Bài tập nguyên hàm tích phân

Nguyễn Phú Khánh - Đà Lạt
1

BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN

BÀI TẬP 1: Chứng minh rằng F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) bằng đònh nghóa:
1.CMR hàm số :
2
2
x - x 2 + 1
F(x) = ln
x + x 2 + 1
là một nguyên hàm của hàm số
2
4
22(x - 1)
f(x) =
x + 1
trên R
2. CMR hàm số :
2
x(xlnx - 1)
khi x > 0
F(x) =
4
0 khi x = 0
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩

là một nguyên hàm của hàm số
xlnx khi x > 0
f(x) =
0 khi x = 0
⎧
⎨
⎩
3. . CMR hàm số :
2
1
x sin khi x 0
F(x) =
x
0 khi x = 0
⎧
≠
⎪
⎨
⎪
⎩
là một nguyên hàm của hàm số
11
2xsin - cos khi x 0
f(x) =
xx
0 khi x = 0
⎧
≠
⎪
⎨

⎪
⎩
trên R
4. . CMR hàm số : là một nguyên hàm của hàm số
trên R
x
2
e khi x 0
F(x) =
x + x + 1 khi x < 0
⎧
≥
⎪
⎨
⎪
⎩
x
e khi x 0
f(x) =
2x + 1 khi x < 0
⎧
≥
⎨
⎩

BÀI TẬP 2: Xác đònh các giá trò của tham số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b)
1.Xác đònh a; b; c để hàm số
bc
F(x) = (a + 1)sinx + sin2x + sin 3x
23

là một nguyên hàm của hàm số
trên R
f(x) = cosx
ĐS: a = b = c = 0
2. .Xác đònh a; b; c để hàm số là một nguyên hàm của hàm số
2
F(x) = (ax + bx + c)e
-x x2-
f(x) = (x - 3x + 2)e
3. .Xác đònh a; b; c để hàm số
2
3
F(x) = (ax + bx + c) 2x - 3 với x >
2
là một nguyên hàm của hàm số
2
20x - 30x + 7
f(x) =
2x - 3

4. Xác đònh a; b để hàm số
2
x khi x 1
F(x) =
ax + b khi x > 1
⎧
≤
⎨
⎩
là một nguyên hàm của hàm số

2x khi x 1
f(x) =
2 khi x > 1
≤
⎧
⎨
⎩

trên R

5. Xác đònh a; b để hàm số
x
e - 1
khi x 0
F(x) =
x
a khi x = 0
⎧
≠
⎪
⎨
⎪
⎩
là một nguyên hàm của hàm số
x
2
(x - 1)e + 1
khi x 0
f(x) =
x

b khi x = 0
⎧
≠
⎪
⎨
⎪
⎩

Nguyễn Phú Khánh - Đà Lạt
2
6. Cho hàm số
4sinx + 3cosx
y = f(x) =
sin x + 2cosx
. Xác đònh các hằng số a để
. Từ đó tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)
4sinx + 3cosx = a(sinx + cosx) + b(cosx - 2sinx)

BÀI TẬP 3: Tính nguyên hàm của hàm số:

()
()
()
1
2
2
3
3
2
4

2
2
2008
5
2
6
2006
1
Q = dx
2x + 1 + 3 - 2x
2
Q = dx
x - 4x + 3
4x - 9x - 1
Q = dx
4x - 9
1
Q = dx
x + x + 1
Q x1 - 3xdx
x
Q = dx
1 - x
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫

()
1
3
2
3
3
4
2
5
4
6
4
7
5
23
8
66
9
dx
I =
1 + sinx
I = 8cosx.sinxdx
tgx
I = dx
cos x
1
I = dx
sinx.cos x
1

I = dx
cos x
1
I = dx
sin x
sinx + cosx
I = dx
sinx - cosx
I = 8cosx.sinxdx
I = sinx + cosxdx
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫

1
2
x
x
3
x- x
x + 1 x - 1
4
x
3x - 2

5
6
x
7
3
8
dx
M = ; x > 1
x.lnx.ln(lnx)
1
M = dx
1 + e
e
M = dx
e + e
2 - 5
M = dx
10
M = e dx
x + 1
M = dx
x(xe + 1)
1
M = dx
sinx.cos x
sinx + cosx
M = dx
3 + sin2x
∫
∫

∫
∫
∫
∫
∫
∫




BÀI TẬP 4: Tính tích phân
4
2
1
0
2
2
-
2
2
2
3
0
K = sin - x dx
4
K = sin 7x.sin2xdx
K = sinx.cos x - dx
4
π
π

π
π
π
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
π
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
∫
∫
∫

4
1
0
3
2
6
1
Q = dx
cosx.sin x +
4
1
Q = dx
sinx.sin x +
6
π
π

π
π
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
π
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
∫
∫

2
2
1
- 2
5
2
2
4
2
3
- 1
L = x - 1dx
1
L = dx
x + 2 + x - 2
L = x - 3x + 2 dx
∫
∫

∫


Nguyễn Phú Khánh - Đà Lạt
3
3
4
0
2
3
5
6
6
4
6
4
0
K = cosx.cos5xdx
sin x
K = dx
cos x
1
K = dx
cos x
π
π
π
π
∫
∫

∫


2
3
0
cos2x
Q = dx
cosx + 1
π
∫

2
4
2
1
e
5
1
1
x
6
0
x + 1
Q = dx
x + xlnx
2 + lnx
Q = dx
2x
Q = e dx

∫
∫
∫

4
0
5
0
2
6
0
3
2
7
2
0
L = sin x - cosx dx
L = 1 - sin2xdx
L = 1 + sinxdx
sin x
L = dx
1 + cos x
π
π
π
π
∫
∫
∫
∫

BÀI TẬP 5:Tích phân đổi biến cơ bản

10
1
2
0
7
3
2
3
2
0
1
32
3
0
2x
I = dx
x + x + 1
x
I = dx
x + 1
I = x x + 1dx
∫
∫
∫

6

1
22
0
3
4
2
0
2
32
3
0
sin 2x
T = dx
2sin x + cos x
tg x
T = dx
cos2x
T = cos x.sin xdx
π
π
∫
∫
∫

()
2
1
3
0
1

2
2
0
22
2
3
0
4sinx
A = dx
sinx + cosx
12 + x
A = ln dx
4 - x 2 - x
A = x x + 1dx
π
∫
∫
∫


BÀI TẬP 6 : Tích phân đổi biến

3
3
1
0
sin x
I = dx
cosx + 2
π

∫

2
2
0
I = m - xxdx
∫

3
1
4
6
ln3
x
0
1
G = dx
cosx.sin x
1
G = dx
e + 1
π
π
∫
∫

2
1
0
2

22
0
sinx + 7cosx + 6
T = dx
4sinx + 3cosx + 5
3sinx + 4cosx
T = dx
3sin x + 4cos x
π
π
∫
∫


BÀI TẬP 7:Tích phân đổi biến chứa hàm hữu tỉ

2
1
2
1
8
2
2
3
4
3
2
7
1
I = dx

xx + 1
1
I = dx
xx + 1
1
I = dx
xx + 9
∫
∫
∫

3
1
2
6
3
2
2
6
cosx
I = dx
sin x 5sinx + 6
cosx
I = dx
11 - 7sinx - cos x
π
π
π
π
−

∫
∫




Nguyễn Phú Khánh - Đà Lạt
4
BÀI TẬP 8:
()
2
2
0
T = max f(x); g(x) dx trong đó f(x) = x và g(x) = 3x - 2
∫
1. Tính tích phân
2. Cho hàm số
x
cos khi x 1
2
f(x) =
x - 1 khi x > 1
π
⎧
≤
⎪
⎨
⎪
⎩
Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số . từ đó tính tích

phân
3
2
f(x)dx
−
∫
3. . Cho hàm số
sinx khi x
2
f(x) =
ax + b khi x >
2
π
⎧
≤
⎪
⎪
⎨
π
⎪
⎪
⎩
Xét đònh a; b để hàm số trên toàn trục số . từ đó tính tích phân
2
3
0
f(x)dx
π
∫

4. Tìm các hằng số a; b để
1
0
f(x) = a.sin x + b thỏa mãn f(1) = 2 va
ø
f(x)dx = 4π
∫

5. Tìm các hằng số a; b để
1
2
1
2
ab
f(x) = + + 2 thỏa mãn f'(x) = - 4 va
ø
f(x)dx = 2 - 3ln2
xx
∫

6. Cho f(x) liên tục trên R và thỏa mãn :
3
2
3
-
2
f(x) + f(- x) = 2 - 2cos2x , x R. Tính tích phân I = f(x)dx .
HD: Đặt x = - t
π
π

∀∈
∫

7. Cho hai hàm số
32 3 2
f(x) = 3x - x - 4x +1 và g(x) = 2x + x - 3x - 1
2
- 1
a. Giải bất phương trình f(x) g(x) b. Tính tích phân T = f(x) - g(x)dx≥
∫

8. Cho hai hàm số
f

(x) = 4cosx + 3sinx và g(x) = cosx + 2sinx
4
0
g(x)
a. Tìm A, B để g(x) = Af(x) + Bf'(x) b. Tính tích phân T = dx
f(x)
π
∫

9.
()
(
)
Tìm a, b để cosx = a cosx + sinx + b cosx - sinx
Từ đó tính tích phân
4

0
1
I = dx
1 + tgx
π
∫

10. . Cho hàm số
sinx
f(x) =
sinx + cosx


3
0
cosx - sinx
a. Tìm A, B để f(x) = A + B b. Tính tích phân T = f(x)dx
cosx + sinx
π
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
∫

Nguyễn Phú Khánh - Đà Lạt
5
11. Cho hàm số
()
2
sin2x

f(x) =
2 + sinx

()
0
2
-
2
A.cosx B.cosx
a. Tìm A, B để f(x) = + b. Tính tích phân T = f(x)dx
2 + sinx
2 + sinx
π
∫

12. Cho hàm số
2
f(x) = sin 2x.cos4x
2
x
-
2
f(x)
a. Tìm họ nguyên hàm của f(x) b. Tính tích phân T = dx
e + 1
π
π
∫

13. Tìm a, b để

2b
a
f(x) = a.sin2x - bcos2x thỏa mãn f' = - 2 và adx = 1
2
π
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
∫

14. Tìm a, b để
2
0
f(x) = a.sin2x + b thỏa mãn f'(0) = 4 và f(x)dx = 3
π
∫

BÀI TẬP 9 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt :
x = a sint ; - t hoặc x = a cost ; 0 t
22
ππ
≤≤ ≤≤π


()
2
2
2
1
2

2
2
- 1
3
2
3
2
1
K = 1 - x dx
L = 4 - x dx
1
M = dx
4 - x
∫
∫
∫

()
()
3
2
3
2
0
1
3
3
2
0
1

I = dx
1 - x
1
J = dx
1 - x
∫
∫

1
0
2
0
4
0
F = x 1 - xdx
cosx
G = dx
7 + cos2x
cosx + sinx
H = dx
3 + sin2x
π
π
∫
∫
∫


BÀI TẬP 10 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt :
aa

x = ; - t và t 0 hoặc x = ; 0 t và t
sin t 2 2 cost 2
ππ π
≤≤ ≠ ≤≤π ≠


4
3
2
3
2
x - 4
I = dx
x
∫

2
2
2
3
1
K = dx
xx - 1
∫

2
2
3
1
x - 1

J = dx
x
∫


BÀI TẬP 11 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt :
x = atgt ; - < t < hoặc x = acotgt 0 < t <
22
ππ
π
Kết hợp dạng hữu tỷ
Nguyễn Phú Khánh - Đà Lạt
6
()()
3
2
2
1
3
2
0
3
2
1
1
22
0
9 + 3x
I = dx
x

J = 3 + x dx
K = x 1 + x dx
1
L = dx
x + 1 x + 2
∫
∫
∫
∫

1
42
0
2
2
2
3
x
T = dx
x + x + 1
1
K = dx
xx - 1
∫
∫

1
42
0
1

Z = dx
x + x + 1
∫

1
2
1
4
6 + 10
2
1
2
2
4
0
1
4
3
6
0
1
2
3
0
1 + x
M = dx
1 + x
x - 1
M = dx
x + 1

x + 1
M = dx
x + 1
3
M = dx
x + 1
∫
∫
∫
∫


BÀI TẬP 12 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt :
x

= acos2t hoặc x = acost

0
- a
0
- 2
a + x
I = dx
a - x
2 + x
J = dx
2 - x
∫
∫

()
1
5
0
1 - x
W = dx
1 + x
∫

1
2
- 1
1 + x
K = dx
1 - x
∫


B ÀI TẬP 13 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt :
()
2
x = a + b - a sin t; 0 t
2
π
≤≤


()()
a + b
2

3a + b
4
I = x - a b - x dx; 0 < a < b
∫

()
3
3
2
2
1
M = dx
- 4 + 5x - x
∫

()()
3
2
J = x - 1 5 - x dx
∫


B ÀI TẬP 14 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt: Đặt t = x + a + x + b hoặc t = - x - a + - x - b

2
1
0
3
2
- 5

1
I = dx
(x + 1)(x + 2)
1
I = dx
(x + 1)(x + 2)
−
∫
∫

()()
1
0
1
Q = dx
x + 1 x + 8
∫

()()
5
3
K = x - 1 9 - x dx
∫



B ÀI TẬP 15 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt: đặt
x
t = tg
2

2
3
1
2
2
I = dx
2sinx - cosx + 1
π
π
∫

2
1
0
1
I = dx
sinx + cosx + 1
π
∫



Nguyễn Phú Khánh - Đà Lạt
7
B ÀI TẬP 16: Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt:
∫
a
- a

f(x)dx đặt x = - t

1
2006
1
1
2

3

2
x

I = x sinxdx
I = cosnx.cosmxdx
I = sin nx.sin mxdx
sin x
I = dx
2 + 1
−
π
−π
π
−π
π
−π
∫
∫
∫
∫

()
1
1
x
1
1
2
2
x
1
1
3
2
1
2
2
- 2
cosx
I = dx
e + 1
1 - x
I = dx
1 + 2
x
I = dx
x + 1
I = ln x + x + 1 dx
−
−

−
∫
∫
∫
∫

2
2
1
2

2
1
4
2
2
1
1
xx
3
1
x + cosx
M = dx
4 - sin x
x + sinx
M = dx
x + 1
M = (e .sin x + e x )dx
π
π

−
−
−
∫
∫
∫
2


B ÀI TẬP 17 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt:
2
0
f(x)dx đặt x = - t
2
π
π
∫


2

I = cosnx.cosmxdx
π
−π
∫

2
22
1
0

I = cos x.cos2xdx
π
∫



B ÀI TẬP 18 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt

2b
00a
f(x)dx đặt x = - t ; f(x)dx đặt x = 2 - t xf(x)dx đặt x = a + b - x
ππ
ππ
∫∫∫

2
1
0
I = x.sinx.cosxdx
π
∫

()
2
1
0
H = sinsinx + nxdx
π
∫

2
3
1
0
K = x.cos xdx
π
∫


B ÀI TẬP 19:Tích Phân từng phần
2
2
1
0
2
2
2
0
1
2
3
0
Q= x.cosxdx
Q= x.sinxdx
Q = x.tg xdx
π
π
∫
∫
∫

()
2
2
1
0
2
2
2
0
2
2
3
0
T = x + 1 sinxdx
T = x.sin xdx
T = x cosxdx
π
π
π
∫
∫
∫

3
1
0
3
2
2

4
e
3
0
I = x.sinxdx
x
I = dx
cos x
I = cos(lnx)dx
π
π
π
π
∫
∫
∫

Nguyễn Phú Khánh - Đà Lạt
8
2
4
2
0
2
5
0
x.cosx
Q = dx
1 + sin x
cosx

Q = dx
7 + cos2x
Đặt t = sinx hoặc sinx = 2sint
π
π
∫
∫

3
4
2
0
4
5
0
2
6
0
x + sinx
T = dx
cos x
x + sinx
T = dx
1 + cosx
T = cosx.ln(cosx + 1)dx
π
π
π
∫
∫

∫

()
2
2
4
0
4
2
5
0
43
6
0
I = 2x - 1cosxdx
I = x.(2cosx - 1)dx
I = x.cosx.sinxdx
π
π
π
∫
∫
∫

()
ln2
x
1
0
1

2x
2
0
1
2
2x
3
0
e
2
4
1
N = x.e dx
N = x.e dx
N = x + 1 .e dx
N = x.lnxdx
−
−
∫
∫
∫
∫

()
()
e
2
1
1
1

2
2
0
e
2
3
1
e
3
4
1
I = xlnx dx
I = x.ln(x + 1)dx
I = 1 - lnx dx
I = lnxdx
∫
∫
∫
∫

()
()
()
e
1
2
1
e
2
2

2
1
2
3
2
1
2
3
2
1
lnx
I = dx
x + 1
lnx
I = dx
x
ln x + 1
I = dx
x
x.ln x + x + 1
I = dx
x + 1
∫
∫
∫
∫


B ÀI TẬP 20:Tích phân từng phần dạng kết hợp

2
2x
1
0
2x 2
2
0
G = e .sin3xdx
G = e .sinxdx
π
π
∫
∫

2
-x
1
0
e
2
0
E = e .cos3xdx
E = cos(lnx)dx
π
π
∫
∫

()
2

e
2e
2
-x
0
x2
0
1
T = lnx + dx
2lnx
E = e .sin3xdx
H = e .sin x dx
π
π
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
π
∫
∫
∫


B ÀI TẬP 21 : Bài tập đổi biến – từng phần

2
3
1
0
3

2
0
I = sin xdx
I = sin xdx
π
π
∫
∫

2
2
sin x 3
1
0
3
2
2
3
3
K = e sinx.cosxdx
sin x - sinx
K = cotgx.dx
sin x
π
π
π
∫
∫

3

2
3
0
I = sin xdx
π
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
∫

()
1
9
x
1
2
5
0
x1
F = 3 + + dx
sin 2x + 1
4x - 1
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫

B ÀI TẬP 22 :Tích phân từng phần dạng khó
Nguyễn Phú Khánh - Đà Lạt

9
2
2
1
x
-
2
xsinx
F = dx
1 + 2
π
π
∫

e
3
2
1
1
ln 1 + ln x
T = dx
x
∫

()
4
1
0
H = ln1 + tgxdx
π

∫


B ÀI TẬP 23: Giải phương trình:

()
()
x
2
0
x
3
2
0
x
4
0
x
2
0
1
dt = 0
1 - t
1
dt = tgx
1 - t
3
4sin t - dt = 0
2
cos t - x dt = sinx

⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
∫
∫
∫
∫

()
()
2
x
1
e
x
t - 1 x - x
0
x
t - 1
7
0
1 + lnt
dt = 0
t
1
2 ln 2 - 2t + 2 dt = 2 +
2
7 ln 7dt = 6log 6x - 5 ; x 1≥
∫
∫

∫
()
x
t
0
x
2t -2t
0
e - 1dt = 0
e + e dt = 1
∫
∫

B ÀI TẬP 24: Giải phương trình ẩn x
(
)
x
2
22
3
2
t
dt = 6 - 2x 1 + 2 1 - x
1 - t 1 + 1 - t
∫

B ÀI TẬP 25: Giải và biện luận phương trình:

() ()
()( )

()
2
x x
2
3
22
1 1
x
2
2
m + 1 t - 2m t + 1
a. = 0 b. 3 t dt = 3 3x - 2 + 1
t + 2t t - 2mt - 2m
dt
c. x + 1 + m x - 1 = m + 1 + 1 d. x -
t - 1
−
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
∫
x
22
0
t - 1
1 = dt
t - 2t + m
∫

B ÀI TẬP 26: Giải các bất phương trình

()
()( )
3
-
4
2x - 1 + 1
2 + lnx x
t2
x lnx
e
x
2
22
0
dt dt
a. ln3 3 dt x - 4x + 3 b. <
t
2t
5t - 16t + 20
c. dt 0
t - 4 t - 5t + 4
≤
≤
∫∫
∫
∫
()

22
x
cos x sin x
0
11
d. + cost - sint dt + 1
22
≤
∫

B ÀI TẬP 27:
1. Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với
()
xx
2
0m
2 3t + 1 dt - 6m tdt 3m + m - 2x≤
∫∫
3
[
]
x 0,1∈

2. Tìm m để bất phương trình
()
0
32
x
1
t - mt - t - m dt

4
≤
∫
nghiệm đúng với
[
]
x - 1,1∈

3. Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x
() ()
x
2t t x
0
2 ln3 3 - 3 dt > 2m 3 + 1 + 3
∫