ung dung dao ham 12

N©ng cao toan 12
I. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
1) Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số y=f(x)=x
2
- 2x+3.
Kq:
R
Min
f(x) = f(1) = 2
2) Tìm giá trò lớùn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x
2
- 2x+3 trên [0;3].
Kq:
]3;0[
Min
f(x)=f(1)=2 và
]3;0[
Max
f(x)=f(3)=6.
3) Tìm giá trò lớùn nhất của hàm số y = f(x) =
1x
4x4x
2
−
+−
với x<1.
Kết quả :
)1;(
Max
−∞
f(x) = f(0) = - 4

4) Muốn xây hồ nước có thể tích V = 36 m
3
, có dạng hình hộp chữ nhật
(không nắp) mà các kích thước của đáy tỉ lệ 1:2. Hỏi: Các kích thước của hồ
như thế nào để khi xây ít tốn vật liệu nhất?
Kết quả : Các kích thước cần tìm của hồ nước là: a=3 m; b=6 m và c=2 m
5) Tìm giá trò lớn nhất của hàm số y =
1xx
x
24
2
++
.
Kết quả :
R
Max
y = f(±1) =
3
1
6) Đònh m để hàm số y = f(x) = x
3
- 3(m+1)x
2
+3(m+1)x+1 nghòch biến trên
khoảng(-1;0). Kết quả : m ≤
3
4
−

7) Tìm trên (C): y =

2x
3x
2
−
−
điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đến
hai trục tọa độ là nhỏ nhất. Kết quả :M(0;
2
3
)
8) Tìm giá trò nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số
a) y = 3 sinx – 4 cosx.
b) y =
3sin cos
sin cos 3
x x
x x
+
− +

HD: dïng ®k cã nghiƯm cđa pt
a.sinx+b.cosx = c lµ
2 2 2
a b c+ ≥
®Ĩ t×m tËp gi¸ trÞ cđa hµm sè.
c) y =
2
2 1
4
x

x x
−
− +

HD: dïng ®k cã nghiƯm cđa pt bËc hai ®Ĩ t×m tËp gi¸ trÞ cđa hµm sè.
9) Tìm GTLN: y=−x
2
+2x+3. Kết quả:
R
Max
y=f(1)= 4
10 ) Tìm GTNN y = x – 5 +
x
1
với x > 0. Kết quả:
);0(
Min
±∞
y=f(1)= −3
11) Tìm GTLN, GTNN y = x – 5 +
2
x4
−
.
Kết quả:
522)2(fyMax
]2;2[
−==
−
;

7)2(fyMin
]2;2[
−=−=
−
12 ) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=2x
3
+3x
2
−1 trên đoạn






−
1;
2
1
Kết quả:
4)1(fyMax
]1;
2
1
[
==
−
;
1)0(fyMin
]1;

2
1
[
−==
−
13) Tìm GTLN, GTNN của:
a) y = x
4
-2x
2
+3. Kết quả:
R
Min
y=f(±1)=2; Không có
R
Max
y
b) y = x
4
+4x
2
+5. Kết quả:
R
Min
y=f(0)=5; Không có
R
Max
y
c)
2xcos

1xsin22
y
+
−
=
. Kết quả:
R
Min
y=
3
7
−
;
R
Max
y=1
d)
1xx
3x3x
y
2
2
++
++
=
. Kết quả:
R
Min
y=
3

1
;
R
Max
y=3
14) Cho hàm số
2xx
1x3
y
2
++
+
=
. Chứng minh rằng :
1y
7
9
≤≤−

15) Cho hàm số
( )
π∈α
+α−
α+−α
=
;0
1cosx2x
cosx2cosx
y
2

2
. Chứng minh rằng : −1≤ y ≤ 1
Hướng dẫn:y’=0 ⇔ 2sin
2
α . x
2
−2sin
2
α =0 ⇔ x=−1 V x=1. Tiệm cận
ngang: y=1
Dựa vào bảng biến thiên kết luận −1≤ y ≤ 1.
16) Tìm giá trò LN và giá trò NN của hàm số y=2sinx−
xsin
3
4
3
trên đoạn [0;π]
(Đề thi TNTH PT 2003
−
2004)
Kết quả:
];0[
Max
π
f(x)=f(π /4)= f(3π /4)=
3
22
;
];0[
Min

π
f(x)=f(0)=f(π )=0

II. TIỆM CẬN
1 )Tìm các đường tiệm cận của đồ thò các hàm số :
a) y =
2x3x
1x2
2
2
+−
−
. Kết quả: x = 1; x = 2 và y = 2
b) y =
2x
1xx
2
+
+−
. Kết qua û: x = -2 và y = x-3
2 ) Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thò hàm số :
y =
x
1xx
2
++
. Kết quả: y = ±1
3) Tìm các đường tiệm cận xiên của đồ thò hàm số y =
1x
2

+
.
Kết qua û: y = ±x
4) Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số: y =
3 32
xx3
−
.
Kết quả : y = - x+1.

5) Cho (C
m
) :
( )
1x
mmx1mx
y
222
+
++++
=
.
a) Biện luận m số tiệm cận của đồ thò (C
m
).
b) Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thò (C
m
) đi qua I(1;2).
6 )Tìm trên đồ thò (C):y =
1x

2x
+
+
điểm M có tổng các khoảng cách từ đó đến
hai tiệm cận là nhỏ nhất.
7) Lấy một điểm bất kỳ M∈(C):y = f(x) =
2x
1x3x
2
−
−+
. Chứng minh rằng tích
các khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của (C) luôn không đổi. Kq: d
1
.d
2
=
2
9
.
III. KHẢO SÁT HÀM SỐ
1 ) Khảo s¸t sù biÕn thiªn vµ vµ ®å thÞ hµm sè :
Hµm sè bËc ba
1 ) y = x
3
– 3x
2
. 2 ) y = x
3
– 6x

2
+ 9x.
3) y = 2x
3
– 3x
2
+ 5. 4) y = - x
3
+ 3x
2
+ 1
5) y = x
3
– 3x
2
+ 3x + 2 6) y =
3
2
3
x
x x
−
+ −

7) y = x
3
+ 3x + 4 8)y= −x
3
+3x
2

−4x+2
Hµm sè bËc bèn trïng ph¬ng
9) y =
24
2
1
4
1
xx
−
10) y = x
4
– 2x
2
+ 2
11) y = - x
4
+ 2x
2
- 2 12 ) y = x
4
– 2x
2
+ 1
13) y = x
4
– x
2
+ 1 14 ) y =
4 2

1 3
4 4
x x− + −

Hµm h÷u tØ
15) y =
3
1
x
x
−
+
16) y =
2
1
x
x
+
−
16) y =
3 2
2
x
x
− +
−
18) y =
2 1
2
x

x
+
−
19) y =
2
1
2
+
−+
x
xx
20) y =
1
1
1
−
++
x
x
21) y = - x -
2
1x +
22) y =
2
)1(
2
+
−
x
x

23) y =
6
86
2
−
−+
x
xx
24) y =
1
1
+
−
x
x
25) y =
1
13
2
−
−−
x
xx
26) y =
2
3 1
2
x x
x
+ −

− +

IV.CÁC BÀI TOÁN LIÊN HỆ ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
1) Biện luận theo m số giao điểm của 2 đồ thò:
a) (C): y =
2x
3x6x
2
+
+−
và d: y = x−m. Hd: Lý luận x=
2
m8
3m2
−≠
−
+
b) (H):
1x
1x
y
−
+
=
và d: y= −2x+m. Hd: x=1 không là nghiệm phương trình
hoành độ giao điểm.
2) a.KSVẽ đồ thò (C) hàm số y = x
3
+3x
2

−2
b.Biện luận bằng đồ thò (C) số nghiệm của pt: x
3
+3x
2
−(m−2) = 0
3) Viết phương trình các đường thẳng vuông góc với đường thẳng y=
4
1
x+3
và tiếp xúc với đồ thò (C) hàm số y= −x
3
+3x
2
−4x+2.
4) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C): y=x
3
+3x
2
+1 biết tiếp tuyến đi
qua gốc toạ độ O.
5) Dùng đồ thò (C): y = x
3
−3x
2
+1 biện luận theo m số nghiệm của phương
trình | x
3
−3x
2

+1 | −m = 0.
6) Cho parabol (P): y=x
2
−2x+2 và đường thẳng d: y=2x+m.
a) Khảo sát và vẽ đồ thò (P)
b) Biện luận theo m số điểm chung của d và (P).
c) Khi d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm tập hợp trung điểm
M của đoạn AB.
7) Cho hàm số
1x
1x
y
−
+
=
, có đồ thi (H).
a) Khảo sát và vẽ đồ thò (H).
b) Cho đường thẳng d: y= −2x+m. Giả sử d cắt (H) tại hai điểm M và
N. Tìm tập hợp trung điểm I của MN.
8) Chứng minh rằng đồ thò (C) của hàm số y=f(x)=x
3
−3x
2
+1 nhận điểm uốn
của nó làm tâm đối xứng.
9) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C): y =
2x
2x
+
−

. Từ đồ thò (C) đã vẽ,
hãy suy ra đồ thò của các hàm số:
a) (C
1
): y = f
1
(x) =
2x
2x
+
−
b) (C
2
): y = f
2
(x) =
2x
2x
+
−
c) (C
3
): y = f
3
(x) =
2x
2x
+
−
d) (C

4
): |y| = f
4
(x) =
2x
2x
+
−
e) (C
5
): y = f
5
(x) =
2x
2x
+
−
f) (C
6
): |y| = f
6
(x) =
2x
2x
+
−
10) a) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) hàm số : y = f(x) = x
3
−3x
2

+2.
b) Từ đồ thò (C), suy ra đồ thò (C’): y = g(x) = | x|
3
−3x
2
+2. Từ đó
biện luận theo m số nghiệm của phương trình: | x|
3
−3x
2
+1 − m = 0.
11 ) Chứng tỏ rằng (C
m
): y=x
2
+(2m+1)x+m
2
−1 (1) luôn tiếp xúc với một
đường thẳng cố đònh. Xác đònh phương trình đường thẳng đó.
Lời giải 1:
1. Dự đoán đường thẳng cố đònh:
Cách 1: Chuyển (1) về phương trình m
2
+2xm+x
2
+x−1−y=0, phương
trình này có ∆= (x)
2
−1.(x
2

+x−1−y)=0 ⇔ −x+1+y=0 ⇔ y= x−1 là
đường thẳng cố đònh.
Cách 2: Chuyển (1) về phương trình m
2
+2xm=−x
2
−x+1+y (2)
Lấy đạo hàm 2 vế theo m: 2m+2x=0 ⇔ m=−x, thay trở lại (2):y=x−1
là đường thẳng cố đònh.
2. Chứng tỏ (C
m
) tiếp xúc với đường thẳng cố đònh: ( Bắt đầu lời giải)
Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và d:y=x−1 là:
x
2
+(2m+1)x+m
2
−1=x−1 ⇔ x
2
+2mx+m
2
=0
⇔ (x+m)
2
=0 ⇔ x=−m (nghiệm kép)
Vậy (C
m
) luôn tiếp xúc d:y=x−1.

Chú ý: Chỉ có đường thẳng và đường bậc 2,mới có khái niệm “ 2 đường
tiếp xúc nhau
⇔
phương trình hoành độ giao điểm ( bậc 2 ) có nghiệm
kép” .
Trong các hàm số khác và hàm bậc nhất ta phải dùng hệ điều kiện
tiếp xúc.
12) Chứng tỏ rằng (C
m
): y=mx
3
−3(m+1)x
2
+x+1 luôn tiếp xúc với một đường
thẳng cố đònh tại một điểm cố đònh.
Hướng dẫn giải: Tìm được (C
m
) đi qua hai điểm cố đònh A(0;1) và
B(3;−23) và tiếp tuyến của (C
m
) tại A có phương trình y=x+1 là tiếp
tuyến cố đònh.