5
2
vận tốc của Ô tô du lòch.
4. Đường sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn đường bộ 10 km. Để đi từ A đến B,
Ca nô đi hết 3 giờ 20 phút, Ô tô đi hết 2 giờ. Vận tốc của Ca nô kém vận tốc Ô tô 17 km/h.
Tính vận tốc của Ca nô.
5. Một người đi xe đạp từ Tỉnh A đến Tỉnh B cách nhau 50 km. Sau đó 1 giờ 20 phút, một
người đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng
vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp.
6. Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30 km/h. Khi đến B, ngước đó nghỉ
20 phút rồi quay trở về A với vận tốc trung bình 25 km/h. Tính quảng đường AB, biết rằng
thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phút.
7. Một Ô tô dự đònh đi từ Tỉnh A đến Tỉnh B với vận tốc trung bình 40 km/h. Lúc đầu Ô tô đi
với vận tốc đó, khi còn 60 km nữa thì được một nửa quảng đường AB, người lái xe tăng

thêm vận tốc 10 km/h trên quảng đường còn lại, do đó Ô tô đến Tỉnh B sớm hơn 1 giờ so
với dự đònh. Tính quảng đường AB.
8. Một đội máy kéo dự đònh mỗi ngày cày 40 ha. Khi thực hiện, mỗi ngày đội máy kéo cày
được 52 ha. Vì vậy, đội không những đã cày xong trước thời hạn 2 ngày mà còn cày thêm
được 4 ha nữa. Tính diện tích thửa ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch đã đònh.
9. Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong một công việc đã đònh. Họ
làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất được diều đi làm việc khác, tổ thứ hai làm
nốt phần công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi tổ thứ hai nếu làm một mình thì sau bao lâu sẽ
hoàn thành công việc?
10. Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất được 800 chi tiết máy. Sang tháng hai, tổ I sản
xuất vượt mức 15%, tổ II sản xuất vượt mức 20%, do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất được
945 chi tiết máy. Hỏi rằng trong tháng đầu, mỗi tổ công nhân sản xuất được bao nhiêu chi
tiết máy ?
11. Một đội công nhân hoàn thành một công việc với mức 420 ngày công thợ. Hãy tính số công
nhân của đội, biết rằng nếu đội tăng thêm 5 người thì số ngày để hoàn thành công việc sẽ
giảm đi 7 ngày.
12. Cho một lượng dung dòch chứa 10% muối. Nếu pha thêm 200 gam nước thì được một dung
dòch 6%. Hỏi có bao nhiêu gam dung dòch đã cho ?
Phương pháp Chứng minh Đại số 9 oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng
Trang 13
13. Có hai loại dung dòch chứa cùng một thứ axit; loại I chứa 30% axit, loại II chứa 5% axit.
Muốn có 50 lít dung dòch chứa 10% axit thì cần phải trộn lẫn bao nhiêu lít dung dòch của
mỗi loại ?
14. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau
5
4
4
giờ bể đầy. Mỗi giờ lượng nước của vòi I
chảy được bằng
2

1
1
lượng nước chảy được của vòi II. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì trong bao
lâu đầy bể ?
15. Một máy bơm muốn bơm đầy nước vào một bể chứa trong một thời gian quy đònh thì mỗi
giờ phải bơm được 10m
3
3
1
. Sau khi bơm được dung tích bể chứa, Người công nhân vận
hành cho máy bơm với công suất lớn hơn, mỗi giờ bơm được 15m
3
16. Năm ngoái tổng số dân của hai Tỉnh A và B là 4 triệu. Dân số Tỉnh A năm nay tăng 1,2%,
còn Tỉnh B tăng 1,1%. Tổng số dân của hai Tỉnh năm nay là 4045000 người. Tính số dân
của mỗi Tỉnh năm ngoái và năm nay ?
. Do đó, bể được bơm
đầy trước 48 phút so với thời gian quy đònh. Tính dung tích của bể chứa ?
17. Một phòng họp có 360 ghế ngồi được xếp thành từng dãy và số ghế của mỗi dãy đều bằng
nhau. Nếu số dãy tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy cũng tăng thêm 1 thì trong phòng có
400 ghế. Hỏi trong phòng họp có bao nhiêu dãy ghế và mỗi dãy có bao nhiêu ghế ?
18. Một ô tô dự đònh đi từ A đến B trong một thời gian nhất đònh. Nếu xe chạy với vận tốc 35
km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ. Tính
quãng đường AB và thời gian dự đi lúc đầu ?
19. Hai Ca nô cùng khởi hành từ hai bến A và B cách nhau 85 km và đi ngược chiều nhau. Sau
1 giờ 40 phút thì hai ca nô gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô, biết rằng vận tốc
của ca nô đi xuôi dòng thì lớn hơn vận tốc ca nô đi ngược dòng là 9 km/h và vận tốc dòng
nước là 3 km/h.
20. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ
và người thứ hai làm 6 giờ thì họ làm được 25% công việc. Hỏi mỗi người làm công việc đó
một mình thì trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc.

21. Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự đònh làm xong trong 12 ngày. Họ
cùng làm với nhau được 8 ngày thì đội I được điều động làm công việc khác, còn đội II tiếp
tục làm. Do cải tiến kỹ thuật, năng suất tăng gấp đôi nên đội II đã làm xong phần công việc
còn lại trong 3 ngày rưỡi. Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì sau bao nhiêu ngày sẽ làm
xong công việc nói trên (với năng suất bình thường).
22. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 1 giờ 20 phút bể đầy. Nếu mở vòi I chảy trong
10 phút và vòi II trong 12 phút thì đầy
15
2
bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì phải bao
lâu mới đầy bể ?
23. Hai vật chuyển động trên một đường tròn có đường kính 20m, xuất phát cùng một lúc từ
một điểm. Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ sau 20 giây lại gặp nhau. Nếu chúng chuyển
động cùng chiều thì cứ sau 4 giây lại gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi vật ?
24. Một chiếc thuyền khởi hành từ một bến sông A. Sau 5 giờ 20 phút, một ca nô chạy từ bến
sông A đuổi theo và gặp thuyền cách bến A 20 km. Hỏi vận tốc của thuyền, biết rằng ca nô
chạy nhanh hơn thuyền 12 km mỗi giờ ?
25. Quãng đường AB dài 270 km. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B. ô tô thứ nhất
chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 12 km/h, nên đến B trước ô tô thứ hai 40 phút. Tính vận tốc của
mỗi ô tô ?
26. Người ta hòa lẫn 8 gam chất lỏng này với 6 gam chất lỏng khác có khối lượng riêng nhỏ
hơn nó 200 kg/m
3
để có được một hỗn hợp có khối lượng riêng là 700 kg/m
3
27. Cho một số có hai chữ số. Tìm số đó, biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần,
nếu thêm 25 vào tích hai chữ só đó sẽ được một số viết theo thứ tự ngược lại với số đã cho.
. Tính khối
lượng riêng của mỗi chất lỏng ?
Phương pháp Chứng minh Đại số 9 oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng

Trang 14
28. Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80 km, cả đi và về mất 8 giờ 20 phút. Tính vận
tốc cùa tàu thủy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4 km/h.
29. Một vật là hợp kim đồng và kẽm có khối lượng 124 gam và có thể tích là 15 cm
3
. Tính xem
trong đó có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biết rằng cứ 89 gam đồng thì có
thể tích là 10 cm
3
và 7 gam kẽm thì có thể tích là 1 cm
3
30. Hai ca nô khởi hành cùng một lúc và chạy từ bến A đến bén B. Ca nô thứ nhất chạy với vận
tốc 20 km/h, ca nô thứ hai chạy với vận tốc 24 km/h/ Trên đường đi, ca nô thứ hai dừng lại
40 phút, sau đó tiếp tục chạy với vận tốc như cũ. Tính chiều dài quãng sông AB, biết rằng
hai ca nô đền B cùng một lúc
.
31. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280 m. Người ta làm một lối đi xung quanh vườn
thuộc đất của vườn rộng 2 m. Tính kích thước của vườn, biết rằng đất còn lại trong vườn để
trồng trọt là 4256 m
2




.