Tài liệu môn Tấm và Vỏ Chương 4 một số khái niệm cơ bản về vỏ

Phần thứ hai
LÝ THUYẾT VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH VỎ MỎNG
Chương 4
MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ VỎ
4.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ GIẢ THIẾT TÍNH TOÁN
4.1.1. Các định nghĩa
Vỏ là vật thể được giới hạn bởi hai mặt cong có chiều dày
δ
nhỏ so với hai
kích thước còn lại
δ
<< (a, b), với
a
và
b
là chiều rộng và chiều dài vỏ.
Mặt trung bình là mặt cách đều mặt trên và mặt dưới của vỏ.
Vỏ được gọi là vỏ mỏng khi, [4, 16]:
1
20r
δ
≤
hay
min min
1 1
200 8
l l< δ <
(
( )
min
min ,l a b=

). Ngược lại là vỏ dày.
Trong phạm vi môn học giới thiệu lý thuyết tính toán vỏ mỏng đàn hồi
được xây dựng trên cơ sở lý thuyết đàn hồi kết hợp với các giả thiết tính toán.
4.1.2. Các giả thiết tính toán
Lý thuyết tính toán vỏ mỏng thừa nhận các giả thiết của Kirchhoff-Love,
hình 4-1:
1. Bỏ qua ứng suất pháp tương tác giữa các lớp song song với mặt trung
bình của vỏ. Từ đó rút ra
3
0σ =
.
2. Phần tử thẳng m-n vuông góc với mặt phẳng trung bình trước biến dạng
thì sau biến dạng vẫn thẳng, vẫn vuông góc với mặt phẳng trung bình và không
thay đổi độ dài. Từ đó, rút ra biến dạng:
3 13 23
0ε = γ = γ =
.
4.2. MỘT SỐ KHÁI NIỆM TỪ LÝ THUYẾT MẶT CONG
Mặt trung bình của vỏ là mặt cong nên hình học của vỏ cũng như chuyển vị,
biến dạng được biểu diễn trong hệ tọa độ cong.
4.2.1. Các phương trình biểu diễn mặt cong
Phương trình mặt cong của vỏ, hình 4-1, có thể biểu diễn:
- Trong hệ tọa độ cong:
( )
,r r= α β
r r
(4.1)
với:
r
r

- véc tơ bán kính của mặt cong;
α
,
β
- tọa độ cong.
70
- Trong hệ tọa độ Descartes:
( ) ( ) ( )
, , ,r x i y j z k= α β + α β + α β
r
r r
r
(4.2)
với
( )
,x α β
,
( )
,y α β
,
( )
,z α β
là hình chiếu véc tơ
r
r
lên hệ trục tọa độ OXYZ, với
i
r
,
j

r
,
k
r
là các véc tơ đơn vị trên các trục OX, OY và OZ.
Mỗi một điểm trên mặt cong tương ứng với một cặp tọa độ cong
( )
,α β
.
Hình 4-1. Vỏ và hệ tọa độ cong. Hình 4-2. Lưới tọa độ cong.
4.2.2. Mạng lưới tọa độ cong
Từ phương trình mặt cong, khi cho tọa độ cong
α
biến thiên và
constβ =
và
ngược lại cho
β
biến thiên và
constα =
sẽ tạo thành các đường cong tọa độ
α

và các đường cong tọa độ
β
, hình 4-2.
Một điểm M bất kỳ trên mặt cong là giao điểm của hai đường cong tọa độ
α
và
β

. Trên hình 4-1, 4-2 ký hiệu:
1
e
r
- véc tơ đơn vị tiếp tuyến với đường cong tọa độ
α
tại điểm M.
2
e
r
- véc tơ đơn vị tiếp tuyến với đường cong tọa độ
β
tại điểm M.
3
e
r
- véc tơ đơn vị pháp tuyến tại điểm M.
Một số định nghĩa:
- Mặt phẳng pháp tuyến là mặt phẳng chứa véc tơ pháp tuyến
3
e
r
.
- Đường cong pháp tuyến là giao tuyến của mặt phẳng pháp tuyến và mặt
cong của vỏ.
- Tiết diện pháp tuyến của vỏ là tiết diện tương ứng với đường cong
pháp tuyến.
Như vậy, với một pháp tuyến tại điểm M bất kỳ, sẽ có vô số các mặt phẳng
pháp tuyến và vô số đường cong pháp tuyến.
71

Lý thuyết mặt cong đã chứng minh rằng: “Có hai mặt phẳng pháp tuyến
vuông góc với nhau đi qua điểm M bất kỳ tương ứng với hai đường cong pháp
tuyến có độ cong lớn nhất và nhỏ nhất”.
Hai mặt phẳng này gọi là mặt phẳng pháp tuyến chính. Hai đường cong
tương ứng với mặt phẳng pháp tuyến chính gọi là đường cong chính. Tương ứng
với đường cong chính là độ cong chính, bán kính chính và tiết diện chính.
4.2.3. Tính chất của đường cong chính
Do 2 đường cong chính nằm trong 2 mặt phẳng pháp tuyến chính vuông
góc với nhau nên hai đường cong này có tính chất trực giao, nghĩa là tiếp tuyến
của 2 đường cong này tại điểm M sẽ vuông góc với nhau và tích vô hướng:
1 2
. 0e e =
r r
.
Độ cong chính tương ứng với đường cong chính
α
là
1
1
1
k
r
=
Độ cong chính tương ứng với đường cong chính
β
là
2
2
1
k

r
=
với
1
r
,
2
r
là bán kính chính của 2 đường
cong chính
α
và
β
, hình 4-2.
Ví dụ với vỏ trụ tròn có bán kính
r
,
hình 4-3, chọn tọa độ cong
xα =
tương
ứng với đường cong chính là đường sinh;
tọa độ cong
β = ϕ
tương ứng với đường
cong chính là đường tròn bán kính
r
.
Khi đó:
1
1

1 1
0k
r
= = =
∞
;
2
2
1 1
k
r r
= =
Trong lý thuyết tính toán vỏ, để các biểu thức có dạng đơn giản nhất, vỏ
được khảo sát trong hệ tọa độ cong chính.
4.2.4. Các yếu tố hình học của mặt cong
Theo lý thuyết mặt cong, các yếu tố hình học của mặt cong như: chiều
dài phân tố đường cong, diện tích phân tố mặt cong, bán kính cong, được xác
định qua 06 hệ số của dạng bình phương thứ nhất và dạng bình phương thứ
hai. Nói cách khác, nếu biết 06 hệ số này thì xác định được mặt cong trong
không gian, [16].
1. Dạng bình phương thứ nhất: Đặc trưng cho các yếu tố hình học trong mặt
cong: đường cong, diện tích phân tố mặt cong,
72
Hình 4-3. Vỏ trụ tròn.
Ký hiệu
( )
,r α β
r
là véc tơ biểu diễn điểm M trên mặt cong. Khi điểm M di
chuyển đến điểm N, hình 4-4, véc tơ

r
r
có số gia
dr
r
. Đoạn cong
dS
gọi là phân
tố đường trong mặt cong.
Theo lý thuyết mặt cong:
r r
dS dr d d
∂ ∂
= = α + β
∂α ∂β
r r
r
r
(4.3)
trong đó:
r
d
∂
∂
r
α
α
,
r
d

∂
β
∂β
r
- số gia của
r
r
theo đường cong tọa độ
α
và
β
;
r∂
∂α
r
,
r∂
∂β
r
- véc tơ tiếp tuyến với đường cong tọa độ
α
và
β
.
Độ dài của phân tố đường cong
dS
được xác định bằng tích vô hướng:

( ) ( ) ( )
2

2
2 2 2
. 2 .
r r r r
dS dr dr d d d d
   
∂ ∂ ∂ ∂
 
= = α + α β+ β
 ÷
 ÷  ÷
∂α ∂α ∂β ∂β
 
   
r r r r
r r
(4.4)
dưới dạng rút gọn:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2dS E d Fd d G d= α + α β+ β
(4.5)
với:
2
2
r
E A
∂
 
= =

 ÷
∂α
 
r

.
r r
F
∂ ∂
=
∂α ∂β
r r

2
2
r
G B
 
∂
= =
 ÷
∂β
 
r
(4.6)
Vế phải của (4.4), (4.5) gọi là dạng bình phương thứ nhất. Các tham số
A
,
B
gọi là các tham số Lame.

Hình 4-4. Dạng bình phương thứ nhất.
Từ (4.6), độ dài của véc tơ
r∂
∂α
r
bằng
A
và độ dài véc tơ
r∂
∂β
r
bằng
B
. Do
đó, các véc tơ đơn vị được biểu diễn dưới dạng:
1
1 r
e
A
∂
=
∂α
r
r

2
1 r
e
B
∂

=
∂β
r
r

3 1 2
e e e= ×
r r r
(4.7)
Dấu (
×
) là tích có hướng của hai véc tơ.
73
Khi xét trong hệ tọa độ cong chính, do các véc tơ
r∂
∂α
r
,
r∂
∂β
r
vuông góc với nhau
nên tích vô hướng của chúng bằng không, rút ra:
. 0
r r
F
∂ ∂
= =
∂α ∂β
r r

. Do đó, từ (4.5):
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2
1 2
dS A d B d dS dS= α + β = +
(4.8)
với:
1
2
.
.
dS A d
dS B d
= α
= β
(4.9)
Theo (4.2), do
( )
,x α β
,
( )
,y α β
,
( )
,z α β
là hình chiếu của véc tơ
r
r
lên các

trục của hệ tọa độ Descartes, nên:
2 2 2
x y z
A
∂ ∂ ∂
     
= + +
 ÷  ÷  ÷
∂α ∂α ∂α
     

2 2 2
x y z
B
     
∂ ∂ ∂
= + +
 ÷  ÷  ÷
∂β ∂β ∂β
     
(4.10a, b)
Các tham số Lame
A
,
B
xuất hiện trong các biểu thức tính toán vỏ, có thể
xác định bằng (4.9) hoặc (4.10). Trong trường hợp tổng quát, các tham số Lame
phụ thuộc vào 02 tọa độ cong
α
,

β
.
2. Dạng bình phương thứ hai: Đặc
trưng cho các yếu tố hình học ngoài
mặt cong như: độ cong, bán kính
cong,…
Xét khoảng cách
h
giữa hai
điểm M và N theo phương pháp
tuyến với mặt cong tại điểm M. Trị số
khoảng cách này là hình chiếu của
véc tơ
r∆
r
lên phương của véc tơ
pháp tuyến
3
e
r
, bằng tích vô hướng
của hai véc tơ trên, hình 4-5.
3
.h e r= ∆
r r
(4.11)
Để xác định
h
sử dụng công thức Taylo:
( ) ( )

2 2
2
3 3
1
. .
2
h e dr e d r d d
 
= + + ε α + β
 
r r r r
(4.12)
Trong (4.12), khi
( ) ( )
2 2
0d dα + β →
thì
0ε →
.
Do véc tơ
dr
r
nằm trên mặt phẳng tiếp tuyến với mặt cong tại điểm M nên
74
Hình 4-5. Dạng bình phương thứ hai.
tích vô hướng
3
. 0e dr =
r r
. Bỏ qua vô cùng bé

( ) ( )
2 2
d d
 
ε α + β
 
so với thành phần
thứ hai của (4.12), nhận được:
( ) ( )
2 2 2
2 2
2
3 3 3 3
2 2
2 . . 2. . .
r r r
h e d r e d e d d e d
∂ ∂ ∂
= = α + α β+ β
∂α ∂α∂β ∂β
r r r
r r r r r
(4.13)
dưới dạng rút gọn:
( ) ( )
2 2
2 2.h L d Md d N d= α + α β + β
(4.14)
trong đó:
2

3
2
.
r
L e
∂
=
∂α
r
r

2
3
.
r
M e
∂
=
∂α∂β
r
r

2
3
2
.
r
N e
∂
=

∂β
r
r
(4.15)
Vế phải của (4.13), (4.14) gọi là dạng bình phương thứ hai.
Khi hệ tọa độ khảo sát là hệ tọa độ cong chính,
0M =
.
3. Độ cong: Độ cong
k
của đường cong nối hai điểm M và N có tọa độ cong
( )
,α β
và
( )
,d dα + α β+ β
được xác định bằng công thức:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2
0
2
1 2
2
ds
L d Md d N d
h
k lim

r ds
E d Fd d G d
→
α + α β+ β
= − = − = −
α + α β + β
(4.16)
Dấu (-) trong (4.16) để đảm bảo độ cong có giá trị dương.
Nếu xét trong hệ tọa độ cong chính với
0M F
= =
, thì độ cong chính tương
ứng với đường cong chính
α
và
β
xác định bằng công thức:
1
2
1
1 L L
k
r E A
= − = =
với
( )
0, 0d dα ≠ β =
(4.17)
2
2

2
1 N N
k
r G B
= − = =
với
( )
0, 0d dα = β ≠
(4.18)
4.2.5. Điều kiện Codaxi-Gauss
Điều kiện Codaxi-Gauss là quan hệ giữa các hệ số của dạng bình phương
thứ nhất và dạng bình phương thứ hai, biểu thị điều kiện tồn tại và liên tục của
mặt cong trước biến dạng, [16].
Khi xét trong hệ tọa độ cong chính:
1. Điều kiện Codaxi
1 2
1A A
r r
 
∂ ∂
=
 ÷
∂β ∂β
 
2 1
1B B
r r
 
∂ ∂
=

 ÷
∂α ∂α
 
(4.19)
2. Điều kiện Gauss
1 2
1 1 .
.
B A A B
A B r r
 
∂ ∂ ∂ ∂
 
+ = −
 ÷
 ÷
∂α ∂α ∂β ∂β
 
 
(4.20)
75
4.2.6. Cách tính tham số Lame đối vỏ xoay
Các tham số Lame
A
,
B
biểu thị yếu tố hình học của vỏ, nó có mặt trong
tất cả các công thức và phương trình cơ bản của lý thuyết tính toán vỏ.
Trong trường hợp tổng quát, các tham số Lame là hàm của 02 tọa độ
cong

α
,
β
.
Hình 4-6. Vỏ xoay.
Dưới đây giới hạn xét các tham số này đối với vỏ xoay, hình 4-6, trong
đó chọn:
ϑ
- tọa độ cong theo đường kinh tuyến, đường cong tương ứng
S
ϑ
, chiều
dài phân tố
dS
ϑ
, bán kính tương ứng là
r
ϑ
.
ϕ
- tọa độ cong theo đường vĩ
tuyến, đường cong tương ứng
S
ϕ
, chiều
dài phân tố
dS
ϕ
, bán kính tương ứng là
r

ϕ
.
1. Trong hệ tọa độ trụ: Biến trong hệ tọa
độ trụ là:
z
,
ϕ
,
( )
r z
, hình 4-7. Quan hệ
giữa tọa độ Descartes và tọa độ trụ:
( )
x r z cos= ϕ

( )
y r z sin= ϕ

z z=
Chọn tọa độ cong:
zα =
,
β = ϕ
. Các tham số Lame được xác định theo
(4.10) với các đạo hàm:
76
Hình 4-7. Hệ tọa độ trụ.
x x x r dr
cos
z r z dz

∂ ∂ ∂ ∂
= = = ϕ
∂α ∂ ∂ ∂
y y y r dr
sin
z r z dz
∂ ∂ ∂ ∂
= = = ϕ
∂α ∂ ∂ ∂

1
z z
z
∂ ∂
= =
∂α ∂


x x
rsin
∂ ∂
= = − ϕ
∂β ∂ϕ

y y
rcos
∂ ∂
= = ϕ
∂β ∂ϕ
0

z z∂ ∂
= =
∂β ∂ϕ
nhận được:
2
1
dr
A
dz
 
= +
 ÷
 

( )
B r z=
(4.21)
2. Trong hệ tọa độ cầu. Biến trong hệ tọa độ cầu là:
ρ
,
ϑ
,
ϕ
, hình 4-8. Quan hệ
giữa tọa độ Descartes và tọa độ cầu:
x sin cos= ρ ϑ ϕ

y sin sin= ρ ϑ ϕ

z cos= ρ ϑ

Chọn hệ tọa độ cong:
α = ϑ
(đường
cong kinh tuyến)
β = ϕ
(đường cong vĩ
tuyến).
Các tham số Lame được xác định theo
(4.10) có dạng:
r
A
sin
= ρ =
ϑ
B sin= ρ ϑ
(4.22)
3. Trong hệ tọa độ cong: Chọn tọa độ cong:
α = ϑ
(đường cong kinh tuyến) và
β = ϕ
(đường cong vĩ tuyến), hình 4-6. Áp dụng (4.9):
.dS A d r d
ϑ ϑ
= α = ϑ
rút ra:
A r
ϑ
=
(4.23.a)
.dS B d rd r sin d

ϕ ϕ
= β = ϕ = ϑ ϕ
rút ra:
B r sin
ϕ
= ϑ
(4.23.b)
với
r
ϑ
là bán kính đường cong tọa độ
α
(đường kinh tuyến) và
r
ϕ
là bán kính
đường cong tọa độ
β
(đường vĩ tuyến).
Đối với vỏ cầu:
0
r r r
ϑ ϕ
= =
nên:
0
A r=
và
0
B r sin= ϑ

(4.24)
Đối với vỏ trụ tròn bán kính
r
, hình 4-3: chọn tọa độ cong
xα =
,
β = ϕ
1
1. 1dS Ad dx A= α = → =
2
dS Bd rd B r= β = ϕ → =
(4.25)
4.3. PHÂN LOẠI VỎ
Theo lý thuyết mặt cong, các tính chất hình học của mặt cong liên quan chặt
chẽ đến độ cong Gauss. Do đó, vỏ được phân loại theo độ cong Gauss.
77
Hình 4-8. Hệ tọa độ cầu.
4.3.1. Độ cong Gauss
Độ cong Gauss
K
của mặt cong, được xác định bằng công thức:
1 2
1 2
1 1
. .K k k
r r
= =
(4.26)
trong đó:
1

r
,
2
r
là bán kính cong của đường cong tọa độ
α
và
β
.
1
k
,
2
k
là độ cong của đường cong tọa độ
α
và
β
.
4.3.2. Phân loại vỏ theo độ cong Gauss
K
Phân loại vỏ theo độ cong Gauss tương ứng với các trường hợp: độ cong
Gauss
0K
=
; độ cong Gauss
0K
>
và độ cong Gauss
0K

<
, hình 4-9.
Hình 4-9. Phân loại vỏ.
1. Vỏ có độ cong Gauss
0K =
khi một trong hai độ cong
1
k
hoặc
2
k
bằng
không, tương ứng với đường cong tọa độ
α
hoặc đường cong tọa độ
β
là đường
thẳng, ví dụ vỏ trụ, vỏ nón, hình 4-9a.
2. Vỏ có độ cong Gauss
0K >
là vỏ lồi như: vỏ cầu, hình 4-9b, d.
3. Vỏ có độ cong Gauss
0K <
là vỏ lõm như: vỏ yên ngựa, hình 4-9c.
78