Chuyên đề ôn thi tổ hợp xác suât LTDH 2014

Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái nguyên Email:
Website: www.caotu.tk
1
Chương I :Nhị thức Niu tơn
1. Hoán vị
 
. 1 2.1
n
P n n

2. Chỉnh hợp
   
 
!
1 1
!
k
n
n
A n n n k
nk
    


0
! 1, 1
n
OA

0 kn

3. Tổ hợp
 
!
!. !
k
n
n
C
k n k



1,0
O
n
C k n  

k n k
nn
CC



1
1
k k k
n n n
C C C





4. Nhị Thức nưu tơn
 
00
. . . .
kn
n
k n k k k k n k
nn
kk
a b C a b C a b


  


Tồng có n+1 số hạng .bậc của mỗi số hạng là n-k+k=n
Số hạng tổng quát
1

k n k k
kn
T C a b




Bài tập
Dạng 1 Giải phương trình bất phương trình

Bài tập
Hướng dẫn
Bài1.Giải phương trình
1 2 3 2
6. 6. 9 14
x x x
C C C x x   

21
5 5 5
25
x x x
C C C

  

Điều kiện
3x
xZ







x=7
Bài 2 Giải phương Trình
5 6 7
5 2 14

x x x
C C C


0 5&x x N  

2
14 33 0xx  

Bài 3.Hãy tìm số nguyên dưong thỏa mã phương
trình
4 3 2
1 1 2
5
0
4
n n n
C C A
  
  

5n
nZ







2
9 22 0 11n n n    

Bài 3 Giải phương trình
 
22
72 6 2
x x x x
P A A P  

2x
xZ







   
   
2
!!
! 72 6 2. !
2 ! 2 !
!6
! 6 1 12 0
12 0
xx
xx

xx
x
x x x
xx

   







    


  


Bài 4. Tìm số tự nhiên thỏa mãn
2 2 2 3 3 3
. 2 100
nn
n n n n n n
C C C C C C

  
(1)
1
 

 
 
2 2 2 3 3 3
2
2 3 2 3
2
. 2 100
100 10
4 4 15 0
n n n n n n
n n n n
C C C C C C
C C C C
n n n
  
      
   

Bài 5.Tìm số nguyên dương n
0 1 2
2 4 2 243
nn
n n n n
C C C C    

 
0 1 2 2
0 1 5
1
2 3 .2 .2 3 243 3

n
nn
n n n n
n n n n
n n n
x C C x C x C x
x C C C
     
       


Bài 6.Giải hệ phương trình
2 5 90
5 2 80
yy
xx
yy
xx
AC
AC






x=5 ,y=2
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái nguyên Email:
Website: www.caotu.tk
2

Bài 7. Giải bất phương trình
a)
2
1
2
3
10
n
n
C
n
C



b)
 
31
11
14 1
n
nn
A C n


  

a)
2
5

3
n



7
)4
2
bn  

Bài 8. Giải bất phương trình
 
 
 
4
4
4
34
1
143
)1
2 ! 4
24
)2
23
n
n
n
n
nn

A
a
nP
A
b
AC








) 9,5 2,5
)1 5
an
bn
  


Bài 9. Giải bất phương trình
4 3 2
1 1 2
5
0
4
x x x
C C A
  

  

5 11x

Bài 10. Giải bất đẳng thức
2 2 3
2
16
10
2
x x x
A A C
x
  

4x 

Chứng minh một số đẳng thức
Bài 1. Chứng minh
1
1
mm
n m m n
m
CC
n





Bài 2. Cho n,m,k là các số nguyên dương và
,m n k m
Chứng minh .
m k k m k
n m n n k
C C C C






Bài 3. Cho n nguyên dương
Chứng minh rằng
11
2 2 2 2
1
2
n n n
n n n
C C C





Bài 4 Cho n≥2 và n nguyên .Chứng minh
22

1nn
C C n




Bài 5. Cho n≥2 và n nguyên .Chứng minh
2 2 2
23
1 1 1 1
1
n
n
A A A
    
=T
     
2 2 ! 3 2 ! 2 !

2! 3! !
1 1 1 1 1 1 1
1
1 2 2 3 1
n
T
n
T
n n n
  
   

     
        
     

     

Sử dụng tính chất
1
1
k k k
n n n
C C C




Bài 1
Chứng minh
1 2 3
3
3 3 3
k k k k k
n n n n n
C C C C C k n
  

     


Bài 2 .Chứng minh

1 2 3 2 3
23
2 5 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
    

    



Bài 3. Cho
4 kn
.Chứng minh rằng
1 2 3 4
4
4 6 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
   

    


Bài 4 .Cho
1 mn
.Chứng minh rằng
1 1 1 1

1 2 1

m m m m m
n n n m m
C C C C C
   
  
   

1
1
k k k
n n n
C C C



1
11
k k k
n n n
C C C


  

Áp dụng
1
11
m m m

n n n
C C C





11
2 1 2
m m m
n n n
C C C

  


Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái nguyên Email:
Website: www.caotu.tk
3
………………

1
1
m m m
m m m
C C C




Công theo vế của các bất đẳng thức ta có
1 1 1 1
1 2 1

m m m m m m
n n m m n m
C C C C C C
   
  
    

1 1 1 1
1 2 1

m m m m m
n n n m m
C C C C C
   
  
   
vì
1
1
1
mm
mm
CC




Khai triển một biểu thức hoặc ,hai biểu thức bằng hai cách kác nhau sau đó đồng nhất hệ số

Bài 1 .Chứng minh rằng
0 1 1 6 6
6 6 6 6
. . .
k k k k
n n n n
C C C C C C C


   

   
6
1 . 1
n
xx  

 
6
1
n
x



so sánh
k

x

Bài 2. Chứng minh
     
2 2 2
01
2

nn
n n n n
C C C C   

   
00
1 . 1
nn
nn
k k k n k
nn
kk
x x C x C x


  
  
  
  


Hệ số của x

n
là
     
2 2 2
01

n
n n n
C C C  

 
2
2
2
0
1
n
n
kk
n
k
x C x



Hệ số x
k
là
2
k

n
C

Bài 3.Chứng minh.
   
 
 
 
2 2 2
01
2
1 1
nn
nn
n n n n
C C C C     

   
 
22
2
2
. 1 . 1
1
nn
n
xet x x
x
  


Bai 4.
     
 
 
2 2 2 2
21
0 1 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
1 0
n
n
n n n n
C C C C


   
     

Xét
     
2 1 2 1
2 1 2 1
2 1 2 1
1 . 1 . 1
nn
n n k
k k k k
nn
k o k o

x x C x C x




  
   
  
  


Hệ số của số hạng
21n
x


Là
     
 
 
2 2 2 2
21
0 1 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
1
n
n
n n n n
C C C C



   
    

Ta lại có
   
 
21
2 1 2 1
2
1 . 1 1
n
nn
x x x


   

có hệ số của x
2n+1
bằng o vì đều chứa lũy thừ bậc chẵn
của x vậy
     
 
 
2 2 2 2
21
0 1 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
1 0

n
n
n n n n
C C C C


   
     


Bài 5. Chứng minh rằng
0 1 1 0
. . .
p p p p
n m n m n m n m
C C C C C C C


   

Xét
   
11
nm
xx
=
Hệ số của x
p
,1≤p <n ,1≤p<m
Hệ số của x

p
trong khai triển
 
1
mn
x


là
Dùng
   
2
,
nn
x a x a
Chọn x thích hợp a có sẵn

Bài 1.
1
) 2
o n n
n n n
a C C C   

0 1 1
)9 9 9 10
o n n n
n n n
b C C C   

Bài 2.Chứng minh

Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái nguyên Email:
Website: www.caotu.tk
4
 
1
1 0
n
on
n n n
C C C    

Bài 3.Cho khai triển biết tổng các hệ số trong
Khai triển trên bằng 1024 .Tìm n
 
2
1
n
x


Bài 4. Chứng minh
0 1 2
2
1 1 1
5 6
5 5 5
n n n

n n n n
n
C C C C

    


(1)
 
1 1 2 2
1 5 5 5 6
n o n n n n
n n n n
C C C C

     

 
0 1 1 1
1
n
n n n n
n n n n
x C x C x C x C

     

Chọn x=5
1 1 2 2
5 5 5 6

n o n n n n
n n n n
C C C C

    

Bài 5.Chứng minh
0 2 2 1 3 2 1
2 2 2 2 2 2

nn
n n n n n n
C C C C C C

      

 
2
0 1 2 2 2 2
2 2 2 2
1
n
nn
n n n n
x C C x C x C x     

Cho x=-1
Bài 5. Chứng minh rằng
2004 0 2003 1 2003 2004 2004
2004 2004 2004 2004

2004 0 2003 1 1 2003 2003 2004 2004 2004
2004 2004 2004 2004
)3 3 3 4
) 3 3 .4 3.4 4 7
a C C C C
b C C C C
    
    

a)
 
2004
1 x
.Chọn x=3
b)
 
2004
ab
.Chọn a=3,b=4
Bài 6. Chứng minh rằng
0 1 1 1 1 1
2 2 .7 2.7 7 9
n n n n n n n
n n n n
C C C C
  
    


Bài 7. Chứng minh rằng

0 1 1 1 1 2 2 2 2
3 3 56 3 5 6 5 6 33
n n n n n n n
n n n n
C C C C

    

 
n
a bx
a=3,b=5,x=6
Bài 8.Chứng minh rằng
 
0 2 2 4 4 2000 2000 2000 2000
2001 2001 2001 2001
3 3 3 2 2 1C C C C     

 
2001
1 x
Chon x=3
Chọn x=-3 sau đó cộng hai vế
Tìm 1 số hạng hoặc hệ số của một số hạng
Bài 1. Tìm hệ số của số hạng chứa x
4
,
10
1
x

x





Trong khai triển
28
3
15
n
x x x






Tìm số hạng không chứa x biết
12
79
n n n
n n n
C C C

  

Bài 2. Tìm số hạng x
31
, Trong khai triển

40
2
1
x
x







Bài 3.Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
7
3
4
1
x
x






Bài 4 Tìm hệ số của số hạng chứa x
43
trong khai triển
21
5

32
1
x
x






Bài 5.Biết trong khai triển
1
3
n
x





Có hệ số của số hạng thứ 3 bằng 5 Hãy tính số hạng
đứng giữa trong khai triển

Bài 6 Cho khai triển
3
32
3
n
x
x





.Biết tổng của ba số
hạng đầu itên trong khai triển bằng 631 .Tìm hệ số của số
hạng có chứa x
5

0 1 2
3 9 631
n n n
C C C  

Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái nguyên Email:
Website: www.caotu.tk
5
Bài 7.Biết tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên trong khai
triển
3
15 28
1
n
xx
x




bằng 79 .Tiàm số hạng không chứa x

Bài 8. Tìm hệ số x
8
trong khai triển :
5
3
1
n
x
x





Biết
 
1
43
73
nn
nn
C C n


  


Bài 9. Biết tổng các hệ số trong khai triển
 

2
1
n
x
bằng 1024 .Tìm hệ số của x
12


Bài 10.Biết tổng các hệ số trong khai triển
 
12
n
x
bằng 6561
Tìm hệ số của x
4


Bài 11. tìm hệ số của
62
xy
trong khai triển
10
x
xy
y





Bài 12.Trong khai triển


12
2
3
xy xy

Tìm số hạng chứa x và y sao cho số mũ của x và y
Là các số nguyên dương

Bài 13.Tìm các hạng tử là số nguyên trong khai triển
 
19
3
32


Bài 14.Có bao nhiêu hạng tử là số nguyên trong
Khai triiển
 
124
4
35



Bài 15.Tìm các hạng tử là số nguyên trong khai triển

 
125
3
37


Bài 16.Có bao nhiêu hạng tử là số nguyện trong khai triển
 
64
3
4
73


Bài 16. Khai triển đa thức
       
9 10 14
14
0 1 14
1 1 1

P x x x x
A A x A x
       
  

Tính A
9

Bài 17. Cho khai triển :
1
3
2
22
n
x
x







Biết
31
5
nn
CC
và số hạng thứ 4 bằng 20n .Tùm x và n

Bài 18. Trong khai triển :
3
3
n
ab
ba






tìm số hạng chứa a,b có số mũ bằng
nhau

Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển
Bài 1.Cho khai triển
 
101
1 x

Hệ số của số hạng tổng quát
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái nguyên Email:
Website: www.caotu.tk
6
Trong các hệ số của các số hạng .Tìm hệ số lớn nhất
1
k
kn
TC



0 101k

Xét
 
   
1 101

1
101
101!
!. 101 !
101!
1 ! 102 !
k
k
k
k
kk
TC
TC
kk






1
102
1 0 51
k
k
T
k
k
Tk



    

k=51
51
101
C

Bài 3. Cho khai triển .
 
30
12x
.Tìm hệ số lớn nhất
trong các hệ số
1
1 30
30
30
2 1 0 19
1
k
k
k
k
TC
k
k
T C k




     



Bài 4.Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của
Khai triển
40
12
33
x







Xác suất của biến cố
Bài 1
1.

{Tập các kết quả có thể của phép thử T}
2.
A

={Tâp các kết quả thuận lợi của A }
3.A và B là hai biến cố xung khắc A xáy ra thì B không xảy ra và ngược lại

A .Nhân và quy tắc cộng

Bài 1.Cho tập
 
1,2,3,5,7,9A

a) Có bao nhiêu số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau ? 6.5.4.3=360
b) Có bao nhiêu số chẵn gòm 5 chữ số đôi mọt khác nhau ? 120
Bài 2.Cho tập
 
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9A
.Có bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ
Tâp A .Có 9.9.8.7.6=27216
Bài 3. Cho tập
 
0,1,3,5,6,7,8A

a) T ừ t ập A c ó th ể l ập bao nhiêu số có gồm 5 chữ số đôi một khác nhau các số này lẻ
Và chia hết cho 5
b) Từ tập A có thể lập đựoc bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho
chừ số đứng cuối chia hết cho 4
Bài 4. Cho tập
 
0,2,4,5,6,8,9A

a) Từ tập A có thể lập đựoc bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau v à lớn
hơn 50.000
b) Từ tập A có thể lập đựoc bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho
chữ số đứng thứ 3 chia hết cho 5 và ch ữ số cuối cùng lẻ
Bài 5. Cho tập
 
1,3,4,5,6,7,9A

a) Từ tập A có thể lập đựoc bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho các
số này không bắt đầu bằng 16 và chữ số cuối không chia hết cho 5
b) Từ tập A có thể lập đựoc bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác sao cho các số này
lớn hơn 600001
Bài 6.Cho tập
 
0,1,2,3,4,5,6A

a) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho số này
Không bắt đầu bằng
246
?
b) Từ tập A có thể lâp được bao nhiêu số gồm 5 chừ số sao cho chữ số cuối cùng chia
Biờn son: Cao Vn Tỳ Trng: H CNTT&TT Thỏi nguyờn Email:
Website: www.caotu.tk
7
ht cho 5
Bi 7. Cho tp

0,1,2,3,4,5,6A

a) T tp A cú th lp c bao nhiờu s gm 5 ch s ụi mt khỏc nhau sao cho hai ch s
2 v 5 khụng ng cnh nhau
b) T tp A cú th lp c bao nhiờu s gm 5 ch s ụi mt khỏc nhau sao cho cỏc s
ny chia ht cho 9
Bi 8. Cho tp

1,2,4,5,6,8,9A

a) T tp A cú th cú bao nhiờu s l gm 5 ch s m khụng chia ht cho 5 ?
b) T tp A cú th lp c bao nhiờu s cú chn cú 5 ch s sao cho ch s 5 luụn
Cú mt trong cỏc s cú ỳng mt ln v ch s u tiờn l l
B Quy tc cng kt hp quy tc nhõn
Bi 1.Cho tp

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9A

a) T tp A cú th lp bao nhiờu s l cú 5 ch s khỏc nhau ?
b) T tp A cú th lp bao nhiờu s cú 6 ch s khỏc nhau sao cho cỏc s ny chia ht cho 5
Bi 2.Cho tp

1,2,3,4,5,6A

a) T tp A cú th lp bao nhiờu s chn cú 4 ch s khỏc nhau sao cho ch s hai c ú
Bi 2 Chnh hp
Bi 1.Cho tp

1,2,3,4,5,6,7A

a) Cú th lp c bao nhiờu s gm 5 ch s ụi mt khỏc nhau ly t tp A
b) Cú th lp c bao nhiờu s gm 6 ch s ụi mt khỏc nhau ly t tp A
c) Cú th lp c bao nhiờu s gm 6 ch s ụi mt khỏc nhau ly t tp A sao cho
t ng ca ch u v cui chia h t cho 10
Bi 2.T tp

1,2,3,4,5A

a) Cú th lp c bao nhiờu s gm 5 ch s ụi mt khỏc nhau ? Tớnh tụng cỏc s ny
b) T tp A cú th lp c bao nhiờu s gm ba ch s ụi mt khỏc nhau sao cho cỏc s

Ny chia ht cho 4
Bi 3 .Cho tp

1,2,3,4,5,6A

a) Cú th lp c bao nhiờu s gm 5 ch s ụi mt khỏc nhau v không bắt đầu từ 345 ?
b) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số
2 luôn có mặt đúng một lần
c) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 4 chữ số chẵn đôi một khác nhau sao cho chữ số 2
luôn có mặt đúng một lần
Bài 4. Cho tp

0,1,2,3,4,5,6A

a) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau
b) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm chữ số đôi một khác sao cho các số này đều lẻ ?
Bài 5. Cho tp

0,2,4,5,6,9A

a) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5
b) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau các số đều chẵn
Bài 6. Cho tp

0,1,2,3,4,5,6,7A

a) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho2
b) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số
2 có mặt đúng một lần
Bài 7 Cho tp

0,1,2,4,5,7,8,9A

a) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và lớn hơn
50000
b) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và các số đều chẵn
Bài 8. Cho tp

0,1,2,3,4,5,6,7A

a) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau chữ số 7 luôn có mặt
Biờn son: Cao Vn Tỳ Trng: H CNTT&TT Thỏi nguyờn Email:
Website: www.caotu.tk
8
1 lần
b) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau các số này luôn lẻ
số đúng ở vị trí thứ 3 luôn chia hết cho 6
Bài 9.Cho

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9A

a) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho các số này
đều lẻ và chữ số đứng ở vị trí thứ 3 chia hết cho 5
b) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho có đúng 3
Chữ số chẵn 3 chữ số lẻ
Bài 10. Cho

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9A

a) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau sao luôn có mặt

chữ số số 0 và 1
b) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho có ít nhất
Hai số chẵn ?
Bài 11. Cho

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9A

a) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số 1
Và 3 luôn đứng cạnh nhau ?
b) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số
0 và 7 không đứng cạnh nhau
Bài 12. Cho

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9A

a) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 7 chữ số đôi một khác nhau sao cho luôn có
mặt chữ số 0 và 9
b) Hai chữ số 1 và sáu không đứng cạnh nhau
Bài 13. Cho

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9A

a) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau sao luôn có
mặt ba chữ số 0,2,4
b) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 7 chữ số đôi một khác nhau sao cho luôn
có mặt bốn chữ số 1,3,5,7 ?
Bài 14. Cho

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9A

a) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 7 chữ số đôi một khác nhau sao luôn có
Mặt bốn chữ số 2,4,6,8 ?
b) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau sao luôn có
Mặt 3 và 5 và chữ cuối lẻ
Bài 15. Cho

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9A

a) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 7 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ
Số 1 luôn đứng tr-ớc chữ số 2 ?
b) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau sao luôn có
Có mặt chữ số 2 ,4 và các số tạo thành đều chẵn
Bài 16. . Cho

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9A

a) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau sao luôn có mặt
Ba chữ số 1,5,9 trong đó hai chữ số 1 và 5 luôn đứng cạnh nhau
Bài 17. Cho tập

1,2,3,4,5,6,7A

a) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau sao các số chia hết
cho 2
b) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm chữ số đôi một khác nhau sao các số này
đều chia hết cho 4
Bài 18. Cho tập

1,2,3,4,5,6,7,8,9A

a) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số thứ
Ba chia hét cho 3 và chữ số cuối cùng chẵn
b) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số
Biờn son: Cao Vn Tỳ Trng: H CNTT&TT Thỏi nguyờn Email:
Website: www.caotu.tk
9
đầu chia hết cho 3 và chữ số cuối cùng lẻ
Bài 3 Hoán vị
Bài 1. Cho tập

1,2,3,4,5,6,7,8A

a) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao các số này lẻ
Không chia hết cho 5
b) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao chữ số
đầu lẻ chữ số đứng cuối chẵn
Bài 2. Cho tập

1,2,3,4,5,6,7A

a) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 7 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số
đứng đầu và cuối cùng lẻ
b) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 7 chữ số đôi một khác nhau sao cho các số
Này đề chẵn và chữ số đứng giữa chia hết cho 3
Bài 3. Cho tập

1,2,3,4,5,6,7,8A

a) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao các số này
đều chẵn và chữ số đầu chia hết cho 4

b) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao chữ số đứng
Thứ 3 chia hết cho 3 chữ số đầu chẵn chữ số cuối lẻ
Bài 4. Cho tập

1,2,3,4,5,6,7A

a) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 7 chữ số đôi một khác nhau sao chữ số 1 và 2
Luôn đứng cạnh nhau
b) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 7 chữ số đôi một khác nhau sao số này không
Bắt đầu từ
123

Bài 5. Cho tập

1,2,3,4,5,6A
.Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số .
a) Có bảy chữ số chữ số thứ 5 lặp lại hai lần cón các chữ khác có mặt một lần
b) Có chín chữ số sao cho chữ số 3 có mặt hai lần ,chữ số 6 có mặt 3 lần còn các chữ số
Khác có mặt một lần
Bài 6. Cho tập

0,1,2,3,4,5,6A
.Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số .
a) Có bảy chữ số khác nhau
b) Có bảy chữ số khác nhau sao cho các số này đề lẻ
Bài 8. Cho tập

0,1,2,3,4,5,6,7A
.Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số .
a) Có tám chữ số khác nhau sao cho các số này đề chẵn

b) Có tám chữ số khác nhau sao cho các số này có chữ số đầu và cuối đều chẵn
Bài 9. Cho tập

0,1,2,3,4,5A
.Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số .
a) Có 6 chữ số khác nhau sao cho các số này không bắt đầu từ
12

b) Có 7 chữ số khác nhau sao cho các số này số 1 có mặt 2 lần ,các chữ số khác có mặt
Có mặt một lần ?
Bài 4 Tổ hợp
Bài 1.Một hộp đựng 5 viên bi xanh và 7 viên bi vàng .
a) Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi bất kỳ
b) Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi có 2 xanh và 4 bi vàng
Bài 2. Một hộp đựng 5 viên bi xanh 6 bi đỏ,4 bi vàng
a) Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi có 2 xanh nhiều nhất 2 vàng và phải có đủ ba màu
b) Có bao nhiêu cách lấy ra 9 viên bi có đủ ba màu
Bài 3 Có 8 bi xanh ,5 bi đỏ,3 vàng .Có bao nhiêu cách chọn từ đó 4 viên bi nếu
a) Có đúng 2 bi xanh
b) Số bi xanh bằng số bi đỏ
Bài 4.Một lớp học sinh có 10 học sinh nam và 15 nữ
a) Có bao nhiêu cách chọn một đội gồm 15 ng-ời
b) Chon từ đó ra một đội văn nghệ gồm 13 ng-ời sao cho coa ít nhất 10 nữ và phải có nam
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái nguyên Email:
Website: www.caotu.tk
10
Vµ n÷
Bµi 5.Mét líp häc sinh cã 8 nam vµ 12 nò
a) Chän tõ ®ã 6 häc sinh cã ®ñ nam vµ n÷ cã mÊy c¸ch ?
b) Chon tõ ®ã 10 häc sinh sao cho cã Ýt nhÊt 2 nam .Cã bao nhiªu c¸ch

B.Xác suất
Bài 1.Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài trong cỗ bài tú lơ khơ .Tính xác suất để trong sấp bài
Chứa hai bộ đôi ( hai con cùng thuộc 1 bộ ,hai con thuộc bộ thứ 2,con thứ 5 thuộc bộ khác
Giải
Chọn hai bộ 2 có
2
13
C
cách ,Mỗi bộ có
2
4
C
cách vậy có
2 2 2
13 4 4
C C C
cách
có 11 cách chon bộ 1 .Mỗi cách chọn bộ 1 có 4 cách chọn vậy có
2 2 2
13 4 4
. . .11.4
A
C C C 

5
52
C

Bài 2. Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài .Tính xác suất để trong sấp bài ó 5 quân lập thành bộ

Liên tiếp tức là bộ (A,2-3-4-5) (2-3-4-5-6) ….(10 –J-Q-K-A) .Quân A vừ là quân bé nhất
Quân lớn nhất
Giải
5
52
C

Có 10 bộ thỏa mãn bài toán
Mỗi bộ có 4.4.4.4.4=1024 vậy
10240
A


Bài 3. Một bình đựng 16 viên bi ,7 viên bi trắng ,6 viên bi đen,3 viên bi đỏ
a) lấy ngẫu nhiên ba viên bi .Tính xác suất để :
 Lấy được 3 viên đỏ
 lấy cả ba viên bi không đỏ
 Lấy được 1 bi trắng ,1 bi đen ,1 bi đỏ
b) Lấy ngẫu nhiện 4 viên bi .Tình xác suất để
 Lấy đứng 1 viên bi trắng
 Lấy đúng 2 viên bi tráng
c) Lấy ngẫu nhiên 10 viên bi .Tính xác suất lấy được 5 viên bi trắng ,3 bi đen,2 bi đỏ
Giải .
3
13
3 3 3
16 16 16
1 3 2 2
7 9 7 9
44

16 16
5 3 2
7 6 3
10
16
1 1 143 7.6.3 9
)* * *
560 280 40
21 27
)*
65 65
45
)
286
C
a
C C C
C C C C
b
CC
C C C
c
C
  



Bài 4 .Một hộp đựng thẻ đánh số thứ tự từ 1,2…,9 rút ngẫu nhiên hai thẻ và nhân hai số
Trên thẻ vói nhau .Tính xác suất để ?
a) Tích nhân được là số lẻ

b) Tích nhận được là số chẵn
Giải
a) Tích là số lẻ nếu 2 thẻ là số lẻ vậy có
 
2
22
5
59
2
9
C
C C P A
C


b) P(B) =1-P(A)
Bài 5. Một hộp đựng 9 thẻ được đánh từ 1,2,3…9 .Rút ngẫu nhiên 5 thẻ .Tính xác suất để
a) Các thẻ ghi số 1,2,3
b) Có đúng 1 trong ba thẻ ghi 1,2,3 được rút
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái nguyên Email:
Website: www.caotu.tk
11
c) Không có thẻ nào trong ba thẻ được rút
Giải .
     
2 1 4 5
6 3 6 6
5 5 5
9 9 9
) ) )

C C C C
a P A b P B c P C
C C C
  

Bài 6.Chon ngẫu nhiên 3 số từ tập
 
1,2, ,10,11

a) Tính xác suất để tổng ba số được chọn là 12
b) Tính xác suất để tổng ba số đực chọn là số lẻ
Giải .
a) 12=1+2+9=1+3+8=1+4+7=1+5+6=2+3+7=2+4+6=3+4+5
 
3
11
7
pA
C


b)
 
1 2 3 0
6 5 6 5
3
11
C C C C
PB
C




Bài 7.Chọn ngẫu nhiên một vé số số có 5 chữ số tư 0 đến 9 .Tính xác suất trên vé không có
Không có chữ số 1 hoặc chữ số 5 .
Giải .
A là biến cố không có chữ số 1,B là biến cố không có chữ số 5
     
5
99999
0,9
100000
P A P B  

           
55
2. 0,9 0,8P A B P A P B P A B      

Bài 8 Một người đi du lịch mang 3 hộp thịt,2 hộp quả ,3 hộp sữa .Do trười mưa các hộp
bị mất nhãn .Người đó chọn ngẫu nhiên 3 hộp .Tính xác suất để trong đó có 1 hộp thịt
một hộp sữa , một hộp quả
Giải .
 
1 1 1
3 2 3
3
8
C C C
PA
C



Bài 9 .Có hai xạ thủ I và xạ tám xạ thủ II .Xác suất bắn trúng I là 0,9 ,Xác suất của II là 0,8 lấy
ngẫu nhiên một trong 10 xạ thủ ,bắn một viên đạn .Tính xác suất để viên đạn bắn ra trúng đích
Giải
Gọi
i
B
là biến cố “Xạ thủ được chọn lọa i ,i=1,2
A là biến cố viên đạn trúng đích .ta có
 
2
10
i
PB 
,
     
2 1 2
8
& / 0,9 / 0,8
10
P B P A B P A B  

Nên
         
1 1 2 2
2 9 8 8
/ / . . 0,82
10 10 10 10
P A P B P A B P B P A B    

Bài 10.bốn khẩu pháo cao xạ A,B,C,D cùng bắn độc lập vào một mục tiêu .Biết xác xuất
bắn trúng của các khẩu pháo tương ứng là
       
1 2 4 5
. , ,
2 3 5 7
P A P B P C P D   
.Tính xác suất để mục tiêu bị bắn trúng
Giải
Tính xác suất mục tiêu không bị bắn trúng
 
1 1 1 2 1
. . .
2 3 5 7 105
PH
Vậy xác suất trúng đích
 
1 104
1
105 105
PD  

Bài 11.Gieo một con súc xắc .Hãy tính xác suất các biến cố
a) Mặt 6 chấm xuất hiện
b) Mặt chẵn xuất hiện
c) Mặt i xuất hiện i≤3
Bài 12.Một hộp đựng 10 viên bi trong đó có 4 viên bi đỏ ,3 viên bi xanh,2 viên bi vàng,1 viên bi trắng .Lấy
ngẫu nhiên 2 bi tính xác suất biến cố

Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái nguyên Email:
Website: www.caotu.tk
12
a) 2 viên lấy ra màu đỏ
b) 2 viên bi một đỏ ,1 vàng
c) 2 viên bi cùng màu
Giải
2
10
C

A là biến cố a,B là biến cố b,C là biến cố c
a)
 
2
2
4
4
2
10
A
C
C P A
C
   

b)
 
11
11

42
42
2
10
.
8
.
45
B
CC
C C P B
C
    

c) Đ là biến cố 2 viên đỏ ,X là biến cố 2 viên xanh ,V là biến cố 2 viên vàng
Đ ,X,V là các biến cố đôi một xung khắc
       
2
3
2 1 10 2
D
5 45 15 45 9
C
P C P P X P V       

Bài 13.Geo 3 con súc xắc .Tính xác suất để tổng số chấm trên 3 mặt là 9
Giải
9=1+2+6=2+3+4=2+2+5=1+3+5=1+4+4=3+3+3
(1,2,6) Có 3! ,(1,3,5) Có 3! (2,3,4) có 3! ,(1,4,4) có 3 (2,2,5) có 3 (3,3,3) có 1
Vậy

 
6 6 6 3 3 1 25& 6.6.6 216
25
0,1157
216
A
A
PA
          

  


Bài 14. Gieo 3 lần liên tiếp một con xúc xắc
a) Tính xác suất biến cố “ Tổng số chấm xuất hiện không nhỏ hơn 16”
b) Tính xác xuất để tổng số chấm nhỏ hơn 16
Giải
a)A là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện không nhỏ hơn 16”
Tổng số chấm nhỏ hơn 16 có nghĩa tổng số chấm bằng 16,17,18
16=6+5+5=6+6+4 có 6
17=6+6+5 có 3
18=6+6+6 có 1 vậy
 
10 5
6.6.6 216& 10
216 108
A
PA       

c) Biến cố E “Tổng số chấm nhỏ hơn 16” A và E là hai biến cố đối nhau

 
5 103
1
108 108
PE  

Bài 15.Gieo hai con xúc xắc một cách vô tư.Tính xác suất của biến cố “Các mặt xuất hiện có số
chấm bằng nhau”
Bài 16. Hai người bắn vào mục tiêu một cách độc lập .Xác suất trúng đích của người thứ nhất
0,6 của người thứ 2 là 0,7 .Tính xác suất để
a) Cả hai người cùng bắn trúng
b) Mục tiêu bị bắn bởi ít nhất 1 người
Giải
a) Gọi A là biến cố nười thứ nhất bắn trúng đích ,B là iến cố người thứ hai bắn trúng đích
H là biến cố cả hai người bắn trúng đích H=AB
     
P H P A P B
0,6.0,7=0,42
b) G là biến cố ít nhất một người bắn trúng mục tiêu
( ) ( ) ( )G A B A B A B    

 
   
 
0,6.0,3 0,4.0,7 0,6.0,7 0,18 0,28 0,42 0,88P G P A B P A B P A B            

Bài 17. Gieo ngẫu nhiên 4 đồng xu .Tính xác suất để ít nhất hai đồng xu lật ngửa
1. SNNN ,SNSN ,SNNS ,SNSS
2. SSNN ,SSSN ,SSNS,SSSS
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái nguyên Email:

Website: www.caotu.tk
13
3. NNNN,NNSN,NNNS,NNSS
4. NSNN ,NSSN ,NSNS,NSSS
16, 11
A
   

Bài 18. Gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc 6 lần .Tính xác suất để một số lớn hơn hay bằng
5 xuất hiện ít nhất 5 lần trong 6 lần gieo
Giải
A là biến cố một số lớn hơn hay bẳng 5 chấm trong mỗi lần gieo .A xảy ra ,con xúc xắc
xuất hiện mặt 5 ,chấm hoặc 6 chấm ta có
 
21
63
PA

Trong 6 lần gieo Xác suất để biến cố A xảy ra đúng 6 lân
 
6
1

3
P A A A A A A





Xác suất để được đúng 5 lần xuất hiện A và 1 lần không xuất hiện A theo một thứ tự nào đó
5
12
.
33



Vì có 6 cách để biến cố này xuất hiện ,
5
1 2 12
6. .
3 3 729





Vậy xác xuất để A xuất hiện ít nhất 5 lần là
6
12 1 13
729 3 729





Bài 19. Một người bắn liên tiếp vào một mục tiêu khi viên đạn trúng mục tiêu thì thôi (các
Phát súng độc lập nhau ) .Biết rằng xác suất trúng mục tiêu của mỗi lần bắn như nhau và
bằng 0,6 .Tính xác suất để bắn đến viên thứ 4 thì ngừng bắn

Giải
Gọi
i
A
là biến cố trúng đích lần thứ 4
H là biến cố bắn lần thứ 4 thì ngừng
1 2 3 4
H A A A A   

 
0,4.0,4.0,4.0,6 0,0384PH

Bài 20.Từ một hộp đựng 3 viên bi màu trắng và 7 viên bi đỏ
Tính xác suất để lấy được hai viên bi cùng màu
Giải
2
10
C

A là biến cố lấy 2 viên bi trắng
2
3A
C
B là biến cố lấy 2 viên bi đỏ
B


H là biến cố lấy hai viên bi cùng màu
H A B

     
22
37
2
10
CC
P H P A P B
C

  

Bài 21 .Hai cầu thủ sút phạt đền .Mỗi nười đá 1 lần với xác suất làm bàm tương ứng là 0,8 và 0,7
Tính xác suất để có ít nhất 1 cầu thủ làm bàn
Giải .
A là bến cố cầu thủ thứ nhất làm bàn
B là cầu thủ thứ hai lam bàn
H là biến cố ít nhất 1 trong ai cầu thủ làm bàn
 
 
()H A B A B A B     

 
0,8.0,3 0,2.0,7 0,8.0,7 0,24 0,14 0,56 0,94PH      

Bài 22. Gieo 3 đồng xu đối xứng và đồng chất .Tính xác suất để có ít nhất có một mặt sấp
xuất hiện
Giải .
B là biến cố “ Có ít nhất một đồng sấp xuất hiện hiện ”
 
 

1 1 7
2.2.2 8 1 1
8 8 8
B
P B P B          

Bài 23. Từ một hộp chứa 3 viên bi màu trắng và 5 viên bi màu đen lấy ngẫu nhiên 3 viên bi
Tìm xác suất để lấy được 2 viên bi mau trắng và 1 viên bi mau đen
Giải
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái nguyên Email:
Website: www.caotu.tk
14
3
8
C

 
12
21
35
35
3
8
15
56
A
CC
C C P A
C
    

Bài 24.Ngân hàng đề thi gồm 100 câu hỏi .Mỗi đề thi có 5 câu .Một học sinh học thuộc 80 câu
Tính xác suất để học sinh đó rút ngẫu nhiên được một đề thi có 4 câu học thuộc
Giải
Chọn 5 câu làm một đề
5
100
C

Chọn
 
41
41
80 20
80 20
5
100
A
CC
C C P A
C
   

Bài 26.Một phòng có 40 thí sinh được xếp vào 20 bàn ,Mỗi bàn có đủ 2 học sinhTính xác suất để
Hai học sinh A và B cùng ngồi một bàn
Giải
Chọn hai học sinh để xếp vào 20 bàn có
2
40
C

có 1 cách chọn A và B và có 20 cách
Xếp học sinh vào bàn vậy có
 
2
40
1
20PA
C


Bài 27.Gieo hai con xúc xắc vô tư .Tính xác suất của biến cố “Tổng số chấm trên hai mặt ít
nhất bằng 6”
Giải .
6.6 36  

A là biến cố tổng số chấm trên hai mặt ít nhất bằng 6
           
 
 
26 13
1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 2,2 , 2,3 , 10 26
36 18
A
A
PA       

Bài 28. Cho ba hộp giống nhau ,mỗi hộp 7 bút chỉ khác nhau về mầu sắc
Hộp thứ nhất :Có 3 bút mầu đỏ,2 bút mầu xanh ,2 bút mầu đen
Hộp thứ hai : Có 2 bút mầu đỏ ,2 mầu xanh ,3 mầu đen
Hộp thứ ba : Có 5 bút mầu đỏ ,1 bút mầu xanh ,1 bút mầu đen

Lấy ngẫu nhiên một hộp ,rút hú họa từ hộp đó ra 2 bút
a) Tính xác suất để hai bút mầu xanh
b) Tính xác suất hai bút không có mầu đen
Giải .
a)
i
A
là biến cố rút được hộp thứ i ,i=1,2,3
 
1
3
i
PA 

A là biến cố rút được hộp thư i
1 2 3
A A A A  

2
7
C

     
1 2 3
2
7
1
,0P A P A P A
C
  

.B là biến cố 2 bi mầu xanh
 
2
7
1 1 2
2. 0
3 63
PB
C

  


.
b)C là biến cố “Hai bút được chọn không có mầu đen
có
1
3
Cách chọn hộp
Chọn hôp A
1
.Có
     
22
2
56
4
1 2 3
2 2 2
7 7 7

,,
CC
C
P A P A P A
C C C
  

Vậy có
 
222
5 4 6
2
7
1 31
3 63
CCC
PC
C






Bài 29.Xác suất sinh con trai trong mỗi lần sinh là 0,51 .Tìm các suất sao cho 3 lần sinh
Có ít nhất 1 con trai
Giải
A là biến cố ba lần sinh có ít nhất 1 con trai
A
là xác suất 3 lần sinh toàn con giái

i
B
là biến cố lần thứ i sinh con giái (i=1,2,3)
1 2 3
A B B B  

Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái nguyên Email:
Website: www.caotu.tk
15
 
 
       
3
1 2 3
1 1 1 0,49 0,88P A P A P B P B P B      

Bài 30. Có 9 tấm thẻ ghi các số từ 1 đến 9 Trên mỗi thẻ 1 số trên thẻ khác nhau ghi số khác nhau
.Chon ngẫu nhiên đồng thời hai thẻ .Tính xác suất tích hai thẻ đã chọn là số chẵn
Giải .
2
9
C

Để tích là số chẵn có 1 thẻ chẵn 1 thẻ lẻ Hoặc 2 thẻ chẵn
A là biến cố chọn thẻ số chẵn
B là biến cố chon được thẻ số lẻ
C là biến cố tích là số chẵn
   
C A B A A   

     
1 1 2
4 5 4
2
9
.C C C
P C P A B P A A
C

    
=26/36
Cách 2
DẠY CHỦ NHẬT
1. Nhị Thức nưu tơn
2. Xác suất
3. Cấp số cộng,Cấp số nhân
@1.Nhị thức nưu tơn
Bài 1.Chứng minh
 
0 2 2 4 4 2008 2008 2008 2009
2009 2009 2009 2009
3 3 3 2 2 1C C C C     

Hướng dẫn xét .
   
2009
2009
2009
0
11

i
ii
i
x C x

  


 
2009
2009
2009
0
1
ii
i
x C x




Thay x=3 vào hai đẳng thức rôi cộng lại ta có điều phải chứng minh
Bài 2.Chứng minh rằng
 
0 1 1 2 2 0 1
4 4 4 1 2 2
n
n n n n n n
n n n n n n n
C C C C C C C


        

*
 
1
n
x
Cho x=2
 
4
n
x
=…Cho x=1
Bài 3.Chứng minh
1 2 3 1
2 3 .2
nn
n n n n
C C C nC n

    

Bài 4 Chứng minh
 
1 2 3
2 3 1 0
n
n
n n n n

C C C nC      

Bài 5.Chứng minh
 
1 3 2 1 2 4 2
2 2 2 2 2 2
3 2 1 2 4 2
nn
n n n n n n
C C n C C C nC

       

Bài tập 6.Chứng minh
   
2 3 1
2.1 3.2 . 1 1 2
nn
n n n
C C n n C n n

     

Bài 7.biết tổng các hệ số trong khai triển
 
12
n
x
bằng 6561
Tìm hệ số của x

4

Bài 8.Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển
 
30
12x

CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN
Bài 1.Giải phương trình
32
14
x
xx
A C x



Bài 2.Cho ba số a,b,c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng .Chứng minh
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái nguyên Email:
Website: www.caotu.tk
16
 
2
2
82a bc b c  

Bài 3.Cho ba số dương theo thứ tự lập thành một cấp số cộng a,b,c
Chứng minh ba số
   
3

11
,,
33
a b c ab ac bc abc   

Lập thành cấp số nhân
Bài 4.Tìm x để ba số sau lập thành một cấp số cộng
2
10 3 ;2 3;7 4x x x  

Bài 5.Cho a,b,c lập thành một cấp số cộng .Chứng minh
 
22
2
2
22
82
a bc c ab
a bc b c
  
  

     
2 2 2 2 2 2
,,a ab b a ac c b bc c     
lập thành cấp số cộng
Bài 6. cho
2 2 2
,,abc
lập thành một cấp số cộng có công sai khác 0 .Chứng minh

Rằng 3 số
1 1 1
,,
b c c a a b  
cũng lập thành một cấp số cộng
Bài 7.Cho ba số dương a, b ,c lập thành một cấp số cộng .Chứng minh rằng
Ba số
1 1 1
,,
b c c a a b  
.Lập thành một cấp số cộng
Bài 8.Cho ba số
2 1 2
,,
b a b b c
Lập thành một cấp số cộng .Chứng minh a,b,c lập thành một cấp số nhân
Bài 9. Ba số a,b,c lập thành một cấp số nhân .Chứng minh
  
2 2 2
a b c a b c a b c      

Bài 10. Ba số a,b,c lập thành một cấp số nhân .Chứng minh rằng
  
 
   
2
2 2 2 2
33
a b b c ab bc
ab bc ca abc a b c

   
    

Bài 11 .Cho tam giác ABC .Có các góc A,B,C theo thứ tự này lập thành một cấp
Số nhân cộng bội q=2.Chứng minh :
222
1 1 1
1.
5
2. os os os
4
a b c
c A c B c C

  

Bài 12.Số đo ba góc trong tam giác ABC lập thành một cấp số cộng và thỏa mãn
33
sin sin sin
2
A B C

  

a) Tính các góc của tam giác ABC
b) Bết nửa chu vi tam giác bằng 50 tính các cạnh của tam giác
Bài 13.Cho cấp số cộng (U
n
) biết
   

22
17 20 17 20
22
34 31 31 34
) 9& 153
) 0 11& 101
a u u u u
b d u u u u
   
    

Tìm d và u
1

Bài 14. Cho cấp số cộng
 
33
1 15
302094
n
u u u
và tổng 15 số hạng đầu tiên bằng 585
Tìm u
1
và d
Bài 15. Ba số x,y,z theo thứ tự lập thành cấp số nhân ;ba số x ,y-4,z theo thứ tự
Cũng lập thành cấp số nhân ;đồng thời các số x,y-4,z-9 theo thứ tự lập thành cấp số
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái nguyên Email:
Website: www.caotu.tk
17

Số cộng .Hãy tìm x,y,z
Bài 16. Các số x+6y,5x+2y,8x+y theo thứ tự lập thành cấp số cộng đồng thời
Các số
5
, 1,2 3
3
x y x y  
theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân .Hãy tính x,y
Bài 17.Các số x+5y,5x+2y ,8x+y .Theo thứ tự lập thành cấp số cộng đồng thời
Các số
   
22
1 , 1 , 2y xy x  
theo thứ tự lập thành cấp số nhân .Tính x và y

DẠY CHỦ NHẬT
4. Nhị Thức nưu tơn
5. Xác suất
6. Cấp số cộng,Cấp số nhân
@1.Nhị thức nưu tơn
Bài 1.Chứng minh
 
0 2 2 4 4 2008 2008 2008 2009
2009 2009 2009 2009
3 3 3 2 2 1C C C C     

Hướng dẫn xét .
   
2009
2009

2009
0
11
i
ii
i
x C x

  


 
2009
2009
2009
0
1
ii
i
x C x




Thay x=3 vào hai đẳng thức rôi cộng lại ta có điều phải chứng minh
Bài 2.Chứng minh rằng
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái nguyên Email:
Website: www.caotu.tk
18
 

0 1 1 2 2 0 1
4 4 4 1 2 2
n
n n n n n n
n n n n n n n
C C C C C C C

        

*
 
1
n
x
Cho x=2
 
4
n
x
=…Cho x=1
Bài 3.Chứng minh
1 2 3 1
2 3 .2
nn
n n n n
C C C nC n

    

Bài 4 Chứng minh

 
1 2 3
2 3 1 0
n
n
n n n n
C C C nC      

Bài 5.Chứng minh
 
1 3 2 1 2 4 2
2 2 2 2 2 2
3 2 1 2 4 2
nn
n n n n n n
C C n C C C nC

       

Bài tập 6.Chứng minh
   
2 3 1
2.1 3.2 . 1 1 2
nn
n n n
C C n n C n n

     

Bài 7.biết tổng các hệ số trong khai triển

 
12
n
x
bằng 6561
Tìm hệ số của x
4

Bài 8.Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển
 
30
12x

CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN
Bài 1.Giải phương trình
32
14
x
xx
A C x



Bài 2.Cho ba số a,b,c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng .Chứng minh
 
2
2
82a bc b c  

Bài 3.Cho ba số dương theo thứ tự lập thành một cấp số cộng a,b,c

Chứng minh ba số
   
3
11
,,
33
a b c ab ac bc abc   

Lập thành cấp số nhân
Bài 4.Tìm x để ba số sau lập thành một cấp số cộng
2
10 3 ;2 3;7 4x x x  

Bài 5.Cho a,b,c lập thành một cấp số cộng .Chứng minh
 
22
2
2
22
82
a bc c ab
a bc b c
  
  

     
2 2 2 2 2 2
,,a ab b a ac c b bc c     
lập thành cấp số cộng
Bài 6. cho

2 2 2
,,abc
lập thành một cấp số cộng có công sai khác 0 .Chứng minh
Rằng 3 số
1 1 1
,,
b c c a a b  
cũng lập thành một cấp số cộng
Bài 7.Cho ba số dương a, b ,c lập thành một cấp số cộng .Chứng minh rằng
Ba số
1 1 1
,,
b c c a a b  
.Lập thành một cấp số cộng
Bài 8.Cho ba số
2 1 2
,,
b a b b c
Lập thành một cấp số cộng .Chứng minh a,b,c lập thành một cấp số nhân
Bài 9. Ba số a,b,c lập thành một cấp số nhân .Chứng minh
  
2 2 2
a b c a b c a b c      

Bài 10. Ba số a,b,c lập thành một cấp số nhân .Chứng minh rằng
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái nguyên Email:
Website: www.caotu.tk
19
  
 

   
2
2 2 2 2
33
a b b c ab bc
ab bc ca abc a b c
   
    

Bài 11 .Cho tam giác ABC .Có các góc A,B,C theo thứ tự này lập thành một cấp
Số nhân cộng bội q=2.Chứng minh :
222
1 1 1
1.
5
2. os os os
4
a b c
c A c B c C

  

Bài 12.Số đo ba góc trong tam giác ABC lập thành một cấp số cộng và thỏa mãn
33
sin sin sin
2
A B C

  

c) Tính các góc của tam giác ABC
d) Bết nửa chu vi tam giác bằng 50 tính các cạnh của tam giác
Bài 13.Cho cấp số cộng (U
n
) biết
   
22
17 20 17 20
22
34 31 31 34
) 9& 153
) 0 11& 101
a u u u u
b d u u u u
   
    

Tìm d và u
1

Bài 14. Cho cấp số cộng
 
33
1 15
302094
n
u u u
và tổng 15 số hạng đầu tiên bằng 585
Tìm u
1

và d
Bài 15. Ba số x,y,z theo thứ tự lập thành cấp số nhân ;ba số x ,y-4,z theo thứ tự
Cũng lập thành cấp số nhân ;đồng thời các số x,y-4,z-9 theo thứ tự lập thành cấp số
Số cộng .Hãy tìm x,y,z
Bài 16. Các số x+6y,5x+2y,8x+y theo thứ tự lập thành cấp số cộng đồng thời
Các số
5
, 1,2 3
3
x y x y  
theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân .Hãy tính x,y
Bài 17.Các số x+5y,5x+2y ,8x+y .Theo thứ tự lập thành cấp số cộng đồng thời
Các số
   
22
1 , 1 , 2y xy x  
theo thứ tự lập thành cấp số nhân .Tính x và y