So sánh nghiệm tam thức bậc hai với một số

Tổng kết kinh nghiệm
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THPT

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI
VỚI MỘT SỐ THỰC KHÔNG DÙNG ĐỊNH LÝ ĐẢO
Lĩnh vực: Toán THPT
Tác giả:
Giáo viên môn: Toán


Trang 1
Tổng kết kinh nghiệm
Năm học
Trang 2
Tổng kết kinh nghiệm
PHẦN MỞ ĐẦU
I.Bối cảnh của đề tài
Trong quá trình đổi mới công tác giáo dục, việc đổi mới chương trình, nội
dung sách giáo khoa và đổi mới phương pháp giảng dạy nhằm nâng cao chất lượng
giáo dục là việc làm hết sức cần thiết. Với lý do giảm tải nên trong chương trình
Toán THPT không còn định lý đảo về dấu tam thức bậc hai, tuy nhiên ta vẫn còn
gặp một số bài tập liên quan đến so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc
hai.
II. Lý do chọn đề tài
Giải bài tập liên quan đến so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai
như trước khi thay sách ta phải dùng đến định lý đảo về dấu tam thức bậc hai, dạy
theo chương trình và sách giáo khoa đổi mới, không dùng định lý đảo về dấu tam
thức bậc hai nên giáo viên ít nhiều còn lúng túng.
III. Phạm vi và đối tượng của đề tài

Do thời gian có hạn và quá trình nghiên cứu chưa nhiều, nên bài viết chỉ nêu
các bài tập liên quan đến so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai trong
chương trình Giải tích lớp 12 THPT mà không dùng định lý đảo về dấu tam thức bậc
hai.
IV. Mục đích nghiên cứu
Bài viết này sẽ giải các bài tập liên quan đến so sánh một số với các nghiệm
của tam thức bậc hai mà không dùng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai, giúp bản
thân tôi định hướng cách giải, không còn lúng túng khi gặp các bài toán dạng này,
qua kinh nghiệm này tôi muốn trao đổi cùng đồng nghiệp các vấn đề tuy không mới
nhưng ta ít gặp, ít dùng.
V. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu
Qua đề tài này ta có thêm phương pháp giải bài tập liên quan đến định lý đảo
về dấu tam thức bậc hai bằng phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp hàm số.
PHẦN NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận:
Để dễ dàng theo dõi đề tài này tôi xin nêu lại định lý đảo về dấu của tam
thức bậc hai và các hệ quả của định lý.
Định lý: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c ( a
≠
0) và số thực
α
. Nếu
( ) 0af
α
<

thì tam thức có hai nghiệm phân biệt x
1

, x
2
(x
1
< x
2
) và x
1
<
α
< x
2
.
Hệ quả 1: Điều kiện cần và đủ để phương trình bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 ( a
≠
0) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
(x
1
< x
2
) là tồn tại số
α
sao cho
( ) 0af
α

<
Hệ quả 2: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c ( a
≠
0) và hai số thực
α
,
β
sao
cho
α
<
β
. Điều kiện cần và đủ để phương trình bậc hai f(x) = 0 có hai nghiệm,
Trang 3
Tổng kết kinh nghiệm
trong đó một nghiệm nằm trong khoảng (
α
;
β
), nghiệm kia nằm ngoài đoạn [
α
;
β
]
là
( ). ( ) 0f f
α β
<

.
Chú ý: Phương trình bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 ( a
≠
0) có hai nghiệm phân
biệt x
1
, x
2
( x
1
< x
2
) và
α
nằm ngoài đoạn [x
1
; x
2
]
0
( ) 0af
α
∆ >

⇔

>


Phương trình bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 ( a
≠
0) có hai nghiệm phân biệt
x
1
, x
2
và
α
< x
1
< x
2
0
( ) 0
0
2
af
S
α
α


∆ >

⇔ >




− >

Phương trình bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 ( a
≠
0) có hai nghiệm phân biệt
x
1
, x
2
và x
1
< x
2
<
α
0
( ) 0
0
2
af
S
α
α


∆ >


⇔ >



− <

Phương pháp đặt ẩn phụ:
So sánh số
α
với các nghiệm của tam thức bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c ( a
≠
0)
ta đặt t = x–
α
ta được tam thức bậc hai g(t) = a’t
2
+ b’t + c’ (2) và ta so sánh các
nghiệm của tam thức bậc hai g(t) với số 0.
Phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu
0
c
P
a
′
⇔ = <
′
Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
0

0
c
P
a
∆ >


⇔
′

= >

′

Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt
0
0
0
c
P
a
b
S
a


∆ >

′


⇔ = >

′

′

= − >

′

Phương trình (2) có hai nghiệm âm phân biệt
0
0
0
c
P
a
b
S
a


∆ >

′

⇔ = >

′


′

= − <

′

Phương pháp hàm số:
Trang 4
Tổng kết kinh nghiệm
Ký hiệu K là khoảng hoặc nửa khoảng hoặc đoạn chứa trong
¡
Định lý 1: Cho hàm số y = f( x) có đạo hàm trên K
a) Nếu f
/
(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f( x) đồng biến trên K.
b) Nếu f
/
(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f( x) nghịch biến trên K.
Định lý mở rộng: Giả sử hàm số y = f( x) có đạo hàm trên K. Nếu f
/
(x)
≥
0 ( f
/
(x)
≤

0) với mọi x thuộc K và f
/
(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f( x) đồng

biến (nghịch biến ) trên K.
II. Thực trạng của vấn đề:
Giải một số bài tập bằng phương pháp sử dụng định lý đảo
về dấu tam thức bậc hai ( theo chương trình không phân ban)
Bài 1: Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm
thuộc hai nhánh phân biệt hoặc hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh.
Ví dụ 1: Cho hàm số
2
1
1
x x
y
x
− −
=
+
có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = mx – 1. Tìm
giá trị của m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh của (C).
Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm:
2
1
1
1
x x
mx
x
− −
= −
+
(1)

2
( ) ( 1) 0f x m x mx⇔ = − + =
(2) ( do x = – 1 không là nghiệm của phương trình)
(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh của (C)
⇔
phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
( x
1
< x
2
) và x
1
< x
2
<–1 hoặc
–1< x
1
< x
2
⇔
2
0
( 1) ( 1) 0
m
m f

∆ = >


− − >

0
1 0
m
m
≠

⇔

− <

0
1
m
m
≠

⇔

<

Vậy m < 1 và m
≠
0
Ví dụ 2: Tìm m để đường thẳng y = mx + m – 1 cắt đồ thị hàm số
2
2 1
x

y
x
+
=
+
tại hai
điểm thuộc hai nhánh phân biệt.
Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm:
2
2 1
x
x
+
+
= mx + m – 1 (1)
2
( ) 2 3( 1) 3 0f x mx m x m⇔ = + − + − =
(2)
( do
1
2
x = −
không là nghiệm của phương trình)
(d) cắt (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt của (C)
⇔
phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
và x

1
<
1
2
−
< x
2
Trang 5
Tổng kết kinh nghiệm
1
2 0 0
2
mf m
 
⇔ − < ⇔ >
 ÷
 
Vậy m > 0
Ví dụ 3: Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng y = 2mx – m cắt đồ thị hàm số
2
2 3
2
x x
y
x
−
=
−
tại hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt.
Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm:

2
2 3
2
x x
x
−
−
= 2mx – m (1)
2
( ) 2( 1) (3 5 ) 2 0f x m x m x m⇔ = − + − + =
(2)
( do x = 2 không là nghiệm của phương trình)
(d) cắt (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt của (C)
⇔
phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
và x
1
< 2< x
2
2( 1) (2) 0m f⇔ − <
1m⇔ >
Vậy m > 1
Ví dụ 4: Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx – 1 cắt đồ thị hàm số
3 1
3
x
y

x
−
=
−
tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh.
Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm:
3 1
3
x
x
−
−
= mx – 1 (1)
2
( ) (3 4) 4 0f x mx m x⇔ = − + + =
(2)
( do x = 3 không là nghiệm của phương trình)
(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh của (C)
⇔
phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
( x
1
< x
2
) và x
1
< x

2
< 3 hoặc
3 < x
1
< x
2
(3) 0mf⇔ > ⇔
m < 0
Vậy m < 0
Tuy nhiên có một số bài tập áp dụng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai rất
khó:
Ví dụ5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
2 2
sin cos
2 2
x x
m+ =
Giải: Đặt
2
sin
2
x
t =
với
1 2t≤ ≤
, phương trình trở thành
2
t m
t
+ =

2
( ) 2 0f t t mt⇔ = − + =
(1)
Trang 6
Tổng kết kinh nghiệm
Bài toán trở thành tìm m để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
[1 ; 2 ]
Có 3 trường hợp:
Phương trình (1) có hai nghiệm t
1
, t
2
và 1< t
1
≤
t
2
<2
0
(1) 0
1 0
2
(2) 0
2 0
2
af
S
af
S



∆ >

>


⇔ − >


>



− <

Phương trình (1) có hai nghiệm t
1
, t
2
và t
1
≤
1
≤
t
2
<2 hoặc 1< t
1
≤

2
≤
t
2
(1). (2) 0f f⇔ ≤
Phương trình (1) có hai nghiệm t
1
, t
2
và t
1
≤
1< 2
≤
t
2
(1) 0
(2) 0
af
af
≤

⇔

≤

Giải 3 hệ bất phương trình trên và tìm hợp 3 tập nghiệm của 3 hệ bất phương
trình trên ta được kết quả. Đây là việc làm hết sức vất vả, tốn rất nhiều thời gian và
công sức. Đối với học sinh trung bình thì không thể giải được.
III. Các biện pháp giải quyết vấn đề:

1.Giải các bài toán bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Bài toán 1: Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai
điểm thuộc hai nhánh phân biệt hoặc hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh.

Trường hợp 1
: Đường thẳng và đồ thị hàm số có một điểm chung.
Ví dụ 1: Cho hàm số
2
1
1
x x
y
x
− −
=
+
có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = mx – 1. Tìm
giá trị của m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh của (C).
Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm:
2
1
1
1
x x
mx
x
− −
= −
+
(1)

2
( 1) 0m x mx⇔ − + =
( do x = – 1 không là nghiệm của phương trình)
0
(2)
1
x
m
x
m
=


⇔

=
−

Trang 7
Tổng kết kinh nghiệm
(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh của (C)
⇔
phương trình (2) có nghiệm x lớn hơn –1 và khác 0
⇔
1
1
0
1
1
0

0
1
m
m
m
m
m
m

> −


>
 
−
⇔
−
 
 
≠
≠


−

⇔
m < 1 và m
≠
0
Vậy m < 1 và m

≠
0
Ví dụ 2: Tìm m để đường thẳng y = mx + m – 1 cắt đồ thị hàm số
2
2 1
x
y
x
+
=
+
tại hai
điểm thuộc hai nhánh phân biệt.
Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm:
2
2 1
x
x
+
+
= mx + m – 1 (1)
2
2 3( 1) 3 0mx m x m⇔ + − + − =
( do
1
2
x = −
không là nghiệm của phương trình)
1
3

(2)
2
x
m
x
m
= −


⇔
−

=

(d) cắt (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt của (C)
⇔
phương trình (2) có nghiệm x lớn hơn
1
2
−
3 1 3
0
2 2 2
m
m m
−
⇔ > − ⇔ >
⇔
m > 0
Vậy m > 0

Trường hợp 2
: Đường thẳng và đồ thị hàm số không có điểm chung.
Ví dụ 3: Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng y = 2mx – m cắt đồ thị hàm số
2
2 3
2
x x
y
x
−
=
−
tại hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt.
Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm:
2
2 3
2
x x
x
−
−
= 2mx – m
2
2( 1) (3 5 ) 2 0m x m x m⇔ − + − + =
(1) ( do x = 2 không là nghiệm của phương
trình)
Đặt t = x –2 hay x= t + 2, ta được phương trình:
2
2( 1) (3 5) 2 0m t m t− + − − =
(2)

(d) cắt (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt của (C)
⇔
phương trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
và x
1
< 2 < x
2
Trang 8
Tổng kết kinh nghiệm
⇔
phương trình (2) có hai nghiệm t
1
, t
2
và t
1
< 0 < t
2
2
0
2( 1)
P
m
−
⇔ = <
−
⇔

m > 1
Vậy m > 1
Ví dụ 4: Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx – 1 cắt đồ thị hàm số
3 1
3
x
y
x
−
=
−
tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh.
Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm:
3 1
3
x
x
−
−
= mx – 1
2
(3 4) 4 0mx m x⇔ − + + =
(1) ( do x = 3 không là nghiệm của phương trình)
Đặt t = x – 3 hay x = t +3, ta được phương trình:
2
(3 4) 8 0mt m t
⇔ + − − =
(2)
(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh của (C)
⇔

phương trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
và x
1
< x
2
<3 hoặc x
1
> x
2
>3
⇔
phương trình (2) có hai nghiệm t
1
, t
2
phân biệt và cùng dấu.
2
(3 4) 32 0
8
0
m m
P
m

∆ = − + >

⇔


−
= >


⇔
m < 0
Vậy m < 0
2.Giải các bài toán bằng phương pháp hàm số
Bài toán 1: Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai
điểm thuộc hai nhánh phân biệt hoặc hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh.
Ví dụ 5: Cho hàm số
2
1
1
x x
y
x
− −
=
+
có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = mx – 1. Tìm
giá trị của m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh của (C).
( Ví dụ 1, mục III )
Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm:
2
1
1
1
x x

mx
x
− −
= −
+
(1)
Phương trình (1) luôn có một nghiệm x = 0 với mọi m.
Với
0x ≠
, phương trình (1)
1
x
m
x
⇔ =
+
(2)
(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh của (C)
⇔
Tìm m để phương trình (2) có một nghiệm x > –1 và x
≠
0
Xét hàm số
( )
1
x
f x
x
=
+

với x > –1
Ta có:
( )
2
1
( )
1
f x
x
′
=
+
> 0 với mọi x > –1
Trang 9
Tổng kết kinh nghiệm
Bảng biến thiên:
x – 1 0 +
∞
f
/
(x) + +
f

(x)
1
0
–
∞

Vậy yêu cầu bài toán

⇔
m < 1 và m
≠
0
Ghi chú: Nếu từ (1) mà ta quy đồng khử mẫu thì dẫn đến bài toán tìm m để phương
trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt lớn hơn –1
Ví dụ 6: Tìm m để đường thẳng y = mx + m – 1 cắt đồ thị hàm số
2
2 1
x
y
x
+
=
+
tại hai
điểm thuộc hai nhánh phân biệt. ( Ví dụ 2, mục III )
Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm:
2
2 1
x
x
+
+
= mx + m – 1 (1)
Phương trình (1) luôn có một nghiệm x = –1 với mọi m.
Với x
≠
–1, phương trình (1)
3

2 1
m
x
⇔ =
+
(2)
Yêu cầu bài toán
⇔
Tìm m để phương trình (2) có một nghiệm x >
1
2
−
Xét hàm số
3
( )
2 1
f x
x
=
+
với x >
1
2
−
Ta có:
( )
2
6
( )
2 1

f x
x
−
′
=
+
< 0 với mọi x >
1
2
−
Bảng biến thiên:
x
1
2
−
+
∞
f
/
(x) –
f

(x)
+
∞

0
Vậy yêu cầu bài toán
⇔
m > 0

Ghi chú: Nếu từ (1) mà ta quy đồng khử mẫu thì dẫn đến bài toán tìm m để phương
trình bậc hai có hai nghiệm x
1
, x
2
và x
1
<
1
2
−
< x
2
Bài tập tương tự:
1)Tìm m để đường thẳng y= mx + m+ 1 cắt đồ thị hàm số
2 1
2
x
y
x
−
=
−
tại hai
điểm thuộc hai nhánh phân biệt.
Trang 10
Tổng kết kinh nghiệm
2)Tìm m để đường thẳng y = mx – 1 cắt đồ thị hàm số
2
3

3
x x
y
x
− −
=
+
tại hai
điểm thuộc hai nhánh phân biệt.
3)Tìm m để đường thẳng y= mx + m cắt đồ thị hàm số
1
2
x
y
x
−
=
+
tại hai điểm
phân biệt cùng thuộc một nhánh.
4) Tìm m để đường thẳng y= mx + m – 2 cắt đồ thị hàm số
2
3 3
1
x x
y
x
− −
=
+

tại
hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh.
Bài toán 2: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình, hệ phương trình
Ví dụ7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
2 2
sin cos
2 2
x x
m+ =
( Ví dụ 5, mục II)
Giải: Đặt
2
sin
2
x
t =
với
1 2t≤ ≤
, phương trình trở thành
2
t m
t
+ =
(*)
Xét hàm số
2
( )f t t
t
= +
với

1 2t≤ ≤
.
Bài toán trở thành tìm miền giá trị của hàm số f(t) trên đoạn [1; 2]
2
2
( ) 1f t
t
′
= −

( ) 0 2f t t
′
= ⇔ =
hoặc t = –
2
( loại)
Bảng biến thiên
t
1
2
2
f
/
(t) – 0 +
f(t)
3 3
2
2

Vậy với m

∈
[ 2
2
; 3] phương trình đã cho có nghiệm
Ghi chú: Nếu từ (*) mà ta quy đồng khử mẫu thì dẫn đến bài toán tìm m để phương
trình bậc hai có ít nhất một nghiệm trong đoạn [ 1; 2]
Ví dụ 8: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:
2
4
3 1 1 2 1x m x x− + + = −
Giải: Điều kiện
1x
≥
Phương trình đã cho
4
1 1
3 2 (1)
1 1
x x
m
x x
− −
⇔ − + =
+ +

Đặt
4
1
1
x

t
x
−
=
+
với
0 1t≤ <
do
4 4
1 2
0 1 1
1 1
x
x x
−
≤ = − <
+ +
Khi đó (1) trở thành –3t
2
+ 2t = m

( 2)
Bài toán trở thành tìm m để phương trình (2) có nghiệm trong đoạn [ 0; 1]
Trang 11
Tổng kết kinh nghiệm
Xét hàm số f(t) = –3t
2
+ 2t với
0 1t
≤ <

Ta có f
/
(t) = –6t + 2 , f
/
(t) = 0
1
3
t⇔ =
Bảng biến thiên
t
0
1
3
1
f
/
(t) + 0 –
f(t)

1
3
0 – 1
Phương trình đã cho có nghiệm
⇔
(2) có nghiệm
[
)
1
0;1 1
3

t m∈ ⇔ − < ≤
Ghi chú: Nếu từ (2) mà ta chuyển vế thì dẫn đến bài toán tìm m để phương trình bậc
hai có ít nhất một nghiệm trong đoạn [ 0; 1]
Ví dụ9: Tìm m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
3
1 ; 3
 
 
:
2 2
3 3
log log 1 2 1 0x x m+ + − − =
(1) ( m là tham số thực)
Giải: Điều kiện: x > 0
Đặt
2
3
log 1t x= +
, với
[ ]
3
1 ; 3 1 ; 2x t
 
∈ ⇒ ∈
 
Phương trình (1) trở thành
2
2 2 0t t m+ − − =
( )
2

1
2
2
t t m⇔ + − =
(2)
Yêu cầu bài toán
⇔
Tìm m để phương trình (2) có nghiệm
[ ]
1 ; 2t ∈
Xét hàm số
( )
2
1
( ) 2
2
f t t t= + −
Ta có
( )
1
( ) 2 1
2
f t t
′
= +
[ ]
0, 1 ; 2t> ∀ ∈
và f(1) = 0, f( 2) = 2
Bảng biến thiên:
t 1 2

f
/
(t) +
f

(t)
2

0
Trang 12
Tổng kết kinh nghiệm
Vậy yêu cầu bài toán
⇔
Phương trình (2) có nghiệm
[ ]
1 ; 2t ∈

0 2m⇔ ≤ ≤
Ví dụ 10: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
sin sin
sin sin
2 2 2
4 4
x y
x y
m

+ =



+ =


Giải: Ta có : –1
≤
sinx
≤
1, –1
≤
siny
≤
1
Đặt
sin
2
x
u
=
,
sin
2
y
v
=
với
1
2
2
u≤ ≤
,

1
2
2
v≤ ≤
Hệ phương trình trở thành
2 2 2
2
2 2
2
( ) 2
2
u v
u v u v
m
uv
u v m u v uv m
+ =

+ = + =
 

⇔ ⇔
  
= −
+ = + − =
 


u, v là nghiệm của phương trình
2 2

2 2 0 2 2
2 2
m m
t t t t− + − = ⇔ − + =
(*)
Bài toán trở thành tìm m để phương trình (*) có nghiệm t
1
;2
2
 
∈
 
 
Xét hàm số
2
( ) 2 2f t t t= − +
với t
1
;2
2
 
∈
 
 
( ) 2 2
( ) 0 1
f t t
f t t
′
= −

′
= ⇔ =
Bảng biến thiên
t

1
2
1 2
f
/
(t) – 0 +
f

(t)

5
4
2

1
Vậy hệ phương trình có nghiệm
5 5
1 2
2 4 2
m
m⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
Bài tập tương tự:
1) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt:
2
2 2 1x mx x+ + = +

2) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực
phân biệt:
( )
4 4
2 2 2 6 2 6 x x x x m m
+ + − + − = ∈
¡

3) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng một nghiệm
thực:
( )
24
2 4 1 x x x m m
+ + − + = ∈
¡
Trang 13
Tổng kết kinh nghiệm
4) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:
(
)
2 2 4 2 2
1 1 2 2 1 1 1m x x x x x+ − − + = − + + − −
5) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:
3 3
3 3
1 1
5
1 1
15 10
x y

x y
x y m
x y

+ + + =




+ + + = −


Bài toán 3: Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = f(x) đồng biến ( nghịch
biến) trên K ( K là khoảng, nửa khoảng hoặc đoạn chứa trong
¡
)
Phương pháp
+ Tính f
/
(x)
+ Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K
( ) 0,f x x K
′
⇔ ≥ ∀ ∈
+ Biến đổi
( ) 0,f x x K
′
≥ ∀ ∈
tương đương
( )

,g x m x K≤ ∀ ∈

hoặc
( )
,g x m x K≥ ∀ ∈
+ Tính g
/
(x) và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) trên K
+ Ta có
( )
,g x m x K≤ ∀ ∈
max ( )
x K
m g x
∈
⇔ ≥
→
kết luận
Hoặc
( )
,g x m x K≥ ∀ ∈
min ( )
x K
m g x
∈
⇔ ≤
→
kết luận
Chú ý: Hàm số y = f(x) nghịch biến trên K
( ) 0,f x x K

′
⇔ ≤ ∀ ∈
Ví dụ 11 Cho hàm số y = –x
3
+3x
2
+ mx –2 ( m là tham số thực). Tìm m để hàm số
đồng biến trên khoảng ( 0 ; 2).
Giải: Tập xác định
¡
y
/
= –3x
2
+6x +m
Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0 ; 2)
( )
0, 0;2y x
′
⇔ ≥ ∀ ∈

( )
2
3 6 , 0;2x x m x⇔ − ≤ ∀ ∈
Xét hàm số g(x) = 3x
2
– 6x với
( )
0;2x ∈
g

/
(x) = 6x – 6; g
/
(x) = 0
⇔
x = 1
Bảng biến thiên của hàm số g(x) trên khoảng ( 0 ; 2)
x 0 1 2
g
/
(x) – 0 +
g(x)
0 0
–3
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( 0 ; 2)
0m⇔ ≥
Chú ý: Có thể thay khoảng ( 0 ; 2) bởi đoạn [ 0 ; 2] ta giải tương tự.
Trang 14
Tổng kết kinh nghiệm
Ví dụ 12: Cho hàm số y = –x
3
+ 3(2m +1)x
2
– (12m+5) x –2 ( m là tham số thực).
Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng ( –
∞
; –2).
Giải: Tập xác định
¡
y’ = –3x

2
+6(2m+1)x – (12m+5)
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( –
∞
; –2)
( )
0, ; 2y x
′
⇔ ≤ ∀ ∈ −∞ −

( )
2
3 6 5
, ; 2
12 12
x x
m x
x
− +
⇔ ≤ ∀ ∈ −∞ −
−
Xét hàm số g(x) =
2
3 6 5
12 12
x x
x
− +
−
với

( )
; 2x ∈ −∞ −
g
/
(x) =
2
2
36 72 12
(12 12)
x x
x
− −
−
; g
/
(x) = 0
⇔
x =
3 2 3
3
±
> –2
Bảng biến thiên của hàm số g(x) trên khoảng ( –
∞
; –2)
x
–
∞
–2
g

/
(x) +
g(x)

29
36
−


–
∞

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng ( –
∞
; –2)
29
36
m⇔ ≥ −
Ví dụ 13: Tìm giá trị của tham số m để hàm số
2
6 2
2
mx x
y
x
+ −
=
+
nghịch biến trên nửa
khoảng [ 1; +∞)

Giải: Tập xác định
{ }
\ 2D = −¡
;
2
2
4 14
( 2)
mx mx
y
x
+ +
′
=
+
Hàm số nghịch biến trên nửa khoảng [ 1; +∞)
0, [1; )y x
′
⇔ ≤ ∀ ∈ +∞
2
4 14 0, [1; )mx mx x⇔ + + ≤ ∀ ∈ +∞
2
14
, [1; )
4
m x
x
−
⇔ ≥ ∀ ∈ +∞
+

Xét hàm số
2
14
( )
4
g x
x
−
=
+
với x
∈
[ 1; +∞)
( )
2
2
28
( )
4
x
g x
x
′
=
+
;
( ) 0 0g x x
′
= ⇔ =
( loại )

Bảng biến thiên
Trang 15
Tổng kết kinh nghiệm
x
1 +
∞

g
/
(x) +
g(x)
+
∞


–
14
5

Vậy hàm số nghịch biến trên nửa khoảng [ 1; +∞)
⇔
m
≤
–
14
5
Bài tập tương tự:
1) Tìm giá trị của tham số m để hàm số
3
2

( 1) ( 3) 4
3
x
y m x m x= − + − + + −
đồng biến
trên khoảng
( )
0 ; 3
2) Tìm giá trị của tham số m để hàm số
2
2 3
1
x x m
y
x
− +
=
−
đồng biến trên khoảng
( )
3 ; +∞
3) Tìm giá trị của tham số m để hàm số
3
2
(2 1) 2
3
x
y mx m x m= − − + − − +
nghịch
biến trên khoảng

( )
1 ; +∞
IV. Hiệu quả của kinh nghiệm
Hiện nay phương pháp hàm số được sử dụng nhiều trong các kỳ thi đại học,
cao đẳng, kinh nghiệm này giúp cho học sinh có thêm phương pháp giải toán, giải
quyết một số dạng toán trong các kỳ thi đại học và cao đẳng.
Kết quả học sinh của trường thi đỗ vào các trường đại học, cao đẳng ngày
càng tăng.
PHẦN KẾT LUẬN
I. Những bài học kinh nghiệm
Khi ra đề bài tập tránh chủ quan theo thói quen cũ vì hiện nay học sinh
được học theo chương trình mới, giảm tải.
Sử dụng phương pháp đổi biến giúp học sinh biết đưa lạ về quen, phát triển
tư duy cho học sinh.
Phương pháp hàm số là phương pháp hay được sử dụng nhiều trong giải
toán lớp 12 THPT vì thế giáo viên cần quan tâm.
Giải một số bài toán bằng phương pháp hàm số thay cho phương pháp sử
dụng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai sẽ gọn hơn, nhanh hơn
II. Ý nghĩa của kinh nghiệm
Trang 16
Tổng kết kinh nghiệm
Kinh nghiệm này góp phần nâng cao chất lượng giáo dục ở các lớp đang
dạy.
Trao đổi với đồng nghiệp các vấn đề cùng quan tâm nhằm thúc đẩy và nâng
cao chất lượng giáo dục nơi đang công tác.
III. Khả năng ứng dụng, triển khai
Phương pháp hàm số còn nhiều ứng dụng, tôi muốn cùng đồng nghiệp tiếp
tục nghiên cứu bổ sung các ứng dụng của phương pháp hàm số ngày càng phong
phú.
Kinh nghiệm này được chia thành các bài viết theo từng chủ đề nhỏ và

được phổ biến cho học sinh trong báo Vui học Toán của Tổ Toán của trường.
Trong bài viết khó tránh khỏi thiếu sót, mong các đồng nghiệp đọc góp ý để
kinh nghiệm được hoàn chỉnh, cám ơn.
Người viết
MỤC LỤC
Phần mở đầu trang 1
I.Bối cảnh của đề tài trang 1
II.Lý do chọn đề tài trang 1
III.Phạm vi và đối tượng của đề tài trang 1
IV.Mục đích nghiên cứu trang 1
V.Điểm mới trong nghiên cứu trang 1
Phần nội dung trang 1
I. Cơ sở lý luận trang 1
II.Thực trạng của vấn đề trang 3
III. Các biện pháp giải quyết vấn đề trang 5
IV. Hiệu quả của kinh nghiệm trang 14
Phần kết luận trang 15
I. Những bài học kinh nghiệm trang 15
II. Ý nghĩa của kinh nghiệm trang 15
III.Khả năng ứng dụng, triển khai trang 15
Tài liệu tham khảo
Sách giáo khoa chỉnh lý năm 2000
Sách giáo khoa phân ban năm 2008
Đề thi đại học từ năm 2006 đến 2009
Báo Toán học tuổi trẻ các tháng của năm 2008 và năm 2009
Trang 17
Tổng kết kinh nghiệm
Trang 18