giải mẫu đề thi cuối kỳ môn giải tích 1( đề 3)

GIẢI MẪU ĐỀ THI CUỐI KÌ GIẢI TÍCH 1
Bản quyền thuộc về Ngân Hàng Đề Thi ĐH Bách Khoa HCM
/>1 Câu 1
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
y =
3
√
x
3
− 2x
2
1.1 Hướng dẫn giải
- Tập xác định của hàm số: D = R
- Ta viết lại hàm số: y = (x
3
− 2x
2
)
1
3
- Đạo hàm của hàm số:
y

=
1
3
(x
3
− 2x
2
)

−
2
3
(3x
2
− 4x) =
1
3
3x
2
− 4x
3

(x
3
− 2x
2
)
2
=
1
3
3x
2
− 4x
3

x
4
(x − 2)

2
=
1
3
3x − 4
3

x(x − 2)
2
y

= 0 ⇔ x =
4
3
+ Điểm làm đạo hàm không xác định là: x = 0 và x = 2
- Bảng biến thiên:
x
y

y
−∞
0
4
3
2
+∞
+ −
0
+ +
−∞−∞

00
−
3
√
32
3
−
3
√
32
3
00
+∞+∞
- Kết luận:
+ Hàm số đồng biến trên: (−∞, 0] ∪

4
3
, +∞

+ Hàm số nghịch biến trên:

0,
4
3

1
+ Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y
CĐ
= 0

+ Hàm số đạt cực tiểu tại x =
4
3
và y
CT
= −
3
√
32
3
- Tìm điểm uốn:
+ Ta có:
y

=
1
3
3x − 4
3

x(x − 2)
2
=
1
3
(3x − 4)x
−
1
3
(x − 2)

−
2
3
+ Logarith hóa 2 vế:
ln(y

) = ln

1
3

+ ln|3x − 4| −
1
3
ln|x| −
2
3
ln|x − 2|
⇒
y

y

=
3
3x − 4
−
1
3x
−

2
3(x − 2)
=
27(x
2
− 2x) − 3(3x − 4)(x − 2) − 6(3x
2
− 4x)
9x(x − 2)(3x − 4)
=
−8
3x(x − 2)(3x − 4)
⇒ y

=
1
3
3x − 4
3

x(x − 2)
2

−8
3x(x − 2)(3x − 4)

⇒ y

=
−8

9
3

x
4
(x − 2)
5
- Bảng xét điểm uốn và dạng đồ thị:
x
y

−∞
0 2
+∞
+ + −
- Các điểm mà làm cho y

đổi dấu là các điểm uốn.
- Các khoảng mà làm cho y

mang dấu (+) tức là lõm, dấu (−) là lồi.
- Các điểm đặc biệt dùng để vẽ đồ thị:
x = 0 ⇒ y = 0
x =
4
3
⇒ y = −
3
√
32

3
≈ −1, 0582
x = 2 ⇒ y = 0
- TIỆM CẬN ĐỨNG:
+ Do tập xác định của hàm số là R nên:
2
⇒ hàm số không có tiệm cận đứng.
- TIỆM CẬN XIÊN:
a = lim
x→∞
3
√
x
3
− 2x
2
x
= lim
x→∞
3

1 −
2
x
= 1
b = lim
x→∞
(
3
√

x
3
− 2x
2
− x) = lim
x→∞

x

3

1 −
2
x
− 1

= lim
x→∞
3

1 −
2
x
− 1
1
x
= lim
x→∞
−
2

3
3


1 −
2
x

2
= −
2
3
⇒ tiệm cận xiên là y = x −
2
3
⇒ không có tiệm cận ngang.
- ĐỒ THỊ HÀM SỐ:
+ Lưu ý là ta vẽ tiệm cận xiên trước.
2 Câu 2
Tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi cung
y = e
−
x
2
, 0 ≤ x ≤ +∞
quay quanh trục Ox.
3
2.1 Hướng dẫn giải
- Ta có công thức tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi cung quay quanh trục
Ox là:

S = 2π

b
a
|f(x)|

1 + [f

(x)]
2
dx
- Do hàm f(x) = e
−
x
2
luôn dương với mọi x nên |f (x)| = e
−
x
2
.
- Đạo hàm của hàm f (x):
f

(x) = −
1
2
e
−
x
2

- Lúc đó ta có:
S = 2π

+∞
0
e
−
x
2

1 +
1
4
e
−x
dx
+ Đặt:
t = e
−
x
2
⇒ t
2
= e
−x
⇒ 2tdt = −e
−x
dx ⇒ dx = −
2
t

dt
+ Đổi cận:
x = 0 ⇒ t = 1 ; x = +∞ ⇒ t = 0
+ Tích phân trở thành:
S = 2π

0
1
t
2
√
4 + t
2

−
2
t

dt = 2π

1
0
√
4 + t
2
dt = 2πI
1
+ Đặt:
u =
√

4 + t
2
⇒ du =
t
√
4 + t
2
dt
dv = dt ⇒ v = t
+ Vậy tích phân I
1
trở thành:
I
1
= t
√
4 + t
2
|
1
0
−

1
0
t
2
√
4 + t
2

dt
=
√
5 −


1
0
√
4 + t
2
dt +

1
0
−4
√
4 + t
2
dt

⇒ 2I
1
=
√
5 +

1
0
4

√
4 + t
2
dt
4
⇒ I
1
=
√
5
2
+ 2

1
0
dt
√
4 + t
2
+ Mà ta đã biết công thức tích phân bất định sau:

dx
√
x
2
± a
2
= ln|x +
√
x

2
± a
2
| + C
+ Nên suy ra:
⇒ I
1
=
√
5
2
+ 2ln(t +
√
t
2
+ 4)|
1
0
=
√
5
2
+ 2ln

1 +
√
5
2

- Vậy diện tích cần tính là:

S = 2π

√
5
2
+ 2ln

1 +
√
5
2

= π

√
5 + 4ln

1 +
√
5
2

3 Câu 3
Tìm α để tích phân sau hội tụ
I =

1
2
0
dx

x
α
√
1 − 4x
2
Tính tích phân khi α = −2
3.1 Hướng dẫn giải
- Ta thấy 2 cận của tích phân làm cho biểu thức dưới dấu tích phân không
xác định. Nên ta tách ra thành 2 tích phân suy rộng loại 2 như sau:
I =

1
4
0
dx
x
α
√
1 − 4x
2
+

1
2
1
4
dx
x
α
√

1 − 4x
2
= I
1
+ I
2
- Xét tích phân I
1
:
I
1
=

1
4
0
dx
x
α
√
1 − 4x
2
5
Xét khi x → 0
+
:
+ Khi α < 0:
1
x
α

√
1 − 4x
2
∼ 0
⇒ I
1
hội tụ.
+ Khi α = 0:
1
x
α
√
1 − 4x
2
∼
1
√
1 − 4x
2
∼ 1
⇒ I
1
hội tụ.
+ Khi α > 0:
1
x
α
√
1 − 4x
2

∼
1
x
α
- Như vậy thì để I
1
hội tụ thì trong trường hợp này α phải thỏa 0 < α < 1
- Tổng hợp lại thì với α < 1 thì I
1
hội tụ!
- Xét tích phân I
2
:
I
2
=

1
2
1
4
dx
x
α
√
1 − 4x
2
+ Xét khi x →
1
2

−
:
+ Khi α < 0:
1
x
α
√
1 − 4x
2
=
1
x
α

(1 + 2x)(1 − 2x)
∼
1
√
2
1
2
α

(1 − 2x)
=
1
√
2
1
2

α

2

1
2
− x

=
1
2
−α+1

1
2
− x

1
2
⇒ do đây là tích phân suy rộng loại 2 và α =
1
2
< 1 nên I
2
hội tụ.
+ Khi α = 0:
1
x
α
√

1 − 4x
2
∼
1
2

1
2
− x

1
2
⇒ I
2
hội tụ.
+ Khi α > 0:
1
x
α
√
1 − 4x
2
∼
1
2
−α+1

1
2
− x


1
2
6
⇒ I
2
hội tụ.
KẾT LUẬN: Do I
2
đã hội tụ nên để cho I hội tụ thì I
1
phải hội tụ. Vậy
α < 1 thỏa mãn.
* Tính tích phân khi α = −2
- Khi α = −2 thì ta có tích phân sau:
I =

1
2
0
x
2
√
1 − 4x
2
dx =
1
2

1

2
0
x
2

1
4
− x
2
dx
+ Đặt:
x =
1
2
sin t với −
π
2
≤ t ≤
π
2
⇒ dx =
1
2
cos tdt
+ Đổi cận:
x = 0 ⇒ t = 0 ; x =
1
2
⇒ t =
π

2
- Tích phân trở thành:
1
8

π
2
0
sin
2
t =
1
8

π
2
0

1
2
−
cos 2x
2

dt =

x
16
−
sin 2x

32

|
π
2
0
=
π
32
4 Câu 4
Giải phương trình:
a) y

=

2x + y
x

2
, y(1) = 2
b) y

− 2y

+ 2y = e
2x
(3 cos x − sin x)
4.1 Hướng dẫn giải
4.1.1 Câu a
y


=

2x + y
x

2
=

2 +
y
x

2
7
- Đặt:
u =
y
x
⇒ y = ux ⇒ y

= u

x + u
- Thay vào phương trình ta được:
u

x + u = (2 + u)
2
⇔

du
dx
.x + u = 4 + 4u + u
2
⇔
du
u
2
+ 3u + 4
=
dx
x
- Lấy tích phân 2 vế:

du
u
2
+ 3u + 4
=

dx
x
⇔ I
1
=

dx
x
- Tính I
1

:
+ Biến đổi:

du
u
2
+ 3u + 4
=

du

u +
3
2

2
+
7
4
+ Đặt:
u +
3
2
=
√
7
2
tan t với −
π
2

< t <
π
2
⇒ du =
√
7
2
1
cos
2
t
dt
+ Và ta suy ra được:
t = arctan

u +
3
2

2
√
7

+ Tích phân I
1
trở thành:

√
7
2

1
cos
2
t
7
4
tan
2
t +
7
4
dt =

√
7
2
1
cos
2
t
7
4
1
cos
2
t
dt =
2
√
7

t
- Vậy ta được:
2
√
7
t = ln|x| + C
⇔ C =
2
√
7
arctan

u +
3
2

2
√
7

− ln|x|
8
⇔ C =
2
√
7
arctan

y
x

+
3
2

2
√
7

− ln|x|
- Thay điều kiện ban đầu y(1) = 2 vào ta được:
C =
2
√
7
arctan

2 +
3
2

2
√
7

=
2
√
7
arctan
√

7
- Vậy nghiệm của phương trình là:
2
√
7
arctan

y
x
+
3
2

2
√
7

= ln|x|+
2
√
7
arctan
√
7
4.1.2 Câu b
y

− 2y

+ 2y = e

2x
(3 cos x − sin x)
- Phương trình đặc trưng:
k
2
− 2k + 2 = 0 ⇔ k
1
= 1 −i ∨k
2
= 1 + i
- Với k
1
= 1 −i, nghiệm của phương trình thuần nhất:
y
0
= e
x
(C
1
cos x − C
2
sin x)
- Ta có:
f(x) = e
2x
(3 cos x − sin x) = e
αx
[P
n
(x) cos βx + Q

m
(x) sin βx]
+ Từ đó suy ra được:
α = 2 ; β = −1 ; P
n
(x) bậc 0 ; Q
m
(x) bậc 0
- Nghiệm riêng có dạng:
y
r
= x
s
e
αx
(H
k
(x) cos βx + T
k
(x) sin βx)
+ Trong đó:
s = 0 vì α + βi = 2 −i không là nghiệm của phương trình đặc trưng.
Bậc của H
k
(x) và T
k
(x) xác định bởi: k = max{m, n} = max{0, 0} = 0
(m, n là bậc của đa thức P
n
(x) và Q

m
(x)).
+ Khi đó ta được:
y
r
= e
2x
(A cos x − B sin x)
9
y

r
= 2e
2x
(A cos x − B sin x) + e
2x
(−A sin x − B cos x)
= e
2x
[(2A − B) cos x + (−A − 2B) sin x]
y

r
= 2e
2x
[(2A−B) cos x+(−A−2B) sin x]+e
2x
[−(2A−B) sin x+(−A−2B) cos x]
= e
2x

[(3A − 4B) cos x + (−4A − 3B) sin x]
+ Thêm nhân thêm hệ số để cộng theo vế, ta được:
2y
r
= e
2x
(2A cos x − 2B sin x)
−2y

r
= e
2x
[(−4A + 2B) cos x + (2A + 4B) sin x]
y

r
= e
2x
[(3A − 4B) cos x + (−4A − 3B) sin x]
+ Cộng 2 vế lại, ta được:
y

r
− 2y

r
+ 2y
r
= e
2x

[(2A −4A + 2B + 3A −4B) cos x + (−2B + 2A + 4B − 4A −3B) sin x]
= e
2x
[(A − 2B) cos x + (−2A − B) sin x]
+ Từ đó ta có:
e
2x
[(A − 2B) cos x + (−2A − B) sin x] = e
2x
(3 cos x − sin x)
+ Từ đó ta có hệ sau:

A − 2B = 3
−2A − B = −1
⇒

A = 1
B = −1
- KẾT LUẬN: Nghiệm tổng quát của phương trình là:
y = e
x
(C
1
cos x − C
2
sin x) + e
2x
(cos x − sin x)
5 Câu 5
Giải hệ phương trình:


x

= x + 2y + e
t
(1)
y

= −x + 3y (2)
10
5.1 Hướng dẫn giải
5.1.1 Phương pháp khử
- Cộng 2 vế của phương trình (1) và (2) lại ta được:
x

+ y

= 5y + e
t
(3)
- Đạo hàm 2 vế của phương trình (2) theo biến t, ta được:
y

= −x

+ 3y

⇒ x

= −y


+ 3y

(4)
- Thay (4) vào (3), ta được:
−y

+ 3y

+ y

= 5y + e
t
⇔ y

− 4y

+ 5y = −e
t
+ Phương trình đặc trưng:
k
2
− 4k + 5 = 0 ⇒ k
1
= 2 + i ∨k
2
= 2 −i
+ Nghiệm của phương trình thuần nhất ứng với k
1
= 2 + i:

y
0
= e
2t
(C
1
cos t + C
2
sin t)
+ Ta có:
f(t) = −e
t
= P
n
(t)e
αt
+ Suy ra:
α = 1 ; P
n
(t)bậc 0
+ Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất có dạng:
y
r
= t
s
e
αt
Q
n
(t)

Trong đó:
s = 0 do α = 1 không là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng.
Q
n
(t) = A vì Q
n
(t) cùng bậc với P
n
(t)
+ Lúc đó, ta có:
y
r
= Ae
t
y

r
= Ae
t
y

r
= Ae
t
11
+ Và ta được:
5y
r
= 5Ae
t

−4y

r
= −4Ae
t
y

r
= Ae
t
+ Suy ra:
y

r
− 4y

r
+ 5y
r
= 2Ae
t
+ Mà ta có:
−e
t
= 2Ae
t
⇒ A = −
1
2
- Ta có nghiệm riêng:

y
r
= −
1
2
e
t
- Suy ra nghiệm tổng quát:
y = e
2t
(C
1
cos t + C
2
sin t) −
1
2
e
t
+ Đạo hàm theo biến t nghiệm tổng quát vừa tìm, ta được:
y

= 2e
2t
(C
1
cos t + C
2
sin t) + e
2t

(−C
1
sin t + C
2
cos t) −
1
2
e
t
= e
2t
[(2C
1
+ C
2
) cos t + (−C
1
+ 2C
2
) sin t] −
1
2
e
t
+ Thay vào phương trình (2), ta được:
e
2t
[(2C
1
+C

2
) cos t+(−C
1
+2C
2
) sin t]−
1
2
e
t
= −x+3

e
2t
(C
1
cos t + C
2
sin t) −
1
2
e
t

⇒ x = 3

e
2t
(C
1

cos t + C
2
sin t) −
1
2
e
t

−e
2t
[(2C
1
+C
2
) cos t+(−C
1
+2C
2
) sin t]+
1
2
e
t
= e
2t
[(3C
1
− 2C
1
− C

2
) cos t + (3C
2
+ C
1
− 2C
2
) sin t] − e
t
= e
2t
[(C
1
− C
2
) cos t + (C
1
+ C
2
) sin t] − e
t
- Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

x = e
2t
[(C
1
− C
2
) cos t + (C

1
+ C
2
) sin t] − e
t
y = e
2t
(C
1
cos t + C
2
sin t) −
1
2
e
t
- Để kiểm chứng lại nghiệm của hệ đã đúng hay không, ta thay các nghiệm
tương ứng này vào hệ, sao cho 2 vế bằng nhau là được.
12