chương 3 cơ học hệ nhiều vật

3.1 SỰ ĐỊNH HƯỚNG CỦA VẬT RẮN TRONG KH.GIAN
3.2 CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN CỦA VẬT RẮN
3.3 CHUYỂN ĐỘNG QUAY QUANH TRỤC CỐ ĐỊNH
3.4 CHUYỂN ĐỘNG TỔNG QUÁT CỦA VẬT RẮN
3.5 CHUYỂN ĐỘNG PHỨC HỢP
3.6 ĐỘNG HỌC HỆ CÓ CẤU TRÚC KHÉP KÍN
Chương 3
ĐỘNG HỌC HỆ NHIỀU VẬT
NỘI DUNG

3.1 SỰ ĐỊNH HƯỚNG CỦA VẬT RẮN TRONG KHÔNG GIAN
3.1.1 Các hệ quy chiếu
3.1.2 Một số quy ước về ký hiệu
3.1.3 Sự xác định vị trí của vật rắn trong không gian
3.1.4 Xác định hướng của vật rắn trong không gian.
Ma trận côsin chỉ hướng

3.1.1 CÁC HỆ QUY CHIẾU
Môn học định nghĩa hai loại hệ quy chiếu:
• Hệ quy chiếu cố định (IFR):
- Gắn cứng với giá 0.
- Ký hiệu là OXYZ.
- Vectơ đơn vị trên OX, OY, OZ: e
1
, e
2
, e
3
.
- (e

1
, e
2
, e
3
) tạo thành một tam diện thuận.
• Hệ quy chiếu động (hệ quy chiếu vật, BFR):
- Gắn cứng với vật chuyển động.
- Ký hiệu BFR gắn với vật k là O
k
X
k
Y
k
Z
k
.
- Các vectơ đơn vị trên O
k
X
k
, O
k
Y
k
, O
k
Z
k
cũng tạo thành

một tam diện thuận và được ký hiệu là:
k
3
k
2
k
1
,, eee

3.1.2 MỘT SỐ QUY ƯỚC VỀ KÝ HIỆU
• Điểm và tọa độ của điểm:
- Ký hiệu điểm: A, B, C, (chữ hoa, không đậm).
- Tọa độ điểm A trong hệ quy chiếu cố định:
(x
A
, y
A
, z
A
)
- Tọa độ điểm A thuộc vật k trong hệ quy chiếu động
O
k
X
k
Y
k
Z
k
gắn với vật k:

AAA
,, zyx
- Tọa độ điểm A thuộc vật k trong hệ quy chiếu động
O
m
X
m
Y
m
Z
m
gắn với vật m:
(km)
A
(km)
A
(km)
A
,, zyx

Các quy ước về ký hiệu (tiếp)
• Vectơ và tọa độ của vectơ:
- Vectơ xác định vị trí điểm A trong OXYZ:
- Vectơ xác định vị trí điểm A thuộc vật k trong hệ quy
chiếu động O
k
X
k
Y
k

Z
k
gắn với vật k:
- Vectơ xác định vị trí điểm A thuộc vật k trong hệ quy
chiếu động O
m
X
m
Y
m
Z
m
gắn với vật m:
- Vectơ xác định vị trí gốc tọa độ O
k
trong hệ quy chiếu
cố đinh OXYZ:
- Vectơ xác định vị trí gốc tọa độ O
k
trong hệ quy chiếu
động O
m
X
m
Y
m
Z
m
gắn với vật m:
- Tọa độ vectơ gắn với vật rắn k trong hệ quy chiếu

động O
k
X
k
Y
k
Z
k
gắn với vật k:
- Tọa độ vectơ gắn với vật rắn k trong hệ quy chiếu
cố định OXYZ gắn với vật k: (u
x
, u
y
, u
z
)
A
OA r=
A
k
AO r=
(km)
A
m
AO r=
k0k
k
OO RR ≡=
km

km
OO R=
u
zyx
uuu ,,
u

3.1.3 TÍNH XÁC ĐỊNH VỀ VỊ TRÍ CỦA VẬT TRONG KHÔNG GIAN
• Xét vật rắn k trong hệ OXYZ:
- Nếu biết vị trí của điểm A thuộc vật thì vị trí của vật
chưa xác định: vật có thể quay quanh mọi trục đi qua A.
- Nếu biết thêm vị trí của điểm B thuộc vật thì vị trí của
vật cũng vẫn chưa xác định: vật có thể quay quanh
đường thẳng AB.
- Nếu biết thêm vị trí của điểm C nữa thuộc vật thì vị trí
của vật hoàn toàn xác định.

3.1.4 MA TRẬN CÔSIN CHỈ HƯỚNG CỦA VẬT RẮN
• Đặt vấn đề:
- Để xác định vị trí của vật rắn trong kgian, cần biết vị trí
của 1 mp nào đó gắn cứng với vật.
- Do trên các vật đều gắn hệ quy chiếu vật với 3 mp tọa
độ có vai trò như nhau ⇒ lấy luôn 3 mp tọa độ để xác
định vị trí của vật.
- Nếu chỉ quan tâm đến hướng của vật rắn thì chỉ cần
biết hướng 3 vectơ đơn vị trên các trục tọa độ vật là đủ
(vị trí của gốc tọa độ vật (O
k
) không quan trọng).
- Để xác định hướng của 3 vectơ đơn vị trên 3 trục tọa

độ vật, cần biết các góc mà chúng tạo với 3 trục tọa độ.
Đơn giản hơn là biết côsin của các góc này.
• Những lập luận trên dẫn đến việc thành lập ma trận
côsin chỉ hướng của vật rắn:

MA TRẬN CÔSIN CHỈ HƯỚNG CỦA VẬT RẮN (tiếp)










=
3
k
32
k
31
k
3
3
k
22
k
21
k

2
3
k
12
k
11
k
1
.ee.ee.ee
.ee.ee.ee
.ee.ee.ee
C










ααα
ααα
ααα
=











=
333231
232221
131211
3
k
32
k
31
k
3
3
k
22
k
21
k
2
3
k
12
k
11
k

1
coscoscos
coscoscos
coscoscos
),(cos),(cos),(cos
),(cos),(cos),(cos
),(cos),(cos),(cos
eeeeee
eeeeee
eeeeee
C
mnn
k
mn
k
mn
k
mn
k
mmn
cos),(cos.1.1),(cos α==== eeeeeeeec











=⇔
333231
232221
131211
ccc
ccc
ccc
C

1. Các phần tử trên hàng thứ m của ma trận C là tọa độ
trong hệ IFR của vectơ đơn vị
Tương tự, các phần tử trên cột thứ n của ma trận C là tọa
độ trong BFR của vectơ đơn vị e
n
.
2. Ma trận côsin chỉ hướng là ma trận trực giao:
C
T
C = CC
T
= I
3
3. Định thức của ma trận côsin chỉ hướng bằng 1.
4. Ma trận côsin chỉ hướng có ít nhất một trị riêng bằng 1.
Chú ý: Ma trận côsin chỉ hướng có 3 thành phần độc lập:
Các tính chất của ma trận côsin chỉ hướng
k
m
e

0,1
0,1
0,1
332332223121
2
33
2
32
2
31
331332123111
2
23
2
22
2
21
231322122111
2
13
2
12
2
11
=++=++
=++=++
=++=++
ccccccccc
ccccccccc
ccccccccc

3.2 CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN CỦA VẬT RẮN
3.2.1 Định nghĩa và thí dụ
3.2.2 Định lý về quan hệ động học của các điểm

3.2.1 ĐỊNH NGHĨA & THÍ DỤ CH.ĐỘNG TỊNH TIẾN
• Một vật rắn được gọi là thực hiện một chuyển động tịnh
tiến nếu như mọi đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ thuộc vật
luôn dịch chuyển song song với chính nó.
• Nói cách khác, chuyển động tịnh tiến không làm thay đổi
phương của các đoạn thẳng gắn cứng với vật.
• Thí dụ:
- Thanh truyền trong cơ cấu hình bình hành.
- Chuyển động của ụ động trên băng trượt của máy tiện.
- Ch.động tương đối giữa các khâu tạo nên khớp tịnh tiến.

3.2.2 ĐỊNH LÝ VỀ QUAN HỆ ĐỘNG HỌC CỦA CÁC ĐIỂM
• Các điểm khác nhau trên vật rắn ch.động tịnh tiến có:
- Quỹ đạo chuyển động như nhau.
- Vectơ vận tốc như nhau.
- Vectơ gia tốc như nhau.
⇒ Đối với vật chuyển động tịnh tiến, chỉ cần quan tâm đến
quỹ đạo, chuyển vị, vận tốc và gia tốc của một điểm là đủ.

3.3 CHUYỂN ĐỘNG QUAY QUANH TRỤC CỐ ĐỊNH
3.3.1 Xác định vị trí của điểm sau phép quay
3.3.2 Ma trận quay
- Công thức tổng quát
- Các ph.pháp biểu diễn
- Ma trận quay khi trục quay trùng trục tọa độ

- Các tính chất
3.3.3 Vận tốc và gia tốc của điểm thuộc vật
3.3.4 Vận tốc góc và gia tốc góc
3.3.5 Xác định trục quay và góc quay khi biết ma trận
quay

Ban đầu 2 hệ quy chiếu OXYZ, O
k
X
k
Y
k
Z
k
trùng nhau.
ν = [ν
1
, ν
2
, ν
3
]
T
- vectơ đơn vị trên trục quay ∆,
θ - góc quay (dương khi cùng chiều kim đồng hồ)
3.3.1 XÁC ĐỊNH VỊ TRÍ CỦA ĐIỂM SAU PHÉP QUAY
1
2
3
2

2
2
1
=ν+ν+ν

Xác định vị trí của điểm sau phép quay
rνrν
rν
rν
rν
)sin
~
(sin)(sinsinHP θ=θ×=θ
×
=θ
×
×
= a
a
a
2
sin)(2
2
sin2.
1.sin.1
sin)(
2
sin2.
90sin.HP.
sin)(

HP
222
0
k
θ
××=
θ
θ
θ××
=
θθ××
= rνν
rνν
ν
rνν
a
a
a
rrr ∆+=
HPHPPP
kk
+==∆r

• Công thức xác định vị trí của điểm sau phép quay:
Xác định vị trí của điểm sau phép quay (tiếp)
rArννIr =







θ
+θ+=
2
sin)
~
(2sin
~
22
3
trong đó:
),(
2
sin)
~
(2sin
~
22
3
θ=






θ
+θ+= νAννIA
• Quan hệ giữa các cách biểu diễn của cùng một vectơ

trong hai hệ quy chiếu IFR và BFR:
uAu =

• Công thức tổng quát của ma trận quay:
3.3.2 MA TRẬN QUAY
),(
2
sin)
~
(2sin
~
22
3
θ=






θ
+θ+= νAννIA
trong đó:
I
3
- ma trận đơn vị cấp 3,
ν = [ν
1
, ν
2

, ν
3
]
T
- vectơ đơn vị trên trục quay,
- ma trận sóng của vectơ ν,
θ - góc quay
ν
~

• Biểu diễn theo các tham số trục quay và góc quay:
BIỂU DIỄN MA TRẬN QUAY










νν−
ν−ν
νν−
=
0
0
0
~

12
13
23
ν










ν+ν−νννν
ννν+ν−νν
ννννν+ν−
=
)(
)(
)(
)
~
(
2
2
2
13213
32
2

1
2
321
1321
2
3
2
2
2
ν










==
×
333231
232221
131211
33ij
)(
aaa
aaa
aaa

aA
)2(sin2sin
)2(si n2sin
)2(si n2sin
)2(si n)1(21
)2(sin)(21
2
12321
2
31213
2
21312
22
1
22
3
2
211
θνν+θν=
θνν+θν=
θνν+θν−=
θν−−=
θν+ν−=
a
a
a
a
)2(sin)1(21
)2(sin)(21
)2(sin2sin

)2(sin2sin
)2(sin2sin
)2(sin)1(21
)2(s in)(21
22
3
22
2
2
133
2
23132
2
13231
2
32123
22
2
22
3
2
122
θν−−=
θν+ν−=
θνν+θν=
θνν+θν−=
θνν+θν−=
θν−−=
θν+ν−=
a

a
a
a
a
To slide 25

Các tham số Ơle:
2
sin,
2
sin,
2
sin,
2
cos
3322110
θ
ν=θ
θ
ν=θ
θ
ν=θ
θ
=θ
)1(
2
3
2
2
2

1
2
0
=θ+θ+θ+θ
)(211)(2
)(2
)(2
)(2
)(211)(2
)(2
)(2
)(2
)(211)(2
2
2
2
1
2
3
2
033
102332
201331
103223
2
1
2
3
2
2

2
022
301221
203113
302112
2
3
2
2
2
1
2
011
θ+θ−=−θ+θ=
θθ+θθ=
θθ−θθ=
θθ−θθ=
θ+θ−=−θ+θ=
θθ+θθ=
θθ+θθ=
θθ−θθ=
θ+θ−=−θ+θ=
a
a
a
a
a
a
a
a

a










=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Vectơ các tham số Ơle :
T
3210
],,,[ θθθθ=θ
BIỂU DIỄN MA TRẬN QUAY (tiếp)
• Biểu diễn theo các tham số Ơle (Euler):

• Biểu diễn theo các ma trận G và L:
T
GLA =











θθ−θθ−
θθθ−θ−
θ−θθθ−
=
0123
1032
2301
L










θθθ−θ−
θ−θθθ−
θθ−θθ−

=
0123
1032
2301
G
Có thể kiểm tra bằng cách nhân trực tiếp:
• Một số tính chất cần nhớ của G và L:
T
4
TT
3
TT
θθILLGG
0LθGθ
ILLGG
−==
==
==
BIỂU DIỄN MA TRẬN QUAY (tiếp)

• Trục quay trùng với OY:
• Trục quay trùng với OX:
• Trục quay trùng với OZ:











θθ
θ−θ=
cossin0
sincos0
001
A










θθ−
θθ
=
cos0sin
010
sin0cos
A











θθ
θ−θ
=
100
0cossin
0sincos
A
MA TRẬN QUAY KHI TRỤC QUAY TRÙNG TRỤC TỌA ĐỘ

CÁC TÍNH CHẤT CỦA MA TRẬN QUAY
Ma trận quay của vật rắn là chuyển vị của ma trận côsin
chỉ hướng của nó ⇒ ma trận quay có tất cả các tính chất
của ma trận côsin chỉ hướng.










=





















=
31
21
11
333231
232221
131211
k
1
0

0
1
a
a
a
aaa
aaa
aaa
eA
TC1: Các cột của ma trận quay là tọa độ trong hệ quy
chiếu cố định của các vectơ đơn vị trên hệ tọa độ động
gắn với vật khảo sát.
TC2: Ma trận quay là ma trận trực giao.
TC3: Định thức của ma trận quay bằng 1 (detA = 1).
TC4: Ma trận quay có ít nhất một trị riêng bằng 1.

• Vận tốc:
3.3.3 VẬN TỐC VÀ GIA TỐC CỦA ĐIỂM TRÊN VẬT RẮN
rAr
A
rA
r
V

====
dt
d
dt
d
dt

d
)(
,. θ=
θ
θ
==
θ

A
AA
A
dt
d
d
d
dt
d
• Gia tốc:
rArA
r
V θ===
θ

dt
d
rA
A
rA
A
rA

V
a






θ
+θ
θ
θ
=






θ
+θ=θ==
θ
θ
θ
θ
θ
dt
d
dt
d

d
d
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d




)(
[ ]
rAArA
A
θ+θ=






θ+θ
θ
=
θθθθ


22
2
2
)()(
d
d
2
2
θ
=
θθ
d
d A
A

• Vận tốc góc:
3.3.3 VẬN TỐC GÓC & GIA TỐC GÓC CỦA VẬT RẮN
• Gia tốc góc:
T
321
],,[ νννθ=θ=
θ
=ω=

νννω
dt
d
ωAωAωωAω
T1
==⇒=

−
ωω ,
- vectơ vận tốc góc xác định trong BFR và IFR
T
321
2
2
],,[ νννθ=θ=
ω
=
θ
=ε=

ννννε
dt
d
dt
d
εAεAεεAε
T1
==⇒=
−
- vectơ gia tốc góc xác định trong BFR và IFR
εε ,

• Biết ma trận quay ⇔ biết tất cả các phần tử a
ik
của nó:
3.3.5 XÁC ĐỊNH TRỤC QUAY & GÓC QUAY BIẾT MA TRẬN A
Xác định trục quay và góc quay ⇔ tìm ν

1
, ν
2
, ν
3
và θ.
Theo cách biểu diễn A theo các tham số trục quay và
góc quay, suy ra:
Chú ý: Do ch.động quay quanh trục cố định lặp lại vị trí
ban đầu nên tồn tại nhiều góc quay khác nhau.










==
×
333231
232221
131211
33ij
)(
aaa
aaa
aaa

aA
2
]1)[(
cos
332211
−++
=θ
aaa
θ
−
=ν
sin2
)(
2332
1
aa
θ
−
=ν
sin2
)(
3113
2
aa
θ
−
=ν
sin2
)(
1221

3
aa
To slide 18