Các định luật cơ bản của động lực học

"Don't study, don't know - Studying you will know!"

NGUYEN TRUNG HOA
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT II PHN NG LC HC

CHNG I
CÁC NG LUT C BN CA NG LC HC
PHNG TRÌNH VI PHÂN CHUYN NG CA
CHT IM
§1 BÀI M U
Trong phn Tnh hc chúng ta đã nghiên cu v lc và s cân bng ca các vt th
di tác dng ca các lc vi gi thuyt là các lc không thay đi theo thi gian.
Trong phn ng hc, chúng ta đã nghiên cu s chuyn đng ca các vt th v
mt hình hc không tính đn các nguyên nhân làm thay đi các chuyn đng đó.
Trên thc t, mt s ln các lc là nhng đi lng bin đi và có th ph thuc
vào nhiu tham s. Quy lut chuyn đng ca vt th ph thuc vào hình dáng, kích
thc, khi lng...ca vt và các lc tác dng lên nó. ng lc hc là mt phn ca
c hc nghiên cu các quy lut chuyn đng ca các vt th di tác dng ca các lc.
Lý thuyt đng lc hc đc xây dng trên nhng đnh lut c bn đng lc hc.
Chúng là kt qu ca hàng lot các thí nghim và quan sát và đã đc kim nghim
qua thc tin. Nhng đnh lut này ln đu tiên đc Newton trình bày mt cách có h

thng nm 1687 vì vy ngi ta còn gi là các đnh lut Newton hay là nhng đnh lut
c hc c đin.
§2. CÁC KHÁI NIM C BN
1. Không gian, thi gian :
Nh chúng ta đã bit, chuyn đng c hc là s di ch ca các vt th trong
không gian theo thi gian. Không gian và thi gian  đây hiu theo ngha tuyt đi c
đin (Khác vi khái nim không gian, thi gian trong lý thuyt tng đi).


Chng I Các đnh lut c bn ca LH- PTVP chuyn đng Trang 1
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT II PHN NG LC HC
2. Quán tính :
Thc t cho thy rng tác dng ca mt lc lên hai vt th t do khác nhau, nói
chung chúng chuyn đng khác nhau.
Tính cht ca vt th thay đi vn tc chuyn đng nhanh hn hay chm hn khi
có cùng lc tác dng gi là quán tính. i lng dùng đ đo lng quán tính có th là
khi lng.
3. Cht đim :
 nghiên cu chuyn đng ca các vt th có kích thc nh so vi đ di ca
chúng, ngi ta đa vào khái nim cht đim.
Cht đim là vt th có khi lng mà kích thc có th b qua đc trong khi
nghiên cu chuyn đng ca nó.
4. C h :
C h là tp hp các cht đim mà chuyn đng ca các cht đim này liên quan
đn chuyn đng ca các cht đim khác thuc h.
5. Vt rn :
Vt rn là mt c h đc bit, trong đó khong cách gia phn t (cht đim) bt
k ca vt luôn luôn không đi.
6. H quy chiu :
 xác đnh chuyn đng ca mt c h (hay mt cht đim) nào đó, ngi ta phi

ly mt vt chun làm mc. H to đ gn vi vt chun gi là h quy chiu. Nu to
đ ca tt c các đim thuc c h trong h quy chiu đã chn, luôn luôn không đi thì
ta nói vt đng yên trong h quy chiu đó. Trong trng hp ngc li, nu to đ ca
mt s cht đim nào đó thuc c h thay đi theo thi gian thì ta nói c h chuyn
đng trong h quy chiu đã chn.




Chng I Các đnh lut c bn ca LH- PTVP chuyn đng Trang 2
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT II PHN NG LC HC
§3. CÁC NH LUT C BN
1. nh lut quán tính (nh lut I) :
Cht đim không chu tác dng ca lc nào thì gi nguyên trng thái đng yên hay
chuyn đng thng đu.
Trng thái đng yên hay chuyn đng thng đu ca cht đim đc gi là chuyn
đng theo quán tính.
Theo đnh lut này nu không có lc nào tác dng lên cht đim hoc hp các lc
tác dng lên cht đim bng 0 thì véct vn tc
v
f
ca cht đim s không đi c v đ
ln ln hng và do đó gia tc
w
f
= 0.
H quy chiu trong đó tho mãn đnh lut quán tính gi là h quy chiu quán tính.
2. nh lut c bn ca đng lc hc (nh lut II) :
Di tác dng ca lc, cht đim t do chuyn đng vi gia tc cùng hng vi
hng ca lc và có đ ln t l vi đ ln ca lc :

WmF
ff
.=
(1.1)
Trong đó m là khi lng ca cht đim.
H thc (1.1) đc gi là phng trình c bn ca đng lc hc.
T h thc (1.1) chúng ta thy rng di tác dng ca cùng mt lc, cht đim nào
có khi lng nh hn s có gia tc ln hn. Nh vy khi lng là đi lng vt lý
đc trng cho mc đ cn tr s thay đi vân tc ca cht đim-quán tính ca cht
đim.
Trong c hc c đin khi vn tc chuyn đng ca cht đim nh hn nhiu so vi
vn tc ánh sáng, ngi ta coi khi lng là đi lng không đi.
Nh h thc (1.1) ta có th tìm đc h thc liên h gia trng lng và khi
lng ca mt vt. Tht vy, thc nghim đã ch rng di tác dng ca trng lc P
mt vt ri t do ( đ cao không ln lm và không tính đn sc cn ca không khí)
đu có cùng gia tc là g.
Do đó t (1.1) ta suy ra :
P = m.g (1.2)
Chng I Các đnh lut c bn ca LH- PTVP chuyn đng Trang 3
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT II PHN NG LC HC
Cn nói thêm rng, cng nh gia tc g, trng lng thay đi theo v đ và đ cao
nhng khi lng là mt đi lng không đi vi mt vt.
3. nh lut v tác dng và phn tác dng : (nh lut III)
Hai lc mà hai cht đim tác dng lên nhau bng nhau v s, cùng hng tác dng
nhng ngc chiu.
Ta cn chú ý rng các lc tác dng tng h này không to thành mt h lc cân
bng vì chúng đt vào hai cht đim khác nhau.
4. nh lut đc lp tác dng :
Di tác dng đng thi ca mt s lc, cht đim có gia tc bng tng hình hc
các gia tc mà cht đim có đc khi tng lc tác dng riêng bit.

Gi s cht đim có khi lng m chu tác dng ca các lc
n
FFF
fff
,...,,
21
. Gi là
gia tc ca cht đim có đc khi các lc này tác dng đng thi, còn
n
WWW
fff
,...,,
21
mà
cht đim có đc nu nh tng lc
n
FFF
fff
,...,,
21
tác dng riêng l.
Theo tiên đ trên ta có :
n
WWWW
ffff
+++= ...
21
(1.3)
Nhân hai v ca (1.3) vi m và đ ý đn tiên đ th 2 ta đc :
n

WmWmWmWm
ffff
.......
21
+++=

n
FFFWm
ffff
+++= .....
21

Hay là :
WmF
n
i
i
ff
.
1
=
∑
=
(1.4)
5. H đn v :
 đo các đi lng c hc ngi ta phi dùng ba đn v c bn. Tu thuc vào
vic chn h đn v c bn mà ta có h đn c do khác nhau :
- H đn v quc t (SI) : Các đn v c bn mét (m), kilôgram (kg) và giây (s).
Lc là đn v dn xut đc đo bng Newton (N).
2

.
11
s
mkg
N =

Chng I Các đnh lut c bn ca LH- PTVP chuyn đng Trang 4
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT II PHN NG LC HC
H đn v MKS : Các đn v c bn là mét (m), kilôgram lc (kG) và giây (s). n
v đo khi lng là đn v dn xut.
§4. PHNG TRÌNH VI PHÂN CHUYN NG
Da vào đnh lut c bn ca đng lc hc,  đây chúng ta s thit lp mi quan h
gia các lc tác dng lên vt th và quy lut chuyn đng ca nó. Mi quan h đó đc
gi là phng trình vi phân chuyn đng.
I. PHNG TRÌNH VI PHÂN CHUYN NG CA CHT IM :
Xét chuyn đng ca cht đim t do di tác dng ca các lc
n
FFF
fff
,...,,
21
(i
vi các cht đim không t do, chúng ta dùng nguyên lý gii phóng liên kt bng các
phn lc đ có th xem chúng nh cht đim t do).
1. Dng véct :
Nh chúng ta đã bit, gia tc
W
f
ca cht đim đc biu th qua véct bán kính
r

f

ca nó nh sau :
rW
$$
f
f
=

Vì vy phng trình c bn ca đng lc hc cht đim (1.4) có dng :
∑
=
k
Frm
f
$$
f
. (1.5)
Phng trình (1.5) là phng trình vi phân chuyn đng ca cht đim di dng
véct.
2. Dng to đ Descarte :
Xét chuyn đng ca cht đim trong h
to đ Descarte Oy. Chiu phng trình (1.5)
lên các trc to đ Ox, Oy, Oz ta đc :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=

=
=
∑
∑
∑
kz
ky
kx
Fzm
Fym
Fxm
$$
$$
$$
.
.
.
(1.6)
r
f
M
O
z
y
x
Hình 1



Chng I Các đnh lut c bn ca LH- PTVP chuyn đng Trang 5

GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT II PHN NG LC HC
hay :
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
∑
∑
∑
kz
ky
kx
F
dt
zd
m
F
dt
yd
m
F
dt

xd
m
2
2
2
2
2
2
.
.
.
(1.6’)
H phng trình (1.6) hay (1.6’) là phng trình vi phân chuyn đng ca cht
đim trong h to đ Descarte.
3. H to đ t nhiên :
Chiu hai v ca phng trình (1.4) lên các trc ca h to đ t nhiên (, n, b)
(Hình 2) ta đc :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
∑
∑
∑
kbb
knn

k
FWm
FWm
FWm
.
.
.
ττ

Vì W

= ,
s
$$
ρ
2
s
W
, W
n
$
=
b
= 0 nên
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨

⎧
=
=
=
∑
∑
∑
kb
kn
k
F
F
s
m
Fsm
0
.
.
2
ρ
τ
$
$$
(1.7)
Nhng phng trình này đc áp dng mt cách có hiu qu khi bit qu đo tuyt đi
ca cht đim. Phng trình th nht ca h (1.7) vi điu kin ban đu tng ng cho
phép chúng ta xác đnh quy lut chuyn đng ca h, hai phng trình còn li dùng đ
xác đnh các yu t khác cha bit ca bài toán (phn lc liên kt, bán kính cong
,...v..v)
Hình 2

τ
f

b
f

n
f

W
f

M
II. PHNG TRÌNH VI PHÂN CHUYN NG CA H :
Xét c h gm n cht đim m
1
,

m
2
, ..., m
n
. Gi
k
e
F
f
là hp lc ca tt c các lc
ngoài và
k

i
F
f
là các hp lc ca tt c các lc tng tác dng lên cht đim th k ca h.
Phng trình vi phân chuyn đng ca cht đim th k s có dng :
Chng I Các đnh lut c bn ca LH- PTVP chuyn đng Trang 6
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT II PHN NG LC HC
k
i
k
e
kk
FFWm
fff
+=

Vit phng trình tng t cho tt c các cht đim ca h ta đc :
11
11
ie
FFWm
fff
+=

22
22
ie
FFWm
fff
+=

..........................
n
i
n
e
nn
FFWm
fff
+=

Hay :
x
i
x
e
FFxm
11
1
. +=
$$

y
i
y
e
FFym
11
1
. +=
$$

z
i
z
e
FFzm
11
1
. +=
$$

(1.8)
...........................
nx
i
nx
e
n
FFxm +=
$$
.

ny
i
ny
e
n
FFym +=
$$
.

nz
i
nz
e
n
FFzm +=
$$
.

(1.8) là h gm 3.n phng trình.
Trong trng hp nu chúng ta phân loi lc ra thành lc hot đng
k
a
F
f
và phn
lc liên kt
k
N
f
thì tng t vi h (1.8) ta có :
1
1
11
NFWm
a
fff
+=

2
2
22
NFWm
a
fff
+=

(1.9)
..........................
n
n
a
nn
NFWm
fff
+=






Chng I Các đnh lut c bn ca LH- PTVP chuyn đng Trang 7
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT II PHN NG LC HC
§5. HAI BÀI TOÁN C BN CA NG LC HC
Trong đng lc hc cn gii quyt hai bài toán c bn sau đây:
1. Xác đnh lc tác dng lên cht đim khi đã bit quy lut chuyn đng ca nó.
(Bài toán th nht ca đng lc hc ).
2. Xác đnh quy lut chuyn đng ca đim khi bit các lc tác dng lên nó (Bài

toán th hai ca đng lc hc ).
 gii quyt bài toán này ta có th s dng các phng trình (1.5), (1.6), (1.7) -
đi vi cht đim và các h phng trình (1.8) hay (1.9)-đi vi h c.
Tuy nhiên, cho đn nay cha có phng pháp tng quát đ tích phân các h dng
(1.8) vì vy trong thc t ngi ta thng dùng nhng phng pháp khác hiu qu hn
mà chúng ta s xét trong nhng phn sau.
I. GII BÀI TOÁN TH NHT CA NG LC HC I VI CHT IM:
Khi bit quy lut chuyn đng ca cht đim, chúng
ta dùng các công thc đã bit trong phn đng hc đ tính
gia tc ca cht đim và cui cùng dùng phng trình c
bn (1.5), (1.6), hay (1.7) đ xác đnh các lc tác dng lên
nó.
Ví d 1.1 : Mt thang máy có trng lng P (hình 3) bt
đu đi lên vi gia tc W. Hãy xác đnh sc cng ca dây
cáp.
Ví d 1.2 : Tìm áp lc ca ô-tô lên mt
cu ti đim A. Cho bit ô-tô có trng
lng P, vn tc chuyn đng là
v
f
và
bán kính cong ca cu ti A là  (hình
4).
W
f
P
f

Hình 3
N

f

v
f

P
f

A
n
Hình 4
T
f

z




Chng I Các đnh lut c bn ca LH- PTVP chuyn đng Trang 8
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT II PHN NG LC HC
II. GII BÀI TOÁN TH HAI CA NH LC HC I VI CHT IM :
Vi bài toán nà, chúng ta đã bit lc tác dng lên cht đim nh hàm ca thi gian,
vn tc, v trí... ngha là :
),,( rvtFF
kk
ff
ff
=

Khi đó phng trình vi phân chuyn đng ca cht đim có dng :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
∑
∑
∑
),,,,,,(.
),,,,,,(.
),,,,,,(.
zyxzyxtFzm
zyxzyxtFym
zyxzyxtFxm
kz
ky
kx
$
$$
$$
$
$$$$
$
$$$$
(1.10)
ây là h ba phng trình vi phân cp 2. Nghim tng quát ca nó ph thuc vào 6

hng s tu ý :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
),,,,,,(
),,,,,,(
),,,,,,(
6543213
6543212
6543211
cccccctfz
cccccctfy
cccccctfx
(1.11)
Nhng hng s tích phân này s đc xác đnh nh nhng điu kin ban đu ca
chuyn đng, chng hn :
Khi t = 0 thì x = x
0
, y = y
0
, z = z
0
.

000

,, zzyyxx
$$
$$$$
===
(1.12)
Vic gii h phng trình (1.10) không phi lúc nào cng thc hiên đc trong
dng gii tích. Chúng ta ch có th tích phân h (1.10) vi các điu kin ban đu (1.12)
trong s trng hp đn gin.
1. Chuyn đng thng ca đim :
Trong phn đng hc, chúng ta đã bit vn tc
và gia tc ca đim trong chuyn đng thng luôn
luôn hng theo đng qu
đo. Vì gia tc có
chiu trùng vi chiu ca hp lc tác dng lên cht
đim do đó chuyn đng thng ch xy ra khi :
∑
=
k
FR
ff
có hng không đi và có vn
tc ban đu bng không hoc cùng hng vi
R
f
.
Hình 5
x
∑
= FR
ff

O
Chng I Các đnh lut c bn ca LH- PTVP chuyn đng Trang 9
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT II PHN NG LC HC
V trí ca đim M xác đnh bi to đ x, phng trình chuyn đng ca cht đim
trong trng hp này s là :
),,( xxtRxm
x
$$
=
Hay : ),,(
2
2
dt
dx
xtR
dt
xd
m
x
= (1.13)
Vi điu kin ban đu .
Khi t = 0, x = x
0
0
v
dt
dx
=
(1.14)

Ngay c trong trng hp đn gin này, phng trình (1.13) không phi lúc nào
cng gii đc bng phng pháp gii tích. Chúng ta xét mt s trng hp mà
phng trình (1.13) có th phân tích đc  dng hu hn :
a) Lc ch ph thuc vào thi gian )(tfR
xx
= khi đó :
)(
2
2
tf
dt
xd
m =
)(tf
dt
dv
m =

∫
=+= ),().(
1
111
ctfcdttf
m
w

T đây ra suy ra : x = f
2
(t,c
1

,c
2
)
Các hng s phân tích c
1
, c
2
đc xác đnh t điu kin ban đu (1.14)
b) Lc ch ph thuc vào khong cách : R
x
= f(x). Khi đó phng trình chuyn
đng có dng :
)(
2
2
tf
dt
xd
m =
Ta có :
dt
dx
dx
xd
dt
xd
dt
xd
.
2

2
$$
==
nên :
)(xf
dx
dv
mv =


Chng I Các đnh lut c bn ca LH- PTVP chuyn đng Trang 10
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT II PHN NG LC HC
ây là phng trình tách bin có th phân tích đc :
v = f
1
(x,c
1
)
),(
11
cxf
dt
dx
=

dt
cxf
dx
=
),(

11

Tích phân phng trình tách bin này ta đc :
t = g(x,c
1
,c
2
)
hay : x = f
2
(x,c
1
,c
2
)
c) Lc ch ph thc vào vn tc: )(xfR
x
$
= . Phng trình chuyn đng vit di
dng :
)(xf
dt
xd
m
$
$
=
(1.17)
Tích phân phng trình tách bin này ta đc :
t = g

1
( ,c
x
$
1
)
Hay : = f
x
$
1
(x,c
1
)
),(
11
ctf
dt
dx
=

Tip tc tích phân phng trình này ta đc :
x = f
2
(t,c
1
,c
2
)
2. Mt s ví d :
Ví d 1.3 : Mt cht đim có khi lng

m, chuyn đng trong mt phng di tác
dng ca lc hút
F
f
hng tâm vào tâm O c
đnh theo lut
rmkF
f
f
.
2
−=
. Trong đó
r
f
là
véct đnh v ca cht đim và k là h s t
l. Hãy xác đnh phng trình chuyn đng
và qu đo ca cht đim y. Bit rng ti
thi đim ban đu x = l, y = 0,
= 0, = 0.
x
$
y
$
Hình 6
m
r
f

O
F
f

y
x
Chng I Các đnh lut c bn ca LH- PTVP chuyn đng Trang 11
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT II PHN NG LC HC
Ví d 1.4: Vt có trng lng P bt đu chuyn đng t trng thái đng yên trên
mt phng nm ngang nhau di tác dng ca lc R
f
có hng không đi và có tr s
tng t l vi thi gian theo quy lut R=kt. Tìm quy lut chuyn đng ca vt.
Ví d 1.5 : Gii bài toán vt ri trong không khí t
đ cao không ln lm và sc cn t l vi bình phng
ca vn tc :
2
2
1
SvcR
x
ρ
=

trong đó  là mt đ môi trng, S là din tích hình chiu
ca vt trên mt phng vuông góc vi phng chuyn đng,
bit rng khi t = 0, x = v
x
= 0.
Hình 7

R
f

P
f

x






Chng I Các đnh lut c bn ca LH- PTVP chuyn đng Trang 12
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT II PHN NG LC HC
CHNG II
CÁC NH LÝ TNG QUÁT CA NG LC
HC
Các đnh lý tng quát ca đng lc hc là h qu ca đnh lut c bn ca đng
lc hc, chúng ta thit lp mi liên h gia các đi lng c bn ca chuyn đng là
đng lng, đng nng và đ đo c bn tác dng ca lc là xung lng và công.
Trong nhiu trng hp, nht là trong đng lc hc vic tích phân h phng
trình chuyn đng (1.8) là vic làm ht sc phc tp, hn na trong phn ln các
bài toán đng lc hc ca h, vn đ chính không phi là kho sát mt cách chi tit
toàn b chuyn đng ca cht đim thuc h mà ch nghiên cu các hin tng theo
tng mt riêng bit có tm quan trng trong thc tin.  gii quyt nhng bài toán
nh vy s dng các đnh lý tng quát s làm cho quá trình gii đn gin và nhanh
chóng hn.

§1. CÁC C TRNG HÌNH HC KHI LNG

CA H VÀ VT RN
1.1 Khi lng ca h - Khi tâm :
Nh chúng ta đã bit, chuyn
đng ca mt c h ngoài vic ph
thuc vào lc tác dng còn ph thuc
vào tng khi lng và phân b các
khi lng ca h đó. Khi lng ca
h bng tng lng ca tt c các
phn t hp thành h đó :
∑
=
k
mM
Khi tâm ca mt c h gm n
cht đim (M
1
,M
2
,....,M
n
) khi lng tng ng là (m
1
,m
2
,....,m
n
) và có v trí đc
xác đnh bi các véct bán kính
n
rrr

fff
,....,,
21
là mt đim hình hc C đc xác đnh
bi công thc :
x
z
y
Hình 8
1
r
f
n
r
f
C
r
f
2
r
f
M
2
M
n
M
1
C
Chng II Các đnh lý tng quát ca đng lc hc Trang 13
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT II PHN NG LC HC

M
rm
r
kk
C
∑
=
f
f
(2.1)
Chiu lên các trc to đô ta đc :
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
∑
∑
∑
M
zm
z
M

ym
y
M
xm
x
kk
C
kk
C
kk
C
(2.2)
T các công thc trên chúng ta thy rng nu c h nm trong trng trng
đng nht thì khi tâm ca c h s trùng vi trng tâm ca nó. Cng cn nói thêm
rng, khi tâm đc xác đnh theo công thc (2.1) hoc (2.2) luôn luôn tn ti nh
mt thuc tính ca c h, còn trng tâm ca vt ch có ngha khi c h nm trong
trng trng lc, khái nim trng tâm s mt khi không còn trng lng. ó là điu
khác nhau cn phân bit đi vi hai khái nim này.
1.2 Mômen quán tính :
V trí ca khi tm cha đc trng hoàn toàn cho s phân b khi lng ca c
h. Vì vy trong c hc cnc mt đc trng cho s phân b khi lng mômen quán
tính.
- Mômen quán tính ca mt vt th (mt c h) đi vi trc Oz là đi lng vô
hng bng tng các tích ca khi lng ca đim vi bình phng khong cách t
các đim ti trc.
k
kz
dmJ
∑
=

2
(2.3)
Nu to đ ca các đim trong mt h trc to đ Oxyz nào đó là x
k
, y
k
, z
k
thì
mômen quán tính ca h đi vi các trc to đ s là :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=
+=
+=
∑
∑
∑
)(
)(
)(
22
22
22
k
k
k

k
k
k
k
k
k
xymJz
zxmJy
zymJx
(2.4)
Trong k thut mômen quán tính ca vt th đi vi trc thng đc biu th
di dng tích ca khi lng vi bình phng ca mt khong cách trung bình nào
đó.
J
z
= M
2
z
(2.5)
Chng II Các đnh lý tng quát ca đng lc hc Trang 14
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT II PHN NG LC HC
i lng
M
J
z
z
=
ρ
gi là bán kính quán tính ca mt vt đi vi trc z.
II. Mômen quán tính ca vt th (c h) :

i vi mt đim O nào đó là đi lng vô hng bng tng các tích các khi
lng vi bình phng khong cách t các cht đim ti tâm đó.
k
kO
rmJ
∑
=
2
. (2.6)
Nu O là gc to đ thì tng ng vi (2.4) ta có :
)(
222
kkk
kO
zyxmJ ++=
∑
(2.7)
và ta có mi liên h : 2J
0
= J
x
+ J
y
+ J
z
.
III. Mômen quán tính ca vt th đi vi các trc song song. nh lý Huygen :
nh lý 1.1 : Mômen quán tính ca vt đi vi mt trc z
1
nào đó bng

mômen quán tính đi vi trc x đi qua khi tâm và song song vi z
1
cng vi tích
khi lng ca vt vi bình phng khong cách gia hai trc.
J
z1
= J
Zc
+ Md
2
Chng minh :
Qua C dng h trc to đ Cxyz
sao cho trc x ct z
1
ti O. Qua O dng
h trc to đ Ox
1
y
1
z
1
sao cho x
1
 x.
Theo công thc th ba ca (2.4) ta
có :
)(
1
2
1

2
1
kk
kz
yxmJ +=
∑
)(
22
kk
kz
yxmJ +=
∑


Hình 9
d
x, x
1
y
1
z
1
z
y
C
O
ta có :
dxx
kk
−=

1
,
11
yy
k
=
nên :
( ) ( )
∑∑∑
−++=
kkk
kk
kz
xmddmyxmJ .2.)(
222
1

nhng : ,
)(
22
kk
kzc
yxmJ +=
∑
( )
02.2 ==
∑
Ckk
dMxmd
(vì C chính là gc to đ)

nên : J
z1
= J
Zc
+ Md
2
T đnh lý này ta suy ra rng đi vi các trc trùng phng, mômen quán tính đi
vi trc qua khi tâm là nh nht.
IV. NH LÝV MÔMEN QUÁN TÍNH I VI TRC QUA GC TO  :
Chng II Các đnh lý tng quát ca đng lc hc Trang 15
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT II PHN NG LC HC
Cho h trc to đ Oxyz và trc L đi qua O. Phng ca L đc xác đnh bi
ba góc ch phng , ,  (Hình 10).
Gi khong cách t đim M
k
bt k thuc
∑
=
k
kL
dmJ
2

T tam giác vuông H
k
OM
)
Tr
2
k

= x
2
k
+ y
2
k
+ z
2
k
OH
k
là
vt đn trc L là d
k
= M
k
H
k
. Theo đnh ngha
:
k
ta có :
d
2
= M
k
H
2
k
= OM

2
k
– OH
2
k
(*
ong đó :
OM
hình chiu ca lên trc L. Chiu hai v hc véct :  đng t
k
OM
y
x
z
L
H
k
d
k
M
k
y
k
x
k
z
k
O




Hình 10

kzjyixOM
kkk
k
f
ff
++= .. lên tr a đc :
OH
c L t
cos + z
k
cos
Thay vào (*) ta đc
d cos + y
k
cos + z
k
cos)
2
= x
2
k
( 1 - cos
2
) + y
2
k
( 1 -

Chú
2
k
= x
2
k
( cos
2
 + cos
2
 ) + y
2
k
(cos
2
 + cos
2
 )+ z
2
k
(cos
2
 + cos
2
 ) –
d
2
k
= ( y
2

k
+z
2
k k
y
k
coscos -
Do đó mômen quán tính c
k
= x
k
cos + y
k
:
2
k
= x
2
k
+ y
2
k
+ z
2
k
– (x
k
cos
2
) + z

2
k
( 1 - cos
2
 ) –2x
k
y
k
coscos - 2x
k
z
k
coscos – 2y
k
z
k
coscos.
ý rng : cos
2
 + cos
2
 + cos
2
 = 1
Ta có :
d
2x
k
y
k

coscos - 2x
k
z
k
coscos – 2y
k
z
k
coscos
)cos  + ( z
2 2
k
+ x
2
k
)cos  + ( x
2 2
k
+ y
2
k
)cos  – 2x
2
2x
k
z
k
coscos – 2y
k
z

k
coscos.
a vt đi vi L bng :
−+++++=
∑∑∑
(cos)(cos
22222
k
k
kk
kL
ymzymJ
βα
)(cos)
2222
kk
k
k
yxmx
γ

∑∑∑
−−−
kkkkkkkkk
yxmxzmzym
βαγαγβ
coscos2coscos2coscos2
Hay:
JJJJJ −−−++

rong đó J
x
, J
y
, J
z
là mômen quán tính ca vt đi vi các trc to đ còn các đi
lng :
αγγββαγβα
coscos2coscos2coscos2cos.cos.cos.
222
zxyzxyzyxL
JJ =
T
Chng II Các đnh lý tng quát ca đng lc hc Trang 16
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT II PHN NG LC HC
∑
=
kkkyz
zymJ ,
∑
=
kkkzx
xzmJ ,
∑
=
kkkxy
yxmJ (2.10)
(2.10) đc gi là nhng mômen tích quán tính (hay còn gi là mômen quán tính ly
tâm) ca vt trong h to đ xyz.

i vi mt trc bt k đi qua gc to đ hoàn
h to đ đó.
V. Tr
a
ta có J
xy
= J
yz
= 0 thì
tính chính trung tâm thì gi là mômen quán tính chính
ính đi vi mi đim thuc trc y.
thuc trc y.
ca trc và mt phng đi xng.
VI Cá
h mnh AB đng cht có
đi qua đu A
a
O
Vi công thc (2.9) chúng ta đã chng minh đc đnh lý 1.2 :
Mômen quán tính ca vt th đ
toàn có th xác đnh đc nu bit to đ và mômen quán tính trong
c quán tính chính và trc quán tính chính trung tâm :
Ta thy các đi lng J
xy
, J
yz
, J
zx
ph thuc vào v trí ca đim O và phng c
các trc ta đ. Nu đi vi mt h trc ta đ Oxyz nào đó

trc Oz đc gi là trc quán tính chính ca vt th đi vi đim O. Có th chng
minh đc rng ti mi đim ca vt th luôn luôn tn ti ba trc quán tính chính
vuông góc vi nhau. Các trc quán tính chính đi vi khi tâm đc gi là trc
quán tính chính trung tâm.
Mômen quán tính ca vt đi vi trc quán tính chính gi là mômen quán tính
chính, còn đi vi trc quán
trung tâm.
D dàng chng minh đc rng trc quán tính chính trung tâm ca vt là trc
quán tính ch
Trc quán tính ca vt đi xng đng cht có th tìm đc d dàng nh hai
đnh lý sau đây :
nh lý 1.3: Trc đi xng ca vt đng cht là trc quán tính chính ca vt
đi vi mi đim
nh lý 1.4: Trc thng góc vi mt phng đi xng ca vt đng cht là trc
quán tính chính đi vi giao đim
Hai đnh lý này d dàng đc chng minh bng cách s dng tính đi xng ca
vt th đ tính các biu thc ca mômen quán tính ly tâm.
. ch tính mômen quán tính ca mt s vt đng cht đn gin :
a) Thanh đng cht : Tính mômen quán tính ca than
chiu dài l và khi lng M, đi vi trc Ay vuông góc vi thanh và
c nó (Hình 11). Mun vy ta chia thanh ra nhiu phn t. Xét mt phn t cách
Chng II Các đnh lý tng quát ca đng lc hc Trang 17
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT II PHN NG LC HC
Ay mt khong x
k
và có đ dài x
k
khi lng
ca nó là m
k

= x
k
( là khi lng riêng trên
mt đn v đ dài :  = M/l)
Mômen quán tính ca thanh đi vi trc Ay
bng :
∑∑
∆==
k
kk
kAy
xxdmJ
22
γ

Chuyn tng đó ti hn ta đc :
2
3
0
Ay
∫
2
3
1
3
Ml
l
dxxJ
l
===

γ
γ

Áp dng đng lý Huygen ta có th chng minh c mômen quán tính ca
thanh đi vi trc khác vuông góc vi thanh. Khi trc đi qua đim gia ca thanh ta
đ
Hình 11
x
C
B
y
y
1
x
x
A
có :
222
2
111
l
=−=
⎞
⎛
−=

1
12432
MlMlMlMJJ
AyCy

⎟
⎠
⎜
⎝
b)Vòng tròn đng cht : Tính mômen quán tính
ca mt vòng tròn đng cht bán kính R, khi lng
đ
) cng đc dùng đ tính mômen quán
tính ca v hình tr mng đi vi trc a nó
h
n kính r
k
đ rng r
k
và
khi lng m
k
= 2r
k
r
k
, trong đó  là khi
M i vi trc C qua tâm C ca vòng trìn và thng
góc vi mt phng ca nó. (Hình 11).
Ta có :
222
MRRmrmJ
k
k
kCz

===
∑∑
(b)
Công thc (b
c .
c)Tm tròn đng cht : Tính mômen quán
tính ca mt tm tròn mng đng cht bán kín
R, khi lng M, đi vi trc Cz qua tâm, thng
góc vi tm và đi vi các trc Cx, Cy trùng vi
trc đng kính ca nó.
Mun vy, chia tm thành nhiu vành tròn
nh, mi vành tròn có bá
C
R
m
k
x
Hình 12
x
Hình 13
C
y
r
k

Chng II Các đnh lý tng quát ca đng lc hc Trang 18
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT II PHN NG LC HC
lng riêng trên mt đn v din tích
2
R

M
π
γ
=

Theo công thc (b) mômen quán tính vành k đi vi trc Cz bng :
J
Cz
= m
k
r
2
k
= 2r
k
r
k
r
2
k
= 2r
3
k
r
k
n quán tính
ca các vành tròn đi v
Mômen quán tính ca tm tròn đi vi trc Cz bng tng ca môme
i trc đó :
kkCzCz

rrJJ ∆=∆=
∑ ∑
3
2
πγ

Chuyn ti gii hn ta có :
0
Cz
∫
243
2
1
2
1
2 MRRdrrJ
R
===
γππγ
(c)
 tính các mômen quán tính J
cx
, J
cy
ca tm đi v n thy
rng vi mi đim thuc tm Z
k
= 0, vì vy theo công thc (2.4) :
i trc Cx, Cy ta nh
∑

=
2
kkCx
ymJ ,
∑
=
2
kkCy
xmJ , )(
22
∑
+=
kkkCz
yxmJ
T đó suy ra :
J
Cx
+ J
Cy
=
z
.
i lng ca tm đi vi các trc Cx, Cy là hoàn toàn nh nhau,
vì vy ta có :
J
C
S phân b kh
2
11
MRJJJ ===

42
CzCyCx
d)Khi cu đng cht : Do tính đi xng nên
trong trng hp này :
2
2
2
1
MRJJJ
CzCyCx
=== (d)
5
e) Tm ch nht khi lng M có cnh AB =
a, BD = b (trc x hng theo A , y hb ng theo
BD):
2
1
MbJ =
,
2
1
MaJ =
(e)
3
x
3
y

f) Khi nón liên t i l đáy R (z h khi nón)
(f)

c có kh ng M, bán kính ng theo
2
3.0 MRJ
z
=
y
x
z
C
Hình 14
Chng II Các đnh lý tng quát ca đng lc hc Trang 19
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT II PHN NG LC HC

§2. NH LÝ V BIN THIÊN NG LNG VÀ
2.1 nh lý
t đim là mt đi lng véct bng tích khi
NH LÝ V CHUYN NG KHI TÂM.
v bin thiên đng lng :
1. ng lng : ng lng ca ch
lng ca cht đim vi véct vn tc ca nó :
vmk
f
f
.= (2.11)
- ng lng ca h là tng hình h ca tt c các cht đim ca c đng lng
nó.
k
k
vmK
∑

=
f
f
. (2.12)
Nu h nhiu vt thì đng lng ca h hc đng lng ca mi
khi lng ca h và vn tc ca khi tâm.
h
rM
 bng tng hình
vt. n v đo đng lng là kg.m/s.
ng lng có th xác đnh qua
T t vy theo đnh ngha khi tâm ta có :
k
k
rm
f
.=
∑
C
f

o hàm hai v lên theo thi gian ta đc :
C
k
k
rMrm
$
f
$
f

.=
∑

Hay :
C
k
k
vMvm
ff
.=
∑

Th vào (2.12) ta đc :
C
vMK
f
f
= (2.13)
Vy : ng lng ca h bng tích kh a toàn h vi vn tc khi tâm
chiu véct đng lng lên các trc ta đ s là :
i lng c
ca nó.
Hình
Ckkx
xMxmK
$$
==
∑
,
Ckky

yMymK
$$
==
∑
,
z
K =
∑
Ckk
zMzm
$$
=.

T (2.13) suy ra rng đng lc ca c h đi v h trc bt k Cx’y’z’ có gc i
ta đ  khi tâm C và chuyn đng cùng vi tâm này s bng không vì đi vi h
ta đ này
C
v
f
= 0. Mt trng hp riêng thng gp s là chuyn đng ca mt vt
Chng II Các đnh lý tng quát ca đng lc hc Trang 20
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT II PHN NG LC HC
rn quanh m t trc c đnh. Nu trc quay đi qua khi tâm thì đng lng ca vt
trong chuyn đng đó s bng không.
Xung lng lc :

II.
dng ca lc lên mt vt th trong mt khong thi gian ngi
đ
n vi khong thi gian vô cùng bé dt :

 biu th tác
ta a ra khái nim xung lng ca lc.
i lng véct, kí hiu sd
f
bng lc nhâ
dtFsd .
f
f
= (2.14)
gi là xung lng nguyên t ca lc.
g thi gian hu hn t t
0
đn t
1
nào đó là đi Xung lng ca lc trong khon
lng :
∫
=
1
0
t
t
dtFs
f
f
(2.15)
Hình chiu xung lng ca lc trên các tr s là :
t
xx
t

yy
t
zz
6)
III. nh lý v đng lng :
thi gian đng lng ca cht đim bng tng hình hc
c ta đ
∫
=
1t
dtFS
,
∫
=
1t
dtFS
,
∫
=
1t
dtFS
(2.1
0 0 0
nh lý 2.1 : o hàm theo
các lc tác dng lên cht đim y.
∑
=
k
F
dt

vmd
f
f
)
(2.17)
Phng trình (2.17) thc t là mt cách vi ng trình c bn ca đng
o hàm theo thi gian ca đng lng ca c h bng véct, chính
(
t khác ph
lc hc (1.4).
nh lý 2.2 :
các ngoi lc tác dng lên c h.
∑
=
k
e
F
dt
Kd
f
f
(2.18)
Chng minh: Gi tng các ngoi lc v c tác dng lên cht đim à tng các ni l
th k là
k
e
F
f
và
k

i
F
f
.
Theo (2.17) đ vi i mi đim thuc h ta có :
k
i
k
e
kk
FF
vmd
dt
ff
f
+=
)(
(k= 1,2...n)

Chng II Các đnh lý tng quát ca đng lc hc Trang 21
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT II PHN NG LC HC
Cng tng v phng trình này ta đc :
∑∑∑
+=
k
i
k
e
kk
FFvm

dt
d
ff
f

Vì 0=
∑
k
i
F
f
và Kvm
kk
f
f
=
∑
nên :
∑
=
k
e
F
dt
Kd
f
f
(nh lý đã đc chng minh)
2 : Bi iên đng l a cht đim trong khong thi gian nào đó
bng tng xung lng ca các l ong thi gian đó.

nh lý .3 n th ng c
c tác dng lên cht đim trong kh
∑
=−
k
Svmvm
f
ff
(2.19)
01
Chng minh: T (2.17) ta có :
∑
= dtFvmd
k
.)(
f
f

i các cn tng ng ta đc :
t
to
k
vm
SdtFdtFvmd
Tích phân hai v đng thc này v
vm
∑∑
∫∫
∑
∫

===
k
t
t
k
f
ff
f
f
1
0
1
0
.)(
f
1
Hay :
∑
=− Svmvm
k
f
ff
01
nh lý 2.4 : Bin thiên đng lng ca c h trong mt khong thi gian nào đó
bng tng xung lng ca tt c các ngoi lc tác dng lên h trong khong thi
.
gian đó.
∑
=−
k

e
SKK
f
ff
01
(2.20)
Chng minh : T (2.18) ta có :
∑
= dtFKd
k
e
.
ff

Tích phân hai v
tk
 đng thc này vi các cn tng ng ta đc :
e
to
k
e
k
SFdtFKd
∑∑
∫∫
∑
∫
===
k
e

t
t
k
dt
f
fff
f
11
f
1
0
0
.
Hay :
∑
=−
k
e
SKK
f
ff
.
01
Các đnh lý 2.1, 2.2 là đnh lý bin thiên đng lng ca cht đim di dng vi
phân còn các đnh lý 2.3 và 2.4 là các đnh lý vit di dng hu hn.
ng các trc ta đ chúng ta
s đ

Chiu các h thc (2.17), (2.18), (2.19) và (2.20) xu
c các biu thc vô hng thng dùng trong tính toán.

Chng II Các đnh lý tng quát ca đng lc hc Trang 22
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT II PHN NG LC HC
IV
Nu
. nh lut bo toàn đng lng :
T biu thc (2.18) suy ra rng :
0=
∑
k
e
F
f
thì constK =
f

ng thc (2.21) biu th đnh lut bo toàn đng lng ca h.
lên h luôn luôn bng không thì véct đng
ln  s không thay đi.
Nu tng các ngoi lc tác dng
g ca h
Trong thc t xy ra nhng trng hp khi
∑
≠ 0
k
F
f
nhng tng hình chiu ca
các
c đó nh sau:
dng lê

2.

ngoi lc lên mt trc nào đó bng không chúng ta s có đnh lut bo toàn hình
chiu đng lng ca h lên h tr
Nu tng hình chiu ca các ngoi lc tác n h trên mt trc nào đó
bng không thì hình chiu véct đng lng lên trc đó s không thay đi.
2 nh lý chuyn đng ca khi tâm :
Nu ta tính đng lng ca h theo công thc (2.13) qua vn tc khi tâm ca
h và thay vào biu thc (2.18) ta đc :
k
CC
dtdt
WMWM
dKd
==
f
f
)(
e
F
∑
=
ff
(2.22)
 h mt khi tâm chuyn đng nh mt
cht đim có khi lng bng khi lng ca toàn a lc đc
Biu thc (2.22) đc phát biu di dng mt đnh lý nh sau :
nh lý 2.5: Trong chuyn đng ca c
h và chu tác dng c
biu din bng véct chính ca ngoi lc đã đt vào h.

Chiu (2.22) lên các trc to đ ta đc :
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
⎩
=
∑
∑
∑
y
e
C
x
e
C
FyM
FxM
$$
$$
(2.22’)
z
e
C
FzM
$$
Các phng trình (2.22’) là nhng phng trình vi phân chuyn đng khi tâm ca
h trong to đ -cát.

T (2.22) ta thy rng nu 0=
∑
k
e
F
f
thì
C
W
f
= 0 hay
C
W
f
= const ngha là :
đng thng đu.
yn đng i tâ h
Nu véct chính ca h ngoi lc tác dng lên c h bng không thì khi tâm ca h
s đng yên hay chuyn
ó là đnh lut bo toàn chu kh m ca c .
Chng II Các đnh lý tng quát ca đng lc hc Trang 23
GIÁO TRÌNH C LÝ THUYT II PHN NG LC HC
Tng t nh đã nói  phn trên nu tng hình chiu ca các ngoi lc tác dng lên
c h trên mt trc nào đó bng không thì hình chiu ca khi tâm trên trc đó s
ng lc đó là ni lc, không th làm thay đi
ca c h vì vy nên đn bay v phía trc thì súng s
2.
a c bp là ni lc
Ví
ca

kh
và bu-lông gi mô-
đng yên hay chuyn đng thng đu.
Mt s ví d minh ho :
1. Hin tng súng git khi bn : Xét c h gm súng và đn trong nòng súng. Khi
đn n xut hin mt xung lc, xu
chuyn đng khi tâm
chuyn đng theo chiu ngc li gây ra hin tng git.
Ngi ta không th đi đc trên mt phng nm ngang trn lý tng bi vì tng
hình chiu ca các ngoi lc tác dng lên ngi, gm trng lc và phn lc pháp
tuyn ca mt phng trên phng ngang bng không. Lc c
không th làm cho c th di chuyn đc. Trong thc t chúng ta đi đc là nh
lc ma sát gia bàn chân và mt ngang.
d 2.1 : Khi lng bánh đà
mt mô-t bng m
1
còn
i lng các phn còn li là
m
2
. Bánh đà quay đu vi vn
tc góc .
Khi tâm ca nó lch trc mt
khong AB = a. Tính phn lc
ta ca nn
t vi gi thuyt rng phn lc
tng đng vi mt hp lc
vi các thành phn
21
, NN

ff
(Hình
Gii :
Nhng ngoi lc tác dng lê
B
A
2
P
f
2
N
f
1
N
f
1
P
f

Hình 15
v)
n mô-t trong trng hp này là
1
P
f
,
2
P
f
và

21
, NN
ff
.
chiu a đ x, y s là :
C
1
=
$$

Phng trình (2.22) lên các trc t
NxM
gmmNyM
C
)(
212
+−=
$$
trong đó : M = m
1
+ m
2
. C là khi tâm ca c h.
Chng II Các đnh lý tng quát ca đng lc hc Trang 24