Tài Liệu Lý Thuyết Xác Suất Và Thống Kê Toán.pdf

TÀI LIỆU LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN
Mơn học Lý thuyết xác suất và thống kê toán bao gồm 2 phần: Lý thuyết xác suất và
Thống kê tốn
• Lý thuyết xác suất:
+ Chương 1: Biến cố và xác suất của biến cố
+Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên
• Thống kê Toán
+Chương 3: Lý thuyết mẫu và bài toán ước lượng tham số lý thuyết của Đại
lượng ngẫu nhiên.
+Chương 4: Kiểm định giả thuyết thống kê
Đề thi kết thúc học phần 90 phút nhưng hiện tại đã được giảm tải còn 60 phút
Dưới đây là lý thuyết và lời giải 1 số bài tập phần Biến cố và xác suất của biến cố và
thường là câu 1 trong đề
Tài liệu dùng để hỗ trợ học tập, không dùng để quay cóp

Lý thuyết Biến cố và xác suất của biến cố
1. Số tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau (k, n là các số tự nhiên k ≤ n)
Giả sử tập hợp A có n phần tử. Mỗi tập hợp con gồm n phần tử của A được gọi là một tổ
hợp chập k của n phần tử đã cho
𝐶𝑛𝑘 =

𝑛!
𝑘! (𝑛 − 𝑘)!

Ví dụ: Một lớp có 30 bạn, chọn ngẫu nhiên 10 bạn tập văn nghệ
10
 Có 𝐶30
cách chọn
2. Phép thử và biến cố

- Phép thử: Thực hiện cơng việc quan sát, thí

nghiệm.
- Biến cố: Là kết quả của phép thử hay kết cục.
Ví dụ: Tung 1 con xúc sắc => thực hiện 1 phép thử.
Giả sử xuất hiện mặt 1 chấm => là biến cố của phép thử
Giả sử xuất hiện mặt 2 chấm => là biến cố của phép thử
• Các loại biến cố
+ Biến cố chắc chắn(U): là biến cố chắc chắn xảy ra sau khi thực hiện phép thử
1


Ví dụ: Tung 1 con xúc xắc => Thực hiện 1 phép thử
Gọi U là biến cố “ xuất hiện mặt có số chấm nguyên dương và nhỏ hơn 7” => đây
chính là biến cố chắc chắn
+ Biến cố khơng thể có(V): là biến cố khơng bao giờ xảy ra sau khi thực hiện phép
thử
Ví dụ: Tung 1 con xúc xắc => Thực hiện 1 phép thử
Gọi V là biến cố “ xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 7” => đây chính là biến cố
khơng thể có
+ Biến cố ngẫu nhiên: là biến cố có thể xảy ra hoặc khơng xảy ra sau khi thực hiện
phép thử Kí hiệu: A,B,C….. A1; A2 ; A3,….
Ví dụ: Một bạn sinh viên đi thi mơn Tốn cao cấp
Gọi A là biến cố “ bạn sinh viên thi qua môn”
Gọi B là biến cố “bạn sinh viên thi trượt môn”

A và B chính là 2 biến cố ngẫu nhiên, có thể xảy ra hoặc không thể xảy ra sau
phép thử
3. Mối quan hệ giữa các biến cố
a, Tổng của các biến cố:
A1 + A 2 + ... + A n : biến cố tổng xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất 1 trong n biến cố
xảy ra sau phép thử

b, Tích của các biến cố:
A1 A2 ...An : biến cố tích xảy ra khi và chỉ khi tất cả các biến cố cùng xảy ra sau
phép thử.
c, Quan hệ xung khắc: 2 biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau nếu chúng không
đồng thời xảy ra sau phép thử
AB=V
d, Quan hệ đối lập:
Biến cố đối của biến cố A ký hiệu 𝐴 ̅
A và 𝐴 ̅ được gọi là đối với nhau nếu có 1 và chỉ 1 biến cố xảy ra sau phép thử
̅
{𝐴 + 𝐴 = 𝑈
𝐴𝐴 ̅ = 𝑉
Ví dụ
Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên trong lớp.
Gọi A là biến cố “sinh viên được chọn là nam ”
Gọi B là biến cố “sinh viên được chọn là nữ”
 A và B là hai biến cố đối lập
2


e, Hệ đầy đủ các biến cố: Các biến cố A1, A2,…,An được gọi là 1 hệ đầy đủ các
biến nếu có 1 và chỉ 1 biến cố xảy ra sau phép thử
Chú ý: 2 biến cố đối lập với nhau lập thành 1 hệ đầy đủ các biến cố
f, Một số mối quan hệ khác
A.A= A

A+A=A
A + U =U

A.U =A

A + V =A

A.V =V

A .( B + C) = AB + AC
Quy tắc đối ngẫu Đờ mooc găng:
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
A1 + A2 + . . . +An = A̅1 . A̅2 … . . A̅n
̅
̅
̅
A̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
1 . A2 . . . An = A1 + A2 + ⋯ + An
4. Xác suất

•

𝑚
Xác suất của biến cố A là P(A)=
𝑛
Trong đó m là các trường hợp thuận lợi cho biến cố A
n là tất cả các trường hợp xảy ra

Ví dụ: Một lớp có 30 bạn trong đó có 10 bạn nam và 20 bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên
1 bạn
Xác suất bạn được chọn là bạn nữ là:
1 (𝑐ℎọ𝑛 1 𝑏ạ𝑛 𝑛ữ 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 20𝑏 𝑛ữ)
𝐶20
1 ( 𝑐ℎọ𝑛 1 𝑏 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑡ổ𝑛𝑔 30𝑏)

𝐶30

=

2
3

• 0  P ( A ) 1
P(U) =1
P(V)= 0
P(𝐴̅) = 1 − 𝑃(𝐴)
• Xác suất có điều kiện của biến cố A với điều kiện biến cố B xảy ra
P(A/B)=

𝑃(𝐴.𝐵)
với P(B)>0
𝑃(𝐵)

• Quan hệ độc lập
Biến cố A và biến cố B được gọi là độc lập với nhau nếu: P(A/B)=p(A)
Biến cố A và biến cố B được gọi là phụ thuộc nếu: P(A/B)≠p(A) hoặc
P(B/A)≠P(B)
3


• Cơng thức tính xác suất của 1 tích
𝑋á𝑐 𝑠𝑢ấ𝑡 𝑐ủ𝑎 𝑡í𝑐ℎ 𝑐á𝑐 𝑏𝑖ế𝑛 𝑐ố
TH1: Các biến cố độc lập
P(A.B)=P(A).P(B)
P(A.B.C)=P(A).P(B).P(C)

TH2: Các biến cố phụ thuộc
P(A.B)=P(B).P(A/B)=P(A).P(B/A)
P(A.B.C)=P(A).P(B/A).P(C/A.B)
• Cơng thức tính xác suất của 1 tổng
𝑋á𝑐 𝑠𝑢ấ𝑡 𝑐ủ𝑎 𝑡ổ𝑛𝑔 𝑐á𝑐 𝑏𝑖ế𝑛 𝑐ố
TH1: Các biến cố xung khắc
P(A+B)=P(A)+P(B)
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)
TH2: Các biến cố không xung khắc
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A.B)
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
5. Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes
Giả sử A1, A2,…,An là 1 hệ đầy đủ các biến cố và B là một biến cố xảy ra trong
cùng phép thử
Công thức xác suất đầy đủ
P(B)=P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+…..+ P(An)P(B/An)
Công thức Bayes
𝑃(𝐴𝑖 )P(B/𝐴𝑖 )
P(𝐴𝑖 /B)=
𝑃(𝐵)
Một số bài giải mẫu
Bài 1: Người ta vận chuyển 1 lô hàng gồm 8 sản phẩm của máy 1, 5 sản phẩm của
máy 2 và 7 sản phẩm của máy 3. Trong quá trình vận chuyển khả năng sản phẩm
của máy 1, máy 2, máy 3 bị xây xước lần lượt là 1,7% ;1,9% và 1,5%. Nơi nhận
được lô hàng lấy 1 sản phẩm ra để kiểm tra
a, Tính xác suất để sản phẩm lấy ra bị xây xước
b, Nếu sản phẩm lấy ra bị xây xước , hỏi khả năng sản phẩm đó của máy nào là lớn
nhất
Bài làm
4

̅̅̅̅
a,Gọi Ai là biến cố “ sản phẩm lấy ra của máy i” i=1,3
 A1,A2,A3 là 1 hệ đầy đủ các biến cố
Ta có:
P(A1)=

8
8+5+7

8

= 20 = 0,4

P(A2)=

5
20

= 0,25

P(A3)=

7
20

= 0,35

Gọi B là biến cố “để sản phẩm lấy ra bị xây xước”

Ta có
P(B/A1)=0,017
P(B/A2)=0,019
P(B/A3)=0,015
Áp dụng cơng thức xác suất đầy đủ
P(B)=P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+ P(A3)P(B/A3)
=0,4x0,017+0,25x0,019+0,35x0,015= 0,0168
Vậy xác suất để sản phẩm lấy ra bị xây xước là 0,0168
b, Áp dụng công thức Bayes
P(A1/B)=

𝑃 (𝐴1)𝑃(𝐵/𝐴1)
𝑃 (𝐵 )

=

P(A2/B)=

𝑃 (𝐴1)𝑃(𝐵/𝐴2)
𝑃 (𝐵 )

=

P(A3/B)=

𝑃 (𝐴1)𝑃(𝐵/𝐴3)
𝑃 (𝐵 )

=

0,4𝑥0,017
0,0168

= 0,4048

0,25𝑥0,019
0,0168
0,35𝑥0,015
0,0168

= 0,2827
= 0,3125

 P(A1/B)> P(A2/B)> P(A3/B)
Vậy nếu sản phẩm lấy ra bị xây xước thì khả năng đó là sản phẩm của máy 1 là
lớn nhất

Bài 2: Người ta phỏng vấn khách hàng về 1 sản phẩm định đưa ra thị trường và
thấy có 50% trả lời Sẽ mua, 36% trả lời Có thể sẽ mua và 14% trả lời Khơng mua.
Kinh nghiệm cho thấy tỷ lệ khách hàng thực sự mua sản phẩm tương ứng với các
cách trả lời trên là: 48%, 21%,1%. Gặp ngẫu nhiên 1 khách hàng
5


a, Tính xác suất để khách hàng này thực sự mua sản phẩm
b, Biết rằng khách hàng này thực sự mua sản phẩm, khả năng khách hàng đó trả lời
Sẽ mua là bao nhiêu
Bài làm
Gọi A1 là biến cố “ khách hàng trả lời Sẽ mua”
A2 là biến cố “ khách hàng trả lời Có thể sẽ mua”

A3 là biến cố “ khách hàng trả lời Không mua”
 A1,A2,A3 là 1 hệ đầy đủ các biến cố
Ta có:
P(A1)=0,5
P(A2)= 0,36
P(A3)= 0,14
Gọi B là biến cố “khách hàng thực sự mua sản phẩm”
Ta có
P(B/A1)=0,48
P(B/A2)=0,21
P(B/A3)=0,01
Áp dụng cơng thức xác suất đầy đủ
P(B)=P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+ P(A3)P(B/A3)
=0,5x0,48+0,36x0,21+0,14x0,01= 0,317
Vậy xác suất để khách hàng thực sự mua sản phẩm là 0,317
b, Áp dụng công thức Bayes
P(A1/𝐵̅ )=

𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵̅ /𝐴1)
𝑃 (𝐵̅ )

=

𝑃 (𝐴1)[1−𝑃(𝐵/𝐴1)]
1−𝑃(𝐵)

=

0,5𝑥(1−0,48)
1−0,317

= 0,3807

Vậy nếu khách hàng thực sự mua sản phẩm, khả năng khách hàng trả lời sẽ mua là
0,3807
Bài 3: Có 3 máy cùng sản xuất 1 loại sản phẩm. Khả năng tạo ra chính phẩm của
máy 1, máy 2, máy 3 lần lượt là 90%, 95% và 92%. Từ 1 lô hàng gồm 5 sản phẩm
của máy 1, 7 sản phẩm của máy 2 và 8 sản phẩm của máy 3, người ta lấy ra 1 sản
phẩm để kiểm tra.
a, Khả năng sản phẩm được kiểm tra là chính phẩm bằng bao nhiêu
b, Nếu sản phẩm được kiểm tra khơng phải chính phẩm, tính xác suất để đó là sản
phẩm do máy 3 sản xuất
Bài làm
6


̅̅̅̅
a,Gọi Ai là biến cố “ sản phẩm lấy ra của máy i” i=1,3
 A1,A2,A3 là 1 hệ đầy đủ các biến cố
Ta có:
P(A1)=

5

5

= 20 = 0,25
5+7+8

P(A2)=

7
20

= 0,35

P(A3)=

8
20

= 0,4

Gọi B là biến cố “để sản phẩm được kiểm tra là chính phẩm”
Ta có
P(B/A1)=0,9
P(B/A2)=0,95
P(B/A3)=0,92
Áp dụng cơng thức xác suất đầy đủ
P(B)=P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+ P(A3)P(B/A3)
=0,25x0,9+0,35x0,95+0,4x0,92= 0,9255
Vậy xác suất để sản phẩm lấy ra bị xây xước là 0,9255
b, Áp dụng công thức Bayes
P(A3/𝐵̅ )=

𝑃(𝐴3)𝑃(
𝑃 (𝐵̅ )

̅
𝐵

)
𝐴3

=

𝑃 (𝐴3)[1−𝑃(
1−𝑃(𝐵 )

𝐵
)]
𝐴3

=

0,4𝑥(1−0,92)
1−0,9255

= 0,4295

Vậy nếu sản phẩm lấy ra kiểm tra khơng phải chính phẩm, xác suất để để đó là sản
phẩm do máy 3 sản xuất là 0,4295
Bài 4: Năm nay công ty Minzy Construction sẽ tham gia đấu thầu hai dự án. Biết
rằng khả năng công ty trúng thầu dự án xây dựng tổ hợp khách sạn Samention
Riverside là 80%. Nếu công ty trúng thầu dự án này thì khả năng trúng thầu tiếp dự
án xây khu nghỉ dưỡng Amanda Resort là 90%. Ngược lại nếu công ty không trúng
thầu dự án xây dựng tổ hợp khách sạn Samention Riverside này thì khả năng trúng
thầu tiếp dự án xây khu nghỉ dưỡng Amanda Resort chỉ là 55%
a, Tính xác suất cơng ty chỉ trúng thầu đúng 1 dự án
b, Giả sử công ty chỉ trúng thầu đúng 1 dự án. Tính xác suất để đó là dự án tổ hợp
khách sạn Amanda Resort

Bài làm
7


Gọi A1 là biến cố “ công ty trúng thầu dự án xây dựng tổ hợp khách sạn Samention
Riverside”
A2 là biến cố “ công ty trúng thầu dự án xây khu nghỉ dưỡng Amanda Resort”
Ta có:
P(A1)=0,8
P(A2/A1)=0,9
̅̅̅1 )=0,55
P(A2/𝐴
Gọi B là biến cố “ công ty chỉ trúng thầu 1 dự án”
̅̅̅2 + ̅̅̅
B=A1𝐴
𝐴1 A2
̅̅̅2 + ̅̅̅
 P(B)=P(A1𝐴
𝐴1 A2)
̅̅̅2)+P(𝐴
̅̅̅1 A2) vì (A1. ̅̅̅̅
= P(A1𝐴
𝐴2 . ̅̅̅
𝐴1 .A2= A1. ̅̅̅
𝐴1 . A2. ̅̅̅̅
𝐴2 . = 𝑉. 𝑉 = 𝑉)
̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅
=P(A1)P(𝐴2 /𝐴1 )+P(𝐴1 ).P(A2/𝐴1 )

̅̅̅1 )
= P(A1)[1-P(𝐴2 /𝐴1 )]+[1-P(𝐴1 )].P(A2/𝐴
=0,8x(1-0,9)+(1-0,8)x0,55=0,19
Vậy xác suất để công ty chỉ trúng thầu 1 dự án là 0,19
b, Cần tính P(A2/B)
P(A2/B)=

𝑃(𝐴2.𝐵)
𝑃(𝐵)

̅̅̅2 + ̅̅̅
̅̅̅2 A2+𝐴
̅̅̅1 A2 A2=A1V+𝐴
̅̅̅1 A2
Ta có A2B=A2(A1𝐴
𝐴1A2)= A1𝐴
̅̅̅1 A2=̅̅̅
=V+𝐴
𝐴1 A2
̅̅̅1̅)
𝑃 (𝐴2.𝐵) 𝑃 (̅𝐴̅̅1̅𝐴2)
𝑃 (̅𝐴̅̅1̅).𝑃(𝐴2/𝐴̅1 )
[1−𝑃(𝐴1)].𝑃(𝐴2/𝐴
 P(A2/B)=
= 𝑃(𝐵 ) =
=
𝑃 (𝐵 )
𝑃 (𝐵 )
𝑃 (𝐵 )
=

(1−0,8)𝑥0,55
0,19

= 0,5789

Bài 5: Có 2 thùng đựng sách, thùng 1 có 8 quyển sách tự nhiên và 6 quyển sách xã
hội, thùng 2 có 4 quyển sách tự nhiên và 4 quyển sách xã hội. Trong quá trình vận
chuyển thùng 1 bị rơi mất 2 quyển sách. Sau đó người ta chuyển 1 số sách từ
thùng 1 sang thùng 2 sao cho số sách 2 thùng bằng nhau
a, Tính xác suất để sau khi chuyển sách từ thùng 1 sang thùng 2 sao cho số sách 2
thùng bằng nhau thì số quyển sách tự nhiên và số quyển sách xã hội ở thùng 2 vẫn
bằng nhau
b,Nếu sau khi chuyển sách từ thùng 1 sang thùng 2 sao số quyển sách tự nhiên và
số quyển sách xã hội ở thùng 2 vẫn bằng nhau, thì khả năng thùng 1 bị rơi mất 2
quyển sách xã hội là bao nhiêu
Bài làm
8


̅̅̅̅
a,Gọi Ai là biến cố “thùng 1 rơi i quyển sách tự nhiên” i=0,2
 A0,A1,A2 là 1 hệ đầy đủ các biến cố
Ta có
P(A0)=
P(A1)=
P(A0)=

𝐶62
2

𝐶14

=

𝐶61 𝐶81
2
𝐶14

𝐶82
2
𝐶14

15
91

=

=

48
91

4
13

Gọi B là biến cố “sau khi chuyển sách từ thùng 1 sang thùng 2 sao cho số sách 2
thùng bằng nhau thì số quyển sách tự nhiên và số quyển sách xã hội ở thùng 2 vẫn
bằng nhau”
Ta có
P(B/A0)=

P(B/A1)=
P(B/A2)=

𝐶41𝐶81
2
𝐶12

𝐶51𝐶71
2
𝐶12

𝐶61𝐶61
2
𝐶12

=
=
=

16
33
35
66
6
11

Áp dụng cơng thức xác suất đầy đủ
P(B)=P(A0)P(B/A0)+ P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)
= ……….
Vậy xác suất để sau khi chuyển sách từ thùng 1 sang thùng 2 sao cho số sách 2

thùng bằng nhau thì số quyển sách tự nhiên và số quyển sách xã hội ở thùng 2 vẫn
bằng nhau là…..
b, Áp dụng công thức Bayes
𝑃 (𝐴0)𝑃(

P(A0/B)=

𝑃 (𝐵 )

𝐵
)
𝐴0

=⋯

Vậy……..
Bài 6: Một mạch điện gồm 2 linh kiện điện tử hoạt động độc lập nhau. Xác suất
mỗi linh kiện điện tử bị hỏng trong khoảng thời gian T lần lượt là 0,01 và 0,02.
Biết rằng mạch điện bị hỏng nếu có ít nhất 1 linh kiện điện tử bị hỏng
a, Tính xác suất mạch điện bị hỏng
9


b, Biết rằng mạch điện bị hỏng. Tính xác suất để chỉ có linh kiện thứ 2 bị hỏng
Gợi ý
̅̅̅̅
a,Gọi Ai là biến cố “linh kiện điện tử thứ i bị hỏng” i=1,2
Ta có
P(A1)=0,01
P(A2)=0,02

Gọi B là biến cố “ mạch điện bị hỏng”
̅̅̅2 + ̅̅̅
B= A1𝐴
𝐴1 A2+A1A2
̅̅̅2 + ̅̅̅
 P(B)=P(A1𝐴
𝐴1 A2+A1A2)
̅̅̅2 ) + 𝑃(𝐴
̅̅̅1A2)+P(A1A2)
=P(A1𝐴
̅̅̅2 ) + 𝑃(𝐴
̅̅̅1 )P(A2)+ P(A1) P(A2)
=P(A1)P(𝐴
= P(A1)[1- P(A2)]+[1- P(A1)]P(A2)+ P(A1) P(A2)=……
Vậy……
b,
P(A2/B)=

𝑃(𝐴2𝐵)
𝑃(𝐵)

̅̅̅2 + ̅̅̅
̅̅̅2 𝐴2 + ̅̅̅
Ta có A2B=A2(A1𝐴
𝐴1A2+A1A2)= A1𝐴
𝐴1 A2𝐴2+A1A2𝐴2
̅̅̅1 𝐴2+A1A2=V+𝐴
̅̅̅1 𝐴2+A1A2=𝐴
̅̅̅1 𝐴2+A1A2
=A1V+𝐴

 P(A2/B)=

̅̅̅̅
𝑃 (𝐴 2 𝐵)
𝑃 (𝐴
1 𝐴2 +𝐴1 𝐴2 )
=
𝑃 (𝐵 )
𝑃 (𝐵 )
̅̅̅̅)
𝑃 (𝐴
1 𝑃(𝐴2 )+𝑃(𝐴1)𝑃(𝐴2 )

=

𝑃(𝐵)

=

̅̅̅̅
𝑃 (𝐴
1 𝐴2 )+𝑃(𝐴1 𝐴2 )
𝑃 (𝐵 )

=.......

Vậy……

Một số bài tập tham khảo
Bài 1: Thiết bị phòng cháy chữa cháy của 1 toàn chung cư gồm hệ thống phun

nước tự động và hệ thống chuông cảnh báo với khả năng bị hỏng của các hệ
thống này tương ứng là 0,1 và 0,15 nhưng khả năng cả 2 hệ thống bị hỏng là
0,04. Tính xác suất:
a, có đúng 1 hệ thống bị hỏng
b, cả 2 hệ thống đó hoạt động tốt
Bài 2:Một vận động viên tham gia về đích theo 2 cách, hoặc đi đường rừng, hoặc
chọn vượt thác. Biết rằng 65% anh ta đi theo đường rừng.Nếu đi theo đường rừng,
xác suất anh ta về đúng giờ quy định là 0,75, nếu chọn vượt thác thì xác suất anh
ta về đúng giờ quy định là 0,7
a, tính xác suất để vận động viên đó về đúng giờ quy định
10


b, biết vận động viên đó về đúng giờ quy định, tính xác suất để anh ta di theo
đường rừng
Bài 3: một lô hàng gồm 16 sản phẩm loại A và 4 sản phẩm loại B được vận chuyển
cho khách hàng. Khách hàng chỉ nhận được 18 sản phẩm. Sau đó khách hàng lấy 1
sản phẩm ra để kiểm tra
a, Tính xác suất để sản phẩm lấy ra kiểm tra là sản phẩm loại A
b, Biết rằng sản phẩm lấy ra kiểm tra là sản phẩm loại A, tính xác suất lô hàng bị
rơi 2 sản phẩm loại B trong quá trình vận chuyển
Bài 4: Bắn liên tiếp 3 phát đạn vào 1 mục tiêu. Xác suất trúng mục tiêu của mỗi
phát đạn đều bằng 0,45. Nếu trúng ít nhất 2 phát đạn thì mục tiêu bị tiêu diệt.
Nếu trúng 1 phát đạn thì xác suất mục tiêu bị tiêu diệt là 0,7. Tính xác suất để
mục tiêu bị tiêu diệt bởi 3 phát đạn trên
GỢI Ý ĐÁP ÁN
Câu 1:
Gọi 𝐴1 là biến cố “tờ tiền đc chọn là tiền thật”
𝐴2 là biến cố “tờ tiền đc chọn là tiền giả”
P(𝐴1 )=4/5

P(𝐴2 )=1/5

a.



𝐴1 , 𝐴2 là hệ đầy đủ các biến cố
Gọi B là biến cố ‘ Người đó kết luận là tiền thật”
P(𝐵/𝐴1 )=0,8
P(𝐵/𝐴2 )=0,2
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ
P(B)= P(𝐴1 ) P(𝐵/𝐴1 )+ P(𝐴2 ) P(𝐵/𝐴2 )=…………..
b. Gọi C là biến cố “3 ng kết luận tiền thật, 1 ng kết luận tiền giả’’
Có n=4 PTĐL
Xác suất để mỗi ng đoán đúng đều bằng nhau và bằng p=0,8
Gọi X là số người đoán đúng trong 4 người
X~B(4, 0,8)
 P(𝐶/𝐴1 )=p(X=3)=𝐶43 0,83 0,21
 P(𝐶/𝐴2 )=p(X=1)=𝐶41 0,81 0,23
Áp dụng công thức Xs đầy đủ
P(C)= P(𝐴1 ) P(𝐶/𝐴1 )+ P(𝐴2 ) P(𝐶/𝐴2 )=…………..
Gợi ý câu 2:
2a k=0
-5

2
11

4

6
8
BPPXS của S
S
P
 E(S)=….
 D(S)=…..

0,05
0,1

0,15
0,3

0,25
0,15

-5
0,15

2
0,45

4
0,4

BPPXS của T
T
P

6
0,45

8
0,55

 E(T)=….
 D(T)=…..
E(S.T) => cov(S,T)=…..
Gọi p là tỉ lệ đầu tư cho cp A
=> (1-p) là tỉ lệ đầu tư cho trái phiếu B
Gọi X là lãi suất thu đc khi đầu tư vào 2 cổ phiếu |A và trái phiếu B
X=p.S+(1-p)T
=> D(X)=D(p.S+(1-p)T)=𝑝2 𝐷 (𝑆) + (1 − 𝑝)2 𝐷(𝑇 ) − 2𝑝(1 − 𝑝)𝑐𝑜𝑣(𝑆, 𝑇 )
Đến đây thay các giá trị đã biết vào để tìm p ( giải phương trình bậc 2 ẩn p) để cho
phương sai nhỏ nhất

2.b k=0
Có n=2500 PTĐL
Xác suất máy sản xuất được sản phẩm loại I đều bằng nhau và bằng p=0,6
Gọi X1 là số sản phẩm loại I máy sản xuất được trong 2500sp
 X1~B(2500, 0,6)
 E(X1)=…..
Có n=2500 PTĐL
Xác suất máy sản xuất được sản phẩm loại II đều bằng nhau và bằng p=0,35
Gọi X2 là số sản phẩm loại I máy sản xuất được trong 2500sp
12

 X2~B(2500, 0,35)
 E(X2)=…..

Có n=2500 PTĐL
Xác suất máy sản xuất được sản phẩm loại III đều bằng nhau và bằng p=0,5
Gọi X3 là số sản phẩm loại I máy sản xuất được trong 2500sp
 X3~B(2500, 0,35)
 E(X3)=…..
Gọi Y là tiền lãi khi bán hết 2500 sp
Y=20X1+15X2+10X3-12x2500
E(Y)=E(20X1+15X2+10X3-12x2500)=20 E(X1)+15 E(X2)+10 E(X3)-12x2500

13