Sang kien kinh nghiem phan tich da thuc thanh nhan tu va cac s1knkgxlnoeyho 092229 31cd5654e6

“Phát huy tính tích cực của học sinh qua việc giảng dạy bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử”

MỤC LỤC
PHẦN A – MỞ ĐẦU
I . Lý do chọn đề tài
II . Mục đích nghiên cứu
III. Đối tượng nghiên cứu
IV . Nhiệm vụ nghiên cứu
V . Phạm vi nghiên cứu
VI . Phương pháp nghiên cứu
PHẦN B- NỘI DUNG
I . Cơ sở lí luận ,thực tiễn
II . Thực trạng vấn đề nghiên cứu
1. Tình trạng khi chưa thực hiện
2. Số liệu điều tra trước khi thực hiện đề tài
III. Giải pháp thực hiện
1 . Hệ thống các kiến thức cơ bản
2. Những vấn đề cần giải quyết
2.1 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
2.1.1 Các phương pháp cơ bản
a. Phương pháp đặt nhân tử chung
b. Phương pháp dùng hằng đẳng thức
c. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
d. Phối hợp nhiều phương pháp
2.1.2 Các phương phán khác
a. Phương pháp tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử
b. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
c. Phương pháp đặt ẩn phụ
d. Phương pháp dùng hệ số bất định
2.2. Giải các các bài tốn phân tích đa thức
2.3 Giáo án vận dụng phương pháp học tập tích cực của học của

học sinh qua việc dạy bài toán phân tích đa thức thành nhân tử
3. Kết quả thực hiện
PHẦN C-KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ

1/34

Trang
2
3
3
3
3
3
4
4
4
4
5
6
6
6
8
9
9
11
14
16
17
20
27

31
34


“Phát huy tính tích cực của học sinh qua việc giảng dạy bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử”

PHẦN A: MỞ ĐẦU

I. Lý do chọn đề tài:
Dạy học là một hoạt động khoa học và phức tạp, vì q trình dạy học có rất
nhiều yếu tố cùng tác động, trong đó phương pháp dạy học đóng vai trị quan
trọng và chỉ đạo mọi hoạt động dạy và học của thầy và trị.
Trong các phương pháp dạy học mơn Tốn thì phương pháp “ Phát huy tính
tích cực của học sinh” là quan trọng. Tính tích cực học tập biểu hiện ở các dấu
hiệu như: học sinh hăng hái trả lời các câu hỏi của giáo viên, bổ sung các câu trả
lời cho bạn, thích phát biểu ý kiến của mình trước vấn đề nêu ra, hay thắc mắc,
chủ động vận dụng kiến thức , kĩ năng đã học vào vấn đề mới.
Chương trình đại số lớp 8 có một mảng kiến thức hết sức quan trọng, đó là
các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. Việc nắm vững phương pháp
giải loại toán này sẽ giúp cho học sinh rất nhiều trong việc giải các bài toán khác
có dạng tốn: rút gọn phân thức, giải phương trình, quy đồng mẫu thức các phân
thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tìm giá trị của biến để biểu thức ngun. Qua
thực tế giảng dạy bộ mơn tốn 8 tơi thấy rất nhiều học sinh cịn lúng túng khi
gặp bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử đặc biệt đối với học sinh trung
bình, học sinh yếu. Với học sinh khá, giỏi thì bài tốn phân tích đa thức thành
nhân tử làm cho các em hết sức thích thú, say mê học tập. Vậy “làm thế nào để
cho các đối tượng học sinh đều thích thú, say mê học đối với dạng toán này”?.
Trong phạm vi đề tài này tôi muốn đưa ra các phương pháp để giúp các em học
sinh lớp 8 có một kĩ năng thành thạo, phương pháp giải tốt nhất đối với dạng
toán này giúp các em biết vận dụng dạng để giải các bài tốn khác từ đó kích

thích các em có sự tìm tịi sáng tạo, khám phá những điều mới lạ say mê trong
học tập, có nhiều hứng thú khi học bộ mơn tốn. Sách giáo khoa có đưa ra các
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đó là:
+ Đặt nhân tử chung.
+ Dùng hằng đẳng thức.
+ Nhóm các hạng tử.
+ Phối hợp nhiều phương pháp.
Trong thực tế có những bài tốn ở dạng này rất phức tạp khơng thể áp dụng
các phương pháp trên để giải được. Gặp các bài như vậy thì các em lại lúng túng
khơng biết làm thế nào và sử dụng phương pháp nào để giải. Với hy vọng nhỏ
là làm sao cho các em học sinh có thể thực hiện được các bài tốn phân tích một
đa thức thành nhân tử một cách say mê và hứng thú đã giúp tôi chọn chủ đề:

2/34


“Phát huy tính tích cực của học sinh qua việc giảng dạy bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử”

“Phát huy tính tích cực của học sinh qua việc giảng dạy bài tốn phân tích
một đa thức thành nhân tử ”
II. Mục đích nghiên cứu:
- Giúp học sinh phát huy tính tích cực , chủ động , sáng tạo trong học tập.
- Giúp học sinh nắm được các phương pháp, có kỹ năng giải bài tốn phân tích
đa thức thành nhân tử. Cũng từ đó mà phát triển tư duy lơgic cho học sinh, phát
triển năng lực giải tốn cho các em, giúp cho bài giải của các em hồn thiện hơn,
chính xác hơn và giúp các em tự tin hơn trong học tập.
III. Đối tượng nghiên cứu
- Tính tích cực của học sinh
- Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
- Rèn kỹ năng giải bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8.

IV. Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Xây dựng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
- Sửa chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải tốn.
- Củng cố các phép biến đổi và hồn thiện các kỹ năng giải các bài tốn phân
tích đa thức thành nhân tử. Từ đó phát huy tính tích cực, sáng tạo trong học tập.
V. Phạm vi nghiên cứu:
- Đề tài nghiên cứu trong phạm vi học sinh lớp 8B, 8C ở trường THCS tôi đang
giảng dạy.
- Thời gian nghiên cứu: Năm học 2015 – 2016
Bắt đầu thực hiện từ 1/10/2015, kết thúc quá trình nghiên cứu 20/04/2016
VI. Các phương pháp nghiên cứu:
- Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng, sách giáo khoa, sách tham khảo.
- Trao đổi với bạn bè , đồng nghiệp.
- Nghiên cứu qua thực tế giải bài tập của học sinh , kết quả các bài kiểm tra.
- Phương pháp vấn đáp, trò chuyện.

PHẦN B: NỘI DUNG
3/34


“Phát huy tính tích cực của học sinh qua việc giảng dạy bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử”

I. Cơ sở lý luận, thực tiễn:
1. Cơ sở lý luận:
Dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử là một nội dung rất quan trọng
trong chương trình mơn tốn lớp 8, đóng vai trị là nền tảng, làm cơ sở để các
em học tiếp các chương trình như giải phương trình, rút gọn phân thức, tính giá
trị biểu thức. Có nhiều em rất thích thú nhưng cũng có khơng ít em cịn ngại khó
khi gặp dạng tốn này, khơng biết phải lựa chọn phương pháp nào để phân
tích.Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải được các bài tốn phân tích đa

thức thành nhân tử một cách nhanh chóng, chính xác và phát huy được tính tích
cực học tập của học sinh giúp học sinh phát triển tự giác, hứng thú, bồi dưỡng
động cơ học tập. Để thực hiện tốt điều này đòi hỏi giáo viên xây dựng cho học
sinh các kĩ năng như quan sát, đánh giá bài toán, kĩ năng giải và vận dụng với
từng đối tượng học sinh.
2.Cơ sở thực tiễn:
Qua thực tế giảng dạy, kết quả các bài kiểm tra tôi nhận thấy các em học sinh
chưa có kĩ năng khi làm các bài toán: Rút gọn phân thức, giải phương trình, tìm
GTLN, tìm GTNN...Vì để giải được các dạng tốn này cần phải có kĩ năng phân
tích đa thức thành nhân tử, nên việc giúp học sinh có kĩ năng phân tích đa thức
thành nhân tử là việc làm khơng thể thiếu. Đề tài này với hy vọng giúp học sinh
khơng bỡ ngỡ khi gặp các dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử, giúp học
sinh học tốt hơn, hứng thú hơn với bộ mơn tốn nói chung và bài tốn phân tích
đa thức thành nhân tử nói riêng.
II. Thực trạng vấn đề nghiên cứu:
1.Tình trạng khi chưa thực hiện:
Những năm học vừa qua tôi được nhà trường phân cơng giảng dạy mơn tốn
lớp 8, tơi nhận thấy rất nhiều học sinh cịn lúng túng khi gặp bài tốn phân tích
đa thức thành nhân tử. Đối với học sinh trung bình, học sinh yếu chưa nắm được
các cách phân tích đa thức thành nhân tử nên dẫn đến tâm lí mặc cảm. Đối với
học sinh khá giỏi vẫn cịn gặp khó khăn ở một số dạng nâng cao nên chưa thật tự
tin, hứng thú trong học tập.
Trong phạm vi đề tài này tôi muốn đưa ra các phương pháp để giúp các em
học sinh lớp 8 có một kĩ năng thành thạo, phương pháp giải tốt nhất đối với
dạng tốn này từ đó giúp các em tích cực, chủ động trong việc chiếm lĩnh tri
thức.
2. Số liệu điều tra trước khi thực hiện đề tài:

4/34

“Phát huy tính tích cực của học sinh qua việc giảng dạy bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử”

Kết quả kiểm tra của lớp 8B và lớp 8C được đánh giá, thống kê qua bài kiểm tra
một tiết khi chưa áp dụng giải pháp như sau:
Chưa áp dụng giải pháp:
BẢNG SỐ LIỆU THỐNG KÊ
Phân loại học sinh

Năm

Số

học

HS

Khá - giỏi ( lớp 8c)

số

20152016

56

31

Không đạt

Đạt

Tổng

Đại trà ( lớp 8b)

SL

%

SL

%

25

80,6

6

19,4

số

32

Không đạt

Đạt

Tổng

SL

15

%

SL

46,8 17

%

53,2

Qua phân tích bảng số liệu có thể nhận thấy :
- Học sinh đại trà chưa nắm được kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử nên
kết quả thấp.
- Học sinh khá giỏi còn nhiều lúng túng khi giải bài tốn phân tích đa thức
thành nhân tử nâng cao.
III. Giải pháp thực hiện
1. Hệ thống kiến thức cơ bản:
Trước hết cần nhắc lại một số kiến thức cơ bản phục vụ cho việc giải bài tốn
“Phân tích đa thức thành nhân tử”
Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một
tích của những đơn thức khác.
*Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thông thường.
a. Đặt nhân tử chung.
b. Dùng hằng đẳng thức.
Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ
(A+B)2=A2+2AB+B2

(A-B)2=A2-2AB+B2
A2-B2=(A+B)(A-B)
(A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3
(A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3
A3+B3=(A+B)(A2-AB+B2)
A3+B3=(A-B)(A2+AB+B2)
c. Nhóm các hạng tử.
5/34


“Phát huy tính tích cực của học sinh qua việc giảng dạy bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử”

d. Phối hợp các phương pháp trên.
*Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp khác.
a.
Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
b.
Thêm, bớt cùng một hanạg tử.
c.
Đặt ẩn phụ.
d.
Dùng phương pháp hệ số bất định.
e.
Nhẩm nghiệm.
f.
Đổi dấu một hạng tử A=-(-A).
g.
Cho đa thức f(x), đa thức này có nghiệm x=a khi và chỉ khi
f(a)=0.
h.

Cho đa thức f(x)=anxn + an-1xn-1 +…+ a1x1 +a0. Đa thức này nếu
có nhiều nghiệm là số ngun thì nghiệm đó phải là ước của a0.
2. Những vấn đề cần giải quyết.
Như đã nêu trong phần đầu các bài tốn phân tích thành nhân tử được sắp
xếp ở ngay đầu chương I sau các bài nhân đa thức và hằng đẳng thức, với thời
lượng chỉ có 6 tiết bao gồm 4 tiết lý thuyết và 2 tiết luyện tập thì các em học
sinh chỉ hồn thành phần bài tập chứ chưa nói đến việc khai thác các phương
pháp phân tích đó.
Để rèn luyện kỹ năng và giúp học sinh phát huy tính tích cực, lĩnh hội kiến
thức dễ dàng trong quá trình giải các bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử tơi
đã phân dạng các bài toán thành hai loại:
- Bài tập thông thường và các bài tập được khai thác từ đó.
- Các bài tốn ứng dụng của việc phân tích đa thức thành nhân tử
2.1 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
2.1.1. Các phương pháp cơ bản
a. Phương pháp đặt nhân tử chung
Phương pháp:
- Tìm nhân tử chung là đơn thức, đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử
- Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác
- Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi
hạng tử vào trong dấu ngoặc.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a. x2 – 3x
b. 12x3 – 6x2 + 3x
c.

d. 14x2y – 21xy2 +28x2y2
Giải
6/34

“Phát huy tính tích cực của học sinh qua việc giảng dạy bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử”

a. x2 – 3x = x(x – 3)
b. 12x3 – 6x2 + 3x = 3x(4x2 – 2x + 1)
c.

= x2 (

)

d. 14x2y – 21xy2 +28x2y2 = 7xy(2x – 3y +4xy).
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a. 5x2(x – 2y) – 15xy(x – 2y)
b. x(x + y) +4x +4y
Giải
2
a. 5x (x – 2y) – 15xy(x – 2y)
= (x – 2y)( 5x2 - 15xy)
=(x – 2y)5x(x – 3y)
a. x(x + y) +4x +4y
b. = x(x + y) +(4x +4y)
= x(x + y) + 4(x + y)
= (x + y)(x + 4)
Nhận xét: Ở hai ví dụ trên việc phân tích đa thức thành nhân tử ở mức độ đơn
giản. Học sinh nhận thấy ngay được nhân tử chung. Nhiều khi để xuất hiện nhân
tử chung phải đổi dấu các hạng tử có trong đa thức ở ví dụ sau:
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a. 10x(x – y) – 8y(y – x)
b. 5x(x – 2000) – x + 2000

Giải
a. 10x(x – y) – 8y(y – x)
= 10x(x – y) + 8y(x – y)
= (x – y)( 10x + 8y)
= 2(x – y)( 5x + 4y)
b. 5x(x – 2000) – x + 2000
=5x(x – 2000) –(x – 2000)
= (x – 2000)(5x – 1)
Lỗi thường gặp của các em học sinh khi giải bài toán dạng này chính là
khơng biết nhóm hay đổi dấu các hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung nên
cần hướng dẫn học sinh chi tiết để các em có thể thực hiện một cách dễ dàng.
Tuy nhiên trong các ví dụ đã nêu các em học sinh chỉ cần có một chút cố
gắng thì sẽ thực hiện được bài tốn nhưng cũng là phân tích đa thức bằng cách

7/34


“Phát huy tính tích cực của học sinh qua việc giảng dạy bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử”

đặt nhân tử chung thì bài tốn sau đây địi hỏi các em phải có một cố gắng nhất
định thì mới thực hiện được.
b. Phương pháp dùng hằng đẳng thức:
Vận dụng các hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử đây là
cách làm thông dụng nhất được áp dụng nhiều nhất. Để áp dụng phương pháp
này yêu cầu học sinh phải nắm chắc bảy hằng đẳng thức đáng nhớ.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a. x2 – 6x + 9
b. x2 – 6
c. 1 – 27x3
d.

e. –x3 + 9x2 – 27x +27
Giải
2
a. x – 6x + 9 = (x – 3)2
b. x2 – 6 =
c. 1 – 27x3 = (1 – 3x)(1 + 3x + 9x2)
d.

=

e. –x3 + 9x2 – 27x +27 = - (x3 - 9x2 + 27x -27) = -(x – 3)3
Ở ví dụ trên là các hằng đằng thức đã được triển khai. Việc phân tích chỉ
là cách viết theo chiều ngược lại của các hằng đẳng thức các em học sinh dễ
dàng thực hiện được nếu như các em thuộc và biết cách vận dụng các hằng đẳng
thức, thế nhưng trong các ví dụ sau đây thì muốn áp dụng được hằng đẳng thức
thì các em phải có sự biến đổi thì mới có hằng đẳng thức.
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a. (x + y)2 – 6(x + y) + 9
b. 16a2 – 49(b – c)2
c. 49(y – 4)2 - 9(y – 2)2
Giải
2
a. (x + y) – 6(x + y) + 9
= (x + y)2 – 6(x + y) + 32
= (x + y – 3)2
b. 16a2 – 49(b – c)2
=
= (4a – 7b + 7c)(4a + 7b - 7c)
8/34

“Phát huy tính tích cực của học sinh qua việc giảng dạy bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử”

c. 49(y – 4)2 - 9(y – 2)2

Ta có thể thấy trong 3 ví dụ trên khơng khó nhưng vấn đề ở chỗ là học
sinh không nhận dạng được hằng đẳng thức ngay cho nên việc phân tích sẽ gặp
khó khăn vì thế trong những ví dụ dạng như thế nên hướng dẫn các em nhận
dạng sau đó thì phân tích.
c. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử:
Phương pháp thứ ba để phân tích một đa thức thành nhân tử đó là phương
pháp nhóm các hạng tử. Đối với phương pháp này cần lưu ý cho học sinh khi
nhóm các hạng tử phải chú ý dấu trước ngoặc đặc biệt là dấu trừ ở ngồi ngoặc.
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a. x2 – x – y2 – y
b. x2 – 2xy + y2 – z2
Giải
a. x2 – x – y2 – y
= (x2 – y2 ) – (x + y)
= (x + y)(x – y) – (x + y)
= (x + y)(x – y – 1)
b. x2 – 2xy + y2 – z2
= (x2 – 2xy + y2) – z2
= (x – y)2 – z2
= (x – y – z)(x – y + z)
d. Phối hợp nhiều phương pháp:
Phương pháp: Chọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên
- Đặt nhân tử chung
- Dùng hằng đẳng thức
- Nhóm nhiều hạng tử

- Có thể phối hợp các phương pháp trên.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a. x2 – 3x +xy – 3y
b. 2xy +3z + 6y +xz
Giải
9/34


“Phát huy tính tích cực của học sinh qua việc giảng dạy bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử”

a. x2 – 3x +xy – 3y
= (x2 +xy) – (3x + 3y)
= x(x + y) – 3( x + y)
= (x + y)( x– 3)
d. 2xy +3z + 6y +xz
= (2xy + 6y) +(3z + xz)
= 2y(x + 3) + z(3 + x)
= (x + 3)( 2y +z)
Ở ví dụ này khi phân tích đa thức thành nhân tử ta đã phối hợp các
phương pháp như: Nhóm các hạng tử, đặt nhân tử chung và dùng hằng đẳng
thức.
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a. bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
b. a3(b2-c2)+b3(c2-a2)+c(a2-b2)
Phương pháp chung để làm loại toán này là khai triển hai trong số ba hạng
tử còn giữ nguyên hạng tử thứ ba để từ đó làm xuất hiện nhân tử chung chứa
trong số hạng thứ ba, trong câu a ta khai triển hai hạng tử đầu còn giữ nguyên
hạng tử thứ ba để làm xuất hiện nhân tử chung là a+b
Giải
a. bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

= b2c+bc2+c2a-ca2-ab(a+b)
= (b2c-ca2)+(bc2 + c2a)- ab(a+b)
= c(b2-a2)+c2(b+a)-ab(a+b)
= c(b-a)(b+a)+c2(b+a)-ab(a+b)
= (b+a)(cb-ca+c2)-ab(a+b)
=(b+a)(cb-ca+c2-ab)
= (b+a)[(cb+c2)-(ca+ab)]
= (a+b)[c(b+c)-a(c+b)]
= (a+b)(b+c)(c-a)
b. a3(b2-c2)+b3(c2-a2)+c3(a2-b2)
= a3b2-a3c2+b3c2-b3a2+c3(a2-b2)
= (a3b2 - b3a2)-(a3c2-b3c2)+
= a2b2(a-b)-c2(a3-b3)+c3(a2-b2)
= a2b2(a-b)-c2(a-b)(a2+ab+b2)+c3(a-b)(a+b)
= (a-b)(a2b2-c2a2+c2ab-c2b2 +c3a+c3b)
= (a-b)[(a2b2-c2b2)+ (c3b-c2ab)+(c3a-c2a2)
10/34


“Phát huy tính tích cực của học sinh qua việc giảng dạy bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử”

= (a-b)[b2(a-c)(a+c)+c2b(c-a)+c2a(c-a)]
= (a-b)(a-c)(b2a+b2c-c2b-c2a)
= (a-b)(a-c)[(b2a-c2a)+(b2c-c2b)
= (a-b)(a-c)[a(b-c)(b+c)+bc(b-c)]
=(a-b)(a-c)(b-c)(ab+ac+bc)
Chú ý: Ta có thể khai triển hai hạng tử cuối rồi nhóm hạng tử để làm xuất hiện
nhân tử chung b+c, hoặc khai triển hai hạng tử đầu và cuối để có nhân tử chung
c-a
Câu a có thể hướng dẫn học sinh theo cách sau đây:

Vì (c-a)+(a+b)=(b+c). Do vậy ta có:
bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
= bc[(c-a)+a+b)]+ca(c-a)-ab(a+b)
= bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
= [bc(c-a)+ca(c-a)]+[bc(a+b)-ab(a+b)]
= (c-a)(bc+ca)+(a+b)(bc-ab)
= c(c-a)(a+b)+b(a+b)(c-a)
= (a+b)(b+c)(c-a)
Các bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm
như thế nào cuối cùng cũng đạt mục đích là có nhân tử chung hoặc vận dụng
được hằng đẳng thức đáng nhớ như vậy yêu cầu đặt ra với người thầy là hướng
dẫn học sinh nhóm như thế nào cho hợp lí để xuất hiện nhân tử chung sau đó
tiến hành phân tích các đa thức đó.
Trên đây chúng ta vừa xem xét các ví dụ phân tích một đa thức thành
nhân tử bằng các phương pháp thông thường đã nêu trong SGK tuy nhiên nếu
chỉ dừng lại ở các phương pháp đó thì sẽ làm cho các em nhàm chán vì vậy có
thể giới thiệu thêm cho các em phương pháp bổ sung khác để giúp cho học sinh
khá giỏi tìm hiểu.
2.1.2. Các phương pháp khác
a. Phương pháp tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử
Phương pháp: Tách một hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn rồi dùng
phương pháp nhóm hạng tử và đặt nhân tử chung.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành hạng tử
a. x2-7x+12
b. 4x2-3x-1
Giải
a. x2-7x+12
11/34

“Phát huy tính tích cực của học sinh qua việc giảng dạy bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử”

Cách 1: Tách số hạng -7x thành -4x-3x
Ta có: x2-7x+12
= x2-4x-3x+12
= (x2-4x)-(3x-12)
= x(x-4)-3(x-4)
= (x-4)(x-3)
Cách 2: Tách số hạng 12 thành 21- 9
Ta có: x2-7x+12
= x2-7x +21-9
= (x2-9) - (7x -21)
= (x-3)(x+3)-7(x-3)
= (x-3)(x+3-7)
= (x-3)(x-4)
Cách 3: Tách số hạng 12 thành -16+28
Ta có: x2-7x+12
= x2-7x+28-16
= (x2-16)-(7x-28)
= (x+4)(x-4)-7(x-4)
= (x-4)(x+4-7)
= (x-4)(x-3)
Cách 4: Tách số hạng -7x thành - 6x - x và 12=9+3
Ta có: x2-7x+12
= x2-6x+9-x+3
= (x2-6x+9)-(x-3)
= (x-3)2-(x-3)
= (x-3)(x-3-1)
= (x-3)(x-4)
Cách 5: Tách số hạng -7x thành -8x+x và 12=16-4

Ta có: x2-7x+12
= x2-8x+16+x-4
= (x2-8x+16) +(x-4)
= (x-4)2+(x-4)
= (x-4)(x-4+1)
= (x-3)(x-4)
2
b. 4x -3x-1
Cách 1: Tách số hạng 4x2 thành x2+3x2
12/34


“Phát huy tính tích cực của học sinh qua việc giảng dạy bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử”

Ta có: 4x2-3x-1
= x2+3x2-3x-1
= (x2-1)+(3x2-3x)
= (x+1)(x-1) +3x(x-1)
= (x-1)( x+1+3x)
= (x-1)(4x+1)
Cách 2: Tách số hạng -3x thành -4x+x
Ta có: 4x2-3x-1
= 4x2-4x+x-1
= 4x(x-1)+(x-1)
= (x-1)(4x+1)
Cách 3: Tách số hạng -1 thành -4+3
Ta có: 4x2-3x-1
= 4x2-3x-4+3
= 4(x-1)(x+1)-3(x-1)
= (x-1)(4x+4-3)

= (x-1)(4x+1)
Với bài toán này khi phân tích đa thức trên thành nhân tử có ba lời giải
tương ứng với 3 cách tách, học sinh có thể chọn một trong ba cách.
*Cần tổng kết cho học sinh thấy được có nhiều cách phân tích ax2 + bx + c
thành nhân tử nhưng trong đó có các cách tách thơng dụng nhất đó là:
- Hệ số b được tách thành hai hạng tử b = b1 + b2 sao cho b1.b2 = ac.
- Tách hạng tử tự do thành hai hạng tử.
- Hoặc đơi khi có thể tách một hạng tử thành 3 hạng tử để phân tích thành
nhân tử …
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
a. x3 – 2x – 4
b. b. x3 + 8x2 + 17x + 10
Giải
a. x3 – 2x – 4 = x3 – 2x – 8 + 4
= (x3 – 8 ) – ( 2x – 4)
=(x–2)(x2 + 2x + 4) - 2(x – 2)
b.x3 + 8x2 + 7x + 10 = x3 + x2 + 7x2 + 10x + 7x + 10
= x2(x + 1) + 7x(x + 1) + 10(x + 1)
= (x + 1)(x2 + 7x + 10)
= (x + 1)(x2 + 2x + 5x + 10)
13/34


“Phát huy tính tích cực của học sinh qua việc giảng dạy bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử”

= (x + 1)[x(x + 2) + 5(x + 2)]
= (x+ 1)(x+ 2)(x + 5)
Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
a. x3 + 3x2 + 6x + 4
b. x3 – 11x2 + 30x

Giải
a. x3 + 3x2 + 6x + 4= x3 + x2 + 2x2 + 2x + 4x + 4
= x2(x + 1) + 2x(x + 1) + 4(x + 1)
= x(x + 1)(x2 + 2x + 4)
Mà x2 + 2x + 4 = x2 + 2x +1 + 3 = (x+ 1)2 +3
Vì (x+ 1)2 0 x R nên (x + 1)2 + 3 3
x2 + 2x + 4 khơng thể phân tích
được với các hệ số nguyên.
b. x3 – 11x2 + 30x = x(x2 – 11x + 30)
= x(x2 – 5x – 6x + 30)
= x(x2 – 5x – 6x + 30)
= x[x(x – 5) – 6(x – 5 )]
= x(x – 5)(x – 6)
Trong phần a ta thấy vẫn còn đa thức bậc hai mà khơng thể phân tích
được nữa. Vậy làm thế nào để biết được một đa thức có phân tích được hay
khơng ta dựa vào định lí sau:
“Một đa thức: anxn + an-1xn-1 + ……+ a1x + a0. Đa thức này nếu có
nghiệm là số ngun thì nghiệm đó phải là ước của hệ số tự do a0”.
Ví dụ: Đa thức: x2 + 2x + 4 khơng phân tích được thành nhân tử với các hệ số
nguyên bởi vì: Nếu phân tích được thì đa thức này phải có nghiệm nguyên là
ước của 4. Ta thấy: Ư(4) = { 1; 2; 4} thử các giá trị đó đều khơng phải là
nghiệm của của đa thức x2 + 2x + 4 nên đa thức này khơng phân tích được thành
nhân tử với các hệ số nguyên. Nhưng thực tế đa thức đã cho vẫn có thể phân tích
được thành nhân tử với các kết quả hệ số là vô tỉ.
x2 + 2x + 4 = (x + 1)2 – 5 = (x + 1 )(x + 1 +
)
b. Phương pháp thêm,bớt cùng một hạng tử:
Phương pháp: Với các đa thức đã cho khơng có chứa thừa số chung, khơng có
dạng của một hằng đẳng thức cũng khơng thể nhóm số hạng. Do vậy ta phải
biến đổi đa thức bằng cách thêm bớt cùng một số hạng tử để có thể vận dụng

được phương pháp phân tích đã biết.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) x5 + x4 + 1
14/34


“Phát huy tính tích cực của học sinh qua việc giảng dạy bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử”

b) x5 + x + 1
c) x8 + x4 + 1
Giải
a) x + x + 1
Ta sẽ thêm bớt các hạng tử x3, x2, x vào đa thức ta được:
x5 + x4 + x3 - x3 +x2 -x2 +x – x +1
= (x5 + x4 + x3 ) – ( x3 +x2 +x) + (x2 +x + 1)
= x3(x2 +x + 1) – x(x2 +x + 1) + (x2 +x + 1)
= (x2 +x + 1)( x3– x + 1)
b) x5 + x + 1
Cách 1: Ta sẽ thêm bớt x4, x3, x2 vào đa thức giống như cách làm như
phần a để xuất hiện nhân tử chung x2 + x +1
Có: x5 + x + 1 = x5 + x4 – x4 +x3 – x3 +x2 – x2 +x +1
= (x5 + x4 +x3) – (x4 +x3 + x2) + x2 +x +1
= x3(x2 +x +1) – x2(x2 +x +1) +(x2 +x +1)
= (x2 +x +1)( x3– x2 +1)
Cách 2: Ta thêm bớt x2 để làm xuất hiện nhân tử chung x2 +x +1
Ta có:
x5 + x + 1 = x5 + x2 – x2 + x +1
= (x5 – x2) + (x2 + x +1)
= x2(x3 – 1) + (x2 + x +1)
= x2(x – 1)(x2 + x +1) + (x2 + x +1)

= (x2 + x +1)( x3– x2 +1)
c) x8 + x4 + 1 = x8 + x4 + x2 - x2 + x - x - 1
= (x8 - x2) + (x4 - x) + (x2 + x + 1)
= x2 (x6 - 1) + x(x3 - 1) + (x2 + x + 1)
= x2(x3 - 1)(x3 + 1) + x(x3 - 1) + (x2 + x + 1)
= x2(x - 1)(x2 + x + 1)(x3 + 1) + x(x - 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x6 - x5 + x3 - x + 1)
= (x2 + x + 1)[(x6 - x5 + x4) - (x4- x3 + x2) + (x2 - x + 1)]
= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) (x4 - x2 + 1)
Tuy nhiên bài tốn này có thể giải được bằng cách sử dụng hằng đẳng thức đơn
giản hơn như:
x8 + x4 + 1= (x8 + 2x4 + 1) - x4
= (x4 + 1)2 - (x2)2
= (x4 + x2 + 1)(x4 - x2 + 1) = [(x4 + 2x2 + 1) - x2] (x4 - x2 + 1)
5

4

15/34


“Phát huy tính tích cực của học sinh qua việc giảng dạy bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử”

= [(x2 + 1)2 - x2] (x4 - x2 + 1) = (x2 + x + 1)

(x4 - x2 + 1)

c. Phương pháp đặt ẩn phụ:
Phương pháp này thường áp dụng với những đa thức có dạng
A(x). B(x) + C. Trong đó A(x) và B(x) có thể biểu diễn được qua nhau. Ví dụ

A(x) có thể viết dưới dạng B(x) hoặc ngược lại. Ta xét một số ví dụ sau:
Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
(x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12
Giải
2
2
(x + x + 1)( (x + x + 2) - 12
Đặt x2 + x + 1 = y
x2 + x + 2 = y + 1
Ta có y(y+1) - 12 = y2 + y - 12
= y2 - 9 + y - 3
= (y - 3)(y + 3) + (y - 3)
= (y - 3)(y + 3 + 1)
= (y - 3)(y + 4)
2
Thay y = x + x + 1 ta được
(y - 3)(y + 4) = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4)
= (x2 + x - 2) (x2 + x + 5)
= (x2 - 1 + x - 1)(x2 + x + 5)
= [(x - 1)(x + 1) + x - 1](x2 + x + 5)
= (x - 1)(x + 1 + 1)(x2 + x + 5)
= (x - 1)(x + 2)(x2 + x + 5)
Ở trong ví dụ này ta đã biến đổi biến x thành biến y sau đó đi phân tích đa
thức chứa biến y thành nhân tử rồi quay trở lại với biến ban đầu là biến x. Cuối
cùng ta lại phân tích đa thức chứa biên x thành nhân tử.
Ví dụ 2 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (x2 + x)2 - 2(x2+ x) - 15
b) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15
Giải
a) (x2 + x)2 - 2(x2 + x) - 15

Đặt: x2 + x = y
Ta có : y2 - 2y - 15 = y2 - 5y + 3y - 15
= y(y - 5) + 3(y - 5)
= (y - 5)(y + 3)
Thay y = x2 + x ta có:
(y - 5)(y + 3) = (x2 + x - 5)(x2 + x + 3)
16/34


“Phát huy tính tích cực của học sinh qua việc giảng dạy bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử”

Hai đa thức x2 + x - 5 và x2 + x + 3 khơng phân tích được nữa.
b) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15
Đặt x2 + 8x + 7 = y

x2 + 8x + 15 = y + 8

Ta có:

y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15
= y2 + 5y + 3y + 15
= y(y + 5) + 3(y + 5)
= (y + 5)(y + 3)
2
Thay y = x + 8x + 7 ta được :
(y + 5)(y + 3) = (x2 + 8x + 7 + 5)( x2 + 8x + 7 + 3)
= (x2 + 8x + 12)( x2 + 8x + 10)
= (x2 + 2x + 6x +12)( x2 + 8x + 10)
= [x(x + 2) + 6(x + 2)] (x2 + 8x + 10)
= (x + 2)(x + 6)( x2 + 8x + 10)

= (x + 2)(x + 6)(x + 4 - )(x + 4 + )
Ở hai ví dụ trên ta thấy cách làm giống nhau khi phân tích đa thức đó
thành nhân tử. Ta cịn có cách đặt khác trong ví dụ dưới đây :
d. Phương pháp dùng hệ số bất định :
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành tích của 2 đa thức một đa thức bậc nhất,
một đa thức bậc 2.
x3 - 19x - 30
Giải
Cách 1: Với các phương pháp phân tích đã biết ta có thể phân tích được đa thức
trên thành hai đa thức đúng theo yêu cầu đề bài
Ta có: x3 - 19x - 30
= x3 + 8 - 19x - 38
= (x3 + 8) - 19(x + 2)
= (x+ 2)(x2 - 2x + 4) - 19(x + 2)
= (x + 2)( x2 - 2x + 4 - 19)
= (x + 2)(x2 - 2x - 15)
Ta thấy x2 - 2x - 15 cịn phân tích được nữa nhưng do đề bài yêu cầu là đa
thức x3 - 19x - 20 viết dưới dạng một tích của 2 đa thức:một đa thức bậc nhất và
một đa thức bậc 2. Vậy tích (x + 2)( x2 - 2x - 15) đã thoả mãn u cầu bài tốn
Cách 2: Kết quả phải có dạng:
x3 - 19x - 20 = (x + a)( x2 + bx + c)
= x3 + bx2 + cx + ax2 + abx + ac
17/34


“Phát huy tính tích cực của học sinh qua việc giảng dạy bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử”

= x3 + (b + a)x2 + (c + ab)x + ac
Ta phải tìm hệ số a, b, c thoả mãn:
a+b=0

c + ab = -19
ac = -30
Vì a, c Z và tích ac = -30 do đó a, c { 1; 2; 3; 5; 6; 10;
15; 30}
Với a = 2; c = -15 khi đó b = -2 thoả mãn hệ thức trên đó là bộ số phải tìm
tức là: x3 - 19x - 30 = (x + 2)(x2 - 2x - 15).
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1
Giải
Nhận xét: Đa thức trên nếu có nghiệm ngun thì nghiệm đó là 1. Dễ dàng
kiểm tra được 1 khơng phải là nghiệm của đa thức trên nên đa thức khơng có
nghiệm ngun mà chỉ có nghiệm hữu tỉ hoặc vơ tỉ. Như vậy, nếu đa thức trên
phân tích được thành thừa số thì phải có dạng:
x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1
= (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)
= x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
Vậy ta phải tìm hệ số a, b, c thoả mãn:
a+c=6
ac + b + d = 7
ad + bc = 6
bd = 1
Từ hệ này ta tìm được : a = b = d = 1; c = 5
Vậy :

Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
x3 + 4x2 + 5x + 2
18/34


“Phát huy tính tích cực của học sinh qua việc giảng dạy bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử”

Giải
Cách 1: Đặt x3 + 4x2 + 5x + 2 = (x + a)(x2 + bx + c)
= x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac
Ta phải có: a + b = 4
ab + c = 5
ac = 2
Từ hệ này ta tìm được: a = 1; b = 2; c = 2
Vậy: x3 + 4x2 + 5x + 2 = (x + 1)(x3 + 3x + 2)
= (x+ 1)[(x2 + x) + (2x + 2)]
=(x+ 1) (x+ 1)(x+ 2)
= (x+ 1)2(x + 2)
Cách 2: Dùng phương pháp nhẩm nghiệm ta thấy trong các ước của hệ số tự
do 2 có 1 là nghiệm
x3 + 4x2 + 5x + 2 = (x+ 1)(x2 + ax + b)
x2 + ax + b = (x3 + 4x2 + 5x + 2) : (x+ 1)
Bằng cách chia hai đa thức ta tìm được:
(x3 + 4x2 + 5x + 2) : (x+ 1) = x2 + 3x + 2
Vậy x3 + 4x2 + 5x + 2 = (x + 1)( x2 + 3x + 2)
= (x+ 1)2(x + 2)
Cách 3: Dùng phương pháp phân tích đã biết là tách hạng tử
Ta có: x2 + 4x2 + 5x + 2 = x3 + x2 + 3x2 + 3x + 2x + 2
= x2(x + 1) + 3x(x + 1) + 2(x + 1)
= (x +1)(x2 + 3x + 2)
= (x + 1)(x + 1)(x + 2)
= (x + 1)2(x + 2)
Trên đây là các phương pháp phân tích thường gặp dùng để phân tích đa thức
thành nhân tử. Thực tế cịn có những phương pháp khác như: phương pháp xét
giá trị riêng ...Vì thế khi làm dạng tốn này khơng phải lúc nào cũng áp dụng
một khuôn mẫu theo một phương pháp giải cố định nào đó. Khi học xong các

phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thì tuỳ từng bài tập mà học sinh
lựa chọn cho mình một phương pháp giải thích hợp để có phương pháp giải
nhanh nhất và có hiệu quả nhất.
Như trong phần đầu tơi đã đề cập là q trình phân tích một đa thức thành
nhân tử học sinh chỉ áp dụng theo kiểu xuôi chiều nghĩa là phân tích một đa thức
thành nhân tử chứ không tổng kết và vận dụng các kết quả đó vào trong một số
19/34


“Phát huy tính tích cực của học sinh qua việc giảng dạy bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử”

các bài toán quan trọng khác, trong phần sau đây tơi xin nêu một vài ứng dụng
của phân tích đa thức thành nhân tử để giải các bài toán.
2.2 Giải các bài tốn phân tích đa thức:
Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành tích của những
đơn thức và đa thức khác. Do vậy đối với một số dạng toán nếu áp dụng kết quả
phân tích đa thức thành nhân tử thì sẽ giải được dễ dàng như một số dạng toán
sau:
2.2.1 Dạng 1: Tính nhanh
Ví dụ 1: (Bài 46, trang 21 SGK)
Tính nhanh:
732 - 272 = (73 - 27)(73 + 27) = 46 . 100 = 4600
20022 - 4 = 20022 - 22 = (2002 + 2)(2002 - 2) = 2004 . 2000 = 4008000.
Ví dụ 2 : (Bài 49, trang 22 SGK)
Tính nhanh:
37,5.6,5 -7,5.3,4 - 6,6.7,5 + 3,5.37,5 = (37,5.6,5 + 3,5.37,5) - (7,5.3,4 + 6,6.7,5)
= 37,5(6,5 + 3,5) - 7,5(3,4 + 6,6)
= 37,5.10 - 7,5.10 = 375 - 75 = 300.
2
45 + 402 - 152 + 80.45 = 452 + 2.40.45 + 402 - 152

= (45 + 40)2 - 152
= 852 - 152
= (85 - 15)(85 + 15) = 70.100 = 7000
Ví dụ 3 : (Bài 56, trang 25 SGK)
Tính nhanh:

Trong các ví dụ trên ta thấy để thực hiện được việc tính nhanh thì
phương pháp chung là phân tích các biểu thức cấn tính nhanh ra thừa số rồi
tính
2.2.2 Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức:
Ví dụ 1 : (Bài 40, trang 19 SGK)

Tính giá trị của các biểu thức sau:
a. 15.91,5 + 150.0,85
b. 5x5(x - 2z) + 5x5(2z - x) với x = 1999 ; y = 2000 ; z = -1
20/34