Momen từ

Ch¬ng2
CÊuh×nh®iÖntövµtr¹ngth¸ivim«

1. Đặt vấn đề:
KhácvớicáchànhtinhquayquanhMặttrờitheocácquĩđạoxácđịnh,cácđiệntửkhôngcóquĩđạomà
điệntíchcủachúngphânbốquanhhạtnhânnguyêntửtạothànhcácđámmâyđiệntử.Tuylàđámmây,
songmậtđộđiệntửhoặcxácsuấttìmthấyđiệntửtạimộtvịtríkhônggianquanhhạtnhânlàtơngđối
xácđịnh
cócácvịtríkhônggiankhácnhautơngứngvớicácmứcnănglợngkhác
nhauvànhvậychúngtạoracáctrạngtháIvimôkhácnhau.Vậtlýlợngtửđãchỉrarằngcáctrạngtháivi
môđóđợcđặctrngbởi4sốlợngtửn,l,m
l
vàm
s
.Cácsốlợngtửnàyliênquantớikíchthớc,hình
dạngcủacácđámmâyđiệntử(phânbốmậtđộđiệntửquanhhạtnhân)vàchiềuspincủachúng.Sựsắp
xếpcácđiệntửtrongnguyêntửđợclợnghóabằngcáchmốiđiệntửđợcđặctrngbằng4sốlợngtử.
SựsắpxếpnàyphảItuântheohaiquiluậtlà:nănglợngcủahệphảInhỏnhấtvàmốiđiệntửkhôngđợc
phépcócả4sốlợngtửnhnhau(nguyênlýloạitrừPauli).Nhvậycáchsắpxếpcácđiệntửvớicác
sốlơngtửcụthểtạoramộtcấuhìnhđiệntử.ThídụnguyêntửHecó2điệntử,cấuhìnhđiệntửsẽnhsau:
1s
2
,trongđón=1,l=0,m
l
=0vàm
s
=1/2.Nhvậy2điệntửcủaHecó3sốlợngtửnhnhau,nhngsố
lợngtửm
s
khácnhau.Chúngtasẽtrởlạivấnđềnàytrongphầnsau.

Cáctínhchấtvậtlý,hóahọcnhmomentừ,phổquanghọc rấtphụthuộcvàocáchmàcácđiệntửđiền
cáclớp(đặctrngbớisốn),phânlớp(đặctrơngbởisốl)trongnguyêntử,tứclàphụthuộcvàocấuhình
điệntử.Xemxétvấnđềnàyvàtìmracácquitắcđiềnđầythôngquamộtthídụcủa
phânlớp3d
2
trongnguyêntửTi.TicóZ=22(22điệntử),chúngphânbố(cấuhìnhđiệntử)nhsau:
1s
2
2s
2
2p
6
3s
2
3p
6
3d
2
4s
2
(xembảng).CácđiệntửđiềnđầycácphânlớptheođúngnguyênlýPauli:ítnhất
1trong4sốlợngtửsốlợngtửn,l,m
l
vàm
s
phảIkhácnhau,thídụphânlớp3p:6điệntửcóchungn=3
vàl=1,2điệntửcóchungm
l
,nhvậy3cặp2điệntửcóchung3sốlợngtửn,l,m
l

,vìvậychúngphảIcósố
lợngtửm
s
khácnhau(1/2).
Vấnđềsẽphứctạphơnkhixétphânlớp3d,trongphânlớpnàycó10vịtrí(trạngthái)màởđócóít
nhất1sốlợngtửkhácnhau,vìvậytheonguyênlýPauli,cóđủchỗcho10điệntử.Tuynhiên,chỉcó2
điệntửvàchúngsẽđiềnvàovịtrínào:2trongsố10vịtríchophép?Nếu2điệntửchiếmtrạngtháI1và2
thìtổngmomentừbằngkhông(khôngđúngvớithựctế),nêuchúngchiếmtrạngtháI1và3,momentừkhác
không(đúngvớiphépđotừ,Tilàchấtthuậntừ).Cầnnóingayrằngcácspincủađiệntửcómomentừspin,
nếu2spinngợcnhautứclàm
s
=1/2,tổngmomentửbằngkhôngvàngợclại.

Lớp
n=3
Phânlớp
l=
1,2(n-1)
2(d) m
l
=
0,1,2l
2
m
s
=1/2
+1/2 -1/2
2/10,3d
2
1 +1/2

0
-1
-2
1(p) m
l
1 m
s
+1/2 -1/2
6/6,3p
6
0 +1/2 -1/2
-1 +1/2 -1/2
0(s) m
l
0 m
s
+1/2 -1/2
2/2,3s
2
CấuhìnhđiệntửcủaTi:1s
2
2s
2
2p
6
3s
2
3p
6
3d

2
4s
2
Ticó4lớpvớin=1,2,3,4
Mỗilớpcóthểcócácphânlớpđợcđặctrngbởisốlợngtửl.Mốiltạoramộtphânlớpvàchúngcó
tênriêng:l=0,phânlớps,l=1:phânlớpp,l=2:phânlớpd.
Mỗiphânlớplạicócácquĩđạođặctrngbởisốlợngtửm
l
.
Mỗiquĩđạocóthểcóhaiđiệntửvớispinkhácnhau.
Thídụ:khin=3,có3phânlớp:s(l=0),p(l=1)vàd(l=2).Mỗiphânlớplạicóthểcónhiềuquĩđạo.
Phânlớpscó1quĩđạovới2điệntử(đầy2/2),pcó3quĩđạovới6điệntử(đầy,6/6)vàdcó5quĩđạo
với10vịtrí,tuynhiênchỉcó2điệntử(khôngđầy2/10).
Vớincốđịnh,sốlợngcácphânlớp(l),cácgiátrịm
l
vàm
S
đợcxácđịnhnhtrongbảngtrên.

Sơđồcácmứcnănglợngtrongnguyêntử,sựtáchmức,nguyênnhântáchmứcvàcácquitắc
điềnmứcnănglợngbớiđiệntửtrongcácphânlớpkhôngđầy(quitắcHund).Đểxácđịnhvịtrí
cácđiệntử,cầnsửdụngcácsốlợngtửS,LvàJ.Đấylàcácsốlợngtửspin,quĩđạovàsốlợng
tửtoànphần(baogồmspinvàquĩđạo)khôngphảIcủatừngđiệntửriêngbiệtmàcủatổngcácđiệntử
Theomôhìmhvectơnguyêntử.VìvậychúngtasẽlầnlợtđaracáckháIniệm,cácquitắcliên
quanđểcuốicùngtìmđợcvịtrícủađiệntửtrongcácphânlớpkhôngđầycónănglợngnhỏnhất.
Phânlớpkhôngđầyđiệntử
(lớphóatrị,3d,4f)
Tổngđộngthếnăng
củađiệntửchuyểnđộng
trongđiệntrờnghạtnhân

Tạothànhmứccơbản
E=f(n,l).(Tổngn+llớn,
nănglợnglớn).
QuitắcMadelung
(n+l)
Lớp,phânlớpgầnhạtnhân,
điệntửđiềnđầyváomọimứcnănglợng
J
Táchmứcdotơngtác
spin-spingiữacácđiệntử
SốlợngtửS.
QuitắcHund1
Táchmứcdotơngtác
quĩđạo-quĩđạogiữacác
điệntử.SốlợngtửL.
Hund2
Táchmứcdotơngtác
spin-quĩđạo
SốlợngtửJ.Hund3
e
Nhvậy,đốivớicácphânlớpđầyđiệntử,vậndụngnguyênlýPaulilàđủ.Tuynhiênđốivớicácphân
lớpthiếuđiệntử,ngoàinguyênlýPauli,cầnvậndụngnguyênlýnănglợngcựctiểu:cácđiệntửsẽ
điềnđầycácmứccónănglợngthấptrớc.
Vìvậy,cầnphảItìmhiểucácmứcnănglợngcủađiệntửtrongnguyêntử.Tồntạicácmứcnănglợng
cơbản(nănglợngtơngtáctĩnhđiệngiữahạtnhânvàđiệntử,giữacácđiệntửvớinhau)vàcácmức
nănglợngtinhtế(tơngtácspin-spin,spin-quĩđạo,quĩđạo-quĩđạo)

2. Số l ợng tử:
a.SốlợngtửntrongmôhìnhBohr
BorhlàngờiđầutiênđarakháIniệmlợngtửhóamomenđộnglợngquĩđạocủađiệntửP

l
,
trongđór,m,v:bánkínhquĩđạoBohr,khốilợngvàtốcđộthẳngcủađiệntử,n:sốlợngtửbằng1,2,3
điềuđónóilênrằngmomenđộnglợngcủađiệntửcócácgiátrịgiánđoạn.
DeBroliekếthợphaicôngthứcnổitiếngE=mc
2
(m:khốilơnghạt,c:tốcđộánhsáng,thuyếttơngđối)
vàE
p
=hc/(h:hằngsốPlank,:bớcsóng,hiệuứngquangđiện)đểđaracôngthứcnổitiếngkhác
nốiđộnglợngp=mv(hạtphoton,hạtđiệntử)vớibớcsóngcủanó.
(E
E
=mc
2
=mc.c=pc,choE
E
=E
P
,cóp.c=hc/hayp=h/)

MôhìnhBohrđaraquĩđạotrònvàbánkínhBohr(lợngtửhóa)r
B
.Đốivớisóngđứng,sốbớcsóngbằng
chiềudàiquĩđạo:2r
B
=n,suyra:r
B
=n/2,thayrvào(1),có:
h h

mv p

= =
l
P rmv n= = h
(1)
2 2 2
l
B
n n n h
p r mv mv p n


= = = = = h
r
B
v,m
2r
B
=4

3. Các số l ợng tử xuất hiện trong nghiêm của ph ơng trình Schrodinger:
Hàmsóng(q,t)-cáchbiểudiễnhạtvimô,chobiếtbiênđộxácxuấtvàxácxuấttìmthấyhạttạitọađộ
khônggianvàthờigian.Xácxuấtđóbằng//
2
HàmsónglànghiệmcủaphơngtrìnhSchrodinger,chobiếtnănglợngcủahạt(hệhạt)vàcácthôngsố
kháccủahạtmàthựcnghiệmcóthểđođợc.
PhơngtrìnhSchrodingerlàphơngtrìnhcơbảncủavậtlýlợngtử.
PhơngtrìnhSchodingernhậnđợcbằngcáchtácđộngHamitonianHlênhàmsóng.Hamintonialà
toántửnănglợng(độngE

K
vàthếnăngE
P
),trongtrờnghợpmộtchiềuvàkhôngphụthuộcthờigian,
VàHtácđộnglênchophơngtrìnhSchrodinger:
(1D,khongphụthuộcthờigian)
PhơngtrìnhSchrodingerđốivớinguyêntửthờnggiảItronghệtọađộcựcvìhàmthếcóđốixứngcầu.
Tronghệtọađộcực,nghiệm(hàmsóng)đợcbiểudiễnbằng3thànhphần:
(x,y,z)=R(r).P().F(),trongđốcáchàmR,PvàFbiểudiễnphầnkhônggianvàphầngóccủahàm
sóng.
NghiệmR(r)tồntạivàchỉtồntạikhin=1,2,3
NghiệmP()tồntạivàchỉtồntạikhil=0,1,2,3(n-1)
NghiệmF()tồntạivàchỉtồntạikhim
l
=1,2,3l
Nhvậycácsốlợngtửn,lvàm
l
xuấthiệntrongphơngtrình
Schrodingerphảnảnhtínhlợngtửcủacáchạtvimô:lợng
tửhóanănglợng,momenđộnglợng,vịtríqũiđạokhônggian
củacácđiệntử.Địnhhớngcủaspinlàsốlợngtửthứ4củađiệntử,
sôốlợngtửspinm
s
=1/2
2 2
2
( )
2
d
H U x

m dx
= +
h
2 2
2
( )
( ) ( )
2
d x
U x E x
m dx

+ =
h
(E
K
+E
P
=E

)
2
0
1
( )
4
e
U r
r

=
r


x
y
z

4. Y nghĩa của các số l ợng t :
Sốlợngtửchínhn

nlàcácsốnguyên1,2,3(sốlợng:vôhạn)

Xácđịnhkíchthớcquĩđạođiệntử(cũngchínhlàkíchthớcnguyêntử),ncànglớn,quĩđạocànglớn.
Quĩđạođiệntửđợchiểunhhìnhdạng,kíchthớcđámmây(mậtđộxácsuất)củađiệntửtrongđiện
trờnghạtnhân.

Xácđịnhphầnnănglợngchínhcủađiệntửtrongtrờnghạtnhân,ncànglớn,nănglợngcànglớn.

Xácđịnhlớpcủavỏnguyêntử:cácđỉệntửcóchungsốnthuộcvềmộtlớp.

NănglợngcủađiệntửEbaogồmđộngnăngT=mv
2
/2vàthếnăng
(m:khốilợng,eđiệntích,củađiệntử,r:bánkínhquĩđạođiệntử,
z:sốthứtựnguyêntử)
Momenđộnglợngquĩđạocủađiệntửđợclợngtửhóa,
vìvậybánkínhquĩđạocũngbị
lợngtửhóavàbằngr=n
2

r
B
/z(r
B
bánkínhBohrkhiz=1,n=1)
Cuốicùngbiểuthứcnănglợngcủađiệntửcódạng:
Đốivớihydro,Z=1,E(n)=-13.6/n
2
(eV)
Sốlợngtửquĩđạol(sólợngtửmomenquĩđạo):

llàcácsốnguyên1,2,3 (n-1),vàcó(n-1)giátrị

Xácđịnhhìnhdạngquĩđạotrongmỗilớp,thídụ:l=0:quĩđạocótínhđốixứngcầu,l=1,hínhsố8
nóichung,lcànglớntínhđốixứngcầucànggiảm.Trongcáclớpkhácnhau(nkhácnhau),tồntạicácl
giốngnhauvàvìvậytínhđốixứngcủaquĩđạogiốngnhau,thídụquĩđạol=0,n=1vàn=2đềucódạngcầu.

Anhhởngđếnnănglợngcủađiệntử,lcànglớnthìnănglợngcànglớn.

Cácđiệntửcócùnggiátrịltạothànhphânlớp,têncácphânlớplàs(l=0),p(l=1),d(l)=2,f(l=3)
têncácphânlớpphảnảnhđặcđiệmcủavạchqungphổ(s:sharp-sắc,p:principle-chính,d:diffusion-
khuếchtán,f:fundamental-gốcrễ)
2
0
1
( )
8
ze
E n
r

=
2
0
1
( )
4
ze
U r
r

=
2 4
2
2 2 2 2
0
1 1
( ) 13.6
8
z me
E n z
h n n

= =
p mvr n= = h

l=0(s)
l=1(P
x
)

Điệntíchcủađiệntửđợcphânbốquanhhạtnhântheocáchìnhdạngkhácnhaucótínhđốixứngkhácnhau.
Sựphânbốđiệntíchđótạothànhđámmâyđiệntửquanhhạtnhânvàcònđợcgọilàquĩđạođiệntử.Kíchthớcquĩ
đạođiệntửbằngkhoảngcáchgiữahạtnhânvànơIcómậtđộđiệntửcaonhất.BánkínhBohrr
B
=0.0529nmdo
chínhBohrtínhratrùngvớibánkínhquĩđạon=1,l=0đợctínhtheocáchcủavậtlýlợngtử(xácxuấtphânbốđiện
tíchlớnnhất).SơđồtrênbiểudiễncácquĩđạođiệntửcủaHydrotheocácsốlợngtửn,lvàm
l
.Cóthểthấy
.
rằng(i)
l=0,quĩđạocódạnghìnhcầu,lcànglớntínhđốixứngcủaquĩđạocàngthấpvà(ii)kíchthớcquĩđạocànglớnkhi
ncànglớn.Nhvậynquyếtđịnhkíchthớclớpvỏnguyêntử,cònlquyếtđịnhhìnhdạngquĩđạo
điệntử.HìnhtráIchothấytínhxácsuấtcủaphânbốđiệntửkhitạiquĩđạos(l=0)vàp(l=1),vàđiềuđókhông
làmmấtkháIniệmquĩđạo(cácchấmnhỏcóthểquanniệmlàđiệntửnhânvớixácsuấttồntạicủanótrongkhông
gian).NhvậycáckháIniệmcủavậtlýcổđiểncóchungýnghĩavớivậtlýlợngtử.
n
l,m
l

Đốivớinguyêntửnghiềuđiệntửkiểuhydro(kimloạikiềm)cầnchúýtớihiệuứngchechắnbớicác
điệntửbêntrong,gầnhạtnhân,hiệuứngnàylàmgiảmtácđộngcủađiệntrờnghạtnhân,điệntửhóatrị
(ngoàicùng)tơngtácvớiđámmâycácđiệntửbêntronglàmxuấthiệnnănglợngbổsung,đốivới
nguyêntửnhiềuđiệntửdạnghydro,cóthểcócôngthứcgầnđúngsau:
Trongđó,Z=(Z-):điệntíchhiệudụng,:tácnhânchắn,R:hằngsốRidberg
:sailợngtử,đạilợngnàyphụthuộcvàohìnhdạngquĩđạo,tứclàphụthuộcvàosốlợngtửquĩđạol,
vàohệsốphâncựccủanguyêntử(đốixứngcủangyêntử)
=f(,l,Z)
Nhvậy,đốivớihydro,nănglợngchỉphụthuộcvàosốlợng
tửchínhn,nhngđốivớinguyêntửnhiềuđiệntử,nănglợngcòn

phụthuộcvàosốlợngtửquĩđạol,vậynănglợngcủađiệntử
tăngtheochiềutăngcủatổng(n+l)
Số l ợng tử từ m
l
:

Sốnguyên,m
l
=0,1,2,3lvàcó2l+1giátrị

Chobiếtđịnhhớngcủaquĩđạotrongmỗiphânlớp.

Itảnhhởngtớinănglợng.

Sốlợngm
l
bằngsốlợngquĩđạotrongmỗiphânlớp.
Thídụ,l=3,m
l
=0,1,2,3,có7quĩđạo
Sốlợngtửspin:
m
s
=1/2
Chobiết2khảnăngđịnhhớngcủaspin.
2 4
2 3
0
'
( , ) ,( )

( ) 8
hRZ me
E n l R
n h

= =


4-Mô hình vecto nguyên tử
Mỗinguyêntửđềucócácđiệntử,mỗiđiệntửlạicómomenđộnglợngquĩđạoP
l
vàmômenđộng
lợngspinP
S
,vìvậycóthểbiểudiễnnguyêntửdớidạngcácvectoP
l
vàP
S
.Vectomomenđộnglợng
toànphầnP
J
bằngtổngvectocủaP
l
vàP
S
:P
J
=P
l
+P

S
.Giátrịcácmomenđợclợngtửhóavàbằng:
Trongđól:sốlợngtửquĩđạo,s=1/2vàsốlợngtửtoànphần(sốlợngtửnội)j=ls.Vectomomen
độnglợngtoànphầnđợclợngtửhóathôngquasốlợngtửm
J
.Sốlợngtửm
j
có(2j+1)giátrịvà
xácđịnhđộlớncủahìnhchiếuP
J
lênphơngZ.
(TrongcơhọcNewton,mômenđộnglợngcủamộtkhốilợngmchuyểnđộngtrênquĩđạotròn,bán
kínhRđợcxácđịnhbằngcôngthức:P
l
=R.mv=R
2
m,trongđóvvàlàtốcđộdàivàtốcđộgóc)
( 1).
L
P l l= + h
3
( 1).
2
S
P s s= + =h h
( 1).
j
P j j= + h

MômenđộnglợngquĩđạovàspinP

L
vàP
S
của1điệntử.Momenđộnglợngtoànphần
P
J
=P
L
+P
S
vàhìnhchiếuP
jz
(lợngtửhóa
lêntrụcZ).
( 1).
L
P l l= + h
3
( 1).
2
S
P s s= + =h h
( 1).
j
P j j= + h
P
S
P
L
P

J
=P
L
+P
S
jz j
P m= h
z
3
2
jz
P = + h
3
2
jz
P = h
1
2
jz
P = h
1
2
jz
P = + h
15
2
j
P = h
j=l+s=3/2
z

1
2
jz
P = h
1
2
jz
P = + h
j=l-s=1/2
3
2
j
P = h
z
(b)
Thídụ,chol=1,khiđómomenđộnglợngtoànphầnbằngdosốlợngtửj=l+1/2=3/2(a),
VịtrítrongkhônggiancủaP
j
(lợngtửhóakhônggiancủaP
j
)vàhìnhchiếuP
jz(
(j=3/2)

t

hểhiệntrên
hình(b):sốlợngtửm
j
=j,(j-1)=3/2,1/2,nhvậyP

J
(j=3/2)có4địnhhớngkhônggianvới4
sốlợngtửvà4giátrịP
jz
.Sốlợngtửjkhôngchỉbằngj=l+1/2=3/2,màcònbằngj=l-s=1/2,khiđó
Momenđộnglợngbằng:
Sốlợngtửm
j
=j,(j-1)=1/2vàj-1=-1/2,vàhìnhchiếucủamômenđộnglợnglêntrúcZ
P
jz
có2giátrịlàcộng/trừhgạchnhthểhiệntrênhình(c).Chúýrằng,sốjcó2(s+1)=2giátrịlà3/2
và1/2.
15
2
j
P = h
3
2
j
P = h
P
S
P
l
j=l+s
=1+1/2
=3/2
15
2

j
P = h
(a)
l=1
j=l-s
=1-1/2
=1/2
3
2
j
P = h
(c)
l=1
jz j
P m= h

MôhìnhliênkếtL-Scủanguyêntửcó1điệntử:P
l
,P
s
vàP
j
làmomenđộnglợngquĩđạo,
momenđộnglợngspinvàmomenđộnglợngtoànphầncủađiệntử.Cácsốl,svàlàcácsốlợng
tửliênquan.
Thídụ:l=1,s=1/2,đạilợngJvàP
j
có2giátrị:j=l+1/2=3/2,vàj=1-1/2=1/2(j=ls),
Khij=3/2,m
j

=3/2,3/2-1=1/2,-1/2 3/2,m
j
cótổngcộng4giátri(2j+1giátrị)cónghĩalàvectoJ
có4địnhhớngtrongkhônggianlợngtử,vìvậygiátrịmomenđộnglợngP
jz
có4giátrịvàbằng:
Khij=1/2,mjcó2giatrịvàbằngmj=1/2,-1/2,Pjzcó2giatrị:
3 1
,
2 2
jz j
P m= = h h h
1
2
jz
P = h
15
2
j
P = h
3
2
j
P = h
3
2
jz
P = + h
3
2

jz
P = h
1
2
jz
P = h
1
2
jz
P = + h
15
2
j
P = h
j=l+s=3/2
z
1
2
jz
P = h
1
2
jz
P = + h
j=l-s=1/2
3
2
j
P = h
z

Trongnguyêntửnhiềuđiệntử,mỗiđiệntửđềucómomenđộnglợngP
l
vàP
S
.Momenđộnglợng
toànphầnP
J
củanguyêntửcóthểnhậnđợcbằng2cách:
a- Đối vơI các nguyên tố nhẹ,ápdụngliênkếtLS(hoặccòngọilàliênkếtRussell-Saunders),
trongđólấyriêngtổngcácmomenquĩđạovàmomenspincủacácđiệntửtạothànhmomenđộngl
ợngqũiđạotổngcộngP
L
vàmomenđộnglợngspintổngcộngP
S
,sauđómomenđộnglợngtoàn
phầncủatoànbộcácđiệntửtrongnguyêntửnhậnđợcbằngtổngvectoP
J
=P
L
+P
S
P
J
=(P
l1
+P
l2
)+(P
S1

+P
S2
)=P
L
+P
S
b- Đối với các nguyên tố nặng,kếtquảsẽtốthơnkhiápdụngliênkếtj-j,trongđólấytổnghợp
vectocủamomenđộnglợngquĩđạovàspincủamỗiđiệntửtạothànhmomentoànphầncủamỗi
điệntửriêngbiệtP
J1
,P
J2
cuốicùngmomentoànphầnP
J
củanguyêntửbằngtổngmomentoànphần
củamỗiđiệntử.
P
J
=(P
l1
+P
S1
+)+(P
l2
+P
S2
)+=P
J1
+P
J2

+
Đốivớicácvậtliệutừ,cóthểápdụngliênkếtLS.
TổngmomenđộnglợngcủacácđiệntửliênkếtL-S
đợcbiểusơđồsau:Xétnguyêntửcó2điệntử
e1vàe2.Mỗiđiệntửcómomenđộnglợngquĩ
đạoP
l
(sốlợngtửtơngứngl)vàspinP
s
(sốlợng
tửtơngứngs),theomôhìnhliênkếtLS,momen
độnglợngtoànphầncủamỗiđiệntửlàP
j
(P
j
=P
l
+P
s
,tổngvecto).Trongliênkếtj-j,có
momenđộnglợngtoànphầncủahệ2điệntử
làP
J
=P
j1
+

P
j2
P

J
=P
L
+P
S
P
L
=P
l1
+P
l2
P
S
=P
s1
+P
s2
P
l1
P
l2
P
s2
P
s1
L-S
P
J
=P
j1

+P
j2
P
j2
=P
s2
+P
l2
P
j1
=P
s1
+P
l1
P
l2
P
s2
P
l1
P
s1
J-J

Mômenđộnglợngquĩđạo,spinvàtoànphầncủanguyêntửđađiệntửP
L
P
S
vàP
J

cógiátrịbằng:
Trongcácbiểuthứctrên,xuấthiệncácsốlợngtửL,SvàJlàcácsốlợngtửquĩđạo,spinvàtoànphần
củacácđiệntửtrongguyêntử(thaychol,svàjcủamỗiđiệntửriêngbiệt).Cónhiềucáchxácđịnhcác
giátrịL,SvàJ.
Llàtổngcácsốl
i
vàcó2l+1giátrị.Thídụvới2điệntửcól
1
vàl
2
(l
1
>l
2
),
Lcó2l
2
+1giátrị:L=l
1
+l
2
,l
1
+l
2
-1l
1
-l
2
(l

1
=2,l
2
=1,Lcó3giátrịvàbằng
3(l
1
+l
2
),2(l
1
+l
2
-1),1(l
1
-l
2
).SốlợngtửScủanguyêntửcóNđiệntửbằng:
N/2,N/2-10(khiNchẵn)vàN/2,N/2-11/2(Nlẻ).
SốlợngtửJbằngL+S,L+S-1L-S(L>S),tổngcó2S+1giátrị
VàL+S,L+S-1S-L(L<S),tổngcó2L+1giátrị.
ChúngtasẽtínhcácgiátrịL,SvàJtheomộtcáchkháctrongđoạnsau.
( 1).
J
P J J= + h( 1).
S
P S S= + h( 1).
L
P L L= + h
e
1

l
1
,s
1
j
1
e
2
l
2
,s
2
j
2


LSJ
CácsốlợngtửL,SvàJ.l,svàj
Haiđiệntửriêngbiệte
1
,e
1
cómomenđộnglợng
vàspinP
l1
vàP
s1
,P
l2
,P

s2
và

mômenđộnglợngtoàn
PhầnP
j1
vàP
j2
vớicácsốlợngtử
l
11
,l
12
,s
1
,s
2
vàj
1
,j
2
.Nguyêntửgồm2điệntử,vìvậy
Cácmomenđộnglợngcủanguyêntửtheocáchliên
kếtL-SlàP
L
,P
S
vàP
J
,xuấthiệncácsốlợngtửL,S

vàJthayvìchol
11
,l
12
,s
1
,s
2
vàj
1
,j
2

5- Số hạng của nguyên tử:
a-Kýhiệuvàtêngọi:
Sốhạngcủanguyêntửlàcáchkýhiệuchobiếtvịtrícácđiệntử,cáchđiềncáclớp,phânlớpbởicác
điệntửgọichunglàcấuhìnhđiệntửcủanguyêntử.Sốhạngcủanguyêntửcũngchobiếtsựtáchcác
mứcnănglợngtinhtếcủanguyêntử.
SốhạngcủanguyêntửgắnliềnvớicácsốlợngtửspinS,quĩđạoLvàtoànphầnJcủanguyêntử.
Sốhạngnguyêntửđợcviếtdớidạngmộtchữ
cáIởgiữa(B)vàhaiconsốởgóccaobêntráI(A)vàgóc
thấpbênphảIC.TrongđóBlàkýhiệuthờngdùngtrongquangphổ
SốAbằng(2S+1),vàgọilàđộbộispin(sốlợngmứcbịtáchdospin),trongđóS:sốlợngtửspin
củanguyêntử,sốCbằngJ:sốlợngtửtoànphần(cấuthànhtừLvàS).
b-TrạngtháIvimô
TrạngtháIvimôlàcáchsắpxếpcácđiệntửphùhợpvớinguyênlýPauli(1trong4sốlợngtửn,l,m
l
,m
s
phảIkhácnhau).Chúngtasẽxétcáchviếtsốhạngnguyêntửvàýnghĩacủachúngthôngquacácthídụsau

đây.Nếusốhạnglà
3
D,cónghĩalà:L=2,S=1(vìA=2S+1).CáctrạngtháIvimô(cáchsắpxếpcácđiệntử
tuântheonguyênlýPauli)cótổngM
L
=m
l
bằng0,1,2,3(L-1),L,tổngcộngcó2L+1
giátrịkhácnhau,khiL=2,M
L
có5giátrịkhácnhau,cónghĩalàcó5cáchsắpxếpđiệntửkhácnhau
saochotổngM
L
=m
l
có5giátrị:0,1,2(trạngtháI2-6)
Tơngtự,sốtrạngtháIvimôcóM
S
=m
S
cócácgiátrịkhácnhau0,1,2,(S-1),S
(nếuSnguyên)và1/2,3/2(S-1),S(nếuSkhôngnguyên).Sốlợngcácgiátrịkhácnhaulà2S+1
MỗitrạngtháIvimôứngvới1giátrịmlvà1giátrịms,vậytổngsốtrạngtháIvimôbằng(2L+1)(2S+1)
2 1A S
C J
B B
+

Số l ợng tử quĩ đạo
của nguyên tử

L=0 L=1 L=2 L=3 L=4 L=5 L=6 L=7 L=8 L=9 L=10
Ký hiệu của B S P D F G H I K L M N

n=3
(2n
2
=18
trạng
tháIvi
mô)
l
[ngiátrịtừ
0,1,2(n-
1)]
2
(d)
[2(2l+1)
trạngtháI
=10]
m
l
[sốqũiđạokhông
gian
(2l+1)=2.2+1=5]
2
m
s
[địnhhớng
spin]
+1/2 -1/2 10trạngtháI

vimô
1 +1/2 -1/2
0 +1/2 -1/2
-1 +1/2 -1/2
-2 +1/2 -1/2
1
(p)
m
l
1 m
s
+1/2 -1/2 6trạngthái
0 +1/2 -1/2
-1 +1/2 -1/2
0(s) m
l
0 m
s
+1/2 -1/2 2trạngthái
CáctrạngtháIvimôđặctrngbởi4sốlợngtửn,l,m
l
vàm
s
,
trongđóítnhấtphảIcó1sốlợngtửkhácnhau

Spin N
0
m
l

M
L
=m
l
L
M
S
=m
S
S
Sốlợng
J:2S+1
J
Sốhạng MứcnănglợngE
-1 0 +1
+-

1 +- 0 0 0 0 1 J=0
1
S
0
2 +- -2 2 0 0 1 J=2
(J=L+S)
1
D
2
3 +- 2 0
4 + - -1 0
5 + - 0 0
6 + - 1 0

7 - + -1 1 0 1 3 J=L+S=
2
J=L+S-
1=1
Và
J=L-S=0
3
P
2
3
P
1
3
P
0
(S=1,
L=1
J=0)
8 - + 0 0
9 - + 1 0
++

10 + + -1 1
11 + + 0 1
12 + + 1 1


13 - - -1 -1
14 - - 0 -1
15 - - 1 -1

Cáchđiềnđiệntửtrongphânlớpp
2
(2điệntửtrong15trạngtháIvimô
phùhợpguyênlýPauli).2điệntửphânbốtrên3quĩđạom
l
=0,1
Ghichú:+và-chỉchiềuspin(lên,xuống)
Ethấpnhất
QuitắctìmLvàS:
M
L
=m
l
=0,1,2,3(L-1),L.M
S
=m
S
=0,1,2,(S-1),S
(nếuSnguyên)và1/2,3/2(S-1),S(nếuSkhôngnguyên).
Nănglợngnhỏnhấtkhi:Slớnnhất,nếu
cùngSthìLlớnnhất,Jnhỏnhất(nếusốđiện
tửdớẵsốlợngchophép)

c-QuitắctínhLvàS:
GiátrịsốlợngtửLvàSsuyratừthựctếsau:
Từcáchsắpxếpcácđiệntửứngvớicácsốm
l
khácnhau,cộngcácgiátrịm
l
củacácđiệntử,nhậnđợc

tổngM
L
=m
l
=0,1,2,3 (L-1),L,thìsốlợngtửbằngL,thídụ,cáctrạngthái2-6có
M
L
=m
l
=0,1,2=0,1,2,vậyL=2.CáctrạngtháItừ7-15cótổngM
L
=m
l
=0,1,vậyL=1.
Tơngtự,cóthểtínhsốlợngtửS:M
S
=m
S
cócácgiátrịkhácnhau0,1,2, (S-1),S(nếuS
nguyên)và1/2,3/2(S-1),S(nếuSkhôngnguyên).CáctrạngtháI2-6cóM
S
=m
S
=0,vậyS=0,
CáctrạngtháI7-15cóM
S
=m
S
=1,vậyS=1.
M

L
M
S
1 0 -1
2 (#3)
1 #12 #6, #9 #15
0 #11 #1,#5,#8 #14
-1 #10 #4,#7 #13
-2 #2
M
L
M
S
=0
Sốhạng
2 #3 L=2,S=0,
J=L+S, L+S-
1, L-S
S=0,
2S+1=1
J=L+S=2
1
D
2
1 #6
0 #5
-1 #4
-2 #2
CáctrạngtháIcóL=2vàS=0,Bậc
bội:2S+1=1(khôngtách).SốlợngJ:

2S+1=1,chỉlấygiátrịJ=L+S=2+)
=2.SốtrạngtháIbằng(2L+1)
(2S+1)=5.Mộtmứcnănglợng.
M
L
M
S
=0
Sốhạng
+1 0 -1 L=1, S=1,2S+1=3
J=L+S=2, J=L+S-
1=1, J=L-S=0
3
P
2
3
P
1
3
P
0
+1 #12 #9 #15
0 #11 #8 #14
-1 #10 #7 #13
CáctrạngtháIcóL=1vàS=1.Bậcbội:
2S+1=3(tách3).SốlợngJ:2S+1=3,lấy3giá
trịJ=L+S=1+1=2,1+1-1=1vaJ=L-S=0.
Sốtrạngthái:(2L+1)(2S+1)=9.3mứcnăngl
ợng.
M

L
M
S
=0
0 #1 L=0, S=0
J=0
1
S
0
CáctrạngtháIcóL=0vàS=0.Bậcbội:2S+1=1(khôngtách)
SốlợngJ:2S+1=1,chỉlấygiátrịJ=L+S=0+0=0.
Sốtrạngthái:(2L+1)(2S+1)=1.1mứcnănglợng.
ThốngkêtừbảngđểtìmcáctrạngtháI
(đánhdấubăng#)cócặpgiátrịM
L
vàM
S
nhnhau.Cấuhìnhđiệntửp2baogồm1
trạngtháI#1(L=0,S=0),
5trạngtháI#(2-6)(L=2,S=0)và
9trạngtháI#(7-15)(L=1,S=1),
tổngcộngsốtrạngtháIlà1+5+9=15.
15trạngtháIđócóp5mứcnănglợngtinh
tế(táchratừmứccơbảnE(n,l))

6. Tính số trạng tháI vi mô N đối với một cấu hình điện tử nào đó:
Cáclớpvàphânlớpđãđiềnđầybởiđiệntửcósốlợngtửmomenđộnglợngvàspinbằngkhông
(L=0vàS=0)vàvìvậysốhạngdànhchochúnglà
1
S

0
.Cáctínhchấtvậtlý,hóahọckhôngliênquan
nhiềuđếncáclớpđầyđó.Vìvậychúngtachỉquatâmtớicácphânlớpchađiềnđầy.
Có2cách:
a-Lậpbảngvàliệtkêtấtcảcácvịtrícủa2điệntửphùhợpvớinguyênlýPauli.Trongbảngchúngta
đãthấycó15cáchsắpxếpthỏamãnnguyênlýloạitrừPauli.
SốtrạngtháIcóchungLvàSbằng:(2L+1)(2S+1)
b-Sửdụngcôngthức:
Vớisốlợngtửl,sốđiệntửcóthểcólà
t=2(2l+1),
t=2(2l+1),thídụl=1,2điệntửtrên3quĩđạom
l
=0vàm
l
=1,
tổngcộngcóthểcó6điệnt.Nếuchỉcóeđiệntử,thìsốtrạngtháIvimôNbằng:
Thídụxétphânlớpp
2
(l=1vàcó2điệntử):t=2(2+1)=6,e=2
VậyN=6!/2!4!=15
!
!( )!
t
N
e t e
=


7. Tính tắt số hạng cơ bản của nguyên tử:
a.TạorasốlợngtửSlớnnhất:chocácspinlênhoặcxuốngtốiđacóthể.

b.Chocácspinvàocácquĩđạokhônggiankhácnhau(m
l
khácnhauđểbảođảmnguyênlýPauli)
Thídụ:Tìmsốhạngchocấuhìnhp
3
(khôngđầy):ChocácspinhớnglênđểđạtScựcđại(S=3/2),
rảicácspinvào3quĩđạokhônggian(m
l
=0,1)đểtuântheonguyênlýPauli(L=0),tínhJ=L+S=3/2
Bậcbội:2S+1=4,Sốhạng:
4
S
3/2
Tìmsốhạngchod
6
(khôngđầy,trên1/2):rải6spinvào5quĩđạokhônggian(m
l
=0,1,2),nhậnđợc
L=2.Cho5spinhớnglên(tốiđacóthể)và1spinphảIhớngxuốngđểbảođảmnguyênlýPauli,nhậnđợc
S=2,bậcbội2S+1=5vàJ=2+2=4(dấu+vìcó6/10vịtrí,trên50%),sốhạng:
4
S
3/2
Cấuhình3s
2
(đầy):S=0,L=0,
1
S
0
Chúý:

1.Tấtcảcáclớp,phânlớpđãđiền
đầyđủbởicácđiệntửđềucóL=0
vàS=0,sốhạng
1
S
0
(khôngcần
quantâmvìmomentừbằngkhông)
2.Đốivớicácphânlớpkhôngđầy,
cầntìmsốhạngcómứcnănglợng
thấpnhất,gọilàsốhạngcơbản.
Trongthídụtrên,cóthểthấyp
3
có
bậcbộilà4,tuynhiênsốlợng
cácgiátrịcủaJđợcxácđịnhbằng
2S+1=1(S<L)và2L+1(khiL<S),
Vậychỉcó1mứcnănglợng.
Tơngtự,d
6
cóbậcbộilà5,Jcó
5giátrị(2S+1=2L+1=5),5mứcnăng
lợng.Sốhạngchỉmứcnănglợngthấp
nhất
4
S
3/2
(chọnJ=3/2)và
5
P

4
(chọnJ=4)
n=3 l=2
3d
6
(6/10)
m
l
=2 S=1/2-1/2+1/2+1/2+1/2+1/2=2
L=2+2+1+0-1-2=2
J=2+2=4
5
P
4
(Jcó2L+1=5giátrị:J=2+2=4,2+2-1=3,
3-1=2,2-1=1vàL-S=0)
m
l
=1
m
l
=0
m
l
=-1
m
l
=-2
l=1
3p

3
(3/6)
m
l
=1 S=1/2+1/2+1/2=3/2
L=1+0-1=0,J=3/2
4
S
3/2
Jcó2L+1=1
m
l
=0
m
l
=-1
l=0
3s
2
(2/2)
m
l
=0 (n+l)=3
S=1/2-1/2=0,L=0+0=0,J=0+0=0
1
S
0

8. Tách mức năng l ợng do các t ơng tác spin-spin, quĩ đạo-quĩ đạo và spin-quĩ đạo :
Trởlạivấnđềcủa2điệntử3p

2
củaTi.Haiđiệntửnàyđềucócùngsốlợngtửn=3vàl=1,vậychúngphảI
điềnvàovịtrínàotrongsố10vịtríđềuthỏamãnnguyênlýloạitrừPaulivàcócùngtổng(n+l=4)tứclàcó
cùngnănglợngbaogồmthếnăngvàđộngnăngE
n,l
?NhvậytaphảItìmxemtrong10trạngtháIđó,trạng
tháInàocónănglợngnhỏhơnvànănglợngđólàkếtquảcủacáctơngtácgìngoaiE
n,l
đãbiết.
Cóthểnóingayrằng,cáctơngtácspin-spin,quĩđạo-quĩđạovàspin-quĩđạogiữacácđiện
tửtrongnguyêntửbổsungvàotổngđộngnăngvàthếnăngcủađiệntử(E
n,l
)vàgâyrasựtáchmứcnăng
lợng,tạoracácmứctinhthếquansátđợcbằngphổtinhtếvàtạoracácmomentừtrongcácnguyêntử
3dvà4fdocácspinkhôngtriệttiêunhau.Xétcáctơngtácnày,cóthểtìmđợcđiềukiệnđểcómứcnăng
lợngthấptứclànơIcácđiệntửsẽđiềnvào,điềukiệnđóchínhlàcácquitắcHund.
NhvậyquitắcMadenlungchobiếtcáchđiềncácphânlớpbởicácđiệntửtheonănglợngbaogốmthế
năngvàđộngnăngcủađiệntửtrongđiệntrờnghạtnhânvàcácquitắcHundchobiếtcáchđiềncácphân
lớptheocáctơngtácspin-spin,quĩđạo-quĩđạovàspin-quĩđạo.

a.XÐtph©nlíp3d2(n=3,l=2vµcã2®iÖntö)
S=Σs
S=0(S=+1/2+(-1/2))(c¸cspin®èisong)
(a)
S=1(=1/2+1/2)(c¸cspinsongsong)
(b)
L=Σm
l
n l m
l

(5quÜ®¹okh«nggian)
L=3
(F),a1
L=2
(D),a2
L=1
(P),a3
L=2+1=3
(F),b1
L=2+0=2
(D),b2
L=1+0=1
(P),b3
3 2 2
↑ ↑ ↑(+1/2) ↑(+1/2)
1
↓ ↑ ↑(+1/2) ↑(+1/2)
0
↓ ↓ ↑(+1/2) ↑(+1/2)
-1
-2

a.Tơngtácspin-spin(củacácđiệntửtrongcùngmộtnguyêntử):
Xéttơngtácnàyquamộtthídụ:xétphânlớp3d
2
.Trongphânlớp3d,tổngsốđiệntửcóthểcómà
khôngviphạmnguyênlýloạitrừPaulilà10(10trạngtháIđặctrngbởi4sốlợngtửn,l,m
l
vàm
s

,
trongđóítnhấtphảIcó1sốlợngtửkhácnhau),tuynhiênchỉcó2điệntửphânbốtrên5quĩđạo
khônggianvớil=2,ml=2,1và0vớispinlênvàxuốngvìvậynguyênlýnănglợngcựctiểusẽđợc
ápdụng:haiđiệntửsẽchiếm2trongsố10trạngtháIcónănglợngnhỏnhất.Bảngtrênđơncử6cách
điềnđầyphùhợpvớinguyênlýPauli,trongđócách(a)gồmcácđiệntửcóspinđốisong,S=0
(S=m
si
,m
s
=1/2)vàcách(b)gồmcácspinsongsong,S=1.Câuhỏiđặtralà,cáchđiềnđầynàocó
nănglợngnhỏhơn?
Khispincủa2điệntửsongsong,theocơhọclợngtử,hàmsóngcủachúng
2e
phảI
bấtđốixứng(đổidấukhiđổitọađộ)hàmsóng
2e
củahệ2điệntửlạibaogồmhàmsóngspinvà
hàmsóngkhônggian:
2e
=
khônggian

spin
,vàmộttronghaihàmsóngđóphảIbấtđốixứng.
Trongcáchđiềnđiệntử(a),S=0,vìvậy2spinngợcchiều,tanóihàmsóngspinbấtđốixứng.Khiđó
Hàmsóngkhônggianphảiđốixứng.


d
x

//
2
Cách (a): Hai spin đối song, S=1/2+(-1/2)=0
Trongnguyêntử,hàmsóngkhônggian
2e
của2điệntửphảIgiaonhau.Khihàmsóng
khônggianđốixứng,mậtđộđiệntử//
2
đủ
lớntrongkhoảngkhônggiangiữachúng,điều
đócónghĩahaiđiệntửphânbốgầnnhau,thờng
xuyêngậpnhau.Điềunàylàmchonănglơng
tơngtáctĩnhđiện(đẩynhau)lớn.Trongtrờng
hàmsóngkhônggian
2e
đốixứng,hàmsóng
spinbấtđốixứng,tứclàcácspinđốisong,số
lợngtửS=s=1/2+(-1/2)=0.
Vậy,khiSnhỏ(S=0),mứcnănglợngcao.
Cách (b): hai spin song song, S=1/2+1/2=1
Khihàmsóngkhônggianbấtđốixứng,mậtđộ
điệntử//
2
rấtnhỏtrongkhoảngkhônggiangiữa
chúng,điềuđócónghĩahaiđiệntửphânbốxanhau,
ítcókhảnănggậpnhau.Điềunàylàmchonănglơng
tơngtáctĩnhđiệngiữahaiđiệntử(đẩynhau)nhỏ.
Trongtrờnghợphàmsóngkhônggian
2e
bấtđối

xứng,hàmsóngspinđốixứng,tứclàcácspinsong
songnhau,sốlợngtửS=s=1/2+(+1/2)=1.
Vậy,khiSlớn(S=1),mứcnănglợngthấp.
S=0
S=1(haiđiệntửsẽđiềnđầytạiđây)
Tơngtácspin-spin,mứcnănglợngtáchlàmhai:
khiSlớn(S=1),nănglợngnhỏvàkhiSnhỏ(S=0),
nănglợnglớn.Vìvậy,haiđiệntửphảIđiềnvàotrạng
TháIcóSlớnnhấtvàđấylàQuytắcHund1
E
E=f(n,l)
(động,thếnăngcủa
điệntửtrongtrờng
hạtnhân)


2
={
a1

b2
-
a2

b1
}
/
2
/
2

a1

b2

a2

b1

a1

b2

a2

b1

1
={
a1

b2
+
a2

b1
}
/
1
/

2
++
++
Khihaingyêntửavàbliênkếtnhau,hàmsóngcủahệcóthểlàđốixứng
1
(trái)hoặckhôngđối
xứng
1
(phải).Phânbốđiệntích(cácđiệntử)giữacáchạtnhânavàbsẽkhácnhau:khihàmsóng
đốixứng(trái),mậtđộđiệntích/
1
/
2
giữachúnglàlớnvàngợclại,khi
2
bấtđốixứng,mậtđộđiện
tíchgiữachúnglàrấtnhỏ(phải).
Khihàmsóngkhônggianđốixứngthìhàmsóngspinbấtđốixứng,vìvậytrênhìnhphảI,cácspinđối
Song,khiđósốlợngtửS=1/2+(-1/2)=0,ngợclại,trênhìnhtrái,cácspinsongsongnhau,sốlợngtử
S=1.
a
b