Thống kê kinh doanh

Chương mở đầu
GIỚI THIỆU VỀ THỐNG KÊ

1.1. Thống kê:
Ngành học nghiên cứu các
thông số đặc trưng của những tập hợp
dữ liệu lớn thông qua việc nghiên cứu các
mẫu rút ra từ những tập
hợp đó.

2 phạm trù chính áp dụng thống kê: - Mô tả tập hợp
- Kết luận thống kê
Tập hợp
thống kê
µ, σ
2
, p
Mẫu
x, s
2
,
p


1.2. Các thành phần cơ bản của thống kê:

1.
Tập hợp thống kê (tổng thể) (population): tập hợp dữ liệu có
liên quan đến hiện tượng quan tâm nghiên cứu

Phân biệt khái niệm tập dữ liệu, thông tin và đối tượng liên quan.

Ví dụ về tập hợp thống kê:
• Tình trạng có việc làm của mọi công dân trong độ tuổi lao động
• Lợi nhuận hàng tháng của một công ty (quá khứ và tương lai)
• Tình trạng khuyết tật của một loại sản phẩm của một công ty
• Dữ liệu khách hàng của một loại sản phẩm của một công ty.
nvquang
1
2. Mẫu thống kê (sample): là một tập hợp dữ liệu con được rút ra
từ tập hợp thống kê

Ví dụ về mẫu thống kê:
• Các số liệu về tình trạng thất nghiệp của các công dân trong độ
tuổi lao động trong vòng 10 năm qua
• Lợi nhuận hàng tháng của một công ty trong 2 năm vừa qua
• Số liệu về lỗi khuyết tật của các sản phẩm sản xuất trong 3 ca
gần đây của một công ty
• Dữ liệu về 150 khách hàng được chọn ngẫu nhiên của công ty.

Thực tế khái niệm
mẫu thống kê và tập hợp đối tượng được dùng lẫn
nhau dù không chính xác.

3.
Kết luận thống kê (statistical inference): Một quyết đònh, một
sự phỏng đoán, một sự tổng quát hóa về tập hợp thống kê dựa
trên thông tin nhận được từ mẫu thống kê

Ví dụ về kết luận thống kê:
• Từ số liệu về tình trạng thất nghiệp của các công dân trong độ

tuổi lao động trong vòng 10 năm qua, dự báo mức thất nghiệp của
năm tới.
• Từ số liệu về lỗi khuyết tật của các sản phẩm sản xuất trong 3 ca
gần đây của một công ty, dự đoán tỷ lệ khuyết tật của toàn bộ các
sản phẩm.

⇒ Quan trọng của việc: Xác đònh tập hợp thống kê
Chọn lựa mẫu thống kê
Kết luận thống kê



nvquang
2
4. Độ tin cậy (reliability) của kết luận thống kê
Kết luận thống kê có chính xác tuyệt đối?
Mức độ tin cậy để phản ánh sai số do phỏng đoán (prediction
error) = chặn trên, chặn dưới và một xác suất.

Ví dụ độ tin cậy:
• Mức thất nghiệp của năm tới: 32% ± 2,5% (với xác suất 99%)
• Tỷ lệ khuyết tật của toàn bộ các sản phẩm: 3,6% ± 0,5% (với xác
suất là 95%)

1.3. Vai trò của thống kê trong việc ra các quyết đònh quản lý:

Thiết lập bài
toán quản lý
Vấn đề quản lý
phải giải quyết

Bài toán thống
kê có liên quan
bài toán quản l
y
ù
thực tế
Lời giải cho bài
toán quản lý
Câu hỏi mới
Phân tích
thống kê
Lời giải cho bài
toán thống kê
Lời
g
iải sơ bộ cho
bài toán quản lý
nvquang
3
Chương Hai
SƠ LƯC VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

1. Thí nghiệm ngẫu nhiên, không gian mẫu, biến cố:

1.1. Thí nghiệm ngẫu nhiên (Random experiment)

Một TN ngẫu nhiên thỏa 2 đặc tính:
• Không biết chắc kết quả nào sẽ xảy ra
• Nhưng biết được các kết quả sẽ xảy ra

1.2. Không gian mẫu (Sample space)

Tập hợp các kết quả có thể xảy ra trong thí nghiệm ngẫu nhiên, ký
hiệu là S

Ví dụ:

Tung một con xúc sắc:
Tung một đồng xu:
Tuổi thọ hoạt động của một chiếc xe:

1.3. Biến cố (Event)

Biến cố: Tập hợp con của không gian mẫu, ký hiệu là E
Biến cố sơ đẳng: Biến cố chỉ chứa một phần tử của S

Ví dụ:

Tung một con xúc sắc
Biến cố mặt chẵn:
Biến cố mặt lẻ:
Biến cố sơ đẳng:
GV. Nguyen Vu Quang
1
Ghi chú:
Biến cố không: Tập hợp rỗng ∅, (∅⊂ S)
Biến cố chắc chắn: Tập hợp S, (S⊂ S)

1.4. Các phép tính về biến cố

Cho 2 biến cố E và F, E ⊂ S, F ⊂ S

a. Biến cố hội (Uninon event)

Ký hiệu: E∪F
E ∪ F xảy ra ⇔ E xảy ra HAY F xảy ra
S


E
F




b. Biến cố giao (Intersection event)

Ký hiệu: E∩F hoặc EF
E ∩ F xảy ra ⇔ E xảy ra VÀ F xảy ra
S
E
F




Lưu ý: Các đònh nghóa về hội và giao của 2 biến cố có thể mở rộng
cho nhiều biến cố: E
1
, E

2
, E
3
…E
n
.

c. Phần bù của một biến cố (Complement)

Ký hiệu: E
C
hoặc E
E
C
xảy ra ⇔ E không xảy ra


Lưu ý: S
C
= ∅
S

E
C
E
GV. Nguyen Vu Quang
2
d. Sự xung khắc tương hỗ (Mutually exclusive)

E xung khắc F ⇔ E ∩ F = ∅

E
F
S





Lưu ý: • Một biến cố và phần bù của nó là xung khắc
• Sự xung khắc không có tính kéo theo
• Tập hợp các biến cố gọi là xung khắc nếu từng cặp
trong đó xung khắc nhau

e. Tập hợp đầy đủ các biến cố (Collectively exhaustive)

Tập hợp các biến cố F
1
, F
2
, F
3
, … F
k
được gọi là tập đầy đủ nếu:

• F1, F2, F3, … F
k
là các biến cố xung khắc
• F
1

∪F
2
∪F
3
∪…∪F
k
= S

Ví dụ:

Thí nghiệm tung xúc sắc: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Gọi: A = {1, 3, 5} (biến cố mặt lẻ xuất hiện)
B = {3, 6} (biến cố mặt là bội số của 3)
C = {4}

Thì: A
C
= {2, 4, 6}
A∩B = {3}
A∪B = {1, 3, 5, 6}
A∩C = ∅


GV. Nguyen Vu Quang
3
2. Xác suất (Probability):

Xét N lần thử một thí nghiệm ngẫu nhiên trong đó biến cố E xảy ra
N
E

lần, ta có

Tỷ lệ xuất hiện biến cố E trong N lần thử =
N
E
N

Khi N tăng đủ lớn ⇒ tỷ lệ này gần như không đổi ⇒ khái niệm tần
suất tương đối của xác suất (relative frequency of probability)

2.1 Đònh nghóa

Gọi N
E
là số lần xuất hiện của biến cố E trong N phép thử lặp lại,
theo khái niệm tần suất tương đối của xác suất, xác suất để E xảy ra
là tỷ số N
E
/N khi số lần thử N lớn vô hạn.

Các đònh đề:

1. Nếu E là biến cố bất kỳ trong không gian mẫu S, và ký hiệu P(E)
là xác suất của biến cố E thì
0 ≤ P(E) ≤ 1
2. Gọi E là một biến cố trong không gian mẫu S, gọi O
i
là các biến
cố sơ đẳng
P(E) =

∑
E
i
)P(O
3. P(S) = 1

2.2 Các tính chất mang tính hệ quả

1. Nếu không gian mẫu S có n biến cố sơ đẳng O
1
, O
2
, O
n
thì
P(O
i
) = 1/n (i = 1, 2, , n)



GV. Nguyen Vu Quang
4
2. Nếu không gian mẫu S có n biến cố sơ đẳng, biến cố E có n
E
biến
cố sơ đẳng, E⊂S thì
P(E) =
n
E

n


3. Với bất kỳ một tập hợp biến cố xung khắc E
1
, E
2
, E
3
, …, E
N
thì
P(

∑
=
=
=∪
N
1i
ii
N
1i
)P(E)E
4. P(E) + P(E
C
) = 1

5. P(∅) = 0

6. P(E∪F) = P(E) + P(F) – P(EF)

Trường hợp 3 biến cố:
P(E∪F∪G) = P(E) + P(F) + P(G) – P(EF) – P(EG) – P(FG) +
P(EFG)

Trường hợp n biến cố: Xem tài liệu

Ví dụ:
1. Tìm xác suất của biến cố các mặt xuất hiện giống nhau trong thí
nghiệm tung 3 đồng tiền.
3. Lấy 2 viên bi từ 1 bình gồm 4 bi đỏ và 3 bi vàng, tính xác suất để
được 2 viên bi này cùng màu.
2. Trong 1 lớp học có 25% học sinh giỏi về hát, 15% giỏi về múa và
10% giỏi cả hát và múa. Nếu chọn ngẫu nhiên 1 học sinh, tìm xác
suất để học sinh này không giỏi gì hết.

GV. Nguyen Vu Quang
5
2.3 Xác suất có điều kiện

2.3.1 Đònh nghóa, công thức

Xác suất của biến cố E khi biến cố F đã xảy ra:

P(E/F) =
P(E∩F)
P(F)

Ví dụ:

1. Trong 1 bình đựng 3 bi xanh và bi vàng, lấy lần lượt 2 viên bi.
Tính xác suất để viên bi sau màu vàng biết rằng viên bi đầu
màu xanh.

2. Tung lần lượt 2 con xúc sắc, tìm xác suất để tổng 2 mặt bằng 6
biết rằng mặt đầu tiên là 4.

3. Một sinh viên chọn học hoặc môn máy tính hoặc môn hóa học
dựa trên kết quả tung 1 đồng tiền đồng nhất. Nếu SV học máy
tính, xác suất đạt điểm A là 1/2. Ngược lại, nếu SV học hóa thì
xác suất này là 1/3. Tìm xác suất để SV đạt điểm A trong môn
hóa học.

2.3.2 Biến cố độc lập
Biến cố E và F là độc lập thống kê nếu
P(EF) = P(E)P(F)

• Nói khác đi, biến cố E được gọi là độc lập với biến cố F nếu P(E)
không thay đổi cho dù biến cố F đã xảy ra và ngược lại
P(E/F) = P(E)
P(F/E) = P(F)

• E và F không độc lập thì gọi là 2 biến cố phụ thuộc
GV. Nguyen Vu Quang
6
• Tổng quát, các biến cố E
1
, E
2
, , E

n
được gọi là các biến cố độc
lập nếu với mọi r≤ n, ta có:
P(E
1
E
2
E
r
) = P(E
1
)P(E
2
) P(E
r
)

Ví dụ:
Trong những người có bằng cử nhân có 48% là nữ, và 17,5% là cử
nhân thuộc lónh vực kinh doanh. Số liệu thống kê cũng cho biết có
4,7% cử nhân vừa thuộc lónh vực kinh doanh vừa là nữ. Biến cố “Cử
nhân thuộc lónh vực kinh doanh” và biến cố “Cử nhân là nữ” có phải
là 2 biến cố độc lập?

2.3.3 Công thức xác suất đầy đủ – công thức Bayes

a. Công thức xác suất đầy đủ

Cho không gian mẫu S và tập hợp đầy đủ biến cố F
i

(i=1, 2, , n)
xung khắc từng đôi một.

Gọi E là một biến cố bất kỳ trong không gian mẫu S. Biến cố E
được biểu diễn như sau

EF
i
F
i
F
2

F
1
F
n



S





E

GV. Nguyen Vu Quang
7

E = EF
1
∪EF
2
∪ ∪EF
i
∪ ∪EF
n
P(E) = P(EF
1
) + P(EF
2
) + + P(EF
n
) = )EFP(
i
n
1i
∑
=

Mặt khác: P(E/F
i
) =
P(EF
i
)
P(F
i
)

⇒ P(E) =
)P(F)E/FP(
i
n
1i
i
∑
=

Lưu ý: ở đây biết P(F
i
) và P(E/F
i
)
⇒
tìm P(E)

Ví dụ:
Một nhà máy có 4 phân xưởng sản xuất một loại sản phẩm
PX I sản xuất 1/3 tổng sản lượng của nhà máy
PX II sản xuất 1/4 tổng sản lượng của nhà máy
PX III sản xuất 1/4 tổng sản lượng của nhà máy
PX IV sản xuất 1/6 tổng sản lượng của nhà máy

Tỷ lệ phế phẩm của các phân xưởng I, II, III và IV lần lượt là 15%,
8%, 5% và 1%.

Nếu lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm trong kho của nhà máy, tính xác

suất để sản phẩm đó là phế phẩm.


b. Công thức Bayes

Ta có: P(F
j
E) = P(F
j
/E)P(E)

và P(F
j
E) = P(E/F
j
)P(F
j
)

⇒ công thức Bayes: P(F
j
/E) =
P(E/F
j
)P(F
j
)
P(E)

GV. Nguyen Vu Quang

8
Lưu ý: ở đây biết P(F
i
), P(E/F
i
) và P(E)
⇒
tìm P(F
i
/E)

Ví dụ:
Lấy ví dụ các phân xưởng sản xuất của một nhà máy.

Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm trong kho của nhà máy và thấy nó là
phế phẩm, tìm xác suất để sản phẩm này thuộc phân xưởng I.

GV. Nguyen Vu Quang
9
Chương Ba
MÔ TẢ TẬP DỮ LIỆU

1. Các biểu đồ mô tả:

1.1. Các loại dữ liệu

Hai loại dữ liệu:
Đònh lượng: đo lường bằng số
Đònh tính: không đo lường được bằng số ⇒ có dạng phân loại

1.2. Các biểu đồ biểu diễn cho tập dữ liệu đònh tính

Biểu đồ thanh (Bar chart)

Ví dụ: Quan sát 30 khách hàng mua 4 kiểu sản phẩm
Kiểu loại Số quan sát Tần suất
(f
i
)
Tần suất tương đối
(f
i
r
)
A 5 5 0.167
B 11 11 0.367
C 6 6 0.200
D 8 8 0.267
Tổng 30 1
5
11
6
8
0
3
6
9
12
15
ABCD

Kiểu loại
Tần suất
GV. Nguyen Vu Quang
1
Biểu đồ hình tròn (Pie chart)
A
16.67%
B
36.67%
C
20.00%
D
26.67%

1.3. Các biểu đồ biểu diễn cho tập dữ liệu đònh lượng

1.3.1. Biểu đồ thân và lá (Stem and Leaf)

5,20 5,64 5,90 6,01 6,50
6,48 6,50 6,61 6,81 6,89
6,91 6,92 7,10 7,12 7,20
7,21 7,40 7,48 7,52 7,70
7,72 7,79 7,90 8,00 8,02
8,13 8,20 8,21 8,23 8,37
8,50 8,82 9,01 9,23 9,40
9,49 9,51 9,63 9,71 9,90
10,10 10,50 10,52 10,58 11,13
11,30 11,72 13,20 13,46 13,52

GV. Nguyen Vu Quang
2
Các bước thiết lập sơ đồ thân và lá:

1. Xác đònh thân và lá, chọn đơn vò biểu diễn sao cho tổng số thân
trong sơ đồ từ 5 đến 20
2. Xếp các thân theo thứ tự tăng dần trên 1 cột, kể cả các thân
không có lá
3. Ứng với mỗi thân, xếp các lá theo thứ tự tăng dần từ trái sang
phải. Các lá nên được biểu diễn chỉ bằng 1 ký tự số (nếu cần
phải làm tròn số)

Thân Lá
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2 6 9
0 5 5 5 6 8 9 9 9
1 1 2 2 4 5 5 7 7 8 9

0 0 1 2 2 2 4 5 8
0 2 4 5 5 6 7 9
1 5 5 6
1 3 7

2 5 5

1.3.2. Biểu đồ Histogram (tần suất)

Tập dữ liệu (có N phần tử) được chia thành các nhóm có khoảng giá
trò bằng nhau.

Tần suất: Số quan sát trong mỗi nhóm, ký hiệu f
i
Tần suất tích lũy: Tổng số quan sát của nhóm i và các nhóm trước
Tần suất tương đối: Tỷ số f
i
/N, ký hiệu f
i
r
Tần suất tương đối tích lũy:



GV. Nguyen Vu Quang
3
Các bước vẽ biểu đồ tần suất:

1. Sắp xếp các số liệu theo thứ tự tăng dần
2. Chia các số liệu thành các nhóm có độ lớn bằng nhau (từ 5 đến

20 nhóm) sao cho không có số liệu nào nằm trên vùng biên của
các nhóm.

Ví dụ:
5,2 5,6 5,9 6,0 6,5
6,5 6,5 6,6 6,8 6,9
6,9 6,9 7,1 7,1 7,2
7,2 7,4 7,5 7,5 7,7
7,7 7,8 7,9 8,0 8,0
8,1 8,2 8,2 8,2 8,4
8,5 8,8 9,0 9,2 9,4
9,5 9,5 9,6 9,7 9,9
10,1 10,5 10,5 10,6 11,1
11,3 11,7 13,2 13,5 13,5

Giả sử tập dữ liệu được chia thành 8 nhóm, độ lớn mỗi nhóm là:

Độ lớn nhóm = (Max – Min)/8 = (13,5 – 5,2)/8 = 1,04 → 1,1

Chọn giá trò bắt đầu của nhóm đầu tiên = 5,15 ta có các nhóm sau:


5,15 6,25 7,35 8,45 9,55 10,65 11,75 12,85 13,9
5




GV. Nguyen Vu Quang
4

Bảng tần suất và tần suất tương đối cho các nhóm
Nhóm Khoảng giá trò Tần suất
(Số quan sát)
f
i
Tần suất tương đối
f
i
/N
1 5,15 – 6,25 4 0,08
2 6,25 – 7,35 12 0,24
3 7,35 – 8,45 14 0,28
4 8,45 – 9,55 7 0,14
5 9,55 – 10,65 7 0,14
6 10,65 – 11,75 3 0,06
7 11,75 – 12,85 0 0,00
8 12,85 – 13,95 3 0,06
Tổng N= 50 1

0
2
4
6
8
10
12
14
16
Giá trò
Tần suất nhóm

5,15 6,25 7,35 8,45 9,55 10,65 11,75 12,85 13,95










0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Giá trò
Tần suất tương đối nhóm
5,15 6,25 7,35 8,45 9,55 10,65 11,75 12,85 13,95

GV. Nguyen Vu Quang
5
2. Các thông số đặc trưng của tập dữ liệu:

2.1. Thông số đo lường khuynh hướng tập trung: (measure of
central tendency)

Là thông số thể hiện vai trò trung tâm của tập dữ liệu, còn gọi là

các số đònh tâm gồm:

• Giá trò trung bình số học / giá trò kỳ vọng (mean/expected value)
• Số trung vò (median)
• Số yếu vò (mode)

2.1.1. Giá trò trung bình số học

Giá trò trung bình của tổng thể (Population mean)

N
xf
N
x
i
ii
N
i
i
∑∑
==
==
l
11
µ


Giá trò trung bình của mẫu (Sample mean)

n

xf
n
x
i
ii
n
i
i
∑∑
==
==
l
11
x


2.1.2. Số trung vò (Median)

Là số có giá trò nằm giữa tập dữ liệu khi các giá trò quan sát trong
tập dữ liệu được sắp từ nhỏ đến lớn (hay ngược lại)

Trường hợp số quan sát là số chẵn thì trung vò là giá trò trung bình
của 2 quan sát ở giữa
GV. Nguyen Vu Quang
6

Trong vài trường hợp, số trung vò đo khuynh hướng tập trung tốt hơn
giá trò trung bình số học.

- Giá trò trung vò

- Giá trò trung bình số học
⇒ Khái quát độ méo (skewness)
của tập dữ liệu

Ví dụ: Điểm của 20 học sinh

Mẫu 1:
Điểm 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10
Số SV 1 2 1 3 0 3 3 3 2 1 1

Mẫu 2:
Điểm 1 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10
Số SV 1 1 1 1 3 0 3 3 3 2 1 1

Mẫu 1:
Điểm TB = 7,55
Điểm trung vò = (số thứ 10 + số thứ 11)/2 = (7,5 + 8) / 2 = 7,75











Mẫu 2:
Điểm TB = 7,325

10.09.59.08.58.07.57.06.56.05.55.0
3
2
1
0
Mau 1
Frequency
Histogram of Mau 1, with Normal Curve
GV. Nguyen Vu Quang
7
Điểm trung vò = (số thứ 10 + số thứ 11)/2 = (7,5 + 8) / 2 = 7,75














10987654321
6
5
4
3

2
1
0
Mau 2
Frequency
Histogram of Mau 2, with Normal Curve
2.1.3. Số yếu vò (Mode)

Là giá trò quan sát có số lần xuất hiện nhiều nhất (có f
i
lớn nhất)

Không thích hợp khi tập dữ liệu có nhiều giá trò mode → dùng lớp
mode (modal class)

Ví dụ:

Cho tập dữ liệu:
0 1 0 2 5 2 5 2 3 3 5 6 4
Tìm giá trò trung bình, số trung vò và yếu vò

x
i
0 1 2 3 4 5 6
f
i
2 1 3 2 1 3 1

2.2. Thông số đo lường khuynh hướng phân tán: (measure of
dispersion)

GV. Nguyen Vu Quang
8

Là thông số thể hiện sự khác biệt giữa các số trong tập dữ liệu so
với số đònh tâm (thường là giá trò trung bình)

2 số phân tán thường dùng là phương sai và độ lệch chuẩn

2.2.1. Phương sai: (variance)

Phương sai của tổng thể (population variance)

2
N
1i
N
1i
2
i
2
µ
NN
µ)(
σ −=
−
=
∑∑
==
i
xx

Phương sai của mẫu (sample variance)

1)-(n
)(
s
n
1i
2
i
2
∑
=
−
=
xx


⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

⎛
−
−
=
∑∑
==
2
n
1i
i
n
1i
2
i
2
n
1
1n
1
s xx


2.2.2. Độ lệch chuẩn: (standard deviation)

Độ lệch chuẩn của tổng thể (population SD)

∑
=
−==
N

1i
2
i
2
µ)(x
N
1
σσ


Độ lệch chuẩn của mẫu (sample SD)

GV. Nguyen Vu Quang
9
∑
=
−
−
==
n
i
i
xx
n
ss
1
22
)(
1
1

2.2.3. Ý nghóa của độ lệch chuẩn

a/ Quy tắc kinh nghiệm


µ
µ-3σ µ-2σ µ-σ µ+σ µ+2σ µ+3σ

Hơn 90% các giá trò của tập dữ
liệu nằm trong khoảng µ±3σ
x






b/ Quy tắc Tchebychev

Với
bất kỳ tổng thể có trung bình µ, độ lệch chuẩn σ thì có ít nhất
100(1-1/m
2
)% các giá trò của tổng thể nằm trong khoảng µ ± mσ.
(m>1)


m 1,5 2 2,5 3

100(1-1/m
2
)% 55,6% 75% 84% 88,9%







c/ Quy tắc đối với tập dữ liệu có phân bố hình chuông (đối xứng)
hay số phần tử của tập dữ liệu là rất lớn: (Rule of Thumb)
GV. Nguyen Vu Quang
10

Tần suất (
f
i
)
68%
95%
100%
µ-3σ µ-2σ µ-σ µ+3σµ+2σµ+σ
µ
x
i


2.3. Thông số đo lường vò trí tương đối: (measure of dispersion)

2.3.1. Giá trò z (z – score)

Giá trò z của một giá trò quan sát x trong
tổng thể được xác đònh:

z =
x - µ
σ




Giá trò z của một giá trò quan sát x trong
mẫu được xác đònh:

GV. Nguyen Vu Quang
11
z =
s
xx
−


⇒
tập dữ liệu z sẽ có trung bình là 0 và độ lệch chuẩn là 1.

Ý nghóa của z:

Là độ lệch của x so với giá trò trung bình, đơn vò tính là độ lệch
chuẩn (x cách giá trò trung bình z lần độ lệch chuẩn).

Ví dụ một giá trò x trong 1 mẫu dữ liệu có giá trò z = -2, nghóa là x
nhỏ hơn giá trò trung bình 2 lần độ lệch chuẩn s.

Lưu ý: Quy tắc của phân phối hình chuông

Tần suất (
f
i
)
68%
95%
100
%
-3 -2 -1 3 2 1
0
z

2.3.2. Khoảng (Range)


GV. Nguyen Vu Quang
12
Khoảng = Max – Min

2.3.3. Các điểm đònh vò phần trăm (percentiles)

(1-p)% các
số liệu
p% các số liệu
Tần suất (
f
i
)
x
p
x

Các điểm tứ phân (Interquartiles)


25% các
số liệu
25% các
số liệu

Q
2
= x
50
Q
3
= x
75
25% các
số liệu
Tần suất (
f
i
)
Q
1
= x
25
25% các
số liệu
x




GV. Nguyen Vu Quang
13