Các định luật cơ bản của động lực học chất điểm

Chương 1. Các định luật cơ bản của
động lực học chất điểm
♣ Hệ tiên đề Newton ♣ Các phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
♣ Các thí dụ áp dụng
Người trình bày: Phạm Thành Chung
Bộ môn Cơ học ứng dụng, Viện Cơ khí, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1. Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 1 / 22
Nội dung
1
Hệ tiên đề Newton
2
Các phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
3
Các thí dụ áp dụng
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1. Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 2 / 22
§1. Hệ tiên đề Newton
Nội dung
1
Hệ tiên đề Newton
Ba tiên đề Newton
Hệ quy chiếu quán tính
2
Các phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
3
Các thí dụ áp dụng
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1. Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 2 / 22
§1. Hệ tiên đề Newton
Cơ sở nghiên cứu
 Cơ sở nghiên cứu động lực học chất điểm và hệ các chất điểm: Ba tiên
đề của động lực học chất điểm.
1

1
được tổng kết và nêu ra vào năm 1687, trong tác phẩm "Các nguyên lý toán học
của khoa học tự nhiên" (Philosophia Naturalis Principia Mathematica) bởi Isaac Newton
(1642-1727), nhà bác học nổi tiếng người Anh.
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1. Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 3 / 22
§1. Hệ tiên đề Newton 1.1 Ba tiên đề Newton
Nội dung
1
Hệ tiên đề Newton
Ba tiên đề Newton
Hệ quy chiếu quán tính
2
Các phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
3
Các thí dụ áp dụng
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1. Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 3 / 22
§1. Hệ tiên đề Newton 1.1 Ba tiên đề Newton
Tiên đề 1
(Định luật quán tính
2
). Khi không có lực tác dụng lên chất điểm, động
lượng của nó được bảo toàn.
3
Viết dưới dạng biểu thức: Khi

F = 0 thì

p = m

v = const.

2
Galilei (1564-1642) là người đã tìm ra tiên đề này vào năm 1638 và ông gọi là định
luật quán tính.
3
Theo đó, khi không có lực tác dụng, một chất điểm sẽ chuyển động thẳng đều
(

v = const) hoặc đứng yên.
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1. Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 4 / 22
§1. Hệ tiên đề Newton 1.1 Ba tiên đề Newton
Tiên đề 2
(Định luật cơ bản). Đạo hàm theo thời gian động lượng của chất điểm
bằng lực tác dụng lên nó.
d

p
dt
=
d (m

v)
dt
=

F (1)
Nếu khối lượng của chất điểm trong quá trình chuyển động là hằng số thì
từ (1) ta suy ra
m
d


v
dt
= m

a =

F (2)
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1. Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 5 / 22
§1. Hệ tiên đề Newton 1.1 Ba tiên đề Newton
Tiên đề 3
(Định luật về tác dụng và phản lực tác dụng). Các lực tác dụng tương hỗ
giữa hai chất điểm là hai lực có cùng đường tác dụng, cùng cường độ
nhưng ngược chiều nhau.
actio = reactio (3)
Trong đó actio là tác dụng, reactio là phản tác dụng. Tiên đề 3 là cơ sở
để khảo sát động lực học hệ nhiều chất điểm.
Chú ý: Ngoài ba tiên đề nêu trên, trong phần Động lực học ta cũng công
nhận và sử dụng một số tiên đề tĩnh học như Tiên đề hình bình hành lực,
Nguyên lý giải phóng liên kết Lagrange.
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1. Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 6 / 22
§1. Hệ tiên đề Newton 1.2 Hệ quy chiếu quán tính
Nội dung
1
Hệ tiên đề Newton
Ba tiên đề Newton
Hệ quy chiếu quán tính
2
Các phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
3
Các thí dụ áp dụng

Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1. Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 6 / 22
§1. Hệ tiên đề Newton 1.2 Hệ quy chiếu quán tính
Hệ quy chiếu quán tính
a) Định nghĩa hệ quy chiếu quán tính. Hệ quy chiếu quán tính là hệ quy
chiếu mà trong đó các tiên đề Newton 1 và 2 được nghiệm đúng.
4
b) Giới hạn áp dụng của Cơ học Newton. Cơ học Newton chỉ đúng với
chất điểm có kích thước đủ lớn so với kích thước nguyên tử và có vận tốc
đủ nhỏ so với vận tốc ánh sáng.
5
4
Người ta còn gọi hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu cố định. Đối với đa số bài
toán áp dụng trong kỹ thuật, trái đất có thể xem một cách gần đúng là hệ quy chiếu cố
định.
5
Chính vì vậy cơ học Newton còn được gọi là Cơ học cổ điển, để phân biệt với Cơ
học lượng tử và Cơ học tương đối.
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1. Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 7 / 22
§2. Các phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
Nội dung
1
Hệ tiên đề Newton
2
Các phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
3
Các thí dụ áp dụng
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1. Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 7 / 22
§2. Các phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
Các phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
Vị trí của chất điểm trong không gian thường được biểu diễn qua hệ toạ

độ Descartes (Đềcac) vuông góc, hệ toạ độ tự nhiên, hệ toạ độ trụ, v.v
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1. Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 8 / 22
§2. Các phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
Các PTVPCĐ trong hệ toạ độ Descartes
z
x
O
y
P
F
r
a
r
x
e
r
y
e
r
z
e
r
Chất điểm trong hệ tọa độ Descartes

a = a
x

e
x
+ a

y

e
y
+ a
z

e
z
= ¨x

e
x
+ ¨y

e
y
+ ¨z

e
z
,

F = F
x

e
x
+ F
y


e
y
+ F
z

e
z
.
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1. Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 9 / 22
§2. Các phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
Từ tiên đề Newton 2, công thức (2),
m¨x = F
x
(t, x , y, z, ˙x, ˙y, ˙z)
m¨y = F
y
(t, x , y, z, ˙x, ˙y, ˙z)
m¨z = F
z
(t, x , y, z, ˙x, ˙y, ˙z)
(4)
Hệ ba phương trình vi phân cấp hai (4) được gọi là hệ PTVPCĐ của chất
điểm trong hệ toạ độ Descartes. Để giải hệ (4) ta cần biết sáu điều kiện
tại thời điểm đầu t = t
0
:
x (t
0
) = x

0
, ˙x (t
0
) = ˙x
0
y (t
0
) = y
0
, ˙y (t
0
) = ˙y
0
z (t
0
) = z
0
, ˙z (t
0
) = ˙z
0
(5)
Các điều kiện đầu (5) được xác định từ các dữ kiện ban đầu của bài toán.
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1. Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 10 / 22
§2. Các phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
Các PTVPCĐ trong hệ toạ độ tự nhiên
n
τ
s
P

n
e
r
e
τ
r
b
e
r
b
Chất điểm trong hệ tọa độ tự nhiên

a = a
τ

e
τ
+ a
n

e
n
+ a
b

e
b
= ˙v

e

τ
+ (v
2
/ρ)

e
n
+ 0

e
b
,

F = F
τ

e
τ
+ F
n

e
n
+ F
b

e
b
.
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1. Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 11 / 22

§2. Các phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
Từ tiên đề Newton 2 ta có
m ˙v = F
τ
m
v
2
ρ
= F
n
0 = F
b
(6)
Các phương trình (6) là hệ phương trình vi phân - đại số, mô tả chuyển
động của chất điểm trong hệ toạ độ tự nhiên.
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1. Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 12 / 22
§2. Các phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
Sự phân loại các bài toán động lực học chất điểm
Ba dạng bài toán:
- Bài toán thuận: Cho biết chuyển động của chất điểm, tìm lực tác dụng
lên chất điểm.
- Bài toán ngược: Cho biết lực tác dụng lên chất điểm và các điều kiện
đầu của chuyển động, xác định quy luật chuyển động của chất điểm.
- Bài toán hỗn hợp: Cho biết một phần các lực tác dụng lên chất điểm và
một số thông tin về chuyển động, tìm các lực chưa biết tác dụng lên chất
điểm và các thông tin chưa biết về chuyển động của chất điểm.
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1. Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 13 / 22
§3. Các thí dụ áp dụng
Nội dung
1

Hệ tiên đề Newton
2
Các phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
3
Các thí dụ áp dụng
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1. Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 13 / 22
§3. Các thí dụ áp dụng
Chuyển động của chất điểm tự do
Thí dụ 1. Khảo sát chuyển động của viên đạn bắn với vận tốc đầu

v
0
nghiêng với phương nằm ngang một góc α. Bỏ qua sức cản của không khí.
P= mg

x

y

α
0
v
r
Lời giải. Xem viên đạn như mô hình chất điểm chuyển động. PTVPCĐ của
viên đạn là

m¨x = 0
m¨y = −mg
hay


¨x = 0
¨y = −g
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1. Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 14 / 22
§3. Các thí dụ áp dụng

m¨x = 0
m¨y = −mg
hay

¨x = 0
¨y = −g
(7)
Tích phân hai lần hệ phương trình (7) ta được:

˙x = C
1
˙y = −gt + C
2

x = C
1
t + C
3
y = −g
t
2
2
+ C
2
t + C

4
(8)
Các điều kiện đầu của bài toán
x
0
(0) = 0, ˙x (0) = v
0
cos α
y
0
(0) = 0, ˙y (0) = v
0
sin α
(9)
Từ các điều kiện đầu trên, ta xác định được các hằng số tích phân
C
3
= 0, C
1
= v
0
cos α
C
4
= 0, C
2
= v
0
sin α
(10)

Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1. Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 15 / 22
§3. Các thí dụ áp dụng
Vậy phương trình chuyển động của viên đạn là
x = (v
0
cos α) t
y = −
1
2
gt
2
+ (v
0
sin α) t
(11)
Khử thời gian t, ta nhận được phương trình quỹ đạo chuyển động của viên
đạn
y (x) = −
g
2v
2
0
cos
2
α
x
2
+ (tgα) x (12)
Vậy quỹ đạo chuyển động của viên đạn là đường parabol bậc hai có trục
đối xứng thẳng đứng.

Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1. Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 16 / 22
§3. Các thí dụ áp dụng
Tầm xa của viên đạn được xác định từ điều kiện y = 0. Từ phương trình
(12) ta suy ra
x
vd
=
v
2
0
g
sin 2α (13)
Như thế khi α = 45
0
, sin 2α = 1, viên đạn bắn đi được xa nhất
x
max
=
v
2
0
g
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1. Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 17 / 22
§3. Các thí dụ áp dụng
Chuyển động của chất điểm chịu liên kết
Thí dụ 2. Xét chuyển động của một chất điểm ở bên trong nửa đường
tròn bán kính r. Tìm áp lực lên chất điểm và vận tốc của nó dưới dạng
các hàm phụ thuộc vào góc định vị ϕ (góc giữa phương nằm ngang và
phương pháp tuyến với quỹ đạo).
N


P
τ
ϕ

n
Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm trong hệ toạ độ tự nhiên

m ˙v = mg cos ϕ
m
v
2
ρ
= N − mg sin ϕ
(14)
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1. Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 18 / 22
§3. Các thí dụ áp dụng
Trong phần động học ta có v = r ˙ϕ, ˙v = r ¨ϕ, ρ = r . Thế các biểu thức
này vào phương trình (14) ta được
mr ¨ϕ = mg cos ϕ
mr ˙ϕ
2
= N − mg sin ϕ
(15)
ở đây ta có hệ phương trình 2 ẩn là ϕ và N. Với chú ý ¨ϕ =
d ˙ϕ
dϕ
dϕ
dt
= ˙ϕ

d ˙ϕ
dϕ
,
phương trình thứ nhất của (15) đưa được về dạng
˙ϕd ˙ϕ =
g
r
cos ϕd ϕ
Tích phân phương trình trên và chú ý đến điều kiện đầu
ϕ (0) = 0, ˙ϕ (0) = 0 ta được:
˙ϕ
2
=
2g
r
sin ϕ (16)
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1. Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 19 / 22
§3. Các thí dụ áp dụng
Thế biểu thức (16) vào phương trình vi phân thứ hai của (15) ta được
biểu thức xác định phản lực liên kết động:
N = mr
2g
r
sin ϕ + mg sin ϕ = 3mg sin ϕ (17)
Tại điểm thấp nhất (ϕ = π/2)phản lực liên kết động lớn gấp ba lần phản
lực liên kết tĩnh.
Từ (16) ta dễ dàng xác định biểu thức vận tốc của chất điểm
v = r ˙ϕ =

2gr sin ϕ

Như thế khi (ϕ = π/2), vận tốc chất điểm đạt cực đại, v
max
=
√
2gr.
Cơ học kỹ thuật 2 (ME3011) Chương 1. Các định luật cơ bản Học kỳ 20132 20 / 22