Chuyên đề phương trình lượng giác
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (693.49 KB, 74 trang )
TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Website: Giasualpha.edu.vn
Số 4 – Ngõ 3 –Tân Hùng – Thành phố Vinh. ĐT 0984.638.972 – 0917.638.972
1
TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH
CHUYÊN ĐỀ
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I.CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
1.CÔNG THỨC CỘNG 2.CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos2a = cos
2
a – sin
2
a
cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb = 2cos
2
a –1
sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb = 1 – 2sin
2
a
sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb sin2a = 2.sina.cosa
tan(a + b) =
tana + tanb
1 - tana.tanb
tan2a =
2.tana
1 - tan
2
a
tan(a - b) =
tana - tanb
1 + tana.tanb
3.CÔNG THỨC HẠ BẬC cos
2
a =
1 2
2
cos a
sin
2
a =
1 - cos2a
2
4.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH
cosa + cosb = 2.cos
a + b
2
.cos
a - b
2
cosa - cosb = -2.sin
a + b
2
.sin
a - b
2
sina + sinb = 2.sin
a + b
2
.cos
a - b
2
sina - sinb = 2.cos
a + b
2
.sin
a - b
2
TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Website: Giasualpha.edu.vn
Số 4 – Ngõ 3 –Tân Hùng – Thành phố Vinh. ĐT 0984.638.972 – 0917.638.972
2
sin( )
tan tan
osacosb
a b
a b
c
sin( )
tan tan
osacosb
a b
a b
c
5.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
cosa.cosb =
1
2
[cos(a – b) + cos(a + b)]
sina.sinb =
1
2
[cos(a – b) - cos(a + b)]
1
sin osb= sin( ) sin( )
2
ac a b a b
1
os sinb= sin( ) sin( )
2
c a a b a b
6.BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT
x
ra
d
-
-
5
6
-
3
4
-
2
3
-
2
-
3
-
4
-
6
0
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
đ
ộ
-180
o
-150
o
-135
o
-120
o
-90
o
-60
o
-45
o
-30
o
0 30
o
45
o
60
o
90
o
120
o
135
o
150
o
180
o
sin 0
-
1
2
-
2
2
-
3
2
-1
-
3
2
-
2
2
-
1
2
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
cos -1
-
3
2
-
2
2
-
1
2
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
-
1
2
-
2
2
-
3
2
-1
tan 0
1
3
1
3
||
- 3
-1
-
1
3
0
1
3
1
3
||
- 3
-1
-
1
3
0
cot ||
3
1
1
3
0
-
1
3
-1
- 3
||
3
1
1
3
0
-
1
3
-1
- 3
||
TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Website: Giasualpha.edu.vn
Số 4 – Ngõ 3 –Tân Hùng – Thành phố Vinh. ĐT 0984.638.972 – 0917.638.972
3
II.CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
1.Phương trình sinx=a.( -1 a 1)
sinx = a
arcsina+k2
arcsina+k2
x
x
; k Z +sinx = sin
+k2
+k2
x
x
; k Z ( a = sin)
sinx = 0 x = k; k Z
sinx = 1 x =
2
+ k2; k Z
sinx = -1 x = -
2
+ k2; k Z
2.Phương trình cosx=a.( -1 a 1)
cosx = a
arccosa+k2
arccosa+k2
x
x
; k Z +cosx = cos
+k2
+k2
x
x
; k Z ( a = cos)
cosx = 0 x =
2
+ k; k Z
cosx = 1 x = k2; k Z
cosx = -1 x = + k2; k Z
3.Phương trình tanx=a.
TXĐ: \ ,
2
k k
+tanx=a x=arctana+k ,k
+tanx=tan x= +k ,k
tanx=1 x= ,
4
tanx=-1 x=- ,
4
t anx=0 x= ,
k k
k k
k k
4.Phương trình cotx=a.
TXĐ:
\ ,k k
+ t x=a x=arccota+k ,kco
+cotx=cot x= +k ,k
TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Website: Giasualpha.edu.vn
Số 4 – Ngõ 3 –Tân Hùng – Thành phố Vinh. ĐT 0984.638.972 – 0917.638.972
4
cotx=1 x= ,
4
cotx=-1 x=- ,
4
t x=0 x= ,
2
k k
k k
co k k
III.CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP.
1.Phương trình a.sinx+bcosx=c (
2 2
0
a b
)
2 2 2 2 2 2
sinx+ osx=
a b c
c
a b a b a b
đặt:
2 2
2 2
os =
sin
a
c
a b
b
a b
phương trình trở thành:
2 2
sinx os osxsin
c
c c
a b
2 2
sin( )
c
x
a b
*Chú ý
+Phương trình có nghiệm khi
2 2 2
c a b
+Nếu
. 0, 0
a b c
thì: sin cos 0 tan
b
a x b x x
a
2.Phương trình :
2 2
asin sinxcosx+ccos 0
x b x
(1)
+Nếu a = 0:
2
sinxcosx+ccos 0
b x
osx(bsinx+ccosx)=0
c
osx=0
bsinx+ccosx=0
c
+Nếu c = 0:
2
asin sinxcosx=0
x b
sinx(asinx+bcosx)=0
sinx=0
asinx+bcosx=0
+Nếu
0, 0,cos 0
a c x
:
2 2
2 2 2
sin sinxcosx cos
(1) 0
cos cos cos
x x
a b c
x x x
2
tan tanx+c=0
a x b
TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Website: Giasualpha.edu.vn
Số 4 – Ngõ 3 –Tân Hùng – Thành phố Vinh. ĐT 0984.638.972 – 0917.638.972
5
BÀI TẬP.
Bài 1.Giải các phương trình:
a)
2 cot(5 ) 0
8
x
b)
2
2cos 3cos 0
x x
c)
3sin3 cos3 2
x x
d)
2 2
sin sin 2 2cos 2
x x x
Giải.
a)
2 cot(5 ) 0
8
x
5
8 2
x k
5
k
x
b)
2
2cos 3cos 0
x x
cos 0
2
,
3
5
cos
2
2
6
x
x k
k
x
x k
c)
3sin3 cos3 2
x x
3 1
sin3 cos3 1
2 2
x x
sin
(3 )
6
x
= 1
3 2
6 2
x k
2 2
9 3
k
x
d)
2 2
sin sin 2 2cos 2
x x x
sinx ( 2 cosx – sinx ) = 0
sin 0
tan 2 arctan2
x x k
x x k
Bài 2.Giải các phương trình:
a)
3
3 tan(3 ) 0
5
x
3
3
5
x k
5 3
k
x
b)
2
2sin sin 1 0
x x
2
2
sin 1
2 ,
1
6
sin
2
7
2
6
x k
x
x k k
x
x k
c)
sin5 cos5 2
x x
1 1
sin5 cos5 1
2 2
x x
sin
(5 )
4
x
= - 1
5 2
4 2
x k
3 2
20 5
k
x
TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Website: Giasualpha.edu.vn
Số 4 – Ngõ 3 –Tân Hùng – Thành phố Vinh. ĐT 0984.638.972 – 0917.638.972
6
d)
2 2
3sin sin2 cos 3
x x x
2
2sin cos 2cos 0 2cos (sin cos ) 0
x x x x x x
2
cos 0
2
tan 1
4
x k
x
x
x k
e.
cos2 3sin 2 0
x x
2 2
1 2sin 3sin 2 0 2sin 3sin 1 0
x x x x
2
2
sin 1
2 ,
1
6
sin
2
5
2
6
x k
x
x k k
x
x k
f.
3sin cos 2
x x
3 1 2
sin cos
2 2 2
x x
2
sin cos cos sin
6 6 2
x x
sin( ) sin
6 4
x
2
2
6 4
12
,
3 7
2 2
6 4 12
x k
x k
k
x k x k
g.
3sin cos 2
x x
3 1 2
sin cos
2 2 2
x x
2
sin cos cos sin
6 6 2
x x
sin( ) sin
6 4
x
5
2
2
6 4
12
,
3 11
2 2
6 4 12
x k
x k
k
x k x k
TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Website: Giasualpha.edu.vn
Số 4 – Ngõ 3 –Tân Hùng – Thành phố Vinh. ĐT 0984.638.972 – 0917.638.972
7
h.
2cos2 3cos 1 0
x x
2
4cos 3cos 1 0
x x
cos 1 2
,
1 1
cos arccos( ) 2
4 4
x x k
k
x x k
i.
2 2
2sin 3sin cos 5cos 0
x x x x
2
2 n 3 n 5 0
ta x ta x
tan 1
4
,
5
5
tan
arctan( )
2
2
x
x k
k
x
x k
Bài 3.Giải các phương trình:
a.
3sin sin2 0
x x
b.
2 2cos 2
sinx x
c.
sin sin3 sin5 0
x x x
d.
sin sin3 sin5 cos cos3 cos5
x x x x x x
e.
2 2
2sin 5sin cos 4cos 2
x x x x
f.
2 2
2cos 2 3sin 2
x x
g.
2 2
sin 2 cos 3 1
x x
h.
tan .tan5 1
x x
i.
5cos2 12sin2 13
x x
j.
2sin 5cos 4
x x
k.
2cos 3sin 2
x x
Bài 4.Giải các phương trình:
a.
tan cot 2
x x
b.
2
(3 cot ) 5(3 cot )
x x
c.
3(sin3 cos ) 4(cos3 sin )
x x x x
d.
2 2
4sin 3 3sin2 2cos 4
x x x
e.
2 2 2 2
sin sin 2 sin 3 sin 4 2
x x x x
f.
4 2
4sin 12cos 7
x x
Bài 5. Giaûi caùc phöông trình sau :
a)
2 cot(5 ) 0
8
x
b)
2
2cos 3cos 0
x x
c)
3sin3 cos3 2
x x
d)
2 2
sin sin 2 2cos 2
x x x
Baøi giaûi :
a)
2 cot(5 ) 0
8
x
TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Website: Giasualpha.edu.vn
Số 4 – Ngõ 3 –Tân Hùng – Thành phố Vinh. ĐT 0984.638.972 – 0917.638.972
8
5
8 2
x k
5
k
x
b)
2
2cos 3cos 0
x x
cos 0
3
cos
2
x
x
2
5
2
6
x k
x k
c)
3sin3 cos3 2
x x
3 1
sin3 cos3 1
2 2
x x
Sin
(3 )
6
x
= 1
3 2
6 2
x k
2 2
9 3
k
x
d)
2 2
sin sin 2 2cos 2
x x x
sinx ( 2 cosx – sinx ) = 0
sin 0
tan 2
x
x
arctan 2
x k
x k
Bài 6. giaûi phöông trìnhlöôïng giaùc :
a)
3
3 tan(3 ) 0
5
x
3
3
5
x k
5 3
k
x
b)
2
2sin sin 1 0
x x
sin 1
1
sin
2
x
x
2
2
2
6
7
2
6
x k
x k
x k
c)
sin5 cos5 2
x x
1 1
sin5 cos5 1
2 2
x x
Sin
(5 )
4
x
= - 1
5 2
4 2
x k
3 2
20 5
k
x
d)
2 2
3sin sin 2 cos 3
x x x
cos 0
tan 1
x
x
2
4
x k
x k
TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Website: Giasualpha.edu.vn
Số 4 – Ngõ 3 –Tân Hùng – Thành phố Vinh. ĐT 0984.638.972 – 0917.638.972
9
Bài 7. Giải các phương trình sau:
a.
2sin 1 0
x
b.
2cos 3 0
x c.
cos2 3sin 2 0
x x
d.
3sin cos 2
x x
a)
sin sin
6
x
2
6
5
2
6
x k
x k
b)
cos cos
6
x
2
6
x k
c)
2
2sin 3sin 1 0
x x
sin 1
1
sin
2
x
x
2
2
2
6
5
2
6
x k
x l
x l
d)
3 1 2
sin cos
2 2 2
x x
5
2
12
11
2
12
x k
x k
Bài 8. Giải các phương trình sau:
a.
2sin 3 0
x b.
2cos 1 0
x
c.
cos2 3sin 2 0
x x
d.
3sin cos 2
x x
a)
sin sin
3
x
2
3
2
2
3
x k
x k
b)
cos cos
3
x
2
3
x k
c)
2
2sin 3sin 1 0
x x
sin 1
1
sin
2
x
x
2
2
2
6
5
2
6
x k
x k
x k
d)
3 1 2
sin cos
2 2 2
x x
2
12
7
2
12
x k
x k
Bài 9. Giải các phương trình sau:
a.
2sin 1 0
x
b.
2cos 2 0
x
c.
2 cos2x -3cosx +1 =0
d.
3sin cos 2
x x
TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Website: Giasualpha.edu.vn
Số 4 – Ngõ 3 –Tân Hùng – Thành phố Vinh. ĐT 0984.638.972 – 0917.638.972
10
a)
sin sin
6
x
2
6
5
2
6
x k
x k
b)
cos cos
4
x
2
4
x k
c)
2
4cos 3cos 1 0
x x
cos 1
1
cos
4
x
x
2
1
arccos 2
4
x k
x k
d)
3 1 2
sin cos
2 2 2
x x
5
2
12
11
2
12
x k
x k
Bài 10. Giải Phương trình
a.
3sin cos 2
x x b.
cos2 3sin 2 0
x x
c. cos
2
x + sinx +1=0
a/
3 1 2
sin cos
2 2 2
x x
sin sin
6 4
x
5
2
12
11
2
12
x k
x k
b
2
2sin 3sin 1 0
x x
sin 1
1
sin
2
x
x
2
2
2
6
5
2
6
x k
x l
x l
c.
4
6
x k
x k
Bài 11. Giải các pt.
a.
cos2 3sin 2 0
x x
b.sin
2
x +3sinx cosx -5 cos
2
x= 0
c.2 cos
2
x -3cosx +1 =0
Đáp án
TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Website: Giasualpha.edu.vn
Số 4 – Ngõ 3 –Tân Hùng – Thành phố Vinh. ĐT 0984.638.972 – 0917.638.972
11
a
2
2sin 3sin 1 0
x x
sin 1
1
sin
2
x
x
2
2
2
6
5
2
6
x k
x l
x l
b sin cos , 2 2t x x t =>
2
1
sin .cos
2
t
x x
PT
2
12 11 0
t t
=>
1
11
t
t loaïi
=>
2
2
2
x k
x k
c.
2
2
3
x k
x k
Bài 12. a. Giải các Phương trình sau:
2cos x 1 0
3
b.sin
2
x +3sinx cosx -5 cos
2
x= 0
a/
1 2
2cos x 1 0 cos x cos
3 3 2 3
x k2
3
x k2
b/ sin cos , 2 2t x x t
2
1
sin .cos
2
t
x x
PT
2
12 11 0
t t
1
11
t
t loaïi
=>
2
2
2
x k
x k
Bài 13. Giải các phương trình sau
a.
2
2sin x 3sin x 1 0
b.
3sin x sin 2x 0
c.
2sin x 2cosx 2
TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Website: Giasualpha.edu.vn
Số 4 – Ngõ 3 –Tân Hùng – Thành phố Vinh. ĐT 0984.638.972 – 0917.638.972
12
Đs a.
2
2
2
6
x k
x k
b. x=k360
0
c.
5
24
13
24
x k
x k
Bài 13. Giải Phương trình
a. tan(x +20
0
) =
2
1
b. sinx + sin2x = cosx + cos3x
c.4sin
2
x -5sinx cosx -6 cos
2
x= 0
ĐS.a. x=10
0
+k180
0
b.
2
2
6 3
x k
x k
c.
arctan 2
1
arctan( )
2
x k
x k
Bài 14. Giải Phương trình
a.
3sin cos 2
x x b.
cos2 3sin 2 0
x x
1a)
3 1 2
sin cos
2 2 2
x x
sin sin
6 4
x
5
2
12
11
2
12
x k
x k
1b)
2
2sin 3sin 1 0
x x
sin 1
1
sin
2
x
x
2
2
2
6
5
2
6
x k
x l
x l
Bài 15. Giải pt: a.
2
4tan 7tan 3 0
x x
b.sin(2x +
3
) = -
2
2
Đáp án : a.
sin(3 ) 0(0.25) 3 (0.25), (0.5)
6 6 18 3
k
x x k x
b.
7
2 2
3 4
24
(0.25*4)
5 11
2 2
3 4 24
x k
x k
x k x k
TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Website: Giasualpha.edu.vn
Số 4 – Ngõ 3 –Tân Hùng – Thành phố Vinh. ĐT 0984.638.972 – 0917.638.972
13
Bài 16. Giải pt: a.
2
2cot 5 t 3 0
x co x
b.cos(2x +
3
) = -
2
2
c. 2
2 2
cos 2 3sin 2
x
Đáp án : a.
2
cos(3 ) 0(0.25) 3 (0.25), (0.5)
6 6 2 18 3
k
x x k x
cos 1
4
3
3
cot
cot
2
2
x
x k
x
x arc k
b.
7
2 2
3 4
24
(0.25*4)
2 2
3 4 24
x k
x k
x k x k
c.
2
cos2 1
4cos 2 3cos2 1 0
1
cos2
4
2 2
1 1 1
2 arccos( ) 2 arccos( )
4 2 4
x
x x
x
x k x k
k Z
x k x k
5
5sin sin 0
x x
h.
cos7 sin5 3(cos5 sin7 )
x x x x
Phương trình asinx + bcosx = c
Bài 1.
5 2
84 7
cos7 3sin7 2
11 2
84 7
x k
x x
x k
Bài 2.
3(sin5 cos ) 4(sin cos5 )
x x x x
3sin5 4cos5 4sin 3cos
x x x x
3 4 4 3
sin5 cos5 sin cos
5 5 5 5
x x x x
sin5 cos cos5 sin sin sin cos cos
x x x x
,
3 4
( cos , sin )
5 5
TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Website: Giasualpha.edu.vn
Số 4 – Ngõ 3 –Tân Hùng – Thành phố Vinh. ĐT 0984.638.972 – 0917.638.972
14
sin(5 ) cos( )
x x
sin(5 ) sin( )
2
x x
5 2
12 3 3
2
5 2
2 8 2
x k
x x k
x x k x k
Bài 3.
3
3sin3 3cos9 1 4sin 3
x x x
3
(3sin3 4sin 3 ) 3cos9 1
x x x
sin9 3cos9 1
x x
sin(9 ) sin
3 6
x
2
18 9
7 2
54 9
x k
x k
Bài 4.
1
tan sin2 cos2 2(2cos ) 0
cos
x x x x
x
(1)
Điều kiện: cos 0
2
x x k
sin 2
(1) sin 2 cos2 4cos 0
cos cos
x
x x x
x x
2 2
sin 2sin cos cos2 cos 2(2cos 1) 0
x x x x x x
2
sin (1 2cos ) cos2 cos 2cos2 0
x x x x x
sin cos2 cos2 cos 2cos2 0
x x x x x
cos2 (sin cos 2) 0
x x x
cos2 0
sin cos 2( )
4 2
x
x k
x x vn
Bài 5.
3 1
8sin
cos sin
x
x x
(*)
Điều kiện: sin2 0
2
x x k
2
(*) 8sin cos 3sin cos
x x x x
4(1 cos2 )cos 3sin cos
x x x x
4cos2 cos 3sin 3cos
x x x x
2(cos3 cos ) 3sin 3cos
x x x x
TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Website: Giasualpha.edu.vn
Số 4 – Ngõ 3 –Tân Hùng – Thành phố Vinh. ĐT 0984.638.972 – 0917.638.972
15
1 3
cos3 cos sin
2 2
x x x
cos3 cos( )
3
x x
6
12 2
x k
x k
C2
2
(*) 8sin cos 3sin cos
x x x x
2
8(1 cos )cos 3sin cos
x x x x
3
8cos 8cos 3sin 3cos
x x x x
3
6cos 8cos 3sin cos
x x x x
3
1 3
4cos 3cos cos sin
2 2
x x x x
cos3 cos( )
3
x x
6
12 2
x k
x k
Bài 6.
9sin 6cos 3sin2 cos2 8
x x x x
2
6sin cos 6cos 2sin 9sin 7 0
x x x x x
6cos (sin 1) (sin 1)(2sin 7) 0
x x x x
(sin 1)(6cos 2sin 7) 0
x x x
sin 1
6cos 2sin 7
x
x x
2
2
x k
Bài 7.
sin2 2cos2 1 sin 4cos
x x x x
2
2sin cos 2(2cos 1) 1 sin 4cos 0
x x x x x
2
sin (2cos 1) 4cos 4cos 3 0
x x x x
sin (2cos 1) (2cos 1)(2cos 3) 0
x x x x
(2cos 1)(2sin 2cos 3) 0
x x x
1
cos
2
2sin 2cos 3,( )
x
x x vn
2
3
x k
Bài 8.
2sin2 cos2 7sin 2cos 4
x x x x
TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Website: Giasualpha.edu.vn
Số 4 – Ngõ 3 –Tân Hùng – Thành phố Vinh. ĐT 0984.638.972 – 0917.638.972
16
2
4sin cos (1 2sin ) 7sin 2cos 4 0
x x x x x
2
2cos (2sin 1) (2sin 7sin 3) 0
x x x x
2cos (2sin 1) (2sin 1)(sin 3) 0
x x x x
(2sin 1)(2cos sin 3) 0
x x x
2sin 1 0
2cos sin 3,( )
x
x x vn
2
6
5
2
6
x k
x k
Bài 9.
sin2 cos2 3sin cos 2
x x x x
2
2sin cos (1 2sin ) 3sin cos 2 0
x x x x x
2
(2sin cos cos ) (2sin 3sin 1) 0
x x x x x
cos (2sin 1) (2sin 1)(sin 1) 0
x x x x
(2sin 1)(cos sin 1) 0
x x x
2sin 1
cos sin 1
x
x x
2
6
2sin 1
5
2
6
x k
x
x k
2
2
cos sin 1 cos( )
4 2
2
2
x k
x x x
x k
Bài 10.
2
(sin2 3cos2 ) 5 cos(2 )
6
x x x
Ta có:
1 3
sin2 3cos2 2( sin2 cos2 ) 2cos(2 )
2 2 6
x x x x x
Đặt:
sin2 3cos2 , 2 2
t x x t
TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Website: Giasualpha.edu.vn
Số 4 – Ngõ 3 –Tân Hùng – Thành phố Vinh. ĐT 0984.638.972 – 0917.638.972
17
Phương trình trở thành:
2
5
2
t
t
2
2 10 0
t t
2
5
2
t
t
5
:
2
t
loại
7
2:2cos(2 ) 2
6 12
t x x k
Bài 11.
3
2cos cos2 sin 0
x x x
3 2
2cos 2cos 1 sin 0
x x x
2
2cos (cos 1) (1 sin ) 0
x x x
2
2(1 sin )(cos 1) (1 sin ) 0
x x x
2(1 sin )(1 sin )(cos 1) (1 sin ) 0
x x x x
(1 sin )[2(1 sin )(cos 1) 1] 0
x x x
(1 sin )[1 2sin cos 2(sin cos )] 0
x x x x x
sin 1
1 2sin cos 2(sin cos ) 0
x
x x x x
sin 1 2
2
x x k
1 2sin cos 2(sin cos ) 0
x x x x
2
(sin cos ) 2(sin cos ) 0
x x x x
(sin cos )(sin cos 2) 0
x x x x
sin cos 0
x x
tan 1
4
x x k
Bài 12.
2
1 cos2
1 cot2
sin 2
x
x
x
(*) Điều kiện: sin 2 0
2
x x k
2
1 cos2
(*) 1 cot2
1 cos 2
x
x
x
1
1 cot2
1 cos2
x
x
cos2 1
1
sin2 1 cos2
x
x x
sin2 (1 cos2 ) cos2 (1 cos2 ) sin2
x x x x x
sin2 cos2 cos2 (1 cos2 ) 0
x x x x
cos2 (sin2 cos2 1) 0
x x x
cos2 0
sin2 cos2 1
x
x x
TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Website: Giasualpha.edu.vn
Số 4 – Ngõ 3 –Tân Hùng – Thành phố Vinh. ĐT 0984.638.972 – 0917.638.972
18
cos2 0
4 2
x x k
sin2 cos2 1
x x
sin(2 ) sin( )
4 4
x
4
2
x k
x k
Vậy,phương trình có nghiệm:
4 2
x k
Bài 13.
4 4
4(sin cos ) 3sin4 2
x x x
2 2 2 2 2
4[(sin cos ) 2sin cos ] 3sin4 2
x x x x x
2
1
4(1 sin 2 ) 3sin4 2
2
x x
cos4 3sin4 2
x x
4 2
12 2
x k
x k
Bài 14.
3 3
1
1 sin 2 cos 2 sin4
2
x x x
2 sin4 2(sin2 cos2 )(1 sin2 cos2 ) 0
x x x x x
(2 sin4 ) (sin2 cos2 )(2 sin4 ) 0
x x x x
(2 sin4 )(sin2 cos2 1) 0
x x x
sin2 cos2 1
x x
2
sin(2 )
4 2
x
4
2
x k
x k
Bài 15.
tan 3cot 4(sin 3cos )
x x x x
(*) Điều kiện: sin 2 0
2
x x k
sin cos
(*) 3 4(sin 3cos )
cos sin
x x
x x
x x
2 2
sin 3cos 4sin cos (sin 3cos ) 0
x x x x x x
TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Website: Giasualpha.edu.vn
Số 4 – Ngõ 3 –Tân Hùng – Thành phố Vinh. ĐT 0984.638.972 – 0917.638.972
19
(sin 3cos )(sin 3cos ) 4sin cos (sin 3cos ) 0
x x x x x x x x
(sin 3cos )(sin 3cos 4sin cos ) 0
x x x x x x
sin 3cos 0
sin 3cos 4sin cos 0
x x
x x x x
sin 3cos 0 tan 3
3
x x x x k
sin 3cos 4sin cos 0
x x x x
2sin2 sin 3cos
x x x
1 3
sin2 sin cos
2 2
x x x
sin2 sin( )
3
x x
2
3
4 2
9 3
x k
x k
Vậy,phương trình có nghiệm là:
;
3
x k
4 2
9 3
x k
Bài 16.
3 3
sin cos sin cos
x x x x
2 3
sin (sin 1) cos cos 0
x x x x
2 3
sin cos cos cos 0
x x x x
2
cos ( sin cos cos 1) 0
x x x x
2
cos 0
sin cos cos 1
x
x x x
cos 0
2
x x k
2
sin cos cos 1
x x x
1 1 cos2
sin2 1
2 2
x
x
sin2 cos2 3,( )
x x vn
Vậy,phương trình có nghiệm là: ,
2
x k k
Bài 17.
4 4
1
cos sin ( )
4 4
x x
2 2
1 1 1
(1 cos2 ) [1 cos(2 )]
4 4 2 4
x x
2 2
(1 cos2 ) (1 sin2 ) 1
x x
sin2 cos2 1
x x
TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Website: Giasualpha.edu.vn
Số 4 – Ngõ 3 –Tân Hùng – Thành phố Vinh. ĐT 0984.638.972 – 0917.638.972
20
3
cos(2 ) cos
4 4
x
2
2
4
x k
x k
Bài 18.
3 3
4sin cos3 4cos sin3 3 3cos4 3
x x x x x
3 3 3 3
4sin (4cos 3cos ) 4cos (3sin 4sin ) 3 3cos4 3
x x x x x x x
3 3
12sin cos 12cos sin 3 3cos4 3
x x x x x
2 2
4sin cos (cos sin ) 3cos4 1
x x x x x
2sin2 cos2 3cos4 1
x x x
sin4 3cos4 1
x x
1 3 1
sin4 cos4
2 2 2
x x
sin(4 ) sin
3 6
x
24 2
,
8 2
x k
k
x k
Bài 19.Cho phương trình:
2 2
2sin sin cos cos
x x x x m
(*)
a.Tìm m sao cho phương trình có nghiệm.
b.Giải phương trình khi m = -1.
Giải.
1 1
(*) (1 cos2 ) sin2 (1 cos2 )
2 2
x x x m
sin2 3cos2 2 1
x x m
a. (*)có nghiệm khi:
2 2 2
c a b
2
(1 2 ) 1 9
m
2
4 4 9 0
m m
1 10 1 10
2 2
m
b.Khi m = -1 phương trình trở thành:
sin2 3cos2 3
x x
1 3 3
sin2 cos2
10 10 10
x x
sin2 cos cos2 sin sin ,
x x
1 3
( cos , sin )
10 10
TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Website: Giasualpha.edu.vn
Số 4 – Ngõ 3 –Tân Hùng – Thành phố Vinh. ĐT 0984.638.972 – 0917.638.972
21
sin(2 ) sin
x
2 2
2 2
x k
x k
2
x k
x k
Bài 20. Cho phương trình:
2
3
5 4sin( )
6tan
2
sin 1 tan
x
x
(*)
a.Giải phương trình khi
4
b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm
Giải.
Ta có:
3
sin( ) sin( ) cos
2 2
x x x
2
2
6tan
6tan cos 3sin2 ,cos 0
1 tan
5 4cos
(*) 3sin2
sin
x
x
3sin2 sin 4cos 5
x x
(**)
a. khi
4
phương trình trở thành:
3sin 4cos 5
x x
3 4
sin cos 1
5 5
x x
3 4
sin cos cos sin 1,( cos , sin )
5 5
x x
sin( ) 1
x
2
2
x k
b.Phương trình có nghiệm khi:
2
cos 0
(3sin 2 ) 16 25
2
cos 0
sin 2 1
2
cos 0
sin 2 1
cos2 0
4 2
k
Bài 21.Giải các phương trình:
a.
2 2(sin cos )cos 3 cos2
x x x x
b.
(2cos 1)(sin cos ) 1
x x x
c.
2cos2 6(cos sin )
x x x
d.
3sin 3 3cos
x x
TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Website: Giasualpha.edu.vn
Số 4 – Ngõ 3 –Tân Hùng – Thành phố Vinh. ĐT 0984.638.972 – 0917.638.972
22
e.
2cos3 3sin cos 0
x x x
f.
cos 3sin sin2 cos sin
x x x x x
g.
3
cos 3sin
cos 3sin 1
x x
x x
h.
sin cos cos2
x x x
i.
3
4sin 1 3sin 3cos3
x x x
j.
6
3cos 4sin 6
3cos 4sin 1
x x
x x
k.
cos7 cos5 3sin2 1 sin7 sin5
x x x x x
l.
4 4
4(cos sin ) 3sin4 2
x x x
m.
2 2
cos 3sin2 1 sin
x x x
n.
4sin2 3cos2 3(4sin 1)
x x x
p.
2
(2 3)cos 2sin ( )
2 4
1
2cos 1
x
x
x
q.
2
tan sin2 cos2 4cos
cos
x x x x
x
Bài 22. Cho phương trình:
sin 2 cos 2
2cos 2sin
m x m x
m x m x
(*)
a.Giải phương trình khi m = 1
b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm
Bài 23. Cho phương trình:
sin cos 2
x m x
(*)
a.Giải phương trình khi
3
m
b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm
Bài 24. Cho phương trình:
2sin cos 1
sin 2cos 3
x x
m
x x
(*)
a.Giải phương trình khi
1
3
m
b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm.
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Bài 1.
cos3 sin3
5(sin ) 3 cos2
1 2sin2
x x
x x
x
(1)
TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Website: Giasualpha.edu.vn
Số 4 – Ngõ 3 –Tân Hùng – Thành phố Vinh. ĐT 0984.638.972 – 0917.638.972
23
Điều kiện:
1
12
sin2 ,
7
2
12
x k
x k
x k
Ta có:
cos3 sin3 sin 2sin2 sin cos3 sin3
5(sin ) 5
1 2sin2 1 2sin2
x x x x x x x
x
x x
sin cos cos3 cos3 sin3
5
1 2sin2
x x x x x
x
(sin3 sin ) cos
5
1 2sin2
x x x
x
2sin2 cos cos
5
1 2sin2
x x x
x
(2sin 1)cos
5
1 2sin2
x x
x
5cos
x
(1) 5cos cos2 3
x x
2
2cos 5cos 2 0
x x
1
cos
2
x
2
3
x k
Bài 2.
2 2
cos 3 cos2 cos 0
x x x
1 1
(1 cos6 )cos2 (1 cos2 ) 0
2 2
x x x
cos6 cos2 1 0
x x
(*)
Cách 1:
3
(*) (4cos 2 3cos2 )cos2 1 0
x x x
4 2
4cos 2 2cos 2 1 0
x x
2
cos 2 1
x
sin2 0
x
2
x k
Cách 2:
1
(*) (cos8 cos4 ) 1 0
2
x x
cos8 cos4 2 0
x x
2
2cos 4 cos4 3 0
x x
cos4 1
x
2
x k
Cách 3:
cos6 cos2 1
(*)
cos6 cos2 1
x x
x x
Cách 4:
1
(*) (cos8 cos4 ) 1 0
2
x x
cos8 cos4 2
x x
cos8 cos4 1
x x
TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Website: Giasualpha.edu.vn
Số 4 – Ngõ 3 –Tân Hùng – Thành phố Vinh. ĐT 0984.638.972 – 0917.638.972
24
Bài 3.
4 4
3
cos sin cos( )sin(3 ) 0
4 4 2
x x x x
2 2 2 2 2
1 3
(sin cos ) 2sin cos [sin(4 ) sin2 ] 0
2 2 2
x x x x x x
2
1 1 3
1 sin 2 ( cos4 sin2 ) 0
2 2 2
x x x
2 2
1 1 1 1
sin 2 (1 2sin 2 ) sin2 0
2 2 2 2
x x x
2
sin 2 sin2 2 0
x x
sin2 1
x
4
x k
Bài 4.
2
5sin 2 3(1 sin )tan
x x x
(1)
Điều kiện: cos 0
2
x x k
2
2
sin
(1) 5sin 2 3(1 sin )
cos
x
x x
x
2
2
sin
5sin 2 3(1 sin )
1 sin
x
x x
x
2
3sin
5sin 2
1 sin
x
x
x
2
2sin 3sin 2 0
x x
1
sin
2
x
2
6
5
2
6
x k
x k
Bài 5.
1 1
2sin3 2cos3
sin cos
x x
x x
(*)
Điều kiện: sin2 0
2
x x k
1 1
(*) 2(sin3 cos3 )
sin cos
x x
x x
3 3
1 1
2[3(sin cos ) 4(sin cos ]
sin cos
x x x x
x x
TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Website: Giasualpha.edu.vn
Số 4 – Ngõ 3 –Tân Hùng – Thành phố Vinh. ĐT 0984.638.972 – 0917.638.972
25
2 2
sin cos
2(sin cos )[3 4(sin sin cos cos )]
sin cos
x x
x x x x x x
x x
sin cos
2(sin cos )( 1 4sin cos ) 0
sin cos
x x
x x x x
x x
1
(sin cos )( 2 8sin cos ) 0
sin cos
x x x x
x x
2
(sin cos )(4sin2 2) 0
sin2
x x x
x
2
(sin cos )(4sin 2 2sin2 2) 0
x x x x
2
sin cos 0
4sin 2 2sin2 2 0
x x
x x
tan 1
sin2 1
sin2 1/ 2
x
x
x
4
12
7
12
x k
x k
x k
Bài 6.
2
cos (2sin 3 2) 2cos 1
1
1 sin2
x x x
x
(*)
Điều kiện: sin2 1
4
x x k
2
(*) 2sin cos 3 2cos 2cos 1 1 sin2
x x x x x
2
2cos 3 2 cos 2 0
x x
2
cos
2
x
4
x k
Đối chiếu điều kiện phương trình có nghiệm: ,
4
x k k
Bài 7.
3 3 1
cos cos cos sin sin sin
2 2 2 2 2
x x x x
x x
1 1 1
cos (cos2 cos ) sin (cos2 cos )
2 2 2
x x x x x x
2
cos cos2 cos sin cos2 sin cos 1
x x x x x x x
2
cos2 (sin cos ) 1 sin sin cos 1 0
x x x x x x
