Sáng kiến kinh nghiệm Rèn khả năng tư duy logic trong dạy học toán chứng minh

- 1 -
******************************************************************************
A. Më ®Çu
I. Cơ sở của đề tài
1. Cơ sở lí luận.
Trong cuộc sống hằng ngày, mỗi chúng ta ai cũng có sự so sánh, phán đoán, suy lý
trên cơ sở các ý niệm, khái niệm về hiện tượng sự vật xung quanh. Đó chính là tư
duy lôgic. Tư duy lôgic là suy nghĩ, lý trí một cách chính xác, lập luận có căn cứ.
Như vậy tính lôgic là bắt buộc đối với mọi khoa học.Và Toán học là một nghành
khoa học lí thuyết được phát triển trên cơ sở tuân thủ nghiêm ngặt các quy luật của
tư duy lôgic hình thức.Có nghĩa là khi xây dựng Toán học, người ta dùng suy diễn
lôgic, nói rõ hơn là phương pháp tiên đề. Theo phương pháp đó, xuất phát từ các
khái niệm nguyên thuỷ và các tiên đề rồi dùng các quy tắc lôgic để định nghĩa các
khái niệm khác và chứng minh các vấn đề khác. Vì thế Toán học được coi là " môn
thể thao của trí tuệ, giúp chúng ta nhiều trong việc rèn luyện phương pháp suy
nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp học tập, phương pháp giải quyết các
vấn đề, giúp chúng ta rèn luyện trí thông minh và sáng tạo"(Phạm Văn Đồng).
Bởi vậy, một trong những nhiệm vụ quan trọng bậc nhất của việc giảng dạy toán
học ở trường phổ thông đó là "Dạy suy nghĩ". Phải có sự suy nghĩ chính xác thì
mọi hoạt động mới mang lại hiệu quả như mong muốn được. Hoạt động học tập
môn toán lại càng cần đến sự suy nghĩ chính xác tối đa. Như vậy rèn luyện khả
năng tư duy lôgic cho học sinh trong quá trình dạy toán là một vấn đề tối thiểu cần
thiết và rất đáng để đầu tư công sức.
2. Cơ sở thực tiễn.
Khi trình bày môn Toán cấp THCS, do đặc điểm lứa tuổi và yêu cầu của cấp học
người ta có phần châm chước, nhân nhượng về tính lôgic. Cụ thể là : Mô tả(không
định nghĩa) một số khái niệm không phải là nguyên thuỷ, thừa nhận (không chứng
minh ) một số mệnh đề không phải là tiên đề, hoặc chấp nhận một số chứng minh
chưa chặt chẽ. Tuy vậy, nhìn chung chương trình toán THCS vẫn mang tính lôgic,
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học

- 2 -
******************************************************************************
hệ thống: Tri thức trước chuẩn bị cho tri thức sau, kiến thức được sắp xếp như một
chuỗi mắt xích liên kết với nhau chặt chẽ. Bởi thế học sinh muốn lĩnh hội được các
kiến thức toán học thì phải có trình độ phát triển tư duy phù hợp với yêu cầu của
chương trình. Cụ thể là phải nhận thức được mối liên hệ lôgic giữa các mệnh đề
toán học, biết suy luận để tìm ra những tính chất mới từ những tính chất đã biết,
vận dụng các kiến thức đó để giải các bài tập đa dạng. Như vậy, rõ ràng học sinh
phải biết phân tích cấu trúc của các định nghĩa khái niệm, các mệnh đề, biết vận
dụng kiến thức thông qua việc sử dụng các quy tắc suy luận lôgic mà trong sách
giáo khoa lại thể hiện dưới dạng không tường minh. Bằng chứng cụ thể là trong
chương trình toán ở trường THCS rất nhiều kí hiệu và ngôn ngữ lôgic toán đã được
đưa vào sử dụng(Chẳng hạn:
,,,,, ≡⇔⇐⇒∃∀
, mệnh đề đảo, phản đảo, mệnh đề
phủ định, chứng minh phản chứng ), tuy nhiên vì lí do sư phạm, trong chương
trình không có chương nào, thậm chí không có bài nào dạy riêng về vấn đề lôgic
học. Các kí hiệu và ngôn ngữ lôgic, liên từ lôgic được giới thiệu và hình thành dần
dần trong quá trình học tập các phần kiến thức liên quan.(Khi nào cần đến chúng
thì giới thiệu, cung cấp và hướng dẫn sử dụng). Các phương pháp suy luận, chứng
minh, các quy tắc kết luận lôgic thông thường chỉ được hình thành một cách
"ngấm ngầm " thông qua hàng loạt những hoạt động cụ thể ăn khớp với chúng
trong quá trình học tập bộ môn
Do đó, trong điều kiện tôn trọng nội dung sách giáo khoa và kế hoạch dạy học đã
quy định hiện hành, đồng thời để đảm bảo tính vừa sức với đối tượng học sinh
THCS, muốn cho học sinh học toán có hiệu quả thì người thầy giáo dạy toán phải
khéo léo dạy cho học sinh cách tư duy lôgic. Khả năng tư duy lôgic không chỉ là
cái đích cần đạt mà còn là phương tiện giúp học sinh học tốt môn toán. Tuy nhiên,
như đã trình bày, vì kiến thức về lôgic học chỉ "chạy ngầm " trong sách giáo khoa
nên mặc dù cả thầy và trò đều sử dụng đến một cách thường xuyên nhưng vì

không nhấn mạnh, không làm "nổi " lên do đó chưa đọng lại trong trí óc các em và
cũng chưa hình thành được thói quen sử dụng và rèn luyện nó.
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 3 -
******************************************************************************
Nhận thức rõ vai trò to lớn, tầm quan trọng hàng đầu của tư duy lôgic đối với
hiệu quả học tập môn toán của học sinh phổ thông nói chung, học sinh THCS nói
riêng nên trong quá trình dạy học môn Toán đặc biệt là loại toán chứng minh, tôi
luôn để ý đến khả năng tư duy lôgic của các em và so sánh các cách làm khác nhau
của giáo viên tác động như thế nào đến khả năng ấy. Tôi đã phát hiện ra rằng khi
học loại toán chứng minh đòi hỏi các em phải có kỹ năng tư duy lôgic chặt chẽ và
đó cũng là môi trường thuận lợi để rèn luyện tốt kỹ năng này cho các em . Vì vậy,
tôi chọn lựa đề tài " Rèn luyện khả năng tư duy lôgic cho học sinh THCS thông
qua dạy học chứng minh toán học".
II. Lịch sử của đề tài.
Trong quá trình giảng dạy môn Toán cấp THCS hơn 10 năm qua và cả trong
quá trình tự học, tự rèn bản thân, tôi thường xuyên quan sát, tìm hiểu những khó
khăn, vướng mắc của học sinh cũng như của bản thân mình trong việc nâng cao
năng lực tư duy toán học. Dưới sự giúp đỡ của các đồng nghiệp và sự nỗ lực không
ngừng của bản thân tôi đã gặt hái được kết quả đáng mừng trong việc rèn luyện khả
năng tư duy toán học cho đối tượng học sinh THCS thuộc các lớp mà tôi đã giảng
dạy ở trường mình thông qua loại toán chứng minh. Những kết quả thu được báo
hiệu phương pháp thực hiện mang tính khả thi cao nên tôi mạnh dạn hoàn thành
bản sáng kiến kinh nghiệm này.
III. Mục đích - nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu.
1. Mục đích:
Tôi chọn đề tài này nhằm góp thêm một hướng đi, một cách làm có hiệu quả
đối với nhiệm vụ rèn luyện cho học sinh kỹ năng tư duy lôgic nói chung, kỹ năng
tư duy lôgic toán học nói riêng thông qua loại toán chứng minh ở THCS. Đồng

thời với cách làm này khi học sinh có được khả năng tư duy lôgic tốt thì càng góp
phần kích thích sự hứng thú và làm tăng lòng say mê môn Toán ở các em.
2. Nhiệm vụ:
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 4 -
******************************************************************************
2.1. Nghiên cứu về mặt lý luận các khái niệm liên quan đến khả năng tư
duy lôgic, tư duy lôgic toán học.
2.2. Tìm hiểu thực trạng về khả năng tư duy lôgic toán học trong học sinh
THCS.
2.3. Tìm hiểu mối quan hệ giữa khả năng tư duy lôgic và kết quả học tập
môn Toán ở học sinh THCS.
2.4. Tìm hiểu cơ chế hình thành và phát triển kỹ năng tư duy lôgic toán học
trong học tập môn Toán.
2.5. Nghiên cứu nội dung, mục tiêu, chuẩn chương trình sách giáo khoa và
đặc biệt quan tâm đến nội dung dạy học môn Toán mà trong đó ẩn chứa nhiều
nhất khả năng phát triển tốt tư duy lôgic toán học cho học sinh. Thu thập, phân
tích, tổng hợp và tiến hành thể nghiệm các biện pháp trên đối tượng học sinh
THCS tại các lớp mình giảng dạy
2.6. Phân tích những thành công, thất bại và nguyên nhân của những thành
công thất bại đó từ đó rút kinh nghiệm, lựa chọn và cải tạo các biện pháp hình
thành và phát triển khả năng tư duy lôgic toán học cho học sinh sao cho hiệu quả
nhất.
3. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài này được hoàn thành bằng phương pháp nghiên cứu lí luận, phương
pháp tổng kết kinh nghiệm, phương pháp thực nghiệm sư phạm trên đối tượng
học sinh THCS trong khi học loại toán chứng minh.
IV. Phạm vi nghiên cứu.
Như đã trình bày ở trên, lôgic nội tại của toán học là lôgic hình thức và mối

quan hệ giữa khả năng tư duy lôgic và hiệu quả học tập môn Toán là hai vấn đề
có mối quan hệ biện chứng với nhau. Để học tốt môn Toán người học phải có khả
năng nhất định về tư duy lôgic. Ngược lại khả năng tư duy lôgic được hình thành
và phát triển tốt hơn trong học tập môn Toán. Vì thế, việc hình thành khả năng tư
duy lôgic cho học sinh là một quá trình lâu dài, đòi hỏi sự quan tâm ngay từ đầu
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 5 -
******************************************************************************
và duy trì bền bỉ trong suốt cả quá trình dạy học chương trình Toán THCS. Mọi
bài toán, mọi đối tượng toán học đều ẩn chứa trong đó yếu tố lôgic học. Vì vậy
trong mọi giờ học toán dù chính khoá hay ngoại khoá, dù dạy kiến thức mới hay
luyện tập, ôn tập, dù với đối tượng học sinh khá giỏi hay yếu kém đều có thể thực
hiện được vấn đề rèn tư duy lôgic.Tuy nhiên để có điều kiện nghiên cứu sâu, tìm
hiểu kỹ thì trong đề tài này tôi tập trung nghiên cứu thể nghiệm chủ yếu trong
loại toán chứng minh. Bởi vì trong điều kiện này khả năng tư duy của các em
được bộc lộ rõ nhất và cũng thuận lợi cho việc kiểm tra kết quả thực nghiệm ở
một nội dung cụ thể nào đó. Để đảm bảo yêu cầu sư phạm và tính phổ dụng rộng
rãi của đề tài, các bài toán, các vấn đề được sử dụng trong đề tài mang tính vừa
sức với đối tượng học sinh THCS.
V. Đổi mới trong kết quả nghiên cứu.
Qua nghiên cứu và thử nghiệm nhiều năm trên nhiều đối tượng học sinh
THCS thuộc các lớp tôi đã giảng dạy cho thấy kết quả rất khả quan.
Trước một vấn đề , một bài toán đặt ra, học sinh bước đầu biết "cách suy nghĩ"
định hướng, lựa chọn phương pháp phù hợp . Khi tìm ra cách giải quyết vấn đề
các em đã tránh khỏi những sai lầm trong cách suy nghĩ cũng như khi trình bày
bài làm do khả năng tư duy lôgic được rèn luyện tốt. Từ đó, các em biết trình bày,
lập luận một cách chặt chẽ, hợp lý, ngắn gọn súc tích và đầy đủ. Qua đó hình
thành thói quen xem xét vấn đề ở các góc độ khác nhau theo các chiều hướng
khác nhau. Hơn thế nữa, khi khả năng tư duy lôgic của học sinh được nâng lên

cũng góp phần đáng kể trong việc hình thành các phương pháp học tập phù hợp
với các bộ môn khác kể cả năng lực tư duy lôgic trong đời sống hằng ngày.
B. Néi dung ®Ò tµi
I. Làm rõ các khái niệm.
1.Tư duy lôgic như đã nói ở trên là "chìa khoá" để tối ưu hoá khả năng phát
triển cá nhân và khả năng hoạch định công vịêc một cách có hiệu quả.
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 6 -
******************************************************************************
2. Chứng minh toán học là thao tác lôgic dùng để lập luận tính đúng đắn của
một phát biểu, một tính chất hay mệnh đề nào đó dựa trên những khái niệm,
những tính chất đã được coi là đúng khác mà chúng có mối liên hệ chặt chẽ với
nhau.
3. Rèn luyện khả năng tư duy lôgic trong học toán là rèn luyện khả năng linh
hoạt, sáng tạo trong suy nghĩ, khả năng phân tích, suy luận, chứng minh một tình
huống, một vấn đề toán học hoặc vấn đề thực tiễn chặt chẽ, từ đó đưa ra chọn lựa
hợp lý các phương án giải quyết một cách nhạy bén, sắc sảo, phù hợp và tối ưu
nhất.
II. Tìm hiểu thực trạng khả năng tư duy lôgic toán học của học sinh tại
trường THCS Anh Xuân nói riêng, học sinh THCS nói chung.
Trong mỗi giờ lên lớp ngay từ khi tiếp nhận giảng dạy đầu năm học tôi thường
xuyên quan tâm để ý đến các câu trả lời, cách phát biểu của các em trong mỗi vấn
đề, mỗi câu hỏi mà tôi nêu ra. Kết quả cho thấy ở đa số học sinh thể hiện rõ sự
non yếu, thiếu chặt chẽ trong các câu trả lời. Khi được yêu cầu phát biểu theo các
cách khác nhau cho cùng một vấn đề thì các em thật sự lúng túng. Các em thiếu
hẳn kỹ năng phân chia vấn đề để xem xét một cách đầy đủ các khả năng có thể
xảy ra . Đặc biệt là khâu trình bày tự luận ở các bài toán đòi hỏi suy luận, chứng
minh cho thấy học sinh vấp phải nhiều sai lầm mà nguyên nhân chủ yếu là do khả
năng tư duy lôgic toán học còn non kém.

Chẳng hạn:
• Khi dạy khái niệm số nguyên tố, hợp số cho học sinh lớp 6 thì các em
đều biết: "Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1
và chính nó"
Và " Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước"
Tuy nhiên khi hỏi:
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 7 -
******************************************************************************
" Chứng minh một số là số nguyên tố ta làm thế nào ? " thì học sinh chỉ trả lời
được phải " chứng tỏ nó là hợp số"
Như vậy học sinh đã tỏ rõ khiếm khuyết trong việc phân tích cấu trúc lôgic
của khái niệm dẫn đến trả lời thiếu chặt chẽ yêu cầu chứng minh của bài toán.
• Hoặc khi gặp bài toán:
Cho số :
*6

Tìm * để
*6
chia hết cho 2, cho 3 và cho 5.
Không ít học sinh lần lượt xét * để
*6
chia hết cho 2. Rồi lại xét * để
*6
chia
hết cho 3
Trong trường hợp này học sinh không phân tích được bản chất của dấu phẩy
(,) cũng như từ "và" của bài toán. Thực ra chúng là phép hội trong lôgic toán học.
• Đơn giản như khi ta cho học sinh viết gọn bằng kí hiệu câu diễn đạt sau:

"x là số lớn hơn 3 và bé hơn 4".
Trong thực tế ban đầu học sinh đều viết: x > 3 và x <4 . Thậm chí có em
còn viết sai: x < 3 > 4
(Yếu tố lôgic toán "ngầm" chứa ở đây là " tuyển của hai hàm mệnh đề" -
một vấn đề rất cơ bản của lôgic toán học. Tuy nhiên vì lý do sư phạm nên giáo
viên không thể trình bày tường minh được mà phải khéo léo hướng dẫn bằng
ngôn ngữ dễ hiểu hơn, phù hợp với học sinh hơn).
• Ngay cả ở học sinh lớp 8, nếu không chú ý đến việc rèn luyện tư duy
lôgic thì sai lầm vẫn diễn ra thường xuyên. Thí dụ khi giải phương trình
tích số:
( )( )
0732 =+− xx
Tôi đã gặp học sinh trình bày như sau:
( )( )
0732 =+− xx

⇒




=+
=−
07
032
x
x

⇒






−=
=
7
2
3
x
x

Rõ ràng học sinh đã mắc cả lỗi về sử dụng dấu "
⇒
" cả lỗi về dấu "
{
"
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 8 -
******************************************************************************
( Thực chất của dấu "
⇒
" là phép "Kéo theo" , dấu "
{
" là "Phép tuyển"
trong lôgic toán học )
• Không chỉ có ở số học và đại số,trong hình học, học sinh cũng mắc
nhiều lỗi không kém.Thí dụ:

Từ kết luận " Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA = MB"
Nhiều học sinh đã kết luận " Nếu MA = MB thì M là trung điểm của đoạn
thẳng AB".
Hoặc từ tính chất: "Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau". Nhiều học sinh đã
sai lầm rút ra kết luận: "Hai góc bằng nhau thì đối đỉnh"
Trong cả hai tình huống hình học trên học sinh đã sử dụng quy tắc suy
diễn không hợp lôgic.
v.v và v.v
Không chỉ bản thân tôi mà qua trao đổi với nhiều đồng nghiệp ở các đon vị
bạn đều phản ánh thực trạng chung như thế. Thực tế khi tham gia chấm bài các
đợt khảo sát chất lượng, thi tốt nghiệp THCS thậm chí cả thi chọn học sinh giỏi
cũng gặp những sai lầm tương tự do quá trình tư duy không hợp lôgic mang lại.
III. Tìm hiểu thực tế mối quan hệ giữa khả năng tư duy lôgic và kết
quả học tập môn Toán ở học sinh THCS.
Khi tìm hiểu thực tế tôi thấy: Những học sinh học tốt môn Toán là những
em có khả năng tư duy lôgic rất tốt. Ngược lại, nếu được rèn luyện thường xuyên
khả năng này thì hiệu quả học tập môn Toán được nâng lên rõ rệt. Đặc biệt những
học sinh làm tốt dạng bài toán chứng minh là những em có khă năng tư duy lôgic
rất tốt.
IV.Phân tích những nội dung chương trình sách giáo khoa THCS có
thể thực hiện hoạt động rèn luyện tư duy lôgic cho các em.
Nhìn chung hầu hết các nội dung trong chương trình sách giáo khoa đều
"ngầm chứa" yếu tố tư duy lôgic. Trong dạy học khái niệm, định lý, dạy học luyện
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 9 -
******************************************************************************
tập hay bài tập tổng hợp và ôn tập chương đều đòi hỏi giáo viên phải có ý thức
khai thác và rèn luyện thường xuyên để có thể tìm chọn biện pháp tốt nhất phù
hợp với đối tượng học sinh mà mình giảng dạy. Tuy nhiên về mặt lý luận cũng

như thực tiễn giảng dạy bộ môn cho thấy qua hoạt động suy luận, chứng minh
toán học thì khả năng tư duy lôgic của học sinh được rèn luyện tốt nhất.
V. Thu thập, phân tích, tổng hợp và tiến hành thể nghiệm các biện
pháp trên đối tượng học sinh THCS tại các lớp mình giảng dạy.
Bằng kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy và nhiệt tình trao đổi học hỏi về
chuyên môn cũng như sự bền bỉ kiên trì tìm kiếm, thể nghiệm, lựa chọn tôi rút
ra các biện pháp như sau để rèn luyện cho học sinh THCS có tư duy logic toán
học tốt qua loại toán chứng minh.
1. Trước hết cho học sinh tiếp cận với phương pháp chứng minh trực
tiếp.
1.1 Rèn luyện khả năng chuyển đổi ngôn ngữ của bài toán từ lời sang kí
hiệu, hình vẽ và ngược lại.
Việc phiên dịch bài toán từ ngôn ngữ thông thường sang kí hiệu toán học,
hình vẽ và ngược lại có một ý nghĩa hết sức quan trọng. Không những giúp cho
các em nắm chắc cấu trúc của bài toán(cái cho biết, cái phải tìm) mà còn giúp các
em dễ dàng phân biệt các phần khác nhau của điều kiện, từ đó tìm được hướng
huy động các kiến thức có liên quan. Như vậy cũng góp phần cho việc rèn luyện
khả năng tư duy có lôgic.
Dẫn chứng:
Ví dụ 1:
Ngay từ bài toán "Vỡ lòng" sau:
"Chứng minh rằng: Trong hình chữ nhật hai đường chéo bằng nhau".
Trước hết rèn cho học sinh biết vẽ hình và diễn đạt nội dung bài toán bằng
kí hiệu (ở bài toán này chính là giả thiết, kết luận)
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 10 -
******************************************************************************

k

B
D
C
A
Hay: ( Nếu ABCD là hình chữ nhật )
⇒
(AC = BD)
Với cách viết đó học sinh thấy rõ cấu trúc bài toán và "Khoanh vùng" kiến
thức cần huy động là các kiến thức đã học về hình chữ nhật. Như thế ít nhất các
em cũng đã suy nghĩ một cách hợp lí.
1.2.Giúp học sinh nắm vững bản chất lôgic của loại toán chứng minh trực
tiếp.
Các thao tác kết luận lôgic theo những quy tắc thông thường không được
dạy tường minh ở trong chương trình THCS.Vì vậy học sinh lĩnh hội chúng một
cách ẩn tàng thông qua những trường hợp cụ thể. Thường dùng nhiều nhất là quy
tắc có sơ đồ sau:

B
ABA ,⇒
(Từ A suy ra B, A đúng thì B đúng )
Thí dụ: Khi trình bày phần chứng minh bài toán trên giáo viên cần để ý đến
việc vạch rõ tiền đề của từng kết luận lôgic trong lời giải.Chẳng hạn có thể trình
bày lời giải bài toán trên như sau(đầy đủ và chi tiết, không bỏ qua tiền đề nào).
để có điều kiện làm rõ cấu trúc của lời giải:
1.A
1
) Trong hình chữ nhật các góc đều vuông và Từ định nghĩa
các cạnh đối bằng nhau.
A
2

) ABCD là hình chữ nhật Giả thiết
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
GT ABCD là hình chữ nhật
KL AC = BD
- 11 -
******************************************************************************
A
3
) Do đó
0
^^
90== BA
và AD = BC Từ A
1
và A
2

2. A
4
) Nếu hai tam giác tam giác vuông có cạnh Định lí đã biết
A
5
) Hai tam giác vuông ABD và ABC có AB Theo A
3
chung và AD =BC
A
6
) Do đó hai tam giác vuông ABD và ABC T ừ A
4

v à A
5
bằng nhau.
3.A
7
) Nếu hai tam giác vuông bằng nhau thì Từ định nghĩa
cạnh huyền của chúng bằng nhau.
A
8
)Hai tam giác vuông bằng nhau ABD và Theo A
6
ABC có các cạnh huyền là AC và BD
A
9
) Do đó AC = BD Từ A
7
và A
8
4.A) Nếu ABCD là hình chữ nhật thì AC = BD
Trong quá trình đó cần tập trung chỉ rõ các kết luận lôgic được rút ra theo
quy tắc kết luận như (A
3
, A
6
, A
9
).(Cần khéo léo lồng ghép vấn đề này vào
quá trình giảng dạy sao cho thông qua hàng loạt bài tập học sinh tiếp thu
được một cách ẩn tàng nhưng đòi hỏi kỹ năng vận dụng chúng lại phải
"nổi " rõ. Đây cũng là một yêu cầu khó mà mức độ thành công rất cần đến

kinh nghiệm của mỗi giáo viên).
1.3. Hướng dẫn học sinh thiết lập sơ đồ phân tích bài toán từ đó trình bày
tốt lời giải.
Ngoài cách làm trên, khi học sinh bước đầu nắm bắt được tinh thần của
phương pháp chứng minh này giáo viên có thể trình bày dưới dạng một sơ
đồ để giúp học sinh nhìn rõ hơn quá trình suy luận (Sơ đồ 1) Và cũng chính
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 12 -
******************************************************************************
từ sơ đồ này học sinh học được kỹ năng phân tích để trình bày bài giải một
cách lôgic.

(GT)
( Định nghĩa)
(Định nghĩa)
Hai tam giác ABD và
ABC có AB chung  = B = 90
0
AD = BC
(c.g.c)
ΔABD = ΔABC


(KL)
Sơ đồ1
Ví dụ 2:
Chứng minh định lý về đường trung bình của một tam giác: "đường thẳng
đi qua trung điểm một cạnh của một tam giác và song song với cạnh thứ
hai thì cũng đi qua trung điểm của cạnh thứ ba".

* Vẽ hình và phân tích làm rõ cấu trúc của mệnh đề cần chứng minh có
dạng:
(AD = DB) và (DE // BC)
⇒
(AE = EC) ( Liên từ "và" thực chất là
"phép hội" trong lôgic toán học )
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
ABCD là hình chữ nhật
AC = BD
- 13 -
******************************************************************************
Hìnhvẽ
F
D
E
A
B
C
* Xây dựng sơ đồ giúp học sinh nhìn thấy rõ quá trình suy luận(Sơ đồ 2).
(GT) Vẽ EF//AB

(Góc có cạnh
tương ứng
(GT) EF = DB song song) (Góc đồng vị)
AD = EF D
2
=F
4
A

1
= E
3
(c.g.c)
ΔADE = ΔEFC


(KL)

Sơ đồ 2
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
DE // BC
AE = EC
AD = DB
- 14 -
******************************************************************************
Ví dụ 3:
"Nếu hai số nguyên chia hết cho một số nguyên khác thì tổng của chúng
cũng chia hết cho số nguyên đó".
* Hướng dẫn học sinh xây dựng sơ đồ chứng minh như sau
(Với a,b,m
∈
Z) (GT)
(GT)
(Khái niệm) (Khái niệm)

(k
∈
Z) ) (q

∈
Z)
(Tính chất phân phối của phép
nhân đối với phép cộng)

(khái niệm )
(KL)
Sau khi học sinh nắm được cách tư duy và phân tích bài toán như hướng dẫn
trên giáo viên cho các em làm các bài tập củng cố kỹ năng:
Bài tập tương tự:
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
a : m b : m
b = m.q
a = m.k
a + b = m.k +m.q
a + b = m(k +q)
a + b : m
- 15 -
******************************************************************************
Hãy trình bày chi tiết phép chứng minh các mệnh đề sau dưới dạng một sơ đồ:
a) Các đoạn thẳng song song chắn giữa hai đường thẳng song song thì bằng
nhau.
b) Nếu hai góc có cạnh tương ứng vuông góc thì chúng bằng nhau nếu cả hai
góc đều nhọn.
• Cùng với việc nhấn mạnh và làm nổi bật quy tắc thông dụng là
B
ABA ,→
thông qua các ví dụ cụ thể giúp học sinh lĩnh hội một cách ẩn
tàng, giáo viên cần quan tâm đến việc dùng những ví dụ cụ thể để giúp

các em có thêm vốn tri thức phương pháp về các cách chứng minh khác
như bác bỏ một mệnh đề hoặc chứng minh gián tiếp.
2. Hướng dẫn học sinh phương pháp bác bỏ mệnh đề .
Về phương pháp, thì bác bỏ mệnh đề A chính là phải xác định rằng A là sai
bằng cách vạch rõ rằng từ A (và một số mệnh đề đã được thừa nhận là đúng) lấy
làm tiền đề, có thể rút ra kết luận lôgic là một mệnh đề sai B. Mệnh đề B sai do đó
mệnh đề A sai.Tuy nhiên vẫn phải thông qua hệ thống ví dụ để hình thành
phương pháp.
Ví dụ 4: Chứng tỏ rằng kết luận sau là sai: "Mọi số đều bằng bình phương của
nó"
* Trước hết cần giúp các em viết gọn bằng kí hiệu:
∀
x (x
2
= x).
* Cho học sinh tìm giá trị cụ thể của x mà tại đó mệnh đề trên sai (chẳng hạn
x = 2 ) khi đó 2
2
= 4 như vậy mệnh đề trên là sai.
Ta nói rằng cách làm trên là chỉ ra một phản thí dụ.
Ví dụ 5:
Chứng tỏ mệnh đề sau là sai: "Có một hình đa giác lồi có 4 góc nhọn".
Giáo viên có thể phân tích cho học sinh rõ cách suy luận như sau:
Có 1 đa giác lồi có 4 góc nhọn R

⇓

⇓
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học

- 16 -
******************************************************************************
Đa giác đó có 4 góc ngoài là 4 góc tù S
1


⇓

⇓
Tổng các góc ngoài của đa giác đó lớn hơn 4 góc vuông S
Theo phân tích trên ta có:
R
⇒
S
1
và S
1
⇒
S, do đó R
⇒
S (Đây là quy tắc bắc cầu của phép kéo theo).
S là mệnh đề sai (Trái với định lý đã biết): Tổng các góc ngoài của một đa
giác lồi bao giờ cũng bằng 4 góc vuông, vậy R cũng sai. Trong nhiều trường hơp
để chứng minh mệnh đề Q nào đó, người ta tìm cách bác bỏ mệnh đề phủ định
của Q. Nếu phủ định của Q sai thì Q đúng. Làm như thế có nghĩa là chứng minh
gián tiếp mệnh đề Q hay còn gọi là chứng minh phản chứng.
3. Hướng dẫn học sinh phương pháp chứng minh phản chứng.
Chẳng hạn qua ví dụ sau giáo viên cung cấp cho các em cách suy luận hợp lý
trong giải toán.
Ví dụ 6: Chứng minh rằng: "Nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với đường

thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau".
Về mặt lôgic mệnh đề cần chứng minh có dạng : P
∧
Q
⇒
R tức là:
)//()()( bacbca
⇒⊥∧⊥
Để chứng minh gián tiếp ta lập phủ định của mệnh đề này, tức là:
)//()()( bakhongcbca ∧⊥∧⊥
(giả sử a cắt b tại I )
Ta có
cb
ba
⊥
⊥

⇒
Qua I có hai đường thẳng a, b cùng
a cắt b tại I vuông góc với c (S)
Mệnh đề S sai vì trái với định lý đã được chứng minh (Qua một điểm cho
trước, có thể dựng được một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường
thẳng cho trước). S sai, vậy :
)//()()( bakhongcbca ∧⊥∧⊥
là sai
Do đó
)//()()( bacbca
⇒⊥∧⊥
là đúng.
Trong một số trường hợp ta cần hướng dẫn cho học sinh chứng minh trực tiếp

mệnh đề phản đảo của mệnh đề đã cho.
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 17 -
******************************************************************************
Ví dụ 7: Chứng minh rằng: "Trong một tam giác, đối diện với góc lớn hơn
là cạnh lớn hơn".
Về mặt lôgic ta có thể viết gọn: (B >C)
⇒
(AC > AB) (Theo hình vẽ)

A
B
C
Về phương pháp giáo viên hướng dẫn học sinh chứng minh :
(AC không lớn hơn AB)
⇒
(B không lớn hơn C)
Hình thành sơ đồ sau giúp học sinh nắm được qúa trình suy luận(Sơ đồ 3):
AC không lớn hơn AB (AC
≤
AB)


AC < AB AC = AB
(Định lý thuận) (Định lý thuận)
B < C B = C
B không lớn hơn C (B
≤
C )

Sơ đồ 3
Lưu ý:
- Cần giúp học sinh thấy rõ phép chứng minh trực tiếp(phản chứng) và phép
chứng minh gián tiếp không tách rời nhau. Trong chứng minh gián tiếp một mệnh
đề nào đó, ta thường phải chứng minh trực tiếp một mệnh đề trung gian, cũng như
trong chứng minh trực tiếp một mệnh đề nào đó nhiều khi ta phải chứng minh một
số mệnh đề trung gian bằng phản chứng.
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 18 -
******************************************************************************
- Thông thường phương pháp chứng minh gián tiếp hay được dùng để chứng
minh các định lý đảo(Dựa vào kết quả của định lý thuận) và khi chứng minh các
mệnh đề có dạng " Có ít nhất một "
Sau việc hướng dẫn qua ví dụ cụ thể giáo viên cần cho các em được thử sức
bằng các bài tập tương tự:
Bài tập tương tự:
1. Hãy trình bày thành sơ đồ phép chứng minh bằng phản chứng các mệnh đề
sau đây và xét xem ta đã dùng hình thức nào (Bác bỏ phủ định của mệnh đề phải
chứng minh hay chứng minh mệnh đề phản đảo):
a) Nếu tích của hai số nguyên là một số lẻ thì tổng của chúng là một số chẵn.
b) Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng
song song với nhau.
c) Không có số hữu tỉ nào bình phương lên lại bằng 2.
d) Ở nước Việt Nam có ít nhất 2 người có cùng ngày sinh, giờ sinh.
• Ngoài ra, cũng cần để ý rằng, trong giải toán các em thường mắc nhiều
sai lầm do vận dụng sai quy tắc lôgic. Vì thế không thể xem nhẹ vấn đề
này,giáo viên cần thống kê các sai lầm của học sinh qua các bài kiểm
tra, các lần trình bày bài làm của các em và rút ra những sai lầm cơ bản

nhất liên quan đến khả năng tư duy lôgic từ đó giúp các em tránh sai
lầm đó.
4. Giúp học sinh tránh mắc sai lầm trong sử dụng các quy tắc lôgic khi giải
toán.
4.1 Chẳng hạn khi giải bài toán sau:
Chứng minh hằng đẳng thức:
yx
cx
byxabxay
bcxabxac
+
+
=
+++
+++
2.22
.
(1)
Một học sinh làm như sau:
Thực vậy, từ (1) ta suy ra :

).22)(()2)(.( byxabxaycxyxbcxabxac ++++=++++
(2)
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 19 -
******************************************************************************
Bỏ dấu ngoặc ta được:
bcyxacbcxacybxyxabxxya
bcyxyabxyacybcxxabxxac

+++++++
=+++++++
.22.22.
.2.22.2
22
22
(3)
(3) đúng, vậy (1) đúng . (điều phải chứng minh)
Cần phân tích cho học sinh thấy sự suy luận không hợp lôgic:
(1)
⇒
(4), (4) đúng, vậy (1) đúng.
Ở đây các phép biến đổi là tương đương nên phải nói:
(1)
⇔
(4), (4) đúng, vậy (1) đúng.
Như thế trong toàn bộ lời giải chỉ cần thay:
"Từ (1) suy ra (2)" bởi " (1) tương đương với (2)"
4.2. Khi giải bài toán sau:
Cho một tam giác ABC với trực tâm H và HC = AB.
Chứng minh rằng góc C = 45
0

Một học sinh đã giải như sau:

H
C'
B'
C
A

B

Thực vậy nếu BB' và CC' là các đường cao của tam giác ABC (Hình vẽ) thì:
ΔABB' = Δ HCB' Vì là các tam giác vuông có cạnh huyền AB = HC và
ABB' = ACC'(hai góc cùng phụ với góc BAC). Suy ra BB' = B'C, tức là :
Δ BB'C là tam giác vuông cân và ACB = 45
0
.
Như vậy ta đã chứng minh được rằng: Nếu một tam giác có khoảng cách từ
trực tâm đến một đỉnh bằng chiều dài cạnh đối diện thì góc ở đỉnh đó bằng 45
0
.
Sai lầm của học sinh là trong trường hợp C là góc tù thì không áp dụng được
các lý luận trong chứng minh đã xét. Vì:
Nếu C tù thì ta có Δ ABB' = ΔHCB' (hình sau)
Từ đó suy ra: AB' = B'C , v à ΔAB'C là tam giác vuông cân
Do đó ACB' = 45
0
và ACB = 135
0
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 20 -
******************************************************************************
Hình vẽ:

C'
C
A
B

H
B'
4.3 Khi giải bài tập sau:
Với những giá trị nào của a , b ta có bất đẳng thức:
2>+
a
b
b
a
?
Học sinh giải:
a
2
+ b
2
> 2ab
a
2
- ab > ab - b
2

a(a - b) > b(a - b)
a > b
Vậy bất đẳng thức đã cho đúng với a > b.
Như vậy sai lầm của học sinh là do trong suy luận đã dựa vào tiền đề sai.
Tóm lại: Những sai lầm của học sinh trong giải toán là rất nhiều song phổ
biến có thể là do suy luận không hợp lôgic như áp dụng sai quy tắc lôgic(4.1)
hoặc dùng quy nạp không hoàn (4.2) toàn hay dựa vào tiền đề sai (4.3)
Giáo viên cũng có thể cho học sinh phát hiện ra sai lầm trong cách giải bài
toán để các em không chỉ rèn tốt tư duy lôgic mà còn tránh được nhiều sai sót

trong học toán và cả trong vận dụng thực tế.
Bài tập:
Cho bài toán: Chứng minh rằng
ab
ba
≥
+
2
( với a,b là số dương)
Chỉ ra sai lầm trong cách giải sau:
"Muốn chứng minh (1) thì phải chứng minh
ab
ba
≥






+
2
2
(2)
Muốn chứng minh (2) thì phải chứng minh (a+b)
2
- 4ab
0≥
(3)
Muốn chứng minh (2) thì phải chứng minh a

2
+b
2
- 2ab
0
≥
(4)
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 21 -
******************************************************************************
Hay (a - b )
2

0≥
(5)
(5) đúng. Điều phải chứng minh"
VI. Kết quả thực nghiệm
Qua quá trình thực hiện nêu trên đối với học sinh thuộc các khối lớp tại trường
mà tôi trực tiếp giảng dạy trong những năm qua đã cho thấy kết quả rõ nét.
1.Các em bớt lúng túng trước những bài toán đặc biệt là dạng toán chứng
minh(trong các bài kiểm tra, bài thi với dạng toán này các em tỏ ra vân dụng tốt).
2.Biết chọn lựa phương pháp giải phù hợp với bài toán sao cho nhắn gọn dễ
hiểu nhất. Ch ứng tỏ bước đầu các em biết phân loại các bài toán chứng minh.
3.Khắc phục các lỗi khi phát biểu cũng như trình bày lời giải các bài toán
4. Khả năng tư duy toán học nâng lên rõ rệt. Khả năng tư duy lôgic các vấn đề
trong đời sống hàng ngày cũng được cải thiện.
5. Hứng thú môn học được ghi nhận rõ nét. Các em tỏ ra mong chờ giờ học
toán hơn trước đây.
6. Các em học sinh ở các lớp thuộc các năm học tôi trực tiếp giảng dạy và áp

dụng cách làm này đều học môn Toán rất tốt trong đó các khoá học sinh ra
trường năm học 2005-2006, 2007-2008 học sinh đạt kết quả rất cao.
VII. Đúc rút kinh nghiệm
Để học sinh có được khả năng tư duy lôgic tốt thông qua dạy toán nhất là loại
toán chứng minh cần lưu ý các vấn đề sau:
1. Tìm hiểu và nắm vững khung chương trình Toán THCS để từ đó đưa ra cho
học sinh các bài tập, các ví dụ phù hợp đảm bảo tính vừa sức.
2. Nghiên cứu kỹ các yếu tố lôgic trong chương trình Toán THCS.
3.Nắm vững khả năng thực tế của học sinh trong vấn đề tư duy lôgic nói
chung và tư duy lôgic toán nói riêng . Từ đó có sự điều chỉnh hợp lý các biện
pháp thực hiện nhằm mang lại hiệu quả cao nhất.
4. Trong quá trình áp dụng các biện pháp cần chú ý nâng dần mức độ khó cho
phù hợp với quá trình phát triển tư duy của học sinh.
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 22 -
******************************************************************************
5. Nếu điều kiện cho phép có thể thực hiện như một chuyên đề bồi dưỡng
Toán cho học sinh.
6. Đây là một vấn đề đòi hỏi sự tích luỹ lâu dài và bền bỉ do đó cần đến sự trau
dồi thường xuyên của cả thầy và trò, tuyệt đối không thể nóng vội.
C. KÕt luËn
Trên đây tôi mới chỉ trình bày một số phương pháp giúp nâng cao khả năng
tư duy lôgic cho học sinh thông qua dạy chứng minh toán học. Các nội dung toán
học khác hoàn toàn có thể làm được điều này nếu giáo viên biết cách khai thác
yếu tố lôgic trong mỗi dạng toán.
Biết rằng rèn luyện bất kỳ một kỹ năng nào cũng không dễ dàng thành công
tuy nhiên chữ "nhẫn" trong trường hợp này còn đáng giá hơn cả "ngàn vàng".
Với kinh nghiệm ít ỏi trong công tác chuyên môn và sự nhiệt tình vì chất
lượng học tập của học sinh thân yêu, tôi đã viết ra những cách làm, hướng suy

nghĩ của bản thân và không thể tránh khỏi thiếu sót. Vì thế tôi rất mong cũng có
nhiều đồng nghiệp và các cấp chuyên môn quan tâm đến vấn đề này đồng thời
góp ý bổ sung để tôi có hướng đi tốt hơn trong "sự nghiệp trồng người".
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Tháng 3 năm 2009.
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 23 -
******************************************************************************
Tài liệu tham khảo
1. Sách giáo khoa toán THCS các lớp 6,7,8,9. Nhà xuất bản Giáo dục, 2002.
2. Hoàng chúng - Mấy vấn đề về lôgic trong giảng dạy toán học, NXB Giáo
dục, 1969.
3. Nguyễn Bá Kim - Phương pháp giảng dạy môn toán, NXB Đại học sư phạm,
2004.
4. Nhóm tác giả: Lê Văn Hồng - Phạm Đức Quang - Nguyễn Thế Thạch -
Nguyễn Duy Thuận - Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên THCS
chu kì III ( 2004 - 2007), NXB Giáo dục, 2007.
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 24 -
******************************************************************************
Mục lục
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học