rèn luyện cho học sinh thpt kỹ năng tiến hành các hoạt động trí tuệ trong giải toán đại số và giải tích

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Nghị quyết hội nghị lần thứ 2 Ban chấp hành Trung ơng Đảng cộng sản
Việt Nam (Khoá VIII, 1997) khẳng định: phải đổi mới phơng pháp giáo dục -
Đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp t duy sáng tạo cho
ngời học .
Điều 24- Luật Giáo dục nớc Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam (năm
1998) quy định: phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực,
tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học,
môn học; bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào
thực tiễn
Chơng trình môn Toán trờng Trung học phổ thông (năm 2002) cũng đã chỉ
rõ: " Môn Toán phải góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ,
hình thành khả năng suy luận đặc trng của Toán học cần thiết cho cuộc sống; ;
rèn luyện kỹ năng vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải các bài toán đơn
giản của thực tiễn; phát triển khả năng suy luận có lý, hợp lôgic trong những tình
huống cụ thể, khả năng tiếp nhận và biểu đạt các vấn đề một cách chính xác ".
Theo Từ điển tiếng Việt: Trí tuệ là khả năng nhận thức lí tính đạt đến một
trình độ nhất định" [68, tr. 999]. Khả năng nhận thức của mỗi con ngời đạt đến
trình độ nào, điều này phụ thuộc vào khả năng của mỗi ngời và môi trờng giáo
dục. Vì vậy, phát triển trí tuệ là một vấn đề rất khó khăn và rất quan trọng.
Trong th gửi các bạn trẻ yêu Toán ngày 10 tháng 10 năm 1967. Cố Thủ t-
ớng Phạm Văn Đồng đã viết " Trong các môn khoa học và kỹ thuật, Toán học
giữ một vai trò nổi bật. Nó có tác dụng lớn đối với nhiều ngành khoa học khác,
đối với kỹ thuật, đối với sản xuất và chiến đấu. Nó còn là môn thể thao của trí tuệ,
giúp chúng ta nhiều trong việc rèn luyện phơng pháp suy nghĩ, phơng pháp suy
luận, phơng pháp học tập, phơng pháp giải quyết các vấn đề, giúp chúng ta rèn trí
1
thông minh sáng tạo ". Ngoài ra, khá nhiều bài toán việc giải có thành công hay
không phụ thuộc chính ở chỗ: các hoạt động trí tuệ đợc tiến hành trong quá trình
giải bài toán đó có hiệu quả hay không.

Công trình nghiên cứu của G . Pôlia cũng đã khẳng định:
"Giải Toán là khả năng riêng biệt của trí tuệ, còn trí tuệ chỉ có ở con ng-
ời; vì vậy giải toán có thể xem nh một trong những biểu hiện đặc trng nhất trong
hoạt động của con ngời" [46, tr. 5], do đó: Ngời giải toán phải hiểu đợc trí tuệ
của mình nh ngời lực sĩ hiểu thân thể anh ta " và "Khát vọng và quyết tâm giải
đợc bài toán là nhân tố chủ yếu của quá trình giải mọi bài tập" [46, tr. 305].
Cũng nói về vấn đề này, nhóm tác giả Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc và
Trần Thúc Trình viết: Hành động trí tuệ là hành động tinh thần có liên quan đến
qúa trình t duy, là hành động tinh thần hớng tới mục đích nhận thức. Mỗi hành
động trí tuệ bao hàm trong nó một loạt các thao tác đợc thực hiện trong một trật tự
xác định phù hợp với những quy tắc nhất định" [22, tr. 109].
Các công trình này đã bớc đầu chỉ ra các hoạt động trí tuệ trong giải toán
và sự cần thiết phải quan tâm đến chúng. Tuy nhiên, việc đề cập này mới chỉ ở
mức độ sơ lợc.
Phơng pháp giảng dạy ở trờng phổ thông còn nặng nề việc thông báo kiến
thức, mà ít tập luyện cho học sinh khám phá ra kiến thức bằng chính những hoạt
động trí tuệ tơng thích với nó.
GS Hoàng Tụy phát biểu: Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí
nhớ, dạy mẹo vặt để giải những bài toán oái ăm, giả tạo, chẳng giúp ích gì mấy
để phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa vời thực tế, mệt mỏi và chán
nản (dẫn theo Nguyễn Văn Thuận 2004, tr. 2).
Cũng bàn về đổi mới phơng pháp dạy học môn Toán ở trờng phổ thông
nhóm tác giả Trần Kiều, Phạm Gia Đức, Phạm Đức Quang đa ra quan điểm chung
nh sau:
2
a) Đối với học sinh: Đạt tới mục đích xác định là học tập một cách tích cực,
chủ động, trong quá trình tự mình giải quyết vấn đề, từ đó phát triển t duy linh hoạt
tiến tới sáng tạo, trên cơ sở đó hình thành và ổn định phơng pháp tự học.
b) Đối với giáo viên: Làm thay đổi quan niệm dạy học truyền thụ một chiều
( Học sinh bị động tiếp thu, tái hiện )

- Hớng tới dạy học sinh phát triển năng lực không chỉ đơn giản là tích luỹ tri
thức mà năng lực giải quyết vấn đề phải là then chốt;
- Làm phong phú hơn nữa hình thức tổ chức dạy học, không đơn điệu cứng
nhắc, (Tạp chí giáo dục, số 119, 2005).
Khi nói về việc rèn luyện phẩm chất trí tuệ cho học sinh. Giáo s Hoàng
Chúng viết: "Trong việc giảng dạy Toán, cần thờng xuyên rèn luyện cho học sinh
các phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa lớn đối với việc học tập, công tác và cuộc sống của
học sinh [4, tr. 27].
Đề cập về tình hình thực tế của việc rèn luyện hoạt động trí tuệ cho học sinh
ở nhà trờng, tác giả Nguyễn Hữu Lơng đa ra nhận định: "Trong chơng trình giảng
dạy ở nhà trờng lâu nay, việc dạy phơng pháp hoạt động trí óc không đợc đặt ra một
cách tờng minh, mà chỉ đợc thực hiện một cách tiềm ẩn đàng sau việc giảng dạy
kiến thức. Nhiều trờng hợp giáo viên cha ý thức đầy đủ nên cha thực hiện đợc yêu
cầu rèn phơng pháp làm việc trí óc cho học sinh" [37, tr. 52].
Cho đến nay cha có công trình nào nghiên cứu một cách đầy đủ về các hoạt
động trí tuệ trong giải Toán. Lý thuyết của P. Ia. Galpêrin về các bớc hình thành các
hoạt động trí tuệ theo giai đoạn là một trong các cơ sở để nghiên cứu của đề tài, và
lời chỉ giáo của V. I. Lênin: Không có chân lý trừu tợng, chân lý bao giờ cũng cụ
thể (dẫn theo Nguyễn Văn Thuận 2004, tr. 2) là những tiền đề rất quan trọng để
chúng tôi đề xuất các quan điểm mang tính thực tiễn về việc rèn luyện kỹ năng tiến
hành các hoạt động trí tuệ trong giải Toán ở Chơng 2.
3
Đồng thời Luận văn sẽ có những phân tích, nhận định về vấn đề nghiên cứu
mối quan hệ giữa dạy học kiến thức Toán học với sự phát triển trí tuệ của học sinh,
vấn đề này ngày càng đợc chú trọng và ứng dụng rộng rãi trên thế giới.
Vì những lý do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của Luận văn là:
Rèn luyện cho học sinh THPT kỹ năng tiến hành các hoạt động trí tuệ trong
giải Toán Đại số và Giải tích .
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của Luận văn là làm sáng tỏ những vấn đề cơ sở lý luận

và thực tiễn của các hoạt động trí tuệ, đồng thời đề xuất các quan điểm về việc rèn
luyện cho học sinh THPT kỹ năng tiến hành các hoạt động trí tuệ trong giải Toán
nói chung và giải Toán Đại số và Giải tích nói riêng.
3. giả thuyết khoa học
Dựa vào các cơ sở lý luận và thực tiễn, nếu quan tâm đúng mức đến việc
rèn luyện cho học sinh kỹ năng tiến hành hợp lý các hoạt động trí tuệ trong giải
Toán, thì sẽ góp phần nâng cao chất lợng dạy học môn Toán và góp phần thực
hiện tốt mục tiêu và nhiệm vụ đổi mới PPDH Toán ở trờng phổ thông trong giai
đoạn hiện nay.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:
4.1. Hoạt động, hành động, thao tác và mối quan hệ giữa chúng nh thế nào?
4.2. Có những quan điểm nh thế nào về hoạt động trí tuệ?
4.3. Những hoạt động trí tuệ nào cần quan tâm trong quá trình giải Toán?
4.4. Đề xuất một số quan điểm về việc rèn luyện kỹ năng tiến hành các
hoạt động trí tuệ trong việc giải Toán Đại số và Giải tích.
4.5. Thực nghiệm s phạm để xem xét tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
5. Phơng pháp nghiên cứu
4
5.1. Nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu về các vấn đề liên
quan đến Luận văn.
5.2. Điều tra, quan sát: Điều tra qua thực tiễn s phạm, để xem xét ý nghĩa
thực tiễn của đề tài.
5.3. Thực nghiệm s phạm: tổ chức thực nghiệm s phạm để xem xét tính
khả thi và hiệu quả của các quan điểm đã đề xuất.
6. Những đóng góp của luận văn
6.1. Góp phần làm rõ thêm ý nghĩa và vai trò của các hoạt động trí tuệ
trong giải Toán bằng việc tổng hợp, phân tích, so sánh các quan điểm của các nhà
khoa học.
6.2. Đề xuất những quan điểm đối với việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng

tiến hành hợp lí các hoạt động trí tuệ trong giải Toán.
6.3. Luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán THPT.
7. Cấu trúc luận văn
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài.
2. Mục đích nghiên cứu.
3. Giả thuyết khoa học.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu.
5. Phơng pháp nghiên cứu.
6. Đóng góp của Luận văn.
Chơng 1
Những vấn đề cơ sở lý luận và thực tiễn
5
1.1. Hoạt động. Hành động. Thao tác.
1.2. Các quan điểm về những hoạt động trí tuệ.
1.2.1. Quan điểm về việc phân loại các hoạt động trí tuệ.
1.2.2. Một số cách phân loại về các hoạt động trí tuệ.
1.2.2.1. Quan điểm của Nguyễn Bá Kim.
1.2.2.2. Quan điểm của Phạm Văn Hoàn và đồng tác giả.
1.2.2.3. Quan điểm của G. Pôlia.
1.2.2.4. Một số nhận định.
1.3. Kết luận Chơng 1.
Chơng 2
Rèn luyện cho học sinh THPT các
hoạt động trí tuệ trong giải toán
2.1. Xác định các hoạt động trí tuệ.
2.1.1. Hoạt động dự đoán.
2.1.2. Hoạt động nhận dạng và thể hiện.
2.1.3. Hoạt động suy luận lôgic.
2.1.4. Hoạt động phân chia khái niệm.

2.1.5. Hoạt động t duy hàm.
2.1.6. Hoạt động khái quát hoá và trừu tợng hoá.
2.1.7. Hoạt động liên tởng và huy động kiến thức.
2.1.8. Hoạt động ngôn ngữ lôgic.
2.1.9. Hoạt động phát hiện và sửa chữa sai lầm.
2.1.10. Hoạt động toán học hoá tình huống thực tiễn.
2.2. Một số quan điểm rèn luyện cho học sinh các hoạt động trí tuệ trong giải Toán.
2.3. Kết luận Chơng 2.
Chơng 3
6
Thực nghiệm s phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm.
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm.
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm.
3.2.2. Nội dung thực nghiệm.
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm.
3.3.1. Đánh giá định tính.
3.3.2. Đánh giá định lợng.
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm.
Kết luận.
Tài liệu tham khảo.
Chơng 1
Những vấn đề cơ sở lý luận và thực tiễn
7
1.1. Hoạt động. Hành động. Thao tác.
Mục này không đi sâu làm rõ sự phân biệt ba cấp độ hoạt động, hành động
và thao tác. Không đặt vấn đề phân biệt rạch ròi ba khái niệm ấy, bởi tởng chừng
nh hoạt động là lớn hơn hành động, hành động là lớn hơn thao tác, nhng thực ra
thì cách xếp đặt ấy chỉ mang tính tơng đối, và còn tuỳ thuộc vào nội dung cụ thể,
nói cách khác: Một hành động nào đó có khi lại mạnh hơn một hoạt động khác.

Quan điểm của chúng tôi trong Luận văn là không có sự phân biệt rạch ròi ba
mức độ. Trớc hết chúng tôi xin dẫn ra quan điểm của A. N. Leonchev, nhà tâm lý
học Xô viết, Tiến sĩ Tâm lý học, Giáo s, Viện sĩ viện Hàn lâm KH Liên Xô.
Hoạt động: Hoạt động là một quá trình thực hiện sự chuyển hoá lẫn nhau
giữa hai cực: chủ thể - khách thể. Theo nghĩa rộng, nó là đơn vị phân tử, chứ
không phải là đơn vị cộng thành của đời sống chủ thể. Đời sống của con ngời là
một hệ thống (một dòng) các hoạt động thay thế nhau.
Hoạt động theo nghĩa hẹp hơn, tức là ở cấp độ tâm lý học, là đơn vị của đời
sống, mà khâu trung gian là phản ánh tâm lý, các chức năng hớng dẫn chủ thể
trong thế giới đối tợng [41, tr. 579].
Hành động: Hành động đợc A. N. Lêônchev định nghĩa là quá trình bị chi
phối bởi biểu tợng về kết quả phải đạt đợc, nghĩa là quá trình nhằm một đối tợng
đợc ý thức cần phải chiếm lĩnh [41, tr. 592].
Thao tác: Thao tác là cơ cấu kỹ thuật của hành động, là phơng thức triển
khai của hành động [41, tr. 579].
Nh vậy qua cách định nghĩa trên, thoạt tiên ta có cảm giác nh hoạt động và
hành động là hoàn toàn rạch ròi, nhng trong thực tế có những "động tác" tởng
chừng nh là hoạt động lại là hành động, chẳng hạn: "Động tác vẽ tranh của ngời
hoạ sỹ là hoạt động hay hành động? Điều này phải căn cứ vào chức năng của đối
tợng (tranh vẽ). Nếu bức tranh đó đợc vẽ với t cách là thoả mãn nhu cầu sáng tạo
nghệ thuật thì đó là hoạt động. Lúc đó nảy sinh hàng loạt các hành động bộ phận
8
nh tìm phong cảnh mẫu, quan sát Còn nếu việc vẽ tranh nhằm mục đích trả bài
thi tốt nghiệp hoặc nhằm phục vụ cho việc quảng cáo, mua bán v.v , thì nó là
hành động, nhằm hớng tới động cơ không cùng mục đích vẽ bức tranh (điểm thi,
kiếm tiền)" [41, tr. 591].
Nh vậy trong tình huống trên, có ngời cho việc vẽ tranh là thoả mãn nhu
cầu sáng tạo nghệ thuật, để rồi khẳng định là hoạt động. Nhng có ngời lại cho
việc vẽ tranh là phục vụ cho việc quảng cáo mua bán v.v , để khẳng định là hành
động thì cũng đều đợc.

Liên tởng đến việc giải Toán cũng vậy, có ngời quan niệm giải Toán để tập
"thể thao" cho "trí não", và để thấy đợc vẻ đẹp của "nữ hoàng của các khoa
học", có ngời lại quan niệm giải Toán để giải quyết nhu cầu khách quan nào đó.
Tuy nhiên, cũng nên tìm hiểu về thuật ngữ bài toán trớc khi đi sâu nghiên cứu các
hoạt động trí tuệ.
* Bài toán
Thuật ngữ "bài toán" đợc hiểu theo nghĩa rộng thông qua một số định
nghĩa sau:
G. Pôlia cho rằng: " Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có
ý thức phơng tiện thích hợp để đạt tới một mục đích rõ ràng nhng không thể đạt
đợc ngay" [44, tr. 169].
Bách khoa tri thức phổ thông định nghĩa : "Khái niệm bài toán hiểu là một
công việc hoàn thành đợc nhờ những phơng pháp đã biết trong những điều kiện
cho trớc"
Fanghaenel, Stoliar định nghĩa thuật ngữ bài toán nh sau: "Bài toán là một
sự đòi hỏi hành động, trong đó đã quy định:
Đối tợng của hành động (cái đã có trong bài toán)
Mục đích của hành động (cái phải tìm trong bài toán)
Các điều kiện của hành động (mối quan hệ giữa cái đã có và cái phải tìm)
9
Nh vậy, khái niệm bài toán đợc gắn liền với hành động của chủ thể, không
thể nghiên cứu bài toán tách rời với hành động của chủ thể. Bài toán không tồn
tại độc lập với mọi "hệ quy chiếu";
* Các bớc thờng làm khi giải các bài toán.
Trong tiểu mục này chúng tôi xin đa ra quan điểm chung về việc hình
thành các bớc giải một bài toán và không mang tính tuyệt đối, bởi vì còn tuỳ
thuộc vào hoàn cảnh, bài toán cụ thể.
Đọc kỹ đề toán: Xác định đợc đâu là những cái đã cho, đâu là cái phải
tìm ở đây cần lu ý những điểm sau:
Mỗi bài toán đề gồm hai bộ phận: Bộ phận thứ nhất là những điều đã cho,

bộ phận thứ hai là cái phải tìm. Muốn giải đợc bất cứ bài toán nào học sinh cũng
phải xác định chính xác hai bộ phận đó. Hay nói cách khác học sinh cần phải làm
tờng minh sự tách bạch đó. Tuy nhiên trong bài toán cụ thể sự tách bạch không
phải lúc nào cũng dễ dàng phát hiện.
Cần tập trung t duy vào những từ quan trọng của đề toán, từ nào cha hiểu
hết ý nghĩa thì phải tìm hiểu ý nghĩa của nó.
Học sinh cần phân biệt rõ những gì thuộc về bản chất của đề toán, những
gì không thuộc về bản chất của đề toán để hớng sự chú ý của mình vào những chỗ
cần thiết. Điều này theo G. Pôlia quan niệm là "Khu vực tìm tòi" [46, tr. 308].
Tóm tắt đề toán: Bằng sơ đồ, hình vẽ hoặc ngôn ngữ, kí hiệu ngắn gọn.
Phân tích bài toán để tìm cách giải: ở đây, cần suy nghĩ xem: "Muốn trả lời
câu hỏi của bài toán thì cần phải biết những gì, cần phải làm những phép tính gì?.
Trong những điều ấy cái gì đã biết, cái gì cha biết ?. Muốn tìm cái cha biết ấy thì lại
phải biết những gì, phải làm tính gì? Cứ nh thế ta đi dần tới những điều đã cho trong
đề toán" [44, tr. 20]
Giải bài toán và thử lại kết quả
10
Dựa vào kết qủa phân tích bài toán ở bớc 3, xuất phát từ những điều đã cho
trong đề toán, ta lần lợt thực hiện các phép tính để tìm ra đáp số, cần chú ý thử lại
sau khi làm xong từng phép tính, cũng nh thử lại đáp số xem có phù hợp với đề
toán không. Cũng cần soát lại các câu trả lời cho phép tính xem đã đủ ý và gãy
gọn cha?
Khai thác bài toán (Bớc dành cho học sinh khá, giỏi)
Sau khi giải xong bài toán, cần suy nghĩ xem:
Còn có thể giải bài toán bằng các cách khác không?
Từ bài toán này có thể rút ra nhận xét gì, kinh nghiệm gì?
Từ bài toán này có thể đặt ra các bài toán khác nh thế nào? Giải chúng ra sao?
Các kỹ năng giải
Về bản chất kỹ năng là thuộc tính kỹ thuật của hành động, luôn có sự kiểm
soát của ý thức, phản ánh mức độ của phơng tiện thực hiện một hành động nào

đó. Giải một bài toán là tiến hành một hệ thống các hành động có mục đích, do
đó chủ thể giải toán cần phải: Nắm vững các tri thức về hành động, thực hiện
hành động theo các nhu cầu cụ thể của tri thức đó, biết hành động có kết quả
trong những điều kiện khác nhau. Trong giải Toán thì kỹ năng của học sinh chính
là khả năng vận dụng sáng tạo, có mục đích những tri thức và kinh nghiệm đã có
vào giải các bài toán cụ thể, thực hiện có kết quả một hệ thống hành động giải
toán để đi đến lời giải của bài toán một cách khoa học. Hệ thống kỹ năng giải
toán của học sinh có thể chia thành ba cấp độ: Biết làm, thành thạo và sáng tạo
trong việc giải các bài toán cụ thể.
Trong giải Toán, học sinh cần có nhóm kỹ năng chung sau:
+ Kỹ năng tìm hiểu nội dung bài toán;
+ Kỹ năng tìm kiếm, đề ra chiến lợc giải, hớng giải bài toán;
+ Kỹ năng xây dựng và thực hiện kế hoạch giải;
+ Kỹ năng kiểm tra đánh giá tiến trình giải toán và kết quả bài toán;
11
+ Kỹ năng thu nhận hợp thức hoá bài toán thành kiến thức mới của ngời giải toán.
Ngoài ra cần chú ý rèn luyện các nhóm kỹ năng cụ thể sau:
Nhóm kỹ năng thực hành.
+ Kỹ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải Toán.
+ Kỹ năng tính toán.
+ Kỹ năng trình bày lời giải khoa học, sử dụng biểu đồ, sơ đồ, đồ thị, đọc,
vẽ hình, chính xác, rõ ràng.
+ Kỹ năng ớc lợng đo đạc.
+ Kỹ năng toán học hoá các tình huống thực tiễn.
Nhóm kỹ năng về t duy.
+ Kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức trong giải Toán.
+ Kỹ năng tổng hợp.
+ Kỹ năng phân tích.
+ Kỹ năng mô hình hoá.
+ Kỹ năng sử dụng thông tin.

Tiến trình giải một bài toán gồm 5 bớc cơ bản sau:
Các bớc sau đây không phải là tuyệt đối cho tất cả các bài toán, mà chỉ
mang tính chất tơng đối.
Bớc 1: Tiếp nhận Bài toán.
Tạo tâm lý hứng thú, thu hút tâm trí vào việc giải toán, khêu gợi trí tò mò,
lòng ham thích giải toán, khát vọng, quyết tâm giải bài toán.
Tiếp cận với kế hoạch giải bài toán. Hiểu và phân tích bài toán, làm rõ mối
quan hệ giữa ẩn số, điều kiện, giả thiết và kết luận. Phân tích gạt bỏ những yếu tố
không bản chất, chỉ giữ lại quan hệ toán học trong bài, từ đó chuyển sang ký hiệu
toán học, thực chất là giữ lại mô hình toán học.
Bớc 2: Xây dựng kế hoạch giải Bài toán.
12
Đây là giai đoạn bừng sáng của quá trình sáng tạo trong giải toán. Phát biểu
các mối quan hệ định tính và định lợng đợc thể hiện trong kế hoạch giải bài toán.
Bớc 3: Thực hiện kế hoạch giải Bài toán.
Kế hoạch giải khi mới thiết lập vẫn còn ở dạng ý nghĩ tổng quát, do đó đòi
hỏi học sinh phải đa vào thực hiện qua hệ thống hành động giải Toán và hoàn
thiện những chi tiết phù hợp với nó.
Bớc 4: Kiểm tra tiến trình giải Toán.
Bớc này phải trở thành thói quen của học sinh, đợc tiến hành trong suốt
tiến trình giải Toán.
Kiểm tra kết qủa bằng định tính và định lợng, kiểm tra giá trị chân lý của
lời giải, kiểm tra cách suy luận và kỹ thuật tính toán .
Phát hiện và xử lý những sai lầm về hình thức, về lôgic hay khái niệm để tiến
trình giải toán mang tính tối u. Vấn đề này chúng tôi sẽ trình bày kỹ hơn ở Chơng 2.
Bớc 5: Thu nhận, hợp thức hoá Bài toán.
Nghiên cứu lời giải Bài toán, có thể tìm tòi bài toán bằng cách độc đáo,
mới lạ. Nhìn bài toán theo quan điểm toàn diện ở nhiều góc độ khác nhau để từ
đó chọn cách giải tốt nhất và sáng tạo cho Bài toán.
1.2. Các quan điểm về những hoạt động trí tuệ.

1.2.1. Quan điểm về việc phân loại các hoạt động trí tuệ.
Trong tiểu mục này, chúng tôi muốn đối chứng nhiều quan điểm của nhiều
tác giả. Tuy nhiên sẽ không có sự đối chứng tuyệt đối, nhng cũng không phải là
sự dàn trải và có chú ý đến đặc điểm của toán học.
Qua phần này chúng ta thấy rằng:
- Hiện nay còn có nhiều cách hiểu khác nhau về khái niệm trí tuệ.
- Cách sử dụng thuật ngữ để đặt tên cho các hoạt động trí tuệ là cha có sự
thống nhất, một hoạt động trí tuệ nào đó theo cách hiểu của tác giả này có thể
13
không đồng nhất với một loại hoạt động trí tuệ theo cách hiểu của tác giả kia và
cũng không nhất thiết phân biệt hoàn toàn với một loại hoạt động trí tuệ có tên khác.
Về vấn đề thuật ngữ, nhóm tác giả: Phan Trọng Ngọ, Dơng Diệu Hoa,
Nguyễn Lan Anh viết: "ít có lĩnh vực nào trong khoa học và trong sinh hoạt lại
có nhiều tên gọi nh lĩnh vực trí tuệ: trí tuệ, trí lực, trí thông minh, trí óc, trí làm,
trí nghĩ. Dĩ nhiên, mỗi thuật ngữ có sắc thái riêng và đợc dùng trong các văn cảnh
nhất định. Tuy vậy, để thuận lợi cho việc trao đổi nội dung khoa học của nó, cần
có sự thống nhất về thuật ngữ. Mặc dù, sự thống nhất này chỉ có tính tơng đối"
[40, tr. 40].
Trong Luận văn này chúng tôi thống nhất dùng thuật ngữ "trí tuệ". Tuy
nhiên để hiểu rõ hơn ý nghĩa của nó, thì cũng cần điểm qua một số định nghĩa về nó.
Trong tiếng La tinh, trí tuệ có nghĩa là hiểu biết, thông tuệ [40, tr. 40]. Trong
khi đó Từ điển tiếng Việt giải thích: Trí tuệ là khả năng nhận thức lí tính đạt đến một
trình độ nhất định. Trí óc: óc của con ngời, coi là biểu trng của khả năng nhận thức,
t duy [68, tr. 999].
Vấn đề này cũng đợc nhà s phạm ngời Pháp Antoine de La Garandrie đề cập
đến trong công trình nghiên cứu của ông: "Mỗi ngời có cách học riêng do xuất phát
từ cách làm việc trí óc khác nhau" [37, tr. 13].
Theo J. Piaget có một số định nghĩa về trí tuệ nh sau:
Trí tuệ là một hình thức của trạng thái cân bằng mà toàn bộ các sơ đồ nhận
thức hớng tới. Trí tuệ là một dạng thích nghi của cơ thể.

Sự cân bằng là một sự bù đắp của cơ thể đối với những xáo trộn ở bên ngoài.
Trí tuệ là sự thích nghi tiêu biểu nhất, sự cân đối giữa đồng hoá và liên tục
của các sự vật vào hoạt động riêng và sự điều ứng những sơ đồ đồng hoá ấy vào
bản thân những đồ vật.
14
Trí tuệ là một hình thái nhất định của sự cân bằng, mà mọi cấu trúc đợc
hình thành trên cơ sở của những tri giác, kỷ xảo và các cơ chế cảm giác vận động
đơn giản đều hớng vào hình thành thái độ [41, tr. 389].
"Theo Nguyễn Khắc Viện (1991): Trí tuệ là khả năng thích nghi nhng
thiên về t duy trừu tợng. Một số nhà nghiên cứu ở Việt Nam: Phạm Hoàng Gia
(1979), Nguyễn Kế Hào (1985) coi trí thông minh là một phẩm chất cao của trí
tuệ, mà cốt lõi là tính chủ động, linh hoạt và sáng tạo của t duy để giải quyết tối u
vấn đề nào đó trong những tình huống mới, phức tạp. Nh vậy, qua các giải thích
trên có thể quy các thuật ngữ trí khôn, trí tuệ, trí thông minh vào khái niệm trí tuệ
và chúng thể hiện các mức độ khác nhau của khái niệm này" [40, tr. 41].
Cũng theo khẳng định của nhóm tác giả này: "Giống nh nhiều lĩnh vực
khác trong Tâm lí học, có bao nhiêu nhà nghiên cứu trí tuệ thì có bấy nhiêu định
nghĩa về nó. Vì vậy, khó có thể áp đặt một định nghĩa chung cho mọi ngời. Tuy
nhiên, có thể khái quát một cách tơng đối các quan niệm đã có về trí tuệ thành 3
nhóm chính:
a) Coi trí tuệ là khả năng hoạt động lao động và học tập của cá nhân;
b) Đồng nhất trí tuệ với năng lực t duy trừu tợng của cá nhân;
c) Trí tuệ là năng lực thích ứng tích cực của cá nhân" [40, tr. 41].
Cùng với 3 nhóm trí tuệ này là lý thuyết của P. Ia. Galperin về các bớc
hình thành các hoạt động trí tuệ theo giai đoạn và sự tích hợp một số mô hình cấu
trúc trí tuệ của: N. A. Menchinxcaia; L. L. Thurstone; J. P. Guilford; R. J.
Sternberg; D. N. Perkins; L. X. Vgôtxki; H. Gardner [40, tr. 43 - 71], chúng tôi
sẽ thống nhất và đề xuất một số quan điểm để rèn luyện cho học sinh THPT các
hoạt động trí tuệ trong giải Toán Đại số và Giải tích ở Mục 2.2 của Chơng 2.
1.2.2. Một số cách phân loại về các hoạt động trí tuệ.

Trong mục này chúng tôi xin nêu ra một số cách phân loại về các hoạt
động trí tuệ của một số tác giả, có thể nói là điển hình trong quá trình dạy học
15
Toán. Đây cũng là những quan điểm mang "màu sắc" riêng của từng tác giả. Dẫu
có khác nhau về quan điểm cũng nh cách sử dụng thuật ngữ, nhng tựu trung lại,
những quan điểm ấy đều cần thiết và tác động đến chất lợng học tập môn Toán
của học sinh.
1.2.2.1. Quan điểm của Nguyễn Bá Kim.
Trong cuốn sách Phơng pháp giảng dạy môn Toán. Khi khẳng định về tầm
quan trọng của hoạt động trong quá trình dạy học, tác giả viết: "điều căn bản của
phơng pháp dạy học là khai thác những hoạt động tiềm tàng trong mỗi nội dung
làm cơ sở cho việc tổ chức quá trình dạy học đạt đợc mục tiêu đề ra" và "Quá
trình dạy học là một quá trình điều khiển hoạt động và giao lu của học sinh nhằm
đạt đợc các mục tiêu dạy học. Đây là quá trình điều khiển con ngời chứ không phải
điều khiển máy móc, vì vậy cần quan tâm tới cả những yếu tố tâm lí, chẳng hạn học
sinh có sẵn sàng, có hứng thú thực hiện hoạt động này, hoạt động khác hay không"
[35, tr. 123].
Tác giả cho rằng: Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ với những hoạt động
nhất định và những hoạt động nh vậy gọi là tơng thích với nội dung cho trớc.
Điều quan trọng là tìm ra căn cứ để phát hiện ra những hoạt động tơng thích với
nội dung cần dạy để đạt hiệu quả cao. Tuy nhiên tác giả cũng nhấn mạnh rằng
trong những hoạt động đã tìm ra có thể chỉ một số hoạt động là phù hợp nhất với
đối tợng học sinh cụ thể, điều này có nghĩa là tác giả rất quan tâm đến mức độ
"vừa sức" của học sinh, đồng thời tránh đợc tình trạng dàn trải mành mành các
hoạt động chỉ đơn thuần mang tính lí thuyết mà thiếu tính thực tiễn.
Các T tởng chủ đạo trong quan điểm hoạt động của tác giả là:
* Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động thành
phần tơng thích với nội dung và mục đích dạy học;
* Gợi động cơ cho các hoạt động học tập;
16

* Dẫn dắt cho học sinh kiến tạo tri thức, đặc bịêt là tri thức phơng pháp nh
phơng tiện và kết quả của hoạt động;
* Phân bậc hoạt động làm căn cứ điều khiển quá trình dạy học [35, tr. 124].
Những t tởng chủ đạo này sẽ giúp thầy giáo điều khiển quá trình học tập
của học sinh, quan tâm đến: "mục tiêu, động cơ, đến tri thức phơng pháp, đến trải
nghiệm thành công, nhờ đó đảm bảo đợc tính tự giác, tích cực, chủ động, sáng
tạo của hoạt động, một yếu tố không thể thiếu của sự phát triển nói chung và của
hoạt động nói riêng" [35, tr. 125].
Từ những t tởng chủ đạo trên chúng ta thấy quan điểm của tác giả là sự
phân chia một hoạt động thành những hoạt động nhỏ hơn, mà thao tác giả là "h-
ớng vào việc tập luyện cho học sinh những hoạt động và hoạt động thành phần",
mà không đề cập đến hành động hay thao tác và sự phân chia đó gọi là thành tố
cơ sở của phơng pháp dạy học bao gồm:
* Hoạt động và hoạt động thành phần
- Phát hiện những hoạt động tơng thích với nội dung;
Cơ sở của vấn đề là: "mỗi nội dung học đều liên hệ với những hoạt động
nhất định
Từ đó, một hoạt động của ngời học gọi là tơng thích với nội dung dạy học
nếu nó có tác động góp phần kiến tạo hoặc củng cố, ứng dụng những tri thức đợc
bao hàm trong nội dung đó hoặc rèn luyện kĩ năng, hình thành thái độ liên quan.
Mặc dù "ứng dụng" một tri thức cũng có thể diễn ra nh một hình thức "củng cố",
nhng nó còn có tác động tới toàn bộ việc học tri thức đó" [35, tr. 128].
Ví dụ 1: Đối với khái niệm cần hình thành theo con đờng quy nạp nh khái
niệm hàm số thì những hoạt động phân tích, so sánh những đối tợng riêng lẻ
thích hợp, trừu tợng hoá tách ra các đặc điểm đặc trng của một lớp đối tợng là t-
ơng thích với khái niệm đó và chúng góp phần tác động để ngời học kiến tạo khái
niệm này. Tơng thích với khái niệm này còn có những hoạt động khác nữa nh
17
nhận dạng, thể hiện, xét mối liên hệ giữa khái niệm đó với những khái niệm
khác, bởi vì những hoạt động đó góp phần củng cố và ứng dụng khái niệm hàm

số" [35, tr. 128].
ở mỗi "con đờng" dạy học đó, dù đi theo con đờng nào thì tác giả đều lu ý
cần phải xem xét những dạng hoạt động khác nhau nh:
+ Nhận dạng và thể hiện; Chúng tôi sẽ trình bày kỹ tromg Mục 2.1.1 của
Chơng 2.
+ Những hoạt động toán học phức hợp;
+ Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học;
+ Những hoạt động trí tuệ chung;
+ Những hoạt động ngôn ngữ; [35, tr. 129].
- Phân tích hoạt động thành những thành phần
" Phân tích đợc một hoạt động thành những hoạt động thành phần là biết
đợc cách tiến hành hoạt động toàn bộ, nhờ đó có thể vừa quan tâm rèn luyện cho
học sinh hoạt động toàn bộ vừa chú ý cho họ tập luyện tách riêng những hoạt
động thành phần khó hoặc quan trọng khi cần thiết" [35, tr. 129].
- Lựa chọn hoạt động dựa vào mục tiêu
Mỗi nội dung thờng tiềm tàng nhiều hoạt động. Tuy nhiên để tránh tình trạng
dàn trải và đạt đợc hiệu quả cao nhất của các hoạt động, thì tác giả nhấn mạnh "cần
sàng lọc những hoạt động đã phát hiện đợc để tập trung vào một số mục tiêu nhất
định" [35, tr. 130].
- Tập trung vào những hoạt động toán học
"Trong môn Toán, nhiều hoạt động xuất hiện trớc hết nh phơng tiện để đạt
những yêu cầu toán học: kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ năng toán học. Trong những
hoạt động nh thế có những hoạt động mà việc thực hiện thành thạo những hoạt động
đó trở thành một trong những mục tiêu dạy học Chẳng hạn, ta cần tập luyện cho
học sinh các hoạt động trừu tợng hoá, khái quát hoá không phải chỉ để trừu tợng hoá
18
và khái quát hoá nh những mục tiêu tự thân, mà là nhằm để họ lĩnh hội một khái
niệm, chứng minh một định lí, phát triển một kĩ năng toán học nào đó " [35, tr.
131].
Tác giả lu ý là cần hớng vào những hoạt động: Nhận dạng và thể hiện

những khái niệm, định lí và phơng pháp toán học , những hoạt động toán học
phức hợp nh định nghĩa chứng minh. Tuy nhiên các hoạt động còn lại không bị
xem nhẹ.
* Động cơ hoạt động
Tác giả khẳng định: "Việc học tập tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo
đòi hỏi học sinh phải có ý thức về những mục tiêu đặt ra và tạo đợc động lực ben
trong thúc đẩy bản thân họ hoạt động để đạt các mục tiêu đó" [35, tr. 131]. Điều
này thực hiện đợc nhờ vào việc gợi động cơ.
"Gợi động cơ là làm cho học sinh có ý thức về ý nghĩa của những hoạt
động và của đối tợng hoạt động. Gợi động cơ nhằm làm cho những mục tiêu s
phạm biến thành những mục tiêu của cá nhân học sinh, chứ không phải chỉ là sự
vào bài, đặt vấn đề một cách hình thức" [35, tr. 131]. Tác giả nhấn mạnh
rằng:"Gợi động cơ không phải chỉ là việc làm ngắn ngủi lúc bắt đầu dạy một tri
thức nào đó (thờng là một bài học), mà phải xuyên suốt quá trình dạy học. Vì vậy
có thể phân biệt gợi động cơ mở đầu, gợi động cơ trung gian và gợi động cơ kết
thúc" [35, tr. 132].
- Gợi động cơ mở đầu: Có thể gợi động mở đầu xuất phát từ thực tế hoặc từ
nội bộ Toán học. Khi gợi động cơ xuất phát từ thực tế, có thể nêu lên:
+ Thực tế gần gũi xung quanh học sinh;
+ Thực tế xã hội rộng lớn (kinh tế, kĩ thuật, quốc phòng, )
+ Thực tế ở những môn học và khoa học khác.
Trong việc gợi động cơ xuất phát từ thực tế, ta cần chú ý những điều kiện sau:
19
+ Vấn đề đặt ra cần đảm bảo tính chân thực, đơng nhiên có thể đơn giản
hoá vì lí do s phạm trong trờng hợp cần thiết.
+ Việc nêu vấn đề không đòi hỏi quá nhiều tri thức bổ sung.
+ Con đờng từ lúc nêu cho tới khi giải quyết vấn đề càng ngắn càng tốt
[35, tr. 133].
Ví dụ 2: Tập hợp số tự nhiên
Ơ

=
{ }
0,1,2,3,
Trong thực tế cuộc sống: Cha phản ánh đợc các hiện tợng thực tế của thế
giới khách quan nh: Trong sự buôn bán, có hiện tợng lỗ, lãi dẫn đến xuất hiện
số âm, điều này buộc mở rộng tập hợp số tự nhiên
Ơ
lên tập hợp các số nguyên
Â
. Tuy nhiên khi xét trên tập
Â
vẫn cha phản ánh đợc các hiện tợng thực tế nh:
Phân chia ruộng đất dẫn đến phải mở rộng tập
Â
.
Toán học phản ánh thực tế một cách toàn bộ và nhiều tầng, do đó không
phải bất cứ nội dung nào, hoạt động nào cũng có thể đợc gợi động cơ xuất phát từ
thực tế.
Gợi động cơ từ nội bộ Toán học là nêu một vấn đề toán học xuất phát từ
nhu cầu toán học, từ việc xây dựng khoa học toán học, từ những phơng thức t duy
và hoạt động toán học. Gợi động cơ thao cách này là cần thiết vì hai lẽ:
Thứ nhất: Việc gợi động cơ từ thực tế không phải bao giờ cũng thực hiện đợc.
Thứ hai: Nhờ gợi động cơ từ nội bộ Toán học, học sinh hình dung đợc đúng
sự hình thành và phát triển của Toán học cùng với đặc điểm của nó và có thể dần
dần tiến tới hoạt động toán học một cách độc lập [35, tr. 134].
Những cách thông thờng gợi động cơ từ nội bộ Toán học:
i) Đáp ứng nhu cầu xoá bỏ một hạn chế.
Ví dụ 3: Tập hợp số tự nhiên
Ơ
=

{ }
1; 2; 3;
20
Trong nội bộ toán học: Phép trừ không luân thực hiện đợc: 2- 1 = 1; 1 - 2 = ?. Từ
đó phải mở rộng từ tập hợp số tự nhiên
Ơ
lên tập hợp các số nguyên
Â
=
{ }
; 3; 2; 1; 0;1; 2; 3;
nhằm giải quyết những mâu thuẫn của tập hợp số tự nhiên .
Tuy nhiên trong nội bộ tập hợp các số nguyên
Â
lại xuất hiện những hạn
chế mới, đó là: Phép chia không luôn thực hiện đợc 9 : 3 = 3; 5 : 3 = ?. Điều này
thể hiện rằng mâu thuẫn này mất đi, thì mâu thuẫn khác lại hình thành. Để xoá
bỏ mâu thuẫn này buộc phải mở rộng tập
Â
thành tập
Ô
các số hữu tỷ
Ô
=
:
a
a, b , b 0
b

>Â
. Lúc này trong nội bộ tập
Ô
lại xuất hiện hạn chế mới đó là:
Phép khai căn không phải lúc nào cũng thực hiện trong tập
Ô
:
9 3
2
4
= Ô
, nh-
ng
2 Ô
. Để giải quyết mâu thuẫn này buộc phải mở rộng tập
Ô
lên tập
Ă
các
số thực. Nh vậy trong tập các số thực
Ă
đã thoả mãn tất cả các nhu cầu Toán học
cha? điều này chắc chắn là cha, vì
1 ? =
.
ii) Hớng tới sự tiện lợi, hợp lí hoá công việc.
Ví dụ: Mô tả tỉ mỉ, chi tiết quá trình giải phơng trình bậc 2 thành một thuật giải
là tiến tới chuyển giao công việc này cho máy tính.
iii) Chính xác hoá một khái niệm.

Có những khái niệm mà học sinh đã biết nhng trớc kia cha thể có định
nghĩa chính xác; tới một thời điểm nào đó có đủ điều kiện thì thầy giáo gợi lại
vấn đề và giúp học sinh chính xác hoá khái niệm đó.
iv) Hớng tới sự hoàn chỉnh và hệ thống.
v) Lật ngợc vấn đề.
Sau khi đã chứng minh đợc một định lí, một câu hỏi rất tự nhiên thờng đợc
đặt ra là liệu mệnh đề đảo của định lí đó có đúng hay không.
vi) Xét tơng tự;
21
vii) Khái quát hoá;
Ví dụ 4: Chứng minh rằng:
a, b, c
dơng thì
ab cd (a c)(b d)+ + +
Thông qua giải Bài toán này, từ đó cho học sinh giải bài toán tơng tự và
yêu cầu học sinh khái quát hoá thành bài toán tổng quát.
Ta có:
ab cd
1
(a c)(b d) (a c)(b d)
+
+ + + +
Khi đó, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta đợc:
ab cd 1 a b 1 c d
(a c)(b d) (a c)(b d) 2 a c b a 2 a c b d

ữ ữ

+ + + +
+ + + + + + + +

ab cd 1 a c b d
1
(a c)(b d) (a c)(b d) 2 a c b d

ữ

+ +
+ + =
+ + + + + +
Dấu " = " xảy ra khi
a b
a c b d
=
+ +
Để đi đến bài toán tổng quát có thể cho học sinh áp dụng bài toán trên để
giải Bài toán tơng tự sau:
Ví dụ 5: Chứng minh rằng
a, b, c 0
thì
3
3
abc 1 (1 a)(1 b)(1 c)+ + + +
Rõ ràng học sinh không thể vận dụng đơn thuần lời giải của bài toán trên
để giải bài toán này. Tuy nhiên nếu để ý một chút học sinh có thể đa Bài toán về
Bài toán sau:
3
3
3
. .abc 1 1 1 (1 a)(1 b)(1 c)+ + + +

3
3
abc 1.1.1
1
(1 a)(1 b)(1 c) (1 a)(1 b)(1 c)
+
+ + + + + +
Từ giả thiết, học sinh dễ dàng chứng minh đợc Bài toán. Bằng sự phân tích,
so sánh, tổng hợp học sinh có thể đa ra Bài toán tổng quát nh sau:
Bài toán tổng quát:
i i
a , b 0 (i 1, n) > =
. Chứng minh rằng:
n n
n

n n n n
1 2 1 2 1 1 2 2
a a a b b b (a b )(a b ) (a b )+ + + +
22
viii) Tìm sự liên hệ và phụ thuộc;
- Gợi động cơ trung gian
Gợi động cơ trung gian là gợi động cơ cho những bớc trung gian hoặc cho
những hoạt động tiến hành trong những bớc đó để đạt đợc mục tiêu, gợi động cơ
trung gian có ý nghĩa to lớn đối với sự phát triển năng lực độc lập giải quyết vấn
đề [35, tr. 138].
Các cách thờng dùng để gợi động cơ trung gian:
i) Hớng đích;
Tác giả cho rằng: Hớng đích cho học sinh là hớng vào những mục tiêu đặt

ra. Do đó để đặt mục tiêu một cách chính xác, cụ thể, ngời thầy giáo cần xuất
phát từ chơng trình và văn bản giải thích chơng trình, sách giáo khoa và sách
tham khảo sách giáo viên. Mục tiêu đa ra phải dễ hiểu, tuy nhiên đặt mục tiêu
nhng không đồng nhất với hớng đích. Đặt mục tiêu thờng là một pha ngắn ngủi
lúc ban đầu của một quá trình dạy học, còn hớng đích là một nguyên tắc chỉ đạo
toàn bộ quá trình.
ii) Quy lại về quen;
Ví dụ 6: Giải phơng trình:
2 2
5 3 2 4 5 2x x x x+ + =
Đối với phơng trình này học sinh dễ dàng chuyển về dạng:
f (x) g(x)=
.
Tức là:
2 2
3 2 4 5 2 5x x x x + = +
Dễ thấy x
2
- 2x +5 > 0
x
. Tuy nhiên nếu bình phơng hai vế thì Bài toán
trở nên phức tạp. Nh vậy về hình thức thì Bài toán này là dạng quen thuộc, nhng
lại trở thành lạ đối với học sinh cha đợc tiếp cận nhiều với dạng toán này. Nh vậy
phải tìm cách đa Bài toán về dạng quen thuộc hơn.
Cách 1: Đặt
2
t 2x 4x 5= +
(t > 0)
23
2

2
t 5
x 2x
2

=
. Khi đó ta đợc phơng trình:
2
t 1
t 6t 5 0
t 5



=
+ =
=
.
Việc tìm nghiệm trở nên đơn giản.
Cách 2: Đặt
2
2
u x 2x 5
v 2x 4x 5





= +

= +
điều kiện
u 1
v 0




>
Khi đó ta có hệ phơng trình sau:
2
u 3v 0
2u v 5





=
=
việc giải hệ phơng trình này
là đơn giản.
iii) Xét tơng tự;
Ví dụ 7: Giả sử học sinh giải đợc Bài toán:
Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
x xy y x xz z y yz z+ + + + + + +

Bằng cách sử dụng phơng pháp toạ độ:
VT=

2
2 2
y 3 z 3
x y x z
2 4 2 4

+ + + + +
ữ ữ

Xét vectơ
y 3
u x ; y
2 2

= +
ữ

r
,
z 3
v x ; z
2 2

=
ữ

r
.
Khi đó:
y z 3

u v ; (y z)
2 2


+ = +
ữ

r r

2 2
2 2
y 3 z 3
u v x y x z
2 4 2 4

+ = + + + + +
ữ ữ

r r
u v +
r r
=
2 2
y yz z+ +
Khi học sinh giải Bài toán tơng tự: "Chứng minh rằng với mọi x, y ta đều
có:
2 2 2 2 2 2
4cos xcos y sin (x y) 4sin xsin y sin (x y) 2+ + +
". Có thể đặt
vấn đề để học sinh biến đổi nh Bài toán đã giải.

iv) Khái quát hoá;
24
Trong hoạt động gợi động cơ mở đầu tác giả củng đã đề cập đến cách này.
Điều này thể hiện quan điểm của tác giả là rất quan tâm đến việc tập luyện cho
học sinh khả năng mở rộng nhãn quan toán học trên cơ sở t duy cao độ.
v) Xét sự biến thiên và phụ thuộc;
Ví dụ 8: Giải phơng trình:
2 3
x
x=
Rõ ràng học sinh không thể giải bài toán này theo cách thông thờng, mà
phải giải theo cách sau:
Dễ thấy x= 1 là một nghiệm của
phơng trình. Vấn đề đặt ra là ngoài
nghiệm này, phơng trình còn có nghiệm
khác nữa không ?.
Bằng đồ thị có thể thấy đây là nghiệm duy nhất.
Tuy nhiên cần làm cho học sinh thấy đợc sự biến thiên của x và sự phụ thuộc của
các số trị.
Với x > 1 ta có:
1
2 2 2
x
> =
và 3 - x < 3 - 1 = 2
2 3
x
x >
. Tức là
1x >

không thể là nghiệm của phơng trình.
Với x < 1 lập luận tơng tự.
Nh vậy việc xem xét này gợi động cơ nhờ kinh nghiệm của học sinh cho
thấy rằng những mối liên hệ và phụ thuộc nhiều khi dẫn tới những hiểu biết mới
góp phần giải quyết nhiều vấn đề đợc đặt ra.
- Gợi động cơ kết thúc.
Thực hiện hoạt động này nhằm làm rõ những thắc mắc mà ngay từ đầu
hoặc trong khi giải quyết vấn đề, ta cha thể làm rõ đợc là tại sao lại học nội dung
này, tại sao lại thực hiện hoạt động kia.
Ví dụ 9: Sau khi giải phơng trình:
5 2 7
x
x= +
. Thầy giáo nhấn mạnh rằng
việc khảo sát hàm số, cách thức t duy hàm đã giúp ta giải đợc phơng trình trong
trờng hợp này.
25
1
3
2
3
x
O
y
y=2
x
y=3-x