chuyên phân tích đa thức thành nhân tử (có giáo an minh họa)

MỤC LỤC
Nội Dung Trang
PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích của đề tài
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
4. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu
5. Phương pháp nghiên cứu
PHẦN II: NỘI DUNG
Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương II : Các biện pháp (giải pháp) sư phạm nâng cao chất
lượng dạy học
1.Biện pháp 1: Điều tra thực nghiệm
2.Biện pháp 2: Đưa ra các giải pháp mới
3.Biện pháp 3: Hướng dẫn theo từng phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử
Chương III. Thực nghiệm sư phạm
1.mục đích thực nghiệm
2.Nội dung thực nghiệm
3.Kết quả thực nghiệm
PHẦN III: KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1
1
2
2
2
2
3
3
7

7
7
7
30
30
30
36
40
42
Đề tài:" Dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS "
PHẦN I: MỞ ĐẦU
1/ Lý do chọn đề tài:
Trước sự phát triển mạnh mẽ nền kinh tế tri thức khoa học, công nghệ
thông tin như hiện nay, một xã hội thông tin đang hình thành và phát triển
trong thời kỳ đổi mới như nước ta đã và đang đặt nền giáo dục và đào tạo
trước những thời cơ, thách thức mới. Để hòa nhập tiến độ phát triển đó thì
giáo dục và đào tạo luôn đảm nhận vai trò hết sức quan trọng trong việc 
 mà Đảng, Nhà nước đã
đề ra, đó là “đổi mới giáo dục phổ thông theo Nghị quyết số 40/2000/QH10
của Quốc hội”.
Những năm gần đây, cùng với việc thay bộ sách giáo khoa mới và việc sử
dụng phương pháp tích cực nhằm phát huy trí lực học sinh một cách chủ
động, sáng tạo, thực hiện cuộc vận động “Hai không” với bốn nội dung…, do
đó đòi hỏi mỗi thầy cô giáo cần phải ngày càng tự hoàn thiện mình để phù
hợp với nhu cầu đổi mới.
Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường
duy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ
thông. Là giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội
kiến thức dễ dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì môn toán là
môn học đáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó.

Việc học toán không phải chỉ là học như SGK, không chỉ làm những bài
tập do Thầy, Cô ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng
quát hoá vấn đề và rút ra được những điều gì bổ ích. Dạng toán phân tích đa
thức thành nhân tử là một dạng toán rất quan trọng của môn đại số 8 đáp ứng
yêu cầu này, là nền tảng, làm cơ sở để học sinh học tiếp các chương sau này,
nhất là khi học về rút gọn phân thức đại số, quy đồng mẫu thức nhiều phân
thức và việc giải phương trình, … Tuy nhiên, vì lý do sư phạm và khả năng
nhận thức của học sinh đại trà mà chương trình chỉ đề cập đến bốn phương
pháp cơ bản của quá trình phân tích đa thức thành nhân tử thông qua các ví dụ
cụ thể, việc phân tích đó là không quá phức tạp và không quá ba nhân tử.
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán phân tích đa thức
thành nhân tử một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao. Để thực
hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng
như quan sát, nhận xét, đánh giá bài toán, đặc biệt là kĩ năng giải toán, kĩ
năng vận dụng bài toán, tuỳ theo từng đối tượng học sinh, mà ta xây dựng
cách giải cho phù hợp trên cơ sở các phương pháp đã học và các cách giải
khác, để giúp học sinh học tập tốt bộ môn.
Xuất phát từ những lý do trên, cùng với những đòi hỏi của xã hội, chất
lượng dạy và học ngày càng phải được nâng cao, và bằng những kinh nghiệm
Học viên:Hoàng Quốc Huy – Lớp toán 3 – ĐHSP Hà Nội
2
Đề tài:" Dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS "
dạy và học toán, tôi xin mạnh dạn lựa chọn đề tài “ Một số phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử” với hy vọng đóng góp một phần nhỏ bé
công sức của mình về việc dạy học theo phương pháp mới, giúp học sinh
không bỡ ngỡ khi gặp các dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử, giúp
học sinh học tốt hơn, hứng thú hơn với bộ môn toán nói chung và các bài toán
về phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng.
2/ Mục đích nghiên cứu:
Góp phần nâng cao chất lượng dạy học ở bậc Trung học cơ sở.

Trang bị cho học sinh lớp 8 một cách có hệ thống các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử, nhằm giúp cho học sinh có khả năng vận
dụng tốt dạng toán này.
Học sinh có khả năng phân tích thành thạo một đa thức thành nhân tử
Phát huy khả năng suy luận, phán đoán và tính linh hoạt của học sinh
Thấy được vai trò của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong giải
toán từ đó giáo dục ý thức tự học và tìm tòi sáng tạo trong quá trình học tập
của học sinh.
Rèn luyện cho học sinh tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh
hoạt, tự mình tìm ra kiến thức mới, không những tìm ra phương pháp làm
toán ở dạng cơ bản, các phương pháp thông thường mà còn phải dùng một số
phương pháp khó hơn.
Rèn luyện cho học sinh với khả năng sáng tạo, ham thích học bộ môn
toán và giải được các dạng bài tập mà cần phải thông qua phân tích đa thức
thành nhân tử , nâng cao chất lượng học tập, đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
Đào tạo nguồn nhân lực có tri thức vững vàng, ứng dụng được tri thức
vào thực tiễn cuộc sống.
3/ Nhiệm vụ nghiên cứu:
Tìm hiểu nội dung dạy học về các phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử.
Tìm hiểu mạch kiến thức về phần đại số mà các em đã được học từ lớp 7.
Điều tra thực trạng: Điều tra việc nắm kiến thức của học sinh về phần
phân tích đa thức thành nhân tử. Thường xuyên kiểm tra đánh giá để nhận sự
phản hồi của học sinh, qua đó thấy được những sai lầm mà các em hay mắc
phải đối với bài toán phân tích đa thức thành nhân tử để tìm hướng khắc phục,
tìm ra những phương pháp phù hợp giúp nâng cao chất lượng giảng dạy.
4/ Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:
Khi viết đề tài này tôi đã nghiên cứu tại trường THCS Đan Hà - Huyện
Hạ Hòa- Tỉnh Phú Thọ.
Phạm vi là học sinh khối 8 của toàn trường.

5/ Phương pháp nghiên cứu:
Học viên:Hoàng Quốc Huy – Lớp toán 3 – ĐHSP Hà Nội
3
Đề tài:" Dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS "
Phương pháp mà tôi sử dụng để nghiên cứu chủ yếu là phương pháp
thực nghiệm sư phạm.
PHẦN II: NỘI DUNG
Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Trong bối cảnh đổi mới Giáo dục nói chung, Giáo dục THCS nói riêng
thì đổi mới phương pháp dạy học là yêu cầu bắt buộc mang tính tất yếu khách
quan.
Nghị quyết TW 2 (Khóa VIII) khẳng định: “ Phải đổi mới phương pháp
giáo dục và đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp
tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến
và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học đảm bảo điều kiện thời gian tự
học, tự nghiên cứu cho học sinh”.
Luật giáo dục điều 28 khoản 2 đã chỉ rõ: “Phương pháp giáo dục phổ
thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo của học sinh phù
hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học
rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm
đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.
Trong qúa trình giảng dạy bộ môn Toán ở trường THCS đây là một trong
những nội dung được nhiều giáo viên nghiên cứu ở những mức độ khác nhau
và họ cũng đã thu được những kết quả nhất định. Song việc thực hiện được
kết quả như thế nào còn tùy thuộc vào nhiều yếu tố. Trong việc dạy và học bộ
môn Toán giáo viên cần phải rèn cho học sinh tính tư duy, tính độc lập, tính
sáng tạo và linh hoạt tự tìm tòi ra kiến thức mới, và không chỉ với các phương
pháp cơ bản, thông thường mà còn phải hình thành lên một số phương pháp
khó hơn, phải có những thủ thuật riêng đặc trưng từ đó giúp các em có hứng
thú học tập, ham mê học Toán và phát huy năng lực sáng tạo khi gặp các dạng

Toán khó. Đây là một thuận lợi cho cả giáo viên và học sinh trong đổi mới
cách dạy và học.
Bản thân tôi không có tham vọng đi sâu và nghiên cứu tất cả các
phương pháp hay các dạng bài quá khó không phù hợp đối với học sinh
THCS.Trong thực tế giảng dạy Toán ở trường THCS việc làm cho học sinh
có kỹ năng giải các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử và các bài
toán liên quan là công việc rất quan trọng và không thể thiếu được. Để làm
được điều này thì người thầy phải cung cấp cho học sinh một số kiến thức cơ
bản về các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
Thực trạng: Qua thực tế giảng dạy giảng dạy bộ môn toán 8 kết hợp
với dự giờ các giáo viên trong và ngoài trường, đồng thời qua các đợt kiểm
tra, các kì thi chất lượng bản thân tôi nhận thấy các em học sinh chưa có kỹ
năng thành thạo khi làm các dạng bài tập như: Cộng trừ các phân thức không
Học viên:Hoàng Quốc Huy – Lớp toán 3 – ĐHSP Hà Nội
4
Đề tài:" Dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS "
cùng mẫu, tìm tập xác định, rút gọn phân thức, giải phương trình, quy đồng
mẫu thức các phân thứ, tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, biến đổi đồng nhất biểu
thức hữu tỉ vì để giải được các dạng toán đó thì cần phải có kỹ năng phân
tích đa thức thành nhân tử.
Qua thực tế giảng dạy và kết hợp kiểm tra, dự giờ đồng nghiệp tôi nhận
thấy: Khi gặp các dạng bài tập như, rút gọn phân thức, cộng trừ phân thức
không cùng mẫu, tìm tập xác định, giải phương trình tích các em gặp rất
nhiều lúng túng.
Ví dụ 1: (Trong tiết 25: Luyện Tập (Toán 8 tập 1)) Khi giáo viên đưa
bài tập. Yêu cầu học sinh rút gọn phân thức:


−−+
+−−

2
2
Nhiều học sinh thể hiện sự lúng túng khi gặp ví dụ trên, có rất ít học
sinh giơ tay phát biểu, chỉ có một vài học sinh khá, giỏi.
GV đặt câu hỏi gợi ý: Để rút gọn phân thức trên ta làm như thế nào?
HS: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử
Sau khi gợi ý, nhiều học sinh đã đưa ra lời giải tuy nhiên bên cạnh đó
vẫn còn tồn tại nhiều lời giải như sau:


−−+
+−−
2
2
=


−−+
+−−
)1(
)1(
( !"#
$)
Nguyên nhân: do học sinh thiếu kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử (mặc
dù vừa được học xong các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử)
Ví dụ 2: (Trong tiết 46 Đại số 8 )giáo viên đưa bài tập. Giải các phương
trình sau bằng cách phân tích vế trái thành nhân tử.
a. x(2x - 7) – 4x + 14 = 0
b. x
2

– 5x + 6 = 0
hay bài tập sau. Tìm ĐKXĐ của phương trình:
34
1
2
+− 
. Học sinh gặp rất
nhiều lúng túng và chưa tìm ra cách giải.
Vì để giải được các bài toán trên học sinh cần có kỹ năng phân tích đa
thức thành nhân tử một cách thành thạo.
Nhưng ngay đối với việc giải các bài toán về phân tích đa thức thành
nhân tử thông thường thì đa số các em cũng đã gặp rất nhiều khó khăn. Do
các em có thể quên kiến thức hoặc chưa biết vận dụng kiến thức một cách hợp
lý. Các em mới chỉ biết vân dụng từng phương pháp riêng lẻ vào giải các bài
toán đơn giản với yêu cầu thấp, chưa biết kết hợp các phương pháp vào giải
các bài toán khó với yêu cầu cao hơn.
Ví dụ: (trong tiết 11: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương
pháp nhóm hạng tử) giáo viên đưa bài tập:
- Phân tích đa thức x
2
– xy + x – y thành nhân tử. Đa số học sinh thực
hiện đư ợc, nhưng khi đưa bài tập sau: phân tích đa thức x
2
– y
2
+ 4x – 4 thành
nhân tử, nhiều học sinh đưa ra lời giải như sau:
Học viên:Hoàng Quốc Huy – Lớp toán 3 – ĐHSP Hà Nội
5
Đề tài:" Dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS "

x
2
– y
2
+ 4x – 4 = (x
2
– y
2
)+ (4x – 4) = (x – y)(x + y) + 4(x - 1) đây là
lời giải sai, hay bài toán sau: phân tích đa thức x
3
– x + 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3
– y
thành nhân tử. nhiều học sinh đưa ra lời giải như sau:
x
3
– x + 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3
– y = (x
3
– x )+ (3x

2
y + 3xy
2)
+ (y
3
– y)
= x(x
2
- 1) + 3xy(x + y) + y(y
2
- 1) %!&' "
(
Khi đứng trước bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử các em
chưa có khả năng nhận dạng, nhận định xem bài toán trên nên giải như thế
nào, áp dụng phương pháp nào để giải cho phù hợp và trong quá trình phân
tích các em còn gặp nhiều sai sót trong lời giải cũng như cách trình bày.
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (2x - 1)
2
– (x + 3)
2
Nhiều học sinh đưa ra lời giải như sau.
(2x - 1)
2
– (x + 3)
2

= 4x
2
– 4x – 1 – x
2

– 6x – 9
= 3x
2
– 10x – 10 ))))%(
Học sinh đã biết áp dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức nhưng
chưa đúng phương pháp: lời giải đúng
(2x - 1)
2
– (x + 3)
2
= [(2x – 1) – (x + 3)][(2x - 1) + (x + 3)]
= (2x – 1 – x - 3)(2x – 1 + x + 3)
= (x - 4)(3x + 2)
Phân tích đa thức x
2
– 2x – 4y
2
– 4y thành nhân tử. Một số học sinh
đưa ra lới giải sau.
x
2
– 2x – 4y
2
– 4y = (x
2
– 4y
2
) – (2x – 4y ) %*+,(
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) %-.(
= (x – 2y)(x + 2y – 2) %&/0,(

Phân tích đa thức 15x
2
y
2
– 9x
3
y + 3x
2
y thành nhân tử. Một số học
sinh đưa ra lới giải sau.
%1(2 15x
2
y
2
– 9x
3
y + 3x
2
y
= 3x
2
y.5y - 3x
2
y.3x+ 3x
2
y
= 3x
2
y ( 5y - 3x + 0) %&/0,345678(
Trong chương trình sgk Toán 8 giới thiệu ba phương pháp phân tích đa

thức thành nhân tử đó là: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các
hạng tử nhưng nếu chỉ với các phương pháp trên có những bài tập học sinh sẽ
gặp khó khăn trong quả trình giải. Ví dụ bài 52,57 sgk tr 24,25 (Toán 8 tập 1)
Bài 52a. phân tích đa thức x
2
– 3x + 2 thành nhân tử.
Với đa thức này ta không thể áp dụng ngay các phương pháp đã học để phân
tích. SGK hướng dẫn tách hạng tử - 3x = - x – 2x hoặc tách 2 = - 4 + 6, từ đó
đa thức dễ dàng được phân tích tiếp. Vậy với các đa thức khác, có dạng tương
tự ta làm như thế nào?
Vấn đề đặt ra ở đây là cách tách như trên là ngẫu nhiên hay có phương
pháp hoặc dựa trên quy luật nào, vấn đề này trong chương trình sách giáo
khoa chưa đề cập đến và chưa đưa ra phương pháp giải tổng quát, nhưng thực
Học viên:Hoàng Quốc Huy – Lớp toán 3 – ĐHSP Hà Nội
6
Đề tài:" Dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS "
tế trong quá trình giải toán, học sinh lại gặp rất nhiều bài tập dạng này (như đã
đề cập ở ví dụ trên)
Qua khảo sát thực trạng của học sinh trường THCS Đàn Hà về bộ môn
Toán tôi đã tiếp xúc, trò chuyện với học sinh sau một số tiết dạy về “các
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”
Câu 1: Em có thích học bộ môn Toán không? Chỉ có một số học sinh
trả lời là có, vì học Toán rất bổ ích và thú vị. Bên cạch đó còn rất nhiều học
sinh trả lời không thích học Toán vì học Toán khó
Câu 2: Em có thích chuyên đề “phân tích đa thức thành nhân tử không”
?
Với câu hỏi này đa số học sinh trả lời là có. Vì chuyên đề này rất thú vị có thể
áp dụng vào nhiều bài toán thực tiễn.
Ví dụ: Tính nhanh. a. 37,5.6.5 – 7,5.3,4 – 6,6.7,5 + 3,5.37,5
= 37,5(6,5 + 3,5) – 7,5(3,4 + 6,6)

= 375 – 75 = 300
b. 45
2
+ 40
2
– 15
2
+ 80.45
= (45 + 40 )
2
– 15
2
= 85
2
– 15
2

= (85+ 15)(85 - 15)= 100.70 = 7000
Như vậy qua quá trình giảng dạy, nghiên cứu cũng như dự giờ các đồng
nghiệp, trao đổi cùng học sinh, tôi đã đánh giá và rút ra một số thực trạng như
trên trong việc dạy và học của giáo viên và học sinh trường THCS Đan Hà.
Từ những thực trạng tôi vừa nêu trên theo tôi chủ yếu do các nguyên
nhân sau.
* Nguyên nhân khách quan:
Trường THCS Đan Hà là một trường đóng trên địa bàn là một xã miền
núi, đời sống nhân dân vẫn còn khó khăn vì thế các gia đình chưa có sự đầu tư
và quan tâm đến việc học tập của con cái, phong trào học tập chưa sôi nổi.
Phụ huynh học sinh chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tập của
con em mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở việc học tập ở nhà.
* Nguyên nhân chủ quan :

Môn Toán là môn học khó, khô khan để học tốt bộ môn toán đòi hỏi học
sinh phải có tư duy nhạy bén, nỗ lực tự học, tự rèn luyện.
Tồn tại nhiều học sinh yếu trong tính toán, thiếu kĩ năng quan sát nhận xét,
biến đổi và thực hành giải toán, phần lớn do mất kiến thức căn bản ở các lớp
dưới, nhất là chưa chủ động học tập ngay từ đầu chương trình lớp 8, do chay
lười trong học tập, ỷ lại, trông chờ vào kết quả người khác, chưa nỗ lực tự
học, tự rèn, ý thức học tập yếu kém.
Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nên khi
gặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải thích hợp,
Học viên:Hoàng Quốc Huy – Lớp toán 3 – ĐHSP Hà Nội
7
Đề tài:" Dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS "
không biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương
pháp nào là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt nhất.
Giáo viên chưa hình thành cho học sinh hệ thống các phương pháp.
Chương II : Các biện pháp (giải pháp) sư phạm
nâng cao chất lượng dạy học
1. Biện pháp 1: Điều tra thực nghiệm
Tìm hiểu sự ham mê học toán của học sinh khối 8.
Kiểm tra kiến thức và kỹ năng làm bài tập về phân tích đa thức thành nhân
tử.
2. Biện pháp 2: Đưa ra các giải pháp mới
Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản.
Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử
* Đối với học sinh yếu, nhận thức chậm : Củng cố kiến thức cơ bản
+ Phương pháp Đặt nhân tử chung
+ Phương pháp Dùng hằng đẳng thức
+ Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử
* Đối với học sinh đại trà: Vận dụng và phát triển kỹ năng
+ Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên)

Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán.
Củng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kĩ năng thực hành.
Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán.
Giới thiệu hai phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (Nâng cao).
*Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư duy (giới thiệu 6 phương pháp)
+ Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác.
+ Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử
+ Phương pháp đặt ẩn phụ (đổi biến)
+ Phương pháp tìm nghiện của đa thức.
+ Phương pháp hệ số bất định.
+ Phương pháp xét giá trị riêng.
Tuy nhiên trong khuôn khổ giới hạn của đề tài và cũng phụ thuộc vào
trình độ nhận thức của học sinh. Tôi không có tham vọng đi sâu nghiên cứu
tất cả các phương pháp, mà chỉ tập chung vào các phương pháp cơ bản (
Phương pháp Đặt nhân tử chung, Phương pháp Dùng hằng đẳng thức, Phương
pháp Nhóm nhiều hạng tử, Phối hợp nhiều phương pháp) và thêm hai phương
pháp nâng cao (Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử, Phương
Học viên:Hoàng Quốc Huy – Lớp toán 3 – ĐHSP Hà Nội
8
Đề tài:" Dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS "
pháp thêm và bớt cùng một hạng tử). Các phương pháp còn lại chỉ mang tính
chất giới thiệu.
3. Biện pháp 3: Hướng dẫn theo từng phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử
3.1 Định nghĩa :9:!;%-7(/<
:!6=>?@!
3.2 Các phương pháp
3.2.1 Các phương pháp cơ bản
3.2.1.1 Phương pháp 1: Đặt nhân tử chung
a. Phương pháp

- Tìm nhân tử chung là các Đơn thức, Đa thức có mặt trong tất cả các hạng
tử
- Phân tích mỗi hạng tử thành tích các nhân tử chung và một nhân tử khác
- Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi
hạng tử vào trong dấu ngoặc ( kể cả dấu của chúng ).
Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D)
A9B C 4=;,%3DC:!6E7,.(2
- Hệ số của nhân tử chung là ƯCLN của các hệ số nguyên dương của các
hạng tử.
- Lũy thừa bằng chữ của các nhân tử chung phải là lũy thừa có mặt trong
tất cả các hạng tử của Đa thức, với số mũ nhỏ nhất của nó trong các hạng
tử.
b. Ví dụ.
Ví dụ 1.1: Phân tích Đa thức 15x
2
y
2
– 9x
3
y + 3x
2
y
3
thành nhân tử.
Giải: 15x
2
y
2
– 9x
3

y + 3x
2
y
3
= 3x
2
y.5y - 3x
2
y.3x+ 3x
2
y.y
2

= 3x
2
y ( 5y - 3x - y
2
)
Ví dụ 1. 2: Phân tích đa thức 14x
2
y – 21xy
2
+ 28x
2
y
2
thành nhân tử.
Giải2 14x
2
y – 21xy

2
+ 28x
2
y
2

= 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy
= 7xy.(2x – 3y + 4xy)
Phân tích ví dụ.
Ta thấy hệ số nguyên dương của các hạng tử trong ví dụ 1.1 là: 15; 9; 3
và ƯCLN(15, 9, 3) = 3. Vậy hệ số của nhân tử chung là: 3
- Lũy thừa bằng chữ của các hạng tử trong ví dụ 1 là: x
2
y
2
; x
3
y ; x
2
y
3
. Lũy
thừa bằng chữ có mặt trong tất cả các hạng tử là x và y, số mũ lớn nhất của x
là 2 và của y là 1. Vậy ta có lũy thừa bằng chữ của nhân tử chung là : x
2
y
Vậy nhân từ chung của đa thức trong ví dụ 1 là: 3 x
2
y
Ví dụ 1.3: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử.

Học viên:Hoàng Quốc Huy – Lớp toán 3 – ĐHSP Hà Nội
9
Đề tài:" Dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS "
Với ví dụ này có thể lúc đầu học sinh sẽ gặp lúng túng trong cách xác định
nhân tử chung. Giái viên có thể đưa gợi ý:
? Tìm nhân tử chung của các hệ số 10 và 8 ? (Học sinh trả lời là: 2)
? Tìm nhân tử chung của x(x – y) và y(y – x) ?
(Học sinh có thể trả lời là: (x – y) hoặc (y – x) hoặc không xác định
được )
- GV gợi ý học sinh đổi dấu (x – y) thành (y - x) hoặc ngược lại để xuất
hiện nhân tử chung.Ta có: (y – x) = - (x – y). Vậy ví dụ 2 được giải như sau:
Giải: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) – (- 8y(x – y))
= 10x(x – y) + 8y(x – y)
= 2(x – y).5x + 2(x – y).4y
= 2(x – y)(5x + 4y)
Ví dụ 1.4: Phân tích Đa thức 2x (y - z ) + 5y (z - y ) thành nhân tử
Giải: 2x (y - z ) + 5y (z - y )
= 2x(y -z ) - 5y(y -z )
= (y- z)(2x - 5y)
Chú ý: FG,&H,+E;,#I<+,C
;%,J+2KL%K((
+ Một số lưu ý khi sử dụng phương pháp.
Ví dụ 1 : Phân tích đa thức 15x
2
y
2
– 9x
3
y + 3x
2

y thành nhân tử.
12 15x
2
y
2
– 9x
3
y + 3x
2
y
= 3x
2
y.5y - 3x
2
y.3x+ 3x
2
y
= 3x
2
y ( 5y - 3x + 0) %&/0,345678(
Sai lầm ở đây là cách viết các hạng tử còn lại trong ngoặc, Học sinh đã bỏ
sót số 1 (HS cho rằng ở bước thứ hai khi đặt nhân tử chung 3x
2
y thì hạng tử
thứ 3 trong ngoặc còn lại là số 0)
1#2 15x
2
y
2
– 9x

3
y + 3x
2
y
= 3x
2
y.5y - 3x
2
y.3x+ 3x
2
y.1
= 3x
2
y ( 5y - 3x + 1

)
Ví dụ 2 : Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)
2
thành nhân tử.
12 9x(x – y) – 10(y – x)
2
= 9x(x – y) + 10(x – y)
2
%<+,(
= (x – y)[9x + 10(x – y)] %-.(
= (x – y)(19x – 10y) %&/0,(
Sai lầm của học sinh ở đây là2
Thực hiện đổi dấu sai: (y – x)
2
= - (x – y)

2
nên dẫn đến :
9x(x – y) – 10(y – x)
2
= 9x(x – y) + 10(x – y)
2
là sai
- Ta có: ( x – y )
2
= (y – x )
2
nên 9x(x – y) – 10(y – x)
2
= 9x(x – y) – 10(x –
y)
2

Học viên:Hoàng Quốc Huy – Lớp toán 3 – ĐHSP Hà Nội
10
Đề tài:" Dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS "
1#2 9x(x – y) – 10(y – x)
2
= 9x(x – y) – 10(x – y)
2

= (x – y)[9x – 10(x – y)]
= (x – y)(10y – x)
+ Chú ý: M4 B?!7,4N,2K
O
L%K(

O
%P<0,C2Q-RS?:!7,4N,(
c. Bài tập áp dụng.
Dạng 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
1.
21x
2
y - 27y
3
2.
7x(x - 1) – 4x(x - 1)
3.
x(x + y) – 5xy(y - x)
4.
x
2
+ 7x
3
+ x
2
y
5.
5
2
x(y - 1) -
5
2
y(1 - y)
6.
3x

2
(2z - y) - 21x(y - 2z)
2
7.
2x
2
(3y - z) + (3y- z)(x + y) + (z - 3y)
Dạng 2: Tính nhanh:
1) 85.12,9 + 5.3.12,9
2) 52.143 – 52.39 – 8.26
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức:
1. 15.91,5 + 150.0,85
2. x(x-1) – y(1 – x) tại x = 2001 ; y = 1999
3. x
2
+ xy + x tại x = 77; y = 22
4. x(x-y) + y(y-x) tại x = 53; y = 3
Dạng 4: Tìm x, biết:
1. 5x(x-2012) – x + 2012 = 0
2. x
3
– 15x = 0
3. x + 7x
2
= 0
4. x + 3 = (x + 3)
2
5. x
3
+ x = 0

Dạng 5: Chứng minh tính chia hết:
1. Chứng minh dằng : 57
n + 1
– 57
n
chia hết cho 56 (với n là số tự nhiên)
2. Chứng minh dằng : n
2
(n + 1) + 2n(n + 1) luôn chia hết cho 6 với mọi
số nguyên n.

3.2.1.2 Phương pháp 2: Dùng hằng đẳng thức
a. Phương pháp:
- Sử dụng bảyNT!CDD<*E,
3G
1. A
2
+ 2AB + B
2
= (A + B)
2
2. A
2
– 2AB + B
2
= (A – B)
2

3. A
2

– B
2
= (A – B)(A + B)
4. A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3
= (A + B)
3

Học viên:Hoàng Quốc Huy – Lớp toán 3 – ĐHSP Hà Nội
11
Đề tài:" Dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS "
5. A
3
– 3A
2
B + 3AB
2
– B
3
= (A – B)
3

6. A
3

+ B
3
= (A + B)(A
2
– AB + B
2
)
7. A
3
– B
3
= (A – B)(A
2
+ AB + B
2
)
b. Ví dụ:
Phân tích các Đa thức sau thành nhân tử
Ví dụ 1: 16x
2
+ 8xy + y
2
= (4x
2
) + 2.4x.y + y
2
= (4x + y)
2
Ví dụ 2: 9x
2

- 12x + 4 = (3x)
2
- 2.3x.2 + 2
2
= (3x - 2)
2

Ví dụ 3: a. (x - y)
2
– (x

+ y)
2
= [(x - y) – (x + y)].[(x - y) + (x + y)]
= (x - y – x - y)(x - y + x + y)
= (- 2y).2x = - 4xy
b. 9x
2
- 4 = (3x)
2
- 2
2
= (3x-2)(3x+2)
c. 16x
2
- 9(x + y)
2
= (4x)
2
- [3(x + y)]

2

= (x - 3y)(7x + y)
Ví dụ 4: 8x
3
- 12x
2
y + 6xy
2
- y
3
= (2x)
3
- 3.(2x)
2
y + 3.2x.y
2
- y
3
= (2x - y)
3
Ví dụ 5: 27 + 27x + 9x
2
+ x
3
= 3
3
+ 3.3
2
.x +3.3.x

2
+ x
3

= (3 + x)
3
Ví dụ 6: 27x
3
+ y
3
= (3x)
3
+ y
3
= (3x + y)(9x
2
– 3xy + y
2
)
Ví dụ 7: 1 - 8x
3
y
6
= 1
3
– (2xy
2
)
3
= (1 – 2xy

2
)[1
2
+ 1. 2xy
2
+ (2xy
2
)
2
]
= (1 – 2xy
2
)(1 + 2xy
2
+ 4x
2
y
4
)
+ Khai thác ví dụ2
Qua các ví dụ trên giáo viên có thể hướng cho học sinh cách nhận dạng và
vận dụng một cách hợp lý các hằng đẳng thức trong quá trình phân tích đa
thức thành nhân tử. Khi gặp bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà:
- Nếu gặp Đa thức có 3 hạng tử, trong đó có 2 hạng tử có dạng bình
phương (A
2
và B
2
) và hạng tử còn lại có thể phân tích được dưới dạng (2.A.B)
hoặc (– 2.A.B ) thì tìm cách phân tích đưa về dạng hằng đẳng thức (1) hoặc

(2) (Ví dụ 1; 2)
- Nếu gặp Đa thức có dạng một hiệu của hai hạng tử (hoặc hai biểu thức)
mà hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) đó có dạng hoặc có thể phân tích, đưa
được về dạng hiệu hai bình phương (A
2
– B
2
) thì áp dụng hằng đẳng thức thứ
(3) (Ví dụ 3)
- Nếu gặp Đa thức có 4 hạng tử, trong đó có 2 hạng tử có dạng (hoặc có
thể phân tích đưa về dạng) lập phương (A
3
và B
3
hoặc A
3
và -B
3
) hai hạng tử
còn lại có thể phân tích đưa về dạng 3.A
2
.B + 3.A.B
2
(hoặc - 3.A
2
.B +
3.A.B
2
) thì áp dụng hằng đẳng thức thứ (4) hoặc thứ (5) (Ví dụ 4; 5)
- Nếu gặp Đa thức có dạng một hiệu hoặc một tổng của hai hạng tử (hoặc

hai biểu thức) mà hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) đó có thể phân tích, đưa
được về dạng lập phương (A
3
và B
3
) thì áp dụng hằng đẳng thức thứ (6) hoặc
(7). (Ví dụ 6; 7)
+ Chú ý2:'&I <+,C;=DC U"N
T!
Học viên:Hoàng Quốc Huy – Lớp toán 3 – ĐHSP Hà Nội
12
Đề tài:" Dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS "
Ví dụ : Phân tích đa thức - x
4
y
2
+ 8x
2
y - 16 thành nhân tử:
Giải: - x
4
y
2
- 8x
2
y - 16 = - (x
4
y
2
- 8x

2
y + 16)
= - [(x
2
y)
2
- 2.x
2
y.4 + 4
2
]
= - (x
2
y - 4)
2
c. Bài tập áp dụng.
Phân tích đa thức thành nhân tử.
1. a. x
2
+ 12x + 36
b. 100x – 2500 – x
2
2. a. x
2
+ 9y
2
– 6xy
b. 14x – 49 – x
2
3. a. 121x

2
– 25
b. (7x + 1)
2
- (2x + 1)
2
c.
25
1
x
2
– 49y
2
4. a. 27x
3
+
27
1
b. x
3
-
8
1
c. (a + b)
3
– (a - b)
3
5. x
3
+ y

3
+ z
3
– 3xyz
Hướng dẫn: áp dụng bài 31 (sgk – tr 16) ta có:
x
3
+ y
3
= (x + y)
3
– 3xy(x + y)
Do đó : x
3
+ y
3
+ z
3
– 3xyz = [(x + y)
3
+ z
3
] + [-3xy(x + y) - 3xyz]
= (x + y + z)[(x + y)
2
– z(x + y) + z
2
] – 3xy(x + y +z)
= (x + y + z)(x
2

+ y
2
+ x
2
– xy – xz -zy)
Tính nhanh:
1. a. 25
2
– 15
2
b. 37
2
– 13
2
c. 2009
2
- 9
2
Tìm x .biết:
1. 2 – 49x
2
= 0
2. x
2
– x +
4
1
= 0
3. x
3

– 0,25x = 0
4. x
2
– 10x = - 25

3.2.1.3 Phương pháp 3: Nhóm nhiều hạng tử
a. Phương pháp
Lựa chọn các hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất
hiện một trong hai dạng sau **;,*VN
T!.
b.Ví Dụ:
Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp đặt nhân tử chung:
Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. x
2
– xy + x – y %MR WX(YZ[OO(
b. xy - 5y + 2x – 10
c. 2xy + z +2x +yz
Học viên:Hoàng Quốc Huy – Lớp toán 3 – ĐHSP Hà Nội
13
Đề tài:" Dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS "
Giải: a)\C8: nhóm (x
2
– xy) và (x – y)
x
2
– xy + x – y = (x
2
– xy) + (x – y)
= x(x – y) + 1.(x – y)

= (x – y)(x + 1)
\CO: nhóm (x
2
+ x) và (– xy – y )
x
2
– xy + x – y = (x
2
+ x) - ( xy + y )
= x(x + 1) - y(x + 1)
= (x + 1)(x - y)
b. xy - 5y + 2x - 10 = (xy - 5y) + (2x -10)
= y(x - 5) + 2(x - 5)
= (x - 5)(y + 2)
c)\C8: nếu nhóm (2xy + z) và (2x +yz)
Ta có 2xy + z +2x +yz = (2xy + z) +(2x +yz) %!&'H 
"(
\CO2 nếu nhóm (2xy + 2x) và (z + yz)
Ta có 2xy + z +2x +yz = (2xy + 2x) + (z + yz)
= 2x(y + 1) + z(y + 1)
= (y + 1)(2x + z)
Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp dùng hằng đẳng thức.
Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a. x
2
– 2x + 1 – 9y
2

b. x
2

+ 4x – y
2
+ 4
Giải2
a. x
2
– 4x + 4 – 9y
2
= (x
2
– 2x + 1) – (3y)
2

= (x – 1)
2
– (3y)
2

= (x – 1 – 3y)(x – 1 + 3y)
b.
\C8. Nhóm: (x
2
+ 4x) và – (y
2
- 4 ) ta có
x
2
+ 4x – y
2
+ 4 = (x

2
+ 4x) - (y
2
- 4 )
= x(x + 4) – (y – 2)(y + 2) %:!&'H 
/ (
\CO) Nhóm x
2
+ 4x + 4) – y
2
ta có
x
2
+ 4x – y
2
+ 4 = (x
2
+ 4x + 4) – y
2
= (x + 2)
2
– y
2
= (x + 2 – y)(x + 2 +y)
Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên:
Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a. x
2
– 2x – 4y
2

– 4y
b. x
3
– x + 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3
– y
Giải2a)Cách 1: Nhóm (x
2
– 2x) và (- 4y
2
- 4y) ta có
Học viên:Hoàng Quốc Huy – Lớp toán 3 – ĐHSP Hà Nội
14
Đề tài:" Dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS "
x
2
– 2x – 4y
2
– 4y = (x
2
– 2x) – (4y
2
+ 4y)
= x(x - 2)–4y(y + 1)%:!&' /
"(
Cách 2: Nhóm (x

2
– 4y
2
) và ( - 2x - 4y ) ta có
x
2
– 2x – 4y
2
– 4y = (x
2
– 4y
2
) - ( 2x + 4y )
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y)
= (x + 2y)(x – 2y – 2)
b. Cách 1: Nhóm (x
3
– x) và (3x
2
y + 3xy
2
) và (y
3
– y )
Ta có x
3
– x + 3x
2
y + 3xy
2

+ y
3
– y
= (x
3
– x) + (3x
2
y + 3xy
2
) + (y
3
– y )
= x(x
2
- 1) +3xy(x + y) + y(y
2
- 1)
= x(x – 1)(x + 1) + 3xy(x + y) + y(y - 1)(y + 1)
%:!&'H / (
Cách 2: Nhóm (x
3
+ 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3
) và (- x - y) ta có
x
3

– x + 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3
– y = (x
3
+ 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3
) – (x + y)
= (x + y)
3
– ( x + y)
= (x + y)[(x + y)
2
- 1]
= (x + y)(x + y - 1)(x + y +1)
Khai thác ví dụ:
Qua các ví dụ trên ta có thể rút ra nhận xét: ở ví dụ 1 a,b nếu ta nhóm
các hạng tử 1 với 2, 3 với 4 hoặc 1 với 3 và 2 với 4 ta đều có thể phân tích
được đa thức thành nhân tử. Nhưng nếu ta nhóm hạng tử thứ 1 với hạng tử
thứ 4 thì đa thức không thể phân tích dược. Tương tự ở trường hợp (1.c) nếu
ta nhóm hạng tử 1 với 2 và 3 với 4 thì đa thức không thể phân tích được, đa
thức chỉ có thể phân tích được khi ta nhóm hạng tử thứ 1 với hạng tử thứ 2 và
thứ 3 với thứ 4. Tương tự như thế đối với các ví dụ còn lại.

Như vậy đa thức chỉ có thể phân tích được tiếp sau khi nhóm một cách
hợp lý các hạng tử, Việc nhóm một cách hợp lý các hạng tử trong đa thức
thường không phụ thuộc vào quy tắc xác định nào, mà chỉ dựa vào kinh
nghiệm trong quá trình giải toán và dựa vào các mối quan hệ sau:
- Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài toán.
- Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn:
]^_6=G, ")
]Y,& !;`=_6=40,C4
; / UE"@)
Chú ý: Trong quá trình nhóm các hạng tử, phải chú ý tới dấu của các hạng
tử sau khi nhóm.
ở ví dụ 3a: Phân tích đa thức x
2
– 2x – 4y
2
– 4y thành nhân tử. Học
sinh có thể đưa ra lời giải sau.
12 x
2
– 2x – 4y
2
– 4y = (x
2
– 4y
2
) – (2x – 4y ) %*+,(
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) %-
.(
Học viên:Hoàng Quốc Huy – Lớp toán 3 – ĐHSP Hà Nội
15

Đề tài:" Dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS "
= (x – 2y)(x + 2y – 2) %&/0,+,
(
Sai lầm của học sinh là2
Nhóm x
2
– 2x – 4y
2
– 4y = (x
2
– 4y
2
) – (2x – 4y ) %<+,?
;`*!,&6=(
Ta có: x
2
– 2x – 4y
2
– 4y = (x
2
– 4y
2
) – (2x + 4y ) nên
1#2 x
2
– 2x – 4y
2
– 4y = (x
2
– 4y

2
) - (2x + 4y )
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y)
= (x + 2y)(x – 2y – 2)
* Lưu ý2Y,& !;`=_6=40,C4
; "/ U/,&'E"@4
C6=6a*6HbI=+,0,C46= 
E)%cU8)\C8dcUOC8dcUeC8(
c. Bài tập áp dụng.
Phân tích đa thức thành nhân tử.
1.
x
2
– 3x – y
2
– 3y
2.
x
2
– 4xy + 4y
2
– z
2
3.
3x
2
– 3xy – 7x + 7y
4.
xz + yz – 11(x + y)
5.

a
3
– a
2
x – ay + xy
6.
xy(x + y) + yz(y+ z) + xz(x + z) + 2xyz
7.
x
2
+ 16x – y
2
+ 16
8.
x
2
– 6xy + 9y
2
–z
2
+ 6zt –9 t
2
9.
5x
2
+ 10xy + 5y
2
– 5z
2
10.

2x
3
– 5x
2
+ 2x – 5
Tính nhanh giá trị của mỗi đa thức
1. x
2
– 2xy – 9z
2
+ y
2
tại x = 6; y = -4; z = 30
2. 3(x - 3)(x + 7) + (x - 4)
2
+ 48 tại x = 0,5
Tìm x ; biết
1. x(x - 5) + x - 5 = 0
2. 5x(x - 7) – x + 7 = 0
Trong quá trình giải toán phân tích đa thức thành nhân tử, chúng ta không
thể chỉ vận từng phương pháp riêng lẻ.Thực tế có nhiều bài toán để phân tích
được cần phải có sự phối hợp giữa các phương pháp. Vì vậy ngoài 3 phương
pháp đã nêu ở trên, trong chương trình SGK toán 8 còn giới thiệu thêm một
phương pháp nữa, đó là: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp
nhiều phương pháp.
3.2.1.4 Phương pháp 4: Phối hợp nhiều phương pháp
a. Phương pháp:
Học viên:Hoàng Quốc Huy – Lớp toán 3 – ĐHSP Hà Nội
16
Đề tài:" Dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS "

Là sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp 6=G,
;*;,VNT!. Vì vậy học sinh cần nhận xét bài
toán một cách cụ thể, mối quan hệ của các hạng tử và tìm hướng giải thích
hợp.
Khi phải phân tích một đa thức thành nhân tử nên theo các bước sau:
- Đặt nhân tử chung nếu tất cả các hạng tử có nhân tử chung.
- Dùng hằng đẳng thức nếu có.
- Nhóm nhiều hạng tử( thường mỗi nhóm có nhân tử chung, hoặc là
hằng đẳng thức) nếu cần thiết phải đặt dấu “-” trước ngoặc và đổi dấu các
hạng tử.
b. Ví dụ: Phân tích các Đa thức sau thành nhân tử
Ví dụ 1 : 5xy
2
- 20xy + 20x = 5x( y
2
- 4y + 4) (Đặt nhân tử chung)
= 5x (y - 2 )
2
(Dùng hằng đẳng thức)
Ví dụ 2: 3x
2
+ 6x + 3 – 3y
2
= 3(x
2
+ 2x + 1 – y
2
) (Đặt nhân tử chung)
= 3[(x
2

+2 x + 1) – y
2
] (Nhóm các hạng tử)
= 3[(x + 1)
2
– y
2
] (Dùng hằng đẳng thức)
= 3(x + 1 - y)(x + 1 + y)
Ví dụ 3: 3x – 3y – x
2
+ 2xy – y
2
= (3x – 3y) – (x
2
- 2xy + y
2
) (Nhóm các hạng tử)
= 3(x - y) – (x - y)
2
(Dùng hằng đẳng thức)
= (x - y)[3 – (x - y)] (Đặt nhân tử chung)
= (x - y)(3 – x + y)
Ví dụ 4: 7x
5
y
2
- 14x
4
y

2
- 7x
3
y
4
- 14x
3
y
3
z - 7x
3
y
2
z
2
+ 7x
3
y
2

= 7x
3
y
2
(x
2
- 2x - y
2
- 2yz - z
2

+ 1) (Đặt nhân tử chung)
= 7x
3
y
2
[(x
2
- 2x +1) - (y
2
+ 2yz + z
2
)] (Nhóm các hạng tử)
= 7x
3
y
2
[(x - 1)
2
- (y + z)
2
] (Dùng hằng đẳng thức)
= 7x
3
y
2
(x - 1 - y - z)(x - 1 + y + z)
Ví dụ 5: 5x
3
y - 10x
2

y - 5xy
3
- 10axy
2
- 5a
2
xy +5xy
=5xy(x
2
- 2x - y
2
- 2ay - a
2
+ 1) (Đặt nhân tử chung)
=5xy
2 2 2
(x 2x 1) (y 2ay a )
 
− + − + +
 
(Nhóm các hạng tử)
=5xy
( ) ( )
2 2
x 1 y a
 
− − +
 
(Dùng hằng đẳng thức)
=5xy

( ) ( ) ( ) ( )
x 1 y a x 1 y a
   
− − + − + +
   
(Dùnghằngđẳng thức)
= 5xy( x - 1 - y - a)(x - 1 + y +a )
Ví dụ 6: Phân tích đa thức A = (x + y + z)
3
– x
3
– y
3
– z
3
thành nhân tử.
%MR fXYMPgChR 8(d
Trong ví dụ này có nhiều cách giải, học sinh cần phải linh hoạt lựa
chọn cách giải phù hợp nhất, gọn nhất.
i UNT!2(A + B)
3
= A
3
+ B
3
+ 3AB(A + B)
Y,E0,,2A
3
+ B
3

= (A + B)
3
– 3AB(A + B).
Giải2
Học viên:Hoàng Quốc Huy – Lớp toán 3 – ĐHSP Hà Nội
17
Đề tài:" Dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS "
A = (x + y + z)
3
– x
3
– y
3
– z
3
= [(x + y) + z]
3
– x
3
– y
3
– z
3
= (x + y)
3
+ z
3
+ 3z(x + y)(x + y + z) – x
3
–y

3
– z
3
= [(x + y)
3
– x
3
– y
3
] + 3z(x + y)(x + y + z)
= 3xy(x + y) + 3(x + y)(xz + yz + z
2
)
= 3(x + y)( xy + xz + yz + z
2
)
= 3(x + y)(y + z)(x + z)
Khai thác ví dụ :
Quan sát ví dụ 1; 2 ta thấy các hạng tử của đa thức có nhân tử chung.
Ta sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung trước, (sau khi đặt nhân tử chung
ta thấy các hạng tử còn lại trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức) sau đó nhóm
các hạng tử thích hợp, dùng hằng đẳng thức phân tích tiếp đa thức. Ví dụ 3 ta
thấy các hạng tử không có nhân tử chung, chỉ có hạng tử thứ nhất và hạng tử
thứ hai có nhân tử chung, 3 hạng tử còn lại có dạng hằng đẳng thức, vì vậy
chúng ta sử dụng phương pháp nhóm hạng tử trước, tiếp đó tiến hành phân
tích từng nhóm (bằng phương pháp đặt nhân tử chung và hằng đẳng thức)
xuất hiện nhân tử chung, đa thức được phân tích tiếp. Các ví dụ còn lại làm
tương tự.
Như vậy để phân tích đa thức thành nhân tử chúng ta có thể sử dụng
phối hợp nhiều phương pháp nhưng không nhất thiết phải theo một trình tự

nhất định nào. Các phương pháp được sử một cách phù hợp trong từng trường
hợp, từng bài toán cụ thể.
Lưu ý :[ !;I  !6
=>CEH)
Ví dụ: Phân tích đa thức x
4
– 9x
3
+ x
2
– 9x thành nhân tử.
Học sinh có thể đưa ra các lời giải sau:
1). x
4
– 9x
3
+ x
2
– 9x = x(x
3
– 9x
2
+ x – 9) % EH(
2). x
4
– 9x
3
+ x
2
– 9x = (x

4
– 9x
3
) + (x
2
– 9x)
= x
3
(x – 9) + x(x – 9)
= (x – 9)(x
3
+ x) % EH(
\..j
Lời giải đúng2 x
4
– 9x
3
+ x
2
– 9x = x(x
3
– 9x
2
+ x – 9)
= x[(x
3
– 9x
2
) + (x – 9)]
= x[x

2
(x – 9) + 1.(x – 9)]
= x(x – 9)(x
2
+ 1)
c. Bài tập áp dụng.
Phân tích đa thức thành nhân tử.
1. x
4
+ 4x
3
+ 4x
2
2 .x
3
– 6x
2
+ 9x
3. 7x
2
– 14xy + 7y
2
– 28z
2
4. x
3
+ 2x
2
y + xy
2

– 9x
5. x
4
- 2x
2
Học viên:Hoàng Quốc Huy – Lớp toán 3 – ĐHSP Hà Nội
18
Đề tài:" Dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS "
6. x
3
– 5x + 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3
– 5 y
7. 5x
2
+ 5xy – 3x – 3y
8. 20z
2
– 5x
2
– 10xy – 5y
2
Tìm x .biết :
1. 5x(x - 2) = x – 2
2. 2(x + 4) – x
2

– 4x = 0
3. 9x
3
-
4
1
x = 0
4. (2x
2
- 1) – (3x + 4)
2
= 0
5. x
2
(x - 3) + 21 – 7x = 0
Tính nhanh :
1. x
2
+
2
1
x +
16
1
tại x = 49,75
2. x
2
– y
2
– 2y – 1 tại x = 93 và y = 6

Chứng minh :
1) (5n + 2)
2
– 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.
2) n
3
– n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
+ Khai thác ví dụ 62Từ ví dụ 6 ta có thể mở rộng cho các bài tập sau:
1) Chứng minh rằng A chia hết cho 6 với mọi x, y, z nguyên.
2) Cho x + y + z = 0. Chứng minh x
3
+ y
3
+ z
3
= 3xyz %MR ehYMPX(
kDl2
mV
e
]
e
L%](
e
ne%](3]]oLpd
⇔
]Lno
3) Phân tích đa thức x
3
+ y
3

+ z
3
– 3xyz thành nhân tử %MR OhYMP
q(
kDl2 mV
e
]
e
L%](
e
ne%](
Trong chương trình sách giáo khoa Toán 8 hiện hành chỉ giới thiệu bốn
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đó là: :*;,V
NT!6=G,;, 7" G, B C . Tuy
nhiên trong phần bài tập lại có những bài không thể áp dụng ngay bốn phương
pháp trên để giải, %\TR fefX&rOWOf(. Sách giáo
khoa có gợi ý cách “ C ” một hạng tử thành hai hạng tử khác hoặc “ .=
3DV=>;” thích hợp rồi áp dụng các phương pháp trên để
giải. Xin giới thiệu thêm về hai phương pháp này, để học sinh vận dụng rộng
rãi trong thực hành giải toán.
3.2.2 Các phương pháp khác (nâng cao)
3.2.2.1 Phương pháp 5: Phương pháp tách hạng tử (áp dụng đối với đa
thức bậc hai ax
2
+ bx + c).
a. Phương pháp:
- Tách một trong các hạng tử của đa thức thành hai hạng tử để đa thức
xuất hiện dạng nhân tử chung hoặc có dạng hằng đẳng thức.
b. Ví dụ:
Ví dụ 1: Phân tích đa thức x

2
- 6x + 8 thành nhân tử.
Học viên:Hoàng Quốc Huy – Lớp toán 3 – ĐHSP Hà Nội
19
Đề tài:" Dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS "
Quan sát Đa thức trên ta thấy các hạng tử không có nhân tử chung, cũng
không có dạng của một hằng đẳng thức đáng nhớ nào và cũng không thể
nhóm các hạng tử. Như vậy để phân tích đa thức trên thành nhân tử chung ta
cần phải có cách biến đổi khác. Ta biến đổi đa thức ấy thành đa thức có nhiều
hạng tử hơn bằng cách tách một trong các hạng tử của đa thức thành 2 hay
nhiều hạng tử.
Giải:
Cách 1: (C;RO2x
2
)
x
2
- 6x + 8 = 3x
2
- 6x - 2x
2
+ 8
= 3x(x - 2) - 2(x
2
- 4) = (x - 2)[3x - 2(x + 2)]
= (x - 2)(x - 4)
Cách 2: (C;R82- 6x)
x
2
- 6x + 8 = x

2
- 2x - 4x + 8
= x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4)
Cách 3: (C;R+3;:)
x
2
- 6x + 8 = x
2
- 4x + 4 - 2x + 4
= (x - 2)
2
- 2(x - 2) = (x - 2)(x - 4)
Cách 4: (C;:)
x
2
- 6x + 8 = x
2
- 6x + 9 - 1
= (x - 3)
2
- 1 = (x - 2)(x - 4)
x
2
- 6x + 8 = x
2
- 4 - 6x + 12
= (x - 2)(x + 2) - 6(x - 2) = (x - 2)(x - 4)
x
2
- 6x + 8 = x

2
- 16 - 6x + 24
= (x - 4)(x + 4) - 6(x - 4) = (x - 4)(x - 2)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức f(x) = 3x
2
– 8x + 4 thành nhân tử.
Z"JC %#J6G,C (
Giải: \C8%C;R : 3x
2
(
3x
2
– 8x + 4 = 4x
2
– 8x + 4 – x
2

= (2x – 2)
2
– x
2

= (2x – 2 – x)( 2x – 2 + x)
= (x – 2)(3x – 2)
\CO %C;R+2 – 8x(
3x
2
– 8x + 4 = 3x
2
– 6x – 2x + 4

= 3x(x – 2) – 2(x – 2)
= (x – 2)(3x – 2)
\Ce%C;; : 4(
3x
2
– 8x + 4 = 3x
2
– 12 – 8x + 16
= 3(x
2
– 2
2
) – 8(x – 2)
= 3(x – 2)(x + 2) – 8(x – 2)
= (x – 2)(3x + 6 – 8)
Học viên:Hoàng Quốc Huy – Lớp toán 3 – ĐHSP Hà Nội
20
Đề tài:" Dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS "
= (x – 2)(3x – 2)
Nhận xét2 Từ ví dụ trên (2), ta thấy việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử
nhằm:
- Làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương. %cUOC
8(
- Làm xuất hiện các hệ số ở mỗi hạng tử tỷ lệ với nhau, nhờ đó làm xuất
hiện nhân tử chung x – 2. %3UeCO(
- Làm xuất hiện hằng đẳng thức và nhân tử chung. %3UOCe(
c43R3EC;G,;&CN==,+
EC B C a$2:*;,VNT!
6=G,;3E=/!I/73D$
C)

Khai thác cách giải tách hạng tử bậc nhất:
Nhận xét: Trong các cách giải trên, ở cả hai ví dụ ta thấy cách 2 là đơn
giản và dễ làm nhất. Ở đây ta đã tách hạng tử bậc nhất - 8x (ví dụ 2) thành 2
hạng tử - 6x và - 2x. Trong đa thức 3x
2
– 6x – 2x + 4 ta thấy hệ số ở các số
hạng là: 3, – 6, –2, 4 các hệ số thứ 2 và thứ 4 đều gấp - 2 lần hệ số liền trước
và tỷ lệ nhau
6 4
3 2
−
=
−
hay (– 6).( – 2)= 3.4 và (– 6) + ( – 2)= – 8, nhờ đó xuất
hiện thừa số chung (x - 2).
Phân tích: -P!e
O
nh]W6LeL– hLW
Tính tích a.c và phân tích a.c = b
1
.b
2
sao cho b
1
+ b
2
= b
(ac = b
1
.b

2
= 3.4 = (– 6).( – 2) = 12; b
1
+ b
2
= b = (– 6) + ( – 2)= – 8)
Tổng quát2
Để phân tích đa thức dạng ax
2
+ bx + cthành nhân tử ta đưa về dạng
ax
2
+ b
1
x + b
2
x + cbằng cáchtách hạng tử bx thành b
1
x + b
2
x sao cho

1
=
2

hay b
1
b
2

= ac
Trong thực hành ta làm như sau:
MD82 Lập tích ac.
MDO2 Phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách
MDe2 Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.
Áp dụng2
Phân tích đa thức: – 6x
2
+ 7x – 2 thành nhân tử %MR ef(YMPX(
Ta có: a = – 6 ; b = 7 ; c = – 2
MD82 ac = (–6).(–2) = 12
MDO2 ac = (–6).(–2) = (–4).(–3) =(–12).(–1) = 6.2 = 4.3 = 12.1
MDe2 b L7 = 4 + 3
Vậy ta tách hạng tử: 7x = 4x + 3x
Khi đó ta có lời giải: – 6x
2
+ 7x – 2 = – 6x
2
+ 4x + 3x – 2
Học viên:Hoàng Quốc Huy – Lớp toán 3 – ĐHSP Hà Nội
21
Đề tài:" Dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS "
= (– 6x
2
+ 4x) + (3x – 2)
= –2x(3x – 2) + (3x – 2)
= (3x – 2)(–2x + 1)

Chú ý:
:!

O
]]
O
& C=B!
RO=>/
Ví dụ:3 Phân tích đa thức sau thành nhân tử 4x
2
- 7xy + 3y
2

Giải
Cách 1: 4x
2
- 7xy + 3y
2
= 4x
2
- 4xy - 3xy + 3y
2

= 4x(x - y) - 3y(x - y)
= (x - y)(4x - 3y)
Cách 2: 4x
2
- 7xy + 3y
2
= 4x
2
- 8xy + 4y
2

+ xy - y
2
= 4(x
2
- 2xy + y
2
) + y(x - y)
= 4(x - y)
2
+ y(x - y)
= (x - y)(4x - 3y)
:!R
O
]]&' C;
 =37@,s)F/,2
[ )O-7,.N=$C&'6O
-76<N)
Ví dụ: đa thức x
2
+ 4x + 6 có a = 1; b = 6
=> a.c = 6 = 1.6 = 2.3 = (-1)(-6) = (-2)(-3)
không có 2 thừa số nào có tổng bằng b = 4.
- Hoặc sau khi đưa đa thức bậc 2 về dạng a(x
2
- k) thì k không phải là
bình phương của một số hữu tỷ.
Ví dụ: x
2
+ 4x + 6 = (x
2

+ 4x + 4) + 2 = (x + 2)
2
+ 2 = (x + 2)
2
- (- 2);
(-2) không phải là bình phương của một số hữu tỷ nào. Vậy đa thức x
2
+ 4x + 6
không phân tích được thành tích.
Lưu ý::73D!t%(6R-`.H=,+ECE7
jE,uv*H=?CE7=6CC. V"
N=H3RU B C 6=*NT!**;
,)
Ví dụ .4: Phân tích đa thức sau ra thừa số : n
3
– 7n + 6
Giải2 n
3
– 7n + 6 = n
3
– n – 6n + 6
= n(n
2
– 1) – 6(n – 1)
= n(n – 1)(n + 1) – 6(n – 1)
= (n – 1)[n(n + 1) – 6]
= (n – 1)(n
2
+ n – 6)
= (n – 1)(n

2
– 2n + 3n – 6)
= (n – 1)(n(n – 2) + 3(n – 2))
= (n – 1)(n – 2)(n + 3)
Học viên:Hoàng Quốc Huy – Lớp toán 3 – ĐHSP Hà Nội
22
Đề tài:" Dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS "
Ví dụ 5: Phân tích đa thức x
4
– 30x
2
+ 31x – 30 thành nhân tử.
Ta có cách tách như sau: x
4
– 30x
2
+ 31x – 30 = x
4
+ x – 30x
2
+ 30x – 30
Giải2 x
4
– 30x
2
+ 31x – 30 = x
4
+ x – 30x
2
+ 30x – 30

= x(x
3
+ 1) – 30(x
2
– x + 1)
= x(x + 1)(x
2
– x + 1) – 30(x
2
– x + 1)
= (x
2
– x + 1)(x
2
+ x – 30)
= (x
2
– x + 1)(x – 5)(x + 6)
c. Bài tập áp dụng
* Phân tích đa thức thành nhân tử:
Bài1) a. x
2
- 6x + 5 b. x
2
+ x – 10 c. x
2
+ 7x + 8
d. x
2
– 14x + 1 e. 6x

2
– 11x + 3 f. 9x
2
+ 12x – 5
Bài 2) a. 2x
2
− 3xy + 27y
2
b. 2x
2
– 5xy + 3y
2
.
Bài 3) a. x
2
(y − z) + y
2
(z − x) + z
2
(x − y).
b. xy(x + y) − yz(y + z) + xz(x − z) ;
c. x(y
2
+ z
2
) + y(z
2
+ x
2
) + z(x

2
+ y
2
) + 2xyz ;
d.(x + y)(x
2
− y
2
) + (y + z)(y
2
− z
2
) + (z + x)(z
2
− x
2
) ;
e.x
3
(y − z) + y
3
(z − x) + z
3
(x − y) ;
f.x
3
(z − y
2
) + y
3

(x − z
2
) + z
3
(y − z
2
) + xyz(xyz − 1).
kDl2e. Nhận xét z − x = −(y − z) − (x − y). Vì vậy ta tách hạng tử
thứ hai của đa thức :
x
2
(y − z) + y
2
(z − x) + z
2
(x − y)
= x
2
(y − z) − y
2
(y − z) − y
2
(x − y) + z
2
(x − y)
= (y − z)(x
2
− y
2
) − (x − y)(y

2
− z
2
)
= (y − z)(x − y)(x + y) − (x − y)(y − z)(y + z)
= (x − y)(y − z)(x − z)
\#J2
w,e6HC
−
oL
−
%
−
(
−
%o
−
(
%*o
−
L
−
%
−
o(
−
%
−
((
:!`,e)=>@!6!*

E)[L%Lo*oL(3!4Cb?!
Np)c43RC NCC.xC
NCyCb.%9B C 8p(
Bài 4) a) x
3
– 4x + 3 ; b) x
3
+ 7x – 6 ; (áp dụng ví dụ 4)
Học viên:Hoàng Quốc Huy – Lớp toán 3 – ĐHSP Hà Nội
23
Đề tài:" Dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS "
3.2.2.2 Phương pháp 6: Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
a. Phương pháp:
Thêm bớt cùng một hạng tử để đưa đa thức về dạng hằng đẳng thức hoặc
nhóm nhiều hạng tử. Thông thường hay đưa về dạng a
2
- b
2
sau khi thêm bớt .
b. Ví dụ:
Thêm và bớt cùng một số hạng để làm xuất hiện hằng đẳng thức
Ví dụ 1: Phân tích đa thức x
4
+ x
2
+ 1 thành nhân tử.
Cách 1: thêm bớt hạng tử x
2
%=,+ENT!(
Ta có x

4
+ x
2
+ 1 = (x
4
+ 2x
2
+ 1) – x
2

= (x
2
+ 1)
2
– x
2
= (x
2
– x + 1)(x
2
+ x + 1)
Cách 2: Thêm bớt hạng tử x
3
%=,+ENT!3*;
,(
x
4
+ x
2
+ 1 = (x

4
– x
3
+ x
2
) + (x
3
+ 1)
= x
2
(x
2
– x + 1) + (x + 1)(x
2
– x + 1)
= (x
2
– x + 1)(x
2
+ x + 1).
x
4
+ x
2
+ 1 = (x
4
+ x
3
+ x
2

) – (x
3
– 1)
= x
2
(x
2
+ x + 1) + (x – 1)(x
2
+ x + 1)
= (x
2
– x + 1)(x
2
+ x + 1).
Cách 3: Thêm x và bớt x: %=,+ENT!3*;
,(
Ta có x
4
+ x
2
+ 1 = x
4
– x + x
2
+ x + 1 = (x
4
– x) + (x
2
+ x + 1)

Giải2 x
4
+ x
2
+ 1 = x
4
– x + x
2
+ x + 1
= (x
4
– x) + (x
2
+ x + 1)
= x(x – 1)(x
2
+ x + 1) + (x
2
+ x + 1)
Ví dụ.2: Phân tích đa thức x
5
+ x
4
+ 1 thành nhân tử.
\C82 Thêm x
3
và bớt x
3
%=,+ENT!3*;
,(

Giải2 x
5
+ x
4
+ 1 = x
5
+ x
4
+ x
3
– x
3
+ 1
= (x
5
+ x
4
+ x
3
) - (x
3
- 1)
= x
3
(x
2
+ x + 1) - ( x - 1 )(x
2
+ x + 1)
= (x

2
+ x + 1)(x
3
– x + 1 )
= (x
2
+ x + 1)(x
2
– x + 1)
Ví dụ 3: Phân tích đa thức x
4
+ 4 thành nhân tử. %MR fX(YZ[Of(
Z"J2 ta nhận thấy: x
4
= (x
2
)
2
và 4 = 2
2
để xuất hiện hằng đẳng thức bình
phương của một tổng, ta cần thêm 2.x
2
.2 = 4x
2
vậy cần bớt 4x
2
để giá trị của
đa thức không đổi.
Giải2

x
4
+ 4 = x
4
+ 4x
2
+ 4 – 4x
2
= (x
2
+ 2)
2
– (2x)
2
= (x
2
+ 2 – 2x)( x
2
+ 2 + 2x)
Học viên:Hoàng Quốc Huy – Lớp toán 3 – ĐHSP Hà Nội
24
Đề tài:" Dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS "
Khai thác bài toán2
Thay “4” thành “ 64y
4
”, ta có bài toán: x
4
+ 64y
4
kDl2

Thêm 16x
2
y
2
và bớt 16x
2
y
2
: %=,+ENT!(
x
4
+ 64y
4
= (x
4
+ 16x
2
y
2
+ 64y
4
) – 16x
2
y
2

= (x
2
+ 8y
2

)
2
– (4xy)
2
= (x
2
+ 8y
2
– 4xy)(x
2
+ 8y
2
+ 4xy)
Thay x
4
thành 4x
4
và 4 thành 81 ta có bài toán : 4x
4
+ 81
kDl2 Thêm 2. 2x
2
.9 = 36x
2
và bớt 36x
2
4x
4
+ 81 = 4x
4

+ 36x
2
+ 81 - 36x
2

= ( 2x
2
+ 9)
2
- (6x)
2
= (2x
2
+ 9 - 6x)(2x
2
+ 9 + 6x)
Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung
Ví dụ 4: Phân tích đa thức x
5
+ x
4
+ 1 thành nhân tử.
Thêm x
3
, x
2
, x và bớt x
3
, x
2

, x %=,+E*;,(
Giải: x
5
+ x
4
+ 1 = x
5
+ x
4
+ x
3
– x
3
+ x
2
– x
2
+ x – x + 1
= (x
5
+ x
4
+ x
3
) + (– x
3
– x
2
– x ) + (x
2

+ x + 1)
= x
3
(x
2
+ x + 1) – x(x
2
+ x + 1) + (x
2
+ x + 1)
= (x
2
+ x + 1)(x
3
– x + 1 )
Ví dụ 5. Phân tích đa thức x
5
+ x − 1 thành nhân tử
Z2 \C8)Thêm x
4
, x
3
, x
2
và bớt x
4
, x
3
, x
2

x
5
+ x − 1 = x
5
− x
4
+ x
3
+ x
4
− x
3
+ x
2
− x
2
+ x − 1
= x
3
(x
2
− x + 1) − x
2
(x
2
− x + 1) − (x
2
− x + 1)
= (x

2
− x + 1)(x
3
− x
2
− 1).
\CO. Thêm và bớt x
2
:
x
5
+ x − 1 = x
5
+ x
2
− x
2
+ x − 1 = x
2
(x
3
+ 1) − (x
2
− x + 1)
= (x
2
− x + 1)[x
2
(x + 1) − 1] = (x
2

− x + 1)(x
3
− x
2
− 1).
Ví dụ 6: Phân tích đa thức x
7
+ x
2
+1 thành nhân tử.
Giải : x
7
+ x
2
+1= x
7
- x + x
2
+ x + 1
= x(x
6
- 1) + (x
2
+ x + 1)
= x(x
3
- 1)(x
3
+ 1) +(x
2

+ x + 1)
= x(x
3
+1)(x -1)(x
2
+ x + 1) + (x
2
+ x + 1)
= (x
2
+ x + 1)(x
5
- x
4
- x
2
+ 1)
Chú ý2\C!6 
W
]
O
]8
f
]]8
f
]
W
]8
X
]

f
]8
z)d<0,C@!
e=]O
]
e]8
]8*
e
n8
q
n8G,6
!;x
2
+ x + 1.
c) Bài tập áp dụng
Phân tích đa thức thành nhân tử:
Bài 1) a. 9x
4
+ 1 ; b) 16x
4
+ y
4
; c.25x
4
- 324
Học viên:Hoàng Quốc Huy – Lớp toán 3 – ĐHSP Hà Nội
25