Tam Thức Bậc Hai

r

Chương 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BAC HAI.

TAM THỨC BẬC HAI
A.

LY THUYET CAN NHỚ

I. Phương trình bậc hai:

ax?+bx+c=0

(1)

1. Cách giải và biện luận trong trường hợp tổng quát:

+

Nếua=

0 ta được phương trình bậc nhất: bx + c = 0.

Biện luận như sau:

a. Nếu b #0 thì phương trình có nghiệm duy nhất: x =

> .

b. Nếu b=0 và c =0 thì phương trình nghiệm đúng Vx e R
c. Nếu b=0 và c z0 thì phương trình vơ nghiệm.

+ Nếu a # 0. Tính A (hoặc A')

(Với A = b? - 4ac; A'=b”-ac;b' -2)

~ Nếu A < 0 thì phương trình vơ nghiệm.
-_ Nếu A = 0thì phương trình có nghiệm kép: xạ = ->.
- Nếu A > Othi phuong trinh cé hai nghiém phan biét:
Xị

2.

-b-VA.
2a

a

_ -b+VA

2

2a

Chú ý

- + Nếu a.c < 0 thì phương trình bậc hai ln có hai nghiệm phân biệt.

+ Nếu x¿, x; là hai nghiệm của phương trình thi:

ax” + bx+c = a(X — Xị)(X — Xa)
+ Nếu a +b +c =0 thì (1) có hai nghiệm là:

x, =lvx,=~—

a

+ Nếu a ~ b+c
=0 thì (1) có hai nghiém la: x, =-lv x, =-—

a

3.

Dinh ly Viét

a.

Phần

thuận:

Nếu

S=x,+xX,=-—
1
+X

c
P=x,.xX, =—
a

phương

a

trình

bậc

hai

có

2 nghiệm

x,,

xX,

thì:


b. Phan dao: Néu hai sé x,, x, thda
Xị +X¿ =5

(Re

=P

(v6i S’ -4P 20)

thi x,, x, là hai nghiệm của phương trinh: x? -Sx +P =0

4. Dauctia nghiém sé
Néu phuong trinh bac hai: ax? + bx +c = O(a # 0) có hai nghiệm x;,, x¿ thì:
e x, <0A>0
;P>0

ex,
©

O0
S<0
H.

I.

A>0
{P>0
S>0

Tam thức bậc hai : f(x) = ax’ + bx +c (a ¥ 0)

Dấu của tam thức
e

f(x)
< Ovéi

°

f(x) > 0 với Wee Ro

a<0

Vee Re |

A<0
a>0
A<0

e Néu A = Othia.f(x)>0 Vx # -3

a
e Nếu A > 0thì f(x) = O có hai nghiệm xị, X;, Xị < X2

+

Néu x,
+

„“
Néu

|X<#i „.
thi a.f(x) > 0
X > X,

2. Cong thtfc so sinh cdc sO a, B véi hai nghiém cia phudng trinh bic hai: (a < B)
ex,
@af(a) <0

Định lý:

e Nếu tổn tại số thực œ sao cho a.f(œ) < 0 thì phương trình bậc hai
f(x) = ax” + bx+c = 0(a # 0). Có hai nghiệm xị, x; thỏa mãn x; < œ < X;
A>0

A>0.“

ex,
< xX, <a > jaf(a) >0

ea
<0

tử cxi
a.f(B) < 0
a.f(œ) > 0

af(a)>0
S-a>0

ex, <8

a.f(œ) < 0

LTD

9


A>0

a.f(B) > 0
đ
-


*đX; <<
a.f()
<0
a.f() <0

<é<Đ

B. CC CHUYấN TON V PHƯƠNG PHÁP GIẢI

CHUYEN DE 1:

GIAI VA BIEN LUAN PHUONG TRINH BAC NHAT

1.
e_

Phương pháp
Bước l: Biến đổi phương trình đã cho về đạng: ax + b = 0 (1)

e

Bước 2: Xét các trường hợp sau:

THI: Nếu a =0; thế vào (1) và kiểm tra.

e_

2.

TH2: Nếu a # 0 thì (1) © x= _°
a
Bước 3: Kết luận.

Bài tập

Bài 1: Giải và biện luận phương trình: 2x + 3m = mx + 2

(1)

Giai
(1) © (2- m)x = 2 - 3m (2)

e

Nếum=2thì

(2) © 0x = -4 vô lý — (2) vô nghiệm

e

Néum
#2 thi(2)ox=

2-3m
2-m

2x+3m_

Bài 2: Giải và biện luận:

x"

5

-1

=

m_
x+1l

+

Giải
Điều kiện: x # +1
(1)<

(3m

- 3)x = 2m

+ 1

(2)

se.

Nếu 3m- 3=0 © m = 1thì (2) vơ nghiệm

e

Nếu
m z lthì (2)

x.2mr+1

3m-3.

2m-]
x-l

(1)

.

Điều kiện: x # +1

#1

4 m3
2m+1

mz#4
m

=1

3m —8

9

#4 —

5

Kết luận:
+ Khi m=

l;m=4;m=

+ Khi mz>1Am

sim

#4Am

(1) vơ nghiệm.

#2 thì phương trình có nghiệm duy nhất x.

Bài 3: Giải và biện luận phương trình:

2mx -3=x-m

e

Néu

°

Nếu m #2

x-m

am ox

Giải ˆ

Điều kiện: x >O
(1) <<

2mx-3_

©

CU

(2m - 1)x = 8- m(2)

m= 5 thì (2) vơ nghiệm
2m~1

thì (2) x=

Điều kiện: x >0 ©

2m -1

>0e2
—-m

CHUYEN DE 2:

NGHIEM CUA PHUONG TRINH BAC NHAT THOA MAN MOT
DIEU KIEN CHO TRUGC
1.

Phudng phap
e

Buéc 1: Dua phuong trinh da cho vé dang: ax + b=0 (1)

¢

Buéc 2: Tim diéu kién cha a dé (1) có nghiệm xạ. Cho nghiệm xạ thỏa mãn
điều kiện.

2.

Bàitập

Bài 1: Cho phương trình:

(2m+ 1)x- 3m + 2= 3x+m

(1)

Tìm m để phương trình có nghiệm x e (0;3)
(1)

(2m

- 2)x = 4m

- 2 <

e

Nếum=] thì (2) vơ nghiệm

e

Nếu m z lthì (2) ©x=

2m —-1
m-1

Giải
(m - 1)x = 2m - 1

(2)


2m —1

Nghiệm xe (0;8)

0<

2-1

.a ..

m-1l

m1

2m —1
m-1l

A

“2

:

2

A

`

>

1

Vậy các giá trị của m cần tìm là: m < ra

Bài 2: Cho phương trình:

>0

ol

<9

<3

m >2

m>2

(3m-2)x-m=4mx+2m-5

Tìm m để phương trình có nghiệm ngun.

(1) © (m+2)x = 5-

Giải

3m (2)

e©

(2) có nghiệm ©> m # -2 và nghiệm là x = 5-3m __3,_U

e

Để xe Z' thìm +2 là ước số của 1I

m+2

m+2=-—]

2

m=-3

m+2=-11

|

m=-13

m+2=1

m=-l

m+2=11

m=9

Bài 3: Cho phương trình:

m+2

§= Vx — 1[(2m- 3)x+m+(1-m)x-

3]=0

(1)

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Giải
x=1
Q)o][x>1
mm...

`

x=1

©||x>l
jmẽ
Để (1) có:2 nghiệm phân biệt thì (2) có đúng ! nghiệm lớn hơn |
m z2
_

=>

x= 3oM
m-2
A

oe

sy
*

2

m z 2
—

=

5

a

2m

m - 2
`

9?
`

m # 2
.

2
32
2

5

Vậy các giá trị của m cần tìm là: 2< m < 3°

Bai 4: Cho phuong trinh:
(2m-1)+(3-n)(x-2)-2m+n+2=0
Tìm m và n để phương trình có nghiệm đúng Vx.

“méo

5
—


(1)

(2m

Giải
—-n + 2)x = 2m - 3n +4
2m—-n+2=0

Để (1) có nghiệm đúng với mọi x thì:

2m -8n+4=0

m=-1

n=1

CHUYEN DE 3: GIAIVA BIEN LUAN PHUONG TRINH BAC HAI
1.

Phương pháp

1.

Xéta =0. Biện luận phương trình bậc nhất.

2.

Xéta

Z0. Tính A(hoặc

a. Nếu A<0

A’)

thì phương trình vơ nghiệm.

b. Nếu A =0 thì phương trình có nghiệm kép x = >

2a

c. Nếu A >0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
1

3.

2.

=z

=b~ vA

Kết luận.

Bài tập

2a

V

Xo

-b+VA

=

2a

-

Bài 1: Giải và biện luận phương trình:
(m-1)x?
+(2m —-3)x+m+1=0 (tham số m)

a._
b._

Giải
Nếum- I=0
m= I thì (1) trở thành: -x+2 =0 © x=9
Nếum #1. Ta có: A = (2m - 8) - 4(m ~ 1)(m + 1) = 13 12m

e

Nu A<0câ>13-12m<0ôe>m> cn

đ

Nu

e

Nu A>0<>m< cảm

.

13

A=0O0<>m
=

—thi(1) cé nghiém

1g Ì Q) có nghiệm

Kết luận:

+ Nếu m =

phương trình (1) vơ nghiệm
kép:

xạ

kép: Xạ =— TT

I thì phương trình có nghiệm x = 2
13.

5

A

:A

+ Nều m> 19 thì phương trình vơ nghiệm
10

_

(với VA = J13~12m)

+ Nếu m = = thì phương trình có nghiệm x = 5
we

2m-3

=—-————=

(1) có 2 nghiệm phân biệt:

X19275
- mà
c.

(1)


+Néum<

thì phương trình có 2 nghiệm.

X19 = 2

ra

véi JA = J13 12m

Bài 2: Giải và biện luận phương trình:

x” -2(a+1)x+2a+5 x?-3x+9

0

1

(1)

(ham

tham

số

số a)

Giải
se Điều kiện: xi cấy vỡ

0©

x#1

Khi đó (1) trở thành: f(x)
= xŸ - 2(a+1)x+ 2a+5 =0

(2)

Ta có: A =(a +1)? —(2a +5) =a?—4
+

Nếu A <0 €>-2no
a=2

+ Nếu

A'=0 c|

ạ Khi đó (2) có 1 nghiệm

kép xạ =a+1

Với a = 2 => xạ = 3(nhận)
Với a =—2

=> xạ = -l (nhận)

+

Nếu A >0

la| >2

e_

Điều kiện (2) phải có 2 nghiệm khác l và khác 2 nên:
f(1) #0

2

f(2)z 0

40

2

-2a +ð z0

Khi đó hai nghiém: x, =a+1+VJA
Kết luận:

a

„5

—

2

với A=a?—4

+ Nếu la| < 2 hoặc a = : thì phương trình vơ nghiệm.
+ Nếu a = 2va = -2thì phương trình có nghiệm kép: x = ~1V x = 3
+ Nếu |a| >2^a z su

phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

X;¿=a+1+vA

với A=a?~4

Bài 3: Giải và biện luận phương trình sau theo a và b; x+
e
e

x

= 2224
a+b

a+
a-b

(1)

Giải
Khi a = +b thì (1) vơ nghiệm.
Khi az+b. Điều kiện x #0.
+ b?)x + a? ~ b? = 0 (2)
Phương trình (1) © (a” — bŸ)x” — 2(a?

Phương trình (2) có: A = (a2 + b2}? - (a? - bˆXa? - b?) = 4a?b? > 0
11


Do đó (2) có 2 nghiém: x, =

(a=B) y2
(a+b)

_ (a+b)

2

(a-b)

Khi a # +b thì hai nghiệm này điều khác 0. Nên x;, x; là nghiệm của phương trình (1).
Kết luận: + Khi a = +b thì (1) vơ nghiệm.
+ Khi a # +b thì (1) có 2 nghiệm:

x¡

_

ob.

+b

a+b

7

a-b

Bài 4: Giải và biện luận phương trình:

f(x) = mx” + 2(2m - 1)x+m =0 với -l+

Nếum=

+

Nếu

m#0.

oA

= 3m?

(1)

Giai
ee 0 ©x=0 (nhận)
S

ƠO thì (1) trở thành:

Tính A;mf(- 1);—= +1; mf(1); si
—4m

+1

®A =se mf(-1)
= m(2- 2m);

° S,q„-1—m,

mf(—-1)
=0 m =lvm=0

S yi. 0cm=l

m

2

+ mf (1) = m(6m-2); mf(1) =0 © m =2 vm =0
S_,_1:8m,

+

Si.

m

0om=—

2

Ta lap bảng xét du sau:
m

x

A

S

_
m(f(~1)

+l
2

mf(1)

|

Đ

-l
2

00



12

(x,
,

+





+



X,<-l1
+

+

+



+

l
=0

|

0

+

-0ơ-0
+

+00

l

`

_

1

V trớ ca nghim

0_

+

+

0

Nghim kộpx,=1
_

_


+

Vừ

nghim

Nghim kộp x,=-1>
~

Xi<-l

Biện luận: Dựa vào bằng xét dấu ta có kết quả:
+

Nếu m=lvm=

+

Nếu S
+

Nếu

+

Nếu
¿

m<0vm>

su

thì phương trình có nghiệm kép.

1

3 thì phương trình có nghiệm:

phương trình có nghiệm: x; =

xạ =

1-9m

+ A'
m

1-2m-VA
m

Kết luận:

+
+

Nếu m =0 thì phương trình đã cho có nghiệm x = 0
Nếu m= l thì phương trình đã cho có nghiệm x = —

+

Nếum=

+

Nếu 5
+

Nếu m<0vm>

+

Nếu 0
i thì phương trình đã cho có nghiệm x = l
3

s thì phương trình đã cho có nghiém: x, =1-2m+Va"
m

4

phương trình có nghiệm: x; = 1- 2m - VÀ
m

CHUYEN DE 4:

CHUNG MINH MOT PHUONG TRINH BAC HAI CO NGHIEM
1.

Phương pháp

Cách I:
Cách 2:

Tìm số œ sao cho af(œ) < Ư
Tìm hai số œ;B sao cho f(œ).f(B) < Ö

Cách 3:

Chứng minh A>0

Cách 4:

Sử dựng định lý liên tục:
“Cho hàm số y = f(x) liên tục trên miền D. Nếu tôn tại a;b € D sao
cho f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = Ø ln có ít nhất một

nghiệm x e (a;b) ”

Cách 5:

Dùng định lý Lagrangc:

“Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b], có đạo hàm tổn tại trên

(a; b). khi đó, tổn tại số œ

(a;b) sao cho: f(a)—fŒ) =f (aXa—b)

2. Bài tập
13

|


Bai 1: Chitng minh rang: vdi ba s6 a, b, c phan biệt thì phương trình:
1

xX-a

1

+

x-b

+

x-C

= 0 có 2 nghiệm phân biệt.

Giải
Phương trình đã cho tương đương với:

(x~ aXx ~ b) + (x - b)(x - e) + (x - e)(x — a) = 0
« 3x? - 2(a + b + e)x + ab + ca = 0

Ta có: A = a? + bÊ +c? -(ab + be + ca)
=

[la ~b)? +(b =@

+ (e =8) ] > 0

Vazbze

=> Phương trình đã cho ln có hai nghiệm —(đpcm)

Bài 2: Chứng minh rằng: nếu (a+ c)” < ab + be - 2ac thì phương trình sau ln
có nghiệm: ax” + bx + e = 0 (1) (a #0).
Giải

Phương trình (1) có: A = bỂ - 4ac

Từ giả thiết : (a + e)? < ab + be ~ 2ae
+ c)? - 2ab - 3bc + 4ae < 0
© 2(a
~ b2 < 0

+ e)ˆ + 4ae
+ e) + bÊ + (a
© (a + e)” - 9b(a
> (a+e-b)? +(a+e)? 20
<> b? ~4ac
<= b?-4ac>0>A>0
= phương trình (1) ln có nghiệm (đpcm).

Bài 3: Cho a, b,c e R. Chứng minh phương trình sau có nghiệm:

xŸ + 2(a + b + e)x + 8(ab + be + ca) = 0
.

Giải

Ta có: A =a? + bŸ + c? -(ab
+ be + ca)
Chứng

minh:

A >0.

Thật

vậy:

a” + b2 > 9Va?b2 = 2|ab| > 2ab

Tuongtu:

b? +e? >2be;

Theo

bất

đẳng

thức

Côsi,

c? +a? >2ca

Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta được:

be + ca)
a’ +b? +b? +0? +0? +a? > Aab+
© a? + bŸ +cŸ > ab + be + ca © aÊ + bề + c? — (ab + bc + ca) > 0
= A >0 = phương trình đã cho ln có nghiệm => đpcm.
Bai 4: Cho hai phương trình: x” + a¡x+ bị = 0
14

q)}

ta được:


va

x? +a,x+b,

=0

(2)

Chứng minh rằng: Nếu a,.a, > 2(b, + b,) thì ít nhất có một trong hai phương
trình có nghiệm.

Phuong trinh (1) c6: A, = a? — 4b,

Giải

Phương trình (2) c6: A, = a3 -4b, = A, + A, =a? +a? — 4(b, + bạ)
Theo bất đẳng thức Côsi:
ai +ai >2

Ja1.a; = 2|aya;| > 2a;a„ > 2.2(b, + b,) (theo để cho)

=ai+a2 ~4(b, + bạ) >0 = A, +A, 20
= Ít nhất có một trong hai số A; hoặc A; khơng âm, nghĩa là một trong hai
phương trình đã cho ln có nghiệm.

Bài 5: Chứng minh rằng: nếu m, n là hai số thỏa mãn:

19|m| + ð|n| > 2000 thì phương trình sau có nghiệm.
20mx? + ðnx+ 100 —m = 0

(1)

Giải
+

Với m=0, từ (1) > 5n.x +100 = 0

(+)

Theo giả thiết thì n # 0 nên phương trình (*) ln có nghiệm duy nhất, nghĩa
là (1) ln có nghiệm.

+

Với m #0:
ta có:

A = 3ưn? - 20m(100 - m).4 = 80m? - 8000m + 25n?
> 80m” - 4(19|m| + 5 |n|)m + 25n? (do giải thiết)

> 4m” - 20|mn| + 25n? = (5|n| - 2|m|)? > 0
=> A 20 =

Phuong trinh (1) ln có nghiệm.

Bài 6: Cho a, b, c là ba số khác khơng, cịn p, q e R. Chứng minh rằng:
a2
2
+
=c ln
có nghiệm x # p và x #q.

X-p
x-q
Giải

Phương trình đã cho

= cx? -[e(p +q) +a? + bỶ ]x + cpq + a3q + b?p =0
Ta có: A = [e(p + q) + a? + b#]? - 4c(cpq + a?q + bÊp)
=(p+ q)?c? + 2c(q + p)(bÊ ~ a2) + (a? + b2}?
= (p + q)*(-4a*b”) < OVa,b #0 vap,qeR
15


Xem A là tam thức bậc hai theo ẩn số c thì:
+

(p g
A <0

2 >0“

=> A>0OvớiVec

Suy ra phương trình đã cho ln có nghiệm với V a,b,c vàp,qeR

Bài 7: Cho ba số a, b, c dương thỏa mãn: a + 2b + 3c = l
Chứng minh rằng: ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm thực:

4x? -4(2a + 1)x + 4a? +192abe+1=0
4x? -4(2b + Ủx + 4b” + 96abe+1=0_

(1)
(2)

Giải
Phương trình (1) có:

A,

= 16a(1 — 48bc)

Phương trình (2) c6: A, = 16b(1 -- 24ac)
Mặt khác: (1 - 48be) + (1 - 24ac) = 2[1 - 12c(2b + a)]

= 2[1~ 12e(1 - 3e)] = 2(6e - 1)? > 0

Suy ra ít nhất có một trong hai số là: (1 - 48bc) hoặc (1 - 24ac) phải khơng
âm, suy ra có ít nhất một số A; hoặc A; không âm, nên ln có ít nhất một
phương trình có nghiệm => (dpcm)
Bài 8: Cho a zb #c z0 và a,b,c c R. Chứng minh rằng phương trình sau ln
có nghiệm: f(x) = ab(x - a)(x — b) + bc(x - b)(x — e) + ca(x - c)(x - a) = 0
Giải

Ta có:

f(a) = bc(a - b)(a - e); f(b) = ae(b - a)(b - e)
f(c) = ab(c — a)(e - b)

= f(a).f(b).f(e) = a?b?e?(a — b)(a — e)(b - a)(b — e)(e — a)(e — b)
= —3a”b?c?(a - b)?(b - e)(e - a)? < 0

va, b, c, đôi một khác nhau và khác 0.

= ít nhất có một trong ba số: f(a); f(b); f(e) phải âm.

Giả sử, số đó là: f(a) < 0

Lại có: f(0) = a”bŸ + be? + c?a? > 0 = f(a).f(0) < 0
= phương trinh f(x) = 0 ln có nghiệm (đpcm)

Bài 9: Cho phương trình: ax” + bx +c = 0 (a # 0)
Chứng minh rằng nếu các số a, b, c thỏa mãn đẳng thức sau: 2a + 8b + 6c = 0
thì phương trình trên ln có nghiệm e (0, 1)
Giải
16


Caéch1:

Sw dung tinh lién tuc:

Dat: f(x) = ax? + bx + e.Ta thấy f(x) luôn liên tục Vx € (0,1)
Lại có: f(0) = 1H

2ì1_ 22a+3b)+9c_

3

2(-6c)+ 9c _ _i,

9

9

3

= ros (=) --12<0
3]
3
=> phương trình f(x) = 0 lncé nghi¢ém

xe (0.2)

c(0,1)

Cách 2: Sử dụng dinh ly Lagrange:

+ 5 bx" + CX

Xét hàm số F(x) = ae

Ta thấy F(x) luôn liên tục trén [0, 1] va F(x) = ax? + bx+c luôn tổn tại trên
(0, 1). Theo định lý Lagrange thì tổn tại số œ € (0,1) sao cho:

FQ) -F(0) = F(e) © sa+sb+e = ad+ bơ +e
2a + 3b + 6c

————ạ

= a2
+ bœ+e€

Theo giả thiết: 2a + 3b + 6e = 0 > aa? + ba +e =0

= 0 = (đpcm)

œ là nghiệm của phương trình ax? + bx +

b
+-— =0. Chứng
Bài 10: Cho m dương và ba số a, b, c e R thỏa: - m+2. + m+l
m

có ít nhất một nghiệm e (0,1)

=0_

minh rằng phương trình: ax” + bx +
Giải

Cách 1: Sử dụng định lý Lagrange.
Xét hàm số: F(x) =

Bm

m+2

m +]

gmt 4 & ym
m

Ta thấy F(x) luôn liên tục (0, 1)

F(x)+ ax”?! + bx™ + ex™? = x™1(ax® + bx +c) luén ton tại trên (0, 1).

Theo dinh ly Lagrange thi Ja € (0,1) sao cho:

FQ) ~F_O)
(gy op
1-0

Theo giả thiết:

m+2

+

2

m+2
b

m+i

P ¿9 —œm=(a
‡ bựo?
+e)

m+i
+

m.

m

=Onén

a™

(aa?

+ ba

+¢c)=0

(aœ? + bơ + e) = 0 — œ lànghiệm của phương trình: ax? +bx+c=0
ì
Cách 2:
17


Xét f(x) = ax? + bx +¢
+

Néua=0> f(x) =bx+e

+ Nếu bz0thì f&)=0 œx=-

Từ giả thiết
=> —-~ =—

b

+

~ =x=—#_

m+l

c(0,1)

m+1

Nếu b=0, từ giả thiết c =0 — f(x) = 0 luôn đúng Vx e (0,1)

Từ hai điều kiện trên ta có kết luận: f(x) = 0 ln có nghiệm x e (0,1)

+

Nếu a z0: Ta có: f(0) =0
f

(E5)
m+2

=

(m+1(

a

m+2

\m+2

+

b
m+l

+C.

|
(m
+ 1)

5

(m+1(
¢
a
c
=—————|-—+€e———|=-———m+2

m

(m +1)?

.

2

= f(o)¢(@*2) --_£
m+2

m(m
+ 2)

<0 va,b,o.m > 0

phương trình f(x) = 0 ln có nghiệm x € lo

Bài 11:

=>

m(m
+ 2)

mi Je (0,1)
m+2

Giả sử a + b + c = 6. Chứng minh rằng tổn tại một trong ba phương trình

sau có nghiệm:

x? +ax+1=0

(1)

x” + bx+ 1= 0

(2)

x?°+cx+l=0

`

(8)
Giải

(1) c6: Ay =a? -4; (2) 06: Ay =b?~4; )có: A¿ =c?-4
=> A, +A, +A, =a° +b? +c? -12 =a? +(b+c)? -2be-12

=> T =a? +(6—a)? -2be-12
1.

Néubc>00

b>0
c>0.

Ps

V

|c<0

a. Nếu { `” ˆ thì: theo bất đẳng thức Cơsi: be < (* + ;)
“

b

0

“

3

c>0

2

?

= ( 6 2)
—

tà

Suy ra: T =a? + (6~a)? —2be~ 12 a" + (6-a)? -2{ $2)
2
=a?+—(6-a)?—-12=
a 2,1 2q
a) 2
2 “(a-9)?>0
93 A
v2

18

2

2

-12


=> A, +A, +A, 20 => ít nhất một trong ba số là số âm nên có một trong ba
phương trình có nghiệm — (đpcm)

x h
Néu

c<0

atb+c=6

>a>6

Khi a > 6 thì hiển nhiên phương trình (1) ln có nghiệm (đpcm)

Nếu bc< 0

Xét biểu thức: T'= a” + (6 — a)? —-2be -12
Xem TT là tam thức bậc hai đối với ẩn a, ta có:

A„ = 36- 224 - 2bc) = 4bc
- 8 < Ova be< 0

= T luôn cùng dấu với hệ số a”tức là T >0 Va e R
=> A, +A, +A, >0

Suy ra: Có một trong ba số ln dương
cho có nghiệm.

=> có một trong ba phương trình đã

Tóm lại: với a + b +c = 6 thì có một trong ba phương trình đã cho ln có
nghiệm =>đpcm.

CHUN ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CĨ HAI NGHIỆM
THỎA MÃN MỘT ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

Các điều kiện cho trước thường gặp

mo

eB 9

a

Hai nghiệm x;; x; thỏa mãn một phương trình; một bất phương trình

Một biểu thức chứa hai nghiệm x;; x; đạt giá trị lớn nhất; bé nhất.
Nghiệm âm; nghiệm dương: t Nghiệm thuộc (a, b) cho trước.
Nghiệm nguyên.

`

Nghiệm này bằng k lần nghiệm kia.
Phương pháp giải
Bài toán 1
Hai nghiệm x¡; x; thỏa mãn một phương trình; một bất phương trình:

e© Bước I:

Timm dé phương trình có hai nghiệm xị¡; xạ

e Bước 2:

Biến đổi phương trình, bất phương trình chứa (x; + X;); Xị.X;.
Sau đó áp dụng định lý Vict; giải tìm m.

e©

Bước 3:

Bài tốn 2

Giao các điều kiện ràng buộc của m. Kết luận.
:

Biểu thức chứa hai nghiệm x;;x; đạt giá trị lớn nhất; bé nhất..
19


¢ Budcl:
e Bươc2:

Timm để phương trình có hai nghiệm x¡; xạ
Biến đổi biểu thức chứa (x; +x;¿);X;.x;¿. Dùng định lý Viet
đưa biểu thức về hàm f(m)

e Bước 3:

ĐỂ tìm min, max của f(m) có thể dùng một trong các cách sau:

Cách !:

Phân tích f(m) = +(œm +)? + A?

Cách 2: — Dùng khảo sát hàm số.
Cách 3:

Dùng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2.

Cách 5:

Dùng tính bị chặn; tính nhất của bất đẳng thức.

Cách 4:

Dùng bất đẳng thức Cơsi, Bunhiakopxki

Bài tốn 3: Nghiệm thuộc (a; b); âm dương.

Cách ï:

Cách 2:

Dùng công thức so sánh nghiệm.

_

Dùng khảo sát hàm số và miền giá trị.

Bài tốn 4: Nghiệm ngun
Dùng tính chia hết ; số chính phương.

Bài tốn 5: Nghiệm này bằng k lần nghiệm kia:

¢ Bước 1: Giả sử phương trình bậc hai có 2 nghiệm xị;X;.

e© _ Bước 2: Nghiệm này bằng k lần nghiệm kia nên:

* = kx, =|* —kx, =0
X, = kx,

e

© (x¡ -kx¿)(x; — kxị) = 0

X, — kx, =0

Bước 3: Biến đổi đẳng thức trên về tổng; tích. Sau đó dùng định lý Viét.

2. Bài tập
Bài 1: Cho phương trình bậc hai:

x* + 2(m+1)x+ 2m? -m-3=0
(Q)
1. Định m để phương trình có hai nghiệm x;;x¿ thỏa: 2x; - xạ =m+ð
2. Địnhm để phương trình có hai nghiệm sao cho biểu thức:

A =x? +x? —2x.x,

đạt giá trị nhỏ nhất; lớn nhất.
-3..

Định m để phương trình có hai nghiệm x;;x; thỏa:

4.

Địnhm để phương trình có hai nghiệm

|

xị +Xj =4(Xị + Xạ)

x;; x; thỏa: i,

Xạ

Xo
Xị

Xe

2m —-3

10

Giải
(1) có 2 nghim

x;;X;

âA =(m+1)}-(2m?-m-~3)>0
.â-mh+3m+4>0ô>-11.
20

(đ)

Dinh m phng trỡnh cú hai nghim x,;x, thoa: 2x, -x, =m+5


;

;

Xịy + X; = -2(m + 1)

Theo định lý Viet ta được:

2

X,.X,=2m°-m-3
x,=1-—
3

x, =-3-2m
3

Ta có: pe
nam
H
2x, -X, =mMm+5

Thế vào (2) ta được:
2

=

(2)

ụ - m)(-s - a) =2m?-m-3
m=0

-3

=0<

3 (thỏa mãn (*))
m =—
13

a là: m = 0v m =——3
VậyẠ các giáte trị ge củaae m cần tìm
13
Dinh m để phương trình có hai nghiệm sao cho biểu thức:

A =xj +x? —2x¡x; đạt giá trị nhỏ nhất; lớn nhất.
Ta có: A = xị + xã —2XịX; = (Xị + X;)” — 4Xị.X;

= 4(m + 1)? - 4(2m” - m - 3) = -4m” + 12m + 16
Dat f(m) = -4m? + 12m +16

f (m) = -8m + 12;f (m) = 0 > -8m+12=0Bảng biến thiên
M

f(m)

+

0

_

Từ bảng biến thiên ta được:
max A = max f(m) = 25 khi m

=5

min A = min f(m) = 0 khim = -1vm = 4

Định m để phương trình có hai nghiệm x;; x; thỏa:
Tacó:4.

xị + X) =B4(Xị + X;)
xj3, +x; 43 = 54(x, + x.)

21


<> (xX, + X_)° — 8x, .xp(x, + x,) —54(x, +x,) = 0

<> (x, + x,)| 4(m + 1)? - 82m? - m - 3) -54]=0
<> —2(m + 1)(-2m? + 11m - 41) = 0
m+1=0
>

~2mZ

2

-

©Sm=-l(nhận)

+ 11m - 41 = 0(vơ nghiệm)

Vậy giá trị m cần tìm là m =—l

4.

Địnhm để phương trình có hai nghiệm x;;x; thỏa: ŠL „ Xz „ 2m-3
Tacó:

i 4X2

2.

2

Xạ

2

Xị

XLtX; _ & + Xp) - 2X; (x,,X_ # 0)

X,
Xị
XX
2
2
_ 4(m + 1)
(2m
m-—
2m* -m-3

X .X_

3) _

10

(m #-1)

2m-3

Do đó bất đẳng thức đã cho tương đương với:
10

> 2m=—3
2m - 3
10

- 10

‘
7+ 2m)03~2m) ,
2m -3

5

c

m<-—

3

7
2

13

Két hdp véi diéu kién (*) ta được 5 Bài 2:

Gọi x;; x; là 2 nghiệm của phương trình:. x? + 2mx + 4 = 0 (1)

Hãy tính theo m các biểu thức sau:

2.

Dinhm sao cho xj + xg < 32
2
2

»

1.

a. A= fe +i :

Dinh m dé: [=
Xp

+ [2*)
Xị

b. B= dx +4

23

4. _ Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức:

_ Wx? + xf) + B(x, + XQ) + XX,
B(x? + x3) + 2G; + x;) + 4X¡X;

1.

Giai

Theo để bài yêu cầu thì phương trình (1) phải có nghiệm dường:

A>0_

©45>0
P>0

22

|m?-4>0
c©‡-m>0

4>0

©

&m<-2


Theo dinh ly Viet: (* † X; = —2m
X,.X_, =4

a. A=

x, +

X;ạ => A? =x, +X,

+2/x,x,

=> A? =-2m+2V4 =4-2m>A=V4-2m
b. B= 4x, + 4/x,

=> Bt =x, +x, + 44x, x, (/x, + Vx, )+6
= -9m

XịX;

+ 44/4.4
- 2m + 6/4

= B* =12-—2m +4/2./4— 2m = B = ‡f12 - 2m + 4/2/4 - 2m
2.

Địnhm để: xị + x; <32
Ta có:

xt

xd = (x2 4x3) —9xƒx? =| (Xị + xạ)Ê — 9xịx; | —2x/x2

= (4m”
- 8)? - 2.16

=> xi + x} < 82 < (4m? - 8)” - 32 < 32 © (4m” - 8) < 64 © |m| < 2

©

Mặt khác để (1) có nghiệm thì m° - 4 >0 © |m| > 2
Do đó ta chỉ nhận m = +2

Vậy giá trị của m cần tìm là m = +2

3.

Dinhm dé: (3)

2

Xo

ra 6: [

(2 |
xy

2

>8.

x) ,(2) _xi+xs _ 4m? -8)-32
Xp

x?x}

xy

16

>3

© (4m? - 8)? > 80 <> 4m? > 8+ 4V5 < |m| > y2 + v5 (nhận)
Vậy giá trị m cÂn phải tìm là: |m| > ¥2+ V5
4.

Tacó:

T=

2(xŸ + x2) + 3(Xị + X;) + XiX;
B(x? + x2) + 2(Xị + X;) + 4XIX;

_ 2x, + XQ)? + B(x, +X_)+%,xX, _ 4m? -3m-6
3(x, + X_)? + 2(x, +x,)+4x,x,
6m?-2m-4

_ 10m" + 40m _
2

(60m

- 2m
- 4)

- T=0œ
7

+

m =0

m=-4

23


Bang bién thién
m
|-o

T

-4

+

0

-2

0

-

2

+00

0

+

TT
.

T

0

la 7

\ 2

_—

=~

3

Z7

3

4

Dựa vào bảng biến thiên ta được:

MaxT =

khi m = =4 ¡ MinT =2 khi m=2

Bài 3: Cho phương trình bậc hai: x? +mx+1=0

(1)
2

1.

Định m để phương trình có hai nghiệm x;;x; thỏa mãn: (2)

2.

Dinh m dé phuong trinh cé hai nghiém x,;x, thda man: x9 +x} <2

3.

Dinhm ¢ Z dé phuong trình có hai nghiệm x,;x, théa biểu thức:
_x

Xe

= AX

= Xe)"

dat gid tri nguyén.

Xị +X¿ +Ì
.

Giải

_

Phương trình (1) có nghiệm © A >0 <> |m| > 2
2

x
Xo

Tacó:

||

2

x
Xị

+)4)

x, 4. +xv4
X1.X2

=—4-3

2
2,2
2
[ (x + X_)" - 2x,X, | — 2X1.X;

(x? + x2)? - 2x? x3

x x2

.

.

Theo định lý Viet ta được:

2

2

(*)

xx

Xy

Xo

+

=—m

Xị.Xạ =Í
2 _ o2 —

Do đó: (=) (2 | ~ (a ~3è ~2_m?_
2P _2
Xp

X,

2

=(%)
%

1

2

Jđ)

x)

> 14 â (m? - 2)? - 2 > 14 e> |m| > v6

Đối chiếu với điều kiện (*) ta được: |m|> V6
Vậy giá trị m cẩn tìm là: |m| > 46
24

2

+ (22) >14