Ứng dụng đạo hàm

Tổ Toán – Tin Trường THPT Phan Thành Tài
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Vấn đề 1
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM XÉT TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH
BIẾN CỦA HÀM SỐ
1. Định lí : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (a; b)
Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến)
trên (a; b) là f’(x) ≥ 0 (hoặc f’(x) ≤ 0), ∀ x ∈ (a; b), dấu đẳng thức xảy ra
tại một số hữu hạn điểm x
0
∈ (a; b) hoặc không xảy ra trên (a; b).
2. Các dạng bài toán thường gặp:
1. Dạng 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x)
trên tập xác định của nó.
Phương pháp: B1. Tìm tập xác định D của f(x)
B2. Tìm y’. Tìm các điểm
0
x
mà tại đó y’ = 0 hoặc
không có đạo hàm.
Xét dấu y’. Lập bảng biến thiên của y trên D
B3. Dựa vào bảng biến thiên suy ra khoảng đồng
biến, nghịch biến của hàm số theo định lí ở phần tóm tắt.
2. Dạng 2. Tìm tham số m để hàm y = f(x; m) đồng biến, nghịch biến
hoặc không đổi trên các khoảng xác định của nó.
Phương pháp:
B1. Tìm TXĐ D của hàm số y = f(x; m)
B2. Tìm y’ = f’(x; m) theo x.
B3. * Nếu f(x) là hàm số đa thức bậc 3, 4 hoặc hàm số dạng
f(x) =
2

ax bx c
dx e
+ +
+
, ad ≠ 0 thì điều kiện để hàm số đồng biến (hoặc
nghịch biến) trên các khoảng xác định của nó là y’ ≥ 0, ∀x ∈D)
(hoặc y’ ≤ 0, ∀x ∈ D).
* Nếu f(x) =
ax b
cx d
+
+
thì điều kiện để hàm số đồng biến (hoặc nghịch
biến) trên các khoảng xác định của D là y’> 0, ∀x ∈D (hoặc y’ < 0, ∀x ∈
D)
* Điều kiện để 1 hàm số bất kỳ nào đó là hàm số không đổi trên
từng khoảng xác định của nó là: y’ = 0, ∀x ∈ D.
Năm học 2012 - 2013 1
Tổ Toán – Tin Trường THPT Phan Thành Tài
B4. Từ điều kiện ở (B
3
) ta chuyển về bài toán đại số (thường là bài toán
tam thức bậc 2) để giải tìm m.
BÀI TẬP
Bài 1. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
3 2 3 2
2 2 4 2
a / y x 3x 2 ; b / y x 3x 2
c / y x (4 x ) ; d / y x 2x 3
= − − + = − +

= − = − +
Phương pháp: B1. Tìm tập xác định D của f(x)
B2. Tìm y’. Tìm các điểm
0
x
mà tại đó y’ = 0 hoặc
không có đạo hàm.
Xét dấu y’. Lập bảng biến thiên của y trên D
B3. Dựa vào bảng biến thiên suy ra khoảng đồng
biến, nghịch biến của hàm số theo định lí ở phần tóm tắt.
Bài 2. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
2 2
2x 1 x 4
a / y ; b / y
x 2 x 2
x x 2 x 4
c / y ; d / y
2 x x
− +
= =
− − −
− + +
= =
−
Phương pháp làm như bài 1.
Bài 3. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
2
2
2
x 1

a / y 4 3x x ; b / y
x x 1
1
c / y ; d / y | x 3x 4 |
x 1
+
= − − =
− +
= = − −
+
Phương pháp làm như bài 1.
Bài 4. Tìm m để các hàm số sau đồng biến trên các khoảng xác định của
nó:
a/ y = 4x
3
+ (m + 3)x
2
+ mx (ĐS: m = 3)
b/
3
2
mx
y mx 4x 1
3
= − + −
(ĐS: 0 ≤ m ≤ 4)
c/
mx 1
y
x m

+
=
+
(ĐS: m < - 1 ∨ m > 1)
d/
2
x mx 1
y
x 1
+ −
=
−
(ĐS: -5 ≤ m ≤
1
3
)
Năm học 2012 - 2013 2
Tổ Toán – Tin Trường THPT Phan Thành Tài
Thực hiện theo các bước nêu ở dạng 2
Bài 5. Tìm m để hàm số
2 3 2
( 5 ) 6 6 1y m m x mx x= − + + + +
đồng biến trên R.
HD: y’
≥
0,
x R∀ ∈
Bài 6. Tìm m để các hàm số sau nghịch biến trên các khoảng xác định của
nó.
a/ y = mx

3
+ 3x
2
+ 3mx (ĐS: m ≤ -1)
b/ y =
mx 1
x m
+
+
(ĐS: -1 < m < 1)
c/
2 2
x 2mx 3m
y
x 2m
− +
=
− +
(ĐS: m = 0)
Thực hiện theo các bước nêu ở dạng 2
Vấn đề 2
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
1. Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D và có đạo hàm
trên (a; b) ⊂ D (có thể trừ điểm x
0
)
* Nếu
( ) ( )
( ) ( )
0

0





f' x > 0 trên a; x
f' x < 0 trên x ; b
thì x
0
là điểm cực đại của hàm số
* Nếu
( ) ( )
( ) ( )
0
0





f' x < 0 trên a; x
f' x > 0 trên x ; b
thì x
0
là điểm cực tiểu của hàm số
2. Định lí 2: Cho hàm số y = f(x) xác định trên D, có đạo hàm cấp 2 trên
(a; b) ⊂ D và f’(x
0
) = 0

Khi đó a/ Nếu f”(x
0
) < 0 thì x
0
là điểm cực đại của hàm số
b/ Nếu f”(x
0
) > 0 thì x
0
là điểm cực tiểu của hàm số
3. Các dạng bài toán thường gặp:
1. Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số y = f(x)
Phương pháp 1:
B1. Tìm TXĐ D.
B2. Tìm y’. Tìm các điểm
0
x
mà tại đó y’ = 0 hoặc không có đạo hàm
, tìm giá trị của hàm số tại các điểm
0
x
, lập bảng biến thiên của y trên D.
B3. Dựa vào bảng biến thiên và định lí 1 ⇒ các giá trị CĐ, CT.
Phương pháp 2:
Năm học 2012 - 2013 3
Tổ Toán – Tin Trường THPT Phan Thành Tài
Chỉ xét đối với các hàm số có đạo hàm các cấp liên tục trên miền xác
định của nó
B1. Tìm TXĐ D.
B2. Tìm y’, y”

B3. Giải phương trình y’ = 0 tìm các nghiệm x
1
, x
2
và tìm y”(x
1
),
y”(x
2
) …
* Nếu y”(x
i
) < 0 (hoặc y”(x
i
) > 0) thì hàm số đạt cực đại (hoặc đạt cực
tiểu) tại x
i
, i = 1, 2,
2. Dạng 2: Tìm m để hàm số y = f(x) đạt cực đại hay đạt cực tiểu tại
điểm x = x
0
cho trước nào đó.
Phương pháp 1: (Sử dụng đối với các hàm có đạo hàm cấp 2 phức tạp)
B1. Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x)
B2. Tìm y’
B3. Để hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại x = x
0
điều kiện cần là
y’(x
0

) = 0 hay y’(x) không tồn tại tại điểm x
0
, từ điều kiện này ⇒ m.
B4. Thử lại ứng với các giá trị vừa tìm của m, ứng với giá trị m nào bài
toán thỏa mãn thì nhận giá trị m đó.
Phương pháp 2: (Sử dụng đối với hàm số đạo hàm cấp 2 đơn giản)
B1. Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x)
B2. Tìm y’, y”
B3. Dựa vào các điều kiện sau, tìm được 1 hệ phương trình đối với m,
giải tìm m.
* y đạt cực đại tại x = x
0
( )
( )
0
0
0
0

=

⇔

<


y' x
y" x
* y đạt cực tiểu tại x = x
0

( )
( )
0
0
0
0

=

⇔

>


y' x
y" x
3. Dạng 3: Tìm m để hàm số y = f(x) luôn luôn có cực đại hay có cực
tiểu.
Phương pháp:
1. Đối với hàm bậc 3 :
y = f(x; m) = ax
3
+bx
2
+ cx+d, a ≠ 0
Hay hàm:
( )
+ +
= =
+

2
ax bx c
y f x; m
dx e
, ad ≠ 0
Năm học 2012 - 2013 4
Tổ Toán – Tin Trường THPT Phan Thành Tài
B1. Tìm y’
B2. Vì dấu của y’ cùng dấu với (1 biểu thức bậc 2) nên để hàm số có
cực đại và cực tiểu thì y’ đổi dấu đúng hai lần ⇒ (tam thức bậc 2) = 0 có 2
nghiệm phân biệt thuộc tập xác định ⇒ m.
2. Đối với hàm bậc 4: y = f(x; m) = ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e, a≠ 0
B1. Tìm y’ (y’ là hàm bậc 3)
B3. *Vì y’ là 1 biểu thức bậc 3 nên để hàm số có cực đại và cực tiểu thì
y’ phải đổi dấu 3 lần.
⇒ y’ = 0 phải có 3 nghiệm phân biệt ⇒ m
* Để hàm số chỉ có cực tiểu không có cực đại thì y’ đổi dấu đúng 1 lần
từ - sang +.
⇒ a > 0 ⇒ m
y’ = 0 có 1 nghiệm hoặc chỉ có 2 nghiệm
* Để hàm số chỉ có cực đại, không có cực tiểu thì y’ chỉ có một lần đổi
dấu từ + sang -
⇒ a < 0 ⇒ m
y’ = 0 có 1 nghiệm hoặc chỉ có 2 nghiệm.

4. Dạng 4: Tìm m để hàm số y = f(x) có cực đại hay có cực tiểu với x
CĐ
,
x
CT
hay y
CĐ
, y
CT
thỏa mãn một điều kiện hay một hệ thức cho trước.
Phương pháp: Sử dụng đối với hàm số bậc 3, hàm phân thức ;
B1. Tìm TXĐ D.
B2. Tìm y’, dấu y’ cùng dấu với một tam thức bậc 2.
B3. Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ biểu thức bậc 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa điều kiện.
a ≠ 0
⇔ ∆ > 0 (∆’ > 0) ⇒ tham số m (1)
nghiệm thỏa điều kiện
B4. * Khi đó nếu ∆ hay ∆’ = bình phương một biểu thức thì tìm trực
tiếp x
CĐ,
x
CT
.
* Nếu ∆ không như trên thì sử dụng định lí Viet tìm
{

1 2
1 2
x x
x .x
+
B5. Biến đổi hệ thức đã cho về hệ thức chỉ chứa tổng tích của x
1
, x
2
.
Năm học 2012 - 2013 5
(bậc 2)
(bậc 1)
(bậc 2)
(bậc 2)
Tổ Toán – Tin Trường THPT Phan Thành Tài
Rồi thay biểu thức tổng, tích ở bước 4 vào hệ thức ở bước 5 ta được 1
phương trình hay bất phương trình đối với m, giải tìm m. Kết hợp với điều
kiện m ở bước 3 suy ra các giá trị m cần tìm.
Chú ý: Cách tìm y
CĐ,
y
CT
của các hàm số thường gặp:
a/ Đối với hàm số dạng:
( )
( )
u x
y
v x

=
nếu có cực trị thì y
CĐ
=
( )
( )
( )
( )
=
CD CT
CT
CD CT
u' x u' x
; y
v' x v' x
Vì tại x
CĐ
, x
CT
có
2
0 0 0
u' v uv ' u' u
y' u'v uv'
v' v
v
−
= ⇒ = ⇒ − = ⇒ =
b/ Đối với hàm số bậc 3:
y = f(x) = ax

3

+ bx
2
+ cx + d, a ≠ 0
Nếu x
CĐ
, x
CT
đơn giản thì thay x
CĐ
, x
CT
vào y = f(x) để tìm y
CĐ
, y
CT
.
Nếu x
CĐ
, x
CT
phức tạp hoặc không tính cụ thể x
CĐ
, x
CT
để tìm y
CĐ
, y
CT

như sau:
* Phân tích hàm số về dạng y = (Ax + B).y’ + Cx + D
(Bằng cách chia y cho y’, có thương là Ax + B và phần dư là Cx+D)
* Nếu hàm số có cực trị thì y
CĐ
= Cx
CĐ
+ D; y
CT
= Cx
CT
+ D vì tại x
CĐ
,
x
CT
có y’ = 0.
BÀI TẬP
Bài 1. Tìm cực trị của các hàm số sau:
3 2 4 2
4 2
3
2 3 12 5 4 5
2 2
3
4 1
= − − + = − − +
− +
= − + =
−

= = −
x
a / y x x x ; b / y x x
x x x
c / y x ; d / y
x
e / y x.e ; f / y lnx x
Phương pháp 1:
B1. Tìm TXĐ D.
B2. Tìm y’. Tìm các điểm
0
x
mà tại đó y’ = 0 hoặc không có đạo hàm,
tìm giá trị của hàm số tại các điểm
0
x
, lập bảng biến thiên của y trên D.
B3. Dựa vào bảng biến thiên và định lí 1 ⇒ các giá trị CĐ, CT.
Phương pháp 2:
Chỉ xét đối với các hàm số có đạo hàm các cấp liên tục trên miền xác
định của nó
B1. Tìm TXĐ D.
Năm học 2012 - 2013 6
T Toỏn Tin Trng THPT Phan Thnh Ti
B2. Tỡm y, y
B3. Gii phng trỡnh y = 0 tỡm cỏc nghim x
1
, x
2
v tỡm y(x

1
),
y(x
2
)
* Nu y(x
i
) < 0 (hoc y(x
i
) > 0) thỡ hm s t cc i (hoc t cc
tiu) ti x
i
, i = 1, 2,
Bi 2. Tỡm m hm s sau:
a/ y =x
3
+ 2mx
2
+ mx + 1 t cc i ti x = -1 (S: m =1)
b/ y = -3x
4
+ mx
2
- 1 t cc i ti
3
3
=x
(S: m = 2)
c/ y = x
3

- 3mx
2
+ (m - 1)x + 2 t cc tiu ti x = 2 (S: m = 1)
d/ y = x
3
- mx
2
+
2
3


ữ

m
x + 5 t cc tiu ti x =1 (S: m=
7
3
)
e)
2
1+ +
=
+
x mx
y
x m
t cc i ti x = 2 (S: m = -3)
2
3

2

=

mx mx
f / y
x
t cc tiu ti x = 1 (S: khụng cú m)
g/
2
2
2
2 2
+ +
=
+
x x m
y
x x
t cc i ti x =
2
(S: m = 2)
Thc hin cỏc bc theo dng 2
Bi 3. Tỡm cỏc giỏ tr ca m, n sao cho hm s:
( )
1
= = + +
+
n
y f x x m

x
t cc i ti x = -2 v cú f(-2) = -2.
HD:
'( 2) 0
''( 2) 0
( 2) 2
y
y
y
=


<


=

Bi 4. Cho haỡm sọỳ
( )
2
1 1
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
Chổùng minh rũng m R õọử thở haỡm sọỳ luọn coù cổỷc õaỷi, cổỷc tióứu vaỡ
khoaớng caùch giổợa hai õióứm õoù bũng

20
.
HD:
+ Xỏc nh m hm s cú cc i, cc tiu: y = 0 cú 2 nghim phõn bit
khỏc -1.
Nm hc 2012 - 2013 7
Tổ Toán – Tin Trường THPT Phan Thành Tài
+ Chứng minh
2 2
( ) ( ) 20
B A B A
AB x x y y= − + − =
, với A, B là điểm cực
đại, cực tiểu.
Bài 5. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số sau đây:
a/ y = x
3
- 3mx
2
+ 3(2m - 1)x + 1 có cực đại, cực tiểu và tìm tọa độ các
điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số. Viết phương trình đường thẳng
qua hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số. (ĐS: m ≠1)
b/ y = (x + m)
3
+ (x + 2m)
3
- x
3
có cực đại, cực tiểu (ĐS: m ≠ 0)
c/

( )
2
2
1
+ + −
=
+
x m x m
y
x
có cực đại, cực tiểu, tìm tọa độ của điểm cực
đại, cực tiểu của đồ thị hàm số. Viết phương trình đường thẳng qua hai
điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số.
(ĐS: m < -
1
2
, y = 2x + m +2)
Vấn đề 3
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
A. Tóm tắt lý thuyết:
1. Số M gọi là giá trị lớn nhất của f(x) trên tập I.
( )
( )
0 0
f x M, x I
x I:f x M

≤ ∀ ∈
⇔


∃ ∈ =


(Kí hiệu : M = Max f(x))
I
2. Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên tập I.
( )
( )
0 0
f x m, x I
x I:f x m

≥ ∀ ∈
⇔

∃ ∈ =


(Kí hiệu : m = Min f(x))
B. Các dạng toán thường gặp:
Ứng dụng của đạo hàm để tìm GTLN và GTNN của hàm số:
y = f(x) trên I.
Trường hợp 1: Tập I đã cho là 1 khoảng (a; b) hoặc nửa khoảng (a; b];
[a; b) với a, b có thể là ± ∞
Phương pháp:
B
1
: Tìm y’
Năm học 2012 - 2013 8
Tổ Toán – Tin Trường THPT Phan Thành Tài

B
2
: Tìm các điểm mà tại đó y’ = 0 hoặc không có đạo hàm: x
1
, x
2
, ∈ I.
Tìm giá trị f(x
1
), f(x
2
), và tính
( ) ( )
x a x b
,
lim limf x f x
+ −
→ →
B
3
: Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập I. Dựa vào bảng biến thiên
suy ra
( ) ( )
II
,
Max
Minf x f x
Trường hợp 2: Tập I đã cho là đoạn [a; b].
Phương pháp:
B

1
: Tìm y’
B
2
: Tìm các điểm thuộc (a; b) mà tại đó y’ = 0 hoặc không có đạo hàm:
x
1
, x
2
∈ I (nếu có) và tìm các giá trị f(x
1
), f(x
2
), , f(a), f(b).
B
3
: So sánh các giá trị: f(x
1
), f(x
2
), , f(a), f(b) suy ra
[ ]
( )
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
1 2
x I
Max f x ,f x , ,f a ,f b
Max
f x

∈
=
[ ]
( )
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
1 2
x I
Min f x ,f x , ,f a ,f b
Minf x
∈
=
Trường hợp 3: Không cho biết tập I, tức là tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất trên tập xác định D của hàm số: (Tức là I ≡ D).
B
1
: Tìm tập xác định D của hàm số.
B
2
: Chuyển bài tập về trường hợp 1 hoặc 2.
BÀI TẬP
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
3 4
( ) 4 3f x x x= −
.
HD: Tìm tập xác định
Sử dụng trường hợp 1
Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
4 2
( ) 2 3 3f x x x= + −

.
HD: Tìm tập xác định
Sử dụng trường hợp 1
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a.
]
3 2
( ) 6 9 , 0;4f x x x x x

= − + ∈

b.
]
3 2
( ) 6 9 , 2;4f x x x x x

= − + ∈

c.
]
4 2
( ) 2 3, 0;2f x x x x

= − + ∈

d.
]
4 2
( ) 2 3, 2;3f x x x x


= − + ∈ −

HD: Sử dụng trường hợp 2
Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) = x
2
4 x
−
.
HD: Tìm tập xác định
Sử dụng trường hợp 2
Năm học 2012 - 2013 9
Tổ Toán – Tin Trường THPT Phan Thành Tài
Bài 5. Cho hàm số f(x) = x +
2
4 x
−
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất.
HD: Tìm tập xác định
Sử dụng trường hợp 2
Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a.
( ) sinx os2f x c x= +
HD: Đặt t = sinx
b.
( ) 2 osx os2f x c c x= +
HD: Đặt t = cosx
Vấn đề 4
ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Phương pháp tìm các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị hàm số

y = f(x)
(B
1
): Tìm tập xác định của hàm số đã cho.
(B
2
): Dựa vào các định nghĩa và định lí sau để tìm các đường tiệm cận
(B
3
): Kết luận
1. Tiệm cận đứng : (⊥ Ox)
Nếu ∃x
0
(hữu hạn) sao cho
( )
0
x x
lim f x
+
→
= ±∞
(hoặc
( )
0
x x
lim f x
−
→
= ±∞
) thì đường thẳng có phương trình x = x

0
là tiệm cận
đứng bên phải (hoặc bên trái) của đồ thị hàm số.
2. Tiệm cận ngang: (⊥ Oy)
Nếu
( )
( )
0
x
x
f x y
lim
→−∞
→+∞
=
(hữu hạn) thì đường thẳng có phương trình y = y
0
là
tiệm cận ngang bên trái (hay bên phải) của đồ thị hàm số.
3. Tiệm cận xiên:
Nếu tồn tại đường thẳng có phương trình y = ax + b với a ≠ 0 sao cho
( )
( ) ( )
x
x
f x ax b 0
lim
→−∞
→+∞
 

− + =
 
thì đường thẳng y = ax + b là tiệm cận xiên của
đồ thị hàm số y = f(x).
4. Nếu
( )
( )
x
x
f x
a
lim
x
→−∞
→+∞
=
(hữu hạn)
Năm học 2012 - 2013 10
Tổ Toán – Tin Trường THPT Phan Thành Tài
và
( )
( )
x
x
f x ax b
lim
→−∞
→+∞
 
− =

 
(hữu hạn) thì đường thẳng có phương trình
y = ax + b là tiệm cận xiên bên trái (hay bên phải) của đồ thị hàm số y =
f(x) nếu a ≠ 0 và nếu a = 0 là tiệm cận ngang bên trái (hay bên phải) của đồ
thị hàm số.
Chú ý:
1/ Nếu đường thẳng x = x
0
(hay y = y
0
hay y = ax + b, a ≠ 0) vừa là tiệm
cận đứng (hay ngang hay tiệm cận xiên) bên trái và bên phải của đồ thị
hàm số y = f(x) thì gọi chung là tiệm cận đứng (hay ngang hay tiệm cận
xiên) của đồ thị hàm số y = f(x).
2/ Đối với hàm số phân thức:
+ Nếu phương trình mẫu số = 0 có nghiệm thì đồ thị của nó có tiệm cận
đứng (số tiệm cận đứng = số nghiệm của phương trình mẫu số = 0)
+ Nếu (bậc tử) ≤ (bậc mẫu) thì đồ thị của nó có tiệm cận ngang.
+ Nếu (bậc tử) = (bậc mẫu) + 1 thì đồ thị của nó có tiệm cận xiên.
* Đối với hàm phân thức để tìm tiệm cận xiên ta thực hiện phép chia tử
cho mẫu sau đó dùng định lí 3.
3/ Đối với các hàm số vô tỉ hoặc hàm số khác để tìm tiệm cận xiên (nếu
có) ta sử dụng định lí 4.
BÀI TẬP
Bài 1. Tìm các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị của các hàm số sau:
2 2
x 2 2x
a / y ; b / y
x 3 x 1
x 2x 1 x x 1

c / y ; d / y
x 1 x 1
+
= =
− −
− + + +
= =
+ −
Bài 2. Tìm các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị của các hàm số sau:
3
2 2
3
2
x 2 x
a / y ; b / y
x 4x 5 x 1
2 x x 1
c / y x ; d / y
x 1
x
+
= =
+ − −
+ +
= + =
−
Năm học 2012 - 2013 11
Tổ Toán – Tin Trường THPT Phan Thành Tài
Bài 3. Tìm m để hàm số
1

y mx
x
= +
có cực trị và khoảng cách từ điểm
cực tiểu của đồ thị đến tiệm cận xiên của đồ thị bằng
1
2
Vấn đề 5
KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. KHẢO SÁT HÀM SỐ BẬC 3:
y = f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d, a ≠ 0
Phương pháp:
1) Tập xác định: D = R
2) Giới hạn:
( )
{
3 2
x
neu a 0
lim ax bx cx d
neu a 0
→±∞
±∞ >
+ + + =
∞ <m
3) Sự biến thiên:

* Tìm y’ = 3ax
2
+ 2bx + c
+ Nếu ∆ < 0 (∆ = 0): y’ = 0 vô nghiệm (hoặc có nghiệm kép).
Khi đó: * nếu a > 0 thì y’ > 0 (y’ ≥ 0), ∀x ∈ R ⇒ hàm số tăng trên R
* nếu a < 0 thì y’ < 0 (y’ ≤ 0), ∀x ∈ R ⇒ hàm số giảm trên R
+ Nếu ∆ > 0
Khi đó y’ = 0 ⇔ 3ax
2
+ 2bx + c = 0
⇔ x = x
1
⇒ y = y
1
= f(x
1
)
x = x
2
⇒ y = y
2
= f(x
2
)
(Trong hai nghiệm x
1
, x
2
: y’ trái dấu a; ngoài hai nghiệm x
1

, x
2
: y’ cùng
dấu a)
Hàm số có hai cực trị
Bảng biến thiên :
x
-∞ +∞
y' dấu của y’
y chiều biến thiên của y
4) Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số:
* Tìm y” = 6ax + 2b
Năm học 2012 - 2013 12
(giả sử x
1
< x
2
)
Tổ Toán – Tin Trường THPT Phan Thành Tài
y" = 0 ⇔ 6ax + 2b = 0 ⇔ x = -
b
3a
⇒ y =
CD CT
y y
2
+
Nhận xét : Vì
''y
đổi dấu khi qua điểm x = -

b
3a
nên đồ thị hàm số nhận
điểm
I(-
b
3a
;
CD CT
y y
2
+
) làm điểm uốn.
5) Điểm đặc biệt: x = 0 ⇒ y = d
* Nếu hàm số luôn tăng hoặc luôn giảm trên R tìm hai điểm đối xứng
qua điểm uốn, thường tìm thêm điểm đối xứng của điểm (0; d) qua điểm
uốn.
* Nếu hàm số có cực đại, cực tiểu thì tìm thêm hai điểm (x
3
; y
3
), (x
4
; y
4
).
với x
3
< x
1

< x
u
< x
2
< x
4
và x
3
, x
1
, x
u
, x
2
, x
4
tạo thành cấp số cộng).
Nếu a > 0 thì y
2
= y
CT
, y
1
= y
CĐ
Nếu a < 0 thì y
2
= y
CĐ
, y

1
= y
CT
6) Đồ thị:
* Vẽ hệ trục (có thể chọn đơn vị trên Ox, Oy không cần bằng nhau)
* Dựng điểm CĐ, CT (nếu có), điểm uốn.
* Dựng các điểm đặc biệt.
* Dựa vào bảng biến thiên vẽ đồ thị.
Chú ý: Đồ thị hàm số đa thức bậc 3 nhận điểm uốn làm tâm đối
xứng nên cần vẽ hình sao cho điểm uốn là tâm của hình vẽ và nếu y' =
0 có nghiệm kép (∆ = 0) thì tiếp tuyến tại điểm uốn // Ox.
*
* *
II . KHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNG:
y = ax
4
+ bx
2
+ c với a ≠ 0
Phương pháp:
1) Tập xác định: D = R. Hàm số đã cho là hàm số chẵn.
2) Giới hạn:
{
x
neua 0
y
lim
neua 0
→±∞
+∞ >

=
−∞ <
Năm học 2012 - 2013 13
Tổ Toán – Tin Trường THPT Phan Thành Tài
3) Sự biến thiên: y' = 4ax
3
+ 2bx
= 4ax
2
b
x
2a
 
+
 
 
A. Trường hợp: * Nếu a.b ≥ 0
Thì
2
b
x 0
2a
+ ≥
, ∀x ∈ R ⇒ y' cùng dấu 4ax ( y' = 0 ⇔ x = 0, (y = c))
Bảng biến thiên
Nếu a > 0 Nếu a < 0
x
-∞
0
+∞

x
-∞
0
+∞
y' - 0 + y' + 0 -
y
+∞
CT
+∞
y
-∞
CĐ
-∞
4) Tìm điểm uốn của đồ thị:
y" = 12ax
2
+ 2b luôn cùng dấu a.
* Đồ thị hàm số không có điểm uốn.
5) Điểm đặc biệt:
Cho x = ± 1 ⇒ y = a + b + c
6) Đồ thị: (Dựa vào bảng biến thiên vẽ đồ thị)
B. Trường hợp: *Nếu a, b trái dấu: (a.b < 0)
y' = 0 ⇔
2
b
4ax x 0
2a
 
+ =
 

 
⇔ x = 0 ⇒ y = c
hoặc
1,2 1,2
b
x y ?
2a
= ± − ⇒ =
Bảng biến thiên:
x
-∞
x
1
0 x
2
+∞
y' (trái dấu a) 0
(cùng dấu
a)
0
(trái dấu
a)
0
(cùng dấu
a)
y chiều biến thiên của y
4) Tìm điểm uốn của đồ thị:
Năm học 2012 - 2013 14
Tổ Toán – Tin Trường THPT Phan Thành Tài
* y" = 12ax

2
+ 2b
y" = 0 ⇔ 12ax
2
+ 2b = 0 ⇒
b
x
6a
= ± −
⇒ y = ?
Lập bảng xét dấu của y". Tìm điểm uốn của đồ thị.
* Đồ thị hàm số có hai điểm uốn.
5) Điểm đặc biệt:
x 0
y c
b
x
a
=


= ⇒

= ± −


6) Đồ thị: (Dựa vào bảng biến thiên để vẽ đồ thị)
(Có thể chọn đơn vị trên Ox và Oy không cần bằng nhau)
Chú ý: Hàm số dạng này là hàm số chẵn nên đồ thị của nó nhận Oy
làm trục đối xứng nên vẽ đồ thị sao cho thỏa mãn tính chất này.

*
* *
III. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ DẠNG:
ax b
y
cx d
+
=
+
, c ≠ 0, ad - cb ≠ 0
Phương pháp:
1) Tập xác định: D = R \
d
c
 
−
 
 
2) Giới hạn, tiệm cận:
+ Ta có
x ( d/c)
limy
±
→ −
= ±∞
⇒ TCĐ : x =
d
c
−
và

x
a a
y TCN :y
lim
c c
→±∞
= ⇒ =
3) Sự biến thiên:
( ) ( )
2 2
a b
c d
ad cb
y'
cx d cx d
−
= =
+ +
+ Nếu ad - cb < 0 ⇒ y' < 0, ∀x ∈ D
⇒ Hàm số giảm trên từng khoảng của D.
+ Nếu ad - cb > 0 ⇒ y' > 0, ∀x ∈ D
⇒ Hàm số tăng trên từng khoảng của D
4) Bảng biến thiên:
Năm học 2012 - 2013 15
Tổ Toán – Tin Trường THPT Phan Thành Tài
Nếu y' < 0
x
-∞
-d/c
+∞

y' - -
y
a
c
-∞
+∞
a
c
Nếu y' > 0
x
-∞
-d/c
+∞
y' + +
y
a
c
+∞
-∞
a
c
5) Điểm đặc biệt:
* x = 0 ⇒
b
y
d
=
(nếu d ≠ 0)
* y = 0 ⇒ x =
b

a
−
(nếu a ≠ 0)
Tìm thêm tọa độ 2 điểm có hoành độ đối xứng qua tiệm cận đứng.
6) Đồ thị: Vẽ hệ trục - Vẽ đường tiệm cận - Dựng các điểm đặc biệt (sao
cho mỗi nhánh của đồ thị phải qua hai điểm). Vẽ đồ thị (vẽ hình sao cho
giao điểm 2 đường tiệm cận là tâm của hình vẽ). Phải chọn đơn vị trên Ox,
Oy bằng nhau.
BÀI TẬP
Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:
( )
2 3 2
3 2 3
3
3 2
a / y (1 x)(x 2) ; b / y x 4x 4x
1 1
c / y x x 2x ; d / y x x 2
3 3
e / y x 3x 3x ; f / y x 1
= − + = − +
= + + + = − − +
= − + − = −
Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:
Năm học 2012 - 2013 16
Tổ Toán – Tin Trường THPT Phan Thành Tài
a/ y = x
3
- 3x + 2 ; b/ y = 2x
3

- 3x
2
+ 1
c/
3 2
1 5
y x x 3x
3 3
= − + + +
; d/
3
2
x
y 2x 3x 1
3
= − + +
e/ y = x
3

+ 4x
2
+ 4x ; f/ y = -x
3
+ 2x
2
- 8x - 1
3 2
1
g / y x 2x 3x
3

= − +
; h/ y = 2x
3
- 9x
2
+ 12x - 4
Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:
4 2 4 2
4 2 4 2
1 1
a / y x 3x 2 ; b / y x x
4 4
1 1
c / y x x ; d / y x 2x 1
2 2
= + + = − − +
= + + = − − +
Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:
a/ y = x
4
- 4x
2
+ 1 ; b/ y = -x
4
+ 2x
2
c/
4 2
1 3
y x 3x

2 2
= − +
; d/ y = -x
4
+ 10x
2
- 9
Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:
x 3 x 4
a / y ; b / y
x 1 x 2
3x 2 x 2
c / y ; d / y
x 2 2x 1
+ −
= =
+ −
+ +
= =
+ +
2x 4 x 1
e / y ; f / y
x 3 x 2
x 2 3x 1
g / y ; h / y
2x 1 2x 2
− − +
= =
− +
+ +

= =
− + +
*
* *
Vấn đề 6
TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M
Định lý 1: Cho hàm số
( )y f x=
(C)
Năm học 2012 - 2013 17
Tổ Toán – Tin Trường THPT Phan Thành Tài
Phương trình tiếp tuyến tại điểm
0 0
( ; ) ( )M x y C∈
có dạng
0 0 0
'( ).( )y y x x x y= − +
Định lý 2: Cho hàm số
( )y f x=
(C) và đường thẳng d có phương trình
xy k m= +
Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
( ) x
'( )
f x k m
f x k
= +



=

Khi đó nghiệm x của hệ phương trình chính là hoành độ tiếp điểm
Bài toán 1 : Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị hàm số
Cho hàm số
( )y f x=
(C)
Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết tọa độ tiếp
điểm
0; 0
( )x y
Phương pháp:
Bước 1: Tính
0
'( )y x
Bước 2: Thế vào phương trình
0 0 0
'( ).( )y y x x x y= − +
Bài tập 1: Cho hàm số
2x - 1
1
y
x
=
−
(C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số.
b.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(2;3)
HD:
2

1
'
( 1)
y
x
−
=
−
,
'(2)y =

Dạng 2: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hoành độ
tiếp điểm
0
x
Phương pháp:
Bước 1:Tính tung độ tiếp điểm
0
y
bằng cách thay
0
x
vào phương
trình của hàm số
Bước 2: Tính
0
'( )y x
Bước 3: Thế vào phương trình
0 0 0
'( ).( )y y x x x y= − +

Bài tập 2: Cho hàm số
3
y x x= −
(C)
Năm học 2012 - 2013 18
Tổ Toán – Tin Trường THPT Phan Thành Tài
Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của nó với trục
hoành
HD: Hoành độ giao điểm của (C) với Ox là nghiệm của phương trình
3
0
0
1
x
x x
x
=

− = ⇔

= ±

+ Tại x = 0…
+ Tại x = 1…
+ Tại x = -1…
Bài tập 3:Cho hàm số
4 2
1 9
2x ( )
4 4

y x C= − + +
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại tiếp điểm có hoành độ
x = 1.
HD : + x = 1 thì y = 4
+
(1) 3y
′
=
+ Phương trình tiếp tuyến:
3( 1) 4y x= − +

Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết tung độ
tiếp điểm
0
y
Phương pháp:
Bước 1:Tính hoành độ tiếp điểm
0
x
bằng cách giải phương trình
0 0 0
( )y f x x= ⇒
Bước 2: Tính
0
'( )y x
Bước 3: Thế vào phương trình
0 0 0
'( ).( )y y x x x y= − +
Bài tập 4: Cho hàm số

4
2x 3y x= − + +
(C)
a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị(C) tại điểm có tung độ bằng 5.
HD:+ Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình:
4
2
2x 3 5
2
x
x
x
=

− + + = − ⇔

= −

+ Tính
'( 2)y −
,
'(2)y
+ Viết phương trình tiếp tuyến
Năm học 2012 - 2013 19
Tổ Toán – Tin Trường THPT Phan Thành Tài
Bài toán 2 : Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số
góc
Cho hàm số
( )y f x=

(C)
Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc k
Phương pháp:
Cách 1:
Bước 1:Tìm hoành độ tiếp điểm
0
x
bằng cách giải phương trình
0 0
'( )y x k x= ⇒
Bước 2: Tính
0
y

Bước 3: Thế vào phương trình
0 0 0
'( ).( )y y x x x y= − +
Cách 2:
Bước 1: Đường thẳng (d) với hệ số góc k có phương trình dạng
xy k m= +
Bước 2: Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị (C) khi và chỉ khi
hệ sau có nghiệm
( ) x
'( )
f x k m
m
f x k
= +

⇒


=

Bước 3: Thế vào phương trình
xy k m= +
Bài tập 5 : Cho hàm số
3
3y x x= −
(C)
Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc k = 1
Bài tập 6 : Cho hàm số
4 2
3y x x= − +

Lập phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thị hàm số biết rằng:
a.Tiếp tuyến song song với đường thẳng
1
( ) : 2x 6 0y∆ − − =
b.Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
2
( ): x 2 3 0y∆ − − =
HD: Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau
Hai đường thẳng vuông góc có tích hệ số góc bằng -1
Đường thẳng
1
( ) : 2x 6 0y∆ − − =
có hệ số góc bằng 2
Đường thẳng
2
( ): x 2 3 0y∆ − − =

có hệ số góc bằng 1
Năm học 2012 - 2013 20
Tổ Toán – Tin Trường THPT Phan Thành Tài
a. Tiếp tuyến (d) song song
1
( ) : 2x 6 0y∆ − − =
suy ra hệ số góc của tiếp
tuyến k = 2
b. Tiếp tuyến (d) vuông góc
2
( ): x 2 3 0y∆ − − =
suy ra hệ số góc của tiếp
tuyến k = -2
Bài toán 3 : Lập phương trình tiếp tuyến đi qua điểm cho trước
Cho hàm số
( )y f x=
(C)
Để lập phương trình tiếp tuyến đi qua điểm
( ; )
A A
A x y
ta lựa chọn một trong
hai cách sau:
Cách 1:
Bước 1: Đường thẳng (d) qua
( ; )
A A
A x y
có phương trình:
( )

A A
y k x x y= − +
Bước 2: (d) tiếp xúcvới (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
( ) ( ) ( ) '( ).( ) (1)
'( ) '( )
A A A A
f x k x x y f x f x x x y
k
f x k f x k
= − + = − +
 
⇔ ⇒
 
= =
 
Bước 3: Kết luận về tiếp tuyến (d)
Chú ý: Số nghiệm phân biệt x của phương trình (1) bằng số tiếp tuyến kẻ
được từ A tới đồ thị (C)
Cách 2:
Bước 1: Giả sử tiếp điểm là
0 0
( ; )M x y
khi đó phương trình tiếp tuyến có
dạng:
0 0 0
'( )( )y y x x x y= − +
Bước 2: Điểm
( ; ) ( )
A A
A x y d∈

, ta được phương trình (2):
0 0 0 0
'( )( )
A A
y y x x x y x= − + ⇒
Bước 3: Kết luận về tiếp tuyến (d)
Chú ý: Số nghiệm phân biệt x của phương trình (2) bằng số tiếp tuyến kẻ
được từ A tới đồ thị (C)
Bài 7: Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
(H)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( H) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) qua A (0;1)
HD: Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến
Phương trình tiếp tuyến có dạng
x 1y k= +
(d)
Năm học 2012 - 2013 21
Tổ Toán – Tin Trường THPT Phan Thành Tài
(d) là tiếp tuyến (H)
⇔
hệ có nghiệm
2

1
x 1
1
2
( 1)
x
k
x
k
x
+

= +

−


−

=
−


x k⇒ ⇒
Bài 8: Cho hàm số
2x 1
1
y
x
+

=
+
(C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số.
b. Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó đi qua
A(-1;3)
HD:Đường thẳng d đi qua A(-1;3) với hệ số góc k có phương trình dạng
( 1) 3y k x= + +
d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
2
2x 1
( 1) 3
1
1
( 1)
k x
x
x k
k
x
+

= + +

+

⇒ ⇒


=

+


Bài 9: Cho hàm số
2
2
x
y
x
+
=
−
(C)
Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của nó với trục
tung, trục hoành
HD: Hoành độ giao điểm của (C) với Ox là nghiệm của phương trình
2
0 2
2
x
x
x
+
= ⇔ = −
−
Suy ra viết phương trình tiếp tuyến tại điểm
( 2;0) ( )M C− ∈
* Tọa độ giao điểm của (C) với Oy là nghiệm của hệ phương trình:
2
0

2
1
0
x
x
y
x
y
x
+

=
=


⇔
−
 
= −


=

Suy ra viết phương trình tiếp tuyến tại điểm
(0; 1) ( )N C− ∈
Bài 10: Cho hàm số
3 2
3x 3y x= − +
(C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số

b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm uốn.
Năm học 2012 - 2013 22
Tổ Toán – Tin Trường THPT Phan Thành Tài
c. Một đường thẳng đi qua gốc tọa độ O (0; 0)và điểm A (2; 2). Tìm tọa độ
các giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng OA.
HD : b. + Điểm uốn I (1;1)
+
(1) 3y
′
= −
+ Phương trình tiếp tuyến
c. + Phương trình đường thẳng OA y = kx, OA qua A(2; 2) nên
phương trình OA là y = x
Phương trình hoành độ giao điểm của OA và (C):
3 2 3 2
3x 3 3x 3 0x x x x− + = ⇔ − − + =
Bài 11: Cho hàm số
3
( 1)y x= +
(C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số
b. Gọi A là giao điểm của đồ thị (C) và trục tung. Viết phương trình tiếp
tuyến của (C) tại A
HD: A (0; 1),
( ) 3
A
y x
′
=
Bài 12: Cho hàm số

3 2
1
3
y x x= −
(C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số.
b. Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua A (3; 0)
HD: Kiểm tra thấy A thuộc (C). Áp dụng Bài toán 1 suy ra kết quả
Bài 13 : Cho hàm số
3 2 3
3 4 ( )
m
y x mx m C= − +
, m là tham số
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C1) của hàm số khi m =1
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C1) tại điểm có hoành độ x = 1
HD: Có x = 1. Thay vào (C1) Tìm y. Áp dụng Bài toán 1 ta được kết quả
Bài 14: Cho hàm số
4 2
2xy x= −
(C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của nó với trục
hoành
HD: Giải pt y = 0 suy ra x. Áp dụng Bài toán 1 để suy ra kết quả
Bài 15: Cho hàm số
2x - 1
1
y
x

=
−
(C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số.
b. Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A (2;3)
HD: Sử dụng Bài toán 1
Bài 16: Cho hàm số
3 2
3 3 3 4 ( )
m
y x x mx m C= − + + + −
, m là tham số
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C1) của hàm số khi m = 0
Năm học 2012 - 2013 23
Tổ Toán – Tin Trường THPT Phan Thành Tài
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C1) biết tiếp tuyến đó đi qua A
(-1; -4)
HD: Kiểm tra thấy A không thuộc (C). Chọn một trong 2 cách của bài toán
3 để giải
Bài 17:Cho hàm số
3 2
3x 1y x= + +
(C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số
b. Từ gốc tọa độ có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị (C)
HD: Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O(0;0) với hệ số góc k có phương
trình dạng
y kx=
d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
3

2
3x 1 x
3x 6x
x k
x k
k

+ + =

⇒ ⇒

+ =


(Số nghiệm phân biệt x của hệ phương trình bằng số tiếp tuyến kẻ được từ
gốc tọa độ O tới đồ thị (C))
Vấn đề 7
BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
BẰNG ĐỒ THỊ
Cho hàm số
( )y f x=
có đồ thị (
1
C
) và
( )y g x=
có đồ thị (
2
C
). Số

nghiệm của phương trình
( ) ( )f x g x=
bằng số giao điểm của (
1
C
) và (
2
C
).
Bài 1: Cho hàm số
3
3x 1y x= − +
(C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình
3
3x 1 0x k− + − + =
HD: Phương trình
3 3
3x 1 0 3x 1x k x k− + − + = ⇔ − + =
Số nghiệm của phương trình
3
3x 1 0x k− + − + =
bằng số giao điểm của đồ
thị hàm số (C) và đường
thẳng y = k
Bài 2: Cho hàm số
3
( 1) 1y x k x= + + +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi k = -3

b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
3
3x 3x m− − =
HD: Phương trình
3 3
3x 3 3x 2 1x m x m− − = ⇔ − − = +

Năm học 2012 - 2013 24
Tổ Toán – Tin Trường THPT Phan Thành Tài
Số nghiệm của phương trình
3
3x 3x m− − =
bằng số giao điểm của đồ thị
hàm số (C) và đường
thẳng y = m +1.
Bài 3: Cho hàm số
4
2
y
x
=
−
(C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Dùng đồ thị (C) biện luận số giao điểm của 2 đồ thị hàm số
4
2
y
x
=

−
và
y = k+1
HD: Dựa vào đồ thị (C) ta có kết quả
Bài 4 : Cho hàm số
3 2
3x 4y x= + −
(C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Xác định m để phương trình
3 2
3x 2 5 0x m− − + + =
có 3 nghiệm phân
biệt
HD:
3 2
3x 2 5 0x m− − + + =
⇔
3 2
3 4 2 1x x m+ − = +
. Pt có 3 nghiệm phân
biệt khi (C) và đường thẳng d: y = 2m + 1 cắt nhau tại 3 điểm
Bài 5: Cho hàm số
3
2y x mx m= − + +
(Cm), m là tham số
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số khi m = 3
b. Dùng đồ thị (C) biện luận theo k số nghiệm phương trình:
3
3x 1 0x k− − + =

HD:
3
3x 1 0x k− − + =
⇔
3
3 5x x− +
= k + 4. Số nghiệm của pt là số giao
điểm của (C) và đường thẳng d: y = k + 4
Bài 6: Cho hàm số
4 2
2x 3y x= − + +
(C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Dựa vào đồ thị (C) xác định m để phương trình
4 2
2x 0x m− + =
có 4
nghiệm phân biệt
HD:
4 2
2x 0x m− + =
⇔
4 2
2x x− +
+ 3 = m + 3. Pt có 4 nghiệm phân biệt
khi và chỉ khi (C) và đường thẳng d: y = m + 4 cắt nhau tại 4 điểm phân.
PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
MŨ VÀ LÔGARIT.
I. TÓM TẮT CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
Năm học 2012 - 2013 25