Đề cương ôn tập phương pháp dạy học toán

Đề cương ôn tập
phương pháp dạy học toán
Câu 1: Anh (chị) phân tích một số chú ý trong dạy học định nghĩa và tính chất của
nguyên hàm, trong dạy học Đại số và giải tích lớp 11 ở trường THPT?
Trả lời
- Khái niệm nguyên hàm có liên quan chặt chẽ với khái niệm đạo hàm. Vì vậy trước
khi nêu định nghĩa nguyên hàm, nên cho học sinh hiểu rõ vấn đề đặt ra bằng cách cùng
họ giải quyết một số bài toán cụ thể, chẳng hạn như bài toán viết phương trình của một số
chuyển động biết vận tốc của chuyển động đó, bài toán tìm hàm số F(x) có đạo hàm f(x),
trong đó f(x) là một hàm đơn giản.
- Khi giải các bài toán nói trên cần cho học sinh nhận xét là các hàm số phải tìm được
xác định sai khác một hằng số.
Ví dụ: Tìm hàm số F(x) có đạo hàm là hàm số f(x) = cos x
F(x) = sin x + C
 Khái niệm nguyên hàm: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b). Ta nói
rằng hàm số F(x) là 1 nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) nếu F(x) có đạo hàm
trên khoảng (a;b) và với mọi điểm x
∈
(a;b) ta có F’(x) = f(x).

Chú ý:
- Khái niệm nguyên hàm và khái niệm đạo hàm là 2 khái niệm ngược nhau.
- 1 hàm F(x) chỉ có thể là nguyên hàm của hàm f(x) nếu F(x) khả đạo hàm và do đó
liên tục. Nếu F(x) không liên tục trên khoảng (a;b) thì nó không thể là nguyên hàm của 1
hàm f nào đó trên khoảng này được.
- Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x)/(a;b) thì mọi hàm số có dạng F(x) + C (1) cùng là
nguyên hàm của f(x)/(a;b).
- Không khẳng định trước rằng hàm số đã cho có nguyên hàm hay không và nếu có
thì có bao nhiêu nguyên hàm.
- Nếu F(x) và G(x) là 2 nguyên hàm của f(x)/(a;b) và g(x)/(a;b) thì F(x) và G(x) có
dạng (1).

- Từ định lý “nếu hàm f(x) có 1 nguyên hàm là F(x) thì nó có vô số nguyên hàm và tất
cả các nguyên hàm này đều có dạng (1)”. Khi dạy định lý này cần chú ý cho HS: định lý
trên chứng tỏ rằng để tìm tất cả các nguyên hàm của 1 hàm số f(x) nào đó ta chỉ cần tìm 1
nguyên hàm của f(x) và nếu tìm được thì cộng vào nguyên hàm 1 số bất kỳ ta sẽ được
mọi nguyên hàm khác.
- Tìm nguyên hàm của 1 hàm số là chuyển từ đạo hàm của hàm số nào đó sang chính
hàm số đó. Nếu coi phép lấy nguyên hàm là 1 phép toán thì có thể nói phép lấy nguyên
hàm là phép toán ngược của phép lấy đạo hàm.
- Nếu ta lấy đạo hàm của 1 hàm số rồi lấy nguyên hàm của đạo hàm ấy thì với sự lựa
chọn thích hợp của hằng số C trong công thức (1) ta có hàm số ban đầu.
- 3 tính chất của nguyên hàm thể hiện 2 ý quan trọng sau:
+ tính chất 1: cho thấy 2 phép toán đạo hàm và nguyên hàm thực hiện liền nhau
thì khử nhau
'( ) ( )f x dx f x C= +
∫
.
+ tính chất 2+3: nói lên tính chất tương tự của phép tính đạo hàm :
( ) ( )kf x dx k f x dx=
∫ ∫
(k
≠
0)
[ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +
∫ ∫ ∫
Câu 2: Anh(chị) phân tích một số chú ý trong dạy học về phương pháp tính
nguyên hàm, trong dạy học Đại số và giải tích lớp 11 ở trường THPT?
Trả lời.
- Phương pháp tính nguyên hàm là phép toán ngược của phép lấy đạo hàm. Trong các
quá trình tính đạo hàm có thể chuyển 1 cách trực tiếp sang phương pháp tính nguyên
hàm.

Đạo hàm Nguyên hàm
(a.F(x))’ = a.F(x)
(*)
af ( ) ( )x dx a f x dx=
∫ ∫
[(F(x)
±
G(x)]’ = F’(x)
±
G’(x)
(**)
[ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = +
∫ ∫ ∫

Phương pháp đưa về các nguyên hàm cơ bản:
- Để tính
( )f x dx
∫
, ta phân tích f(x) dưới dấu tích phân thành 1 tổng những hàm số
rùi sử dụng nhưng công thức tích phân cơ bản. Khi đó cần chú ý đến 2 CT (*) và (**).
- Chú ý một số điểm:
+ nếu gặp phân số dạng
1
n
x
thì đưa về dạng
n
x
−
.

+ nếu gặp dạng , ta phá căn thức đưa về mũ phân
sao cho
0
p
q
p
q
p R
x x
q
∈

=

≠

.
+ trong trường hợp gặp 1 phân số hữu tỷ có bậc ở tử số lớn hơn bậc của mẫu số, ta
lấy tử số chia cho mẫu số để đưa về dạng tổng rồi lấy tích phân của tổng đó.
VD: Tính.
1 2 7 1
2 2
6 3 6 3
3
1 1 7
( ) ( 2. ) 3
2 3
x dx x x x dx x x x
x
−

+ = + + = + +
∫ ∫

Phương pháp đổi biến số.
- Cơ sở của phương pháp này là định lý 1 trong sgk: Cho hàm f(x) liên tục trên [a;b]
có nguyên hàm là
( ) ( )f x dx G x C= +
∫
. Giả sử u(x) là 1 hàm số có đạo hàm liên tục trên
[a;b] và có miền giá trị là [a;b] thì:
[ ( )] ( ) [ ( )] ( )g u x u x dx G u x C g x dx= + =
∫ ∫
- Ý nghĩa: trong khi thực hành muốn tính
( )f x dx
∫
mà không thể tính được một cách
trực tiếp. Lúc đó ta tìm cách đổi biến số nghĩa là đi tìm 1 hàm g nào đó mà ta có thể tính
được tích phân và hàm u(x) sao cho: g[u(x)]u(x) = f(x).
Khi đổi biến số ta nhận được 1 hàm mới, nói chung vừa đơn giản vừa tính được.
- Chú ý:
+ phép đổi biến số đặt t = u(x) hay x =
( )t
ϕ
nói chung không có nguyên tắc, do
đó đòi hỏi phải biết lựa chọn hàm số u(x) hay
( )t
ϕ
. Ở phần này ít dùng đổi biến x =
( )t
ϕ

vì không đưa ra hàm số ngược.
+ khi thực hiện đổi biến số, tính xong nguyên hàm mới ta phải đưa nguyên hàm
trở về biến số ban đầu.
+ nhớ các dạng nguyên hàm và phương pháp đổi biến số tương ứng để nêu cho
HS.

Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
- Cơ sở là dựa trên định lý: Giả sử u(x) và v(x) là 2 hàm số có đạo hàm liên tục trong
khoảng nào đó. Khi đó ta có d(u,v) = udv + vdu
udv = d(uv) – vdu

udv uv vdu= −
∫ ∫
(*)
Công dụng của công thức (*) là trong thực hành thay vì phải lấy tích phân của udv
tương đối phức tạp ta lấy tích phân của vdu đơn giản hơn.
Phải nắm vững công thức, thực hành luyện tập.
Câu 3: Anh (chị) phân tích một số chú ý về góp phần đổi mới phương pháp dạy học
nội dung, chương trình Đại số và giải tích lớp 11 trường Trung học phổ thông?
Trả lời
Để góp phần đổi mới PPDH, sgk ĐS và GT 11 đã thực hiện biên soạn dựa trên
những mục tiêu sau:
- tăng cường các hoạt động của bản thân HS.
- phát huy tính tích cực của HS trong tiến trình xây dựng kiến thức.
- giảm nhẹ lý thuyết trừu tượng, coi trọng vai trò trực giác và coi trọng rèn luyện khả
năng quan sát dự đoán.
- coi trọng tính thực tiễn và quan điểm liên môn.
- tạo thuận lợi cho việc sử dụng thiết bị dạy học và ứng dụng công nghệ thông tin.
Chú ý:


Hoạt động tạo động cơ:
1.Tăng cường hoạt động của HS.
Hoạt động này có mục đích làm cho HS ý thức về vai trò, ý nghĩa và tầm quan trọng
của đối tượng kiến thức sắp được giảng dạy, về tính cần thiết nghiên cứu nó, từ đó có nhu
cầu, hứng thú học tập.
VD: khi dạy chương trình giới hạn, nếu giáo viên tổ chức cho HS tranh luận về
nghịch lý 1 = 0 ở đầu chương thì đó cũng là hoạt động tạo động cơ cho việc đưa vào khái
niệm giới hạn nói riêng và dạy học giải tích nói chung.

Hoạt động khám phá kiến thức mới.
Đây là hoạt động đặc trưng của PPDH tích cực. Hoạt động qua đó HS tự mình khám
phá ra kiến thức mới. Như vậy, kiến thức này xuất hiện như là kết quả hoạt động giải
quyết vấn đề.
Có 2 trường hợp khám phá sau đây được tính đến.
- HĐ khám phá toàn phần: sau khi giải quyết xong vấn đề đặt ra trong HĐ này HS sẽ
tự khám phá ra gần như trọn vẹn đối tượng kiến thức mới mà ta đang nhằm tới. HĐ khám
phá toàn phần là kiểu hoạt động lý tưởng cho phép HS lĩnh hội kiến thức 1 cách chủ
động, sáng tạo. Tuy nhiên, nó thường phức tạp và đòi hỏi nhiều thời gian và công sức của
GV và HS.
- HĐ khám phá bộ phận: dạng HĐ này không cho phép HS khám phá toàn bộ kiến
thức mới cần giảng dạy, mà chỉ một phần của kiến thức này, hay một kiến thức có tính
“địa phương”, kiến thức bộ phận này là điểm tựa cho việc đề cập một khái niệm theo con
đường quy nạp (chẳng hạn HĐ
1
∆
về hàm số liên tục tại 1 điểm) hay cho việc trình bày 1
phỏng đoán, 1 định lý, 1 công thức, HĐ
3
∆
về tính chất các số hạng của cấp số nhân).


HĐ củng cố và vận dụng kiến thức: quá trình hình thành kiến thức mới luôn đòi
hỏi vận dụng kiến thức cũ. Việc không nhớ các kiến thức mới luôn đòi hỏi vận dụng kiến
thức cũ. Việc không nhớ kiến thức này hoặc nhớ mà không vận dụng sẽ gây ra khó khăn
cho việc xây dựng kiến thức mới. Hoạt động củng cố và vận dụng kiến thức đòi hỏi HS
nhắc lại hay vận dụng một số trong các kiến thức mấu chốt đã học, từ đó tạo thuận lợi
trong việc huy động chúng.

HĐ hợp tác hóa kiến thức mới: đó là hoạt động như chứng minh định lý, 1 công
thức đã phát biểu trước đó.
2.Phát huy tính tích cực của HS trong tiến trình xây dựng kiến thức.
-Tiến trình quy nạp được vận dụng phổ biến trong việc hình thành các khái niệm, nhất
là ( chương giới hạn, 1 mặt nó phù hợp với quy luật nhận thức nên dễ hơn cho việc lĩnh
hội kiến thức của HS. Mặt khác, các HĐ được tổ chức theo tiến trình này là cơ hội để HS
tham gia tích cực vào việc xây dựng kiến thức mới và rèn luyện các thao tác tư duy như
phân tích, tổng hợp…
Để đảm bảo tính tích cực của HS, tiến trình quy nạp phải đảm bảo 2 yêu cầu sau:
+ Chính HS là người giải quyết các vấn đề đặt ra (trong HĐ từ đó bằng thao tác
phân tích, so sánh, tổng hợp HS tự phát hiện ra các thuộc tính, bản chất của khái niệm thể
hiện trong từng trường hợp cụ thể và HS sẽ phác thảo 1 định nghĩa tổng quát của khái
niệm nhờ vào thao tác khái quát hóa.
+ GV nêu tên khái niệm, chỉnh sửa định nghĩa vừa phác thảo để đưa ra định nghĩa
chính xác.
Hầu hết các khái niệm của chương giới hạn đều được đưa ra theo tiến trình quy nạp.
- tiến trình quy nạp cũng được vận dụng vào dạy học 1 số quy tắc hay phương pháp
các quy tắc và phương pháp này được rút ra từ việc phân tích và tổng hợp lời giải trong
một số trường hợp cụ thể.
- tiến trình “bài toán dẫn đến bài toán” được vận dụng trong dạy học định lý. Trong
trường hợp này, định lý không được giáo viên phát biểu ngay từ đầu mà xuất hiện như là
kết quả của việc giải bài toán của chính HS.

- Mặt khác, nhiều hoạt động cho những gợi ý để GV tạo ra những tình huống gợi vấn
đề phải mấu chốt nhất (trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề).
3.Giảm nhẹ lý thuyết trừu tượng. Coi trọng vai trò trực giác và coi trọng rèn luyện
khả năng quan sát dự đoán.
- Ngoài những nội dung bị loại bỏ theo quy định, sgk còn loại bỏ thêm 1 số nội dụng
khác không có tác dụng thiết thực. Giảm bớt nhiều chứng mình phức tạp, nhiều định lý,
công thức, quy tắc được rút ra nhờ khái quát hóa từ các vd cụ thể hoặc qua ghi nhận trực
giác sau đó được chứng minh thừa nhận; nhiều khái niệm được đưa vào theo con đường
quy nạp, hạn chế các bài toán chưa tham số quá phức tạp.
- Trước đây, chương trình chỉ nhấn mạnh về tư duy logic, tư duy trừu tượng, trí tưởng
tượng không gian. Hiện nay, HS được rèn luyện khả năng thực nghiệm (quan sát, dự
đoán, kiểm chứng). Từ đó HS dễ dàng cho việc lĩnh hội kiến thức.
4.Coi trọng tính thực tiễn và quan điểm liên môn.
- Các nội dung,bài toán không còn thuần túy toán học, một số có nguồn gốc từ môn
học khác: vật lý, hóa học, đời sống thực tế…
- Để thực hiện tốt quan điểm thực tiễn, trong giảng dạy cần nêu nhiều ví dụ, nhiều bài
toán thực tiễn.
5.Tạo thuận lợi cho việc sử dụng thiết bị dạy học và ứng dụng công nghệ thông tin.
- Một trong những phương pháp tiến hành giảng dạy bằng quy nạp, bằng cách sử
dụng trực giác là sử dụng các thiết bị dạy học như bảng biểu, sơ đồ, các phần mềm dạy
học.
- Cần tạo nên và sử dụng tốt các thiết bị dạy học để giảng dạy khái niệm giới hạn, sự
biến thiên và đồ thị các hàm số.
Câu 4: Phân tích một số chú ý về góp phần đổi mới phương pháp soạn giáo án trong
dạy học nội dung, chương trình ĐS và GT 11 ở trường THPT?
Trả lời
Trong soạn giáo án phải thực hiện yêu cầu.
Tạo điều kiện tốt nhất, hiệu quả nhất để HS tự khám phá kiến thức, tự giải quyết các
vấn đề, các bài toán đặt ra. Muốn vậy, phải thực hiện một số chú ý sau:
- Chuẩn bị trước khi lên lớp các bước tiến hành giải quyết vấn đề nêu ra trong hoạt

động.
- Một số hoạt động, đòi hỏi nhiều thời gian tính toán, trong trường hợp đó cần tính
trước ở nhà, lập bảng biểu, đến lớp chỉ nêu nhận xét từ kết quả tính toán đó.
VD: Lập bảng tính toán trước để học sinh nhận xét đi đến định nghĩa vận tốc tức
thời.
- Suy nghĩ sáng tạo hoặc cải tiến các hoạt động cho phù hợp với đối tượng giảng dạy.
Các hoạt động do tác giả đưa ra nhằm mục đích tạo điều kiện chủ động tìm tòi, giải
quyết vấn đề cho HS, không phải mọi hoạt động đưa ra đều thích hợp cho sự tiếp thu của
tất cả các HS. Cũng không phải mọi hoạt động đó đều hợp lý. Suy nghĩ sáng tạo là yêu
cầu đối với giáo viên khi soạn giáo án.
- Tập cho học sinh thói quen tìm hiểu sâu sắc bản chất của khái niệm, của vấn đề đặt
ra.
VD1: Trong hoạt động
2
∆
mục 3, bài 3: hàm số liên tục, các tình huống đưa ra
nhằm đi đến định lý 3.
( ) liên tuc trên [ , ] ( , ) : ( ) 0
( ). ( ) 0
f x a b C a b f c
f a f b
⇒ ∃ ∈ =


<

Ở đây cần hướng dẫn để HS lưu ý đến các giả thiết trong định lý. Đó là
+ f(x) là 1 hàm số trên [a,b]
+ f(x) là hàm số liên tục trên [a,b]. Nếu vi phạm giả thiết này thì không thể dẫn
đến kết luận.

VD2: Ta đã biết, để chứng minh
1
lim 0
x
n
→∞
=
một cách chính xác người ta làm như
sau:
Cho
ε
> 0 là một số cho trước nhỏ tùy ý.
Để cho
1 1
n
n
ε
ε
< ⇔ <
(*)
Ta chọn
1
[ ]N
ε
=
. Khi đó
n N
∀ >
ta sẽ có
1

n
ε
<
(do *)
Điều đó chứng tỏ mệnh đề sau là đúng:
1
0; , :| | | |
n
n N n N u
n
ε ε
∀ > ∃ ∈ ∀ > = <
. Tức là
1
lim 0
x
n
→∞
=
.
Tuy nhiên sgk đưa ra hoạt động
2
∆
, mục 2, bài 1: Giới hạn của dãy số để HS thấy 1
cách trực quan kết luận trên.
- Chú ý rèn luyện kỹ năng cơ bản, không nên thiên về những loại toán không mẫu
mực, nắm vững các kỹ năng cơ bản đối với các loại toán chính trong chương trình là điều
quan trọng nhất. Nên tập trung rèn luyện điều này 1 cách thích đáng.
- Nhất thiết phải yêu cầu làm đầy đủ các loại bài tập trong sgk.
Câu 5: Phân tích cách xây dựng và PPDH khái niệm véc tơ trong sgk hình học lớp

11 ở trường THPT?
Trả lời
1.Nhận xét về định nghĩa vec tơ trong sgk.
- Để phù hợp với trình độ tiếp thu của HS, các tác giả không thể định nghĩa không
gian vec tơ bằng phương pháp tiên đề vì định nghĩa này khá trừu tượng.
- Trong định nghĩa không đề cập đến không gian véc tơ mà chỉ nói tới vec tơ và các
phép toán trên véc tơ.
- Sgk đưa ra định nghĩa “vec tơ là 1 đường thẳng có định hướng”, định nghĩa này có
tính chất trực quan dễ hiểu mà không đưa ra định nghĩa toán học của khái niệm vec tơ mà
chỉ mô tả hình biểu diễn của khái niệm véc tơ. Định nghĩa này chưa đảm bảo tính khoa
học nhưng cách trình bày gắn liền với thực tế giúp học sinh dễ hình dung và vận dụng.
- Nội dung tiếp theo sgk đưa ra là: các định nghĩa khác nhau có liên quan đến véc tơ
như gốc, ngọn, chiều, phương… và xây dựng các phép toán về véc tơ, đồng thời nêu lên
các tính chất của các phép toán đó.
KL: Cách làm trên là tác giả đã nêu 1 mô hình về không gian véc tơ và chứng minh
nó thỏa mãn 8 tiên đề về không gian véc tơ. Đây chính là mô hình vật lý của không gian
véc tơ và dùng để biểu thị các đại lượng có hướng trong khi học vật lý nhằm đáp ứng yêu
cầu gắn toán học với thực tế.
2.Khái niệm phương và hướng của véc tơ.
- Không được định nghĩa mà mô tả tính cùng hướng cùng phương dựa vào trực giác.
Vì vậy, trong giảng dạy thường tránh câu hỏi khi nào thì “2 véc tơ cùng phương, hướng,
có thể chĩnh xác hóa khái niệm cùng hướng như sau.
Hai điểm B,D nằm về cùng 1 hướng với đường thẳng AC hoặc 1 trong 2 tia AB, CD
(gốc A hoặc gốc C) chứa tia kia
Định nghĩa không nhất thiết phải trình bày 1 cách tường minh mà chỉ mô tả dựa vào
trực quan của HS.
3.Định nghĩa 2 véc tơ bằng nhau dựa vào độ dài và hướng.
Là 1 cách làm tự nhiên, dễ hiểu đối với HS và có thể cảm nhận được bằng trực giác.
Với các định nghĩa này thì quan hệ bằng nhau là 1 quan hệ tương đương. Nghĩa là
i)

a a
→ →
=
ii)
a b b a
→ → → →
= ⇒ =
iii)
a b
a c
b c

=

⇒ =

=


r r
r r
r r
Học sinh cảm nhận được bằng trực giác. Khi dạy tránh giải thích để phiên phức.
- Có thể định nghĩa khái niệm bằng nhau của 2 véc tơ mà không cần tới khái niệm
hướng và độ dài: “
AB CD=
uuur uuur
nếu trung điểm của 2 đường thẳng”,AD và BC trùng nhau.
4.Véc tơ không (
0

r
).
Được định nghĩa rõ ràng: là véc tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Việc quy
ước
0
r
cùng phương, cùng hướng với mọi véc tơ là cần thiết và hợp lý.
5.Sử dụng khái niệm véc tơ tự do và véc tơ buộc 1 cách ẩn tàng.
- Cho véc tơ
a
r
là hiểu cho 1 tập hợp các véc tơ =
a
r
. Vec tơ quan niệm như thế chính
là véc tơ tự do.
- Từ 1 điểm A xác định dựng
AB a=
uuur r
thì
AB
uuur
gọi là véc tơ buộc (xác định hướng độ
dài, vị trí điểm đầu).
- Véc tơ trượt là véc tơ di chuyển trên giá được sử dụng khi học vật lý, khi xây dựng
phương pháp véc tơ trong toán học thì không cần thiết.
- Khi trình bày các khái niệm liên quan đến véc tơ, các phép toán trên véc tơ vận dụng
véc tơ để chứng minh các hệ thức lượng ngầm thể hiện véc tơ theo nghĩa véc tơ tự do.
6.Không gian véc tơ được trình bày gắn liền với không gian vật lý nhằm đảm bảo tính
liên môn.

- VT được xem như là công cụ biểu thị những đại lượng có hướng nên cần chú ý khai
thác ý nghĩa vật lý của véc tơ trong những cơ hội có thể có.
Kiến thức véc tơ Kiến thức vật lý
- Định nghĩa véc tơ - Khái niệm lực, gia tốc, vận tốc…
- Hai véc tơ cùng hướng - Vận tốc của dòng nước và của ca nô xuôi dòng
- Hai véc tơ ngược hướng - Vận tốc của dòng nước ngược dòng với ca nô
- Hai véc tơ đối
- Định luật III Niu-tơn:
12 21
F F= −
ur ur
Câu 6: Phân tích cách xây dựng nội dung “Sự biến thiên và đồ thị của các hàm số
lượng giác” trong sách giáo khoa ĐS và GT lớp 11?
Trả lời
1. Vẽ đồ thị lượng giác là việc rất khó khăn, vì chỉ có 1 số rất ít các giá trị đặc biệt
nên khi nối các điểm này ta khó thu được đường cong chính xác. Tác giả chọn cách trình
bày cẩn thận việc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = sin x, từ đó suy ra đồ
thị và sự biến thiên hàm số y = cos x.
2. Việc khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = sin x trên [0;
π
] được tiến hành thông
qua đường tròn lượng giác và mặt phẳng tọa độ 1 cách thuần quán như đã làm khi xây
dựng hàm số này.
- Trên đường tròn lượng giác học sinh nhận xét: Với
1 2
0
2
x x
π
≤ < ≤

thì
1 2
sin sin x x<
. Chuyển sang mặt phẳng tọa độ ta được điểm ( x
1
, sin x
1
); (x
2
, sin x
2
) trên
đồ thị.
- Khi chuyển sang
[ ; ]
2
π
π
lấy hai điểm x
3
, x
4
bất kỳ thuộc đoạn này mà x
3
< x
4
. Tuy
nhiên, khi đó chuyển sang mặt phẳng tọa độ hình vẽ sẽ không nổi, hơn nữa không làm
nổi bật tính đối xứng của đồ thị hàm số qua điểm
2

x
π
=
. Do đó tác giả chọn điểm đặc
biệt x
3
=
2
x
π
−
; x
4
=
1
x
π
−
.
- Vì x
1
, x
2
tùy ý suy ra x
3
, x
4
tùy ý và ta đã xét được đồng thời sự biến thiên và đồ thị
hàm số y = sin x trên [0,
π

].
- Từ đồ thị hàm số y = sin x trên [0,
π
] ta đã sử dụng tính chất hàm số lẻ để thu được
đồ thị trên
[ ,0]
π
−
.
- Dùng phép tịnh tiễn (do tính tuần hoàn của hàm số) để thu được đồ thị của hàm số
sin xy =
trên R.
- Đối với hàm số y = cos x tác giả sgk đã sử dụng hệ thức cos x = sin(x +
2
π
) để thu
được đồ thị hàm số y = cos x rồi ta mới căn cứ vào đồ thị để xét sự biến thiên.
Như vậy, quá trình khảo sát làm ngược với cách làm thông thường nhưng rất tiết kiệm
và trực quan. Hơn nữa, qua cách làm này ta thấy mối liên hệ giữa đồ thị của hai hàm số
sin xy =
và y = cos x.
- Đối với hàm số y = tan x và y = cot x ta cũng xét tương tự hàm số y = sin x (dựa
trên đường tròn lượng giác).
- Vì chưa có khái niệm giới hạn, chưa có khái niệm tiệm cận, nên việc vẽ đồ thị
các hàm số này có tính trực quan, không chính xác. Ta chỉ nêu được tính chất
đồng biến, dạng đồ thị của chúng.
Câu 7: Phân tích mục đích yêu cầu về kĩ năng và phương pháp dạy học trong
dạy học các phép biến hình ở lớp 11 THPT?
Trả lời.


Về kĩ năng:
- Hiểu: việc giải các bài tập hay chứng minh 1 định lý nào đó nhờ sử dụng các
phép biến hinh đều quy về dựng ảnh của các hình như: điểm, đường thẳng, đường
tròn, tia…
- Khó khăn khi vận dụng các phép biến đổi hình giải toán là việc xác định đúng
phép biến hình cụ thể nào để giải bài tập đã cho.
- Để khắc phục cần:
+ Rèn luyện cho HS kỹ năng dựng ảnh của các hình qua phép dời hình cụ
thể phép vị tự.
+ Rèn luyện kỹ năng xác định phép biến hình cụ thể F khi cho biết hình này
là ảnh của hình kia.
+ SGK thực hiện qua việc yêu cầu HS giải các bài tập và trình bày lý
thuyết(xác định phép vị tự khi cho biết 2 đường tròn).

Về phương pháp: chú ý trong các hoạt động toán học, khai thác ứng dụng
giúp bồi dưỡng HS năng lực trí tuệ sau:
- Khả năng nhìn nhận các đối tượng toán học trong sự vận động biến thiên có
quy luật.
- Năng lực xem xét các đối tượng toán học, các quan hệ toán học trong sự
tương quan phụ thuộc lẫn nhau.
VD: xét 2 đối tượng toán học là 2 đường thẳng a, b cắt nhau tại điểm O và
tạo với nhau 1 góc và theo quan hệ sau:
+ đường thẳng b là ảnh của a qua phép đối xứng trục
1
∆
đi qua O và góc
giữa (
1
,a∆
) = (

2
,b∆
) =
2
α
.
+ đường thẳng b là ảnh của đường thẳng a qua phép quay tâm O góc
α
.
Đường thẳng b là ảnh của a qua phép đối xứng trục
2
∆
và
1 2
( , ) ( , ) ( )
2 2
a b
π α
∆ = ∆ = −
- Khi giải các bài toán quỹ tích giáo viên cần tổng kết về mặt phương pháp cho
HS hoặc cho HS nhận thức như sau: Để tìm quỹ tích các điểm M có tính chất
α
:
(M(
α
)) ta lập liên hệ M(
α
) với điểm M
1
(

ξ
). Trong đó
ξ
là tính chất đã biết.
Thường M
1
chuyển động trên một hình nào đó đã biết. Để dựng điểm M ta xác lập
liên hệ với điểm N nào đó có thể xem M là ảnh của N qua phép biến hình nào đó.
- Luyện tập cho HS biết chuyển đổi ngôn ngữ chính xác từ ngôn ngữ hình học
sang ngôn ngữ các phép biến hình  Tạo cơ sở cho học sinh nhìn nhận các vấn đề
hình học theo nhiều quan điểm khác nhau  phát triển tư duy hàm, khả năng tìm
tòi nhiều cách giải khác nhau của bài toán hình học.
Ngôn ngữ hình học Ngôn ngữ phép biến hình
a // b (a, b) phân biệt 2 đường thẳng phân biệt song song với
nhau
⇔
có 1 phép đối xứng trục biến
đường thẳng a thành b và ngược lại.
- Phát triển các bài toán sgk thành chuỗi các bài toán nhằm bồi dưỡng HS năng
lực huy động kiến thức khả năng quy lạ về quen khi dạy các phép biến hình 
khai thác sâu các kiến thức sgk, tổng quát hóa thành các bài toán mới, sử dụng
tương tự hóa, bổ xung các giả thiết…
VD: Bài toán:
Cho đường thẳng d và 2 điểm phân biệt A, B
nằm khác phía đường thẳng d. Tìm trên d điểm M
sao cho AM + MB có giá trị nhỏ nhất?
Ta có AB
≤
AM + AB
⇒

AM + MB nhỏ nhất
khi dấu bằng xảy ra
⇔
M
≡
M’ là giao điểm của
AB với đường thẳng d.
+ khi 2 điểm A, B cùng phía với d, để tìm
điểm M: AM + BM có giá trị nhỏ nhất, ta thay AM bằng A’M. Trong đó A’ là ảnh
của A qua phép đối xứng có trục là đường thẳng d.
Khi đó:
MA + MB = MA’ + MB
≥
A’B và A’M +
BM nhỏ nhất khi M
∈
A’B.
Câu 8: Phân tích yêu cầu về kỹ năng và một số chú ý quan trong dạy học phép
dời hình và phép đồng dạng ở lớp 11 THPT?
Trả lời.

Các kỹ năng cơ bản:
- Nắm vững định nghĩa các phép biến hình và biết tìm ảnh, tạo ảnh của điểm
qua 1 phép biến hình.
- Nắm được tính chất cơ bản của phép dời hình để làm toán.
- Biết sử dụng các biểu thức tọa độ để xác định tọa độ của ảnh khi biết tọa độ
của tạo ảnh.
- Biết nhận ra các hình có trục đối xứng, tâm đối xứng trong thực tế.
- Biết vận dụng các phép biến hình để giải 1 số bài toán đơn giản.
- Hiểu được định nghĩa 2 hình bằng nhau và 2 hình đồng dạng với nhau thông

qua ngôn ngữ biến hình.

Một số chú ý trong dạy học.
- Khái niệm phép biến hình trong mặt phẳng được hiểu như là 1 ánh xạ từ mặt
phẳng vào chính nó. Điều này giúp học sinh tiếp cận khái niệm một cách tự nhiên
tương tự với khái niệm hàm số trên tập R, được định nghĩa như 1 ánh xạ từ R vào
chính nó.
- SGK không nói đến phép hợp thành của 2 phép dời hình và phép dời hình
nghịch đảo của 1 phép dời hình đã cho, sau khi nói đến phép đồng dạng ta nêu
định nghĩa phép hợp thành, như vậy ta có thể nói: hợp thành của 1 phép vị tự và 1
phép dời hình là 1 phép đồng dạng, ngược lại mọi phép đồng dạng đều có thể coi
là hợp thành của 1 phép vị tự và 1 phép dời hình.
- Sgk không đưa ra khái niệm phép dời hình thuận (không đổi hướng của mặt
phẳng) và phép dời hình nghịch (làm đổi hướng của mặt phẳng), vì ta không đề
cập đổi hướng của mặt phẳng là gì? Phép đối xứng trục là phép dời hình nghịch.
Ta có thể minh họa điều đó bằng cách đơn giản sau: nếu ta vẽ trên mặt phẳng 1
người đeo đồng hồ ở tay trái thì phép đối xứng trục biến người đó thành người đeo
đồng hồ tay phải.
- Phép đối xứng trượt là tích của 3 phép đối xứng nên là phép dời hình nghịch,
phép tịnh tiến và phép quay là tích của 2 phép đối xứng nên là dời hình thuận.
- Về khái niệm 2 hình bằng nhau và 2 hình đồng dạng: trong mặt phẳng ta định
nghĩa 2 hình bằng nhau nếu chúng có đặt chồng khít lên nhau (trong không gian 2
hình lồng khít vào nhau). Đó chỉ là 1 cách mô tả, vì khái niệm chồng khít, lồng
khít vào nhau chưa được định nghĩa 1 cách toán học, không có 1 tiêu chuẩn nào để
chứng minh rằng hình H đã cho là có thể chồng khít hay không chồng khít lên H’.
Ngoài ta 2 chiếc giầy là bằng nhau nhưng không thể lồng khít vào nhau, vì 1 lẽ
đơn giản là bàn chân trái không thể sỏ vào chiếc giầy bên phải được.
Sgk đưa ra định nghĩa 2 hình bằng nhau là định nghĩa không có gì khó hiểu. Để
chứng minh hình H bằng hình H’ chỉ cần tìm ra 1 phép dời hình f sao cho H’=f(H)
tuy nhiên rắc rối là ở chỗ HS đã có khái niệm: “2 tam giác bằng nhau là 2 tam giác

có các cạnh tương ứng bằng nhau (tức là có độ dài bằng nhau) và các góc tương
ứng bằng nhau (có số đo góc bằng nhau)”. Câu hỏi đặt ra là khái niệm đó có thống
nhất với khái niệm bằng nhau 1 cách tổng quát hay không? Vì vậy phải có định lý
khẳng định “Nếu 2 tam giác có 3 cạnh bằng nhau thì có phép dời hình biến tam
giác này thành tam giác kia”.
Tương tự ở lớp 9 HS đã biết “2 tam giác đồng dạng với nhau khi có các cạnh
tương ứng tỉ lệ”. Ta có định nghĩa tổng quát “2 hình gọi là đồng dạng với nhau
nếu có 1 phép đồng dạng biến hình này thành hình kia” thì ta phải chứng minh
được rằng: “nếu tam giác có các cạnh tương ứng tỉ lệ thì có phép đồng dạng biến
tam giác này thành tam giác kia”.
- Về kiến thức tọa độ, các kiến thức đó đưa vào chủ yếu là vì có thể dùng sgk
về đại số, vì vậy không nên khai thác nhiều bài tập về vấn đề này.
- Các ứng dụng của phép biến hình, có 2 loại bài toán thường gặp đó là bài
toán quỹ tích và bài toán dựng hình.
+ về bài toán quỹ tích: để tìm quỹ tích của điểm M thỏa mãn tính chất (
α
)
ta có thể làm như sau: xác định 1 phép biến hình f sao cho điểm M có tính chất (
α
)
⇔
M là ảnh của N qua phép f. Khi đó nếu quỹ tích của N là hình H thì quỹ tích
của M sẽ là f(H).
+ về bài toán dựng hình: sgk không dùng từ “dựng hình” mà thay vào đó là
các từ “xác định 1 hình” hay “tìm 1 hình”. Bài toán thường quy về tìm các điểm,
có thể phát biểu dưới dạng: “Tìm điểm M thỏa mãn 2 điều kiện (
1
α
) và (
2

α
)”. Để
giải bài toán ta có thể tìm quỹ tích L
1
của những điểm M thỏa mãn điều kiện (
1
α
)
và quỹ tích điểm L
2
thỏa mãn điều kiện (
2
α
). Khi đó giao điểm của L
1
và L
2
là
những điểm M cần tìm. Trong sgk điều kiện (
1
α
) được cho một cách trực tiếp là :
điểm M nằm trên 1 đường cho trước nào đó. Như vậy bài toán thường có dạng
“Tìm điểm M nằm trên 1 đường L cho trước và thỏa mãn điều kiện (
α
)”. Khi đó
quỹ tích các điểm M có tính chất (
α
) được tìm thấy bằng cách áp dụng các phép
biến hình.

Khi dạy khái niệm biến hình hiểu phép biến hình trên mặt phẳng là 1 ánh xạ từ
mặt phẳng vào chính mặt phẳng đó, tức là với mỗi điểm M của mặt phẳng thì có 1
điểm M’ hoàn toàn xác định. Như vậy, phép biến hình không liên quan gì đến
phép chuyển động của mỗi điểm M trên mặt phẳng đến trùng với điểm M’.
PPDH chương này nên tổ chức cho học sinh trao đổi, thào luận trả lời các câu
hỏi và làm 1 số bài tập đơn giản như sgk đã nêu, các bài tập trong chương chỉ nên
là những bài tập nhận biết, vận dụng đơn giản.
Câu 9: Anh (chị) phân tích mục đích yêu cầu của việc dạy học hình học không
gian ở trường THPT?
Trả lời.

Về kiến thức:
Trang bị cho HS một số cơ sở khoa học để hiểu rõ các khái niệm ban đầu:
điểm, đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ thuộc với các tiên đề.

Về kỹ năng: rèn luyện cho HS các kỹ năng.
- Xác định hình, kỹ năng giải các dạng toán về sự tương giao giữa các hình.
- Kỹ năng chứng minh trong quan hệ song song, quan hệ vuông góc.
- Kỹ năng tính khoảng cách và góc giữa các yếu tố.
- Kỹ năng tính diện tích xung quanh và tính thể tích các hình không gian.

Về phương pháp.
- Chú trọng việc khai thác các phương pháp khác nhau trong giải toán các dạng
toán hình không gian bằng con đường tổng hợp.
- Bồi dưỡng cho HS năng lực thiết lập mối liên hệ giữa các kiến thức hình học
không gian và hình học phẳng đã được học.
Đó là các năng lực sau:
+ năng lực tách các bộ phận phẳng cần nghiên cứu khỏi hình không gian để
chuyển về các bài toán quen thuộc.
+ năng lực chuyển các bài toán không gian về các bài toán phẳng quen

thuộc nhờ các hoạt động tương tự hóa
VD: cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB,
CD và O là trung điểm đoạn MN. Chứng minh rằng đường thẳng AO đi qua trọng
tâm G của
∆
BCD.
Phân tích: Sau khi vẽ hình nhận thấy giao điểm G của đường thẳng AO với mặt
phẳng (BCD) là giao của AO với giao
tuyến BN của 2 mặt phẳng (ABN) và
(BCD). Như vậy việc chứng minh G là
trọng tâm của
∆
BCD quy về chứng
minh GN =
1
2
GB (1).
Để chứng minh (1) đòi hỏi HS phải
tính bộ phận ABN ra ngoài. Dẫn tới bài
toán phẳng sau đây: “Cho
∆
ABN. Gọi
M là trung điểm cạnh AB, O là trung
điểm đoạn MN. Đường thẳng AO cắt BN
tại G. Chứng minh rằng GN =
1
2
GB.
Chứng minh điều này thuộc kiến thức
lớp 8. Vẽ MK // AG. Sử dụng tính chất đường trung bình của các

∆
ABG và
∆
MKN suy ra BK = KG = GN, từ đó suy ra GN =
1
2
GB.
- Phát triển tư duy và phẩm chất trí tuệ cho HS nhằm đạt mục đích:
+ rèn luyện năng lực chứng minh suy diễn, khả năng lập luận có căn cứ.
+ bồi dưỡng năng lực chứng minh phản chứng, năng lực tách các trường
hợp riêng.
+ chú trọng phát triển các biểu tượng không gian, các quan hệ giữa các yếu
tố của hình không gian từ hình biểu diễn và ngược lại.
VD: Yêu cầu HS biết lập luận giải thích tại sao các hình biểu diễn sau đây
đều là hình biểu diễn của 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian?
(H1) mô tả 1 dạng hình biểu diễn của 2 đường thẳng chéo nhau a, b lên một
mặt phẳng có phương chiếu không song song với nhau, a trùng với b hoặc a // b và
không song song hoặc thuộc cặp mặt phẳng lần lượt chứa a, b và // với nhau.
(H3) biểu diễn 2 đường thẳng chéo nhau qua phép chiếu song song có phương
chiếu song song hoặc trùng với các đường thẳng a, b và song song hoặc thuộc cặp
mặt phẳng song song lần lượt chứa a, b.
Qua ví dụ trên ta lưu ý biểu diễn hình đúng theo các tính chất của phép chiếu
song song (các bất biến) kết hợp với yêu cầu chọn hình hình biểu diễn trực quan
(chọn hình 1).
Câu 10: Anh (chị) phân tích một số chú ý trong dạy học “Khái niệm mặt
phẳng” trong dạy học hình học không gian ở lớp 11 THPT?
Trả lời.

Con đường hình thành: thuyết trình.
Là khái niệm trừu tượng dạy học bằng con đường thuyết trình và mô tả trực

quan qua các ví dụ lấy trong thực tiễn. Nêu các ý nghĩa thực tiễn của các tiên đề.
Tiên đề 1: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng
cho trước.
VD: bộ dụng cụ đo trắc địa.
Tiên đề 2: Nếu 1 đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt của 1 mặt phẳng thì
mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
VD: khi lát sân gạch, người thợ kiểm tra sân cỏ có phẳng hay không

Khi xây dựng hình học phẳng chúng ta đã nêu tiên đề (tính chất thừa nhận
“có 1 và chỉ 1 đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt cho trước”).
Cần hiểu: nếu cho trước 2 điểm phân biệt A, B của mặt phẳng thì trên mặt
phẳng đó có duy nhất 1 đường thẳng đi qua A, B. Mà không thể suy ra được rằng
nếu cho trước 2 điểm phân biệt A, B trong không gian thì có duy nhất 1 đường
thẳng (trong không gian đó) đi qua A, B.
Vì vậy sgk nêu ra tính chất thừa nhận là “có 1 và chỉ 1 đường thẳng đi qua 2
điểm phân biệt cho trước”. Từ đó đi đến tính chất thừa nhận 2.
Chú ý đến ý nghĩa của các tính chất thừa nhận nêu trong sgk.
Tính chất 1: mô tả tính “thẳng” của đường thẳng.
Tính chất 1: mô tả tính “phẳng” của mặt phẳng.
Tính chất 1: nói rằng không gian đang xét có số chiều lớn hơn.
Tính chất 1: nói rằng không gian đang xét có số chiều bé hơn.

Chú trọng việc vẽ hình biểu diễn, vẽ đúng, vẽ tốt hình biểu diễn của các
hình không gian sẽ giúp cho HS tưởng tượng đúng, hình dung đúng thực chất của
hình trong không gian
⇒
Nâng cao khả năng tưởng tượng của học sinh.
Tập vẽ hình biểu diễn ngay từ đầu. Ví dụ cặp đường thẳng chéo nhau là cặp
đường thẳng không cùng nằm trong cùng 1 mặt phẳng được biểu diễn ở các hình
sau.

Câu 11: Anh (chị) phân tích mục đích, yêu cầu của việc dạy học chủ đề quan
hệ song song trong không gian, trong dạy học hình học lớp 11 ở trường THPT?
Trả lời.
1. Về kiến thức.
- Củng cố cho học sinh các khái niệm về đường thẳng //, đường thẳng // với
mặt phẳng, mặt phẳng // và các dấu hiệu nhận biết chúng.
- Củng cố các kiến thức về vị trí tương đối giữa các yếu tố đường thẳng, mặt
phẳng trong không gian.
- Phép chiếu song song, hình biểu diễn các hình không gian.
2. Về kĩ năng.
- Kĩ năng chứng minh 2 đường thẳng // trong không gian, 2 mặt phẳng // trong
không gian, đường thẳng // với mặt phẳng.
- Chứng minh 4 đường thẳng cùng thuộc 1 mặt phẳng.
- Xác định 1 thiết diện của 1 hình đa diện nhờ sử dụng các định lý quan hệ
song song.
3. Phát triển năng lực trí tuệ.
- Giúp học sinh giải thích từng bước lập luận trong chứng minh suy diễn, trong
chứng minh bằng phản chứng và biết cơ sở lập luận tách các trường hợp riêng.
- Tìm cách chứng minh khác với cách chứng minh trong sgk của các định lý.
- Chú ý trong các khả năng phân tích, tổng hợp, tìm tòi các cách giải khác cho
1 dạng toán.
VD: Để chứng minh đường thẳng a // b trong không gian thì ta có thể vận
dụng các cách sau:
C1: chứng mình a, b cùng thuộc mặt phẳng (P) sau đó sử dụng kiến thức của
hình học phẳng để chứng minh a // b.
C2:
/ /
/ /
/ /
a b

a b
b c

⇒


C3:
( ) ( )
( ) ( ) / /
( ) / /( )
a R P
b R Q a b
P Q
= ∩


= ∩ ⇒



4. Về phương pháp dạy học.
- Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề. Trong dạy
học đây là 1 vấn đề khó. Đặc biệt là khó tạo được tình huống hấp dẫn điển hình
nhằm tạo động cơ cho các hoạt động học tập của HS.
VD: dạy học định lý. Ta có thể tổ chức các hoạt động sau đây:
HĐ 1: Gợi động cơ nhằm phát hiện định lý và
thông qua các hoạt động sau:
Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’.
1.1. quan sát hình lập phương nêu mối quan
hệ giữa (ABCD) và (A’B’C’D’).

1.2. nêu mối quan hệ giữa các cặp đường
thẳng (AB, AD); (BA, BC); (CB,CD) với
(A’B’C’D’).
1.3. từ 2 hoạt động trên phát biểu điều kiện để
mặt phẳng (ABCD) // (A’B’C’D’).
HĐ 2: Cắt hình lập phương
thành 2 hình bẳng nhau như sau:
2.1. nêu mối quan hệ giữa
(ABC) với (A’B’C’); giữa (ACD)
với (A’C’D’).
2.2. nêu mối quan hệ giữa các
cặp đường thẳng (BA,BC) với
(A’B’C’); (DA, DC) với (A’B’C’).
2.3. Phát biểu điều kiện để mặt
phẳng (
α
) // (
β
).
HĐ 3: Hướng dẫn HS chứng
minh định lý.
HĐ 4: Củng cố định lý. Phát biểu định lý bằng các phát biểu tương đương khác
nhau. Chú ý đến việc nhận dạng, thể hiện định lý có thể sử dụng các mô hình hình
chóp, hình lập phương, khai thác các ứng dụng của định lý vận dụng vào giải các
dạng toán nào.
Câu 12: Anh (chị) phân tích mục đích, yêu cầu của việc dạy học chủ đề quan
hệ vuông góc trong không gian, trong dạy học hình học lớp 11 ở trường THPT?
Trả lời.
1. Về kiến thức.
- Truyền thụ chính xác các khái niệm.

- Quan tâm xác lập mối liên hệ giữa quan hệ vuông góc và quan hệ song sọng.
Nhờ quan hệ vuông góc mà học sinh hiểu thêm, có thêm các cách chứng minh 2
đường thẳng song song.
- Hiểu chính xác về khái niệm phép chiếu vuông góc, khoảng cách giữa các
yếu tố.
2. Về kỹ năng.
- Trang bị cho học sinh các kỹ năng chứng minh 2 đường thẳng vuông góc,
đường thẳng vuông góc mặt phẳng, mặt phẳng vuông góc mặt phẳng, tính khoảng
cách; dựng đường vuông góc chung, tính góc giữa 2 yếu tố, xác định thiết diện.
3. Về phương pháp dạy học.
- Quan tâm đến các tình huống trong thực tiễn, các tình huống trong nội bộ
toán học có thể gợi động cơ hướng đích cho học sinh khi hình thành khả năng phát
triển định lý.
- Chú trọng các hoạt động nhận dạng, thể hiện khái niệm, khai thác các ứng
dụng khác nhau nhằm khắc sâu kiến thức rèn luyện kỹ năng.
4. Nhằm phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh.
- Chú ý tới khả năng tổng hợp nhìn nhận các vấn đề theo các góc độ khác nhau/
VD1: Để chứng minh 2 đường thẳng vuông góc ta có thể chứng minh bằng
các cách sau:
+ nếu chúng đồng phẳng thì dùng các kiến thức đã biết trong mặt phẳng để
chứng minh.
+ chứng minh (
¶
,a b
) = 90
o
.
+ chứng minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường
thẳng kia.
VD2: Chứng minh đường thẳng a vuông góc (P) thì học sinh có thể chứng

minh.
+ a vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong (P).
+ chứng minh a là giao tuyến của 2 mp vuông góc với (P).
+ chứng minh a // b; b vuông góc (P)  a
⊥
(P).
Áp dụng: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’. Chứng minh AC’
⊥
(BDA’)
Chứng minh:
C1: chứng minh AC’ vuông góc với 2
đường thẳng cắt nhau trong (BDA’)
'
' '
AC BD
AC BA
⊥


⊥

C2: (ACC’A’)
⊥
(BDA’)
 Chú ý: chú trọng bồi dưỡng cho học sinh
lập luận chứn minh có căn cứ, chú trọng các suy diễn có logic. Chứng minh bằng
phương pháp phản chứng. Quan tâm, rèn luyện học sinh biết phân chia trường
hợp.
VD: trong mặt phẳng 2 đường thẳng vuông góc với 1 đường thẳng thứ 3 thì
2 đường thẳng đó song song. Mệnh đề trên tương tự với 2 mặt phẳng cùng vuông

góc với đường thẳng thì song song. Tuy nhiên tránh sai lầm cho rằng 2 đường
thẳng vuông góc với 1 đường thẳng trong không gian thì song song, mà phải biết
phân chia thành 2 trường hợp để dẫn đến song song hoặc chéo nhau.
Câu 13: Anh (chị) phân tích mục đích, yêu cầu của việc dạy học giải bài tập
về vectơ trong dạy học hình học không gian lớp 11 ở trường THPT?
Trả lời.
- Quy trình giải bài tập bằng phương pháp véc tơ gồm:
B
1
: Chọn hệ véc tơ gốc biểu diễn các dữ kiện của bài toán sang ngôn ngữ véc
tơ.
B
2
: Biến đổi các bài toán véc tơ phù hợp với yêu cầu bài toán.
B
3
: Chuyển kết luận sang ngôn ngữ hình học tổng hợp.
- Khi dạy học cần rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng sau:
1. Diễn đạt quan hệ hình học bằng ngôn ngữ véc tơ: đó là năng lực chuyển
tương đương những quan hệ hình học sang ngôn ngữ véc tơ để có thể vận dụng
kiến thức véc tơ trong giải toán bằng cách cho học sinh diễn tả mối quan hệ bằng 2
cách.
Quan hệ hình học Kiến thức véc tơ
AB // CD
AB kCD=
uuur uuur
AB
⊥
CD
. 0AB CD =

uuur
uuuv
M là trung điểm của AB
0MA MB+ =
uuur uuur r
G là trọng tâm của
∆
ABC
0GA GB GC+ + =
uuur uuur uuur r
2. Phân tích 1 véc tơ thành tổ hợp véc tơ: kiến thức cơ sở phân tích 1 véc tơ
thành tổng, hiệu 2 véc tơ.
VD: Cho
∆
ABC, G là trọng tâm
∆
ABC. Chứng minh rằng với điểm C bất
kì ta luôn có
1
( )
3
OG OA OB OC= + +
uuur uuur uuur uuur
.
Phân tích: Từ véc tơ
OG
uuur
để xuất hiện véc tơ có điểm cuối là A, B, C ta dùng
quy tắc tam giác để xen các đỉnh A, B, C vào. Khi đó ta có phép phân tích véc tơ
sau đây

OG OA AG
OG OB BG
OG OC CG

= +


= + ⇒


= +


uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
cộng vế với vế ta được điều phải chứng minh.
VD2: Cho 4 điểm M, A, B, C tùy ý. Chứng minh:
. . . 0MA BC MB CA MC AB+ + =
uuur uuur uuur uuur uuuur uuur
.
Yêu cầu của bài toán thì để được 1 tổng bằng 0 ta có thể chọn các phép biến
đổi làm xuất hiện các cặp giá trị giống nhau, ta tiến hành phân tích mỗi véc tơ
thành 1 hiệu và điểm gốc thì chọn tùy ý ta có thể chọn luôn điểm gốc này là M. Ta
có:

. ( ) . .
. ( ) . .
. ( ) . .

MA BC MA MC MB MA MC MA MB
MB CA MB MA MC MB MA MB MC
MC AB MC MB MA MC MB MC MA
= − = −
= − = −
= − = −
uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur
uuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
Cộng các vế, lập luận có điều phải chứng minh.

Trong hình học không gian nhiều khi việc phân tích 1 véc tơ thành 1 tổ hợp
véc tơ được tiến hành theo 2 bước.
- Chọn 3 véc tơ không đồng phẳng (cơ sở của không gian).
- Phân tích những véc tơ theo 3 véc tơ không đồng phẳng đã chọn. VD.
3. Khái quát hóa ứng dụng của phương pháp véc tơ để giải toán: Hình thành tri
thức phương pháp véc tơ để vận dụng để giải toán.
- Muốn chứng minh 2 đường thẳng phân biệt AB và CD là song song ta chỉ cần
chứng minh
AB
uuur
và
CD
uuur
cộng tuyến nghĩa là có dạng
.AB k CD=
uuur uuur
.
- Chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng ta cần chứng minh 2 véc tơ viết từ 2
điểm ấy là cộng tuyến.

- Chứng minh 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng.
2
!( , ) :
0 : . . . (k + l + m = 1)
m n AB mAC nAD
OA k OB l OC m OD

∃ ∈ = +

∃ = + +


uuur uuur uuur
¡
uuur uuur uuur uuur
- Chứng minh đường gấp khúc A
0
A
1
…A
n
khép kín
⇔
A
0
≡
A
n
. Tức là
0 1 1

0
n n
A A A A
−
+ + =
uuuur uuuuuur r
.
Câu 14: Anh (chị) phân tích một số chú ý trong dạy học các phép toán về véc
tơ trong dạy học hình học không gian lớp 11 ở trường THPT?
Trả lời.
1. Định nghĩa phép toán.
a) Phép cộng 2 véc tơ xuất phát từ định nghĩa có tính chất kiến thiết về tổng 2
véc tơ tức là chỉ ra cách xác định vec tơ tổng.
b) Phép trừ 2 véc tơ
Định nghĩa thông qua phép cộng 2 véc tơ như sau:
( )a b a b− = + −
r r r r
. Khi dạy chú
ý phân biệt dấu trừ trong phép toán trên, chú ý việc thực hiện thông qua việc cộng
với véc tơ đối.
c) Phép nhân véc tơ với 1 số.
- Được định nghĩa bằng phương pháp kiến thiết.
- Chú ý phân biệt ý nghĩa khác nhau của 2 dấu (||).
- Khi dạy về các phép toán trên cần cho học sinh nắm vững cách xác định vec
tơ tổng, véc tơ hiệu của 2 véc tơ và nhân véc tơ với 1 số.
VD: Có thể cho HS xác định dựa vào quy tắc tam giác hay quy tắc hình
bình hành. Đặc biệt từ cách xác định ấy HS luyện tập, phân tích 1 véc tơ thành
tổng 2 véc tơ hoặc hiệu 2 vec tơ mà về sau được dùng nhiều trong giải toán.
VD: Với điểm C bất kỳ
AB AC CB= +

uuur uuur uuur
- Các tính chất cơ bản của mỗi phép toán dựa trên chúng người ta xây dựng
phương pháp véc tơ. Vì vậy, trước hết cần hình thành cho HS những kiến thức cơ
bản về:
+ hệ trục tọa độ.
+ tọa độ của 1 điểm.
+ tọa độ của 1 véc tơ.
Và biết cách vận dụng kiến thức ấy vào chứng minh các hệ thức lượng trong
tam giác, trong hình tròn và trong giải toán.
- Các phép toán được hình thành không nhằm mục đích xây dựng tường minh
một không gian véc tơ mà để hoàn thiện một công cụ véc tơ dùng về sau.
- Cần nhấn mạnh cho HS thấy rõ những tính chất giống nhau của 2 phép nhân,
phép nhân véc tơ với 1 số và phép nhân những số.
Phép nhân các số trên hệ thống sô Phép nhân VT với 1 số thực
K(a + b) = ka + kb
k(
a
r
+
b
r
) = k
a
r
+k
b
r
K(ma) = (km)a
K(m
a

r
) = (km)
a
r
1.a = a.1 = a
1.
a
r
=
a
r
.1 =
a
r
- Tuy nhiên cần phải thấy rằng 2 phép nhân này hoàn toàn khác nhau. Phép
nhân các số với 1 số là phép toán trong, còn phép nhân véc tơ với 1 số là phép toàn
ngoài (tức là ánh xạ
V V
× →
¡
, với V là không gian véc tơ). Phép toán ngoài này
cùng với 4 tính chất cơ bản nêu ở trên cùng với phép cộng các véc tơ trang bị cho
tập V các véc tơ thành 1 không gian véc tơ trên trường số thực.
- Chú ý sai lầm của HS do suy luận áp dụng máy móc tính chất của các số đối
với các véc tơ.
VD: Cho
∆
ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho.
. .AB AM AC AB AM AC= ⇔ =
uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur

( sai, HS đã áp dụng luật giản ước của cá số đối
với các véc tơ).
2. Tích vô hương của 2 véc tơ.
- Định nghĩa tích vô hướng của 2 véc tơ theo phương pháp tiên đề thực chất là
mô hình ánh xạ f: V
×
V
→
¡
. Phép toán này đặt tương ứng giữa 2 véc tơ
x
r
,
y
ur
V∈
ur
với một số thực bất kỳ thỏa mãn 4 tiên đề và vì vậy, với định nghĩa tích vô
hướng của 2 véc tơ ta có thể định nghĩa bằng 1 trong 4 cách sau đây.
Với 2 véc tơ cho trước
a
r
(x
1
, y
1
);
b
r
(x

2
,y
2
)
a) dạng độ dài
2 2 2 2 2
1 1
. (| | | | | | ) (| | | | )
2 4
a b a b a b a b a b= + − − = + − −
r r r r r r r r r r
.
b) dạng lượng giác
¶
. | | .| |. os( , )a b a b c a b=
r r r r r r
.
c) dạng tọa độ
1 2 1 2
.a b x x y y= +
r r
.
d) dạng hình chiếu
. ' | |. . .
a
ab a b x h ch b= =
r
rr r ur uur r
(
'b

ur
là hình chiếu của
b
r
lên
a
r
).
 Sgk có hai định nghĩa.
C1: Định nghĩa theo dạng lượng giác: định nghĩa này không chứng minh được
các tính chất của tích vô hướng nhưng được sử dụng nhiều trong giải toán. Vì vậy
nó có giá trị về mặt thực hành.
C2: Định nghĩa theo dạng độ dài: định nghĩa này có thể chứng minh trọn vẹn
các tính chất của tích vô hướng nhưng ít sử dụng khi giải toán. Vì vậy có giá trị về
mặt lý thuyết.
- Để bổ sung những khiếm khuyết ở trên thì sgk chuyên ban A đã kết hợp 2
cách trình bày. Định nghĩa theo dạng độ dài và lấy dạng lượng giác làm tính chất.

Chú ý trong không gian véc tơ không có khái niệm về phép chia cho 1 véc tơ
mà chỉ có khái niệm tỉ số của 2 véc tơ cùng phương và khái niệm này được suy ra
từ phép lấy tích của véc tơ với 1 số
.
y
k x y k
x
= ⇔ =
ur
r ur
r
.

Câu 15: Anh (chị) phân tích mục đích, yêu cầu của việc dạy học phương pháp
tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian, trong dạy học hình học lớp 11 ở
trường THPT?
Trả lời.
1. Về kiến thức.
- Cần hiểu thực chất của việc nghiên cứu tọa độ ở trường THPT là nghiên cứu
một cách thể hiện khác nhau của hệ các tiên đề trong hình học phẳng và trong
không gian.
- Việc đưa vào trục tọa độ, hệ trục tọa độ, hệ trục tọa độ đề các vuông góc cho
phép đặt tương ứng. Mỗi véc tơ trên trục, mỗi véc tơ trên mặt phẳng, vec tơ trong
không gian với một số thực, 1 cặp số thực (x, y) và bộ 3 số thực (p, q, r). Từ đó
dẫn tới mỗi điểm trong mặt phẳng hay trong không gian được đặt tương ứng duy
nhất cặp số thực sắp thứ tự (p, q) hoặc bộ 3 số thực (p, q, r). Khi đó đường thẳng
trong mặt phẳng được hiểu là tập hợp các số (x, y) thỏa mãn: Ax + By + C = 0 (A
2

+ B
2

≠
0).
Tương tự mặt phẳng là tập bộ 3 số (x, y, z) thỏa mãn:
Ax + By + Cz + D = 0 (A
2
+ B
2
+ C
2
≠
0).

- Với cách hiểu như trên ta có thể nhận thấy các tiên đề của mặt phẳng đã xét
trong hình học 11 đều thỏa mãn.
VD: với tiên đề trong hình học phẳng: qua 3 điểm không thẳng hàng, xác
định duy nhất 1 mặt phẳng.
Cho A(x
1
, y
1
,z
1
); B(x
2
,y
2
,z
2
); C(x
3
,y
3
,z
3
) không thẳng hàng, nghĩa là
AB AC
λ
≠
uuur uuur

hay (x
2

– x
1
):(y
2
– y
1
):(z
2
- z
1
)
≠
(x
3
- x
1
):(y
3
- y
1
):(z
3
- z
1
) thì tồn tại duy nhất 1 mặt
phẳng đi qua 3 điểm đó.
Nghĩa là chỉ có duy nhất 1 phương trình xác định mặt phẳng đó.
0x y z
α β σ λ
+ + + =

trong đó
2 1 2 1
3 1 3 1



y y z z
y y z z
α
− −
=
− −
2 1 2 1
3 1 3 1


z z x x
z z x x
β
− −
=
− −

2 1 2 1
3 1 3 1


x x y y
x x y y
σ

− −
=
− −

( )x y z
λ α β σ
= − + +
.
- Tương tự ta có thể thử nghiệm các tiên đề qua 2 điểm phân biệt trong mặt
phẳng xác định duy nhất 1 mặt phẳng.
- Từ đó các kiến thức dẫn xuất suy ra từ các tiên đề được trình bày bằng tọa độ
bằng cách đại số hóa.
- Việc đưa vào hệ tọa độ để đại số hóa việc nghiên cứu trong sgk phổ thông
dựa trên các kiến thức cơ sở về véc tơ và chủ yếu dựa trên các định lý.
Định lý 1: Cho 2 véc tơ khác phương
,a b
r r
. Khi đó
c
r
bất kì trong mặt phẳng
luôn biểu diễn được duy nhất thông qua 2 véc tơ
,a b
r r
:
c xa yb= +
r r r
.
+ nếu
,a b

r r
là các véc tơ đơn vị đặt từ gốc tọa độ 0 và cùng với trục thì cặp
số (x, y) là tọa độ của
c
r
đối với hệ trục tọa độ trên mặt phẳng. (việc chứng minh
định lý trên dựa vào biểu thức phép nhân với một số, định lý về 2 véc tơ cùng
phương, quy tắc hbh).
Định lý 2: Cho
, ,a b c
r r r
không đồng phẳng, khi đó mọi điểm trong không gian
đều khai triển được duy nhất dưới dạng
d xa yb zc= + +
ur r r r
và ta có nhận xét tương tự
trên.
- Các kiến thức cơ bản học sinh cần nắm vững; khái niệm hệ trục tọa độ, tọa độ
véc tơ trong hệ trục tọa độ phẳng và không gian, tọa độ của điểm và các tính chất
của chúng, phương trình tổng quát của 1 đường thẳng.
2. Về các kỹ năng.
- Xác định tọa độ của véc tơ, điểm bằng cách sử dụng tọa độ véc tơ hoặc hình
chiếu vuông góc lên trục tọa độ phẳng hay không gian.
- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng, đường tròn, đường conic.
- Xác định khoảng cách, góc giữa các yếu tố trong mặt phẳng và không gian.
3. Về phương pháp.
- Đảm bảo sự cân đối cho HS nắm vững các mặt cú pháp và ngữ nghĩa trong
dạy học các nội dung kiến thức về tọa độ.
- Việc sử dụng kiến thức về tọa độ để nghiên cứu hình học thực chất là sử dụng
công cụ đại số để nghiên cứu hình học.

- Mặt cú pháp được thể hiện là việc sử dụng các ngôn ngữ hình thức, các biểu
thức đại số hình thức để diễn tả các đối tượng, quan hệ hình học.
VD1: 2 đường thẳng
1 1 1 1
2 2 2 2
: 0
: 0
A x B y C
A x B y C
∆ + + =
∆ + + =
song song
1 1
2 2

0

A B
D
A B
⇔ = =
1 1 1 1
2 2 2 2

hay

x y
B C C A
D D
B C C A

= =
0≠
.
Nhận xét: các biểu thức hình thức trên diễn tả hệ 2 phương trình đường thẳng 2
ẩn nói trên vô nghiệm.
VD2: Khi diễn đạt điều kiện đồng phẳng của 3 véc tơ
, ,a b c
r r r
học sinh cần
chú ý đến biểu thức hình thức
[ , ].a b c
r r r
= 0.
Trong đó
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2

[ , ] , ,

y z z x x y
a b
y z z x x y
 
=
 ÷
 
r r
với
1 1 1 2 2 2
( , , ), ( , , ).a x y z b x y z= =

r r
Giải thích ý nghĩa hình học của biểu thức trên.
Gọi m, n, p lần lượt là 3 đường thẳng chứa
, , ;a b c ∆
r r r
là đường thẳng chứa
[ , ]a b v=
r r r
. Do
,v a b⊥
r r r
nên
,m n∆ ⊥ ∆ ⊥
và do
. 0v c =
r r
nên
P∆ ⊥
.
Từ đó suy ra 3 đường thẳng m, n, p song song với mặt phẳng (
α
). Mà (
α
)
⊥ ∆
nên 3 véc tơ
, ,a b c
r r r
đồng phẳng.
- Khi dạy học phương pháp tọa độ có thể xảy ra 2 khuynh hướng:

+ chú trọng rèn luyện cho học sinh giải toán trên các biểu thức hình thức, ít
quan tâm đến việc nắm các ý nghĩa hình học.
+ chỉ coi trọng nội dung hình học, coi nhẹ các dạng toán trong nội bộ
phương pháp tọa độ điều này ảnh hưởng lớn tới kỹ năng giải toán bằng phương
pháp tọa độ.

Khắc phục khi dạy học cần chú ý:
- khắc sâu ý nghĩa hình học của các biểu thức, hệ thức tọa độ hình thức.
- chú trọng cho học sinh luyện tập, đảm bảo cân đối, giải các bài toán trong nội
bộ phương pháp tọa độ.
- khai thác các ứng dụng khác nhau của từng khái niệm, định lý, quy tắc, tính
chất vào nghiên cứu và giải quyết các vấn đề khác nhau thuộc phạm vi kiến thức
toán phổ thông.
- chú trọng các yếu tố trực quan: chú trọng các dạng toán phối hợp nhiều
phương pháp khác nhau để giải, phương pháp tổng hợp, phương pháp véc tơ,
phương phá tọa độ.
- sau khi học xong các bài tập bằng phương pháp tọa độ yêu cầu học sinh tổng
kết lại các dạng toán nào có thể sử dụng phương pháp tọa độ.
1) Các dạng toán xét các tính chất afin, tính chất về lượng, xét trong các mô
hình: hình chữ nhật, hình lập phương, hình tứ diện vuông góc.
2) Xét các tính chất quan hệ giữa các yếu tố trong mô hình tứ diện.
3) Các dạng toán xét trên mô hình 2 đường thẳng chéo nhau và vuông góc với
nhau.
- tạo điều kiện để học sinh phát huy tính sáng tạo, chủ động chiếm lĩnh tri thức,
hình thành được kỹ năng cơ bản 1 cách tích cực hứng thú.