phương pháp tính toán độ bền toa xe

Bùi Khắc Ngọc Luận văn Thạc sỹ KHKT
Chơng 2: phơng pháp tính toán độ bền toa xe G
2.1. Phơng pháp lực.
Khi tính các kết cấu tĩnh định (có độ tự do nhỏ hơn không) chúng ta chỉ
phải thiết lập các phơng trình cân bằng tĩnh học là đủ để tính phản lực tại các
gối, ngàm. Tuy nhiên, trong thực tế, các kết cấu toa xe nói chung, kết cấu toa xe
G nói riêng hầu hết đều là kết cấu siêu tĩnh. Nếu sử dụng các phơng trình cân
bằng tĩnh học tại các gối, các ngàm thì sẽ là không đủ.
2L
2
b
2L
2
b
Hình 2.1. Kết cấu bệ xe toa xe hàng

- ẩn số cơ bản:
Theo kết cấu hình 2.1 nếu ta tính đợc nội lực của các liên kết thừa trong
kết cấu siêu tĩnh thì kết cấu đó trở thành kết cấu tĩnh định dới tác dụng của ngoại
lực cho trớc và nội lực của liên kết thừa. Vậy nội lực của các liên kết thừa chính
là các ẩn số cần tìm. Hay ẩn số cơ bản là nội lực các liên kết thừa. Ký hiệu là X
i
.
- Kết cấu cơ bản:
Nếu bỏ đi toàn bộ hay một số các liên kết thừa của kết cấu siêu tĩnh đã
cho thay bằng các nội lực, ta sẽ đợc một kết cấu tĩnh định hay kết cấu siêu tĩnh
bậc thấp hơn không biến dạng hình học, dùng để tính nội lực kết cấu siêu tĩnh.
Kết cấu đó gọi là kết cấu cơ bản của phơng pháp lực.
Nghiên cứu phơng pháp tính chính xác thùng toa G
13
Bùi Khắc Ngọc Luận văn Thạc sỹ KHKT

Kết cấu cơ bản của phơng pháp lực có nhiều dạng khác nhau: kết cấu
khung, kết cấu dàn, kết cấu dầm liên tục. Trong đó có một dạng là tốt nhất, hợp
lý nhất, quá trình tính toán sẽ ngắn gọn nhất.
Tóm lại kết cấu cơ bản của phơng pháp lực phải đảm bảo hai điều kiện là
tĩnh định và không biến dạng hình học.
- Phơng trình chính tắc
Để tính đợc các ẩn số cơ bản, ta phải thiết lập hệ phơng trình tơng ứng với
các ẩn số cơ bản đó. Các phơng pháp đợc thiết lập theo điều kiện chuyển vị (hay
điều kiện biến dạng) tại các vị trí có các ẩn cơ bản. Hệ phơng trình đó gọi là hệ
phơng trình chính tắc của phơng pháp lực hay còn gọi là hệ phơng trình biến
dạng.
X
1
X
2
X
3
3
3
2
2
1
1
X
1
X
2
X
3
3

3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
Hình 2.3. Kết cấu cơ bản của bệ toa xe
Ví dụ có một kết cấu bệ xe siêu tĩnh nh hình trên. Dới tác dụng của ngoại
lực, kết cấu sẽ bị biến dạng, nếu gọi
1
,
2
,
3
lần lợt là chuyển vị do các ẩn lực
đơn vị (ẩn số cơ bản) X
1
, X
2
và X
3
thì cơ sở để thiết lập hệ phơng trình chính tắc:

=
=
=
0
0
0
3
2
1
(2.1)
Theo nguyên lý cộng tác dụng, các chuyển vị đó là:





=+++=
=+++=
=+++=
0
0
0
p33332313
p22322212
p11312111
(2.2)
ij

- là chuyển vị theo phơng X
i
do lực X
j
gây nên.
ip

- là chuyển vị theo phơng X
i
do lực P gây nên.
Nếu thay:
Nghiên cứu phơng pháp tính chính xác thùng toa G
14
Bùi Khắc Ngọc Luận văn Thạc sỹ KHKT
ij

=
ij
.X
i
(2.3)

ik
là chuyển vị theo phơng X
i
do lực x
j
= 1 gây ra
Khi đó phơng trình có dạng sau:

=+++
=+++
=+++
0XXX
0XXX
0XXX
p3333232131
p2323222121
p1313212111
(2.4)
Phơng trình (2.4) là phơng trình chính tắc của phơng pháp lực. Các số
hạng
ij
là các hệ số của phơng trình. Các số hạng
ip
là các số hạng tự do (hay
các số hạng tải trọng) của phơng trình.
Sau khi đã tính đợc các hệ số và số hạng tự do, ta giải hệ phơng trình sẽ tìm
đợc các ẩn cơ bản X
1
, X
2
và X
3

Nội lực tại mặt cắt bất kỳ hay biểu đồ nội lực của kết cấu tính theo công thức

sau:





+++=
+++=
+++=
p332211
p332211
p332211
NX.NX.NX.NN
QX.QX.QX.QQ
MX.MX.MX.MM
(2.5)
Nếu kết cấu có n bậc siêu tĩnh ,tơng ứng ta có n phơng trình:







=++++
=++++
=++++
0X X.X.

0X X.X.

0X X.X.
npnnn22n11n
p2nn2222121
p1nn1212111
(2.6)
Nội lực tính theo công thức sau:









+=
+=
+=



=
=
=
p
n
1i
ii
p
n

1i
ii
p
n
1i
ii
NX.NN
QX.QQ
MX.MM
(2.7)
Các hệ số và các số hạng tự do đều là các chuyển vị. Tính bằng các công
thức tính chuyển vị của kết cấu.
Nghiên cứu phơng pháp tính chính xác thùng toa G
15
Bùi Khắc Ngọc Luận văn Thạc sỹ KHKT
Các hệ số nằm trên đờng chéo chính của phơng trình
11
,
22

nn
, luôn
luôn dơng và tính theo công thức sau:




à
++=
S

0
S
0
2
i
S
0
2
i
2
i
ii
GF
dSQ
EF
dSN
EJ
dSM
(2.8)
Các hệ số khác đều là hệ số phụ
ij
. Các hệ số phụ từng đôi một nằm ở vị
trí đối xứng đối với đờng chéo chính và bằng nhau theo định lý tơng hỗ giữa các
chuyển vị đơn vị
ik
=
ki
và tính theo công thức sau:

à
++=
S
0
ki
S
0
S
0
kiki
ik
GF
dSQQ
EF
dSNN
EJ
dSMM
(2.9)
Các số hạng tự do tính theo công thức sau:




à
++=
S

0
S
0
pi
S
0
pipi
ip
GF
dSQQ
EF
dSNN
EJ
dSMM
(2.10)
Nh vậy ta có thể tóm tắt các bớc tính toán một kết cấu siêu tĩnh dới tác
dụng của tải trọng bằng phơng pháp lực nh sau:
1. Xác định bậc siêu tĩnh của kết cấu, đồng thời phải xác định đợc liên kết
nào là liên kết thừa.
2. Chọn kết cấu cơ bản và thiết lập phơng trình chính tắc.
3. Tính các hệ số và số hạng tự do của phơng trình để tính đợc các hệ số và
số hạng tự do ta phải tính hoặc vẽ các biểu đồ nội lực X
i
= 1 và tính
hoặc vẽ biểu đồ nội lực do ngoại lực tác dụng trên kết cấu cơ bản sinh ra
Sau đó đa các nội lực vào công thức ứng để tính .
4. Giải hệ phơng trình chính tắc để tính các ẩn cơ bản X
1
, X
2

X
n
5. Tính hoặc vẽ các biểu đồ nội lực theo công thức (2.5).
! "
Thông thờng trong tính toán độ bền kết cấu nói chung, tính độ bền toa xe
nói riêng thì bậc siêu tĩnh càng cao số phơng trình trong hệ phơng trình chính tắc
Nghiên cứu phơng pháp tính chính xác thùng toa G
16
Bùi Khắc Ngọc Luận văn Thạc sỹ KHKT
càng nhiều. Khối lợng tính toán và việc giải hệ phơng trình càng nặng nề. Muốn
giảm nhẹ đợc khối lợng tính toán thì phải tìm cách làm đơn giản đợc hệ phơng
trình chính tắc, hoặc tách đợc hệ phơng trình thành nhiều nhóm phơng trình độc
lập. Muốn đạt đợc mục đích đó thì điều chủ yếu là làm sao cho tất cả các hệ số
phụ của phơng trình đều bằng không. Hoặc có nhiều hệ số phụ bằng không.
Theo công thức tính chuyển vị kết cấu:


= dS
EJ
MM
ki
ik
(2.11)
Muốn cho
ik
= 0 tức là biểu đồ
i
M
nhân với biểu đồ
k

M
bằng không thì
hai biểu đồ đó phải có một trong những trờng hợp sau đây:
- Một biểu đồ là đối xứng, biểu đồ kia là phản đối xứng.
- Trong mỗi đoạn tơng ứng thì một trong hai biểu đồ phải bằng không.
- Trọng tâm của biểu đồ này phải trùng hợp với vị trí có tung độ bằng không
của biểu đồ kia.
Muốn cho các biểu đồ mômen đơn vị phù hợp với các trờng hợp trên thì
vấn đề cơ bản là phơng pháp chọn kết cấu cơ bản. Có nhiều biện pháp xử lý về
kết cấu cơ bản, đa bài toán phức tạp thành bài toán cơ giản.
Biện pháp có hiệu quả nhất là lợi dụng tính đối xứng của kết cấu và tổ hợp các
ấn số cơ bản.
Lợi dụng tính đối xứng của kết cấu.
Một kết cấu đối xứng phải có kích thớc hình học đối xứng, liên kết gối đối
xứng và độ cứng đối xứng. Một kết cấu có thể có một hoặc hai trục đối xứng.
Nhng thông thờng có một trục đối xứng. Có trờng hợp liên kết gối không hoàn
toàn đối xứng, nhng dới tác dụng của tải trọng ta vẫn có thể vẽ đợc biểu đồ nội
lực đối xứng.
Trong kết cấu toa xe với các trờng hợp tải trọng tác dụng lên kết cấu thờng
có ít nhất một trục đối xứng. [2] Xét bài toán bệ xe nh hình 2.1 chịu tải trọng
thẳng đứng tĩnh và động, do tính chất đối xứng ta chỉ cần xét 1/4 kết cấu, trong
đó xà dọc giữa chỉ đợc giữ lại một nửa.
Nghiên cứu phơng pháp tính chính xác thùng toa G
17
Bùi Khắc Ngọc Luận văn Thạc sỹ KHKT
b
L
l
3
l

2
l
1
b
L
l
3
l
2
l
1
Hình 2.4. Sơ đồ hình học 1/4 kết cấu bệ xe dới tác dụng của
tải trọng thẳng đứng
Bậc siêu tĩnh của kết cấu theo hình 2.1 đợc tìm theo công thức:
2
1m
S

=
(2.12)
khi số lợng xà ngang m là một số lẻ,
và
1
2
m
S =
(2.13)
khi số lợng xà ngang m là một số chẵn.
Kết cấu cơ bản đợc tạo thành bằng cách thay thế mối nối kết cứng xà dọc
giữa, xà ngang bằng các khớp, đồng thời đa vào các mômen uốn X

i
cha biết hình
2.5.a. Các hình 2.5.b, hình 2.5.c, hình 2.5.d là các biểu đồ mô men uốn đơn vị.
Trong trờng hợp này để rõ ràng, biểu đồ nội lực của tải trọng đã tách ra làm ba:
tải trọng rải đều trên xà dọc giữa hình 2.5.e ; tải trọng rải đều lên xà dọc cạnh
hình 2.5.f ; tải trọng tập trung đặt ở đầu các xà dọc hình 2.5.g.
X
1
X
2
X
3
3
3
2
2
1
1
a,
X
1
X
2
X
3
3
3
2
2
1

1
X
1
X
2
X
3
3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
a,
M
1
X
1
=1
b,
M
1
X
1

=1
M
1
M
1
X
1
=1X
1
=1
b,
X
2
=1
M
2
c,
X
2
=1
M
2
X
2
=1X
2
=1
M
2
M

2
c,
Nghiên cứu phơng pháp tính chính xác thùng toa G
18
Bùi Khắc Ngọc Luận văn Thạc sỹ KHKT
X
3
=1
M
3
d,
X
3
=1
M
3
X
3
=1X
3
=1
M
3
M
3
d,
M
q
dgi
1/2q

dgi
e,
M
q
dgi
1/2q
dgi
M
q
dgi
M
q
dgi
1/2q
dgi
e,
q
dc
q
c
Lb
M
q
c
f,
q
dc
q
c
Lb

M
q
c
q
dc
q
c
Lb
M
q
c
M
q
c
f,
P
P
M
P
g,
P
P
M
P
P
P
M
P
P
M

P
g,
Hình 2.5. Kết cấu cơ bản và biểu đồ nội lực
Ta có hệ phơng trình sau:







=++++
=++++
=+++++
0XXX
0XXX
0XXX
P3q3q3333232131
P2q2q2323222121
P1q1q1313212111
dcdgi
dcdgi
dcdgi
(2.14)
Trong tính toán, đối với xà ngang (xà gối, xà ngang giữa) có mặt cắt
ngang biến đổi theo chiều dài, cần dùng mômen quán tính tơng đơng thay cho
giá trị thực (J
tđ
đợc lấy giá trị tại mặt cắt ngang cách xà dọc một đoạn 1/3ữ1/4 bề
dài của xà).

Thực tế trong tính toán kết cấu toa xe có nhiều trờng hợp không thể dùng
phơng pháp cắt trục đối xứng nh trên đợc. Để lợi dụng đợc tính đối xứng của kết
cấu ngời ta dùng phơng pháp tổ hợp các ẩn số cơ bản.
2.2. Phơng pháp ma trận.
2.2.1. Dạng ma trận của phơng pháp lực
Khi kết cấu có bậc siêu tĩnh bằng n. Sau khi đã chọn đợc kết cấu cơ bản T-
ơng ứng ta thiết lập đợc hệ phơng trình chính tắc sau:
Nghiên cứu phơng pháp tính chính xác thùng toa G
19
Bùi Khắc Ngọc Luận văn Thạc sỹ KHKT







=++++
=++++
=++++
0X X.X.

0X X.X.
0X X.X.
npnnn22n11n
p2nn2222121
p1nn1212111
(2.15)
Chuyển hệ phơng trình trên sang dạng ma trận ta có:
nn2n1n

n22221
n11211

n
2
1


= -





















np
p2
p1

(2.16)
Đặt D là ma trận các hệ số của phơng trình .
X
i
là ma trận các ẩn số cơ bản .
p

là ma trận các số hạng tự do.
Do đó ta có công thức
D.X = -
p
X = - D
-1
.
p
Trong đó :
X =

n
2
1


ma trận các ẩn số cơ bản
D =
nn2n1n
n22221
n11211








=


.F.

(2.17)

ma trận nội lực đơn vị. Do các ẩn lực đơn vị X
1
= 1, X
2
= 1, X
n
= 1
tác dụng trên kết cấu cơ bản sinh ra. Có n cột và số hàng tuỳ thuộc vào số đoạn
chia và hình dạng của biểu đồ .
Nghiên cứu phơng pháp tính chính xác thùng toa G
20
Bùi Khắc Ngọc Luận văn Thạc sỹ KHKT
F là ma trận độ mềm. Là ma trận vuông tựa chéo có số hàng số cột của ma
trận


và số cột bằng số hàng của ma trận


p
=

np
p2
p1


=


.F.
p

(2.18)
Thay và ta có :
X = - (

.F.

)
-1
.


.F.M
p
(2.19)
Nội lực của kết cấu đợc tính theo phơng trình sau:
M = M
p
+

.X (2.20)
Thay X ở trên ta có:
M = M
p
-

.(


.F.

)
-1
.

.F.M
p
(2.34)
Nếu dàn siêu tĩnh ta chỉ cần thay M bằng N:
Vậy:
N = N
p
-
N
.(
'N
.F.
N
)
-1
.
'N
.F.N
p
(2.21)
Trong đó ma trận mềm có dạng sau:
F =
m
m
2
2
1
1

EF
S


EF
S

EF
S
(2.22)
Ma trận độ mềm F của kết cấu dàn là ma trận đờng chéo. Có kích thớc (m,
m), m là số thanh trong dàn.
Công thức (2.21) dùng để tính các loại kết cấu dầm, khung trong quá
trình tính toán bỏ qua ảnh hởng của nội lực dọc trục N và lực cắt Q tới các
chuyển vị. Công thức (2.22) dùng riêng cho kết cấu dàn siêu tĩnh.
Nghiên cứu phơng pháp tính chính xác thùng toa G
21
Bùi Khắc Ngọc Luận văn Thạc sỹ KHKT
Có nhiều trờng hợp tính cả ảnh hởng của lực học tới các chuyển vị. Đồng
thời để công thức ở dạng chung cho các loại kết cấu. Ta ký hiệu S là nội lực của
kết cấu (có thể là mô men, hay lực dọc). Vậy ta có công thức chung nh sau:
S = S
p
-
S
.(
S
.F.
S
)

-1
.
S
.F.S
p
(2.23)
Trong đó:
S
là ma trận nội lực đơn vị do các lực X
1
= 1 , X
2
= 1 . . . X
n
= 1 tác dụng
trên kết cấu cơ bản sinh ra.
S
p
là ma trận nội lực do các ngoại lực tác dụng trên kết cấu cơ sản sinh ra.
F là ma trận độ mềm của kết cấu.
Chú ý: Khi tải trọng tác dụng trên kết cấu đã quy đổi thành các tải trọng tập
trung trên các điểm chia. Đồng thời khi tính các chuyển vị tính đến cả ảnh hởng
của lực dọc trục thì các ma trận
S
i
, S
pi
và F
i
của các đoạn chia có dạng sau:

S
i
=
p
i
t
i
i
M
M
N
; S
ip
=
p
pi
t
pi
pi
M
M
N
; F
i
=
i
i
i
i
i

i
i
i
i
i
3EF
d

6EF
d
0
6EF
d

3EF
d
0
0 0
EF
d
Dạng ma trận của phơng pháp chuyển vị
Phơng trình chính tắc của phơng pháp chuyển vị viết dới dạng ma trận nh
sau:
nnn3n2n1
2n232221
1n131211
r r r r


r r r r

r r r r
.
n
2
1
Z


Z
Z
= -
np
2p
1p
R


R
R
D
r
.r = - R
p
Z = - D
r
-1
.R
p
Trong đó :
Nghiên cứu phơng pháp tính chính xác thùng toa G

22
Bùi Khắc Ngọc Luận văn Thạc sỹ KHKT
D
r
=
nnn3n2n1
2n232221
1n131211
r r r r


r r r r
r r r r
và R
p
= -
np
2p
1p
R


R
R
Ma trận nội lực của kết cấu tính theo phơng trình sau:
M = M
p
+
M
Z (2.24)

Cách thiết lập ma trận các hệ số của phơng trình D
r
Hình biểu diễn mô tả 2 trạng thái chuyển vị đơn vị: Trạng thái i có Z
i
= 1
tác dụng và trạng thái K có Z
k
= 1 tác dụng.
Theo định lý tơng hỗ giữa các phản lực đơn vị ta có:
r
ik
= r
ki
Ma trận các hệ số của phơng trình D có dạng:
D
r
=
M
.F.
M
Trong đó
M
là ma trận nội lực do các chuyển vị đơn vị Z
1
= 1, Z
n
tác
dụng trên kết cấu cơ bản của phơng pháp chuyển vị sinh ra.
F là ma trận độ mềm của kết cấu.
Ta có:

Z = (
M
.F.
M
)
-1
M
.F.M
*
p
Từ đó ta có:
M = M
p
+
M
(
M
.F.
M
)
-1
.
M
.F.M
*
p
Trong đó:
M
- ma trận nội lực đơn vị do Z
1

= 1, Z
n
= 1 tác dụng trên kết cấu cơ
bản của phơng pháp chuyển vị sinh ra.
M
p
- ma trận nội lực do ngoại lực P tác dụng trên kết cấu cơ bản của ph-
ơng pháp chuyển vị sinh ra.
M
*
p
- biểu đồ mô men phụ trợ ngoại lực tác dụng trên kết cấu tĩnh định.
F - ma trận độ mềm của kết cấu.
Nghiên cứu phơng pháp tính chính xác thùng toa G
23
Bùi Khắc Ngọc Luận văn Thạc sỹ KHKT
2.2.2. Tính toán thùng xe G dới tác dụng của tải trọng thẳng đứng và tải
trọng dọc bằng phơng pháp ma trận.
- Sơ đồ tính toán:
Trong sơ đồ tính toán thùng xe G, bệ xe đợc coi là một hệ thanh thông th-
ờng:
+ Thành bên và mui xe tạo thành một vỏ hình , sẽ đợc biểu thị bằng một
hệ thanh đặc biệt, gồm hai thanh dọc nằm trong mặt phẳng thành bên và đi qua
trọng tâm mặt cắt ngang của vỏ, nối kết cứng với các xà ngang bệ xe bằng những
cột đứng tuyệt đối cứng. Trên hình 2.6: h
đ
- bề cao cột đứng là khoảng cách từ
mặt phẳng bệ xe tới trọng tâm mặt cắt ngang của tổ hợp thành bên và mui xe.
Đối với vùng khoang cửa (không có thành bên) thanh dọc thể hiện cho vỏ hình
tính từ mép trên khoang cửa, đờng trọng tâm mặt cắt ngang do đó cao hơn

một chút so với hai phần đầu.
2
b
h

xà ngang
xà dọc giữa
xà dọc giữa
xà ngang
2
b
h

xà ngang
xà dọc giữa
2
b
h

xà ngang
xà dọc giữa
xà dọc giữa
xà ngang
xà dọc giữa
xà ngang
Hình 2.6. Sơ đồ tính toán của thùng xe dới dạng hệ thanh không gian
+ Kết cấu thùng xe là đối xứng với mặt phẳng thẳng đứng dọc (lợi dụng
tính chất đối xứng, trong tính toán chỉ xét 1/2 kết cấu)
+ Do độ cứng chống uốn của xà ngang bệ xe lớn hơn nhiều so với của tổ
hợp cột đứng và thanh giằng dới thành bên mà mối nối kết của cột đứng và xà

Nghiên cứu phơng pháp tính chính xác thùng toa G
24
Bùi Khắc Ngọc Luận văn Thạc sỹ KHKT
ngang chỉ chịu ba loại hình nội lực: lực thẳng đứng ; lực theo phơng dọc toa xe
và mômen ứng với biến dạng xoắn xà ngang bệ xe (hình 2.6).
+ Mối nối liên kết xà dọc giữa và xà ngang bệ xe không truyền lực theo
phơng ngang toa xe (không có lực dọc trục trong các xà ngang) ; do tính chất đối
xứng đối với trục dọc toa xe không truyền mômen ứng với biến dạng xoắn của
xà dọc giữa cũng nh mômen đối với trục thẳng đứng(hình 2.6).
- Kết cấu cơ bản:
Kết cấu cơ bản theo sơ đồ hình 2.6 đợc chọn nh sau:
+ Tại mặt cắt ngang của xà dọc giữa sát liền nút nối kết với xà ngang (trừ
hai xà đầu) đa vào một chốt quay, đồng thời thay thế vào đó một cặp mômen uốn
ẩn.
+ Tháo bỏ ràng buộc ứng với mômen làm xoắn xà ngang tại mối kết với
xà dọc giữa.
+ Tháo bỏ ràng buộc ứng với lực cắt theo phơng ngang dọc tại nút nối kết
cột đứng và xà ngang, trừ một nút nối kết cột đứng và xà đầu (hình 2.6 nút nối
kết ở đầu bên phải đợc giữ nguyên)
l
1
l
2

l
t
l
1
l
2

l
1
l
2

l
t
l
t
b
h

X
g
X
g+1
X
g+2
X
2g-1
X
1
X
2
X
3
X
g-1
X

2g
X
2g+1
X
2g+2
X
3g
b
h

X
g
X
g+1
X
g+2
X
2g-1
X
1
X
2
X
3
X
g-1
X
2g
X
2g+1

X
2g+2
X
3g
Hình 2.7. Kết cấu cơ bản và hệ ẩn lực
Nghiên cứu phơng pháp tính chính xác thùng toa G
25
Bùi Khắc Ngọc Luận văn Thạc sỹ KHKT
Nếu gọi g là số lợng nhịp giữa các xà ngang thì số lợng xà ngang (kể cả
hai xà đầu) sẽ là g+1.
Theo hình 2.7: Khi 1

i

g-1 thì X
i
là mômen uốn trong xà dọc giữa tại
mặt cắt ngang sát liền nút nối kết với xà ngang ; với g

i

2g-1 thì X
i
là lực cắt
tại đầu mút xà ngang (lực cắt đã đợc chia cặp) ; với 2g

i

3g-1 thì X
i

là
mômen xoắn trong xà ngang tại mút nối kết với xà dọc giữa. Tổng số ẩn lực là
3g.
- Ma trận [B
i
] - phần tử là tung độ ở đầu mút mỗi đoạn của các biểu đồ nội lực
đơn vị
Q=
1
l
1
Q=
1
l
2
+
-
b
l
2
b
l
1
+
b
l
2
b
l
1

1
1
X
1
Q=
1
l
i
Q=
1
l
i+1
+
-
b
l
i+1
b
l
i
+
b
l
i+1
b
l
i
1
1
X

i
X
g
+
-
-
-
-
N=1
N=1
b
b
h

X
i
+
-
-
-
-
N=1
N=1
b
b
h

1
b
l

1
Q=
1
l
1
b
l
1
1
1
X
2g
+
+
+
+
Q=
X
i
1
b
l
i-2g+1
1
1
+
+
+
+
b

l
i-2g+1
1
l
i-2g+1
X
3g
1
1
1
+
+
+
1
l
g
Q=
b
l
g
b
l
g
Q=
1
l
1
Q=
1
l

2
+
-
b
l
2
b
l
1
+
b
l
2
b
l
1
1
1
X
1
Q=
1
l
1
Q=
1
l
1
1
l

1
Q=
1
l
2
Q=
1
l
2
1
l
2
+
-
b
l
2
b
l
1
+
b
l
2
b
l
1
1
1
X

1
b
l
2
b
l
1
+
b
l
2
b
l
2
b
l
1
b
l
1
+
b
l
2
b
l
2
b
l
1

b
l
1
1
1
X
1
X
1
Q=
1
l
i
Q=
1
l
i
1
l
i
Q=
1
l
i+1
Q=
1
l
i+1
1
l

i+1
+
-
b
l
i+1
b
l
i
+
b
l
i+1
b
l
i+1
b
l
i
b
l
i
+
b
l
i+1
b
l
i+1
b

l
i
b
l
i
1
1
X
i
X
i
X
g
+
-
-
-
-
N=1
N=1
b
b
h

X
g
X
g
+
-

-
-
-
N=1
N=1
b
b
h

+
-
-
-
-
N=1
N=1
b
b
h

h

X
i
+
-
-
-
-
N=1

N=1
b
b
h

X
i
X
i
+
-
-
-
-
N=1
N=1
b
b
h

+
-
-
-
-
N=1
N=1
b
b
h

h

1
b
l
1
Q=
1
l
1
b
l
1
1
1
X
2g
+
+
+
+
1
b
l
1
Q=
1
l
1

b
l
1
1
1
X
2g
1
b
l
1
b
l
1
Q=
1
l
1
Q=
1
l
1
1
l
1
b
l
1
b
l

1
1
1
X
2g
X
2g
+
+
+
+
Q=
X
i
X
i
1
b
l
i-2g+1
b
l
i-2g+1
1
1
+
+
+
+
b

l
i-2g+1
b
l
i-2g+1
1
l
i-2g+1
1
l
i-2g+1
X
3g
X
3g
1
1
1
+
+
+
1
l
g
1
l
g
Q=
b
l

g
b
l
g
b
l
g
b
l
g
Hình 2.8. Biểu đồ nội lực đơn vị trong kết cấu cơ bản
Nghiên cứu phơng pháp tính chính xác thùng toa G
26
Bùi Khắc Ngọc Luận văn Thạc sỹ KHKT
Trớc khi xây dựng ma trận nội lực đơn vị [B
i
] ta phải xây dựng các biểu đồ
nội lực đơn vị trong kết cấu cơ bản. Trong từng đoạn của sơ đồ hình 2.8 chỉ vẽ
biểu đồ của các loại hình nội lực có vai trò đáng kể tới biến dạng của kết cấu.
Trên hình 2.8 trên nhiều đoạn trong sơ đồ tính toán, biểu đồ của một vài loại
hình nội lực gây ra bởi tất cả mọi ẩn lực
i
X
=1 đều không tồn tại hoặc đã bị bỏ
qua, nh biểu đồ lực cắt Q trong xà dọc giữa và các xà ngang đều không đợc vẽ
ra; nh vậy thuận tiện cho việc đánh số các đoạn trên kết cấu.
Trong việc đánh số các đoạn của kết cấu, mỗi nhịp của xà dọc giữa và của
thanh dọc thành bên giới hạn bởi hai xà ngang (hai cột đứng) đợc coi là một
đoạn; mỗi một nửa xà ngang cũng đợc coi là một đoạn. Cột đứng chỉ là những
phần tử phụ thêm với chức năng đa truyền lực, không thuộc về kết cấu, do vậy

không đợc đánh số.
Các đoạn thẳng trên hình 2.8 có biểu đồ nội lực lần lợt đợc đánh số theo
trình tự loại hình nội lực: M
y
, M
z
, N, Q
z
, M
x
. Số chỉ ứng với từng loại hình nội lực
đợc ghi trên sơ đồ tính toán hình 2.9.
2g+2 16 17 18 19 20 21 22 = 3g+1: M
y
5g+3 38 39 40 41 42 43 44 = 6g+2: N
4g+3 31 32 33 34 35 36 37 = 5g+2: N
01 02 03 04 05 06 07 = g : M
y
g+1= 08 09 10 11 12 13 14 15 = 2g+1: M
y
3g+2= 23 24 25 26 27 28 29 30 = 4g+2: M
z
A B
A B
A
B
A
B
l
t

2g+2 16 17 18 19 20 21 22 = 3g+1: M
y
5g+3 38 39 40 41 42 43 44 = 6g+2: N
4g+3 31 32 33 34 35 36 37 = 5g+2: N
01 02 03 04 05 06 07 = g : M
y
g+1= 08 09 10 11 12 13 14 15 = 2g+1: M
y
3g+2= 23 24 25 26 27 28 29 30 = 4g+2: M
z
A B
A B
A
B
A
B
A
B
A
B
l
t
l
t
6g+3 45 46 47 48 49 50 51 = 7g+2: Q
x
8g+4 60 61 62 63 64 65 66 = 9g+3: T(Q
y
)
7g+3= 52 53 54 55 56 57 58 59 = 2g+1: M

x
9g+4= 67 68 69 70 71 72 73 74 = 10g+4: N
T
(N)
6g+3 45 46 47 48 49 50 51 = 7g+2: Q
x
8g+4 60 61 62 63 64 65 66 = 9g+3: T(Q
y
)
7g+3= 52 53 54 55 56 57 58 59 = 2g+1: M
x
9g+4= 67 68 69 70 71 72 73 74 = 10g+4: N
T
(N)
Hình 2.9. Chia đoạn và đánh số các đoạn
Nghiên cứu phơng pháp tính chính xác thùng toa G
27
Bùi Khắc Ngọc Luận văn Thạc sỹ KHKT
Bảng. Số chỉ của các đoạn
#
$%
(trờng hợp chung)
$%
(khi g =7)
M
y
1 t 3g+1 ; h
1
=3g+1 1 t 22 ; h
1

=22
M
z
3g+2 t 4g+2 ; h
2
=g+1 23 t 30 ; h
2
=8
N
4g+3 t 6g+2 ; h
3
=2g 31 t 44 ; h
3
=14
Q
z
6g+3 t 7g+2 ; h
4
=g 45 t 51 ; h
4
=7
Q
y
7g+3 t 8g+3 ; h
5
=g+1 52 t 59 ; h
5
=8
Đối với mọi
i

X
=1, biểu đồ nội lực đều có dạng đơn giản, tung độ R
tai
và
R
tbi
ở các đầu mút đoạn t của biểu đồ nội lực đơn vị đợc xác định một cách dễ
dàng, sau đó lập đợc ma trận [B
i
] có kích thớc [hxn], trong đó h là tổng số đoạn
đã chia (h=8g+3), n là tổng số ẩn lực. Loại hình của nội lực R và vị trí của đoạn
thẳng t có thể nhận biết đợc dựa theo bảng trên và hình 2.9 tuỳ thuộc vào trị số t.
- Ma trận [
B
P
] - phần tử là tung độ ở đầu mút mỗi đoạn của biểu đồ nội lực đơn
vị
2L
2
l
R
1
R
2
q
dg1
q
dc1
t=45
+

P
1
= 1
t=7g+1=50
Q
zta
Q
ztb
2L
2
l
R
1
R
2
q
dg1
q
dc1
2L
2
l
R
1
R
2
q
dg1
q
dc1

t=45
+
P
1
= 1
t=7g+1=50
Q
zta
Q
ztb
t=45
++
P
1
= 1P
1
= 1
t=7g+1=50
Q
zta
Q
ztb
Nghiên cứu phơng pháp tính chính xác thùng toa G
28
Bùi Khắc Ngọc Luận văn Thạc sỹ KHKT
t=g+1=8
t=2
t=g=7
t=16
t=18

t=15
M
yta
M
ytc
M
ytb
+
+
t=g+1=8
t=2
t=g=7
t=16
t=18
t=15
M
yta
M
ytc
M
ytb
+
+
Hình 2.10. Biểu đồ mômen uốn M
y
và lực cắt Q
z
do trọng bì
P
=1 gây ra trong

kết cấu cơ bản
Lần lợt xét từng tải trọng:
+ Trọng bì đơn vị
1
P
=1 (trọng lợng của bản thân thùng xe). Đợc coi là sắp xếp
đều trên suốt bề dài thùng xe. Để tiện tính toán, các tải trọng đợc viết dới dạng
q
dg1
= k
11
P
1
; q
c1
= k
21
P
1
; R
1
= k
31
P
1
(2.25)
trong đó:
k
11
=

1
dgbe
P.L2
PP
8
5
.
2
1
+
; k
21
=
1
dgbe1
P.L2
PP
8
5
P
.
2
1

; k
11
=
4
1
(2.26)

Biểu đồ mômen uốn M
y
và biểu đồ lực cắt Q
z
của tải trọng
P
=1 trong kết cấu cơ
bản đợc vẽ ở hình 2.10.
Biểu đồ cong cần đợc chuyển đổi thành đờng thẳng tơng đơng. Tung độ của biểu
đồ thẳng tơng đơng ở hai đầu mút đoạn thẳng đợc tính theo:
( )








= F2
l
S3
l
2
R
tt
td
ta
;
( )

= F
l
S3
l
2
R
tt
td
ta
(2.27)
trong đó S và F lần lợt l mômen tĩnh đối với trục y và bề mặt của hình mặt
phẳng đợc bao bọc bởi đờng cong với đoạn thẳng đợc xét:
S =
( )

1
l
0
t
xdxxR
; F =
( )

lt
0
t
dxxR
(2.28)
Theo công thức Sympson, có công thức gần đúng:
{ }
( )
( )
[ ]
{ }
t
td
tb
td
ta
t
aT
R
R
c =






=
(2.29)

Nghiên cứu phơng pháp tính chính xác thùng toa G
29
Bùi Khắc Ngọc Luận văn Thạc sỹ KHKT
trong đó:
{ }










=
tb
tc
ta
t
R
R
R
a
;
[ ]

=
221
122
T
(2.30)
mà R
ta
, R
tc
, R
tb
lần lợt là tung độ của biểu đồ tại đầu mút gốc A, điểm giữa C và
đầu mút cuối B của đoạn t đợc xét.
Với biểu đồ nội lực có dạng đờng thẳng trong mỗi đoạn t, dựa theo biểu
đồi nội lực đã vẽ ở hai đầu mút đoạn t đang xét, tạo thành một véc tơ chứa hai
phần tử {c
tp1
}
{ }






=

1
1
tbp
tap
1tp
R
R
c
(2.31)
Sau đó, tất cả các phần tử {c
tp1
}, hợp lại thành vectơ
{ }
1p
B
gồm h phần tử
{ } [ ]
T
hptpp2p1
)1hx(
1p
1111
c cccB =
(2.32)
Véc tơ
{ }
1p
B
là cột thứ nhất của ma trận
[ ]

P
B
+ Trọng tải
2
P
=1. Đợc coi là rải đều trên khắp bề mặt sàn xe, rồi truyền tới các
xà dọc bệ xe:
q
dg2
= k
12
.
2
P
; q
c2
= k
22
.
2
P
; R
2
= k
32
.
2
P
(2.33)
trong đó:

k
12
=
L2
P
.
16
5
2
; k
22
=
L2
P
.
16
3
2
; k
32
=
4
1
(2.34)
Biểu đồ nội lực của trọng tải
2
P
=1 trong kết cấu cơ bản hoàn toàn giống nh biểu
đồ ở hình 2.10.
Cũng viết ra các véctơ {c

tp2
} chứa hai phần tử R
tap2
và R
tbp2
, hợp lại thành vectơ
{ }
2p
B
chứa h véctơ con {c
tp2
}.
Véc tơ
{ }
2p
B
là cột thứ hai của ma trận
[ ]
P
B
+ Tải trọng nén dọc (theo đờng tim trục đầu đấm-móc nối)
3
P
=1. Biểu đồ nội
lực trong kết cấu cơ bản nh sau:
Nghiên cứu phơng pháp tính chính xác thùng toa G
30
Bùi Khắc Ngọc Luận văn Thạc sỹ KHKT
-
a

a
N=1
T
N1
=P
3
=1
t=4g+4
t=43
-
a
a
N=1
T
N1
=P
3
=1T
N1
=P
3
=1
t=4g+4
t=43
Hình 2.11. Biểu đồ lực dọc N trong kết cấu cơ bản của
3
P
=1
Khi t = 4g+3, biểu đồ N
tp

là một hình chữ nhật nằm trên một phần bề mặt của
đoạn
t

(tức đoạn
t

-a). Để thuận tiện cho tính toán, biểu đồ N
tp
thực sẽ đợc
thay thế bằng một hình thang có bề cao là
t

. Theo công thức (2.27) thì tung độ
của biểu đồ tơng đơng tại hai đầu mút đoạn
t

(đáy nhỏ và đáy lớn của hình
thang) đợc tính:
( )
( )
( )
a3
a
N
t
2
t
t
td

tap


=


;
( )
( )
( )
a3
a
N
t
2
t
t
td
tbp
+

=


Tơng tự, tìm đợc tung độ tơng đơng cho đoạn t = 5g + 2
Tung độ của biểu đồ nội lực tơng ứng với
3
P
=1 cũng đợc viết dới dạng một
véctơ ký hiệu là

{ }
3p
B
là cột thứ ba của ma trận
[ ]
P
B
+ Tải trọng kéo dọc
4
P
=1. Biểu đồ nội lực tơng ứng trong kết cấu cơ bản nh hình
2.11 (chỉ cần đổi dấu). Tung độ của biểu đồ đợc viết thành véctơ ký hiệu là
{ }
4p
B
là cột thứ t của ma trận
[ ]
P
B
.
+ Thành phần tải trọng thẳng đứng từ đầu đấm-móc nối truyền tới,
5
P
=1(trị số
của P
5
đợc tính theo công thức 8.5 [2]- Kết cấu tính toán toa xe). Các phản lực R
đợc xác định:
5155
3

15
P.kP
2
a
1R =







+=


;
5255
3
25
P.kP
2
a
R =

=


Biểu đồ nội lực trong kết cấu cơ bản đợc biểu diễn trên hình 2.12.
Nghiên cứu phơng pháp tính chính xác thùng toa G
31

Bùi Khắc Ngọc Luận văn Thạc sỹ KHKT
+
Q
zta
Q
ztb
t=47
t=51
Q
z
++
Q
zta
Q
ztb
t=47
t=51
Q
z
t=22
M
yta
M
ytb
M
y
2
l
l
3

a
P
5
=1
R
15
R
25
t=1
t
=
8
t
=
9
t
=
1
4
t=18
t=22
M
yta
M
ytb
M
y
2
l
l

3
a
P
5
=1P
5
=1
R
15
R
25
t=1
t
=
8
t
=
9
t
=
1
4
t=18
Hình 2.12. Biểu đồ nội lực trong kết cấu cơ bản ứng với
5
P
=1
Để thuận tiện trong tính toán, đoạn t = 1 biểu đồ cũng đợc chuyển đổi thành
dạng hình thang tơng đơng trong đó đáy (hình thang của biểu đồ) đợc tính:
( )

( )
a.
a
M
2
3
2
3
td
ap1y


=
;
( )
( )
a.
a
M
3
2
3
2
td
bp1y
=

Tung độ của biểu đồ đợc viết thành véctơ ký hiệu là
{ }
5p

B
là cột thứ năm của ma
trận
[ ]
P
B
.
Nh vậy, trong bài toán đã xét tới năm loại hình tải trọng, tơng ứng viết đợc
năm véctơ nói lên trị số nội lực ứng với tải trọng đơn vị tại hai đầu mút các đoạn
t đã chia trong kết cấu cơ bản. Năm ma trận cột
[ ]
1P
B
,
[ ]
2P
B
,
[ ]
3P
B
,
[ ]
4P
B
và
[ ]
5P
B
hợp thành ma trận

[ ]
P
B
[ ] [ ]
5P4P3P2P1P
)5hx(
P
BBBBBB =
2.3. phơng pháp phần tử hữu hạn
Nghiên cứu phơng pháp tính chính xác thùng toa G
32
Bùi Khắc Ngọc Luận văn Thạc sỹ KHKT
Ngày nay trên thế giới đã sử dụng máy tính trên mọi lĩnh vực. Đối với
nghành cơ học, máy tính đã giúp con ngời giải đợc những phức tạp, mà từ trớc
tới nay con ngời cha giải đợc hoặc không giải đợc.
Sử dụng máy tính để tính các kết cấu đòi hỏi phải có những phơng pháp tính
toán có hiệu quả. Đồng phải thuận tiện cho việc tự động hoá tính toán và lập các
chơng trình cho máy.
Phơng pháp phần tử hữu hạn là một trong những phơng pháp thoả mãn các
yêu cầu trên. Vậy phơng pháp phần tử hữu hạn là gì?
&'()*+,"- ./- . 01 2
3435
Ngời ta đem kết cấu hoàn chỉnh chia thành những phần tử riêng lẻ, hay gọi
là một số hữu hạn các phần tử. Chúng đợc liên kết với nhau bởi một số hữu hạn
các phần tử. Chúng đợc liên kết với nhau bởi một số hữu hạn các điểm nút. Hay
nói một cách khác, coi kết cấu chỉnh thể là đợc cấu tạo bởi một số hữu hạn các
phần tử liên kết với nhau bởi một số hữu hạn các điểm nút mà hình thành. Tại
các điểm nút, tồn tại của lực tơng tác biểu thị sự tác dụng qua lại giữa các phần
tử kề nhau. Tại mọi điểm trên biến của các phần tử, nội lực cũng nh chuyển vị
đều phải thoả mãn các điều kiện cân bằng và liên tục, khi chuyển từ phần tử này

sang phần tử lân cận khác. Nh vậy, nếu ta xác định đợc chính xác các lực tơng
tác giữa các phần tử lân cận. Đồng thời lại đảm bảo đợc điều kiện cân bằng về
nội lực, và liên tục về chuyển vị khi tính chuyển từ phần tử này sang phần tử
khác lân cận thì mô hình rời rạc thay thế sẽ làm việc hoàn hoàn giống nh kết cấu
thực tế.
Cách phân chia phần tử có nhiều cách, tuỳ thuộc vào hình dạng của kết
cấu và thói quen của ngời tính toán. Ngời ta có thể chia thành những phần tử
hình chữ nhật nh sơ đồ tấm mỏng, hoặc chia thành hình tam giác, cũng có trờng
hợp vừa sử dụng phần tử hình chữ nhật và sử dụng phần tử hình tam giác.
Đồng thời đối với những nơi có ứng suất tập trung các phần tử thờng đợc chia
nhỏ hơn và dày hơn để đảm bảo độ chính xác của bài toán. Đối với kết cấu hệ
thanh, việc phân chia các phần tử đơn giản và thụân tiện hơn nhiều so với các
loại kết cấu khác nh tấm, vỏ
Nghiên cứu phơng pháp tính chính xác thùng toa G
33
Bùi Khắc Ngọc Luận văn Thạc sỹ KHKT
Điều kiện liên tục về chuyển vị ở chỗ phân cách giữa các phần tử là điều
kiện liên tục ở các điểm nút. Vì các phần tử thanh chỉ nối với nhau bởi các điểm
nút nh kết cấu dầm, dàn, khung. Còn các phần tử hình chữ nhật, tam giác phẳng
không chỉ nối tiếp với nhau bởi các điểm nút. Nó còn nối tiếp với nhau bằng các
cạnh biên của các phần tử. Vì vậy điều kiện liên tục không những phải thoả mãn
ở các điểm nút mà còn phải thoả ở các cạnh liên tiếp giáp nhau. Để bài toán đợc
đơn giản, ngời ta giả thiết khi điều kiện liên tục đợc thoả mãn ở thoả mãn ở các
điểm nút thì cũng đợc thoả mãn trên biên chung của các phần tử. Những phần tử
đợc thoả mãn những điều kiện trên gọi là phần tử tơng thích.
Nói một cách khái quát, phơng pháp phần tử hữu hạn lần lợt giải quyết các vấn
đề sau:
- Phân tích trạng thái ứng suất và biến dạng của mỗi phần tử hữu hạn.
- Phân tích trạng thái ứng suất và biến dạng của toàn bộ kết cấu.
&'()* "56#

Toạ độ là một công cụ để mô tả hoặc biểu thị các lực và các chuyển vị của
các phần tử và của kết cấu.
Nếu hệ toạ độ mô tả các thành phần lực và các thành phần chuyển vị của
phần tử thì gọi là toạ độ phần tử hay toạ độ cục bộ. Thí dụ một phần tử trong kết
cấu dàn ở vị trí giữa hai điểm nút i và j. Dùng toạ độ Đề các hớng phải X
p
O
p
, trục
y trùng với trục thanh. Véc tơ nội lực nút và chuyển vị nút theo chiều trục x và y
là dơng. Vậy ta có thể mô tả toạ độ các nội lực và chuyển vị của phần tử dàn
phẳng nh hình 2.13.

x
P
y
P
Y
P
i
X
P
i
i
Y
P
j
X
P
j

j
x
P
y
P
v
P
i
u
P
i
i
v
P
j
u
P
j
j
x
P
y
P
Y
P
i
X
P
i
i

Y
P
j
X
P
j
j
x
P
y
P
v
P
i
u
P
i
i
v
P
j
u
P
j
j

Hình 2.13
Một phần tử khung phẳng ở vị trí giữa hai điểm nút i và j cũng vẫn dùng
toạ độ Đề các hớng phải X
p

O
p
. Ngoài ra thành phần nội lực X và Y còn có thành
phần momen nội lực. Lấy ngợc chiều kim đồng hồ quay làm chiều dơng. Về
Nghiên cứu phơng pháp tính chính xác thùng toa G
34
Bùi Khắc Ngọc Luận văn Thạc sỹ KHKT
chuyển vị cũng có thêm thành phần chuyển vị góc . Chiều dơng của chuyển vị
góc cùng với chiều của momen nội lực. Vậy các toạ độ về nội lực và chuyển vị
của phần tử khung phẳng đợc mô tả nh hình 2.14.
Hình 2.14
Nếu hệ toạ độ mô tả các thành phần nội lực và các thành phần chuyển vị
của toàn bộ hệ thống kết cấu thì gọi là toạ độ kết cấu. Nh hình 2.15. Nếu gọi các
nội lực nút là R
i
, các chuyển vị nút là P
i
thì ta có thể thành lập đợc các ma trận
nội lực, ma trận các chuyển vị và ma trận các tải trọng nút của kết cấu vẽ trên
hình 2.15 nh sau:
Hình 2.15
R
K
=

12
3
2
1
r

r
r
r

K
=

12
3
2
1

P
K
=

12
3
2
1
P

P
P
P
Nghiên cứu phơng pháp tính chính xác thùng toa G
35
x
P
y
P
Y
P
i
X
P
i
i
Y
P

j
X
P
j
j
x
P
y
P
v
P
i
u
P
i
i
v
P
j
u
P
j
j
M
P
i
M
P
j

P
i

P
J
x
P
y
P
Y
P
i
X
P
i
i
Y
P
j
X
P
j
j
x
P
y
P
v
P
i

u
P
i
i
v
P
j
u
P
j
j
M
P
i
M
P
j

P
i

P
J
1
2
3
6
4
5
7

9
8
12
11
10
O
x
K
y
K
1
2
3
6
4
5
7
9
8
12
11
10
O
x
K
y
K
Bùi Khắc Ngọc Luận văn Thạc sỹ KHKT
Để giải đợc một bài toán, ta còn phải chuyển đổi từ hệ toạ độ phần tử (hay
toạ độ cục bộ) sang toạ độ kết cấu. Nói một cách cụ thể hơn là nếu xác định đợc

ma trận độ cứng theo toạ độ phần tử, ta phải biến đổi thành ma trận độ cứng theo
toạ độ kết cấu. Phần này sẽ giới thiệu sau.
Đối với ngoại lực tác dụng trên kết cấu, coi nh chỉ tác dụng trên các nút.
Vì vậy khi phân chia các phần tử, cố gắng sao cho tải trọng ở đúng các đầu hoặc
cuối phần tử (tức là ở các nút). Nếu tải trọng tác dụng ở các vị trí trung gian trên
phần tử, ta phải tính đổi các tải trọng này thành các tải trọng tác dụng trên các
nút.
&&78 9:(0#)8);/ 3<6#9
1 2
Phơng pháp phần tử hữu hạn là một phơng pháp mà coi kết cấu là một tập
hợp một số hữu hạn các phần tử đợc nối với nhau bởi các điểm nút. Nếu biết đợc
mối liên hệ giữa nội lực và chuyển vị tại các điểm nút của mỗi phần tử riêng rẽ.
Ta có thể thông qua tính toán để phân tích đợc sự làm việc của toàn bộ kết cấu.
Giả sử một phần tử có n thành phần phản lực nút. Gọi thành phần phản lực
thứ i là r
i
(phản lực nút cũng là lực nút) do chuyển vị
i

= 1 sinh ra có giá trị
bằng k
ij
. Nếu chuyển vị bằng
i

thì phản nội lực toạ độ thứ i sẽ bằng k
ij
.
i

. Nếu
tất cả các toạ độ chuyển vị có liên quan đến toạ độ thứ i đều có các chuyển vị thì
phản lực theo toạ độ thứ i sẽ bằng:
r
i
= k
i1

1
+ k
i2

2
+ + k
ii

i
+ + k
ij

j
+ k
in

n
(2.35)
Triển khai biểu thức trên ta đợc các thành phần phản lực tại các nút nh
sau:

+++=
+++=
+++=
nnn22n11nn
nn22221212
nn12121111
k kkr


k kkr
k kkr
Viết dới dạng ma trận ta có:
Nghiên cứu phơng pháp tính chính xác thùng toa G
36
Bùi Khắc Ngọc Luận văn Thạc sỹ KHKT

12
2
1
r


r
r
=

nnn2n1
2n2221
1n1211
k kk


k kk
k kk

12
2
1


Hay
P
i
R
=
P
i
K
.
P
i

(2.36)
Trong đó:
P
i
K
=

nnn2n1
2n2221
1n1211
k kk


k kk
k kk
(2.37)
Ma trận
P
i
K
là ma trận độ cứng của phần tử. Là ma trận vuông cấp nìn.
Nó thể hiện tính chất đàn hồi của phần tử.
Nếu ta thiết lập phơng trình cân bằng tại nút, thì ngoại lực tác dụng tại nút
sẽ cân bằng với nội lực nút. Theo quy ớc dấu ở trên, ngoại lực tác dụng ở nút với
nội lực nút ngợc dấu nhau. Do vậy ta có:
R P = 0
Hay: K. - P = 0 (2.38)

Phơng trình (2.38) là hệ phơng của phơng pháp phần tử hữu hạn.
Mối quan hệ giữa lực và chuyển vị đợc xác định. Nếu ta xác định đợc ma
trận độ cứng K của phần tử (và của cả kết cấu). Do đó việc xác định ma trận độ
cứng K cho các phần tử hữu có ý nghĩa rất quan trọng trong việc tính toán kết
cấu theo phơng pháp phần tử hữu hạn.
&= "- . >"1 205
Theo phân tích ở trên ta thấy, nếu giải đợc hệ phơng trình (2.38) ta sẽ tính
đợc các chuyển vị nút tức là chuyển vị ở hai điểm đầu và cuối của từng phần tử.
Từ đó sẽ tính đợc nội lực các phần tử cách tính nh vậy cũng có thể gọi là phơng
pháp chuyển vị của phơng pháp phần tử hữu hạn.
Ta biết cách thiết lập ma trận độ cứng của mỗi phần tử. Nh vậy ta đã biết
đợc mối liên hệ giữa các nội lực ở các nút với chuyển vị tơng ứng tại các nút của
phần tử.
Nghiên cứu phơng pháp tính chính xác thùng toa G
37