Chuyên đề phương trình lượng giác
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (244.65 KB, 16 trang )
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
GV. Đỗ Văn Thọ
Năm 2012
Chuyên Đề Lượng Giác GV. Đỗ Văn Thọ
2
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Công thức lượng giác cần nhớ:
2 2
sin cos 1
a a
sin
tan ;
cos 2
a
a a k
a
cos
cot ;
sin
a
a a k
a
2
2
1
1 cot ;
sin
a a k
a
2
2
1
1 tan ;
os 2
a a k
c a
tan .cota=1 ;
2
a a k
a. Cung đối:
cos cos
sin sin
tan tan
cot cot
a a
a a
a a
a a
b. Cung bù
sin sin
cos cos
tan tan
cot cot
a a
a a
a a
a a
c. Cung phụ
Chuyên Đề Lượng Giác GV. Đỗ Văn Thọ
3
sin cos
2
cos sin
2
tan cot
2
cot tan
2
a a
a a
a a
a a
d. Cung hơn kém
tan tan
cot cot
sin sin
cos cos
a a
a a
a a
a a
e. Cung hơn kém
2
sin cos
2
cos sin
2
tan cot
2
cot tan
2
a a
a a
a a
a a
f. Công thức cộng:
Chuyên Đề Lượng Giác GV. Đỗ Văn Thọ
4
sin sin cos sin cos
cos cos cos sin sin
tan tan
tan
1 tan tan
a b a b b a
a b a b a b
a b
a b
a b
g. Công thức nhân
Nhân đôi
2 2 2 2
2
sin2 2sin cos
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
2tan
tan2
1 tan
a a a
a a a a a
a
a
a
Nhân ba:
3
3
2
2
sin3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
tan . 3 tan
tan3
1 3tan
a a a
a a a
a a
a
a
Hạ bậc:
2
2
2
1 cos2
sin
2
1 cos2
cos
2
1 cos2
tan
1 cos2
a
a
a
a
a
a
a
Chia đôi:
Đặt tan ;
2 2 2
a a
t k
Chuyên Đề Lượng Giác GV. Đỗ Văn Thọ
5
2
2
2
2
2
sin
1
1
cos
1
2
tan
1
t
a
t
t
a
t
t
a
t
Công thức biến đổi tổng thành tích
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
sin
tan tan
cos .cos
sin
cot cot
sin .sin
sin
cot cot
sin .sin
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
b a
a b
a b
Công thức biến đổi tích thành tổng
1
sin .cos sin sin
2
1
cos cos cos cos
2
1
sin .sin cos cos
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
Chuyên Đề Lượng Giác GV. Đỗ Văn Thọ
6
Một số công thức khác
cos sin 2 cos 2sin
4 4
cos sin 2 cos
4
sin cos 2 sin
4
a a a a
a a a
a a a
CÁCH GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ
BẢN
1.
cos
x a
Nếu
1
a
thì phương trình vô nghiệm
Nếu
1
a
thì
cos os 2 ,
x c x k k
2.
sin
x a
Nếu
1
a
thì phương trình vô nghiệm
Nếu
1
a
thì
2
sin sin ;
2
x k
x k
x k
3.
tan
x a
thì
tan tan ;
x x k k
4.
cot cot cot ,
x a x x k k
5. Phương trình bậc 2 của một hàm số lượng giác
2
cos cos 0
a x b x c
. Đặt
cos ; 1
t x t
2
sin sin 0
a x b x c
. Đặt
sin ; 1
t x t
2
tan tan 0
a x b x c
. Đặt
tan ,
t x t
2
cot cot 0
a x b x c
. Đặt
cot ;
t x t
6. Phương trình bậc nhất đối với
sin
x
và
cos
x
sin cos
a x b x c
(*)
- Bước 1: Kiểm tra xem nếu
2 2 2
a b c
thì phương trình vô
nghiệm. Nếu
2 2 2
a b c
thì thực hiện bước 2
Chuyên Đề Lượng Giác GV. Đỗ Văn Thọ
7
- Bước 2: Chia hai vế phương trình cho
2 2
a b
. Khi đó (*) trở
thành
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
(**)
- Bước 3: Đặt
2 2 2 2
sin ;cos
a b
a b a b
. Khi đó (**) trở
thành
2 2
sin .sin cos .cos
c
x x
a b
2 2
cos
c
x
a b
. Đây là phương trình dạng cơ bản dễ dàng
giải được
7. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với
sin
x
và
cos
x
2 2
sin sin .cos cos
a x b x x c x d
- Xét trường hợp
cos 0
x
- Xét trường hợp
cos 0
x
. Chia hai vế phương trình cho
2
cos
x
đưa về phương trình theo
tan
a
2 2 2
tan tan 1 tan tan tan 0
a x b x c d x A x B x C
Đây là phương trình cơ bản dễ dàng ta giải được bằn cách đặt ẩn phụ
Chuyên Đề Lượng Giác GV. Đỗ Văn Thọ
8
BÀI TẬP
Bài 1:
2 2
3cos 2sin cos 3sin 1 0
x x x x
ĐS: ;
4 12
x k x k
Bài 2.
cos7 .cos5 3sin2 1 sin7 sin5
x x x x x
ĐS: ;
3
x k x k
Bài 3.
4 4
4 sin cos 3sin4 2
x x x
ĐS: ;
4 2 12 2
k k
x x
Bài 4. (ĐHTH - 1994)
2sin4 sin 3cos
x x x
ĐS:
2 2 2
;
9 3 15 5
k k
x x
Bài 5. (Khối D - 2004)
sin sin2 3 cos cos2
x x x x
ĐS:
2 2
; 2
9 3
k
x x k
Bài 6. (Khối A - 2009)
1 2sin cos
3
1 2sin 1 sin
x x
x x
ĐS:
2
18 3
k
x
Bài 7. (CĐCN - 2005)
2
3sin2 2 2sin 6 2
x x
ĐS: Vô
nghiệm
Bài 8. (ĐHAN - 1998)
1
3sin cos
cos
x x
x
ĐS:
;
3
x k x k
Bài 9. (NN1 - 1999)
2
sin tan 1 3sin cos sin 3
x x x x x
Chuyên Đề Lượng Giác GV. Đỗ Văn Thọ
9
ĐS: ;
4 3
x k x k
Bài 10. (Khối B - 2008)
3 3 2 2
sin 3cos sin cos 3sin cos
x x x x x x
ĐS: ;
3 4
x k x k
Bài 11.
3 2
cos sin 3sin cos 0
x x x x
ĐS: ; ;
4
x k x k x k
Bài 12.
2
2
1 cos2
sin 2cos2
2sin2
x
x x
x
ĐS:
4
x k
Bài 13.
2 2
2sin 2sin tan
4
x x x
ĐS:
4
x k
Bài 14. (ĐHQG – Khối D - 1999)
sin cos sin cos 2
x x x x
ĐS:
2
k
x
Bài 15.
3 3
3
1 sin cos sin 2
2
x x x
ĐS: 2 ; 2
2
x k x k
Bài 16. (ĐHCĐ- 1997)
2 sin cos tan cot
x x x x
ĐS:
2
4
x k
Bài 17.
2
4
cos cos
3
x
x
ĐS:
3
3 ;
4 2
k
x k x
Bài 18. (Khối B - 2002)
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6
x x x x
ĐS: ; ;
2 2 9
k k
x k x x
Bài 19.
2 2 2 2
sin 1,5 sin 2,5 sin 5,5 sin 6,5
4 4
x x x
Chuyên Đề Lượng Giác GV. Đỗ Văn Thọ
10
ĐS: ; ;
4 32 8 4
k k
x x x k
Bài 20. (ĐH Dược 1999)
2 2
sin 4 cos 6 sin 10,5 10
x x x
ĐS: ;
20 10 2
k
x x k
Bài 21.
2 2
5 9
cos3 sin7 2sin 2cos
4 2 2
x x
x x
ĐS: ; ;
12 6 4 8 2
k k
x x k x
Bài 22. (BCVT - 2001)
3 3
4sin cos3 4cos sin3 3 3cos4 3
x x x x x
ĐS: ;
24 2 8 2
k k
x x
Bài 23. (ĐH Mở - 2000)
3 3
2
cos .cos3 sin sin3
4
x x x x
ĐS:
8
x k
Bài 24. (Dự bị - Khối A - 2006)
3 3
2 3 2
cos3 .cos sin3 .sin
8
x x x x
ĐS:
16 2
k
x
Bài 25.
3
1
cos8 3cos4 3cos2 8cos cos 3
2
x x x x x
ĐS:
30 5
k
x
Bài 26.
6 3 4
8 2cos 2 2sin .sin3 6 2cos 1 0
x x x x
ĐS:
8
x k
Chuyên Đề Lượng Giác GV. Đỗ Văn Thọ
11
Bài 27. (ĐHNT - 2000)
8 8 10 10
5
sin cos 2 sin cos cos2
4
x x x x x
ĐS:
4 2
k
x
Bài 28. (HVMMã - 1999)
8 8
17
cos sin
32
x x ĐS:
8 4
k
x
Bài 29.
8 8 2
17
cos sin cos 2
16
x x x
ĐS:
8 4
k
x
Bài 30. (ĐHGT - 1999)
4 4
7
sin cos cot .cot
8 3 6
x x x x
ĐS:
12 2
k
x
Bài 31. (ĐHCĐ – 1999 + Khối B - 2005).
1 sin cos sin2 cos2 0
x x x x
ĐS:
2
; 2
4 3
x k x k
Bài 32. (Khối A - 2007)
2 2
1 sin cos 1 cos sin 1 sin2
x x x x x
ĐS: ; 2 ; 2
4 2
x k x k x k
Bài 33. (ĐHYHN - 1996)
cos sin sin cos cos cos2
x x x x x x
ĐS: ;
2 4
x k x k
Bài 34. (HVKTQS - 1999)
3 3
2sin sin 2cos cos cos2
x x x x x
ĐS: ; 2 ; 2
4 2 2
k
x x k x k
Bài 35. (ĐHNTHCM - 1999)
sin sin2 sin3 cos cos2 cos3
x x x x x x
Chuyên Đề Lượng Giác GV. Đỗ Văn Thọ
12
ĐS:
2
; 2
8 2 3
k
x x k
Bài 36. (HVNH - 1999)
3 2
cos cos 2sin 2 0
x x x
ĐS:
2 ; 2
2
x k x k
Bài 37. (ĐHYHN - 1995)
2
2sin 1 2cos2 2sin 1 3 4cos
x x x x
ĐS:
5
2 ; 2 ;
6 6 4 2
k
x k x k x
Bài 38. (ĐHQG – Khối A - 2010)
2sin2 cos2 7sin 2cos 4
x x x x
ĐS:
5
2 ; 2
6 6
x k x k
39.
4 6
cos cos2 2sin 0
x x x
ĐS:
x k
Bài 40. (Khối D - 2002) Tìm nghiệm trên
0,14
của
cos3 4cos2 3cos 4 0
x x x
ĐS:
3 5 7
; ; ;
2 2 2 2
x x x x
Bài 41. (ĐH Luật - 1999)
4 sin3 cos2 5 sin 1
x x x
ĐS: 2 ; 2 ; 2
2
x k x k x k
Bài 42. (HVQY - 1997)
4 2
sin 3 sin sin 3 sin 1 0
2 2
x x
x x
ĐS: 2
2
x k
Bài 43. (Khối A - 2005)
2 2
cos 3 cos2 cos 0
x x x
ĐS:
2
k
x
Bài 44. (ĐHQG – Khối D - 2000):
1 3tan 2sin2
x x
ĐS:
4
x k
Chuyên Đề Lượng Giác GV. Đỗ Văn Thọ
13
Bài 45. (HVNHHCM – 1998).
2 cos 2tan
2
x
x ĐS: 2
2
x k
Bài 46.
3
sin 3sin
4 2 4 2
x x
ĐS: 2
2
x k
Bài 47. (ĐHQG - Khối A - 1999)
3
8cos cos3
3
x x x
ĐS:
2
; ;
6 3
x k x k x k
Bài 48. (HVKTQS - 1998)
cos2 3sin2 cos 3sin 4 0
x x x x
ĐS: 2
3
x k
Bài 49. (Khối D - 2005)
4 4
3
cos sin cos sin 3 0
4 4 2
x x x x
ĐS:
4
x k
Bài 50* (Dự bị - Khối D - 2007)
2 2 sin cos 1
12
x x
ĐS: ;
4 3
x k x k
Bài 51. (Khối D - 2009)
3cos5 2sin3 cos2 sin 0
x x x x
ĐS: ;
18 3 16 2
k k
x x
Bài 52. (Khối B - 2009)
3
sin cos sin2 3cos3 2 cos4 sin
x x x x x x
ĐS:
2
2 ;
6 42 7
k
x k x
Bài 53. (ĐHVH - 1997)
1 cos2 1
2 cos
sin 2
x
x
x
Chuyên Đề Lượng Giác GV. Đỗ Văn Thọ
14
ĐS:
2
2
3
x k
Bài 54.
sin3 sin
sin2 cos2
1 cos2
x x
x x
x
với
0 2
x
ĐS:
9 21 29
; ; ;
16 16 16 16
x x x x
Bài 55.
2
1 os2
1 cot2
sin 2
c x
x
x
ĐS: ;
4 2 4
k
x x k
Bài 56. (NN1 - 1998)
2 4
sin 2 cos 2 1
0
sin .cos
x x
x x
ĐS:
4
x k
Bài 57. (Khối A - 2010)
1 sin cos2 sin
1
4
cos
1 tan
2
x x x
x
x
ĐS:
7
2 ; 2
6 6
x k x k
Bài 58. (Dự bị - Khối B - 2003).
2
2 3 cos 2sin
2 4
1
2cos 1
x
x
x
ĐS:
4
2
3
x
x k
Bài 59. (Khối A - 2006)
6 6
2 cos sin sin cos
0
2 2sin
x x x x
x
ĐS:
5
2
4
x k
Bài 60.
sin sin2 sin3
3
cos cos2 cos3
x x x
x x x
ĐS:
7 5
2 ; 2 ; 2
6 6 3
x m x m x m
Chuyên Đề Lượng Giác GV. Đỗ Văn Thọ
15
Bài 61. (Khối B - 2003)
2
cot tan 4sin 2 0
sin2
x x x
x
ĐS:
3
x k
Bài 62. (ĐHQG – Khối B - 2000)
cot tan 2tan 2 4tan4 8 0
x x x x
ĐS:
32 8
k
x
Bài 63.
cot2 2tan 4 tan2 4 3
x x x
ĐS:
48 8
k
x
Bài 64. (ĐHYHP - 2001)
3tan 2cot2 tan2
x x x
ĐS:
2
x k
với
1
cos
3
Bài 65. (ĐHGT - 1997)
3 cot cos 5 tan sin 2
x x x x
ĐS: ; 2
4
x k x k
Bài 66.
sin cos
2tan2 cos2 0
sin cos
x x
x x
x x
ĐS:
2
k
x
Bài 67.
2 sin cos
3
2tan2 sin 2 1
2 sin cos
x x
x x
x x
ĐS:
2
x k
Bài 68.
2
2 sin 2cos 2 0
x x x x
ĐS:
0
x
Bài 69.
cos 1 2 .cos 1 2 1
x x
ĐS:
0
x
Bài 70.
2
cos 2
2
x
x
ĐS: Vô nghiệm
Chuyên Đề Lượng Giác GV. Đỗ Văn Thọ
16
