Chương 3: Tích phân xác định | Toán cao cấp 2

Tích phân xác định
Tính chất của tích phân xác định
Định lý 1: Hàm liên tục trên [a,b] thì khả tích trên [a,b]
Định lý 2: Hàm có hữu hạn điểm gián đoạn trên [a,b]
thì khả tích trên [a,b]
Trong các tính chất dưới đây, đều có f(x), g(x) là các
hàm khả tích trên [a,b]
b

1/ dx b  a

b

b

a

a

2 / c. f ( x)dx c.  f ( x)dx

a

b

b

b

a

a

a

3 /  f ( x)  g ( x) dx   f ( x )dx  g ( x )dx


Tích phân xác định

b

a

4 /  f ( x)dx   f ( x)dx
a
b

b

b

a
b

a
c

b

a

b

a

c

5 /  f ( x) dx  g ( x)dx, f ( x)  g ( x)x  [ a, b]
6 /  f ( x)dx   f ( x )dx   f ( x )dx

f(x) khả tích trên [a,c],
[c,b], [a,b]

b

7 /  f ( x)dx   f ( x ) dx
a

a

0, f ( x) là hàm lẻ
a
 a
8 /  f ( x)dx 
a
2  f ( x)dx, f ( x ) là hàm chẵn
 0


Tích phân xác định
Cơng thức đạo hàm dưới dấu tích phân

 b( x )

  f (t )dt   f (b( x)).b( x )  f (a ( x )).a( x)
 a( x)



cos x

Ví dụ: Tính đạo hàm theo x của f ( x)   cos(t 2 )dt
sin x

f ( x ) cos(cos 2 x)( sin x)  cos(sin 2 x)cos x


Tích phân xác định
x

2
(arctan
t
)
dt


Ví dụ: Tính giới hạn lim 0
x  

Vì

x

x2 1

lim (arctan t ) 2 dt  tức là giới hạn trên có

x   0


dạng
, nên ta áp dụng quy tắc L’Hospital

x

2
(arctan
t
)
dt


0

x2 1

(arctan x) 2 x 2  1  2
 lim

x
x  

4


Tích phân xác định
Cơng thức Newton – Leibnitz:
Nếu hàm f(x) liên tục trên [a,b] và G(x) là một
nguyên hàm của f(x) thì ta có
b

 f ( x) dx G (b)  G ( a)

a

2ln 2 dx
Ví dụ: Tính tích phân I 2  
x
e
1
ln 2
x
2ln 2
2ln 2

 1
1  x
I2  
  

de
x x

x
x
ln 2 e (e  1)
ln 2  e  1 e 
e dx

3
x ln 4
ln(e  1)
 ln(e )
ln 3  ln 4  ln 2 ln
ln 2
ln 2
2
x

ln 4


Tích phân xác định

Phương pháp đổi biến
 f ( x) liên tục trên [a,b]

Nếu  (t ) khả vi, liên tục trên [t1,t2]
 [t , t ]  [a, b],  (t ) a, (t ) b
1
2
  1 2 
Thì

b

t2

a

t1

 f ( x)dx   f ( (t )) (t ) dt


Tích phân xác định
6

dx
Ví dụ: Tính I3  
1 1  3x  2
Đặt 3 x  2 t  dx  2t dt , x 1, t 1
3
x 6, t 4
4 2tdt 1

2 4
1 
I3  
  1 
 dt
3 1  t 1 
1 3 1 t

2
4
 t  ln t  1 
1
3
2
5
  3  ln 
3
2


Tích phân xác định
Phương pháp tích phân từng phần
Nếu 2 hàm u(x), v(x) khả vi, liên tục trên [a,b] thì
b

b
b
u ( x)v( x)dx u ( x)v( x) a  u( x)v( x)dx
a
a
1 arcsin xdx

Ví dụ: Tính I 4  
0

1 x

1

1

1

0

0

0

I 4 2 arcsin xd ( 1  x ) 2 arcsin x 1  x  2  1  x d (arcsin x)


 . 2
2

1

1 x

1
2

2
dx 
 4 1  x  2  4
0
2
0 1  x2

2


Tích phân suy rộng lọai 1
Định nghĩa tích phân suy rộng lọai 1:
Cho hàm f(x) khả tích trên [a,b] , b  a
Tích phân



b

 f ( x )dx  lim  f ( x)dx
b   a

a

Được gọi là tp suy rộng lọai 1 của hàm f(x) trên [a,
+∞)
Nếu giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tp hội
tụ, tp khơng hội tụ thì gọi là tp phân kỳ
Tương tự, ta có thêm 2 dạng tp suy rộng lọai 1:
b

b





a

a   a



a



 f ( x)dx  lim  f ( x)dx



 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx


Tích phân suy rộng lọai 1
 dx
I1  
Ví dụ: Xét tp sau
x
1

b dx

b
Nếu α=1: I1  lim   lim ln x 1  lim ln b 
b  1 x
b 

b 

Tp phân kỳ

1  b
b dx
x
b1 
1
Nếu α≠1: I1  lim   lim
 lim

b   1 x b   1  
b  1   1  
1

Nếu 1- α>0 : I1  Tp phân kỳ
1
Tp hội tụ
Nếu 1- α<0 : I1 
1 
Vậy tích phân I1 hội tụ nếu α>1 và phân kỳ nếu α≤1


Tích phân suy rộng lọai 1
Sử dụng CT Newton – Leibnitz để tính tp suy rộng
Nếu hàm f(x) có ngun hàm là G(x) trên [a,+∞) thì


b

b

 f ( x)dx  lim  f ( x)dx  lim G ( x) a

a

b  a

b 

 lim G (b)  G (a ) G ( x) 
a
b 


Tích phân suy rộng lọai 1
1
, x 1, y 0
Ví dụ: Tính dt miền D ghạn bởi y  2
x  5x  6
1

dx

S ( D)  
2
x
 5x  6


1
 ln x  3  ln x  2 


Ta có giới hạn dạng vơ
định ∞ - ∞
1

 x 3 
ln 2
S ( D)  ln

 x 2 

D


Tích phân suy rộng lọai 1
Khảo sát sự HT của tp suy rộng lọai 1 với hàm không âm
Tiêu chuẩn so sánh 1:
Cho 2 hàm f(x), g(x) không âm, khả tích trên [a,+∞)
thỏa f(x) ≥ g(x) ở lân cận của ∞. Ta có:




a

a





a

a

 f ( x)dx HT   g ( x)dx HT
 g ( x)dx PK   f ( x)dx PK

 dx
Ta thường so sánh với tp cơ bản  
a 0 x

  1: HT

 1: PK


Tích phân suy rộng loại 1
 ln(1  x)
Ví dụ: KS sự HT của I 2  
dx
x
1

ln(1  x) 1
Khi x > e-1 thì ln(1+x)>1, suy ra


x
x
 1
Mà  dx PK
Vậy I2 PK
1 x
 3  sin2x

I3  
dx
2
x
 x
1

Ví dụ: KS sự HT của
3  sin2x
x2  x



4

x2  x

Suy ra tp I3 HT



4

x2

 4
Vì 
dx HT
2
x
1


Tích phân suy rộng loại 1
Tiêu chuẩn so sánh 2:
Cho 2 hàm f(x), g(x) khơng âm, khả tích trên [a,+∞)
f ( x)
Nếu lim
K thì ta có các kết luận sau:
x  g ( x)
K=0:





 g ( x) dx HT   f ( x)dx HT

a


a



a

a

K=+:  f ( x)dx HT   g ( x)dx HT
0

Tích phân suy rộng loại 1


Ví dụ: KS sự HT của I 4   (1  cos 1 )dx
x
1
Khi x→∞ , hàm đã cho không âm. Ta đặt t=1/x
1
f 1  cos 1  cos t
x
1  cos t 1
Chọn hàm g theo giới hạn cơ bản: lim

2
2
t 0 t
f
f 1
1
2

lim  lim

g t 
tức
là
t 0 g x  g 2
x2
Đây là trường hợp 2 tp cùng HT hoặc cùng PK
 1
Do 
dx HT nên tp I4 HT
2
x
1


Tích phân suy rộng loại 1


Ví dụ: KS sự HT của I5  
3

Với x≥3,

1
dx
x( x  1)( x  2)

1
f ( x) 

0
x( x  1)( x  2

1
1
Khi x  +: f ( x ) 

3
2
x ( x  1)( x  2)
x  3x  2 x
1
f
1
Chọn g ( x )  3
Vì lim
x  g
2
x


 1
Do  g ( x)dx  
dx HT
3/2
3
3 x

Vậy tp I5 HT

Tích phân suy rộng loại 1
 ln x
Ví dụ: KS sự HT của I 6   2 dx
1 x
Đặt

3
x
u ln x, x 2 dx d ( ) dv
3


ln x
I 6 
x 1

thì

 1

d (ln x )  I  J
1 x
1
ln x ln1
I  lim

 lim x 0
1
x  x

x  1
 1
J
dx
2
1 x

 

Là tích phân HT

Vậy Tp I6 HT


Tích phân suy rộng loại 1
 cos x
Ví dụ: KS sự HT của I9  
dx
x
1
Trước tiên, ta tính tp từng phần
 d (sin x )

I9  

x

1





sin x

x 1

 sin x
1
  sin xd ( )  sin1  
dx
2
x
x
1
1

 1
 2 dx
1 x

là Tp HT Suy ra J là tp HTTĐ

 sin1  J
sin x
x2



1

x2

Mặt khác, sin1 là hằng số hữu hạn nên I9 HT


Tích phân suy rộng loại 2
b

b

a

c a c

Nếu lim f ( x )  Thì  f ( x ) dx  lim f ( x) dx
x a 

Nếu trong [a,b] có 1 điểm c mà tại đó hàm f(x) khơng
bị chặn thì b
c
b

 f ( x )dx  f ( x )dx  f ( x )dx

a

a

c

Tức là ta có tổng 2 tp suy rộng lọai 2. Nếu 2 tp thành
phần HT thì tổng HT
Ta cũng có cơng thức:
b

c

a

c b a

 f ( x)dx  lim  f ( x)dx = lim G (c)  G (a )
c b

Trong đó G(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên [a,b]