Tổng hợp các công thức xác suất thống kê

Tổng hợp các công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo
Lớp: 08L
1
TH Trang 1/19 Lưu hành nội bộ
P
P
H
H
A
A
À
À
N
N
X
X
A
A
Ù
Ù
C
C
S
S
U
U
A
A
Á
Á
T

T


G
G
I
I
A
A
Û
Û
I
I
T
T
Í
Í
C
C
H
H
T
T
O
O
Å
Å
H
H
Ơ

Ơ
Ï
Ï
P
P
:
:
 Chỉnh hợp :
 k

n (các p. tử không lặp lại)
 là một nhóm có thứ tự gồm k p.tử
được chọn từ n p.tử đã cho.
 Chỉnh hợp (lặp):
 k có thể lớn hơn n
 là một nhóm có thứ tự gồm k p.tử
lấy từ n p.tử đã cho, trong đó mỗi p.tử
có thể có mặt 1,2 . . k lần trong nhóm
tạo thành.
 Hoán vò:
 Hoán vò của n p.tử là một nhóm
có thứ tự gồm đủ mặt n p.tử đã cho
.
 Tổ hợp:
 k

n
 là một nhóm không phân biệt thứ
tự gồm k p.tử khác nhau được chọn
từ n p.tử đã cho.

!
( )!
k
n
n
A
n k


k
k
n
A n
!
n
n n
P A n 
!
!( )!
k
n
n
C
k n k


Tổng hợp các công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo
Lớp: 08L
1
TH Trang 2/19 Lưu hành nội bộ



B
B
I
I
E
E
Á
Á
N
N
C
C
O
O
Á
Á
–
–
P
P
H
H
E
E
Ù
Ù
P
P

T
T
H
H
Ư
Ư
Û
Û
:
:
 Các loại biến cố:
1. Biến cố chắc chắn. (U)
2. Biến cố không có thể. (V)
3. Biến cố ngẫu nhiên. (A, B, C . . . . hay A
1
, B
1
, C
1
. . . )
 Mối quan hệ giữa các biến cố: (Giả sử ta có A, B, C là các biến cố )
 Đònh nghóa 1: Hai biến cố tương đương.
A = B - nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra và ngược lại.
 Đònh nghóa 2: Biến cố tổng
C = A + B . Nếu C xảy ra <=> A hoặc B xảy ra.
 Đònh nghóa 3: Biến cố tổng của n biến cố
A = A
1
+A
2

+....+A
n
.Nếu ít nhất 1 trong n biến cố xảy ra.
 Đònh nghóa 4: Biến cố tích
C = A . B . Nếu C xảy ra <=> A và B cùng xảy ra.
 Đònh nghóa 5: Biến cố tích của n biến cố
A = A
1
.A
2
....A
n
.Nếu n biến cố ấy đồng thời xảy ra.
 Đònh nghóa 6: Biến cố xung khắc
A và B được gọi là hai biến cố xung khắc
<=> chúng không đồng thời xảy ra trong 1 phép thử.
 Đònh nghóa 7: Biến cố xung khắc của n biến cố
Nhóm n biến cố A
1
,A
2
,....,A
n
gọi là nhóm biến cố xung khắc từng
đôi nếu có hai biến cố bất kỳ trong n biến cố này xung khắc nhau.
 Đònh nghóa 8: các biến cố A
1
,A
2
,....,A

n
là nhóm biến cố đầy đủ nếu
chúng xung khắc từng đôi và tổng của chúng là biến cố chắc
chắn. (P
(U)
= 1)

Đònh nghóa 9: Hai biến cố đối lặp
A và B gọi là hai biến cố đối lặp
nếu chúng tạo nên một nhóm biến cố đầy đủ. (P
(U)
= 1)
Tổng hợp các công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo
Lớp: 08L
1
TH Trang 3/19 Lưu hành nội bộ
 Đònh nghóa cổ điển về xác suất:
 m: Số trường hợp thuận lợi để A xảy ra.
 n: Số trường hợp cùng khả năng có thể
xảy ra.
 Các tính chất của xác suất:
 Tính chất 1: A là biến cố bất kỳ
 Tính chất 2: xác suất của biến cố chắc chắn bằng 1.
 Tính chất 3: xác suất của biến cố không có thể bằng 0.
 Tính chất 3: Nếu A và B là hai biến cố xung khắc, ta có
Chú ý: A và B là hai biến cố xung khắc nếu chúng không đồng thời
xảy ra trong một phép thử.
( )A
m
P

n

( )
0 1
A
P 
( )
1
U
P 
( )
0
V
P 
( ) ( ) ( )A B A B
P P P

 
Tổng hợp các công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo
Lớp: 08L
1
TH Trang 4/19 Lưu hành nội bộ


C
C
A
A
Ù
Ù

C
C
C
C
O
O
Â
Â
N
N
G
G
T
T
H
H
Ư
Ư
Ù
Ù
C
C
X
X
A
A
Ù
Ù
C
C

S
S
U
U
A
A
Á
Á
T
T
:
:
 Công thức cộng xàc suất :
 Công thức 1: Nếu A và B là hai biến cố xung khắc ;
 Công thức 2: Nếu A và B là hai biến cố bất kỳ ;
 Hệ quả : Nếu A và B là hai biến cố đối lập nhau ;
Chú ý: A và B được gọi là đối lập nhau nếu chúng là xung khắc;
biến cố tổng của chúng là biến cố chắc chắn (C = A + B)
 Công thức nhân xác suất :
 Xác suất có điều kiện : Xác suất của biến cố A được tính theo đk của
biến cố B đã xảy ra được gọi là xác xuất có đk.
 Công thức nhân xác xuất:
 Hệ quả: Nếu A và B là độc lập với nhau, ta có:
( ) ( ) ( )A B A B
P P P

 
( ) ( ) ( ) ( . )A B A B A B
P P P P


  
( ) ( )
1
A B
P P 
( . ) ( ) ( / ) ( / )
.
A B A B A A B
P P P P 
( / ) ( )
( / ) ( )
( . ) ( ) ( )
.
A B A
B A B
A B A B
P P
P P
P P P



Tổng hợp các công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo
Lớp: 08L
1
TH Trang 5/19 Lưu hành nội bộ
 Công thức Bernoulli: Áp dụng cho các phép thử độc lập
 Thực hiện n phép thử độc lập.
 Trong mỗi phép thử chỉ xảy ra 1 trong 2 trường hợp.
Gọi A là phép thử chỉ xảy ra một trong hai trường hợp. Hoặc A

xảy ra hoặc
A
xảy ra.
 Trong mỗi phép thử :
 xác suất để xảy ra biến có A là p;
 xác suất để xảy ra biến có
A
là q = 1 - p;
 Ta có, xác xuất để trong n phép thử có ít nhất biến cố A xảy ra
được tính theo công thức sau:
với x = 0, 1, 2 , . . , n
 Công thức xác suất đầy đủ:
Giả sử B xảy ra n biến cố :
A
1
, A
2
, . . . A
n
là nhóm biến cố đầy đủ.
Hay
( ) . .
x x n x
n n
P x C p q


         
   
1 1 2 2

/ /
/
. . ... .
n n
B A B A A B A
A B A
P P P P P P P   
 
   
/
1
.
i i
n
B
A B A
i
P P P



Tổng hợp các công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo
Lớp: 08L
1
TH Trang 6/19 Lưu hành nội bộ


Đ
Đ
A

A
Ï
Ï
I
I
L
L
Ư
Ư
Ơ
Ơ
Ï
Ï
N
N
G
G
N
N
G
G
A
A
Å
Å
U
U
N
N
H

H
I
I
E
E
Â
Â
N
N
:
:
 Bảng phân phối xác suất : (áp dụng cho ĐLNN rời rạc)
(ĐLNN rời rạc là ĐL mà các giá trò có thể có của nó là hữu hạn hoặc đếm được.)
X x
1
x
2
x
3 . . . .
x
n
(Các giá trò có thể có )
P
i
p
1
p
2
p
3 . . . .

p
n
(Các xác suất tương ứng )
 Điều kiện:
o
0 1
i
p 
o p
1
+ p
2
+p
3
+
. . . .
+p
n
= 1
 Hàm phân phối xác suất : (áp dụng cho ĐLNN rời rạc và liên tục )
(ĐLNN liên tục là ĐL mà các giá trò có thể có của nó lắp kính một khoản nào đó
trên trục số .)
 Ký hiệu của hàm phân phối xác suất :
 Các tính chất của hàm phân phối xác suất :
a.
 
0 1
x
F 
.

b.
F
(x)
là hàm không giảm ( Đạo hàm không âm ;
 
'
0
x
F 
).
c.
( ) ( ) ( )a X b b a
P F F
 
 
.
d. Các biểu thức giới hạn:
lim 1
( )
x
x
F


; Khi
x  
thì F
(x)
= 1 .
lim 0

( )
x
x
F


; Khi
x  
thì F
(x)
= 0 .
F
(x)
= P
(X < x)
Tổng hợp các công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo
Lớp: 08L
1
TH Trang 7/19 Lưu hành nội bộ
 Hàm mật độ xác suất : (áp dụng cho ĐLNN liên tục )
 Ký hiệu của hàm mật độ xác suất :
 Các tính chất của hàm mật độ xác suất :
a.
 
0
x
f 

với mọi x
b.

 
a x b
P
 
=>
 
b
x
a
f dx

c.
   
x
x x
F f dx



d.
 
1
x
f dx




 Chú ý: Một hàm f
(x)

muốn trở thành hàm mật độ xác suất của 1
ĐLNN LT X thì nó phải thỏa hai tính chất 1 và 4
.
   
'
x x
f F
Tổng hợp các công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo
Lớp: 08L
1
TH Trang 8/19 Lưu hành nội bộ


C
C
A
A
Ù
Ù
C
C
Đ
Đ
A
A
Ë
Ë
C
C
T

T
R
R
Ư
Ư
N
N
G
G
C
C
U
U
Û
Û
A
A
Đ
Đ
A
A
Ï
Ï
I
I
L
L
Ư
Ư
Ơ

Ơ
Ï
Ï
N
N
G
G
N
N
G
G
A
A
Å
Å
U
U
N
N
H
H
I
I
E
E
Â
Â
N
N
:

:
 Kỳ vọng toán :
 Các ĐLNN rời rạc X
X x
1
x
2
x
3 . . . .
x
n
P
i
p
1
p
2
p
3 . . . .
p
n
 Ký hiệu & công thức tính kỳ vọng toán:
Hay
 Ý nghóa của kỳ vọng toàn: đặc trưng cho giá trò trung bình của ĐLNN
 Phương sai của ĐLNN :
 Các ĐLNN rời rạc X
X x
1
x
2

x
3 . . . .
x
n
P
i
p
1
p
2
p
3 . . . .
p
n
 Ký hiệu & công thức tính phương sai:
Hay
 Ý nghóa của kỳ vọng toàn: đặc trưng cho mức độ phân tán giữa các giá
trò có thể có của nó so với kỳ vọng toán.
M
(x)
= x
1
p
1
+ x
2
p
2
+ x
3

p
3
+. . . + x
n
p
n
 
1
n
i i
x
i
M x p



   
2
2 2 2
1 1 2 2
( .... )
n n
X x
D x p x p x p M
 
    
 
   
2
2

1
n
i i
x x
i
D x p M

 
 
 

Tổng hợp các công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo
Lớp: 08L
1
TH Trang 9/19 Lưu hành nội bộ


M
M
O
O
Ä
Ä
T
T
S
S
O
O
Á

Á
Q
Q
U
U
Y
Y
L
L
U
U
A
A
Ä
Ä
T
T
P
P
H
H
A
A
Â
Â
N
N
P
P
H

H
O
O
Á
Á
I
I
X
X
A
A
Ù
Ù
C
C
S
S
U
U
A
A
Á
Á
T
T
T
T
H
H
Ư

Ư
Ơ
Ơ
Ø
Ø
N
N
G
G
G
G
A
A
Ë
Ë
P
P
:
:
 Quy luật nhò thức :
ĐL NN rời rạc X nhận các giá trò có thể có: 0,1,2,3 . . . n; với các
xác suất tương ứng tính theo công thức sau:
 Công thức 1:
Bảng phân phối xác suất:
X 0

1
. . . .
n
P

i
0 0 n
n
C p q
1 1 1n
n
C p q

. . . .
0n n
n
C p q
 Công thức 2 :
Trong đó P
(x)
, P
(x +1)
. . . được tính theo công thức 1
 Công thức 3 : (Gần đúng cho công thức 1)
Với :
   
x x n x
n
X x x
P P C p q


 
 
 

.
. .
X
X
M n p
D n p q


       
1 2
...
x
x X x h x x x h
P P P P P
     
    
   
1
.
. .
x u
P f
n p q

 
2
2
.
. .
2

u
u
x n p
u
n p q
e
f





Hoặc tính được u, tra bảng phụ
lục trang 192 ta tính được f
(U)
.
Nếu u<0, f
(u)
là hàm chẳn:
=> f
(u)
= f
(-u)
Tổng hợp các công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo
Lớp: 08L
1
TH Trang 10/19 Lưu hành nội bộ
 Công thức 4 : Công thức gần đúng cho công thức 2
Với :
 

2 1
u u
x X x h
P
 
  
 
2
1
2
2
0
.
. .
( ) .
. .
1
2
u
u
u
x n p
u
n p q
x h n p
u
n p q
e du






 



Hoặc tính được u
1
, u
2
; tra bảng
phụ lục trang 192 ta tính được:
2 1
,
u u
 
Nếu u<0, f
(u)
là hàm lẽ:
=> f
(u)
= -f
(u)
Nếu u > 5 => f
(u)
= 0.5
Tổng hợp các công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo
Lớp: 08L
1

TH Trang 11/19 Lưu hành nội bộ
P
P
H
H
A
A
À
À
N
N
T
T
H
H
O
O
Á
Á
N
N
G
G
K
K
E
E
Â
Â



M
M
A
A
Ã
Ã
U
U
N
N
G
G
A
A
Ã
Ã
U
U
N
N
H
H
I
I
E
E
Â
Â
N

N
 Ký hiệu mẫu ngẫu nhiên :
 Ký hiệu mẫu cụ thể :


C
C
A
A
Ù
Ù
C
C
Đ
Đ
A
A
Ë
Ë
C
C
T
T
R
R
Ư
Ư
N
N
G

G
C
C
U
U
Û
Û
A
A
M
M
A
A
Ã
Ã
U
U
N
N
G
G
A
A
Å
Å
U
U
N
N
H

H
I
I
E
E
Â
Â
N
N
 Trung bình mẫu ngẫu nhiên:

Ký hiệu và công thức tính trung bình mẫu ngẫu nhiên:

Ký hiệu và công thức tính trung bình mẫu cụ thể :
 Phương sai mẫu ngẫu nhiên:

Ký hiệu và công thức tính phương sai mẫu ngẫu nhiên:

Ký hiệu và công thức tính phương sai mẫu cụ thể :
W
X
= (X
1
, X
2
. . . X
n
)
w
x

= (x
1
, x
2
. . . x
n
)
1 2
1
... 1
n
n
i
i
X X X
X X
n n

  
 

1 2
1
...
1
n
n
i
i
x x x

x x
n n

  
 

2 2 2
2 2
1 2
1
( ) ( ) ... ( )
1
( )
n
n
i
i
X X X X X X
S X X
n n

     
  

2 2 2
2 2
1 2
1
( ) ( ) ... ( )
1

( )
n
n
i
i
x x x x x x
s x x
n n

     
  

Tổng hợp các công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo
Lớp: 08L
1
TH Trang 12/19 Lưu hành nội bộ
 Phương sai điều chỉnh mẫu ngẫu nhiên:

Ký hiệu và công thức tính phương sai điều chỉnh mẫu ngẫu nhiên:
Hoặc:

Ký hiệu và công thức tính phương sai mẫu cụ thể :
Hoặc:
 Độ lệch tiêu chuẩn mẫu ngẫu nhiên:

Ký hiệu và công thức tính độ lệch tiêu chuẩn mẫu ngẫu nhiên:

Ký hiệu và công thức tính độ lệch tiêu chuẩn mẫu cụ thể :
 Độ lệch tiêu chuẩn điều chỉnh mẫu ngẫu nhiên:


Ký hiệu và công thức tính độ lệch tiêu chuẩn điều chỉnh mẫu ngẫu nhiên:

Ký hiệu và công thức tính độ lệch tiêu chuẩn điều chỉnh mẫu cụ thể :
2 2 2
2 2
1 2
1
( ) ( ) ... ( )
1
( )
1 1
n
n
i
i
X X X X X X
S X X
n n

     

  
 

2 2 2
2 2
1 2
1
( ) ( ) ... ( )
1

( )
1
n
n
i
i
x x x x x x
s x x
n n

     

  


2 2
1
n
S S
n



2 2
1
n
s s
n




2
S S
2
s s
2
S S
 

2
s s
 

Tổng hợp các công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo
Lớp: 08L
1
TH Trang 13/19 Lưu hành nội bộ


Ư
Ư
Ơ
Ơ
Ù
Ù
C
C
L
L
Ư

Ư
Ơ
Ơ
Ï
Ï
N
N
G
G
T
T
R
R
U
U
N
N
G
G
B
B
Ì
Ì
N
N
H
H
:
:
 Trường hợp 1:

 
2
30;
X
n D

 
(đã biết )
hoặc
30n 
,
 
2
X
D


(đã biết ), X là phân phối xác suất chuẩn.
Với:


là độ chính xác tiêu chuẩn.

1
2
1 =>
2
U U
n n
 

  
  

 
   
 
 
(Tính được

, tra bảng phụ lục ta tính được
U


1


: là độ tin cậy ước lượng.
 Trường hợp 2:
 
2
30;
X
n D

 
(chưa biết )
Với:


là độ chính xác tiêu chuẩn.


1
2
1 =>
2
s s
U U
n n
 

  

 
 
   
 
 
;
(
s

: tính từ mẫu cụ thể; tính được

, tra bảng phụ lục ta tính được
U


1



: là độ tin cậy ước lượng.
< m < x x
 
 
< m < x x
 
 
Tổng hợp các công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo
Lớp: 08L
1
TH Trang 14/19 Lưu hành nội bộ
 Trường hợp 3:
 
2
30;
X
n D

 
(chưa biết ), X là phân phối xác suất chuẩn.
Với:


là độ chính xác tiêu chuẩn.

1 1
1
2
1 =>
2

n n
s s
t t
n n
 

  
 

 
 
   
 
 
;
(Tính được

, tra bảng phụ lục ta tính được
1n
t



1


: là độ tin cậy ước lượng.
****************************************
 Cả ba trường hợp có cùng công thức :
Chỉ khác nhau ở cách tính


I.
U
n




II.
s
U
n




III.
1

n
s
t
n





< m < x x
 

 
< m < x x
 
 
Tổng hợp các công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo
Lớp: 08L
1
TH Trang 15/19 Lưu hành nội bộ


Ư
Ư
Ơ
Ơ
Ù
Ù
C
C
L
L
Ư
Ư
Ơ
Ơ
Ï
Ï
N
N
G
G

T
T
Y
Y
Û
Û
L
L
E
E
Ä
Ä
:
:
GS P là một tỷ lệ chưa biết , ta cần ước lượng P, muốn vậy ta tìm khoản số P
1
và P
2
:
 Công thức tính:
Với:
 f: tỷ lệ mẫu cụ thể


là độ chính xác tiêu chuẩn.

1
2
(1 ) (1 )
; 1 =>

2
f f f f
U U
n n
 

  

 
 
   
 
 
(Tính được

, tra bảng phụ lục ta tính được
U


1


: là độ tin cậy ước lượng.


K
K
I
I
E

E
Å
Å
M
M
Đ
Đ
Ị
Ị
N
N
H
H
G
G
I
I
A
A
Û
Û
T
T
H
H
U
U
Y
Y
E

E
Á
Á
T
T
V
V
E
E
À
À
T
T
R
R
U
U
N
N
G
G
B
B
Ì
Ì
N
N
H
H
:

:
GS ĐLNN X có kỳ vọng M
(X )
= m chưa biết , dựa trên cơ
sở nào đó ta nêu ra được giả thuyết:
Tương ứng có 3 loại giả thuyết đối:
< m < ff
 
 
0
:H m m
0
0
0
:
:
:
H m m
H m m
H m m



Tổng hợp các công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo
Lớp: 08L
1
TH Trang 16/19 Lưu hành nội bộ
Các bước giải bài toán:
 Bước 1: Ta chọn thống kê (tuỳ từng trường hợp) làm
tiêu chuẩn kiểm đònh

 Bước 2:
Tìm miền bác bỏ
W

:
o Với giả thuyết đối:
0
:H m m
o Với giả thuyết đối:
0
:H m m
o Với giả thuyết đối:
0
:H m m
 Bước 3: tính u
qs
(Theo 3 trường hợp)
1 1
2 2
, ,W U U
  
 
 
   
 
    
 
   
 
   

 
 
1
,W U
 

 
 
1
, W U
 

   
Tổng hợp các công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo
Lớp: 08L
1
TH Trang 17/19 Lưu hành nội bộ
 Bước 4: so sánh u
qs
với miền bác bỏ
W

- Nếu
u
qs

W

=> Bác bỏ H và thừa nhận
H

- Nếu
u
qs

W

=> Thừa nhận H
Các trường hợp để chọn thống kê U và tính u
qs
:
 Trường hợp 1: (Thực hiện qua các bước trên)
 
2
30;
X
n D

 
(đã biết )
hoặc
30n 
,
 
2
X
D


(đã biết ), X là phân phối xác suất chuẩn.
 Trường hợp 2: (Thực hiện qua các bước trên)

 
2
30;
X
n D

 
(chưa biết )
0
( )X m n
U



0
( )
qs
x m n
u



0
( )X m n
U
S



0

( )
qs
x m n
u
s



Tổng hợp các công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo
Lớp: 08L
1
TH Trang 18/19 Lưu hành nội bộ
 Trường hợp 3:
 
2
30;
X
n D

 
(chưa biết ), X là phân phối xác suất chuẩn.
Ở trường hợp này khi xét miền bác bỏ, ta chuyển:
0
( )X m n
T
S



0

( )
qs
x m n
t
s



1
1 1
2 2
1
1 1
T
T
n
n
U
U
 
 

 

 


Tổng hợp các công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo
Lớp: 08L
1

TH Trang 19/19 Lưu hành nội bộ


K
K
I
I
E
E
Å
Å
M
M
Đ
Đ
Ị
Ị
N
N
H
H
G
G
I
I
A
A
Û
Û
T

T
H
H
U
U
Y
Y
E
E
Á
Á
T
T
V
V
E
E
À
À
T
T
Y
Y
Û
Û
L
L
E
E
Ä

Ä
:
:
Tương tự như kiểm đònh giả thuyết về trung bình, ta có: .
Tương ứng có 3 loại giả thuyết đối:
Chọn thống kê, tính u
qs
:
(chỉ có 1 trường hợp)
f: là tỷ lệ mẫu cụ thể
So sánh u
qs
với miền bác bỏ
W

- Nếu
u
qs

W

=> Bác bỏ H và thừa nhận
H
- Nếu
u
qs

W

=> Thừa nhận H

0
:H p p
0
0
0
:
:
:
H p p
H p p
H p p



0
0 0)
( )
(1
X p n
U
p p



0
0 0
( )
(1 )
qs
f p n

u
p p



1 1
2 2
, ,W U U
  
 
 
   
 
    
 
   
 
   
 
 
1
,W U
 

 
 
1
, W U
 


   