Dao động trong mạng tinh thể

Baøi 3
1. Dao động của chuỗi nguyên tử
Trong tinh thểcác nguyên tửdao động quanh các nút mạng
trong không gian3chiều.
Bài toán của một hệhạt cótương tác với nhau vàdao động với
biên độnhỏquanh vò trícân bằng làmột trong những bài toán
điển hình của Cơ học cổđiển.
Đểthấy một sốtính chất quan trọng của các dao động đóta bắt
đầu từmột chuỗi thẳng của các nguyên tử.
)]xx()xx[(f
dt
xd
m
nnnn
n
−−−−=
+− 11
2
2
x
n
= A exp i ( ωt +qna)
x
n
làđộlệch khỏi vò trícân bằng của nguyên tửthứn
f làhằng sốlực đàn hồitươngtácgiữa2 nguyêntử.
Nghiệm códạng
q -sốsóng
a. Chuỗi thẳng dài vô hạn của các nguyên tử
cócùng khối lượng m
)qasin(

m
f
2
1
2±=ω
cho thấy sựphụthuộc của tần sốdao động ω vào sốsóng q :
ω làhàm tuần hoàn của q với chu kỳ
a
π
2
a
q
a
π
≤≤
π
−
chỉcần xét q trong khoảng
Vùng Brillouin thứnhất một chiều
Thay nghiệm vào phương trình chuyển động được
 Chỉcần các bước sóng lớn hơn 2a .
Ở hìnhtrên, q = π/a tương ứng với λ=2a. q > π/a không cóýnghóa
vật lývìkhông cónguyên tửdao động giữa một chu kỳ. Nhưvậy
vectơsóngđượcphépchodaộngmạngnằmtrongvùngBrillouin
thứnhất( |q| < π/a ).
Do đótấtcảcóN giátròđược phépcủavectơsóng( vàbướcsóng)
nằm trong khoảng -π/a < q < π/a. Mỗigiátròđótươngứngvớimột
mode daộngcủamạng. Mode đóđượcgọilà mode chuẩn
2
2

qa
qa
sin
)
m
f
(a
q
v
p
=
ω
=
Vận tốc pha của sóng trong chuỗi :
ªVớiq nhỏ( bước sóng dài ) vận tốc pha v
p
= a(f/m)
1/2
không
đổi vàbằng vận tốc truyền âm trong tinh thể( ~ 3.10
5
cm/s ).
ªKhi q tăng, vận tốc giảm : hiện tượng tán sắc. Sựtán sắc làdo
ïảnh hưởng lẫn nhau giữa các phần nén vàdãn của sóng. Với
các bước sóng ngắn các phần đórất gần nhau.
ªKhi λ giảm đến 2a các phần nén vàdãn bùtrừlẫn nhau làm
sóng biến mất > vận tốc bằng 0.
2
qa
cos

m
f
a
dq
d
v
nhóm
=
ω
=
Vận tốc truyền năng lượng - vậntốcnhóm:
( vận tốc truyền của các mặt đẳng pha )
Ởcác biên q = π/2 ,v
nhóm
= 0 : không truyền năng lượng
a
a
q 2, ==
λ
π
∞
→
≈
λ
,,0q
2
4
21
qa
sin

)m/f(
/
=
ω
Vuøng Brillouin thöùnhaát
q
21
4
/
)m/f(
ω
)qasin(
m
f
2
1
2±=ω
Cósựphụthuộc tuyến tính trong miền này
q
m
f
2
ω
Với q nhỏ
b. Chuỗi thẳng dài Lhữu hạn gồm N
nguyên tửcócùng khối lượng m
Từ x
n
= A exp i ( ωt +qna)
expinqa= exp i(n+N)qa

exp iNqa = 1 = exp i2πj
Nqa=2πj
j
na
q
π
=
2
j làcác sốnguyên dương hoặc âm.
x(0)
x(Na)
Điều kiện biên tuần hoàn
Born von Karman
L = Na
Điều kiện biên tuần hoàn : x
n
= x
n+N
f
x
)j
N
n
t(iexpAx
s
ssn
∑
π
+ω=
2

Các giátrò gián đoạn củaqxác đònhN dao động riêng của
chuỗi. Nghiệm tổng quát thu được từsựtổhợp tuyến tính của tất
cảcác nghiệm riêng
L = Na
Điều kiện biên tuần hoàn : x
n
= x
n+N
f
x
x
2n+1
= A
m
exp i [ ωt + (2n+1)qa]
x
2n
= A
M
exp i [ ωt + (2n)qa]
)]xx()xx[(f
dt
xd
m
nnnn
n
1222212
2
12
2

+++
+
−−−−=
)]xx()xx[(f
dt
xd
M
nnnn
n
212122
2
2
2
−−−−=
+−
c. Chuỗi thẳng gồm2 loạinguyên tửcókhối lượng m vàM
Nghiệm của chúng códạng
Thay các nghiệm này vào phương trình chuyển động tương ứng
được 2 phương trình đểxác đònh các biên độA
m
vàA
M
.
Từđiều kiện đểcho nghiệm của hệ2 phương trình không
tầm thường, đònh thức của các hệsốA
m
vàA
M
phải bằng 0.
Từđó

Nhưvậy với cùng một sốsóng q có2 tần sốkhác nhau ω
-
và ω
+
tùy theo việc lấy dấu trừhaydấu + trong biểu thức của ω.
> nếu biểu diễn ω theo q được 2 nhánh tần số:
* nhánh âm : ω
-
(q)
* nhánh quang: ω
+
(q)
Chuỗi nguyên tử
Dao động quang










−+±+=ω
21
2
22
2
4

1111
/
]
mM
qa
sin
)
Mm
[()
Mm
(f
Nhaùnh quang
Nhaùnh aâm
q
m
f2
M
f2
µ
f2
Mm
111
+=
µ











−+±+=ω
21
2
22
2
4
1111
/
]
mM
qa
sin
)
Mm
[()
Mm
(f
Mm
111
+=
µ











−+±+=ω
21
2
22
2
4
1111
/
]
mM
qa
sin
)
Mm
[()
Mm
(f
21
2
22
2
4
1111
/
]

mM
qa
sin
)
M
m
[()
M
m
(f −+±+=ω
Xét các trường hợp giới hạn sau :
1. q= π / a: có2 nghiệm
m
f
2
2
=ω
+
])qacos(mM)Mm()Mm[(
mM
f
−−+±+=ω 12
22
M
f
2
2
=ω
−
q = π/a

q = π/a
Tần sốthấp : nguyên tửnhẹ đứng yên, nguyên tửnặng dao động
Tần sốthấp : nguyên tửnhẹ dao động , nguyên tửnặng đứng yên
• •
•
• • •• • • •• • •
•
•
•
•
• •
•
•
• •
• • •
])qacos(mM)Mm()Mm[(
mM
f
−−+±+=ω 12
22
Khi qa << 1  cosqa ~ 1-q
2
a
2
/2
]
2
)qa(
)Mm(
mM2

11[
mM
)Mm(f
2
2
2
+
−±
+
=
ω
]}
2
)qa(
)Mm(
mM
1[1{
mM
)Mm(f
2
2
2
+
−±
+
=
ω
2. Với q nhỏ,  hiệu pha nhỏ: các ô lân cận dao động gần nhưnhau
Cũng có2 nghiệm :
Nghiệm 1 : dấu + , bỏqua sốhạng q

2
a
2
Các nguyên tửtrong cùng ô ngược pha nhưng các ô lân cận thìđồng pha
• • •
•
• •• • • •• • •
Nghiệm tần sốthấp cóđộdốc không đổi với qa nhỏ
Các nguyên tửtrong ô đơn vò chuyển động đồng pha, các ô lân cận cũng đồng pha
]}
2
)qa(
)Mm(
mM
1[1{
mM
)Mm(f
2
2
2
+
−−
+
=
ω
Nghiệm 2 : dấu -, qa nhỏ  bỏqua sốhạng q
2
a
2
Mm

f
2
aq
2
2
2
+
=
ω
)Mm(2
f
qa
+
=
ω
• • •
•
• •• • •
•
•
• •
a4
q
π
=
Nhaùnh aâm ngang vôùi q nhoû
Nhaùnh quang ngang vôùi q = 0
Nhaùnh quang ngang vôùi q nhoû
Nhánh quang ngang với q = π/a ( nhẹ nặng )
Nhánh âm ngang với q = π/a

Nếu 2 loại nguyên tửcóđiện tích trái dấu, các sóng đó
làsóng phân cực
• • •
•
• •• • • •• • •
• • •
•
• •• • • •• • •
Các hạt dao động đồng pha với biên độbằng nhau cótần
sốthuộc nhánh âm với q nhỏ. Trong trường hợp này ô
mạng dòch chuyển nhưmột toàn bộ. Do đóxuất hiện các
chỗ nén vàdãn trong tinh thểtương tựnhưsựnén vàdãn
của tinh thểkhi cósóng âm truyền qua. Vìvậy dao động
trong đócả2 nguyên tửtrong ô đơn vò chuyển động đồng
pha được gọi là dao động “âm”.
Nhánh quang ứng với trường hợp 2 nguyên tửtrong ô dao
động ngược pha nhau. Biên độdao động tỷlệngược với
khối lượng của hạt. Trọng tâm của ô đơn vò không đổi.
Nếu 2 loại nguyên tửmang điện tích trái dấu thìtrong ô
xuất hiện mômen lưỡng cực điện nhờđócóthểtương tác
mạnh với sóng điện từ > loại dao động “quang “
A
O
LO
LA
TO TA
Vectô soùng q
Ta
à
n so

á
ω
Nhaùnh aâm
Nhaùnh quang
Nhaùnh quang
Nhaùnh aâm
q
m
f2
M
f2
µ
f2
Mm
111
+=
µ
Khim = M : suybiến.
Chuỗichỉcó1 loại nguyên tửvới chukỳa/2
2. Dao
2. Dao
đ
đ
o
o
ä
ä
ng cu
ng cu
û

û
a ma
a ma
ï
ï
ng tinh the
ng tinh the
å
å
'nno
'n,n
'nn
o
ss)
ss
V
(VV
ρρ
ρ
∑
∂∂
∂
+=
2
2
1
+ các sốhạng bậc cao hơn
Đểtính toán dùng thếV của tinh thểlàhàm của tọa độcủa tất
cảcác nguyên tửcótrong tinh thể.
Khi mạng dao động, các nguyên tửlệch khỏi vò trícân bằng.

Khai triển V thành chuỗi quanh vò trícân bằng
Vo làthếnăng khi tất cảcác nguyên ưửởvò trícân bằng
s
n
làvectơ dòch chuyển của nguyên tửthứnkhỏi vò trícân bằng
Khi độdòch chuyển của các nguyên tửlànhỏcóthểbỏqua các
sốhạng bậc cao