Bảng công thức tích phân

Math 29.07.2008
”
2008 Ph. D. Dong
Hue University, Hue City 1
Table of Integrals
1) xdx
n
x
nn
Ú
=
+
+
1
1
1
2)
1
x
dx x
Ú
= ln
3) udv uv vdu
ÚÚ
=-
4) uxv xdx uxvx vxu xdx() () ()() () ()
¢
=-
¢
ÚÚ
5)

11
ax b
dx
a
ax b
+
=+
Ú
ln( )
6)
11
2
()xa
dx
xa
+
=
-
+
Ú
7) () ()xadx xa
x
n
nn
+=+ +
+
Ê
Ë
ˆ
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Ú
a
1+n 1
, n π -1
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xa nxxa
nn
n
n
()
()( )
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+=
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++
Ú
+1
21
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dx
x
x
1
2
1
+
=
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-
tan

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dx
ax
a
xa
22
1
1
+
=
Ú
-
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11)
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ax
ax
22
22
1
2
+
=+
Ú
ln( )
12)
xdx
ax
xa xa
2

22
1
+
=-
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-
tan ( / )
13)
xdx
ax
xaax
3
22
2222
1
2
1
2
+
=- +
Ú
ln( )
14) () tanax bx c dx
ac b
ax b
ac b
21
2
1
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2
4
2
4
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+
-
Ï
Ì
Ô
Ó
Ô
¸
ý
Ô
þ
Ô

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15)
11
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ba
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, abπ
16)
x
xaxb
dx
ab
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ln( ) ln( )
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=
-
+- +
[]
Ú
1
, abπ
”

2008 Ph. D. Dong
Hue University, Hue City 2
17)
x
xa
dx
a

ax
ax
()
ln( )
+
=
+
++
Ú
2
, abπ
18)
x
ax bx c
dx
ax bx c
a
b
aacb
ax b
ac b
2
2
2
1
2
2
4
2
4

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=
++
-
-
+
-
Ï
Ì
Ô
Ó
Ô
¸
ý
Ô
þ
Ô
Ú
-
ln( )
tan
19)
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2
3
32
()
/
20)

1
2
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±
=±
Ú
21)
1
2
ax
dx a x
-
=-
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22) xx adx axa xa-= - +-
Ú
2
3
2
5
32 52
() ()
//
23) ax bdx
b
a
x
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¯
+
Ú
2
3
2
3
24)
()
/
ax b dx b ax
b
a
bx ax
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Ê
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ˆ
¯
˜
Ú
32
22
2
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4
5

2
5
25)
x
xa
dx x a x a
±
=±
()
±
Ú
2
3
2
26)
x
ax
dx x a x a
xa x
xa-
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-
-
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Î
Í
ù
û
ú
Ú

-
tan
1
27)
x
xa
dx x x a a x x a
+
=+- ++
[]
Ú
ln
28) xax bdx
b
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bx
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x
bax+=- ++
Ê
Ë
Á
ˆ
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˜
+
Ú
4
15
2

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2
5
2
2
2
29) xax bdx
bx
a
x
bax
baxbax
a
+= +
Ê
Ë
Á
ˆ
¯
˜
+-
++
()
Ú
42
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4
32
2
32

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/
ln
30)
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bx
a
bx
a
x
bax
baxbax
a
32
2
2
32 52
3
52
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12 3
22
8
/
//
/
ln
+=- + +
Ê
Ë

Á
ˆ
¯
˜
+
-
++
()
Ú
31) xadx xxaaxxa
22 22 2 22
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1
2
±= ±± +±
Ê
Ë
ˆ
¯
Ú
ln
32)
axdx xax a
xa x
xa
22 22 2 1
22
22
1

2
1
2
-=
-
-
È
Î
Í
Í
ù
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ú
ú
Ú
-
tan
Math 29.07.2008
Math 29.07.2008
”
2008 Ph. D. Dong
Hue University, Hue City 3
33) xx a x a
22 2232
1
3
±= ±
Ú
()
/

34)
1
22
22
xa
dx x x a
±
=+±
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Î
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ù
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ú
Ú
ln
35)
1
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1
22
22
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dx
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xa
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=-
-
-

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Í
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ú
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36)
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xa
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22
22
±
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37)
x
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22
22
-
=- -
Ú
38)

x
xa
dx x x a x x a
2
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22 22
1
2
1
2
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=± +±
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Ú
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39)
x
ax
dx x a x a
xa x
xa
2
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221
22

22
1
2
1
2
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=- - -
-
-
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Î
Í
Í
ù
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ú
ú
Ú
-
tan
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ax bx c
b
a
x
ax bx c
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a
ax b
a

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22
2
32
2
42
4
8
2
2
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¯
++
+
-+
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a
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2
32
2
2
2
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83
24
4
16
2
2
++= + +
-
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-
-+
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112
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2
2
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+

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ax bx c
dx
a
ax bx c
b
a
ax b
a
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2
32
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1
2
2
2
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=++-

+
+++
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Î
Í
ù
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ú
Ú
/
ln
44) ln lnxdx x x x
Ú
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a
ax b x+=
+
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b
a
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-
Ú
-
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a
b
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a
x
222 222 1
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2-=-+
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Ë
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¯
-
Ú
-
”

2008 Ph. D. Dong
Hue University, Hue City 4
48) ln( ) tan lnax bx c dx
a
ac b

ax b
ac b
x
b
a
xaxbxc
221
2
2
1
4
2
4
2
2
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+
-
È
Î
Í
Í
ù
û
ú
ú
-+ +
Ê
Ë
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Ú
-
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b
a
xx x
b
a
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4
1
2
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2
2
50) xa bxdx x x
a

b
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2
2
22
1
2
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2
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51) edx
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2
32
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2
23
22
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366
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nax n
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1
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x
x
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3
3
4
1
12
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63) cos sinxdx x
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2
2
1
4
2xdx
x
x
Ú
=+
65) cos sin sin
3
3
4
1
12
3xdx x x
Ú
=+
66)
sin cos cosx xdx x
Ú
=-
1
2
2

Math 29.07.2008
Math 29.07.2008
”
2008 Ph. D. Dong
Hue University, Hue City 5
67) sin cos sin sin
2
1
4
1
12
3x xdx x x
Ú
=-
68) sin cos cos cosx xdx x x
2
1
4
1
12
3
Ú
=- -
69) sin cos sin
22
8
1
32
4x xdx
x

x
Ú
=-
70) tan ln cosxdx x
Ú
=-
71) tan tan
2
xdx x x
Ú
=- +
72) tan ln[cos ] sec
32
1
2
xdx x x
Ú
=+
73) sec ln
cos( / ) sin( / )
cos( / ) sin( / )
xdx
xx
xx
Ú
=
+
-
22
22

74) sec tan
2
xdx x
Ú
=
75) sec sec tan ln
cos( / ) sin( / )
cos( / ) sin( / )
3
1
2
22
22
xdx x x
xx
xx
Ú
=+
+
-
76) sec tan secx xdx x
Ú
=
77) sec tan sec
22
1
2
x xdx x
Ú
=

78) sec tan sec
nn
x xdx
n
x
Ú
=
1
, n π 0
79) csc ln tan( / )xdx x
Ú
= 2
80) csc cot
2
xdx x=-
Ú
81) csc cot csc ln cos( / )sin( / )
3
1
2
1
2
22xdx x x x x=- -
()
Ú
82) csc cot csc
nn
x xdx
n
x

Ú
=-
1
, n π 0
83) sec csc ln tanx xdx x
Ú
=
84) x xdx x x xcos cos sin
Ú
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85) x xdx x x x x
22
22cos cos ( )sin
Ú
=+-
86) x xdx i n ix n ix
nn n
cos ( , ) ( , )
Ú
=-
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+- +-
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+
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+
1
2
111
1

GG
87)
x xdx i n ix n ix
nn n
sin ( ) ( , ) ( ) ( , )
Ú
=- + - + -
{}
1
2
111GG
”
2008 Ph. D. Dong
Hue University, Hue City 6
88) e xdx e x x
xx
sin sin cos
Ú
=-
[]
1
2
89) eaxdx
ba
eb axaax
bx bx
sin( ) sin cos
Ú
=
+

-
[]
1
22
90) xe xdx e x x x x x
xx
sin cos cos sin
Ú
=-+
[]
1
2
91) e xdx e x x
xx
cos sin cos
Ú
=+
[]
1
2
92) eaxdx
ba
ea axbax
bx bx
cos( ) sin cos
Ú
=
+
+
[]

1
22
93) xe xdx e x x x x x
xx
cos cos sin sin
Ú
=-+
[]
1
2
94) cosh sinhxdx x
Ú
=
95)
e bxdx
e
ab
abxbbx
ax
ax
cosh cosh sinh
Ú
=
-
-
[]
22
96) sinh coshxdx x
Ú
=

97)
e bxdx
e
ab
bbxabx
ax
ax
sinh cosh sinh
Ú
=
-
-+
[]
22
98) e xdx e e
xxx
tanh tan ( )
Ú
=-
-
2
1
99) tanh lncoshaxdx
a
ax
Ú
=
1
100) cos cosh sin cosh cos sinhax bxdx
ab

aax bxb ax bx
Ú
=
+
+
[]
1
22
101) cos sinh cos cosh sin sinhax bxdx
ab
bax bxaax bx
Ú
=
+
+
[]
1
22
102) sin cosh cos cosh sin sinhax bxdx
ab
aax bxbax bx
Ú
=
+
-+
[]
1
22
103) sin sinh cosh sin cos sinhax bxdx
ab

bbxaxaax bx
Ú
=
+
-
[]
1
22
104) sinh cosh sinh( )ax axdx
a
ax ax
Ú
=-+
[]
1
4
22
105) sinh cosh cosh sinh cosh sinhax bxdx
ba
bbxaxaax bx
Ú
=
-
-
[]
1
22
Math 29.07.2008