bài tập bồi dưỡng cơ bản, nâng cao toan 12
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (419.85 KB, 39 trang )
Phần 1: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
CHỦ ĐỀ 1: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆUVÀ TÌMCỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
1. Xét tính đơn điệu của hs y = f(x) nhờ đạo hàm:
Hs y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a;b) <=> y’
≥
0 (y’
≤
0)
∀
x
∈
(a;b)
( y’ chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc khoảng (a;b))
2. Phương pháp tìm cực trị của hàm số y = f(x):
* PP1: B1: Tìm TXĐ
B2: Tìm y
'
và các điểm tới hạn
0
x
(
0
x
∈
TXĐ mà y
'
(
0
x
) = 0 hoặc y
'
(
0
x
) không XĐ)
B3: Lập bảng biến thiên
B4: Tìm cực trị nếu có
Chú ý: Khi x vượt qua
0
x
mà
/
y
đổi dấu từ (+) sang (-) thì tại
0
x
hs đạt giá trị cực đại
/
y
đổi dấu từ (-) sang (+) thì tại
0
x
hs đạt giá trị cực tiểu
/
y
không đổi dấu thì tại
0
x
hs không đạt cực trị.
* PP2: B1: Tìm TXĐ
B2: Tìm y
'
và các điểm tới hạn
0
x
(
0
x
∈
TXĐ mà y
'
(
0
x
) = 0 hoặc y
'
(
0
x
) không XĐ)
B3: Tìm y”, y”(
0
x
) và tìm cực trị nếu có
Chú ý: Nếu y”(
0
x
) < 0 thì tại
0
x
hs đạt giá trị cực đại
Nếu y”(
0
x
) > 0 thì tại
0
x
hs đạt giá trị cực tiểu
Nếu y”(
0
x
) = 0 thì ta chuyển về PP1 để tìm cực trị
3. Hàm số y = f(x) có n điểm cực trị <=>
/
y
= 0 có n nghiệm phân biệt .
4. f(x) đạt cực đại tại
0
x
nếu
/
0
//
0
( ) 0
( ) 0
f x
f x
=
<
; f(x) đạt cực tiểu tại
0
x
nếu
/
0
//
0
( ) 0
( ) 0
f x
f x
=
>
5. f(x) có đạo hàm và đạt cực trị bằng c tại
/
0
0
0
( ) 0
( )
f x
x x
f x c
=
= =>
=
* BÀI TẬP:
(1) Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của Hs sau:
1/ y =
4 3
x 8x 5
+ +
2/ y = 16x + 2x
2
-
3 4
16
3
x x−
3/ y =
2 3
(1 )x−
4/ y =
2
( 1) (5 )x x
+ −
5/ y = (x + 2)
2
(x – 3)
3
6/ y =
2
1
8
x
x
+
+
7/ y =
2
2
1
x
x x
−
+ +
8/ y =
4
48x
x
+
9/ y =
3 2
.( 5)x x −
10/ y =
3
2
x - 6. x
11/ y =
3
(7 ). 5x x
− +
12/ y =
.( 3)x x
−
13/ y =
2
2x 3x
− −
14/ y =
2
25 x−
15/ y =
2
20x x
− −
16/ y =
100
x
x +
17/ y =
3
2
x
6x
−
18/ y =
2
10
x
x−
19/ y = cosx - sinx 20/ y =
sin 2x
(2) Chứng minh bất đẳng thức:
1
a/ tanx > x ( 0 < x <
2
π
) b/ tanx > x +
3
3
x
( 0 < x <
2
π
)
c/ sinx + tanx > 2x ( 0 < x <
2
π
) d/
3x
1
2sinx t anx
2
2 2 2
+
+ >
( 0 < x <
2
π
)
e/
2
1
1 1 1
2 8 2
x x
x x+ − < + < +
( 0 < x < +
∞
) g/ a -
3
6
a
< sina < a (
a
∀
>0 )
(3) Cho hàm số: y =
3 2
xx m m− +
(m: tham số)
a/ Tùy theo m, hãy xét sự biến thiên của y.
b/ Tìm m để hàm số nghịch biến trong khoảng (1; 2)
(4) Tìm m để hàm số:
a/ y =
3
2
( 2) (2 7) 3
3
x
m x m x m− + + + −
đồng biến trong khoảng (0; +
∞
)
b/ y =
3 2
2
(3 1) (2 2 )
3 2
x x
m m m x m− + − − − +
đồng biến trong khoảng (0; 2)
(5) Tìm m để hàm số:
a/ y =
2
(2 1) 2 2
x + m 1
m x m
m
+ − −
−
nghịch biến trên từng KXĐ của nó
b/ y =
2 2
x 2 4x m m
x m
− − +
+
nghịch biến trong khoảng (0;2)
c/ y =
2 2
(2 1) 1
1
x m x m
x
+ − + +
−
đồng biến trong khoảng (-
∞
; -1)
(6) Tìm m để hs:
a/ y =
3
2 2 2
( 2) (3 1)
3
x
m m x m x m− − − + − + −
đạt cực trị tại x = -2
b/ y =
2 4 2 2
( 1) 3 x 8m x m m− + + −
có ba điểm cực trị
c/ y =
3 2 2
1
x ( 1) 1
3
x m m m x− + − + +
đạt cực đại tại x = 1
d/ y =
2
x +1
x +m
x m+
đạt cực tiểu tại x = 2
(7) Tìm a ; b để hs : y =
x
4
+ ax
2
+ b có một cực trị bằng
3
2
khi x = 1
(8) Cho hàm số
3 2
1
1 ( )
3
m
y x mx x m C= − − + +
.
a. CMR : với mọi m hàm số đã cho luôn có cực trị .
b. Hãy xác định m sao cho khoảng cách từ các điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất
(9) Cho hàm số
4 2 4
2 2y x mx m m= − + +
.
Tìm m để hàm số luôn có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của tam giác đều
(10) Tìm m để hàm số
4 2
( 1) 1y x m x m= + − + −
có một cực trị
(11) Cho hàm số
4 2
2y x mx m
= − +
. Xác định m để hàm số có CĐ, CT thoả mãn
a) Lập thành một tam giác đều
b) Lập thành một tam giác vuông
c) Lập thành một tam giác có diện tích bằng 4
2
(12) Cho hàm số
2
2
1
x mx
y
mx
+ −
=
−
. Xác định m để
a) Hàm số có cực trị
b) Hàm số có cực đại , cực tiểu với hoành độ thoả mãn x
1
+ x
2
= 4x
1
x
2
c) Hàm số có cực đại , cực tiểu có hoành độ dương
(13) Cho hàm số
2
1x mx
y
x m
+ +
=
+
. Xác định m để
a. Hàm số có cực trị
b. Hàm số có cực tiểu trong khoảng (0;m) (m > 0)
c. Hàm số có cực đại tại x = 2
(14) Cho hàm số
2 2
x mx m
y
x m
− + −
=
−
. Xác định m để
a. Hàm số có cực trị
b. Với m vừa tìm được ở câu a) , hãy viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực
tiểu của đồ thị hàm số
(15) Cho hàm số
2 2
2 3
2
x mx m
y
x m
− +
=
−
. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu và 2 điểm cực đại ,
cực tiểu nằm ở hai phía của trục Ox
(16) Cho hàm số
2
8
1
x mx m
y
x
+ − +
=
−
. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu và 2 điểm cực đại ,
cực tiểu nằm ở hai phía của đường thẳng có phương trình 9x – 7y – 1 = 0.
(17) Cho hàm số
2 2
( 1) 4 2
1
x m x m m
y
x
− + − + −
=
−
. Xác định m để
a. Hàm số có cực trị b. Tìm m để tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất.
(18) Tìm a; b để hs : y =
2 3 2
5
2ax 9x + b
3
a x
+ −
có cực đại, cực tiểu là những số dương và x
0
= -
5
9
là
điểm cực đại.
(19) Cho hàm số: y =
2 3 2
( 1) 2 x - m 2
( )
m x m m
f x
x m
+ − + +
=
−
với m
≠
-1
a/ Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại và cực tiểu.
b/ Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại và cực tiểu trong khoảng (0 ; 2).
(20) Cho hàm số: y =
2
3
1
x
x
+
+
a/ Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số.
b/ Tùy theo m, biện luận số nghiệm của phương trình: x + 3 = m
2
1x
+
(21) Cho hàm số: y =
2
1
x m
x
+
+
a/ Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số.
b/ Tùy theo m, biện luận số nghiệm của phương trình: x + m = m
2
1x
+
(22) Tìm a để hàm số: y =
4 3 2
8 3(1 2 ) 4x ax a x
+ + + −
chỉ có cực tiểu mà không có cực đại
(23) Xác định hàm số a sao cho hàm số: y = -2x + 2 + a
2
4 5x x
− +
có cực đại
(24) Cho hàm số: f(x) =
( )
n n
x c x
+ −
trong đó c > 0, n là một số nguyên dương lớn hơn 1
a/ Khảo sát sự biến thiên của hàm số.
b/ Từ kết quả trên hãy chứng minh:
( )
2 2
n n
n
a b a b
+ +
≤
với a, b
∈
R thỏa a + b
≥
0, n
∈
Z
+
.
3
Xét xem đẳng thức khi nào xảy ra.
(25) CMR pt:
2 1 2
( 1) 3( 2) 0
n n n
n x n x a
+ + +
+ − + + =
không có nghiệm khi n chẵn và a > 3.
(26) Biện luận theo a số nghiệm của pt:
2 2 2
0
2 2 2 2
n n
x x x
a
n n
+ +
+ + + =
+ +
(27) Chứng minh:
2 2
2 2
3( ) 8( ) 10 32
x y x y
y x y x
+ − + + ≥
với x.y < 0
(28) Cho x, y, z dương thỏa
2 2 2
1x y z+ + =
. C/m:
2 2 2 2 2 2
3 3
2
x y z
y z z x x y
+ + ≥
+ + +
CHỦ ĐỀ 2: GIÁ TRỊ CỰC TRỊ VÀ ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM CỰC TRỊ
* HÀM BẬC BA:
3 2
( ) ( 0)y f x ax bx cx d a
= = + + + ≠
(C)
/ / 2
( ) 3 2y f x ax bx c
= = + +
.
Để Hs có cực trị thì y’ = 0 phải có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
(
'y
∆
> 0)
Chia f(x) cho f
/
(x) ta được
/
( ) ( ). ( )y f x f x q x x
α β
= = + +
Gọi (x
1
;y
1
), (x
2
;y
2
) là hai điểm cực trị, ta có:
1 1
2 2
y x
y x
α β
α β
= +
= +
=> Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị:
y x
α β
= +
.
* HÀM HỮU TỈ:
2
1
1 1
( 0)
ax bx c
y aa
a x b
+ +
= ≠
+
Ta có:
2
/
1 1 1 1
2
1 1
2
( )
aa x ab x bb a c
y
a x b
+ + −
=
+
Hàm số có cực trị khi phương trình g(x) =
2
1 1 1 1
2aa x ab x bb a c
+ + −
= 0
có hai nghiệm phân biệt khác x
0
=
1
1
b
a
−
<=>
/
0
0
( ) 0g x
∆ >
≠
Gọi (x
1
;y
1
), (x
2
;y
2
) là hai điểm cực trị, ta có:
1
1
1
2
2
1
2
2
ax b
y
a
ax b
y
a
+
=
+
=
=> Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị:
1
2ax b
y
a
+
=
* BÀI TẬP:
(29) Tìm cực trị của Hs sau: a/ y =
3
2
2x 1
3
x
x
− + +
b/ y =
2
2x+3
x-1
x +
(30) Cho hàm số : y =
3 2
3 9 3 5x mx x m
− + + −
a/ Xác định m để đồ thị có 2 điểm cực trị.
b/ Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị.
(31) Cho hàm số : y =
2
( 1) 1x m x m
x m
+ + − +
−
a/ Chứng minh rằng với mọi m, hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu.
b/ Định m để giá trị cực đại và giá cực tiểu có cùng dấu.
c/ Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị.
4
(32) Cho hàm số : y =
2
3
4
x x m
x
− + +
−
Tìm m để hàm số y có cực đại, cực tiểu thỏa mãn :
ax min
4
m
y y
− =
(33) Cho hàm số : y =
2
2 3x x m
x m
− +
−
Tìm m để hàm số y có cực đại, cực tiểu thỏa mãn :
ax min
8
m
y y− >
(34) Cho hàm số : y =
3 2
6 3( 2) 6x x m x m− + + − −
Xác định m để :
a/ Hàm số có 2 cực trị. b/ Hàm số có 2 cực trị cùng dấu
c/ Phương trình
3 2
6 3( 2) 6x x m x m− + + − −
= 0 có ba nghiệm phân biệt.
(35) Cho y = f(x) =
3 3 3
( ) ( )x a x b x+ + + −
a/ Các số a, b thỏa mãn điều kiện gì để hàm số có cực đại và cực tiểu.
b/ Chứng minh với mọi a, b phương trình:
3 3 3
( ) ( )x a x b x
+ + + −
= 0 không thể có 3 nghiệm phân biệt.
CHỦ ĐỀ 3: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ (C) : y = f(x)
1/ Phương pháp tìm tiệm cận:
2/ BÀI TẬP:
(36) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:
a) y =
2
2x 5x +1
x -2
−
b) y = 2x +
2
1x
+
c)
y =
3
2
3x 4
( 1).( 2)x x
+
− −
d) y =
2
1x x
+ +
e) y =
2
x 2 + 2
x -1
x−
g) y =
2
3x +1
x 1x
+ +
Tùy theo m, tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:
a) y =
2
x + 2
x 4x + m
−
b) y =
2 2
m x 2 x 3
x 1
m− −
+
(38) Tìm m để đồ thị hs:
b) y =
2 2
x 2 ( 1) 3 2
2
m m m x m m
x
− − − + −
+
có tiệm cận xiên đi qua điiểm A(-1; -3)
c) y =
2
x x 1
x -1
m+ −
có tiệm cận xiên tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8
d) y =
2
-3x x 4
4x
m
m
+ +
+
có tiệm cận vuông góc với tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 0
(39) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm trên đồ thị hàm số :
y =
2
2x 3x +6
x 2
+
+
đến hai tiệm cận không phụ thuộc vào vị trí của điểm đó.
(40) Cho hs : y =
2
x 1
1
x
x
− +
−
có đồ thị (C)
Tìm M
∈
(C) sao cho tổng khoảng cách từ M tới hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất
(41) Tìm a, b, c để hs: y =
2
ax +bx +
x -2
c
có một cực trị bằng 1 khi x = 1 và t/c xiên vuông góc với đường thẳng y =
1
2
(1- x)
CHỦ ĐỀ 4: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HS y = f(x)
CHỦ ĐỀ 5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐỒ THỊ
Cho 2 đường: (C
1
) : y = f(x) và (C
2
) : y = g(x).
Pt hoành độ giao điểm của hai đường là : f(x) = g(x) (*)
Số nghiệm của Pt (*) là số giao điiểm của hai đường (C
1
) & (C
2
)
5
Điều kiện tiếp xúc: để (C
1
) tiếp xúc (C
2
), điều kiện là hệ Pt :
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
=
=
có nghiệm
* BÀI TẬP:
(42) Cho (C) : y = x
4
- 5x
2
+ 4
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm m để (C) tiếp xúc với (P) : y = x
2
+ m . Tìm tọa độ các tiếp điểm
(43) Cho (C) : y = x
4
- (m
2
+ 10)x
2
+ 9
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs với m = 0
b) CMR với m
≠
0, đồ thị luôn cắt Ox tại 4 điểm phân biệt. Trong các giao điểm đó có hai điểm nằm
trong khoảng (-3 ; 3) và có hai điểm nằm ngoài khoảng (-3 ; 3)
(44) Cho (C
m
) : y = 2x
3
+ 3(m – 3)x
2
+ 11 – 3m
a) Tìm pt các đường thẳng qua A(
19
12
; 4) và tiếp xúc với đồ thị (C
2
) của hs
b) Tìm m để (C
m
) có 2 cực trị, đồng thời các điểm cực trị M
1
; M
2
và B(0 ; -1) thẳng hàng
(45) Cho (C) : y = 2x
3
- x
2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm m để (d): y = m cắt (C) tại ba điểm có hoành độ x
1
; x
2
; x
3
. Tính tổng:
2 2 2
1 2 3
x x x
+ +
?
(46) Cho (C) : y =
2 1
1
x
x
+
− +
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm m để đường thẳng (d): y = mx + 2m - 1 cắt (C) tại hai điểm trên cùng một nhánh.
(47) Cho hs : y =
x +1
x -1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) CMR đường thẳng (d): 2x – y + m = 0 luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B trên 2 nhánh của
(C)
c) Tìm m để đoạn AB ngắn nhất
(48) Cho (C) : y =
2 1
1
x
x
− +
+
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm m để đường thẳng (d): y = – x + 3m cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB =
2 2
. Tìm tọa
độ của A ; B
(49) Cho (C) : y =
2 1
2
x
x
+
+
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm m để đường thẳng (d): y = mx – m + 5 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A(x
1
;y
1
), B(x
2
;y
2
). Tìm hệ thức giữa x
1
; x
2
độc lập với m
(50) Cho hàm số
2
2 4
2
x x
y
x
− +
=
−
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm m để đường thẳng d
m
: y = mx + 2 – 2m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
6
(51) Cho (C) : y =
2
x x m
x m
− + +
+
a) Tìm m để tiệm cận xiên đi qua điểm M(2 ;0). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs với m tìm được.
b) Tìm m để đường thẳng y = x – 1 luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A(x
1
;y
1
), B(x
2
;y
2
). Tìm hệ
thức giữa y
1
; y
2
không phụ thuộc vào m
(52) Cho (C) : y =
2
2
2
x x
x
+ −
−
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Gọi A là điểm cực đại của (C). Tìm m để đường thẳng (d) : x + 2y – 2m = 0 cắt (C) tại hai điểm
B ; C sao cho
∆
ABC vuông ở A.
(53) Cho (C) : y =
2
2 3
2
x x
x
− −
−
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm trên (C) hai điểm A ; B sao cho đường thẳng AB cùng phương với y = - x ; đồng thời độ dài
AB ngắn nhất
(54) Cho (C) : y =
2
2 2 1
2 1
x x
x
− +
−
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A ; B sao cho
∆
OAB có diện tích bằng
10
9
(đvdt)
CHỦ ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI Đ/CONG y = f(x)
1. Điều kiện tiếp xúc : Cho hai hs : y = f(x) và y = g(x) có đồ thị lần lượt là (C) và (C’).
(C) tiếp xúc với (C’) <=>
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
=
=
có nghiệm x
0
(x
0
là hoành độ tiếp điểm)
2. Các dạng bài tập về Phương trình tiếp tuyến (pttt) :
Dạng 1 : Viết pttt với (C) : y = f(x) tại điểm
0 0 0
( ; )M x y
PPG : - Tìm y’(x
0
) => Pttt : y = y’(x
0
).(x - x
0
) + y
0
Dạng 2 : Viết pttt với (C) : y = f(x) biết tt đi qua điểm
( ; )
A A
A x y
PPG : - Pttt có dạng : y = k.(x - x
A
) + y
A
- Áp dụng điều kiện tiếp xúc
A A
( ) k.(x - x ) + y
'( ) k
f x
f x
=
=
để tìm k => Pttt
Dạng 3 : Viết pttt với (C) : y = f(x) biết tt có hệ số góc bằng k
PPG : - Pttt có dạng : y = k.x + b
- Áp dụng điều kiện tiếp xúc
( ) k.x + b
'( ) k
f x
f x
=
=
để tìm b => Pttt
* BÀI TẬP :
(55) a. Cho hàm số
3 2
3 2 ( )y x x C= − +
Viết pttt của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với
:3 5 4 0x y∆ − − =
b. Cho hàm số
4 2
2 ( )y x x C= + −
Viết pttt của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với
: 6 1 0x y∆ + − =
c. Cho hàm số
4 2
1 1
,( )
2 2
y x x C
= −
. Viết pttt kẻ từ gốc toạ độ đến đồ thị của hàm số
7
d. Cho hàm số
2
,( )
2
x
y C
x
+
=
−
. Viết pttt đi qua điểm A(-6;5) với đồ thị của hàm số
(56) Cho hàm số
3( 1)
, ( )
2
x
y C
x
+
=
−
.
a. Viết pttt đi qua điểm O(0 ; 0) với đồ thị của hàm số
b. Tìm các điểm trên (C) có tọa độ là các số nguyên
(57) a. Cho hàm số
2
3 4
1
x x m
y
x
+ +
=
+
Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có tiếp tuyến vuông góc với
đường phân giác của góc phần tư thứ nhất?
b. Tìm các điểm trên đồ thị của hàm số
2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+
sao cho tiếp tuyến tại đó vuông góc với tiệm
cận xiên của (C).
c. Cho hàm số
3
3 ,( )y x x C= −
. Tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm mà từ đó
c1. Kẻ được 1 tiếp tuyến với (C)
c2. Kẻ được 2 tiếp tuyến với (C)
c3. Kẻ được 3 tiếp tuyến với (C)
d. Cho hàm số
4 2
2 1,( )y x x C= − −
. Tìm trên trục tung những điểm mà từ đó
d1. Kẻ được 1 tiếp tuyến với (C)
d2. Kẻ được 2 tiếp tuyến với (C)
d3. Kẻ được 3 tiếp tuyến với (C)
d4. Kẻ được 4 tiếp tuyến với (C)
(58) Cho hàm số
3 2
1 1
( )
3 2 3
m
m
y x x C= − +
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m = 2
b) Gọi M là điểm thuộc (C
m
) có hoành độ bằng – 1 . Tìm m để tiếp tuyến của (C
m
) tại điểm M song
song với đường thẳng 5x – y = 0.
(59) Cho hs : y =
3
4x 3x 1
− +
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Viết phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với (C) tại điểm A(-
3
2
; 1) và tìm giao điểm B
(khác A) của (d) và (C)
(60) Cho hàm số
4 2
1 5
3
2 2
y x x= − +
c) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
d) Gọi M là điểm thuộc (C) có hoành độ x
M
= a . Tìm a để tiếp tuyến của (C) tại điểm M cắt (C) tại
hai điểm khác M.
(61) Cho hs : y =
3 2
2x 3x 1
− −
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) CMR qua điểm A(-
2
27
; -1) ta kẻ được ba tiếp tuyến với (C), trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc
với nhau
(62) Cho hs : y =
3 2
3xx
+
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm trên trục hoành các điểm từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến với (C) ; trong đó có hai tiếp
tuyến vuông góc với nhau
(63) Cho hs : y =
3 2
3x 2x − +
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
8
b) Lập Pttt với (C) đi qua điểm A(
23
9
; -2)
c) Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm từ đó có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau
(64) Cho hs : y =
3 2
x 3x x +1m+ +
có đồ thị là (C
m
)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs khi m = 0
b) Tìm m để (C
m
) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm A(0 ; 1), B, C sao cho tiếp tuyến của (C
m
) tại B
và C vuông góc với nhau
(65) Cho hs : y =
3 2
x 3x 2− + −
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm điểm M
∈
(C) sao cho qua M ta kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với (C)
(66) Cho hs : y =
2
1
x
x
−
+
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Viết Pttt (
∆
) với (C) tại điểm A(a ; y) với a
≠
-1
c) Tính khoảng cách từ M(-1 ; 1) tới (
∆
). Tìm a để khoảng cách đó lớn nhất
(67) Cho hs : y =
3
1
x
x
+
+
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tiếp tuyến tại điểm S
∈
(C) cắt hai tiệm cận tại P và Q. Chứng minh S là trung điểm của PQ
(68) Cho 2 hs : y =
3
1
x 3x
3
m
− +
và y = x
2
a) Tìm m để đồ thị các hs trên tiếp xúc nhau
b) Viết Pttt chung của hai đồ thị ứng với m tìm được.
(69) Cho hs : y =
2
2 xx m m
x m
− +
+
a) CMR nếu đồ thị hs cắt Ox tại x = x
0
thì hệ số góc của tiếp tuyến tại đó là : k =
0
0
2 2x m
x m
−
+
b) Tìm m để đồ thị cắt Ox tại 2 điểm và hai tiếp tuyến tại 2 điểm đó vuông góc với nhau.
CHỦ ĐỀ 7 : BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT : F(x,m) = 0 BẰNG ĐỒ THỊ
* Chú ý : Số nghiệm của pt : f(x) = g(x) là số giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x)
(70) Cho hs : y =
3 2
x 2x x− +
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm và xét dấu các nghiệm của Pt :
3 2
x 2x 0m− − =
(71) Cho hs : y =
2
- (x +1) (x +4)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của Pt :
2
(x +1) (x +4)
=
2
(m +1) (m + 4)
(72) Cho hs : y =
2
(x +1) (2 x )−
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của Pt :
2
(x +1) (2 x)−
=
2
(m +1) (2 m)−
CHỦ ĐỀ 8 : ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Từ đồ thị (C) của hàm số
( )y f x=
, suy ra:
1. Đồ thị hàm số (C
1
):
1
( )y f x
=
.
2. Đồ thị hàm số (C
1
):
1
( )y f x
=
9
3. Đồ thị hàm số
1
( )y f x
=
4. Cho hàm số
( )
( )
P x
y
Q x
=
có đồ thị (C)
a. Vẽ đồ thị (C
1
):
1
( )
( )
( )
( )
( ) 0
P x
nêu Q(x)> 0
Q x
P x
y
P(x)
Q x
- nêu Q x
Q(x)
= =
<
Đồ thị (C
1
) được suy ra từ đồ thị (C) bằng cách:
• Phần đồ thị (C) ở miền
( ) 0Q x
>
giữ nguyên
• Bỏ phần đồ thị (C) ở miền
( ) 0Q x
<
và lấy đối xứng của phần này qua trục Ox.
b. Vẽ đồ thị (C
1
):
1
( )
( ) ( )
( )
( ) 0
P x
nêu P(x) 0
P x Q x
y
P(x)
Q x
- nêu P x
Q(x)
≥
= =
≤
Đồ thị (C
1
) được suy ra từ đồ thị (C) bằng cách:
• Phần đồ thị (C) ở miền
( ) 0P x ≥
giữ nguyên
• Bỏ phần đồ thị (C) ở miền
( ) 0P x
≤
và lấy đối xứng của phần này qua trục Ox.
* BÀI TẬP:
(73) Cho hs : y =
3
x
- 3x + 1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm m để Pt :
3
x - 3x + 1
- 2m
2
+ m = 0 có 6 nghiệm phân biệt
(74) Cho hs : y =
4 2
- x 2x
+
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm m để Pt : 1 - 3m
3
+ 2m
2
- (1 - x
2
)
2
= 0 có 4 nghiệm phân biệt
(75) Cho hs : y =
4 2
- x x 2− +
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm m để Pt :
4 2 2
x + x 2 3m m
− + +
= 0 có 4 nghiệm phân biệt
(76) Cho hs : y = x
3
- 3mx
2
+ (m – 1)x + 2
a) Tìm m để hs có cực tiểu tại x = 2. khảo sát và vẽ đồ thị với m tìm được
b) Biện luận số nghiệm của Pt : (x
2
- 2x – 2).
1x
−
= k theo tham số k.
(77) Cho hs : y =
1
2x + 1
x
−
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm m để Pt : 2m
2
4x 4x+1
+
= x - 1 có đúng một nghiệm
(78) Cho hs : y =
3 1
x - 2
x
+
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm trên (C) hai điểm M ; N đối xứng nhau qua điểm A(-2 ; -1)
c) Từ (C) suy ra đồ thị hs y =
3 1
x - 2
x +
(79) Cho hs : y =
2
2
x + 2
x x− + +
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs. C/m đồ thị có tâm đối xứng
b) Tìm trên (C) những điểm có tọa độ là các số nguyên
10
c) Từ (C) suy ra đồ thị hs y =
−
2
2
x + 2
x x− −
CHỦ ĐỀ 9: BIỆN LUẬN SỐ GIAO ĐIỂM CỦA (C) VỚI TRỤC HOÀNH
I. Hàm số bậc ba :
3 2
( , )y f x m ax bx cx d
= = + + +
(C)
1. Tìm m để (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
PP1: ĐK
/
1 2
1 2
0 có 2 ;
( ). ( ) 0
y nghiêm x x
f x f x
=
<=>
<
Giải hệ này tìm m.
PP2: - Đoán nhận x
0
là một nghiệm của f(x; m) = 0 (1)
- Chia f(x; m) cho (x - x
0
) đưa (1) về dạng: (x - x
0
).g(x) = 0 ;
trong đó g(x) là một tam thức bậc hai thỏa
0
0
( ) 0g x
∆ >
≠
Giải hệ này tìm m.
2. Tìm m để (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương
PP1: ĐK ĐK
/
1 2
1 2
1 2
0 có 2 ;
( ). ( ) 0
0
. (0) 0
y nghiêm x x
f x f x
x x
a y
=
<
<=>
< <
<
Giải hệ này tìm m.
PP2: - Đoán nhận x
0
>0 là một nghiệm của f(x; m) = 0 (1)
- Chia f(x; m) cho (x - x
0
) đưa (1) về dạng: (x - x
0
).g(x) = 0 ;
trong đó g(x) là một tam thức bậc hai thỏa:
0
0
0
0
( ) 0
P
S
g x
∆ >
>
>
≠
Giải hệ này tìm m.
3. Tìm m để (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm
/
2
max min
1 2
0
. 0
. (0) 0
0
1
y co 2 nghiêm x x
y y
a y
x x
= <
<
<=>
>
< <
4. (C) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ lớn hơn
α
/
2
max min
1 2
0
. 0
. ( ) 0
1
y co 2 nghiêm x x
y y
a y
x x
α
α
= <
<
<=>
<
< <
* (C) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ nhỏ hơn
α
/
2
max min
1 2
0
. 0
. ( ) 0
1
y co 2 nghiêm x x
y y
a y
x x
α
α
= <
<
<=>
>
< <
* (C) cắt Ox tại 3 điểm, trong đó có hai điểm có hoành độ âm
/
2
max min
1
0
. 0
. (0) 0
0
1
y co 2 nghiêm x x
y y
a y
x
= <
<
<=>
<
<
11
* (C) cắt Ox tại 3 điểm, trong đó hai điểm có hoành độ dương
/
2
max min
2
0
. 0
. (0) 0
0
1
y co 2 nghiêm x x
y y
a y
x
= <
<
<=>
>
>
5. Tìm m để (C) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt
PP1: ĐK
/
1 2
1 2
0 có 2 ;
( ). ( ) 0
y nghiêm x x
f x f x
=
<=>
=
Giải hệ này tìm m.
PP2: - Đoán nhận x
0
là một nghiệm của f(x; m) = 0 (1)
- Chia f(x; m) cho (x - x
0
) đưa (1) về dạng: (x - x
0
).g(x) = 0 ;
trong đó g(x) là một tam thức bậc hai thỏa
0 0
0 0
( ) 0 ( ) 0
hoac
g x g x
∆ = ∆ >
≠ =
Giải hệ tìm m.
6. Tìm m để (C) cắt Ox tại 1 điểm
PP1: ĐK
'
y
/
1 2
1 2
0
0 có 2 ;
( ). ( ) 0
y nghiêm x x
f x f x
∆ ≤
<=>
=
>
Giải tìm m.
PP2: - Đoán nhận x
0
là một nghiệm của f(x; m) = 0 (1)
- Chia f(x; m) cho (x - x
0
) đưa (1) về dạng: (x - x
0
).g(x) = 0 ;
trong đó g(x) là một tam thức bậc hai thỏa
0
0
0
( ) 0
hoac
g x
∆ =
∆ <
=
Giải hệ tìm m.
7. Tìm m để (C) có hai điểm cực trị
1 1 1 2 2 2
( ; ); ( ; )M x y M x y
nằm khác phía đối với đường thẳng (D):
0Ax By C
+ + =
/
1 2
1 1 2 2
0 có 2 ;
( )( ) 0
y nghiêm x x
Ax By C Ax By C
=
<=>
+ + + + <
8. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại
1 2
;x x
thỏa mãn hệ thức
1 2
( ; ) 0 (1)F x x =
• Điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu là:
/
0y
=
có hai nghiệm phân biệt
1 2
;x x
/
0
0
y
a
≠
<=>
∆ >
=> điều kiện của tham số m
•
1
x
và
2
x
thỏa mãn hệ thức (1)
1 2
1 2
1 2
.
( ; ) 0
b
x x
a
c
x x
a
F x x
+ = −
<=> =
=
• Giải hệ suy ra m. So sánh điều kiện nhận hay loại giá trị của m
Chú ý: Để tính
max min
;y y
ta nên làm theo thứ tự sau:
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số
y x
α β
= +
Nếu
1 2
;x x
đơn giản thì tính thẳng
1 2
;x x
. Khi đó
max min 1 2
. ( )( )y y x x
α β α β
= + +
Nếu
1 2
;x x
phức tạp thì sử dụng định lí Viet
2 2
max min 1 2
. ( )( )y y x x P S
α β α β α αβ β
= + + = + +
II. HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG :
4 2
y ax bx c= + +
12
/ 3 2
4 2 2 (2 )y ax bx x ax b= + = +
. Cho
/ 2
0 2 (2 ) 0y x ax b
= <=> + =
2
0 (1)
2 0 (2)
x
ax b
=
<=>
+ =
• Hàm số có 3 cực trị <=> (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0 <=> a.b < 0
• Hàm số có 1 cực trị <=> (2) VN hoặc có 1 nghiệm bằng 0 hoặc có một nghiệm kép
0 & 0
0 & 0
a b
a ab
= ≠
<=>
≠ ≥
III. HÀM SỐ HỮU TỈ
2
/ /
ax bx c
y
b x c
+ +
=
+
/ / 2 / / / / /
0 ( ) 2 ( 0)y g x ab x ac x bc cb b x c= <=> = + + − + ≠
1. Hàm số có cực đại và cực tiểu <=>
/
0y
=
có 2 nghiệm phân biệt
/
0
0
g
ab
≠
<=>
∆ >
2. Hàm số không có cực trị
/
0y
<=> =
vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
3. Đ.thị có 2 cực trị nằm cùng phía với Ox
/ /
max min
0 0
0 0
. 0 0
g g
ab ab
y y y co 2 nghiêm phân biêt
≠ ≠
<=> ∆ > <=> ∆ >
> =
4. Đ.thị có 2 cực trị nằm 2 phía với Ox
/
/
max min
0
0
0
0 vô
. 0
g
ab
ab
y nghiêm
y y
≠
≠
<=> ∆ > <=>
=
<
* BÀI TẬP:
(80) a. Tìm m để hs : y =
1
3
m −
x
3
+ mx
2
+ (3m – 2)x cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
b. Tìm m để pt : x
3
+ 3x
2
- 9x + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt
(81) a. Tìm m để hs : y = x
3
- 3x
2
- 9x + m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một
cấp số cộng. Tìm cấp số cộng đó
b. Tìm a, b để pt : x
3
+ ax + b = 0 có 3 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng. Tìm cấp số
cộng đó
(82) a. Giả sử pt : x
3
- x
2
+ ax + b = 0 có 3 nghiệm phân biệt. CMR : a
2
+ 3b > 0
d. Tìm a để pt : x
3
- x
2
+ 18ax – 2a = 0 có 3 nghiệm dương phân biệt
b. Tìm a để pt : x
3
- 3x
2
+ a = 0 có 3 nghiệm phân biệt, trong đó có hai nghiệm lớn hơn 1
c. Cho HS: y = x
3
- 3(m + 1)x
2
+ 2(m
2
+ 4m + 1)x – 4m(m + 1) (C
m
)
Tìm m để (C
m
) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1
e. Cho HS: y = x
3
- 3mx
2
+ 3(m
2
- 1)x – m
2
+ 1 (C
m
)
Tìm m để (C
m
) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm
(83) Cho HS: y = x
3
- mx
2
+ (2m + 1)x – (m + 2) (C
m
)
Tìm m để (C
m
) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt A(1 ; 0) ; B ; C thỏa :
2 2
19
48
OA OA
OB OC
+ =
÷ ÷
(84) Cho HS: y =
1
3
x
3
- mx
2
- x + m +
2
3
(C
m
)
13
Tìm m để (C
m
) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x
1
; x
2
; x
3
thỏa :
2 2 2
1 2 3
x x x
+ +
> 15
(85) Cho HS: y = 2x
3
- 3(m + 2)x
2
+ 6(m + 1)x – 3m + 6 (C
m
)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs khi m = - 1
b) Tìm m để (C
m
) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
(86) Cho hs : y = (x + a)
3
+ (x + b)
3
- x
3
(1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs khi a = 1 , b = 2
b) Tìm điều kiện đối với a, b để hs (1) có cực đại cực tiểu
c) CMR
∀
a, b phương trình (x + a)
3
+ (x + b)
3
- x
3
= 0 không thể có 3 nghiệm phân biệt
(87) Cho hs : y = x
4
- 2(m + 1)x
2
+ 3(m – 1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs khi m = 0
b) Tìm m để đồ thị hs cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.
Tìm cấp số cộng đó
(88) Cho hs : y = - x
4
+ 2(m + 1)x
2
- 2m – 1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs khi m = 0
b) Tìm m để đồ thị hs cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.
Tìm cấp số cộng đó
CHỦ ĐỀ 10: BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH
1. Các công thức :
* Khoảng cách giữa hai điểm A(x
1
; y
1
) ; B(x
2
; y
2
) là : AB =
2 2
2 1 2 1
(x - x ) + (y - y )
- Nếu AB // Ox thì AB =
2 1
x x−
- Nếu AB // Ox thì AB =
2 1
y y
−
* Khoảng cách từ M(
0 0
x ; y
) tới đường thẳng (
∆
): Ax + By + C = 0 là: d =
0 0
2 2
Ax By C
A B
+ +
+
2 . BÀI TẬP:
(89) Cho hs : y =
2 1
x + 1
x
+
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs.
b) Tìm điểm M
∈
(C) mà tổng khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận bé nhất
(90) Cho hs : y =
1
x - 1
x +
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs.
b) CMR đường thẳng 2x – y + m = 0 luôn cắt đồ thị tại hai điểm A, B trên 2 nhánh của (C)
c) Tìm m để đoạn AB ngắn nhất
(91) Cho hs : y =
1
x + 1
x −
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs.
b) Tìm điểm M
∈
(C) mà tổng khoảng cách từ đó đến hai trục tọa độ bé nhất
(92) Cho hs : y =
2
3
x - 2
x −
14
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs.
b) Tìm điểm M
∈
(C) mà tổng khoảng cách từ đó đến hai trục tọa độ bé nhất
(93) Cho hs : y =
2
2
x + 2
x x
− −
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs. b) Tìm điểm M
∈
(C) và cách đều hai trục tọa độ
(94) Cho hs : y =
2 1
x - 1
x
+
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs.
b) Tìm điểm M
∈
(C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng (
∆
): y = 1 -
3
x
đạt giá trị bé nhất.
Trong trường hợp này, c/m (
∆
) song song với tiếp tuyến của (C) tại M.
(95) Cho hs : y = x
3
+ 3x
2
- 2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs.
b) Gọi A, B là hai điểm cực trị của (C). Tìm m để tổng k/c từ A và B đến đường thẳng (
∆
): 3mx +
3y + 2m + 2 = 0 đạt GTLN, NN.
CHỦ ĐỀ 11: TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ
1. Kiến thức liên quan :
- Tập D được gọi là đối xứng nếu x
∈
D thì –x
∈
D
- Hàm số y = f(x) được gọi là hs chẵn nếu thỏa 2 ĐK :
1. Tập xác định D đối xứng
2. f(–x) = f(x)
- Hàm số y = f(x) được gọi là hs lẻ nếu thỏa 2 ĐK :
1. Tập xác định D đối xứng
2. f(–x) = – f(x)
- Đồ thị hs chẵn nhận Oy làm trục đối xứng ; Đồ thị hs lẻ nhận gốc O làm tâm đối xứng
2 . BÀI TẬP:
(96) Xác định tính chẵn, lẻ của hs : a/ y=(x–1)
2010
+ (x + 1)
2010
b/ y= log
2011
1
1
x
x
+
÷
−
c/ y = sinx+cosx
(97) CM đồ thị hs :
a/ y = ax
2
+ bx + c (a
≠
0) có trục đối xứng là đường thẳng x = -
2a
b
b/ y = (x – a)
2010
+ (x – b)
2010
có trục đối xứng là đường thẳng x =
2
a b+
c/ y = (x – a)
2010
+ (x – b)
2010
có trục đối xứng là đường thẳng x =
2
a b+
d/ y = (x – a)
2011
+ (x – b)
2011
có tâm đối xứng là I(
2
a b+
; 0)
e/ y = x
4
- 4x
3
- 2x
2
+ 12x - 1 có trục đối xứng là đường thẳng x = 1 Tìm giao của đồ thị với trục hoành
g/ y = x
4
- 4x
3
+ 8x + 3 có trục đối xứng là đường thẳng x = 1 Tìm giao của đồ thị với trục hoành
(98) Cho hs : y =
1
x + 1
x −
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs. b) CMR đường thẳng (d): y = x + 2 là trục đối xứng của (C)
15
(99) Cho hs : y =
2
x - 1
x
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs.
b) Tìm trên (C) hai điểm A ; B đối xứng nhau qua đường thẳng (d): y = x - 1
(100) Cho các đường : (C) : y =
2
2 2
1
x x
x
− +
−
; (D
1
) : y = x + 3 ; (D
2
) : y = - x + m.
Tìm m để (D
2
) cắt (C) tại hai điểm A ; B đối xứng nhau qua (D
1
)
MộT Số BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI ĐH :
Câu 1 : (A08) Cho hàm số
2 2
(3 2) 2
3
mx m x
y (1),
x m
+ − −
=
+
với m là tham số thực.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1
b. Tìm các giá trị của tham số m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) tạo với nhau
một góc bằng 45
0
.
HD: b. Tìm hai đường tiệm cận:
1
/ / /
2
: 0
: 0
ax by c
a x b y c
∆ + + =
∆ + + =
=>
1 2
2
cos( ; )
2
∆ ∆ =
Câu 2: (B08) Cho hàm số
3 2
4 6 1y x x= − +
(2)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (2), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M(-1;-9)
Câu 3: (D08) Cho hàm số
3 2
3 4y x x= − +
(3)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (3)
b. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc (k > -3) đều cắt đồ thị (C) tại
ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
HD: b) Gọi d là đường thẳng đi qua I và có hệ số góc k
Lập phương trình hoành độ giao điểm của d với (C)
Điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có ba nghiệm thỏa điều kiện
2
A B I
x x x+ =
Câu 4: (A07) Cho hàm số
2 2
2( 1) 4
2
x m x m m
y (1),
x
+ + + +
=
+
với m là tham số thực.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = - 1
b. Tìm tham số m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời hai điểm cực trị của đồ thị cùng với
góc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.
HD:b) – Tìm hai điểm cực trị A; B ; - Giải phương trình
. 0OAOB
=
uuur uuur
=> m là giá trị cần tìm.
Câu 5: (B07) Cho hàm số
3 2 2 2
3 3( 1) 3 1 (1),y x x m x m= − + + − − −
m là tham số.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
b. Tìm tham số m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách
đều gốc tọa độ.
HD: b) Tìm hai điểm cực trị A; B. Giải phương trình
OA OB
=
=> m là giá trị cần tìm.
Câu 6: (D07) Cho hàm số
2
1
x
y
x
=
+
(1)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tại A, B và
tam giác OAB có diện tích bằng
1
4
HD: Gọi
0 0
( ; ) ( )M x y C∈
=> tọa độ điểm A, B =>
1 1
.
2 4
AO OB
=
=> điểm M
Câu 7: (A06) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
3 2
2 9 12 4y x x x
= − + −
16
a. Tìm tham số m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt
3
2
2 9 12x x x m
− + =
HD: Vẽ đồ thị của hs
3
2
2 9 12y x x x
= − +
, biện luận số giao điểm của (C) với đường thẳng y = m
Câu 8: (B06) Cho hàm số
2
1
2
x x
y
x
+ +
=
+
(1)
b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (1), biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của đồ thi
Câu 9: (D06) Cho hàm số
3
3 2y x x= − +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
b. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M(3;20) và có hệ số góc là m. Tìm m để đường thẳng d cắt (C)
tại ba điểm phân biệt.
Câu 10: (A05) Cho hàm số
1
(1),y mx
x
= +
m là tham số
c. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
1
4
m
=
b) Tìm m để hàm số (1) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (C
m
) đến tiệm cận xiên của
(C
m
) bằng
1
2
HD:b) – Tìm điểm cực tiểu ; - Tìm tiệm cận xiên của (C
m
) =>
2
( , )
2
d M d
=
Câu 11: (B05) Cho hàm số
2
( 1) 1
(1)
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1
b. Chứng minh rằng với mọi m đồ thị (C
m
) luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách
hai điểm đó bằng
20
Câu 12
D05) Cho hàm số
3 2
1 1
,(1)
3 2 3
m
y x x
= − +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2
b. Gọi M là điểm thuộc (C
m
) có hoành độ bằng – 1. Tìm m để tiếp tuyến của (C
m
) tại điểm M song
song với đường thẳng 5x – y = 0.
Câu 13: (A04) Cho hàm số
2
3 3
(1)
2( 1)
x x
y
x
− + −
=
−
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
b. Tìm tham số m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại 2 điểm A, B sao cho AB = 1
Câu 14: (B04) Cho hàm số
3 2
1
2 3 (1)
3
y x x x= − +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
b. Viết phương trình tiếp tuyến
∆
của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng
∆
là tiếp tuyến của (C)
có hệ số góc nhỏ nhất.
HD:b) – Tìm tiếp tuyến
∆
- Gọi
0 0
( ; ) ( )M x y C∈
, chứng minh
/
0
( )f x hsg
≥ ∆
Câu 15: (D04) Cho hàm số
3 2
3 9 1(1)y x mx x= − + +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2
b. Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + 1
Câu 16
A03) Cho hàm số
2
(1)
1
mx x m
y
x
+ +
=
−
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -1
17
b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ
dương.
Câu 17
B03) Cho hàm số
3 2
3 (1)y x x m= − +
a. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O
b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2
HD: a) Gọi A(x;y) => B(-x; -y) .Vì A,B thuộc (C) suy ra hệ pt => m
Câu 18: (D03) Cho hàm số
2
2 4
(1)
2
x x
y
x
− +
=
−
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
b. Tìm m để đường thẳng dm:
2 2y mx m
= + −
cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt.
Câu 19: (DBA03) Cho hàm số
2
2 4 3
(1)
2 2
x x
y
x
− −
=
−
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
b. Tìm m để phương trình
2
2 4 3 2 1 0x x m x− − + − =
có hai nghiệm phân biệt.
Câu 20: (DBA03) Cho hàm số
2 2
(2 1) 4
2( )
x m x m m
y
x m
+ + + + +
=
+
a. Tìm m để hàm số có cực trị và tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
Câu 21(DBB03) Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
−
=
−
(1)
b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
c. Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C)
tại M vuông góc với đường thẳng IM.
Câu 22: (DBD03) cho hàm số
2 2
5 6
(1)
3
x x m
y
x
+ + +
=
+
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1
b. Tìm m để hàm số đồng biến khoảng
(1; )
+∞
HDb): ĐK
/
0y x 1
≥ ∀ ≥
; Đs:
2 2
1
min ( ) , 1 16
x
g x m x m
≥
≥ ∀ ≥ <=> ≤
Câu 23: (DBA04) Cho hàm số
4 2 2
2 1(1)y x m x
= − +
d. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1
e. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của tam giác vuông cân.
HDb) ĐK:
. 0OAOB
=
uuur uuur
Câu 24: (DBA05) Cho hàm số
2 2
2 1 3
(1)
x mx m
y
x m
+ + −
=
−
có (C
m
)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1
b. Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung.
HDb) ĐK:
/
0y
=
có hai nghiệm phân biệt thỏa:
1 2
0 0x x P
< < <=> <
Phần 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HS
I. PP sử dụng Đạo hàm:
1/ Tìm GTLN; GTNN của hs y = f(x) liên tục trên [a;b]:
- Tìm y’ và các nghiệm x
i
∈
[a;b] của pt y’ = 0
- Tính f(a) ; f(b) ; f(x
i
), từ đó suy ra GTLN; GTNN của hs y = f(x) trên [a;b]
2/ Tìm GTLN; GTNN của hs y = f(x):
- Tìm TXĐ
- Tìm y’ và các nghiệm x
i
∈
[a;b] của pt y’ = 0
- Lập bảng biến thiên, từ đó suy ra GTLN; GTNN của hs y = f(x)
18
* BÀI TẬP :
(1). Tìm GTLN; GTNN của hs :
189.a/ y =
2
1
1
x
x x
+
+ +
.b/ y =
2 2
(1 2x )(1 )x
+ −
.c/ y = x +
2
12 3x
−
d/ y = x
4
+ (1 – x)
4
e/ y =
4 4
1 1x x− + +
g/ y = cos3x + 2cos2x + 3cosx – 2 trên [0;
2
3
π
]
h/ y = sin2x + 2sinx trên [0 ;
3
2
π
] i/ y = 1 + cosx +
1
2
cos2x +
1
3
cos3x
k/ y=(1-cosx)(2-cosx)(3-cosx)(4-cosx) l/ y=cosx–sinx–sin2x+1 m/ y=(1+cosx).sinx HD:Đặt t=tan
2
x
n/ y = 2sin2x + 3(sinx + cosx) – 3 trên [0 ;
2
π
] o/ y =
sinx osxc
+
trên [0 ;
2
π
]
p/ y = 3cos2x +6
sinx
.q/ y =
2
2 os osx 1
osx 1
c x c
c
+ +
+
.r/ y =
2
1
os osx + 2c x c
+
s/ y =
2
sinx +1
sin sinx +1x
+
.t/ y =
1 1
2 sinx 2 osxc
+
+ −
(2) Cho 2 số thực x, y
≠
0. Tìm GTNN của biểu thức :
58a/ A =
2 2
2 2
3
x y x y
y x y x
+ − +
÷
HD: đặt t =
x y
y x
+
(t
≤
-2 v t
≥
2) rồi tìm minA(t)
59b/ B =
4 4 2 2
4 4 2 2
x y x y x y
y x y x y x
+ − + + +
÷
HD: đặt t =
x y
y x
+
(t
≤
-2 v t
≥
2) rồi tìm minA(t)
63(3) Cho 2 số thực a, b không âm thỏa: a + b = 1. Tìm GTLN, NN của biểu thức :
C =
1 1
a b
b a
+
+ +
HD: thay b = 1 – a, tìm maxC(a); minC(a)
65(4) Cho 2 số thực a, b > 0 thỏa: a + b = 1. Tìm GTNN của biểu thức :
D =
2 2
1 1
a b
a b
+ + +
÷ ÷
HD: đặt a =x, b=1-x, x
∈
(0;1)=> tìm minD(x)=
25
2
86(5) Cho 3 số thực a, b, c > 0 thỏa: a
2
+ b
2
+ c
2
= 1. Tìm GTNN của biểu thức :
E =
2 2 2 2 2 2
a b c
b c c a a b
+ +
+ + +
HD: thay b
2
+c
2
=1-a
2
; c
2
+a
2
=1-b
2
; a
2
+b
2
=1-c
2
Xét maxf(x) trog (0;1) => MinE
135.(6) Cho 2 số thực a, b không âm. Tìm GTNN của biểu thức : y =
( )
2
x a b
x a b ab
+ +
+ +
114.(7) Giả sử x, y là nghiệm của hệ pt:
2 2 2
2a -1
x 2a -3
x y
y a
+ =
+ = +
Tìm a để biểu thức P = xy đạt GTNN
(8) Giả sử x, y là nghiệm của hệ pt:
2 2 2
a 1
x 2 2
x y
y a
+ = +
+ = −
Tìm a để biểu thức P = xy đạt GTLN
(9) Giả sử x, y là nghiệm của hệ pt:
2 2 2
2a 1
x 4a
x y
y a
+ = +
+ = +
Tìm GTLN,NN của biểu thức P = xy
(10) Giả sử x, y là nghiệm của hệ pt:
2
a -1
7a 14
x y
xy a
+ =
= − +
Tìm a để biểu thức F = x
2
+ y
2
a/ đạt GTLN; b/ đạt GTNN
(11) Cho đường cong (C): y =
2
9x
+
và đường thẳng (
∆
): 4x – 5y – 32 = 0
19
Tìm tọa độ M
∈
(C) để khoảng cách d(M;
∆
) ngắn nhất
(12) Cho đường (C): y =
3
1
1
4 3x
+
và điểm A(0;1)Tìm tọa độ M
∈
(C) để độ dài đoạn AM ngắn nhất
(13) Cho pt: x
4
- 2x
2
- 2a + 2 = 0 Tìm GTNN của a để pt có nghiệm
(14) Tìm tất cả các giá trị của m để PT sau có nghiệm : x
4
+ mx
3
+ x
2
+ mx + 1 = 0
(15) Tìm tất cả các giá trị của m để BPT sau nghiệm đúng với mọi x: sin
4
x + cos
4
x + sinx.cosx
≥
m
(16) Tìm tất cả các giá trị của m để BPT sau nghiệm đúng với mọi x
≥
2
x
3
- 2x
2
- (m – 1)x + m
≥
1
x
(17) Cho Bpt: - 4
(4 )(2 )x x
− + ≤
x
2
- 2x + m – 18
a/ Giải Bpt khi m = 6
b/ Tìm tất cả các giá trị của m để BPT sau nghiệm đúng với mọi x
∈
[- 2; 4]
(18) Cho pt : (x – 3)(x + 1) + 4(x – 3)
1
3
x
x
+
−
= m (1)
a/ Giải pt khi m = -3 b/ Tìm m để pt (1) có nghiệm
(19) Cho pt :
2
2x ( 2) 8m x
− + +
= 2 - x (1)
a/ Giải pt khi m = 7 b/ Tìm m để pt (1) có nghiệm
(20) Cho BPT: 2x + 1
≥
a.
( )
x -1 + 1
(1)
a/ Giải Bpt khi a = 1 b/ Tìm a để Bpt (1) có nghiệm
(21) Cho Bpt: cos2x + (m-1)cosx + 3m – 2
≥
0
a/ Tìm m để Bpt có nghiệm b/ Tìm m để Bpt nghiệm đúng với mọi x
(22) Tìm tất cả các giá trị của m để BPT sau có nghiệm 4
x
- m.2
x
+ m + 3
≤
0
(23) Tìm tất cả các giá trị của m để PT sau vô nghiệm
a/
2
2
2
1
x
x
÷
+
+ 2(m – 2).
2
2
1
x
x
+
+ m = 0 b/ 5.16
x
+ 2.81
x
= m.36
x
(24) Cho pt:
2
3x 1
2x-1 ax
2x-1
−
= +
a/ Giải pt khi a = 0 b/ Tìm a để pt có nghiệm duy nhất
(25) Cho Pt: cos4x + 6sinx.cosx = m
a/ Giải pt khi m = 1 b/ Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt trên đoạn
0;
4
π
(26) Trong tất cả các khối nón có đường sinh bằng a, tìm khối nón có thể tích lớn nhất. Tính đường cao
khối nón đó
II. PP dùng Miền giá trị hàm:
• B1: Xem y = f(x) là phương trình ẩn x và tham số y
• B2: Tìm điều kiện của y để phương trình y = f(x) có nghiệm
• B3: Kết luận Miny và Maxy.
* Hs y =
2
2
ax x + c
a'x ' '
b
b x c
+
+ +
có TXĐ D = R được biến đổi về dạng : Ax
2
+ Bx + C = 0 (1)
- Với A = 0, tìm nghiệm x của pt (1)
- Với A
≠
0, ĐK để Pt có nghiệm là
∆
≥
0, suy ra m
≤
y
≤
M
axy = M
Miny m
M
=
⇒
* Hs y = f(sinx ;cosx) có TXĐ D = R và được biến đổi về dạng a.cosx + b.sinx = c (2)
ĐK để Pt (2) có nghiệm là
2 2 2
a b c
+ ≥
. Từ đó suy ra m
≤
y
≤
M
axy = M
Miny m
M
=
⇒
* BÀI TẬP :
20
(27). Tìm GTLN; GTNN của hs :
a/ y =
2
1
1
x
x x
+
+ +
b/ y =
2
2
2x 4x+5
x 1
+
+
c/ y =
2 osx
2 - cosx - sinx
c+
d/ y =
2sinx + 3cosx - 1
sinx + 2
(28) Tìm a, b để hs y =
2
2
2x x + b
x 1
a
x
+
− +
có GTLN bằng 5 và GTNN bằng 1
(29) Tìm m để hs y =
m.cosx + sinx - 3
osx - 2sinx + 4c
có GTNN bằng -2
(30) Tìm m để BPT
m.cosx + m - 1
1
3 osx + sinx c
<
+
nghiệm đúng
x
∀ ∈
R
(31) Cho pt : sin
2
x+(m–1)sin2x–(m+1)cos
2
x= m a/ Giải pt khi m = -2 b/ Tìm m để pt có nghiệm
III. PP dùng Bất đẳng thức:
1/ Bất đẳng thức Cauchy : Cho n số dương a
1
, a
2
, …, a
n
ta có: a
1
+ a
2
+ … + a
n
≥
n
1 2 n
a .a a
n
* Nếu tích
1 2 n
a .a a
= p không đổi thì tổng a
1
+ a
2
+ … + a
n
đạt GTNN bằng n.
n
p
a
1
= a
2
= … = a
n
=
n
p
* Nếu tổng a
1
+ a
2
+ … + a
n
= S không đổi thì tích
1 2 n
a .a a
đạt GTLN bằng
n
S
n
÷
a
1
= a
2
= … = a
n
=
S
n
2/ Bất đẳng thức Bunhiacôpski: (AC + BD)
2
≤
(A
2
+ B
2
)(C
2
+ D
2
)
Trong đó: A
2
+ B
2
= k
2
; C
2
+ D
2
= m
2
, với k, m đều là hằng số dương
ax(AC + BD)
(AC + BD) = - km
M km
Min
=
⇒
với đk :
A B
C D
=
Chú ý: Phải xét dấu = xảy ra trong tất cả các bất đẳng thức đã dùng trong quá trình giải.
* BÀI TẬP :
(32) Cho 2 số thực a, b > 0. Tìm GTNN của biểu thức:
A = (1 + ab)
1 1
a b
+
÷
; B = (a + 4)(b + 4)
1 1
a b
+
÷
;
C =
1
m
a
b
+
÷
+
1
m
b
a
+
÷
; m
∈
Z ; D =
3
2
( )a b
a b
+
(33) Cho 3 số thực a, b, c > 0. Tìm GTNN của biểu thức:
D = (a + b + c)
1 1 1
a b c
+ +
÷
; G =
1
a
b
+
÷
1
b
c
+
÷
1
c
a
+
÷
H =
( )( )( )a b b c c a
abc
+ + +
; K =
b c c a a b
a b c
+ + +
+ +
(34) Cho 2 số thực a, b > 0. Tìm GTNN của biểu thức:
a/ y =
( )( )x a x b
x
+ +
trên miền (0; +
∞
) b/ y = ax +
b
x a
+
trên miền (-a; +
∞
)
(35) Cho 2 số x, y thỏa 0
≤
x
≤
1 ; 0
≤
y
≤
2. Tìm GTLN của biểu thức:
M = (1 - x)(2 - y)(4x + y)
(36) Cho 2 số dương x, y thỏa x + y = 2. Tìm GTNN của biểu thức: N = 3
x
+ 3
y
+ 1
(37) Cho 3 số dương a, b, c thỏa a + b + c = 1. Tìm GTLN của biểu thức:
P =
1
1
a
+
÷
+
1
1
b
+
÷
+
1
1
c
+
÷
(38) Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: Q = ax + by + c
Trong đó a, b, c là các số cho trước và 2 số x, y thỏa x
2
+ y
2
= 1
21
(39) Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: S=y–4x+8. Trong đó x, y là hai số thỏa : 4x
2
+y
2
=
1
4
(40) Cho 3 số không âm a, b thỏa a + b + c = 1. Tìm GTLN của biểu thức:
U =
a b c+ +
; V =
4 4 4
a b c+ +
(41) Tìm GTLN, GTNN của hs: y =
2
2
os sinx.cosx
1+ sin
c x
x
+
IV. PP dùng Lũy thừa với số mũ chẵn:
1/ Nếu f(x) = C + A
2n
+ B
2m
, trong đó C là hằng số; n,m
∈
Z => f(x)
≥
C => Mìnf(x) = C
0
0
A
B
=
=
2/ Nếu f(x) = C - A
2n
- B
2m
, trong đó C là hằng số; n,m
∈
Z => f(x)
≤
C => Maxf(x) = C
0
0
A
B
=
=
* BÀI TẬP :
(42) Tìm GTNN của biểu thức : A = 2x
2
+ 2y
2
+ 2xy – 2x + 2y + 1
(43) Tìm GTLN của biểu thức : B = 4 - 5x
2
- 2y
2
+ 2xy + 8x + 2y
(44) Tìm GTNN của biểu thức : C = 4sin3x + cos2x – cos6x + 5
(45) Tìm GTNN của biểu thức : D = cosx + cosy +
1
2
cos(x + y) -
11
2
Phần 3: P.TRÌNH VÀ BẤT P.TRÌNH SIÊU VIỆT
* CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Định nghĩa và các công thức của luỹ thừa, logarít.
2. Tính chất của hàm số mũ và hàm lôgarít.
3. Các phương trình và bất phương trình mũ và lôgarít
• Với mọi số dương m thì
log (0 1)
x
a
a m x m a= <=> = < ≠
log , 1
log ,0 1
a
x
a
x m a
a m
x m a
> >
> <=>
< < <
• Với mọi số thực m thì
log
m
a
x m x a= <=> =
, 1
log
,0 1
m
a
m
x a a
x m
x a a
> >
> <=>
< < <
Trường hợp:
,log
x
a
a m x m< <
xét tương tự như các trường hợp trên
4. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI THƯỜNG GẶP
Phương pháp đưa về cùng cơ số:
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x= <=> =
log ( ) log ( ) ( ) ( ) 0
a a
f x g x f x g x= <=> = >
( ) ( )
( ) ( ), 1
( ) ( ),0 1
f x g x
f x g x a
a a
f x g x a
> >
> <=>
< < <
( ) ( ) 0, 1
log ( ) log ( )
0 ( ) ( ),0 1
a a
f x g x a
f x g x
f x g x a
> > >
> <=>
< < < <
Phương pháp đặt ẩn số phụ:
Mục đích đặt ẩn số phụ là đưa các phương trình hay bất phương trình về dạng phương trình hay bất
phương trình hữu tỷ mà ta đã biết cách giải .
Dạng:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
f x f x
a b a b c c
+ ± − = >
Với
( )( ) 1a b a b+ − =
Ta đặt
( )
( )
f x
t a b
= +
22
Dạng:
2 ( ) ( ) 2 ( )
. .( ) . 0
f x f x f x
a u b uv c v+ + =
Ta chia hai vế phương trình cho
2 ( )f x
v
rồi đặt
( )
( )
f x
u
t
v
=
.
Khi biến đổi phương trình về dạng:
2
. ( ) . ( ) 0a f x b f x c+ + =
( > 0) với
( )
( )
g x
f x m=
hoặc
( ) log ( )
m
f x g x=
, ta đặt t = f(x) để đưa phương trình hay BPT về bậc hai ẩn t.
Phương pháp Lôgarit hoá:
Phương pháp Lôgarit hoá rất có hiệu quả khi hai vế của phương trình có dạng tích các luỹ thừa nhằm chuyển
ẩn số khỏi số mũ.
( )
( ) log (0 1, 0)
f x
a
a b f x b a b= <=> = < ≠ >
( ) ( ) ( ) ( )
log log ( ) ( ).log
f x g x f x g x
a a a
a b a b f x g x b
= <=> = <=> =
Hoặc lấy lôgarit hai vế của pt hay bpt theo cơ số b.
Phương pháp nhẩm nghiệm và c/m duy nhất nghiệm:
Sử dụng tính chất của hàm số mũ: Nếu PT có 1 nghiệm x
0
, một vế của PT là đồng biến , còn một vế là nghịch
biến (hoặc là hàm hằng) thì nghiệm x
0
là duy nhất.
* BÀI TẬP:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1)
2
8 1 3
2 4
x x x− + −
=
2)
2
5
6
2
2 16 2
x x− −
=
3)
1 2 5
2 .5 2.10
x x x+ +
=
4)
1 2
2 .3 .5 12
x x x− −
=
5) 7. 3
1x+
- 5
2x
+
= 3
4x+
- 5
3x+
6) 3
1x+
+ 3
2x
−
- 3
3x−
+ 3
4x−
= 750 7)
1 2 1 2
2 2 2 3 3 3
x x x x x x
− − − −
+ + = − +
8)
1 3
2 1
2 2
9 2 2 3
x x
x x
+ +
−
− = −
9) 7
3x
+ 9.5
2x
= 5
2x
+ 9.7
2x
10) 2
2
1x −
- 3
2
x
= 3
2
1x −
- 2
2
2x +
Bài 2: Giải các phương trình sau:
1) 3
2x-5
= 4 2) 2
2
x
. 3
x
= 1 3)
2
4 2
2 3
x x+ −
=
4) 5
x
. 8
1x
x
−
= 500
5) 5
x
.
1
8
x
x
+
= 100 6) 3
x
. 8
2
x
x+
= 6 7)
4
4
x
x x x=
Bài 3: Giải các phương trình sau:
1)
2.16 15.4 8 0
x x
− − =
2)
2 6 7
2 2 17 0
x x+ +
+ − =
3)
4 8 2 5
3 4.3 27 0
x x+ +
− + =
4)
2 3 3
8 2 12 0
x
x x
+
− + =
5)
2 2
2 2 1
9 7.3 2
x x x x x x− − − − −
− =
6)
3.49 2.14 4 0
x x x
+ − =
7)
3.16 2.8 5.36
x x x
+ =
8)
8.3 3.2 24.6
x x x
+ =
9)
1 4 2
4 2 2 16
x x x
+ + +
+ = +
10)
1 1 1
2.4 6 3.9
x x x
− − −
− =
11) 3
x
+ 3
3 2x
−
= 6 12)
( )
5
3
x
+
( )
10
10
3
x−
= 84
13)
(4 15) (4 15) 62
x x
+ + − =
14)
(
)
(
)
2 3 2 3 4
x x
− + + =
15)
(7 4 3) 3(2 3) 2 0
x x
+ − − + =
16)
3
(3 5) 16.(3 5) 2
x x x
+
+ + − =
Bài 4: Giải các phương trình sau:
1)
3 4 0
x
x
+ − =
2) 7
6 x−
= x+2 3)
3 4 5
x x x
+ =
4)
2
3 1 2
x
x
+ =
5)
2 2
5 3 2.5 2.3
x x x x
= + +
6)
2 1 2 2 1 1 2
2 3 5 2 3 5
x x x x x x
− + + +
+ + = + +
7)
2
3
x
= cosx
8) 3. 25
2x−
+ (3x – 10). 5
2x
−
+ 3 – x = 0 9) 3. 4
x
+ (3x – 10). 2
x
+ 3 – x = 0
10) x
2
- (3 - 2
x
).x + 2( 1 - 2
x
) = 0
Bài 5: Giải các phương trình sau:
23
1)
2
2 1
( 1) 1
x
x x
−
− + =
2)
2
2 4
( 2 2) 1
x
x x
−
− + =
3)
( )
2
2
1
x
x x
−
− =
4)
3
( 1) 1
x
x
−
+ =
5)
2
2xx
x
−
= 1 6)
2
3
x x
x
−
−
= (x – 3)
2
7)
2 1 2 2 1
x x
− + − =
Bài 6: Giải các phương trình sau:
1)
5 5 5
log log ( 6) log ( 2)x x x= + − +
2)
5 25 0.2
log log log 3x x+ =
3)
2
log (2 5 4) 2
x
x x
− + =
4)
2
3
l g( 2 3) l g 0
1
x
o x x o
x
+
+ − + =
−
5)
3 1
3
log (2 1) log (3 ) 0x x+ − − =
6)
3
4
log ( 1)
2
x
x
+ =
+
7)
1
l g(5 4) l g 1 2 l g0,18
2
o x o x o
− + + = +
8)
2
2
log 16 log 64 3
x
x
+ =
(422)
9)
2 2
log (4.3 6) log (9 6) 1
x x
− − − =
(432) 10)
1 2
1
4 l g 2 l go x o x
+ =
− +
11)
2 2
log 10log 6 0x x+ + =
12)
16 2
3log 16 4log 2log
x
x x− =
(423)
13)
3
l g(l g ) l g(l g 2) 0o o x o o x+ − =
(432) 14)
3 9
1
log (log 9 ) 2
2
x
x x+ + =
(434)
15)
2
3 3
log log
3 162
x x
x+ =
(439) 16)
2
l g( 6) 4 l g( 2)x o x x o x+ − − = + +
(441-nham)
17)
3 5
log ( 1) log (2 1) 2x x+ + + =
(442-nhẩm) 18)
5
log ( 3)
2
x
x
+
=
(443-nham)
19)
5
3 3 log
x
x
= −
20)
4
12 9
1
log ( ) (log )
2
x x x
+ =
Bài 7: Giải các bất phương trình sau
1)
6
2
9 3
x
x+
<
2)
3 9.3 10 0
x x−
+ − <
3)
5.4 2.25 7.10 0
x x x
+ − ≤
4)
25.2 10 5 25
x x x
− + >
5)
2 1
5 5 5 5
x x x+
+ < +
6)
1
1
1
( 5 2) ( 5 2)
x
x
x
−
−
+
− ≤ +
(378)
7)
1
2 1 2
0
2 1
x x
x
−
+ −
≤
−
(381) 8)
1
1 1
3 1 1 3
x x+
≥
− −
(381)
9)
1
1
2 1
3 1
2 2
x
x
−
+
≥
(384) 10)
2
1 5 25
x x−
< <
(384)
11)
2 2 2
1
( 5 1) 2 3.( 5 1)
x x x x x x− + − + + − +
+ + < −
12)
2 4 4
3 8.3 9.9 0
x x x x+ + +
− − >
13)
2.2 5 2 1 4
x x
+ + − <
14)
2
4 2 2
3 ( 4)3 1
x x
x
− −
+ − ≥
15)
2
( 1) 1
x
x x− + <
16)
1
2
1
( 2 3) 1
x
x
x x
−
+
+ + <
17)
2
3
2 2 2
( 1) 1
x x
x x
+
− > −
Bài 8: Giải các bất phương trình sau
1)
2
8
log ( 4 3) 1x x
− + ≤
2)
3 3
log log 3 0x x
− − <
3)
2
1 4
3
log [log ( 5)] 0x − >
4)
2
1 5
5
log ( 6 8) 2log ( 4) 0x x x− + + − <
5)
2
3
log (3 ) 1
x x
x
−
− >
(465) 6)
2
2
3
1
5
log ( 1) 0
2
x
x
x x
+
− + ≥
(466)
7)
2
2 2
log log 0x x
+ ≤
8)
3 1
2
log (log ) 0x ≥
(464)
24
9)
2
6 6
log log
6 12
x x
x+ ≤
(471) 10)
3
2 2
2 log 22 log
1
x
x
x
− −
>
(471)
11)
2
5 5 5
log (4 144) 4log 2 1 log (2 1)
x x−
+ − < + +
12)
2
2 2
6 4
3
log 2 logx x
+ >
Baì 9: Giải các hệ phương trình mũ và Lôgarit
1)
2 .3 12
3 .2 18
x y
x y
=
=
2)
2 3
9 3
1 2 1
3log (9 ) log 3
x y
x y
− + − =
− =
3)
log (3 2 ) 2
log (3 2 ) 2
x
y
x y
y x
+ =
+ =
4)
2 4
2
2 4
5log 3log 8
10log log 9
x y
x y
− = −
− = −
5)
3 2 3
4 128
5 1
x y
x y
+
− −
=
=
6)
2
( ) 1
5 125
4 1
x y
x y
+
− −
=
=
7)
2
3 2 77
3 2 7
x y
x y
− =
− =
8)
2 2 12
5
x y
x y
+ =
+ =
Bài 8: Giải các hệ phương trình sau
1)
2 2
l g l g 1
29
o x o y
x y
+ =
+ =
2)
2 2
l g( ) 1 3l g 2
l g( ) l g( ) l g3
o x y o
o x y o x y o
+ = +
+ − − =
3)
3 3
4 32
log ( ) 1 log ( )
x y
y x
x y x y
+
=
+ = − +
4)
3 3 3
log log 1 log 2
5
x y
x y
+ = +
+ =
5)
4 2
2 2
log log 0
5 4 0
x y
x y
− =
− + =
6)
2
2log
log log
4 3
y
x y
x
xy x
y y
=
= +
Bài 9: Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
1)
2
3 1
3
log ( 4 ) log (2 2 1) 0x ax x a+ + − − =
2)
l g( )
2
l g( 1)
o ax
o x
=
+
Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
( 4).9 2( 2).3 1 0
x x
m m m− − − + − =
Bài 6: Cho bất phương trình sau:
1
4 (2 1) 0
x x
m
−
− + >
a/ Giải bất phương trình khi
16
9
m =
b/ Định m để bất phương trình thoả
x R∀ ∈
Phần 4: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
CHỦ ĐỀ 1: BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM
Hàm số sơ cấp Hàm số hợp : u = u(x) Công thức suy rộng
+1
1 ( x + b)
( x + b) x = .
k + 1
k
k d C
α
α
α
+
∫
x 1
. ln kx + b
kx + b
d
C
k
= +
∫
k.x +b k.x + b
1
x = .
k
e d e C+
∫
k.x+b
k.x +b
1
x = .
k ln
a
a d C
a
+
∫
1
os(kx + b)dx = sin (kx + b) + C
k
c
∫
1
sin (kx + b)dx = os(kx + b) + C
k
c−
∫
25
