skkn bài toán tìm X và Y của đa thức hai biến bậc hai

Phòng giáo dục huyện đông triều
kinh nghiệm

Dự đoán nhanh kết quả
Bài toán tìm x, y của đa thức hai biến bậc hai
f(x,y) = ax
2
+ bxy + cy
2
+dx + ey + g (1)
đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tìm giá trị đó
Ngời viết : Hoàng Quang Phong
Đơn vị công tác : Trờng THCS Tân Việt
Năm học : 2004-2005
Phần I:
Cơ sở lý luận và thực tiễn
1*/ Cơ sở lý luận :
Thực tế cho thấy Toán học là nền tảng cho mọi ngành khoa học, là chiếc chìa
khoá vạn năng để khai phá và thúc đẩy sự phát triển cho mọi ngành khoa học, kinh
tế, Quân sự trong cuộc sống. Chính vì vậy việc dạy và học bộ môn toán trong nhà
trờng đóng vai trò vô cùng quan trọng dạy toán chiếm vị trí số một trong các môn
học của nhà trờng, đối với giáo viên dạy toán là niềm tự hào song đó cũng là thử
thách vô cùng lớn.Để dạy toán và học toán tốt thì Thày và Trò không ngừng rèn
luyện và đầu t trí và lực vào nghiên cứu học hỏi.Học và dạy toán với chơng trình cơ
bản đã rất khó, xong dạy và học toán trong đào tạo mũi nhọn lại vô cung gian truân,
việc học và dạy không dừng ở việc ngời học và ngời dạy phải có trí tuệ nhất định
mà cả thày và trò phải dày công đầu t vào nghiên cứu các dạng toán, thuật toán vận
dụng hợp lý các tính chất toán học do các nhà toán học đã nghiên cứu vào giải toán,
ngoài ra ngời dạy và học toán phải tự rèn luyện và nghiên cứu để có những công
trình toán của riêng mình cùng góp sức để đa bộ môn toán ngày càng phát triển.
Thực hiện nhiệm vụ năm học cũng nh đợc sự phân công của Ban giám hiệu

nhà trờng THCS Tân Việt, qua quá trình bồi dỡng học sinh giỏi vài năm gần đây
bản thân tôi thấy việc hình thành cho học sinh cách suy nghĩ để tìm lời giải cho bài
toán hoặc mỗi dạng toán nào đó là công việc rất khó. Đứng trớc một bài toán nếu
ngời thày cha hiểu cha có hớng giải thì ta hớng dẫn học sinh nh thế nào, thật khó
trong những tình huống nh thế ngời thày sẽ mất vai trò chủ đạo trong việc dạy học
sinh, còn học sinh đã không giải đợc toán nhng lại mất niềm tin ở thày và cảm thấy
việc học toán là cực hình là khó vô cùng không thể học đợc.
Toán học là bộ môn khoa học của nhân loại một bộ môn khoa học đa dạng
về thể loại không phải cứ dạy toán và học toán là biết hết, là đã đến đỉnh cao của trí
tuệ nhân loại. Khi trực tiếp bồi dỡng học sinh giỏi tôi tự thấy kiến thức toán của bản
còn rất hạn chế từ bài toán:
Tìm x, y của: Đa thức hai biến bậc hai
f(x,y) = ax
2
+bxy + cy
2
+dx + ey + g (1)
đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tìm giá trị đó
Đây là bài toán có cách thức để giải xong cả thày và trò lại rất ngại khi đụng
đến vì phải mất rất nhiều thời gian để dự đoán kết quả và tìm cách phân tích đa thức
dạng (1) thành tổng các bình phơng. Tôi đã tìm nhiều biện pháp để hớng dẫn học
sinh nhận xét để phân tích đa thức bằng các phơng pháp mà học sinh và thày đợc
trang bị trong cấp học, nhng đều không thành công bởi chính thày cũng phải lần mò
mãi mới có lời giải. Cho đến một ngày tôi đọc đợc bài báo của tác giả Trần Văn
Vuông - Hà Nội trên báo Toán học và tuổi trẻ ra tháng 8 năm 1998, bài báo này đã
giúp tôi nhất nhiều trong quá trình bồi dỡng học sinh giỏi, đối với bài toán trên khi
áp dụng kiến thức của bài báo vào, mỗi khi hớng dẫn học sinh tôi đã hoàn toàn tự
tin và giữ vai trò chủ đạo để hớng dẫn học sinh, còn học sinh đã khai thác bài toán
đợc bằng nhiều cách, đặc biệt là việc lần mò phân tích thì không phải lo nghĩ về
vấn đề thời gian các em có hớng phân tích cụ thể, và có hứng thú thực sự với dạng

toán này. Từ thực tế này tôi xin đợc trao đổi kinh nghiệm này cùng các đồng nghiệp
mong rằng bài toán này đợc mở rộng và phát triển sâu rộng hơn.
2*/ Cơ sở thực tiễn :
A-Tình hình chung :
a) Tình hình học sinh :
Đối tợng là học sinh giỏi nên kiến thức cơ bản các em nắm tơng đối vững có trí
tuệ nhất định. Xong không phải bất cứ bài toán nào hay dạng toán nào các em cũng
làm đợc, đối với
Bài toán tìm x, y của đa thức hai biến bậc hai
f(x,y) = ax
2
+bxy + cy
2
+dx + ey + g (1)
Đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tìm giá trị đó
Các em đều cho rằng bài toán có lời giải nhng vì đầu t vào sẽ mất nhiều thời
gian, vì với các phơng pháp đợc học để phân tích đa thức dạng (1) thật không dễ
chút nào nên các em thờng bỏ qua bài toán này để tập trung thời gian giải bài toán
khác và rất nhiều em không có hứng thú khi gặp bài toán này.
b) Tình hình giáo viên
Thời lợng thực dạy trên lớp 20 tiết/1 tuần và chuẩn bị giáo án đồ dùng để
phục vụ tiết dạy đẫ nấp kín thời gian trên lớp và ở nhà, mặt khác trong nền kinh tế
thị trờng với đồng lơng bèo bạc không đáp ứng đợc cuộc sống đạm bạc của các
nhà s phạm. Nên không thể tự mình để mình đói đợc vậy phải đầu t vào kiếm sống
và sinh nhai cho bản thân cùng gia đình. Trong khi đó kiến thức đã khó lại rộng lớn
và bao trùm. Do đó để thời gian vào nghiên cứu, tìm tòi để có kiến thức vững và sâu
thì rất khó, có lẽ mọi ngời cùng một suy nghĩ rằng - cố gắng hoàn thành nhiệm vụ
là đợc còn nghiên cứu tìm tòi đã có các nhà khoa học.
Nguyên nhân góp phần không nhỏ nữa cho rằng việc nghiên cứu tìm lời giải
cho các bài toán lă những ngời phải có trí tuệ, phài là bậc vĩ nhân. Suy nghĩ này chỉ

đúng một phần vì Ngọc không mài thì không sáng đợc. Đối với bài toán tìm cực
trị của Đa thức hai biến bậc hai f(x,y) = ax
2
+bxy + cy
2
+dx + ey + g (1) lại không
có cách giải cụ thể mà chủ yếu dựa vào phân tích - kinh nghiệm của ngời làm toán.
Do đó đòi hỏi ngời giáo viên phải có thời gian, có tâm huyết và thinh thần học hỏi
cao thì mới đáp ứng đợc chuyên môn, công việc giảng dạy của mình. Toán học cao
cấp có kiến thức, có cách giải nhanh và khoa học với bài toán trên song không vận
dụng đợc vào cấp học phổ thông, hoặc cha tìm đợc phơng pháp khoa học để học
sinh tiếp cận cho phù hợp với chơng trình học, và nội dung sách giáo khoa hiện
hành.
c) Các tài liệu
Các tài liệu tham khảo của môn toán THCS dành cho giáo viên và học sinh về
số lợng, có vô số và lan tràn khắp thị trờng, vì mục đích kinh doanh bề ngoài sách
đẹp, tiêu đề sách thu hút song nội dung thì trùng nhau lời giả sơ sài, tính s phạm
không cao. Sách giáo khoa của Bộ giáo dục vì lý do s phạm vì khuôn khổ chơng
trình học của cấp học nên phần giải Bài toán tìm cức trị của Đa thức hai biến bậc
hai f(x,y) = ax
2
+bxy + cy
2
+dx + ey + g (1) chỉ có tính chất giới thiệu thông qua bài
tập ứng dụng, mà không bố trí riêng tiết dạy trong chơng trình của cấp học.
B - M ụ c đ í c h - N h i ệ m v ụ - P h ơ n g p h á p n g h i ê n c ứ u
a) Mục đích :
Nhằm nâng cao chất lợng giải bài toán cực trị của đa thức hai biến bậc hai.
Giải quyết khó khăn về thời gian, và tạo niềm tin cho giáo viên trong quá trình hớng
dẫn học sinh phân tích đa thức thành tổng các bình phơng. Giúp cho thày và trò

trong dạy và học đạt đợc kết quả cao trong các kỳ thi học sinh giỏi khối THCS, học
sinh có kỹ năng vận dụng và hứng thú để làm loại toán này.
b) Nhiệm vụ :
Vì lý do s phạm vì khuôn khổ chơng trình học của học sinh kinh nghiệm này
chủ yếu phục vụ giáo viên trong quá trình soạn bài. Thông qua dự đoán giá trị cực
trị và tìm x
o
, y
o
của Đa thức f(x,y), tạo điều kiện cho giáo viên có thời gian đầu t vào
việc hớng dẫn học sinh phân tích Đa thức f(x,y) thành tổng các bình phơng bằng
nhiều cách, khoa học và phù hợp với đối tợng học sinh. Khẳng định vai trò chủ đạo
của ngời thày trong đổi mới phơng pháp dạy và học. Giáo viên dễ dàng vận dụng
các phơng pháp dạy học đổi mới, tạo hứng thú cho học sinh học toán, phát huy ph-
ơng pháp phân tích đi lên (xuống) và phơng pháp tổng hợp trong học và dạy toán.
c) Phơng pháp :
Để viết đợc kinh nghiệm này bản thân tôi đã sử dụng những phơng pháp sau :
*- Nghiên cứu tài liệu :
SGK - Sách tham khảo ; tạp trí toán học.
*- Sử dụng phơng pháp phân tích đi lên (xuống), tổng hợp
của dạy học.
*- Vận dụng thực hành trong giảng dạy.
*- So sánh, tổng kết
*- Kết hợp với hội đồng s phạm nhà trờng cùng nghiên cứu vận dụng kiến thức
hợp lý không quá sức học sinh trong khuôn khổ chơng trình học.
Phần II
Nội dung thực hiện
A* - Kiến thức cơ sở
Sau khi đợc phân công bồi dỡng học sinh giỏi toán tôi bắt tay vào việc phân
loại học sinh, ra đề khảo sát với một số dạng toán cơ bản có kiến thức tổng hợp, rèn

nhiều kỹ năng với học sinh giỏi trong đó có bài toán : Tìm x và y sao cho A = x
2
-
4xy + 5y
2
+ 10x - 22y + 2003 đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó thật bất ngờ vì
lúc ra đề tôi hy vọng rất nhiều song khi xem bài làm của học sinh tôi rất thất vọng.
Nhng khi trao đổi trực tiếp với học sinh các em đều cho rằng bài toán không khó vì
có hớng giải rồi song đầu t thời gian vào thử các phơng án để phân tích thành tổng
các bình phơng sẽ mất rất nhiều thời gian. Điều này không chỉ xảy ra với học sinh
mà ngay chúng ta khi chuẩn bị các bài tập dạng này cũng vậy rất ngại vì mất quá
nhiều thời gian. Do vậy chủ yếu thực hiện cho xong không tìm tòi đầu t nghiên cứu
sâu để giải bài tập này. Sau rất nhiều trăn trở, ấp ủ và cũng nhiều lần thử sức và một
ngày may mắn với tôi đã đến khi tôi đọc đợc bài báo của tác giả Trần Văn Vuông -
Hà Nội trên báo Toán học tuổi trẻ tháng 8 năm 1998. Xin đợc trích nội dung bài đó
nh sau: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của đa thức hai biến bậc hai
1/ Định nghĩa 1 :
Đa thức hai biến bậc hai có dạng :
f(x,y) = ax
2
+bxy + cy
2
+dx + ey + g (1).
Trong đó a, b, c, d, e, g là hằng số và a, b, c không đông thời bằng không, còn
x, y là những biến số, đợc gọi là đa thức hai biến bậc hai.
(Tam thức bậc hai một biến là trờng hợp riêng của đa thức hai biến bậc hai)
Ta quy ớc gọi tắt đa thức hai biến bậc hai là Đa thức f(x,y)
2/ Định nghĩa 2 :
+/ Số M đợc gọi là giá trị lớn nhất của Đa thức f(x,y) nếu có cặp giá trị x
o,

y
o
sao cho
với mọi cặp giá trị x, y ta đều có :
f(x,y) f(x
o,
y
o
) = M khi đó ta ký hiệu M = maxf(x,y).
+/ Số m đợc gọi là giá trị nhỏ nhất của Đa thức f(x,y) nếu có cặp giá trị x
o,
y
o
sao
cho mọi cặp giá trị x, y ta đều có :
f(x,y) f(x
o,
y
o
) = m khi đó ta ký hiệu m = minf(x,y).
3/ Các mệnh đề :
a*/ Mệnh đề 1 :
Nếu f(x,y) là đa thức dạng (1) thì với mọi cặp giá trị x
o
, y
o
ta đều có:
f(x,y) - f(x
o
, y

o
) = a(x-x
o
)
2
+ b(x-x
o
)(y-y
o
) +
c(y-y
o
)
2
+ (2ax
o
+by
o
+d)x + (bx
o
+2cy
o
+e)y.
Ta dễ dàng chứng minh đợc mệnh đề trên.
b*/ Mệnh đề 2 :
Nếu = b
2
- 4ac > 0 thì Đa thức f(x,y) dạng (1) không có maxf(x,y) và cũng
không có minf(x,y).
Thật vậy ta đặt : = b

2
- 4ac. Khi > 0 ta có hệ phơng trình :



=++
=++
(2) 0 e2cybx
0 dby2ax
oo
oo
Hệ trên có nghiệm duy nhất :
Và f(x,y) - f(x
o
, y
o
) = a(x-x
o
)
2
+ b(x-x
o
)(y-y
o
) + c(y-y
o
)
2
Xét trờng hợp :
*/ Nếu a 0 thì vì > 0 nên phơng trình :

at
2
+ bt + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
Gọi 2 nghiệm đó là t
1,
t
2
thì at
2
+ bt + c = a(t-t
1
)(t-t
2
)
nên f(x,y) - f(x
o
, y
o
) = a[x-x
o
-t
1
(y-y
o
)][x-x
o
-t
2
(y-y
o

)].
+ Nếu A là số bất kỳ cho trớc thì khi chọn :

và ta có ngay f(x,y) - f(x
o
, y
o
) = A.
*/ Nếu a = 0 thì vì = b
2
- 4ac = b
2
>0 nên b 0
f(x,y) - f(x
o
, y
o
) = (y-y
o
)[b(x-x
o
)+c(y-y
o
)].
+ Nếu A là số bất kỳ cho trớc thì khi chọn :
Ta có ngay f(x,y) - f(x
o
, y
o
) = A.

Và nh vậy ta đã chứng minh đợc mệnh đề 2.
c*/ Mệnh đề 3 :
*/ Nếu = b
2
- 4ac < 0 thì Đa thức f(x,y) dạng (1) có :


Thật vậy khi xét trờng hợp < 0 .
Khi đó hệ phơng trình (2) có nghiệm duy nhất (3) với cặp giá trị x
o,
y
o
đó ta
vẫn có (4)
Vì = b
2
- 4ac <0 nên 4ac > b
2
0 và do đó a, c cùng dấu.
+/ Nếu a, c cùng dơng :
f(x,y) - f(x
o
, y
o
) =
(4) ),f(x : cóta ,x trị giá cặp với
)( ;
00

+

+=


=


=
22
00
00
3
22
cdbdeae
gyy
bdae
y
becd
x
)(
yy ;
)(
x x
oo
2121
21
1
tta
Aa
tta
tAat

+=


+=
1+=

+=
oo
yy ; x x
b
cA
0 ca, Khi ),maxf(x
0 ca, Khi ),minf(x
<

+
+=
>

+
+=
22
22
cdbdeae
gy
cdbdeae
gy
0 )()]()x-(x [

o


+
22
4
2
oo
yy
a
yy
a
b
a
với mọi cặp giá trị x, y ; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = x
o
và y = y
o
do đó
minf(x,y) = f(x
o
,y
o
).
+/ Nếu a, c cùng âm thì :
f(x,y) - f(x
o
, y
o
) =

với mọi cặp giá trị x, y; Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi khi x = x
o
và y = y
o
do
đó maxf(x,y) = f(x
o
,y
o
).
Nh vậy ta đã chứng minh đợc mệnh đề 3.
Chú ý : minf(x,y) và maxf(x,y) là giá trị f(x
o
,y
o
)trong đó
x
o
, y
0
là cặp nghiệm duy nhất của hệ phơng trình (2).
d*/ Mệnh đề 4 :
*/ Nếu = b
2
- 4ac = 0 thì Đa thức f(x,y) dạng (1) có :

Không có maxf(x,y) và không có minf(x,y) khi 2ae bd hoặc 2cd be.
Thật vậy xét trờng hợp = 0 :
+/ Nếu b 0 thì 4ac = b
2

> 0 nên a, c cùng dấu và
-) Nếu 2ae = bd thì f(x,y) là tam thức bậc hai của một biến
Trong đó x
1
là giá trị tuỳ ý
Chú ý Rằng vì 4ac = b
2
> 0 với điều kiện 2ae=db tơng đơng với điều kiện 2cd = be
và ta có
-) Nếu 2ac bd (tơng đơng 2cd be ) thì f(x,y) là tổng của một tam thức bậc hai
của một biến
và một đơn thức bậc nhất của biến y nên không có maxf(x,y) và không có Minf(x,y)
0 )()]()x-(x [-
o





22
4
2
oo
yy
a
yy
a
b
a
= > =

= < =
2
2
m nf(x,y) khi a 0 và 2ae bd
4
maxf(x,y) khi a 0 và 2ae bd
4
d
i g
a
d
g
a
g
2a
bd-2ae
)
2a
b
d(x )
2a
b
a(xy)f(x, +++++= yyy
2
0a Khi ) ;(xy)maxf(x,
0a Khi ) ;(xy)nf(x,mvà

2a
b
x t

1
1
<=
+
=
>=
+
=
+=
a
d
g
b
dax
f
a
d
g
b
dax
fi
y
4
2
4
2
2
1
2
1

c
e
g
a
d
g
44
22
=
y
2a
b
x t +=
= > =
= < =
2
2
m nf(x,y) khi a 0 và 2ae bd
4
maxf(x,y) khi a 0 và 2ae bd
4
d
i g
a
d
g
a
+/ Nếu b = 0 thì a = 0 c hoặc c = 0 a (do giả thiết b
2
= 4ac mà a, c, b không

đồng thời bằng không).
+) Nếu a = 0 c thì
f(x,y) = cy
2
+ dx + ey + g =

Trong đó x
1
là giá trị tuỳ ý.
Chú ý : Khi cd 0 thì f(x,y) không có maxf(x,y) và không có minf(x,y)
-) Nếu c = 0 a thì
f(x,y) = cy
2
+dx + ey + g =
Trong đó y
1
là giá trị tuỳ ý
Chú ý : Khi a 0 thì f(x,y) không có maxf(x,y) và không có minf(x,y).
Nh vậy ta đã chứng minh đợc mệnh đề 4.
B*/ Quy trình thực hiện
Trên đây bao gồm 2 định nghĩa và 4 mệnh đề đã đợc chứng minh của tác giả
Trần Văn Vuông - Hà Nội. Trong quá trình thực tế giảng dạy tôi đã vận dụng kiến
thức này theo các bớc sau :
B ớc 1: Xác định chính xác các hệ số: a, b, c, d, e, g và tính =b
2
-4ac
B ớc 2 : Xét các trờng hợp của
a) Khi > 0 thì Đa thức f(x,y) dạng (1) không có maxf(x,y) và không có minf(x,y).
b) Khi < 0 :
c) Khi = 0:

dx
c
e
g
c
e
yc +++
42
2
2
)(
. d và 0c khi);(xy)maxf(x,
, d và 0c khi);(xy)nf(x,m ê
1
1
0
42
0
42
2
2
=<==
=>==
c
e
g
c
e
f

c
e
g
c
e
finn
ey
a
d
g
a
d
xa +++
42
2
2
)(
0e và 0a khi )y ;
2a
d
f(- y)maxf(x,
, 0e và 0a khi )y ;
2a
d
f(- y)minf(x, cóta ê
1
1
=<==
=>==
a

d
g
a
d
gnn
4
4
2
2


=


=

+
+=>+
bdae
y
becd
xvà
cdbdeae
gy
22
00
22
;
),minf(x : o c ,a Nếu

=


=

+
+=<+
bdae
y
becd
xvà
cdbdeae
gy
22
00
22
;
),maxf(x : o c ,a Nếu
b
da
a
d
gyNếu
o
o
+
=
=>=
x

y ; ý tuỳ x và
),minf(x : 0a và bd 2ae , 0 b
o
2
4
2
b
da
a
d
gyNếu
o
o
+
=
=<=
x
y ; ý tuỳ x và
),maxf(x : 0a và bd 2ae , 0 b
o
2
4
2
B ớc 3 : Từ giá tri x
o
và y
o
tìm đợc ở bớc 2 kết hợp với quan hệ x, y trên Đa thức
f(x,y) dùng phơng pháp phân tích đi lên(xuống) để phân tích Đa thức f(x,y) thành
minf(x,y)=[n(x+x

o
)
2
+p(y+y
o
)
2
+q(x+y )
2
] + m m
hoặc minf(x,y)=[n(x+x
o
)
2
+p(y+y
o
)
2
+q(x+y )
2
] + M M
B ớc 4 : Hớng dẫn học sinh biểu diễn đa thức f(x,y) theo minf(x,y) hoặc maxf(x,y)
đã chuẩn bị ở bớc 3 theo nhiều phơng án khác nhau bằng hệ thống câu hỏi phân tích
đi lên (xuống).
C*/ Các ví dụ minh hoạ :
a) Ví dụ 1 :
Tìm x, y để f(x,y)= 2x
2
- 3xy + y
2

+ 5x -7y +1. Có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
hãy tìm giá trị đó.
B ớc 1 : Xác định :
a = 2 ; b = -3 ; c = 1 ; d = 5 ; e = -7 ; g = 1.
= b
2
- 4ac = (-3)
2
+ 4*2*1 = 1 > 0
B ớc 2 : Xét > 0 nên đa thức f(x,y) không có maxf(x,y) và không có minf(x,y).
B ớc 3-b ớc 4 : Bài toán không có nghiệm.
b) Ví dụ 2 :
Tìm x, y để đa thức f(x,y) = x
2
- 2xy + 3y
2
- 4x +8y - 7.
Có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất hãy tìm giá trị đó.
B ớc 1 : Xác định :
a = 1 ; b = -2 ; c = 3 ; d = -4 ; e = 8 ; g = -7.
= b
2
- 4ac = (-2)
2
+ 4*1*3 = -8 < 0.
c
c
e
gyNếu
o

2
4
2
e
y ; ý tuỳ x và
),minf(x : 0c và be 2cd , 0 ba
o
=
=>===
c
c
e
gyNếu
o
2
4
2
e
y ; ý tuỳ x và
),maxf(x : 0c và be 2cd , 0 ba
o
=
=<===
a
a
d
gycNếu
o
2
4

2
d
x ; ý tuỳ y và
),minf(x : 0a và be 2cd , 0 b
o
=
=>===
a
a
d
gycNếu
o
2
4
2
d
x ; ý tuỳ y và
),maxf(x : 0a và be 2cd , 0 b
o
=
=<===
o
o
y
x
o
o
y
x
B ớc 2 : Xét < 0 và a,c > o nên

B ớc 3 : Từ kết quả minf(x,y)= - 13 ; x = 1 và y = -1
Ta có ngay mối quan hệ x = -y, nhận xét f(x,y) và đi đến: Phân tích đa thức
f(x,y) = x
2
- 2xy + 3y
2
- 4x +8y - 7
=[(2x
2
- 4x + 2 ) + (4y
2
+ 8y +4) - (x
2
+2xy+y
2
)] -13
=[ 2(x-1)
2
+ 4(y+1)
2
- (x+y)
2
] - 13 -13
Vậy minf(x,y) = -13
B ớc 4 : Hớng dẫn học sinh phân tích Đa thức f(x,y) :
Tìm cách phân tích Đa thức f(x,y) = [n(x-1)
2
+ ]+ A đợc không?
Hoặc tìm cách phân tích Đa thức f(x,y) = [p(y+1)

2
+ ] +A đợc không?
Hoặc tìm cách phân tích Đa thức f(x,y) =[q(x+y)
2
+ ]+A đợc không?
Hoặc minf(x,y) = -13 thì phân tích Đa thức f(x,y) nh thế nào?
c) Ví dụ 3 :
Tìm x, y để đa thức f(x,y) = -4x
2
+12x - 9y
2
- 4x +6y +8. Có giá trị lớn nhất, nhỏ
nhất hãy tìm giá trị đó.
B ớc 1 : Xác định :
a = - 4 ; b = 12 ; c = -9 ; d = -4 ; e = 6 ; g = 8.
= b
2
- 4ac = (12)
2
+ 4*(-4)*(-9) = 144-144 = 0.
B ớc 2 : Xét = 0 và a,c < 0 và 2ac = bd = -48 nên :
B ớc 3 :
Từ kết quả maxf(x,y)= 9 ;
Chọn x = 1 và y = 1 theo mối quan hệ :
Nhận xét f(x,y) và đi đến: Phân tích Đa thức
f(x,y) = -4x
2
+ 12xy - 9y
2
- 4x +6y +8

= - [- (2x
2
- 4x + 2) (3y
2
- 6y +3) + (6x
2
-12xy+6y
2
)] + 9
= - [- 2(x-1)
2
+ 3(y-1)
2
+6 (x-y)
2
] +9 9
Vậy maxf(x,y) = 9.
13
8
4384281
7
2222
=

+
+=

+
+=
)(**)(*)(*

),minf(x
cdbdeae
gy
1
8
428122
1
8
824322
0
0
=


=


=
=


=


=
)(*)(**

*)()(**

bdae

y
becd
x
918
44
4
8
4
22
=


==
)(
)(*
)(
),(max
a
d
gyxf
3
12
12
4422 +
=
+
=
+
=
ooo

o
xx
b
dax
x
)(*)(*
y
; ý tuỳ trị giá nhận
o
1
3
112
3
12
1 =
+
=
+
==
*
y x ả
oo
o
x
chọnsửGi
3
12 +
=
x
y

B ớc 4 : Hớng dẫn học sinh phân tích Đa thức f(x,y) :
Tìm cách phân tích đa thức f(x,y) = -[n(x-1)
2
+ ] + A đợc không ?
Hoặc tìm cách phân tích đa thức f(x,y)= -[p(y+1)
2
+ ]+A đợc không?
Hoặc tìm cách phân tích đa thức f(x,y)=-[q(x+y)
2
+ ]+A đợc không?
Hoặc maxf(x,y) = 9 thì phân tích Đa thức f(x,y) nh thế nào ?
D*/ Kết quả :
Trên đây là một số ví dụ minh hoạ cho việc vận dụng các mệnh đề vào tìm
cực trị của đa thức f(x,y), ngoài ra ta có thể sử dụng các mệnh đề trên vào giải ph-
ơng trình ax
2
+bxy + cy
2
+dx + ey + g = 0 và chứng minh đa thức hai biến bậc hai
f(x,y) = ax
2
+bxy + cy
2
+dx + ey + g (1) đạt giá trị cực trị A nào đó.
Qua quá trình vận dụng các mệnh đề trên tôi thấy thời gian dành để soạn giáo án,
chuẩn bị bài rất ngắn, tiết kiệm đợc nhiều thời gian, trong giờ dạy giáo viên thực sự
đóng vai trò chủ đạo. Các câu hỏi đặt ra không mang tính chất chung chung nữa mà
có hệ thống xúc tích, tờng minh nhờ phơng pháp phân tích đi lên (xuống). Học sinh
khai thác bài toán đa dạng theo nhiều góc độ, kết quả chính xác học sinh có hứng
thú học toán và học sinh hình thành đợc cách suy nghĩ - cách giải bài toán hợp lý,

làm chủ kiến thức và không ngại bài tập trên vì lý do mất nhiều thời gian nữa.
Phần III


Kết luận
Vì lý do s phạm vì khuôn khổ chơng trình toán THCS nên các mệnh đề nêu
trên học sinh không đợc học cho lên bản thân tôi chỉ sử dụng vào việc dự đoán
nhanh kết quả.
Tìm x
o
, y
o
tơng ứng và dựa trên cơ sở kết quả đó để phân tích đa thức f(x,y)
dạng (1) thành tổng các bình phơng cộng (trừ) với giá trị minf(x,y) hoặc maxf(x,y).
Giúp cho quá trình soạn giáo án nhanh và khoa học, đồng thời chủ động trong việc
hớng dẫn học sinh làm toán.
Do trình độ s phạm và phơng pháp s phạm của mỗi đồng nghiệp khác nhau,
lên cách nhìn và khai thác các mệnh đề trên của mỗi giáo viên sẽ khác nhau do đó
tôi mạnh dạn viết ra những kinh nghiệm này mong các bạn đồng nghiệp tập trung
xem xét, khai thác, vận dụng các mệnh đề trên hiệu quả hơn, đa dạng hơn. Bản thân
tôi luôn luôn cảm ơn các ý kiến đóng góp và xây dựng của các cấp lãnh đạo và
đồng nghiệp.
Tôi xin trân trọng cảm ơn !
Tân Việt, ngày 30 tháng 04 năm 2005
Ngời viết
Hoàng Quang Phong