Sáng kiến một số bài toán về hàm ẩn

MỞ ĐẦU
THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến:
Một số bài toán về hàm ẩn
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Khoa học tự nhiên
3. Tác giả:
Họ và tên:

Nguyễn Văn Cơng

Ngày/tháng/năm sinh:

Nam

21/10/1982

Trình độ chun mơn: Thạc sĩ
Chức vụ, đơn vị cơng tác:
Tổ trưởng tổ tốn, trường THPT Kinh Mơn II
Điện thoại: 0397777283
4. Đồng tác giả ( Khơng có)
5. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: (Khơng có)
6. Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu:
Trường THPT Kinh Môn II; Xã Hiệp Sơn, Huyện Kinh Môn,
Tỉnh Hải Dương; Điện Thoại 03203826755
7. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
Học sinh có lực học từ khá trở lên
8. Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu:
Từ ngày 10/10/2018 đến ngày 05/03/2019
TÁC GIẢ

XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ ÁP DỤNG
SÁNG KIẾN

0


TĨM TẮT SÁNG KIẾN
1. Hồn cảnh nảy sinh sáng kiến
Trong q trình nghiên cứu các bài tốn trong đề thi THPT Quốc Gia tôi nhận thấy các dạng
bài tập về hàm ẩn xuất hiện tương đối nhiều. Đối với học sinh và ngay cả với giáo viên như
tôi lần đầu gặp bài tốn về hàm ẩn cũng có lúng túng về cách giải quyết trình bày lập luận và
đặc biệt tư duy phương pháp giải chưa rõ ràng. Do nhu cầu ham học tập của các em học sinh
để chuẩn bị tốt cho kỳ thi THPT Quốc Gia và cũng để nâng cao khả năng chuyên môn của
bản thân trong dạy học nên tôi thực hiện sáng kiến này.
2. Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến
- Nhà trường có các tiết tự chọn bám sát, có các buổi sinh hoạt chun đề, sinh hoạt tổ nhóm
chun mơn và có học tăng cường thêm buổi hai.
- Có thể áp dụng sáng kiến cho học sinh lớp 12 trong cả năm học, bắt đầu từ tháng 10 trở đi.
- Áp dụng sáng kiến cho đối tượng học sinh có lực học khá trở lên.
- Học sinh có kiến thức cơ bản về đồ thị hàm số, tính chất của các loại hàm số.
3. Nội dung sáng kiến
- Đưa ra được hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến xuất phát từ nhu cầu học tập của học sinh và
thực tế trong đề thi THPT Quốc Gia những năm gần đây.
- Đưa ra được hướng dẫn, phương pháp cơ bản giải quyết các dạng bài tập
- Giới thiệu và phân dạng được các bài tốn thơng dụng về hàm ẩn.
- Các ví dụ minh họa được các bài tập trong các tài liệu tham khảo và các đề thi THPT Quốc
Gia những năm gần đây qua đó tạo được niềm tin, hứng khởi, kích thích sự sáng tạo của học
sinh trong quá trình giải tốn.
- Giới thiệu được nhiều bài tập để giáo viên tham khảo và để các em học sinh rèn luyện củng
cố thành thạo kỹ thuật giải.

4. Khẳng định giá trị, kết quả đạt được của sáng kiến
- Sáng kiến đã đưa ra giải pháp rõ ràng, có giá trị cao về kết quả học tập của học sinh cả về
kiến thức, kỹ năng, thái độ và năng lực học toán.
- Sáng kiến hệ thống được nhiều dạng bài tập phổ biến thông dụng và là tài liệu tham khảo
hữu ích cho giáo viên và học sinh.
5. Đề xuất kiến nghị để thực hiện áp dụng hoặc mở rộng sáng kiến
- Cần tăng thời lượng dành cho các tiết học bám sát, tự chọn trên lớp để cho học sinh có cơ
hội va chạm và tiếp cận với nhiều chuyên đề. Việc tăng thời lượng cũng giúp cho giáo viên
triển khai tốt hơn kế hoạch giảng dạy của mình.
- Giáo viên cần mạnh dạn hơn trong việc đổi mới phương pháp giảng dạy, cần có nhiều tìm
tịi, sáng tạo trong việc nghiên cứu nội dung chương trình. Giáo viên cũng cần được bồi
dưỡng thường xuyên về các bài toán nâng cao để có thể dạy học tốt hơn.

1


- Trong các trường chuyên toán, trong các lớp định hướng mơn tốn của trường THPT nên
triển khai nội dung sáng kiến đầy đủ mở rộng đến các học sinh. Đặc biệt cần triển khai đầy
đủ chi tiết nội dung sáng kiến tới những học sinh trong có nhu cầu đạt điểm cao trong kỳ thi
THPT Quốc Gia và các giáo viên phụ trách dạy ôn luyện thi.

2


MƠ TẢ SÁNG KIẾN
1. Hồn cảnh nảy sinh sáng kiến
Trong q trình ơn thi cho học sinh tơi gặp bài tập sau trong đề thi minh họa của Bộ Giáo
Dục năm 2018 và câu vận dụng cao trong đề thi của Bộ năm 2017 như sau.
Bài 1: Cho hàm số

. Hàm số

hình bên. Hàm số

có đồ thị như

đồng biến trên khoảng

A.

B.

C.

D.
Lời giải tham khảo

Cách 1:
Tính chất:
thì

và
có đồ thị đối xứng với nhau qua
sẽ đồng biến trên
.

Ta thấy

với

nên

đồng biến trên
khoảng
Cách 2:

và

nghịch biến trên
và

. Khi đó

nên

và

nghịch biến trên

suy ra

đồng biến biến trên

. Chọn C

Dựa vào đồ thị của hàm số

ta có

.

Ta có

.

Để hàm số

đồng biến thì
. Chọn C

Khi tơi và các em học sinh gặp bài này lần đầu tiên, nhiều học sinh có ý tưởng tìm hàm số
dựa vào đồ thị hàm số có dạng
sau đó lấy nguyên hàm là ra hàm
số
và suy ra được hàm số
.
Bài 2: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho hàm số
như hình bên. Đặt

. Đồ thị của hàm số
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

3


A.

B.

C.

D.
Lời giải tham khảo

Ta có
.
Bảng biến thiên

Suy ra

và

.

Dựa vào hình vẽ, ta thấy diện tích của phần màu xanh lớn hơn phần màu tím, nghĩa là
, hay
, suy ra

4

.


Từ đó
. Vậy

.

Chọn D
Tư duy phương pháp giải quyết các bài toán về hàm ẩn phải linh động nhạy bén, địi hỏi học

sinh phải được rèn luyện nhiều có kinh nghiệm thì mới có thể giải được. Do đó mà ở sáng
kiến này tôi chỉ tập trung viết khai thác hai dạng toán liên quan đến hàm ẩn là ứng dụng đạo
hàm và tích phân hàm ẩn.
2. Thực trạng của vấn đề
Xem xét một vài bài toán mở đầu
2.1 Bài toán mở đầu
Bài 1. Hàm số

liên tục trên khoảng

, biết đồ thị của hàm số

như hình vẽ bên. Tìm số cực trị của hàm số
A.

B.

C.

D.

trên

trên

.
y

1

Lời giải
Đối với dạng này ta chỉ cần tìm xem đồ thị
khơng kể các điểm mà đồ thị
Bài 2. Cho hai hàm số

cắt trục

tiếp xúc với trục
,

. Hai hàm số

có đồ thị như hình vẽ bên
trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số
. Hàm số

đồng

biến trên khoảng nào dưới đây?
A.

B.

C.

D.
Lời giải

5

tại mấy điểm mà thôi,

. Ta chọn đáp án B.
và

x


Cách 1. Ta thấy

với mọi

Suy ra

và mọi

với mọi

.

hay

. Chọn A.

Cách 2. Ta có:
Chọn A
Bài 3. (Đề tham khảo lần 2 2017) Cho hàm số
. Tính
A.

thỏa mãn

và

.
B.

C.

D.

Lời giải
Đặt

. Khi đó

Suy ra
Vậy

.

Bài 4. (Đề Tham khảo 2018) Cho hàm số

có đạo hàm liên tục trên

và
A.

. Tính tích phân

B.

C.

D.

Lời giải
Cách 1: Đặt

thỏa mãn

,

.

Ta có
Ta có
, mà
. Chọn A

6


Cách 2: Nhắc lại bất đẳng thức Holder tích phân như sau:

Dấu bằng xảy ra khi
Ta có

. Dấu bằng xảy ra khi

Mặt khác

suy ra

Từ đó

.
.

. Chọn A

2.2 Nhận xét: Qua các bài tốn mở đầu có trong các đề thi của Bộ Giáo Dục ta thấy bài tập
về hàm ẩn thường hay xuất hiện trong phần ứng dụng của đạo hàm và phần tích phân. Các
dạng bài xuất hiện phong phú, tư duy phương pháp giải đa dạng. Do đó mà học sinh phải có
lực học khá trở lên mới có khả năng học và tiếp thu các kỹ thuật giải toán. Các tài liệu học
tập trên thị trường hiện nay cịn mang tính nhỏ lẻ chưa hệ thống, học sinh và giáo viên khó
tìm được nguồn tham khảo hơn nữa độ tin cậy chính xác chưa được cao.
3. Các giải pháp, biện pháp thực hiện
3.1 Các yêu cầu cơ bản khi giải bài toán về hàm ẩn
+ Học sinh cần nắm chắc được lý thuyết về hàm số như tính đơn điệu, cực trị của hàm
số, đồ thị hàm số….
+ Học sinh cần có kỹ năng tính đạo hàm, biến đổi tích phân, đọc được đồ thị hàm số.
3.2 Nội dung một số bài toán về hàm ẩn.
Sáng kiến gồm hai phần nội dung chính là Ứng dụng của đạo hàm và Tích phân hàm ẩn
+ Phần ứng dụng đạo hàm tôi giới thiệu các dạng bài tập ở thể loại trắc nghiệm và lời giải
mang tính hướng dẫn gợi ý để chọn được đáp án.
+ Phần tích phân hàm ẩn tôi giới thiệu bài tập ở dạng tự luận nên lời giải được trình bày cụ
thể hơn.
A. Ứng dụng đạo hàm
a) Kiến thức sử dụng




Đạo hàm của hàm số hợp;
Với đồ thị hàm số

là
ta có

7

.


+

khi đồ thị của nó có điểm chung với trục hồnh, từ đó suy ra nghiệm đơn (đồ

thị cắt trục hoành), nghiệm kép (đồ thị tiếp xúc trục hoành). Nghiệm đơn xác định cực trị,
nghiệm kép không là cực trị.
+

khi đồ thị của nó nằm trên trục hồnh, suy ra khoảng đồng biến tương ứng với

phần đồ thị đó.
+

khi đồ thị của nó nằm dưới trục hồnh, suy ra khoảng nghịch biến tương ứng

với phần đồ thị đó.



Các phép biến đổi đồ thị thường gặp.



Dấu hiệu về điểm cực trị, lập bảng biến thiên thông qua đồ thị hàm số và ngược
lại….

b) Các dạng bài tập áp dụng
Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số.
Bài 1. Cho hàm số

xác định trên

và có đồ thị hàm số

hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số

nghịch biến trên khoảng

B. Hàm số

đồng biến trên khoảng

C. Hàm số

đồng biến trên khoảng

D. Hàm số

nghịch biến trên khoảng
Hướng dẫn

Cách 1: sử dụng bảng biến thiên.
Từ đồ thị của hàm số

-

0

ta có bảng biến thiên như sau:

+

0
0

-

0

Chọn đáp án: D
Cách 2: Quan sát đồ thị hàm số

8

+

là đường cong trong


Nếu trong khoảng
đồng biến trên

đồ thị hàm số

nằm trên trục hồnh (có thể tiếp xúc) thì

đồ thị hàm số

nằm dưới trục hồnh (có thể tiếp xúc) thì

đồ thị hàm số

vừa có phần nằm dưới trục hồnh vừa có phần

.

Nếu trong khoảng
nghịch biến trên

.

Nếu trong khoảng

nằm trên trục hồnh thì loại phương án đó.
Trên khoảng

ta thấy đồ thị hàm số

nằm bên dưới trục hoành nên ta

chọn đáp án D.
Bài 2. Cho hàm số

. Biết

có đạo hàm là

và hàm số

có đồ

y

thị như hình vẽ bên. Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Hàm số

chỉ có hai điểm cực trị.

B. Hàm số

đồng biến trên khoảng

C. Hàm số

đồng biến trên khoảng

.

O

2 3

4

5

.

D. Hàm số
Trên khoảng

1

nghịch biến trên khoảng
.
Hướng dẫn
ta thấy đồ thị hàm số
nằm trên trục hoành nên chọn đáp án B.

Bài 3. Cho hàm số

xác định trên

và có đồ thị của hàm số

như hình vẽ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số

đồng biến trên khoảng
.

B. Hàm số

nghịch biến trên khoảng

C. Hàm số

đồng biến trên khoảng

D. Hàm số

nghịch biến trên khoảng

9

.

x


Hướng dẫn
Trên khoảng

ta thấy đồ thị hàm số

nằm trên trục hoành nên chọn

đáp án C.
Bài 4. Cho hàm số

xác định trên

và có đồ thị của hàm số

như hình vẽ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số

đồng biến trên khoảng

B. Hàm số

đồng biến trên khoảng

C. Hàm số

đồng biến trên khoảng

D. Hàm số

nghịch biến trên khoảng

và

Hướng dẫn
Trong khoảng

đồ thị hàm số

nằm trên trục hoành nên hàm số đồng biến

. Ta chọn đáp án B.
Bài 5. Cho hàm số
có đạo hàm
xác định, liên tục trên
hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên
B. Hàm số đồng biến trên
và
C. Hàm số nghịch biến trên

và

có đồ thị như
y

D. Hàm số đồng biến trên

O

3

-1

Hướng dẫn:
Trên khoảng
và

hoành nên chọn đáp án B.

đồ thị hàm số

1

nằm phía trên trục
-4

Bài 6. Cho hàm số
. Biết rằng hàm số
có đạo hàm
là
và hàm số
có đồ thị như hình vẽ bên. Khi đó nhận xét nào sau đây là sai?
A. Trên
thì hàm số
ln tăng.
B. Hàm
giảm trên đoạn
.
C. Hàm
đồng biến trên khoảng
.
D. Hàm

nghịch biến trên khoảng

10

x


Hướng dẫn
Trên khoảng

đồ thị hàm số

Bài 7. Cho hàm số
hàm số

nằm phía trên trục hồnh nên chọn đáp án B.

xác định và có đạo hàm

. Đồ thị của

như hình dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số

đồng biến trên khoảng

B. Hàm số

đồng biến trên khoảng

C. Hàm số

có ba điểm cực trị.

D. Hàm số

nghịch biến trên khoảng

Đồ thị hàm số

.
.
.

Hướng dẫn
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt ta chọn đáp án C

Bài 8. (Trích đề thi thử lần 1 lớp 12 trường chuyên Vĩnh Phúc năm 2018 – 2019) Cho hàm số
biết rằng hàm số
có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số
nghịch biến trên khoảng nào trong các
khoảng dưới đây
A.

.

B.

C.

.

D.

.

Hướng dẫn
Hàm số
có đạo hàm là
ta nhận thấy
là hàm số có
đồ thị là đường cong khi ta tịnh tiến đồ thị
theo chiều dương của trục hồnh, tung
một đoạn bằng 2 từ đó suy ra đồ thị
như hình vẽ bên dưới

11


Từ đồ thị hàm số
Chọn đáp án D
Bài 9. Cho hàm số

Hàm số
A.

ta thấy hàm số

nghịch biến trên khoảng

.

có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
B.

C.

D.

Hướng dẫn

Ta có:

Do vậy hàm số
biến trên các khoảng

.

đồng biến trên các khoảng
. Chọn B.

Bài 10. ( Trích đề minh họa của Bộ năm 2018-2019) Cho hàm số
xét dấu đạo hàm như sau

x
1
2
3
y
0
+
0

+
0
Hàm số

và nghịch

liên tục có bảng
4
- 0

đồng biến trên khoảng nào dưới đây

12


+


A.

.

B.

.

C.
.
Hướng dẫn

D.

.

Ta có

Nhận thấy khi

. Chọn đáp án C

Bài 11. ( Trích đề thi thử trường THPT Cẩm Bình- Hà Tĩnh năm 2019)
Cho hàm số

có hàm số

bên. Hỏi hàm số

có đồ thị như hình vẽ
đồng biến trên khoảng

nào sau đây?
A.

B.

C.

D.
Hướng dẫn

Ta có

. Để hàm số đồng biến thì

Ta có

. Đặt

hàm số

ta được

Bài 12. Cho hàm số

Ta có

, vẽ đồ thị
. Chọn đáp án C

có

. Có bao nhiêu giá trị

nguyên âm của m để hàm số
A. 3.

ta có

đồng biến trên khoảng
B. 4.

C. 5
Hướng dẫn
. Để hàm số đồng biến trên khoảng

khi
Đặt

. Chọn đáp án B.

13

.
D. 6
khi và chỉ


Bài 14. ( Trích đề thi HSG 12 – TP Đà Nẵng năm 2019) Cho các hàm số
và

Tập tất cả các giá trị của tham số

đồng biến trên
A.
B.

là
C.

D.

Hướng dẫn

Ta có

Hàm số

có đạo hàm

Để hàm số đồng biến trên khoảng

khi và chỉ khi

Hay
. Chọn đáp án D.
Dạng 2: Xác định cực trị của hàm số
Bài 1. Cho hàm số

. Biết

có đạo hàm

hàm số
có đồ thị như hình vẽ. Đặt
Kết luận nào sau đây đúng?
A. Hàm số
có hai điểm cực trị.

.

B. Hàm số

đồng biến trên khoảng

C. Hàm số

nghịch biến trên khoảng

D. Hàm số

có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
Hướng dẫn

.
.

Cách 1 :

2
-

0

+

0

4
-

và

0

14

+

để hàm số


Ta chọn đáp án C.
Cách 2: Đồ thị hàm số
phương trục hoành sang trái 1 đơn vị.
g'(x)

Ta thấy trên khoảng
hàm số

là phép tịnh tiến đồ thị hàm số

theo

f '(x)

đồ thị hàm số

nghịch biến trên khoảng

nằm bên dưới trục hoành nên
, ta chọn đáp án C.

Bài 2. Cho hàm số
xác định trên
và có đồ thị hàm số
trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số

đạt cực tiểu tại

B. Hàm số

có 4 cực trị.

C. Hàm số

đạt cực tiểu tại

và

là đường cong

.

.

D. Hàm số

đạt cực đại tại
.
Hướng dẫn

Giá trị của hàm số
đổi dấu từ âm sang dương khi qua
nên ta chọn đáp án C.
Bài 3. Cho hàm số
hàm số
A. 1.
C. 3.

có đồ thị

của nó trên khoảng

có bao nhiêu điểm cực trị?
B. 4.
D. 2.

Hướng dẫn

15

như hình vẽ. Khi đó trên


Đồ thị hàm số

cắt trục hoành tại 1 điểm đơn ( Tại x=0, x=4 là vị trí tiếp xúc) nên

chọn đáp án A.
Bài 4. Cho hàm số
Hàm số

A. .
B.

.

xác định trên

và có đồ thị của hàm số

như hình vẽ bên.
y

có mấy điểm cực trị?
C. . D. .

f  x 

O

Hướng dẫn
là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số

đồ thị hàm số
hoành nên đồ thị hàm số

x

theo phương trục

vẫn cắt trục hoành tại 3 điểm đơn.

Ta chọn đáp án C.
Bài 5. Cho hàm số

xác định trên

và có đồ thị của hàm số

như hình vẽ . Hàm số

có bao nhiêu

điểm cực trị?

A. 1.

B.2.

C. 3.

D.4.

Hướng dẫn
có đồ thị là phép tịnh tiến đồ thị của hàm số
theo phương

xuống dưới 3 đơn vị. Khi đó đồ thị hàm số

cắt trục hồnh tại 3 điểm, ta chọn đáp án C.
Bài 6. Cho hàm số

liên tục trên

. Hàm số

có đồ thị như hình vẽ. Hàm số

y
5

có bao nhiêu cực trị?

2
1

16

x1

x2 x3

x


A.

B.

C.

D.
Hướng dẫn
y
5

2
1
x1

x2 x3

x

Ta có

hàm số

Ta có
đồ thị của hàm số
Bài 7. Cho hàm số
Đặt

A. Hàm số
B. Đồ thị hàm số

. Suy ra đồ thị của hàm số

theo phương

xuống dưới

và dựa vào đồ thị của hàm số

là phép tịnh tiến đồ thị

đơn vị.

, ta suy ra

cắt trục hoành tại 4 điểm. Ta chọn phương án D.
có đạo hàm trên

. Hàm số

. Khẳng định nào sau đây là đúng?

đạt cực đại tại

.

có 3 điểm cực trị.

17

có đồ thị như hình vẽ bên.


C. Hàm số

đạt cực tiểu tại

.

D. Hàm số

đồng biến trên khoảng

.

Hướng dẫn
Ta có:

(*).

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm giữa đồ thị hàm số
thẳng

và đường

.

Dựa vào hình bên ta thấy giao tại 3 điểm
Bảng xét dấu

.

:

Từ bảng xét dấu

ta thấy hàm số

Đồng biến trên khoảng

và

Hàm số đạt cực đại tại

.
; nghịch biến trên khoảng

và cực tiểu tại

Bài 8. Dựa vào đồ thị hàm số

.

. Ta chọn phương án A.

dưới đây ta suy ra hàm số

mấy cực trị
A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Hướng dẫn
Tính đạo hàm của hàm số

.

Sự biến thiên của hàm số

phụ thuộc vào dấu của giá trị của hai hàm số

Ta có

là các nghiệm đơn và khơng trùng với nghiệm

18

. Hàm sơ có 5 cực trị

có


chọn phương án D.
Bài 9. Cho hàm số

có đạo hàm

có đồ thị

như hình vẽ . Hàm số
đạt cực đại tại điểm nào?
A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn
Ta có

xác định trên

và

nghiệm của phương trình
và
trên

do đó số
bằng số giao điểm của hai đồ thị

;

khi đồ thị

nằm

và ngược lại.

Từ đồ thị suy ra

nhưng

dương sang âm khi qua

chỉ đổi dấu từ

. Do đó hàm số đạt cực đại tại

.

Chọn đáp án A.

Bài 10. Cho hàm số

xác định, liên tục trên

như hình vẽ bên. Hàm số

và có

có bao nhiêu cực trị.

y = f '(x)

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5
Hướng dẫn

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số

có hai nghiệm là:

19

và đồ thị hàm số