Luận văn thạc sĩ toán – tiếp cận khái niệm giới hạn

mở đầu
1. lý do chọn đề tài
1.1. Đổi mới phơng pháp dạy học nhằm phát huy tính tích cực
nhận thức của học sinh là yêu cầu tất yếu và cấp bách của Giáo dục. Để
đáp ứng đợc những yêu cầu mới của sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa
đất nớc, sự thách thức trớc nguy cơ tụt hậu trên con đờng tiến vào thế kỷ XXI
bằng cạnh tranh trí tuệ đang đòi hỏi phải đổi mới Giáo dục, trong đó có việc
đổi mới căn bản về phơng pháp dạy và học, sớm tiếp cận trình độ giáo dục
Phổ thông ở các nớc phát triển trong khu vực và trên Thế giới (đây không phải
vấn đề riêng của nớc ta, mà là vấn đề đang đợc quan tâm ở mọi quốc gia) nhằm
nâng cao chất lợng giáo dục toàn diện thế hệ trẻ, phát triển nguồn nhân lực
trong giai đoạn mới, phục vụ các yều cầu đa dạng của nền Kinh tế Xã hội.
Sự phát triển với tốc độ mang tính bùng nổ của khoa học công nghệ thể
hiện qua sự ra đời nhiều thành tựu mới cũng nh khả năng ứng dụng chúng vào
thực tế cao, rộng và nhanh cũng đòi hỏi phải đổi mới Giáo dục. Trong bối
cảnh hội nhập giao lu, học sinh đợc tiếp nhận nhiều nguồn thông tin đa dạng,
phong phú, từ nhiều mặt của cuộc sống, nên hiểu biết linh hoạt và thực tế hơn
nhiều, so với các thế hệ cùng lứa trớc đây mấy chục năm (đặc biệt là học sinh
THPT). Vì vậy, đòi hỏi Giáo dục - Đào tạo phải xác định lại mục tiêu, nội
dung, phơng pháp, phơng tiện, tổ chức, cách đánh giá, theo định hớng đổi mới
phơng pháp dạy học đã đợc xác định trong các tài liệu sau:
+ Nghị quyết Trung ơng 4 khóa VII (1- 1993) đã đề ra nhiệm vụ ''đổi mới
phơng pháp dạy học ở tất cả các cấp học, bậc học".
+ Nghị quyết Trung ơng 2 khóa VIII (12- 1996) đã chỉ rõ: "phơng pháp
Giáo dục - Đào tạo chậm đợc đổi mới, cha phát huy đợc tính tích cực, chủ động sáng
tạo của ngời học".
+ Luật Giáo dục (12- 1998), cụ thể hóa trong các chỉ thị của Bộ Giáo dục -
1
Đào tạo, đặc biệt chỉ thị số 14 (4-1999).
+ Luật Giáo dục, điều 28.2, đã ghi: ''Phơng pháp Giáo dục - Phổ thông phải
phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm

từng lớp học, môn học; bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ năng, vận dụng kiến
thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú cho học sinh '.
Nh vậy, quan điểm chung về hớng đổi mới phơng pháp dạy học hiện nay
(và cũng là một trong những xu thế dạy học hiện đại trên Thế giới), trong đó có
phơng pháp dạy học môn Toán đã đợc khẳng định, không còn là vấn đề để tranh
luận nữa: Cốt lõi của phơng pháp dạy học là phát huy TTCNT trong học tập
của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm hình thành cho
học sinh t duy tích cực, độc lập, sáng tạo, để tạo cho học sinh học tập một
cách tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động. Đó là hớng
tới học tập trong hoạt động và bằng hoạt động, tức là cho học sinh đợc suy
nghĩ nhiều hơn, thảo luận nhiều hơn, hoạt động nhiều hơn, khi đứng trớc
một vấn đề của nội dung bài học hay một yêu cầu thực tiễn của cuộc sống.
Đây chính là tiêu chí, thớc đo, đánh giá sự đổi mới phơng pháp dạy học.
Trên tinh thần đó, việc dạy học không chỉ phải thực hiện nhiệm vụ trang bị
cho học sinh, những kiến thức cần thiết về môn dạy, mà điều có ý nghĩa to lớn
còn ở chổ dần dần hình thành và rèn luyện cho học sinh tính tích cực, độc lập
sáng tạo trong quá trình học tập, để học sinh có thể chủ động, tự lực, tự đào tạo,
tự hoàn thiện tri thức trong hoạt động thực tiễn sau này. Do đó, việc thiết kế
những nội dung dạy học cụ thể, nhằm tạo môi trờng để t duy nhận thức của học
sinh đợc hoạt động tích cực, là rất cần thiết. Chẳng hạn, dạy học khái niệm về
chủ đề Giới hạn có thể là minh chứng rõ nét cho việc dạy học theo hớng phát
huy TTCNT của học sinh.
1.2. Chủ đề ''Giới hạn'' là một trong những chơng quan trọng, cơ bản,
nền tảng và khó của Giải tích Toán học ở THPT. Khái niệm Giới hạn không
chỉ là kiến thức cơ bản nền tảng của Giải tích vì: ''không có Giới hạn thì không
2
có Giải tích. Hầu hết các khái niệm của Giải tích đều liên quan đến Giới hạn''
[37, tr. 147] mà còn là khái niệm Toán học khó đối với học sinh. Có thể nói
khi học về chủ đề Giới hạn là quá trình biến đổi về chất trong nhận thức của
học sinh, ở đây học sinh đợc xem xét các sự kiện trong mối liên hệ qua lại của

thế giới khách quan rõ ràng nhất. Vì ta đã biết Đại số đặc trng bởi kiểu t duy
hữu hạn, rời rạc, tĩnh tại, còn khi học về Giải tích kiểu t duy chủ yếu đ-
ợc vận dụng liên quan đến vô hạn, liên tục, biến thiên. Khái niệm Giới
hạn chính là cơ sở cho phép nghiên cứu các vấn đề gắn liền với vô hạn,
liên tục, biến thiên. Do vậy, nắm vững đợc nội dung khái niệm Giới hạn
là khâu đầu tiên, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho học sinh khả năng vận
dụng vững chắc, có hiệu quả các kiến thức Giải tích Toán học ở phổ thông.
Chủ đề Giới hạn có vai trò hết sức quan trọng trong toán học phổ thông còn lẽ
vì : "khái niệm Giới hạn là cơ sở, hàm số liên tục là vật liệu để xây dựng các
khái niệm đạo hàm và tích phân. Đây là nội dung bao trùm chơng trình Giải
tích THPT [4, tr. 12]. Để hiểu đợc chứng minh, nắm vững nội dung của
những khái niệm Giới hạn cần thiết phải có những phơng thức s phạm tốt, đó
là các cách thức và phơng tiện thích hợp, những lời nói sinh động, những hình
ảnh trực quan, những ví dụ cụ thể, rèn luyện và phát triển khả năng chuyển đổi
từ ngôn ngữ thông thờng sang ngôn ngữ Toán học, khả năng thực hiện các
thao tác t duy cơ bản, những sơ đồ, bảng biểu, những bài tập thích hợp và
những tình huống s phạm ). Trong quá trình dạy học, giáo viên phối hợp sử
dụng với từng nội dung bài học hợp lý để góp phần tạo nên những hoạt động
và giao lu của giáo viên với học sinh và học sinh với học sinh, nhằm đạt đợc
các mục tiêu dạy học chủ đề quan trọng này.

1.3. Thực tiễn của đổi mới chơng trình, cải cách phơng pháp dạy học
hiện nay cho thấy việc sử dụng các phơng thức s phạm thích hợp theo hớng
phát huy TTCNT của học sinh thì sẽ nâng cao chất lợng dạy học. Học vấn
3
nhà trờng trang bị không thể thâu tóm đợc mọi tri thức mong muốn. Vì vậy
giáo viên phải coi trọng việc dạy chiếm lĩnh và kiến tạo kiến thức của loài ng-
ời. Đối với từng nội dung kiến thức, giáo viên phải biết khai thác sử dụng
những phơng thức s phạm với qui trình dạy học thích hợp để phát huy
TTCNT của học sinh, trên cơ sở đó ngời học có năng lực và thói quen tiếp tục

học tập suốt đời. Xã hội đòi hỏi ngời có học vấn hiện đại, không chỉ có khả
năng lấy ra từ trí nhớ các tri thức có sẵn đã lĩnh hội ở nhà trờng phổ thông, mà
còn phải có khả năng chiếm lĩnh và biết cách thức sử dụng tri thức một cách
độc lập, có khả năng đánh giá các sự kiện, hiện tợng mới các t tởng một cách
thông minh sáng suốt, khi gặp trong cuộc sống trong lao động và trong quan
hệ với mọi ngời.
Do có những thay đổi trong đối tợng giáo dục, học sinh đợc tiếp nhận
nhiều nguồn thông tin đa dạng, phong phú, từ nhiều mặt của cuộc sống, hiểu
biết đợc nhiều hơn, linh hoạt và thực tế hơn so với các thế hệ cùng lứa tuổi tr-
ớc đây. Mặt khác, trong học tập học sinh không thỏa mãn với vai trò ngời
tiếp thu thụ động, không chỉ chấp nhận các giải pháp đã có sẵn đợc đa ra, ở
lứa tuổi này nảy sinh một yêu cầu và cũng là một quá trình: sự lĩnh hội độc lập
các tri thức và phát triển các kĩ năng. Để hình thành phơng thức học tập một
cách độc lập, phát huy đợc vai trò tích cực học tập của học sinh một cách chủ
định thì cần phải có sự hớng dẫn của giáo viên, các biện pháp, phơng thức s
phạm thích hợp đối với từng nội dung bài học cụ thể, giúp học sinh học tập
hứng thú, vận dụng tốt tiềm lực sẵn có để phát huy cao TTCNT.
Vì những lý do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn:
Quan điểm Giải tích về các cách tiếp cận khái niệm Giới hạn và việc phát
huy TTCNT của học sinh trong dạy học chủ đề Giới hạn ở bậc THPT''.
2. Mục đích nghiên cứu
2.1. Xác định cơ sở lý luận cơ bản về phát huy TTCNT của học sinh qua
học môn Toán .
4
2.2. Thiết kế xây dựng những phơng thức s phạm thích hợp cho việc dạy
học chủ đề Giới hạn theo hớng phát huy TTCNT của học sinh.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
3.1. Tìm hiểu dạy học chủ đề Giới hạn ở lớp 11-THPT.
3.2. Xác định làm rõ cơ sở lý luận, sáng tỏ vai trò và vị trí của Giải tích
nói chung và chủ đề Giới hạn nói riêng ở THPT và việc phát huy TTCNT của

học sinh.
3.3. Vạch rõ bản chất, đề xuất các định hớng từ đó xây dựng các phơng
thức s phạm thích hợp theo hớng phát huy TTCNT của học sinh thông qua
dạy học chủ đề Giới hạn đặc biệt là các khái niệm "Giới hạn về dãy số và
hàm số, hàm số liên tục " cho học sinh lớp 11-THPT.
3.4. Thực nghiệm s phạm nhằm kiểm tra, đánh giá tính khả thi và hiệu quả
của nội dung các phơng thức đã đề xuất.
4. Giả thUYết khoa học
Trên cơ sở tôn trọng nội dung chơng trình và SGK hiện hành nếu định hớng
đợc việc xây dựng các phơng thức s phạm thích hợp vào dạy học chủ đề Giới
hạn theo hớng phát huy TTCNT thì sẽ kích thích tính tích cực, tự giác, chủ
động, độc lập, sáng tạo của học sinh, từ đó nâng cao đợc hiệu quả dạy học chủ
đề Giới hạn nói riêng, chất lợng dạy học Toán nói chung.
5. Phơng pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các văn kiện của Đảng, các văn bản,
tài liệu của nghành Giáo dục- Đào tạo có liên quan đến việc dạy học môn
Toán ở trờng THPT, các tài liệu tâm lý giáo dục về phát huy TTCNT của học
sinh để phục vụ cho đề tài luận văn.
- Tìm hiểu phân tích chơng trình, SGK, lý luận dạy học về Giải tích chủ
đề Giới hạn và các tài liệu tham khảo khác có liên quan.
5.2. Tìm hiểu, điều tra thực tiễn: Quan sát dự giờ thực dạy học sinh, tổng
kết kinh nghiệm dạy học chủ đề Giới hạn.
5
5.3. Thực nghiệm s phạm: Tiến hành dạy thực nghiệm một số tiết ở tr-
ờng THPT để xác định tính khả thi và hiệu quả của đề tài luận văn.
6. Đóng góp của luận văn
6.1. Về mặt lý luận:
- Hệ thống hóa một số vấn đề lý luận cơ bản về phát huy TTCNT của học sinh.
- Xây dựng và thực nghiệm các phơng thức s phạm thích hợp trong dạy học
về Giải tích chủ đề Giới hạn, nhằm phát huy TTCNT của học sinh.

6.2. Về mặt thực tiễn:
- Qua Luận văn này giúp giáo viên hiểu rõ và nắm vững hệ thống các ph-
ơng thức s phạm thích hợp trong dạy học nhằm phát huy TTCNT của học
sinh thông qua dạy học chủ đề Giới hạn.
- Có thể sử dụng Luận văn để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán để
góp phần nâng cao hiệu quả dạy học ở trờng THPT.
7. Cấu trúc của luận văn
Luận văn, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, có 3 chơng sau đây:
Chơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1. Phát huy tính tích cực nhận thức của học sinh trong dạy học.
1.1.1. Quan niệm về tính tích cực nhận thức (TTCNT) của học sinh.
1.1.2. Vì sao phải phát huy TTCNT của học sinh?
1.1.3. Các cấp độ của TTCNT.
1.1.4. Một số biểu hiện TTCNT của học sinh trong học tập môn Toán.
1.1.5. Các phơng thức s phạm thích hợp nhằm phát huy TTCNT của
học sinh trong dạy học nội dung chủ đề Giới hạn.
1.2. Quan điểm về Giải tích và vị trí đặc điểm của Giới hạn ở THPT.
1.2.1. Vị trí đặc điểm Giới hạn của Giải tích ở THPT.
1.2.2. Quan điểm thứ nhất: Giải tích mà Đại số hóa tăng cờng ở THPT.
1.2.3. Quan điểm thứ hai: Giải tích xấp xỉ ở THPT.
6
1.2.4. Quan điểm thứ ba: Giải tích hỗn hợp ở THPT.
1.3. Thực tiễn dạy học chủ đề khái niệm Giới hạn của Giải tích ở THPT .
1.4. Kết luận chơng 1.
Chơng 2: các cách tiếp cận kháI niệm GIớI HạN Và VIệC
PHáT HUY TíNH tíCH cực NHậN THức của HọC SINH
TRONG DạY HọC chủ đề GiớI HạN ở bậc THPT
2.1. Các cách tiếp cận khái niệm Giới hạn ở THPT.
2.1.1. Các cách tiếp cận định nghĩa khái niệm Giới hạn dãy số.
2.1.2. Các cách tiếp cận định nghĩa khái niệm Giới hạn hàm số.

2.1.3. Các cách định nghĩa sự liên tục - gián đoạn hàm số tại một điểm.
2.1.4. Về việc mở rộng khái niệm giới hạn của dãy số và hàm số.
2.2.Ví dụ minh họa dạy học chủ đề Giới hạn theo hớng phát huy TTCNT.
2.2.1. Thực hiện kế hoạch bài học theo phơng pháp dạy học tích cực với
khái niệm đề giới hạn
2.2.2. Minh họa dạy học khái niệm Giới hạn.
2.2.3. Minh họa dạy học bài tập về Giới hạn với chức năng phát huy TTCNT.
2.2.4. Dự đoán phát hiện nguyên nhân và hớng khắc phục những khó
khăn sai lầm của học sinh khi học chủ đề Giới hạn.
2.3. Kết luận chơng 2.
chơng 3: thực nghiệm s phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm.
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm.
3.4. Kết luận chơng 3 thực nghiệm s phạm.
Chơng 1
CƠ Sở Lý LUậN Và THựC TIễN
1.1 . PHáT HUY TTCNT CủA HọC SINH TRONG Dạy HọC
7
Theo Rubinstein X. L : ''Ngời ta bắt đầu t duy khi có nhu cầu hiểu biết một
cái gì. T duy thờng xuất phát từ một vấn đề hay một câu hỏi, từ một sự ngạc
nhiên hay một điều trăn trở'', mà hạt nhân cơ bản của TTCNT là hoạt động t
duy, nên phát huy tính tích cực nhận thức (TTCNT) chính là nhằm phát triển
t duy, đặc biệt là t duy toán học cho học sinh, vậy thế nào là TTCNT của học
sinh trong học tập ?
1.1.1. Quan niệm về TTCNT của học sinh
Theo Kharlamop: ''Tính tích cực là trạng thái hoạt động của chủ thể, TTCNT
là trạng thái hoạt động của học sinh, đợc đặc trng bởi khát vọng học tập, cố
gắng trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình nắm vững kiến thức''.
Nhiều nhà khoa học trong và ngoài nớc nhận định về TTCNT của học sinh

trong quá trình học tập theo những góc độ, những dấu hiệu khác nhau của chủ
thể đối với khách thể, đó là:
- Sự căng thẳng chú ý, sự tởng tợng, phân tích tổng hợp, ( Rôđac I.I.).
- Lòng mong muốn không chủ định và gây nên biểu hiện bên ngoài hoặc bên
trong của sự hoạt động (Ôkôn V.).
- Cờng độ, độ sâu, nhịp điệu của những hoạt động, quan sát, chú ý, t duy ghi nhớ
trong một thời gian nhất định ( TS. Phạm Thị Diệu Vân).
- Huy động mức độ cao các chức năng tâm lý, đặc biệt là chức năng t duy
( TS. Đặng Vũ Hoạt).
- Hành động ý chí, trạng thái hoạt động về vẻ bề ngoài có vẻ giống nhau nhng
khác nhau về bản chất khi xét đến hoạt động cải tạo trong ý thức của chủ thể
(Aristova L.).
- Thái độ cải tạo của chủ thể đối với khách thể thông qua sự hoạt động ở mức độ
cao các chức năng tâm lý nhằm giải quyết những vấn đề học tập - nhận thức
( TS . Nguyễn Ngọc Bảo).
- TTCNT phải thể hiện trớc hết ở động cơ học Toán đúng đắn, từ đó tự giác học
tập một cách hứng thú, từ chỗ cha biết đến biết, từ chỗ biết đến biết sâu sắc, không
8
những tiếp thu đợc chuẩn xác kiến thức Toán học, mà còn đúc kết đợc phơng
pháp suy nghĩ giải quyết vấn đề (TS. Lê Thống Nhất).
Trên đây là cách nhận định về TTCNT của các nhà tâm lý học, giáo dục
học. Khác với quá trình nhận thức trong nghiên cứu khoa học, quá trình nhận
thức trong học tập, không nhằm phát huy những điều loài ngời cha biết mà
nhằm lĩnh hội những tri thức loài ngời đã tích lũy đợc. Tuy nhiên trong học tập
học sinh cũng phải ''khám phá'' ra những hiểu biết mới đối với bản thân. Học
sinh sẽ ghi nhớ thông tin qua hiểu những gì đã nắm đợc qua hoạt động chủ
động, nổ lực của chính mình. Đó là cha nói đến, khi tới một trình độ nhất
định, sự học tập tích cực về nhận thức sẽ mang tính nghiên cứu khoa học và
ngời học cũng làm ra đợc những tri thức mới cho khoa học.
TTCNT trong hoạt động học tập liên quan trớc hết với động cơ học tập.

Động cơ đúng tạo ra hứng thú. Hứng thú là tiền đề của tự giác (hứng thú và tự
giác là hai yếu tố tâm lý tạo nên TTCNT). TTCNT sản sinh nếp t duy độc lập.
Suy nghĩ độc lập là mầm mống của sáng tạo. Tích cực gắn liền với động cơ,
với sự kích thích hứng thú, với ý thức hứng thú, có ý thức về sự tự giác học
tập, ý thức về sự giáo dục của chính mình, vì vậy có thể hiểu tiêu chí nhằm
phát huy TTCNT là tính tích cực t duy (t duy bên trong), tất nhiên phải đợc thể
hiện qua ngôn ngữ và hành động tích cực (biểu hiện cả bên ngoài).
Ngợc lại, phong cách học tập phát huy TTCNT, độc lập, sáng tạo sẽ phát
triển tự giác, hứng thú, bồi dỡng động cơ học tập. Ta có thể minh họa mối liên
hệ tác động qua lại đó nh sau:
Động cơ


HứNG THú



Tự GIáC



SáNG TạO
9

TtC



ĐộC LậP
TTCNT và tính tích cực học tập có liên quan chặt chẽ với nhau, nhng không

phải đồng nhất. Có một số trờng hợp, tính tích cực học tập thể hiện ở sự tích cực bên
ngoài, mà không phải tích cực trong t duy. Đó là điều cần lu ý khi nhận xét đánh
giá TTCNT của học sinh.
Rèn luyện kỹ năng học tập một cách tích cực độc lập cho học sinh, để học
sinh chủ động tự lực chiếm lĩnh kiến thức là cách hiệu quả nhất, làm cho học
sinh hiểu kiến thức một cách sâu sắc và có ý thức. Vốn kiến thức, mà học sinh
nắm đợc từ nỗ lực của bản thân chỉ sống và sinh sôi nảy nở nếu học sinh biết
sử dụng nó một cách chủ động độc lập sáng tạo. Tính độc lập thực sự của học
sinh biểu hiện ở sự độc lập suy nghĩ, ở chỗ biết học tập một cách hợp lý khoa
học trên cơ sở quá trình giáo viên hớng dẫn, có phải đây là một trong những lý
do phát huy TTCNT của học sinh ?
1.1.2. Vì sao phải phát huy TTCNT của học sinh ?
Trong quá trình dạy học, TTCNT của học sinh không chỉ tồn tại nh một
trạng thái, một điều kiện, mà nó còn là kết quả của quá trình hoạt động nhận
thức, là mục đích của quá trình dạy học, chỉ có quá trình nhận thức tích cực
mới tạo cho học sinh có tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, hình thành ở học sinh tính
độc lập sáng tạo và nhạy bén khi giải quyết các vấn đề trong học tập cũng nh
thực tiễn.
Hiện nay và trong tơng lai xã hội loài ngời đang và sẽ phát triển tới một
hình mẫu ''Xã hội có sự thống trị của kiến thức'' dới tác động của sự bùng nổ
về khoa học và công nghệ cùng nhiều yếu tố khác. Để có thể tồn tại và phát
triển trong một xã hội nh vậy, con ngời phải có khả năng chiếm lĩnh sử dụng
tri thức một cách độc lập sáng tạo. Hiệu quả lĩnh hội tri thức không phải chỉ là
ở chỗ tri giác và giữ lại thông tin mà còn ở chỗ cải biến các kết quả thông tin
10
TtCnT
ấy. Điều này đòi hỏi học sinh phải hoạt động tích cực, tìm tòi khám phá những
khâu còn thiếu trong thông tin đã tiếp thu đợc, cải biến nó thành cái có nghĩa
đối với mình.
Phát huy TTCNT của học sinh và tăng cờng hoạt động trí tuệ độc lập của

học sinh trong quá trình thu nhận tri thức rèn luyện kỹ năng kỹ xảo. Tích cực
hóa việc dạy học không phải chỉ có giá trị về mặt kết quả trí dục mà còn đặc
biệt quan trọng về mặt giáo dục, nó ảnh hởng đến việc hình thành nhân cách
của học sinh. Phát huy TTCNT trong học tập của học sinh có tác dụng phát
triển những đức tính quý giá nh tính mục đích, lòng ham hiểu biết, tính kiên
trì, óc phê phán Những phẩm chất cá nhân này trở thành những yếu tố kích
thích bên trong điều chỉnh hoạt động nhận thức của học sinh đó là những điều
kiện hết sức quan trọng giúp cho việc học tập đạt kết quả tốt.
Quán triệt tinh thần đó việc vận dụng phơng pháp dạy học hiện đại vào
dạy học môn Toán đòi hỏi phải tích cực hóa hoạt động nhận thức của học sinh
nhằm hình thành cho học sinh t duy tích cực độc lập và sáng tạo, nâng cao
năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề trên cơ sở những kiến thức toán học đ-
ợc tích lũy có hệ thống. Để khai thác hết năng lực học tập của học sinh, việc
tổ chức quá trình dạy học phải theo đúng con đờng nhận thức khách quan ''từ
trực quan sinh động đến t duy trừu tợng và từ t duy trừu tợng đến thực tiễn'' mà điều
quan trọng nhất là học sinh hứng thú tự giác tham gia vào quá trình học tập và
chỉ có thế mới đảm bảo cho quá trình học tập đạt kết quả cao. Vậy trong học
tập TTCNT có các cấp độ nào ?
1.1.3. Các cấp độ của TTCNT
Trong tác phẩm ''Giáo dục học trờng phổ thông'' G.L.Sukina, đã chia trong
học tập TTCNT có ba cấp độ từ thấp đến cao:
a) Tính tích cực bắt chớc, chấp nhận và tái hiện:
Học sinh bắt chớc và tái hiện đợc các kiến thức đã học, thực hiện đợc các
thao tác kỹ năng mà giáo viên đã nêu ra. TTCNT ở đây xuất hiện do tác động
11
bên ngoài nh yêu cầu bắt buộc của giáo viên, thờng thấy ở học sinh có năng
lực nhận thức ở mức độ dới trung bình và trung bình.
b) Tính tích cực tìm tòi áp dụng:
Học sinh độc lập giải quyết các tình huống học tập nh quá trình lĩnh hội
khái niệm, định lý, bài toán với sự tham gia của động cơ nhu cầu hứng thú

và ý chí của học sinh. Tính tích cực ở đây không bị hạn chế trong khuôn khổ
những yêu cầu của giáo viên trong giờ học mà hoàn toàn tự phát trong quá
trình nhận thức, thấy ở học sinh có năng lực nhận thức trên trung bình và khá.
c) Tính tích cực sáng tạo :
Thể hiện ở chỗ trong học tập học sinh tự mình cũng có thể tìm ra đợc nhữ-
ng cách giải quyết mới, độc đáo hữu hiệu hay thực hiện tốt các yêu cầu hành
động do giáo viên đa ra mà không cần sự giúp đỡ của giáo viên. Loại này th-
ờng thấy ở học sinh có năng lực nhận thức ở mức độ giỏi, học sinh năng
khiếu.
Các phân loại trên, giúp giáo viên đánh giá đợc mức độ TTCNT của học
sinh theo mặt bằng chung của cả lớp. Tuy nhiên nó còn rất khái quát, muốn
đánh giá đúng mức độ TTCNT của học sinh, giáo viên còn phải căn cứ vào
các mặt biểu hiện TTCNT của học sinh.
1.1.3.1. Các mặt biểu hiện TTCNT của học sinh
a) Biểu hiện về mặt hoạt động nhận thức:
TTCNT của học sinh thể hiện ở mặt thao tác t duy, ngôn ngữ, sự quan sát,
ghi nhớ, t duy hình thành khái niệm, phơng thức hành động, hình thành kỹ
năng, kỹ xảo, các câu hỏi nhận thức của học sinh, giải đáp các câu hỏi do giáo
viên đa ra nhanh chóng chính xác, sự khát khao học hỏi, biết nhận rõ đúng sai
khi bạn đa ra ý kiến, hoài nghi, phê phán và xác lập các quan hệ giúp ích cho
hoạt động nhận thức.
b) Biểu hiện về mặt cảm xúc, tình cảm:
12
Hay nêu thắc mắc, đòi hỏi giải thích cặn kẽ, những vấn đề cha đủ rõ, thể
hiện sự đam mê, sự sốt sắng, hăng hái thực hiện yêu cầu mà giáo viên đặt ra,
bổ sung các câu trả lời của bạn, thích phát biểu ý kiến của mình trớc vấn đề
nêu ra.
c) Biểu hiện về mặt động cơ ý chí:
Tập trung chú ý vào vấn đề đang học, có nhu cầu hứng thú học tập có ý
chí và quyết tâm kiên trì, hoàn thành các bài tập, không nản trớc những tình

huống khó khăn.
d) Biểu hiện về kết quả nhận thức:
Lĩnh hội kiến thức một cách nhanh chóng chính xác, chủ động vận dụng
kiến thức, kỹ năng đã học để nhận thức vấn đề mới, kết quả học tập sau một
tiết học, một chơng
Để có đợc phong cách học tập tích cực trong nhận thức, học sinh phải thật
sự tự giác, chủ động học tập. Tích cực hóa gắn liền động cơ hóa, với sự kích
thích hứng thú, với ý thức trách nhiệm học tập, ý thức về sự giáo dục của
chính mình.
1.1.3.2. Đặc trng cơ bản của t tởng TTCNT của học sinh
T tởng này là một trong những biểu hiện của sự phát triển lý luận và thực
tiễn giáo dục hiện nay. Nhấn mạnh vai trò trung tâm của học sinh và đồng thời
chỉ rõ vai trò của ngời giáo viên trong toàn bộ quá trình dạy học. Lấy học sinh
làm trung tâm là một thể hiện cơ bản của tính nhân văn, cũng nh một khẳng
định dứt khoát về vị trí trung tâm hoạt động của học sinh. Vì vậy, có thể nói
đặc trng cơ bản của t tởng TTCNT của học sinh là:
a) Tính nhân văn:
Đợc thể hiện ở sự thừa nhận và tôn trọng nhu cầu, lợi ích, mục đích và
những kinh nghiệm của cá nhân học sinh, cố gắng tạo điều kiện để học sinh tự
''hình thành và phát triển'' theo tiềm lực và khả năng của bản thân.
b) Tính hoạt động:
13
Thể hiện sự tối đa hóa các hoạt động của học sinh với phơng thức chỉ đạo
là: tự phát triển, tự thực hiện, tự kiểm tra và đánh giá quá trình hoạt động nhận
thức của bản thân. Qua đó, hình thành và phát triển t duy độc lập sáng tạo của
mỗi cá nhân học sinh.
c) Vai trò của giáo viên:
Phong phú mềm mại, sáng tạo và có trách nhiệm, có nghĩa là giáo viên
không những truyền thụ tri thức, những sản phẩm sẵn có mà cần phải thiết kế,
tổ chức điều khiển, ủy thác, thể chế hóa, đánh giá hoạt động tự lực nhận thức

của ngời học sinh, nhằm hình thành cho học sinh thái độ năng lực phơng pháp
học tập và ý chí học tập từ đó tự khám phá ra những tri thức mới, đợc cụ thể
hóa ở các vai trò:
*) Vai trò thiết kế:
Một giờ dạy muốn thành công phải có sự thiết kế chặt chẽ về các biện
pháp phơng thức cấu trúc lôgic giờ học, lập kế hoạch chuẩn bị quá trình dạy học
cả về các mặt: mục đích, nội dung, phơng pháp, phơng tiện, tổ chức, đánh giá.
Việc thiết kế tốt, phù hợp sẽ làm cho bài giảng luôn diễn ra trong sự kích thích
tởng tợng, tò mò và say mê tìm tòi cái mới đảm bảo cho giờ dạy có kết quả .
*) Vai trò tổ chức:
Tổ chức một môi trờng học tập cho mỗi học sinh có cơ hội bộc lộ tối đa
khả năng tạo điều kiện thuận lợi cho phát huy tính tích cực học tập nhằm hình
thành năng lực ý chí phơng pháp học tập, từ đó tự khám phá những tri thức
mới, ý thức đợc nhiệm vụ của mình trong giờ học, thông qua các tranh luận
tìm tòi tổng hợp tự mình phát huy đợc năng lực trí tuệ đi đến chân lý, bằng
con đờng này sẽ làm các em nhớ lâu hơn, hiểu kỹ hơn về các kiến thức đó.
*) Vai trò ủy thác:
Đây không phải là bắt trò học tập theo ý của giáo viên mà phải làm sao
cho học sinh tự giác biến ý đồ dạy của giáo viên thành nhiệm vụ của bản thân,
đảm nhận quá trình họat động để kiến tạo tri thức, tức là hoạt động của thầy
14
nhằm chuyển giao ý đồ s phạm, ý đồ dạy học sang ý đồ nhận thức của học
sinh. Học sinh nhận thấy đợc mong muốn giải quyết vấn đề thầy dặt ra nhờ
các hoạt động t duy, tích cực, độc lập, sáng tạo. ở khâu này giáo viên làm
công việc ngợc lại với nhà nghiên cứu: hoàn cảnh lại, thời gian hóa lại và cá
nhân hóa lại tri thức, học sinh tự mình đảm nhận lại quá trình giải quyết vấn
đề sao cho hoạt động của học sinh gần giống với hoạt động của nhà nghiên
cứu, nhờ những lý do này mà học sinh phát huy cao độ TTCNT của thân.
*) Vai trò thể chế hóa:
Là xem xét những vấn đề học sinh tìm đợc là đúng hay sai, nếu sai thì

phân tích sữa chữa sai lầm, nếu đúng thì ghi nhận cho học sinh đã chiếm lĩnh
đợc tri thức và giáo viên phải trả lại vị trí của tri thức đó trong chơng trình,
mối liên hệ của nó đối với các tri thức khác.
*) Vai trò đánh giá:
Thái độ trân trọng của giáo viên đối với mỗi sự tìm tòi mới mẻ của học
sinh có một tác động mạnh mẽ đến hứng thú của các em việc đánh giá cao sự
sáng tạo sẽ thúc đẩy năng lực học tập tính tích cực học tập của học sinh. Muốn
vậy giáo viên cần tạo cho mình vốn kiến thức đủ để nhận ra nét độc đáo trong
suy nghĩ của học sinh để có thể đánh giá đúng giá trị của sự tìm tòi học sinh,
học sinh sẽ có phản ứng tiêu cực nếu bản thân sự đánh giá của giáo viên cha
thực làm học sinh thỏa đáng, sự nhìn nhận khách quan chính xác của giáo viên
tạo đợc lòng tin của học sinh, từ đó phát huy tính sáng tạo của học sinh qua
sự tích cực hóa hoạt động học tập.
Vậy các vai trò của giáo viên là làm sao giúp học sinh học tập một cách
hiệu quả, thúc đẩy học sinh tự giác học tập phát huy cao độ TTCNT của bản
thân, qua đó học sinh hiểu đợc kiến thức tìm ra là một tri thức chung của nhân
loại và giáo viên chính thức chấp nhận kết quả đạt đợc của học sinh.
Nhng thực tế dạy học ở trờng phổ thông cho thấy, đâu đó trong cách dạy
học vẫn cha phát huy đầy đủ đợc TTCNT của học sinh. Do vậy, cần thiết dựa
15
trên một số biểu hiện về TTCNT trong học tập môn Toán từ đó hình thành và
phát triển TTCNT của học sinh là một trong những nhiệm vụ quan trọng của
ngời giáo viên.
1.1.4. Một số biểu hiện TTCNT của học sinh trong học tập môn Toán
1.1.4.1. Về ý thức, thái độ học tập
- TTCNT của HS đợc thể hiện ở nhu cầu hiểu biết kiến thức, khát vọng và
mong muốn đợc giải quyết các tình huống học tập mà giáo viên đa ra để
chiếm lĩnh đợc kiến thức mới, giải quyết đợc bài toán mới.
- TTCNT của học sinh còn đợc thể hiện ở sự hứng thú, niềm say mê lao
động trí tuệ, sự sốt sắng thực hiện, có tinh thần trách nhiệm đối với các yêu

cầu mà giáo viên đa ra khi lĩnh hội kiến thức mới.
1.1.4.2. Về hoạt động trí tuệ cao
-TTCNT của học sinh thể hiện trong quá trình lĩnh hội tài liệu học tập:
Đó là việc thực hiện đầy đủ các yêu cầu của giáo viên đa ra, tích cực họat
động trí tuệ, thực hiện các thao tác t duy ( phân tích, tổng hợp so sánh, trừu t-
ợng hóa, khái quát hóa,), nhanh chóng phát hiện dấu hiệu bản chất của các
kiến thức và tìm ra đợc nhiều con đờng giải quyết các tình huống do giáo viên
đa ra trong quá trình dạy học.
-TTCNT của học sinh thể hiện ở sự ghi nhớ vận dụng kiến thức: Đó là sự
tái hiện nhanh chóng các kiến thức mới trong các trờng hợp cụ thể, biết khái
quát hóa, hệ thống hóa các kiến thức đã học, biết vận dụng các kiến thức đã
học trong các trờng hợp cụ thể.
-TTCNT của học sinh thể hiện ở sự kiểm tra đánh giá: Đó là sự đánh giá
đúng mức công việc mà bản thân đã làm, nhanh chóng phát hiện và sửa chữa
sai lầm mắc phải trong quá trình hình thành khái niệm cũng nh vận dụng khái
niệm.
Trên đây là những biểu hiện TTCNT của học sinh trong quá trình chiếm
lĩnh kiến thức, giáo viên khi dựa vào những biểu hiện này có thể định hớng
16
cho việc phát huy TTCNT của học sinh nhằm nâng cao hiệu quả dạy học môn
Toán nói chung, chủ đề Giới hạn nói riêng.
1.1.4.3. Điều kiện phát huy TTCNT của học sinh trong dạy học
Muốn phát huy TTCNT của học sinh, giáo viên cần phải tổ chức môi tr-
ờng học tập đảm bảo : Tính sẵn sàng học tập và tính hoạt đông cao.
a) Tính sẵn sàng học tập: Gồm có hai thành tố cơ bản:
+ Khả năng học tập khi đứng trớc một kiến thức nào đó (hình thành và vận
dụng kiến thức);
+ Chủ định đối với kiến thức và môi trờng học tập (có động cơ, hứng thú,
ý chí học tập).
Thiếu một mặt nào trong hai yếu tố trên đây cũng đều ảnh hởng đến tính

sẵn sàng học tập:
+ Có khả năng mà thiếu chủ định thì học sinh không sẵn sàng học tập, vì
không muốn hoạt động;
+ Có chủ định mà thiếu khả năng thì học sinh cũng không sẵn sàng học
tập, vì không biết hoạt động.
Vì vậy, giáo viên cần phải tổ chức môi trờng học tập, xây dựng những
biện pháp s phạm thích hợp làm cho việc dạy học phù hợp với khả năng học
tập của học sinh, đồng thời tạo đợc động cơ, gây hứng thú, ý chí học tập của
học sinh,thì mới phát huy đợc TTCNT của học sinh.
b) Tính hoạt động cao: Thể hiện ở nội dung dạy học và phải dựa trên những
tiêu chuẩn sau:
+ Mỗi hoạt động của giáo viên và học sinh đợc xác định cụ thể, rõ ràng, có
thể nhận thức đợc, cảm nhận đợc, hình dung đợc.
+ Nội dung dạy học chứa đựng những liên hệ phù hợp để đảm bảo các
quan hệ và hoạt động của thầy và trò đều hớng vào tổ chức và kích thích hành
động học sinh, tức là nội dung dạy học phải xây dựng đợc dới dạng những tình
huống có vấn đề.
17
Vậy để bảm bảo đợc tính hoạt động cao trong dạy học, ngời giáo viên cần
phải lựa chọn nội dung dạy học đáp ứng đợc hai tiêu chuẩn trên và tổ chức
môi trờng học tập, xây dựng những biện pháp thích hợp từ đó xác định thiết kế
xây dựng phơng thức dạy học sao cho kích thích tính chủ động, tự quyết, khả
năng tự thể hiện, đánh giá,trong học tập, phát triển những cơ hội học tập,
động cơ học tập, xây dựng mối quan hệ tơng tác giữa giáo viên và học sinh,
học sinh và học sinh.
1.1.5. Các phơng thức s phạm nhằm phát huy TTCNT của học sinh
trong dạy học nội dung chủ đề Giới hạn
1.1.5.1. Những phơng hớng phát huy TTCNT của học sinh trong dạy
học
Để phát huy TTCNT của học sinh là một trong những nhiệm vụ chủ yếu

của ngời giáo viên trong quá trình dạy học. Vì vậy, nó luôn là trung tâm chú ý
của lý luận và thực tiễn dạy học. Từ thời cổ đại các nhà s phạm tiền bối nh
Khổng tử, Aristotđã từng nói đến tầm quan trọng to lớn của việc phát huy
TTCNT của học sinh và đã có những định hớng và biện pháp để phát huy
TTCNT của học sinh.
J. A. Komenxki nhà s phạm lỗi lạc của thế kỷ XVII đã đa ra những định h-
ớng, biện pháp dạy học là bắt học sinh phải tìm tòi, suy nghĩ để tự nắm đợc bản
chất của sự vật hiện tợng.
J. J. Ruxô cũng cho rằng, phải hớng học sinh tích cực tự giành lấy kiến
thức bằng cách tìm kiếm, khám phá và sáng tạo.
A. Distecvec thì cho rằng, ngời giáo viên tồi là ngời cung cấp cho học sinh
chân lý, ngời giáo viên giỏi là ngời dạy cho học sinh tự tìm ra chân lý.
K. D. Usinxki nhấn mạnh tầm quan trọng của việc điều khiển, dẫn dắt học
sinh của các giáo viên.
Trong thế kỷ IX, các nhà giáo dục Cổ, Kim, Đông, Tây, đã trao đổi bàn
luận để tìm kiếm con đờng nhằm phát huy TTCNT của học sinh trong dạy
18
học. Chúng ta thờng kể đến t tởng các nhà giáo dục nổi tiếng nh: B.P.Êxipôp,
M.A.Danilôp, M.N.Xcatkin, I.F.Kharlamôp, I.I.Xamôva (Liên Xô), Okon (Ba
Lan), Skinner (Mĩ)
ở Việt Nam các nhà lý luận dạy học cũng đã viết nhiều về phát huy
TTCNT của học sinh nh: GS. Hà Thế Ngữ, GS. Nguyễn Quang Ngọc, GS.
Đặng Vũ Hoạt , mà cụ thể GS. Đặng Vũ Hoạt đã nêu lên 6 định hớng là:
i) Giáo dục động cơ, thái độ học tập, trên cơ sở thấm nhuần mục đích học tập,
động viên khuyến khích kịp thời dựa vào tính tự nguyện của học sinh;
ii) Thực hiện dạy học nêu vấn đề là định hớng, phơng pháp cơ bản nhất;
iii) Tiến hành so sánh các sự vật, hiện tợng, tiến hành hệ thống hóa, khái quát
hóa tri thức;
iv) Vận dụng tri thức vào nhiều hoàn cảnh khác nhau, giải quyết các vấn đề
bằng nhiều cách khác nhau;

v) Gắn liền lý luận với thực tiễn, khai thác vốn sống của học sinh;
vi) Phát triển ý thức tự kiểm tra, tự đánh giá của học sinh.
Từ những phơng hớng chung đó, cần phải có những định hớng phơng thức
s phạm thích hợp để phát huy TTCNT của học sinh trong dạy học đặc thù
môn toán.
1.1.5.2. Một số định hớng và phơng pháp để phát huy TTCNT của học
sinh trong dạy học môn Toán
Trong quá trình dạy học phải tạo đợc động cơ hứng thú để học sinh có cơ
hội phát huy tính chủ động độc lập tự giác chiếm lĩnh kiến thức, ta có thể tổng
quan về một số định hớng biện pháp s phạm thích hợp nhằm phát huy TTCNT
của học sinh trong quá trình dạy học theo đặc thù môn Toán:
i) Kiến thức bài dạy làm sao có đợc tính kế thừa phát triển trên kiến thức đã học,
sự liên hệ với thực tiễn, gần gũi với cuộc sống, với suy nghĩ hằng ngày, thỏa mãn nhu
cầu nhận thức của học sinh;
19
ii) Sử dụng các phơng tiện dạy học, dụng cụ trực quan có tác dụng tốt trong việc
kích thích hứng thú phát huy TTCNT của học sinh;
iii) Xây dựng, sắp xếp, bổ sung và khai thác các ví dụ và phản ví dụ trong quá
trình dạy học;
iv) Phát triển khả năng chuyển đổi ngôn ngữ thờng sang ngôn ngữ Toán học, khả
năng thực hiện các thao tác t duy cơ bản;
v) Lập và sử dụng các bảng tổng kết, biểu đồ, sơ đồ thích hợp để làm rõ nguồn
gốc và mối liên kết logic của các kiến thức trong quá trình dạy học;
vi) Lựa chọn và sử dụng một cách hợp lý hệ thống các bài tập và sử dụng khai
thác các tình huống dễ mắc sai lầm. Để học sinh tự kiểm tra, khắc phục các khó khăn
và sửa chữa những sai lầm thờng gặp trong quá trình lĩnh hội kiến thức.
1.1.5.3. Các phơng thức s phạm nhằm phát huy TTCNT của học sinh
trong dạy học về khái niệm Giới hạn
Ta đã biết nắm vững đợc hệ thống khái niệm Giới hạn thì học sinh có khả
năng vận dụng vững chắc có hiệu quả các kiến thức về Giới hạn, đó là cơ sở

để học tốt về chủ đề Giới hạn nói chung, qua đó rèn luyện năng lực giải bài
tập toán của nội dung Giới hạn nói riêng.
Trớc hết ta cần xác định rõ mối liên hệ trong hoạt động nhận thức của học
sinh là: giáo viên hớng dẫn và kích thích TTCNT của trò rồi huy động các ph-
ơng pháp phơng thức s phạm tác động vào (chủ thể) học sinh, từ đó học sinh
có nhu cầu hiểu biết và huy động cao độ khả năng hớng tới tri giác tiếp đến biểu t-
ợng sau cùng (khách thể) khái niệm Giới hạn , cụ thể đợc minh họa theo sơ
đồ sau :
20
(Hình 1)
Nh vậy, quá trình phát huy tính tích cực hoạt động nhận thức của học
sinh không phải là quá trình đa thông tin vào học sinh theo định hớng một
chiều xem học sinh nh là cái máy thu thông tin thụ động, cụ thể ở đây bàn đến
dạy học về khái niệm Giới hạn qua thực hiện các phơng thức sau:
Ph ơng thức 1: Xác định rõ các cách xây dựng khái niệm Giới hạn.
Trớc hết hiểu rõ, xác định đúng đợc cách xây dựng khái niệm Toán học là:
+ Mô tả không định nghĩa: Chẳng hạn nh việc định nghĩa giới hạn 0 của dãy
số là: ''dãy số (
n
U
; n = 1,2,3,) gọi là dần đến 0 hay có giới hạn 0 khi n

+

,
nếu
n
u
càng nhỏ khi n càng lớn, tức là nếu
n

u
có thể nhỏ bao nhiêu tùy ý miễn là
chọn n đủ lớn''.
+ Hay định nghĩa dới dạng kiến thiết qui nạp nh : Con đờng đi tới định
nghĩa giới hạn dãy theo ngôn ngữ "

,

" này là kiến thiết- qui nạp, từ việc
mô tả: ''Khi n càng lớn thì
n
U
càng bé và bé bao nhiêu cũng đợc'', đợc chuyển
qua ngôn ngữ "

,

" bằng cách chọn miền giá trị

cụ thể để tiến tới khái
quát hóa cho mọi

, (đặc biệt cần sự giúp đỡ trực quan của trục số) là: ''ta nói
rằng dãy số thực
n
U
có giới hạn là L (L

R), khi n

+

nếu với mọi số dơng

cho trớc( nhỏ tuỳ ý) tồn tại một số tự nhiên
)(

N
, sao cho với mọi n >
)(

N
thì
LU
n

<

''.
+ Hoặc đợc định nghĩa dới dạng suy diễn nh : Khái niệm giới hạn L

0 đợc
định nghĩa theo con đờng suy diễn (nghĩa là trình bày phát biểu ngay định nghĩa,
Giáo viên
Phát huy
TTCNT
H ớng dẫn
Sử dụng
các ph ơng
thức s

phạm
(Chủ thể)
Học sinh
Có nhu
cầu hiểu
biết
Huy
động cao
độ khả
năng
(Khách thể)
Khái niệm
Giới hạn
Biểu t ợng
Tri giác
21
sau đó trình bày ví dụ củng cố ), trên cơ sở giới hạn 0 đã đợc định nghĩa nh :
+n
lim
u
n
= L, (L

R )


+n
lim
( u
n

L) = 0.
+ Đặc biệt chú ý tới cấu trúc của định nghĩa mà mệnh đề nêu lên có tính
chất đặc trng của khái niệm là cấu trúc tuyển hay cấu trúc hội:
*) Đối với định nghĩa có cấu trúc hội: A(x)

P
1
(x)

P
2
(x)

P
n
(x), đ-
ợc xây dựng sao cho đối tợng : x

A(x)

x

P
1
(x)

P
2
(x)

P
n
(x).
*) Đối với định nghĩa có cấu trúc tuyển: A(x)

P
1
(x)

P
2
(x)

P
n
(x),
cũng đợc xây dựng sao cho đối tợng: x

A(x)

x

P
1
(x)

P
2
(x)

P
n
(x).
Loại cấu trúc tuyển hay hội thờng đợc dùng định nghĩa tính liên tục hoặc gián
đoạn của hàm số.
Ph ơng thức 2 : Tìm hiểu các định nghĩa khác nhau của cùng một khái niệm
Giới hạn .
Từ cách tìm hiểu các định nghĩa khác nhau của cùng một khái niệm sẽ thấy
đợc tính s phạm của mỗi cách định nghĩa, khi đó có biện pháp thích hợp với
mỗi loại đối tợng, làm sao cho học sinh hiểu các tính chất đặc trng, nhận dạng
khái niệm, đồng thời biết thể hiện chính xác, biết vận dụng khái niệm trong
những tình huống cụ thể vào giải toán cũng nh ứng dụng thực tiễn.
Với nội dung chủ đề Giới hạn khi học về các khái niệm có nhiều định nghĩa
đợc phát biểu dới các dạng khác nhau của cùng một khái niệm, chẳng hạn :
+ Định nghĩa Giới hạn của dãy số có thể trình bày theo cách mô tả
hoặc dùng ngôn ngữ
)(
,


N
.
+ Định nghĩa Giới hạn của hàm số có thể thông qua dãyhoặc là

,
.
Ph ơng thức 3 : Làm nảy sinh nhu cầu nhận thức về khái niệm Giới hạn của học
sinh.
Để làm nảy sinh nhu cầu nhận thức khái niệm Giới hạn của học sinh ta cần liên hệ với thực
tiễn ví dụ nh chiều cao của con ngời có giới hạn dù tuổi có nhiều đi bao nhiêu nữa. Hoặc trong

dạy học xây dựng phơng tiện trực quan tợng trng (mô hình, hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, biểu bảng,)
làm chỗ dựa trực giác. Xây dựng hệ thống phản ví dụ và ví dụ gắn liền với ứng dụng thực tiễn,
22
kết hợp với các phơng tiện trực quan tổ chức cho học sinh hình dung đợc nội dung khái niệm,
phát hiện dấu hiệu bản chất của khái niệm từ đó khái quát hình thành khái niệm, chẳng hạn ta
xét bài toán của thực tiễn đặt ra, nh sau:
Bài toán 1: Theo dự đoán tỉ lệ tuổi thọ con ngời của một nớc đang phát
triển, sau x năm kể từ bây giờ là : T(x) =
52
236138
+
+
x
x
năm . Hỏi tuổi thọ của con
ngời sẽ đạt đợc tới mức giới hạn là bao nhiêu ? .
Bài toán 2: Nhu cầu mỗi tháng đối với một sản phẩm mới hiện nay là 195
tấn. Nhà quản lí của xí nghiệp đa ra một dự đoán rằng sau x năm kể từ bây giời
nhu cầu hàng tháng cho sản phẩm sẽ là : S(x) =
9
95259
2
2
+
+
x
x
tấn . Hỏi nhu cầu đối
với sản phẩm này hàng tháng sẽ đạt tới mức giới hạn nào sau một khoảng thời
gian thật dài ?.

Bài toán 3 : Một bệnh truyền nhiễm lây lan qua đờng hô hấp nếu không có
thuốc tiêm phòng . Mặc dù không quá nguy hiểm, nếu ai bị nhiễm bệnh sẽ trở
thành ngời mang mầm bệnh. Các nhân viên dự phòng y tế cho rằng sau x tháng
kể từ bây giời số phần trăm ngời mang bệnh sẽ là : B(x) =
186
2795
2
2
+
+
x
x
Hỏi cuối
cùng số ngời mang mầm bệnh sẽ là bao nhiêu ? .
Từ đó tạo điều kiện tốt nhất, hiệu quả nhất để học sinh tự khám phá kiến
thức, tự giải quyết các vấn đề của thực tiễn đặt ra.
Ph ơng thức 4 : Tìm hiểu sự phân chia khái niệm, sơ đồ hóa các khái niệm Giới
hạn có liên hệ với nhau, giúp học sinh tiếp thu đợc bản chất kiến thức.
Do các tri thức trong chủ đề giới hạn có mối quan hệ tơng quan hỗ trợ lẫn nhau nên việc hệ
thống, phân chia khái niệm liên hệ với nhau là việc làm rất cần thiết để dạy học đạt hiệu quả.
Khi hệ thống hóa kiến thức cần chỉ cho học sinh những mối liên hệ chính yếu của các tri thức
toán, đặc biệt chú ý dùng sơ đồ biểu diễn các mối liên hệ giữa các kiến thức. Qua tìm hiểu sự
phân chia sơ đồ hóa các khái niệm tập cho học sinh thói quen tìm hiểu sâu sắc, tiếp thu đợc
bản chất của kiến thứcgiúp học sinh hiểu bản chất mối quan hệ, hình dung ra bức tranh tổng
thể của khái niệm có liên hệ với nhau nh sau:
23
( Hình 2 )
Hình (2) là sơ đồ biểu thị mối liên hệ về giới hạn dãy số và giới hạn hàm số, các giới
hạn mở rộng của hàm số.

(Hình 3 )
hình (3) là sơ đồ biểu thị các mối liên hệ giữa giá trị của hàm số, khái niệm giới hạn
của hàm số, hàm số liên tục.
Giới hạn của
dãy số
Giới hạn của
hàm số
Giới
hạn
-
Giới hạn
trái tại
điểm
Giới hạn
phải tại
điểm
Giới
hạn
+
Xét hàm số f(x)
Tại x = a
Không tồn tại giới hạn: Tồn tại giới hạn:
f(x) không xác định tại af(x) xác định tại x = a
L = f(a)
L f(a)
f(x) liên tục
tại x= a
f (x) không liên tục tại x = a
( f ( x) gián đoạn tại x = a)
24

Hình (4)
Hình (4) là sơ đồ so sánh khái niệm giới hạn của hàm số và hàm số liên tục
Ph ơng thức 5: Tìm hiểu sự tiếp cận lịch sử phát triển Toán học về khái niệm
Giới hạn
Để kích thích học sinh hứng thú học tập, có thể nêu thêm lịch sử của các
khái niệm Toán học về Giới hạn ra đời khi nào, do ai nêu ra và ý nghĩa sau này
của khái niệm Giới hạn trong Toán học cũng nh trong đời sống, trong việc rèn
luyện t duy Toán học. Với việc dạy học nh vậy học sinh sẽ tiếp cận kiến thức
về khái niệm Giới hạn, xét về mặt nào đó, gần giống với việc nghiên cứu của
các nhà Toán học. Khi đó học sinh sẽ biết đợc từ đâu xuất hiện các kiến thức
Giới hạn, tạo cho học sinh không khí học tập nh tập dợt nghiên cứu khoa học,
từ đó lĩnh hội đợc kinh nghiệm lịch sử của Giới hạn không những giúp học
sinh nắm vững chắc kiến thức mà còn bồi dỡng nhân cách cho học sinh, đó là
sự giáo dục chứ không chỉ đơn thuần là việc dạy học.
Ngoài ra, nếu có điều kiện ta có thể sử dụng t liệu lịch sử Toán về khái niệm
giới hạn để gợi động cơ, hình thành, củng cố, khắc sâu khái niệm qua đó khơi
dậy phát huy TTCNT của học sinh trong các tiết dạy tự chọn, ôn luyện hay
ngoại khóa, chẳng hạn đa ra các bài toán thú vị sau:
f(x) có lim f(x) = L
xx
0
f(x) không xác định
tại x
0
f(x) xác định tại x
0
L f(x
0
) L = f(x
0

)
f(x) liên tục
tại x
0
25