Điều khiển bám theo quỹ đạo mong muốn cho robot di động hai bánh dùng bộ điều khiển trượt

HUTECH
1



CHNG 1
GII THIU LUN VN.


Ni dung:
1.1 Tng quan.
1.2 Tóm tt mt s công trình nghiên cu.
1.3 Nhn xét chung và hng tip cn.
1.4 Mc tiêu ca lun vn.
1.5 Nhim v ca lun vn.
1.6 Gii hn ca lun vn.
1.7 im mi ca lun vn.
1.8 Ni dung tng quát ca lun vn.












HUTECH

2

CHNG 1
GII THIU LUN VN.
1.1. Tng quan

Ngày nay, vic phát trin và tin ti t đng hóa trong các ngành đang
tr thành vn đ quan trng ca nhiu quc gia, vin cnh trc mt là các
thit b đin t t đng hóa đc ng dng ngày càng rng rãi và mang li
nhiu hiu qu cao trong hu ht các lnh vc kinh t, k thut cng nh trong
đi sng xã hi hng ngày. Gii pháp cho vn đ này là xây dng các mô hình
Robot t đng hóa di chuyn bng bánh nhm đáp ng nhu cu thc t ca
các dây chuyn sn xut là ht sc cn thit, Robot có th thay th cho con
ngi, làm vic trong các môi trng có điu kin khc nghit, đc hi nh
hng đn sc khe ca con ngi, giúp tng nng sut và tit kim sc lao
đng ca con ngi.
Hin nay, các thit b đin t t đng hóa nh các xe t hành
(autonomous guided vehicle – AGV) hay Robot di đng bng bánh (wheeled
mobile Robot – WMR) ngày càng đc s quan tâm ln ca nhiu ngi
trong nhng nm gn đây, vì chúng đc ng dng rng rãi trong các ngành
khác nhau nh công nghip, nông lâm nghip, y t, dch v.  khc phc
nhng tn ti, đáp ng nhng thách thc mi đt ra trong xu hng toàn cu
hóa, thc hin thng li công cuc công nghip hóa, hin đi hóa đt nc.
Theo quan đim ca tôi thì cn phi có mt t duy thay đi quan đim đ m
rng ng dng chc nng t đng hóa vào trong các ngành công nghip và
dch v ca nc ta.



HUTECH

3
1.2. Tóm tt mt s công trình nghiên cu.
1. “Structural Properties and Classification of Kinematicand Dynamic
Models of Wheeled Mobile Robots”, Guy Campion, Georges Bastin, and
Brigitte D’ AndrCa-Nove; iEEE transactions on Robotics and
automation, vol. 12, no. 1, february 1996.[1]

Bài báo này trình bày vn đ các loi Robot di chuyn bng bánh (WMRs)
đã đc s dng rng rãi trong các ng dng công nghip và dch v khác
nhau nh giao thông vn ti, an ninh, kim tra và thm dò các hành tinh, …,
vi các cu hình di đng khác nhau v ( s lng và loi bánh xe, v trí và b
phn điu khin ca chúng, cu trúc đn hoc cu trúc đôi). Mt nghiên cu
phân tích chi tit cu trúc ca các mô hình đng hc và đng lc hc ca các
Robot di chuyn bng bánh có th đc tìm thy trong [1],[2], [3].




Hình 1.1 Cu trúc ca ROBOT di chuyn bng bánh.
HUTECH
4
2. “A Simple Nonlinear Control of a Two-Wheeled Welding Mobile Robot”,
T. H. Bui, T. T. Nguyen, T. L. Chung, and S. B. Kim, International Journal
of Control, Automation, and Systems, Vol. 1, No. 1, pp. 35-42, 2003.[5]

Bài báo này đ cp đn vic s dng mô hình đng hc ca WMR bám
qu đo đã đc gii quyt trong [5]. Trong [5] đ xut mt b điu khin phi
tuyn đn gin đc thit k da trên mô hình đng hc cho Robot di đng
hàn hai bánh, tính bn vng da vào lý thuyt n đnh Lyapunov đ bám
đng hàn vi vn tc không đi. H thng này (xem hình 1.2) có ba bc t

do bao gm c hai bánh xe và thanh trt m hàn.

Hình 1.2 Mô hình Robot hàn MR-SL
Lut điu khin có đc t các hàm nng lng Lyapunov đ đm bo
s n đnh tim cn ca h thng. B điu khin có ba thông s đ điu chnh
s thc hin ca h thng điu khin. Cách đn gin đ đo các sai s là s
dng hai cm bin, mt là cm bin đ đo khong cách và mt cm bin đo
góc quay. Trng hp m hàn c đnh thì có th bám đng thng và mt
nhiu thi gian đ sai lch tin v 0, nhng không bám đc đi vi đng
cong. Trng hp m hàn điu khin đc thì bám đng cong trn nhanh
hn vi sai s chp nhn đc, kt qu mô phng trong hình 1.3, 1.4, 1.5.
HUTECH
5

Hình 1.3 Các sai s bám
, , đu tin v 0.

Hình 1.4 Các sai s bám
, , có sai lch.

Hình 1.5 Vn tc ca m hàn và WMR.
HUTECH
6
T kt qu mô phng hình 1.5, tác gi đi đn kt lun nh sau:
- M hàn c đnh có th bám theo đng thng, nhng cn nhiu thi
gian đ các sai s tin v không.
- Không th s dng WMR có m hàn c đnh bám theo theo đng
cong vì có sai s ln.
- Trng hp m hàn điu khin đc thì bám đng cong trn nhanh
hn vi sai s chp nhn đc.

Phng pháp điu khin phi tuyn đn gin có th s dng cho ROBOT hai
bánh.
3. “WMR control via dynamic feedback linearization: M. Vendittelli, Design,
implementation and experimental validation”; Giuseppe Oriolo, Member,
IEEE, Alessandro De Luca, Member; IEEE, and Marilena Vendittelli,
IEEE Trans. Control. Syst. Technol., Vol. 10, No. 6, pp. 835–852, Nov.
2002.[4]
Bài báo này trình bày phng pháp tuyn tính hóa hi tip đc s dng
cho vic bám qu đo và n đnh v trí ca Robot di đng. Vic thc hin ca
phng pháp này trên Robot SuperMARIO - mt Robot di đng điu khin
bng hai bánh xe khác nhau, đc mô t nh hình 1.6. Kt qu mô phng các
sai lch th hin  hình 1.7

Hình 1.6 Robot SuperMARIO
HUTECH
7


Hình 1.7 Các sai s bám
và (m)
Mc dù bài toán điu khin các h thng Robot di chuyn theo lý thuyt thì
hu nh đã đc gii quyt, nhng đi vi các nhà thit k điu khin WMR
có vn còn nhiu vn đ cn đc quan tâm. Ví d nh, nhc đim ca
nhiu b điu khin n đnh v trí là quá trình chuyn tip kém.

4. “Adaptive Tracking Control of a Nonholonomic Mobile Robot”, Takanori
Fukao, Hiroshi Nakagawa, and Norihiko Adachi, IEEE transactions on
robotics and automation, vol. 16, no. 5, october 2000.[6]
Bài báo này đ cp đn mt gii thut mi là điu khin thích nghi cho
Robot di đng vi các thông s không bit trc, đó là s tích hp gia ca

mt b điu khin đng hc và mt b điu khin mô men cho mô hình đng
hc ca Robot di đng. Kt qu mô phng th hin hình 1.8

HUTECH
8

Hình 1.8 Các sai s bám
, , có sai lch.


5. “Adaptive tracking control of two – wheeled welding mobile Robot with
smooth curved welding path”, Trong Hieu Bui, Tan Lam Chung, Sang
Bong Kim, Tan Tien Nguyen, KSME Internatinal Journal, Vol.17 No.11,
pp.1682 -1692,2003.[7].
Bài báo này tác gi s dng gii thut điu khin thích nghi đ điu khin
cho Robot hàn hai bánh bám theo đng hàn vi vn tc không đi. Trong [7]
gii thut điu khin cng ch xét đn mô hình đng hc, đ làm cho véc t
sai lch v trí tin đn không nhanh nh mong mun, h thng mô men quán
tính đc xem xét ti các thông s không bit trc mà nó đc c lng s
dng lut điu khin thích nghi. Kt qu mô phng và kt qu thc nghim
ch ra tính hiu qu ca b điu khin đc đ xut th hin trong hình
1.9;1.10. và 1.11.
HUTECH
9


Hình 1.9 Các sai s bám
, , khi mi bt đu.

Hình 1.10 Các sai s bám , , ti cnh góc có sai lch.
HUTECH
10

Hình 1.11 Vn tc góc ca m hàn và Robot hàn ti cnh góc.
Nhìn chung,  thi gian đu (2s) Robot bám theo đng thng tham chiu
không có sai s bám, nhng  thi gian sau (20s) khi qua cnh góc đng
cong thì có sai lch, vn tc góc ca m hàn b dao đng.
* Tt c các b điu khin trên ch xem xét đn các mô hình đng hc, b
qua đng lc hc ca h thng c khí. Gn đây, nhiu gii thut điu khin đã
đc đ xut đ gii quyt các vn đ điu khin có xét đn mô hình đng lc
hc ca Robot di đng.

6.“Sliding Mode Control for Trajectory Tracking of Nonholonomic Wheeled
Mobile Robots “,Jung-Min Yang and Jong-Hwan Kim, IEEE transactions
on Robotics and automation, vol. 15, no. 3, june 1999. [8].
Trong bài báo này tác gi s dng k thut điu khin kiu trt và b
điu khin đng lc hc có nhiu ngoài b chn, đã đc s dng đ gii
quyt bài toán điu khin bám cho WMR. Robot s dng trong thc nghim
có tên là MICRO và kt qu mô phng khi Robot bám đng thng nh hình
1.12.
HUTECH
11

Hình 1.12 Các sai s khi Robot bám đng thng.
Kt qu mô phng cho thy Robot có th bám theo đng cong tham chiu,
nhng vn còn hin tng dao đng ln nh sai s th hin  hình 1.12

7. “Sliding mode control of two –wheeled welding mobile Robot for tracking
Smooth Curved welding path”, Tan Lam Chung, Trong Hieu Bui, Tan
Tien Nguyen, Sang Bong Kim, KSME International Journal, Vol.18 no.7,
pp.1094 – 1106, 2004.[9].
HUTECH
12
Trong bài báo này, b điu khin phi tuyn c bn da trên kiu điu
khin trt cho Robot di đng hàn đng vin (WMR) bám theo đng cong
hàn phng vi vn tc không đi. Robot di đng này cng đc xem xét v
mt mô hình đng lc hc có các thông s đã bit trc vi s hin din ca
nhiu b chn. Tuy nhiên, dù b điu khin này làm cho các sai lch e
1
, e
2
, e
3

cn nhiu thi gian (16s) đi v không đi vi m hàn c đnh trong hình 1.13,
nhng đi vi m hàn điu khin đc thì cn thi gian tin đn không nhanh
hn (3s) hình 1.14. Vn tc góc xe đi hng theo qu đo chuyn đng
nhng còn dao đng so vi giá tr trung bình xem hình 1.15.

Hình 1.13 Các sai lch bám


Hình 1.14 Các sai lch bám

HUTECH
13



Hình 1.15 Vn tc góc ca Robot.

8. “Sliding-Mode Tracking Control of Nonholonomic Wheeled Mobile Robots
in Polar Coordinates”, Dongkyoung Chwa, IEEE transactions on control
systems technology, vol. 12, no. 4, july 2004.[10].
Trong bài báo này đ xut đn mt phng pháp điu khin trt cho các
Robot có bánh di đng trong h ta đ cc. Phng pháp này là s kt hp
gia điu khin trt và mô hình đng hc đ cho Robot di chuyn trong h
ta đ cc hai chiu. Qu đo tham chiu trong [10] có th là mt đng
cong hay mt đon thng
và kt qu mô phng khi Robot bám đng thng,
đng cong nh hình 1.16, 1.17.
HUTECH
14

Hình 1.16 Robot bám theo đng thng.




Hình 1.17 Robot bám theo đng cong.
* Phng này cho thy Robot bám theo qu đo đng thng hay đng cong
tham chiu rt tt, có th áp dng và nghiên cu thêm.
1.3. Nhn xét chung và hng tip cn.

Qua các công trình nghiên cu cho thy vic ng dng các gii thut khác
nhau đ điu khin cho Robot di chuyn bng bánh (WMR) bám theo qu đo
tham chiu vi vn tc không đi. Tuy nhiên, mi phng pháp đu có u,
khuyt đim đc th hin qua kt qu mô phng  trên. Do đó, đ to ra mt
HUTECH
15
b điu khin cho các Robot di đng bám qu đo vi mt vn tc cho trc
đ thc hin mt nhim v nào đó là vn đ đc quan tâm. Nhng thách
thc ln đó là b điu khin là phi tác đng nhanh khi đu vào tham chiu
thay đi và nu thit k b điu khin ch da vào mô hình đng hc, thì khi
Robot hot đng chc chn s b tác đng bi các yu t nhiu bên ngoài nh
ma sát, lc cn không khí, thay đi thông s trong mô hình… gây ra sai lch
ln so vi các giá tr tham chiu. Vì vy quá trình thit k b điu khin phi
tính đn nhiu xy ra trong sut quá trình thc hin nhim v ca Robot và
cn mt mô hình đng lc hc chính xác, có xem xét đn nhng thuc tính
nh: khi lng, quán tính, lc ma sát, lc ly tâm, mô men,…
Bài toán đt ra là các sai s bám v trí và sai s bám tc đ phi tin v
không khi thi gian t tin đn vô cùng, thi gian quá đ nh theo yêu cu,
trong điu kin môi trng có nhiu (nh ma sát, sc cn ca gió…)
Vi nhng lý do trên, trong lun vn này đa ra mt gii thut điu
khin mi mà đó là s kt hp ca b điu khin đng hc (kinematic
controller - KC) và b điu khin trt (sliding mode controller - SMC)
cho mt Robot di đng hai bánh bám theo qu đo mong mun vi mt vn
tc không đi. u tiên, b điu khin đng hc đc thit k đ làm cho véc
t sai lch v trí tin đn không mt cách tim cn. Sau đó, ch đ điu khin
trt đc thit k đ làm cho véc t sai lch vn tc tin đn không mt cách
tim cn. S n đnh ca h thng đc chng minh da trên lý thuyt n
đnh Lyapunov. Trong lun vn có s dng phn mm matlab đ mô phng và
kt qu mô phng đc trình bày đ minh ha hiu qu ca gii thut điu
khin.

HUTECH
16
1.4. Mc tiêu ca lun vn.
Mc tiêu ca đ tài là “iu khin bám theo qu đo mong mun cho
Robot hai bánh dùng b điu khin trt ”. C th, đ tài đa mt gii thut
điu khin mi đc tích hp gia mt b điu khin đng hc và mt b
điu khin đng lc hc kiu trt có nhiu bên ngoài b chn đ WMR bám
theo qu đo mong mun vi vn tc không đi.





Hình 1.18 Chuyn đng mong mun ca Robot hai bánh(WMR).
1.5. Nhim v ca lun vn.
- Tng quan các công trình nghiên cu cho Robot di đng hai bánh.
- Xây dng mô hình đng lc hc cho Robot di đng hai bánh.
- Thit k b điu khin trt (sliding mode control) cho Robot di đng
hai bánh bám theo qu đo mong mun.
- Mô phng và đánh giá kt qu.


e = e
1
, e
2
, e
3
Qu đo
mong

mun
Xut phát
Thi gian

HUTECH
17
1.6 Gii hn ca lun vn.
- Ch kho sát da vào mô phng Robot di đng bng bánh s dng gii
thut điu khin trt vi qu đo mong mun cho trc.
1.7. im mi ca lun vn.
- Lun vn này đa ra mt gii thut điu khin mi mà đó là s kt hp
ca b điu khin đng hc (kinematic controller - KC) và b điu khin trt
(sliding mode controller - SMC) cho mt Robot di đng hai bánh bám theo
qu đo mong mun vi mt vn tc không đi.
1.8. Ni dung ca lun vn.
Lun vn bao gm có 6 chng:
CHNG 1: GII THIU LUN VN.
CHNG 2: C S LÝ THUYT.
CHNG 3: XÂY DNG MÔ HÌNH TOÁN.
CHNG 4: THIT K B IU KHIN TRT.
CHNG 5: KT QU MÔ PHNG.
CHNG 6: KT LUN VÀ HNG PHÁT TRIN.
TÀI LIU THAM KHO
HUTECH
18



CHNG 2
C S LÝ THUYT.

Ni dung:

2.1 Gii thiu phng pháp Lyapunov.
2.2 nh lý n đnh th 2 ca Lyapunov.
2.3 Lý thuyt điu khin trt.
2.3.1 Khái nim tng quát.
2.3.2 Thit k b điu khin trt đi vi
h thng phi tuyn.




HUTECH
19
CHNG 2
C S LÝ THUYT.
2.1 Gii thiu phng pháp Lyapunov.
Phng pháp Lyapunov cung cp điu kin đ đ đánh giá tính n đnh
ca h phi tuyn. Có th áp dng cho h phi tuyn bc cao bt k. Ngoài ra, có
th dùng phng pháp Lyapunov đ thit k các b điu khin phi tuyn. Hin
nay phng pháp Lyapunov là phng pháp đc s dng rng rãi nht đ phân
tích và thit k h phi tuyn.
2.2 nh lý n đnh th 2 ca Lyapunov
Tính n đnh ca h phi tuyn ch có ngha khi đi cùng vi đim cân bng.
Có th h n đnh ti đim cân bng này nhng không n đnh ti đim cân bng
khác.
nh lý n đnh th hai ca Lyapunov ngày nay đc s dng khá rng
rãi trong lnh vc điu khin t đng.
nh lý ca Lyapunov da vào nng lng, nu nng lng h thng c

tiêu tán mãi thì sau mt thi gian h thng phi đng yên  đim cân bng. Nh
vy khi kho sát s n đnh ca mt h thng ta đi tìm mt hàm vô hng dng
biu th nng lng và xét xem hàm này tng hay gim theo thi gian.





HUTECH
20
* Phát biu đnh lý:
Xét h thng đc mô t bi phng trình trng thái:

= f(x
1
, x
2
,…,x
n
) (2.1)
Nu tìm đc mt hàm V(x) vi mi bin trng thái x
1
, x
2
,…,x
n
làm mt hàm
xác đnh dng sao cho đo hàm ca nó theo thi gian
là mt hàm xác đnh
âm thì h thng s n đnh. Lúc này V(x) đc gi là hàm Lyapunov.

 Khi V(x).
(x) <0: h thng n đnh tim cn
 Khi V(x).
(x) =0: biên gii n đnh
 Khi V(x).
(x) >0: h thng không n đnh









Hình 2.1 Minh ha hàm Lyapunov

Ví d: Xét h lò xo ng nhúng có phng trình đng lc hc:
m
+ b + k
0
x + k
1
x
3
= 0 (2.2)
V =V
3

V =V

2

V =V
1

V

x
1

x
2

0

V
3
> V
2
> V
1

x
2

x
1

V =V
3

V =V
2

V =V
1

0

V
3
> V
2
> V
1

HUTECH
21

Hình 2.2 Ví d minh ha đinh lý Lyapunov

C nng ca h bao gm đng nng ca vt khi lng m và th nng ca lò xo:

(2.3)
Nhn thy nng lng V là mt hàm xác đnh dng và bng 0 ng vi đim cn
bng.
o hàm ca nng lng theo thi gian:

(2.4)
o hàm ca nng lng là s âm nên nng lng gim liên tc đn khi x gim

v 0 (h thng cân bng ).
2.3 Lý thuyt điu khin trt
2.3.1 Khái nim chung
Phng pháp điu khin trt đc công nhn là mt trong nhng công c
hiu qu đ thit k b điu khin mnh m cho đi tng có phng trình đng
lc hc phi tuyn bc cao phc tp trong điu kin không chc chn. Các nghiên
cu trong lnh vc này đã đc bt đu  Liên Xô c khong nm 1950, và sau
HUTECH
22
đó phng pháp điu khin trt đã đc s chú ý ngày càng nhiu t hip hi
điu khin quc t. u đim chính ca ch đ trt là có đ nhy thp vi s
bin đi tham s ca đi tng điu khin và nhiu bên ngoài mà nó giúp loi tr
s cn thit ca mô hình chính xác. iu khin trt cho phép tách riêng chuyn
đng ca toàn b h thng thành các thành phn đc lp có kích thc thp hn
và kt qu là làm gim s phc tp ca phn hi.
iu khin trt đã tr thành loi điu khin c bn trong h thng điu
khin cu trúc bin đi (đc gi là VSC). VSC bao gm mt tp hp các h
thng con liên tc vi mt logic chuyn mch thích hp, và kt qu là, nhng
hot đng điu khin là các hàm không liên tc ca trng thái h thng, các loi
nhiu, và các ngõ vào tham chiu. (control systems, robotics and automation –
Vol. XIII - Sliding Mode Control - Vadim Utkin)

VSC là mt k thut điu khin phi tuyn mnh m kt hp và khai thác các
tính nng hu ích ca các cu trúc điu khin khác nhau đ cung cp hiu nng
và các thuc tính mi mà không có bt k các cu trúc riêng l nào t chúng có
th thc hin đc. Lý thuyt VSC đã cung cp phng tin hiu qu đ thit k
b điu khin phn hi trng thái mnh m cho h thng đng lc hc không
chc chn, đim đc bit quyt đnh caVSC là kiu trt trên mt chuyn đi,
mà trong mt này h thng vn không nhy cm vi các bin đi ca tham s bên
trong và nhiu bên ngoài (Utkin, 1977; DeCarlo, et. al. 1988; Hung, et. al 1993)

Hay nói cách khác điu khin trt là mt loi đc bit ca VSC đc đc trng
bi mt h lut điu khin phn hi và mt quy tc quyt đnh đc gi là hàm
chuyn đi
.
HUTECH
23

Hình 2.3 Các h thng có điu khin trt
(Robust Integral Sliding Mode Control of an Aerospace Launch Vehicle - M.
Bahrami, J. Roshanian, B. Ebrahimi)
iu khin trt có hai ch đ liên tc vi nhau (Utkin nm 1977, Utkin 1992).
u tiên là ch đ tip cn hay ch đ mà qu đo pha tip cn mt trt và th
hai là ch đ trt có ngha là qu đo pha s trt trên mt trt đn đích, điu
này th hin rõ trong hình 2.4.

Hình 2.4 Hình chiu qu đo pha
HUTECH
24
iu kin trt Lyapunov s ép các trng thái h thng đi đn mt mt
trt và gi cho chúng trt trên mt này, vì vy mt thit k SMC là bao gm 2
giai đon, thit k mt trt và thit k lut điu khin. Trong ch đ tip cn,
đng lc hc điu khin ph thuc vào các thông s h thng, nhng trong ch
đ trt thì ch ph thuc vào mt trt, đây là thuc tính bt bin ca ch đ
trt.
Nh vy đc tính mnh m ca điu khin trt truyn thng đi vi các
bin đi ca tham s bên trong và nhiu bên ngoài ch có th đt đc sau khi
xut hin ch đ trt và  ch đ tip cn thì không đc đm bo điu này.
Ch đ trt s loi tr pha tip cn bng cách ép cho xut hin kiu trt trong
toàn b đáp ng h thng.
2.3.2. Thit k b điu khin trt đi vi h thng phi tuyn.

Xét h thng đng phi tuyn biu din bi phng trình vi phân sau:
( n )
x f ( X ) g( X ).u
y x
 




(2.5)

Trong đó


1
T
( n )
X x x x



là vect trng thái (2.6)
u là tín hiu điu khin
y là tín hiu ra
n là bc ca h thng
HUTECH
25
Các hàm
f f ( X ),g g( X )
 

là các hàm phi tuyn. Gi
d
X
là tín hiu đt, gi
thit
d
X
có đo hàm theo t đn cp n.
nh ngha:
1
1
 
 
 

 
 
 
d
( )
d
d
( n )
d
x
x
X

x
(2.7)

1 1
1
1 1
1
d
( ) ( )
( )
d
d
( n ) ( n )
( n )
d
x x
e
x x
e
E X X


x x
e
 


 
 
 
 


 
 
   
 
 
 
 

 
 
(2.8)

Mc tiêu điu khin là xác đnh lut điu khin u sao cho sai lch e tin ti
không khi
t

.
Trong không gian n chiu phng trình S = 0 xác đnh mt cong gi là mt trt
(sliding surface). S dng phng pháp Lyapunov, chn mt hàm xác đnh
dng
V
, thông thng chn
V
có dng:

T
1
= S S
2

V
(2.9)
Tính đo hàm bc nht ca
V
, ta đc :
T
= S S


V
(2.10)
T phng trình
T
= S S


V
, ta tìm chn đc lut điu khin u nào đó và vi lut
điu khin u này ta chng minh đc
0


V

khi đó theo đnh lý n đnh th hai
ca Lyapunov thì các bin ca hàm
V
tc mt trt S s tin v 0 khi
t
 

.
iu này đng ngha vi các sai lch e cng tin v 0 khi
t
 
. Hay nói cách