Giải tích phức

1

CHƯƠNG I GIẢI TÍCH PHỨC

§1. SỐ PHỨC

I. Dạng đại số của số phức được xác định z = x + iy
trong đó :
x Rez

gọi là phần thực của z

y Imz

gọi là phần ảo của z
Cho hai số phức
1 1 1 2 2 2
z x iy ;z x iy
   
ta nói
1 2 1 2
z z x x
  
và
1 2
y y


số phức
z x iy
 

gọi là số phức liên hợp của
z x iy
 

Mặt phẳng phức được thể hiện bởi một hệ trục tọa độ.Trong đó trục 0y được gọi là trục
ảo,còn trục 0x là trục thực .
Khi cho
z x iy
 
thì tương đương với M(x,y) trên m/p được gọi là tọa vị của M.
Độ dài vectơ
OM

được gọi là môdun của số phức
z x iy
 
và
2 2
OM x y z r
   


Góc



0x,OM k2
   
 
được gọi là Argumen của z ,còn

argz
 
gọi là argumen phần
chính của z.




z r cos isin
   
được gọi là dạng lượng giác của số phức

2
z z.z

Công thức Moavơrơ:
     
n
n n
z r cos isin z r cos isin r cosn isinn
            
 
 

thừa nhận:
i
cos isin e

   
(công thức ơle)

Ví dụ:
a)
1 2 1 2
Arg(z z ) Argz +Argz
 

b)
1
1 2
2
z
Arg Argz -Argz
z

c)
1 2 1 2
z z z z

d)
1 2 1 2
z / z z / z

2

e) Vi
Rez 0 và Rea 0

thỡ
a z
1

a z




f)
1 2
z z 1

v
1,2
z 1

thỡ
1 2
1 2
z z
1 z z






II. CN BC n CA S PHC
W c gi l cn bc n ca s phc z v vit
n
n
W z (n N) nếu W z

n
1
k2 k2
Giả sử z r(cos isin ) và W=r (cos isin ) W= r(cos isi
n )
n n


(Cần chỉ rõ cho học sinhcănbậc n chỉ có n giá trị ph
ân biệt với k 0,n 1)


3
4
VD:Tính 1 i ; 1



Đ2. HM BIN PHC

Khỏi nim:Hm f(z) xỏc nh trờn tp G vi
o
z G

m
o
f(z )
cú duy nht mt giỏ tr thỡ
hm

f(z)
gi l hm n tr,trỏi li hm c gi l hm a tr.
I. Gii hn
Lu ý:
o
z z
lim f(z)

thỡ
o
z z

theo nhiu cỏch khỏc nhau
vi hm
f(z)
biu din di dng
f(z) U(x,y) iV(x,y) với z x iy


II. o hm ca hm bin phc
o o
o
z 0
f(z z) f(z )
W f (z) lim f (z )
z

v
z 0

theo nhiu cỏch khỏc nhau
ta cú
o o
o
z 0
f(z z) f(z )
lim f (z )
z





vi
z x iy; z x i y


o o o o o o o o o o
f(z z) f(z ) U(x x,y y) iV(x x,y y) U(x ,y ) iV(x ,y )

cho
y 0

v
x 0

o x o o x o o
f (z ) U (x ,y ) iV (x ,y )



cho
x 0

v
y 0


o y o o y o o
f (z ) V (x ,y ) iU (x ,y )



3


x o o y o o
U (x ,y ) V (x ,y )
 

và
x o o y o o
V (x ,y ) U (x ,y )
 

 
(Đ/k Côsi-Riman)
Nhận xét:
a) nếu hàm số giải tích thì thỏa mãn đ/k Côsi-Riman.
Ngược lại nếu hàm thỏa mãn Côsi-Riman và các hàm
U(x,y),V(x,y)
cùng các đạo hàm
riêng liên tục tại một điểm thì tại đó nó có đạo hàm.
b) Quy tắc tính đạo hàm hàm biến phức tương tự như hàm biến thực.
Từ đ/k Côsi-Riman ta thấy
2 2 2 2
x y x y
U U 0 vµ V V 0
   
   
đó là các hàm điều hòa.
Trong khuôn khổ chương trình ta đi tìm các hàm giải tích mà các hàm thành phần là các
hàm điều hòa.
III. MỘT SỐ HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN
1) Hàm
n
W z
 đơn trị và
n 1
W nz



2) Hàm
n

n
W z W z
  
đa trị , việc lấy đạo hàm của nó phải thực hiện theo từng
nhánh
3) Hàm mũ là hàm có phần thực
x
e cosy
và phần ảo
x
e sin y


x iy z
W e e

 
đó là
hàm đơn trị và có các tính chất như hàm mũ thực
4) Hàm lượng giác:
iz iz
e e
cosz
2


 ;
iz iz
e e
sinz

2i


 ;
sinz
tgz
cosz
 và
cosz
cotgz
sinz

Lưu ý:
a) Các tính chất hàm lượng giác phức có tính chất như hàm lượng giác thực.
b)
cosz
và
sinz
nói chung không bị chặn như trong thực,chẳng hạn

n n
e e
cos(ni) 1
2


 
với
n 1


5) Hàm Lôgarit là hàm ngược của hàm
z
W=e
và viết
W Lnz

.
khai triển ta được
Lnz ln z i(argz k2 )
   
với
k


,còn
lnz ln z iargz
  được gọi
là nhánh chính của
Lnz
.Các tính chất của
Lnz
tương tự như trong thực.Riêng đạo hàm
của
Lnz
ta phải thực hiện trên từng nhánh.
4

6) Hàm lượng giác ngược,đó là các hàm đa trị :
a)

2
W = arcsin z = -iln(iz+ 1 )

z

b)
2
W = arccosz = -iln(z+ 1)

z
c)
1
W = ar n
2 1



i iz
ctgz l
iz

Ví dụ:Tính
Re(ar )

i
ctge
với

nhọn
7) Hàm lũy thừa tổng quát

a
W=z
với
a i
   
và viết
aLnz
W=e

cụ thể


( i ) ln z iArgz
i ln z Argz
ln z Argz
W = e e e
  
  
 
 



§3:TÍCH PHÂN HÀM BIẾN PHỨC
I. Định nghĩa:Cho hàm
f(z)
xác định trên đường

L AB


,chia

AB
bởi các điểm chia
theo thứ tự
0 1 2 3 n
A z ,z ,z ,z z B
 
trên cung từ
k
z
đến
k 1
z

lấy bất kỳ điểm
k


nếu tồn tại giới hạn
n
k k
d 0
k 0
lim f ( ) z


 

trong đó

k
d max z
  với
k k 1 k
z z z

  

và giới hạn không phụ thuộc vào phép chia

AB
và cách chọn
k

thì giới hạn đó gọi là tích
phân hàm
f(z)
dọc theo cung

AB
và viết

AB
f (z)dz


Với
z x iy
 
và

f(z) U(x,y) iV(x,y)
 
trong đó
dz dx idy
 
thì
  
AB AB AB
f(z)dz U(x,y)dx V(x,y)dy i V(x,y)dx U(x,y)dy
   
  

Do đó cách tính và các tính chất của tích phân hàm biến phức hoàn toàn như tích phân
đường loại 2.
Ví dụ: Tính
0
n
0
z z
dz
(z z )
 


với
n



5

Nếu có hàm
F(z)
thỏa mãn
F (z) f(z)


thì


z B
z A
AB
z AB f (z)dz F(z) F(B) F(A)


     


II. Định lý Côsi:Nếu hàm
f(z)
giải tích trong miền G có biên L(trơn) thì
L
f(z)dz 0




III. Công thức tích phân Côsi : Nếu hàm
f(z)

giải tích trong miền G có biên L(trơn) và
0
z G

thì
o
o
L
1 f(z)
dz f (z )
2 i z z

 


Chứng minh : Ta có
o
o
o o o
L L L
f(z) f(z )
1 f(z) 1 1 dz
dz dz f(z )
2 i z z 2 i z z 2 i z z

 
     
    

mặt khác do

0
f (z) f(z )
  
nên

o
o
o o o
L L L
f(z) f(z )
1 f(z) 1 dz 1
dz f(z ) dz
2 i z z 2 i z z 2 i z z

   
     
  
  

tức là
o
o
L
1 f(z)
dz f (z )
2 i z z

 


Ví dụ :
a)
z 1 2
dz
I
z 2
 




b)
2
z 1 2
zdz
I
z 9
 




IV. Tích phân loại Côsi :Giả sử L là đường cong trơn từng khúc
f(z)
liên tục trên L,khi đó
z L
 
thì
L
f( )

F(z) d
z

 
 

được gọi là tích phân loại Côsi.
Định lý : Cho
f(z)
liên tục trên L,khi đó
L
f( )
F(z) d
z

 
 

giải tích miền D không chứa L
và
(n)
n 1
L
n! f( )
F (z) d
2 i
( z)


 


 



6

Ví dụ :
a)
3 2
z 4 2
cosz
I dz
(z 1) (z 5)
 

 


b)
2 3
z 1 1
dz
I
(z 1)
 




§4: CHUỖI TAYLOR-LAURENT
I.Chuỗi Taylor:
Mọi hàm
f(z)
giải tích tại z = a luôn biểu diễn dưới dạng
 
(n)
n
n 0
f (a)
f(z) z a
n!

 


Khai triển Taylor của một số hàm sơ cấp cơ bản tại
z 0


a)
 
2n 1
n
n 0
z
sinz ( 1)
2n 1 !




 



b)
 
2n
n
n 0
z
cosz ( 1)
2n !


 


c)
n
z
n 0
z
e
n!





Đặc biệt
z ix

ta có
   
n 2n 2n 1
ix n n
n 0 n 0 n 0
(ix) z z
e ( 1) i ( 1)
n! 2n ! 2n 1 !

  
  
    

  

và
ix
e cosx isin x
 
(Công thức Euler)
II.Chuỗi Laurent:
1. Định lý và định nghĩa : Hàm
f(z)
giải tích trong miền



G r z a R
    ;
z G


thì luôn có
 
 
n
n
n
n
n 0 n 1
c
f(z) c z a
z a
 

 
  

 
.Khai triển đó gọi là chuỗi Laurent của
f(z)

tại tâm
z a


trong đó

7


 
n
n
n 0
c z a




gọi là phần đều

 
n
n
n 1
c
z a





gọi là phần chính
Chứng minh : Theo tích phân Côsi
2 1
C L L
1 f( ) 1 f( ) 1 f( )

f(z) d d d
2 i z 2 i z 2 i z
  
     
        
    

trong đó
1
L
và
2
L
là hai đường tròn tâm
z a

ở trong G,sao cho miền giới hạn bởi
1
L

và
2
L
chứa z.
Ta có
1 1
z ( a) (z a)

     

với
n
2
n 1
n 0
1 (z a)
L a z a ;
( a) (z a)
( a)




      
   
 



2 2
n
n 1
n 0
L L
1 f( ) 1 f( )d
d (z a)
2 i z 2 i
( a)




  
  
   
 

  
(1)
Tương tự với
1
L


1 1
n
n 1
n 0
L L
1 f( ) 1 f( )d
d ( a)
2 i z 2 i
(z a)



  
    
   



  
(2)
Trong (2) đặt
n 1 k
  



2 2 1
n n
n 1 n 1
n 0 n 1
L L L
1 f( )d 1 f( )d
(z a) (z a)
2 i 2 i
( a) ( a)
 
 
 
   
   
   
  
 
   
   
   
 
    

trong 2 tích phân trên
1
L
và
2
L
không phụ thuộc vào đường lấy tích phân .
Nên ta đặt
n
n 1
L
1 f ( )d
c
2 i
( a)

 


 

với
n 0, 1, 2, 3,
   
Đó là điều phải chứng minh.
III.PHÂN LOẠI ĐIỂM BẤT THƯỜNG
1) Không điểm:
z a


được gọi là không điểm của
f(z)
nếu
f(a) 0

, còn
z a

được
gọi là không điểm cấp m của
f(z)
nếu:
m
f(z) (z a) (z)
   trong đó
(a) 0
 
và giải tích
8

tại
z a

.
2) Định nghĩa:
z a

được gọi là điểm bất thường cô lập của hàm
f(z)
nếu trong lân cận

của
z a

chỉ có duy nhất a là điểm bất thường của
f(z)
.
Giả sử
z a

là điểm bất thường cô lập của hàm
f(z)


z a
lim f (z) A


thì
z a

gọi là điểm bất thường bỏ được.
 Nếu trong phần chính của khai triển Laurent tại
z a

chỉ có hữu hạn số hạng
tức là
     
n m m 1 1
n m m 1
n 1

c c c c

z a
z a z a z a

    


   

  

trong đó
m
c 0


thì
z a

được
gọi là cực điểm cấp m.
 Nếu trong phần chính của khai triển Laurent tại
z a

có vô số số hạng thì
z a

được gọi là điểm bất thường cốt yếu.
3) Định lý : Cho

1
2
f (z)
f(z)
f (z)
 trong đó
2
f (z)
nhận
z a

là không điểm cấp m và
1
f (a) 0

.Thì
f(z)
nhận
z a

là cực điểm cấp m.

§5:THẶNG DƯ VÀ ỨNG DỤNG
I.THẶNG DƯ
1) Định nghĩa : Cho
0
z
là điểm bất thường cô lập của hàm
f(z)
thì

o
z z r
1
f(z)dz
2 i
 



không phụ thuộc vào đường lấy tích phân.Nên ta gọi
o
z z r
1
f(z)dz
2 i
 


là thặng dư của
f(z)
tại
0
z
.Ký hiệu
 
o
o
z z r
1
Resf(z),z z f(z)dz

2 i
 
 



2) Công thức tính : Ta đã có
n
n 1
0
L
1 f( )d
c
2 i
( z )

 


 

với
n 0, 1, 2, 3,
   
Khi
n 1
 

9


1
L
1
c f (z)dz
2 i




trong đó
1
c

là hệ số trong khai triển Laurent tại
0
z



3) Cách tính thặng dư:
a) Thặng dư cực điểm cấp m :
 
(m 1)
m
z a
1
Resf(z),z a lim (z a) f(z)
(m 1)!



 
  
 


b) Cho
1
2
f (z)
f(z)
f (z)
 trong đó
2
f (z)
nhận
z a

là không điểm cấp 1 và
1
f (a) 0


đồng thời
2
f (z)
giải tích tại
z a


thì
 
1
2
f (a)
Resf(z),z a
f (a)
 


c) Đối với điểm bất thường cốt yếu để tìm thặng dư ta phải khai triển Laurent
qua đó xác định
1
c


II.ỨNG DỤNG
1) Tích phân phức trên đường cong kín : Giả sử
k
a (k 1,N)
 là các điểm bất
thường của
f(z)
nằm trong miền giới hạn bởi L (trơn),thì

 
N
k
k 1
L

f(z)dz 2 i Resf(z),z a

  



2) Tích phân thực
f (x)dx



trong đó
f(x)
là phân thức hữu tỷ
 Bổ đề : Gọi
R
C
là nửa đường tròn tâm 0,bán kính R có
Imz 0

và thỏa mãn
z
lim zf (z) 0


với
0 argz
  
thì
R

R
C
lim f(z)dz 0



.
Chứng minh : phương trình
R
C
:
i
z Re (0 )

    

R
i i
C 0
f(z)dz f (Re )d(Re )

 

 

10

từ giả thiết ta có
i i
0 0

f (Re )iRe d zf(z) d
 
 
    
 
.Đó là điều phải chứng minh.
 Định lý : Cho
1
2
f (z)
f(z)
f (z)
 với
i
f (z)
có
1 2
degf (z) 2 degf (z)
 
và
f(z)

có
k
a (k 1,N)
 là các cực điểm ở phía trên 0x và
k
b (k 1,M)
 là cực điểm đơn trên 0x
Khi đó

   
N M
k k
k 1 k 1
f(x)dx 2 i Resf(z),z a i Resf(z),z b

 

     
 


3) Tích phân dạng
f (x)cos xdx




và
f(x)sin xdx




với
( 0)
 

Theo công thức ơle,ta có
i x

f(x)e f(x)cos x if(x)sin x

   
khi đó

i x
f(x)e dx f(x)cos xdx i f(x)sin xdx
  

  
   
  
nếu các tích phân hội tụ.
Qua đó
i x
f(x)cos xdx Re f(x)e dx
 

 
 
 
 
 
 
 
 
và
i x
f(x)sin xdx Im f(x)e dx
 


 
 
 
 
 
 
 
 

a) Bổ đề : Gọi
R
C
là cung tròn
z R

có
Imz a

với
a


cố định.Nếu
i x
F(z) e f(z)

 với
0
 

cố định,còn
f(z)
giải tích trong nửa mặt phẳng
Imz a

trừ một
số hữu hạn các điểm bất thường và
z
lim f(z) 0


thì
R
i x
R
C
lim e f (z)dz 0





b) Định lý : Cho
1
2
f (z)
f(z)
f (z)
 với
i

f (z)
có
1 2
degf (z) 1 degf (z)
 
và
f(z)
có
k
a (k 1,N)
 là các cực điểm ở phía trên 0x và
k
b (k 1,M)
 là cực điểm trên 0x.
Khi đó
N M
i x i x i x
k k
k 1 k 1
f(x)e dx 2 i R esf(z)e ,z a i R esf(z)e ,z b

  
 

   
     
   
 


11

4) Tích phân dạng
2
0
f(cost,sin t)dt



Từ
it it
e e
cost
2


 và
it it
e e
sin t
2i


 .
Đặt
it
z e z 1
  
1 1
cost z

2 z
 
 
 
 
và
1 1
sint z
2i z
 
 
 
 
.Do đó

2
0 z 1
1 1 1 1 dz
f(cost,sin t)dt i f z , z
2 z 2i z z


 
   
   
   
 
   
 
 

VÍ DỤ:
1.
2
cos
2 10



 

x xdx
I
x x

2.
2
sin
2 10



 

x xdx
I
x x

3.
2

sin
4 20



 

x xdx
I
x x

4.
2
sin
( 4)( 1)



 

xdx
I
x x

5.
2
2 10




 

dx
I
x x

6.
2
4
0
1
1





x
I dx
x

7.
2
0
dt
I
cost sin t 2


 




§6: PHÉP BIẾN ĐỔI Z
12

I.Định nghĩa và tính chất
1) Định nghĩa:Cho dãy số
 
( )


x n biến đổi Z của dãy số trên được xác định
( )




n
n
x n z
nếu chuỗi hội tụ.Ký hiệu
( ) ( )





n
n

x n z X z
và
 
( )


x n

( )
X z

VÍ DỤ:Tìm biến đổi Z của dãy số:

íi 0
( )
0 íi 0








n
a v n
x n
v n

2) Tính chất: Giả sử

 
( )


x n

( )
X z
và
 
( )


y n

( )
Y z

a) Tuyến tính :
 
( ) ( ) ( ) ( )


     
x n x n X z Y z

b) Tính trễ :
 
0
( ) ( )




 
n
o
x n n z X z

Vì
 
( )
( ) ( ) ( ) ( )
 

  


 
   
 

o o
k n n
n
o o
n k
x n n x n n z x k z z X z

c) Nhân với n :
 

( )


nx n

( )


zX z

Vì từ
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
  
    
  

     
  
n n n
n n n
x n z X z X z nx n z z nx n z


( ) ( )








n
n
nx n z zX z
.Đó là điều phải chứng minh.
Ví dụ :Tìm biến đổi Z của dãy số:

2
íi 0
( )
0 íi 0








n v n
x n
v n

Ta có
1 íi 0
0 íi 0
1




 


v n
z
v n z
với
2
íi 0
1
1
0 íi 0

 




 
 
   

 

 

 



 

z
n v n
z z z
z
v n

Qua đó
 
2
3
( )
1



z z
X z
z
với
1

z
13

II.Phép biến đổi Z ngược : Phần này ta giải quyết bài toán với một hàm
W f (z)

hãy tìm

một dãy số
( )
x n
sao cho qua biến đổi Z dãy
( )
x n
cho ảnh là
W f (z)

.



CHƯƠNG II:CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN
§1:PHÉP BIÊN ĐỔI LAPLACE
I.KHÁI NIỆM:
1) Định nghĩa : Hàm số
f(t)
được gọi là hàm gốc nếu thỏa mãn các điều kiện sau
0. Hàm
f(t)
liên tục hay liên tục từng khúc
t 0
 

1. Không tăng nhanh bằng hàm mũ,tức là
o
M 0,s 0
  
sao cho

o
s t
f(t) Me

Khi đó
o
s
được gọi là chỉ số tăng của
f(t)
.
2.
f(t) 0

với
t 0
 
.Điều kiện này thường áp dụng trong thực tế đối với các
hàm có biến là biến thời gian.
VÍ DỤ:
1.
1 nÕu t 0
(t)
0 nÕu t 0


 




2.
sint nÕu t 0
(t)sin t
0 nÕu t 0


 




Quy ước:Khi
(t)f(t)

là hàm gốc ta chỉ cần ghi
f(t)
là hàm gốc .
2) Định lý: Giả sử
o
s
là chỉ số tăng của
f(t)
,với
p s i
  
thì tích phân
pt
o
f(t)e dt





hội tụ
o
s s
 
,hơn nữa
pt
p
o
lim f(t)e dt 0






14

Chứng minh:Ta có
o
(s s )t
pt
o
o o
M
f(t)e dt M e dt
s s
 

 

 

 
với
o
s s

.Tức là tích phân
pt
o
f(t)e dt



hội tụ.Mặt khác khi
p
 
tức là
s
 

hay
pt pt
p
o o
f(t)e dt lim f(t)e dt 0
 
 


   
 
.
Đặt
pt
o
F(p) f(t)e dt




,khi đó
F(p)
gọi là hàm ảnh của hàm gốc
f(t)
và được gọi là
toán tử Laplace.
Ký hiệu :
f(t) F(p)

hoặc


F(p) L f(t)

Hơn nữa
pt
o
F (p) tf (t)e dt




 

tức là
tf (t) F (p)




II.Các tính chất
1) Tuyến tính:Cho
f(t) F(p)

và
g(t) G(p)

;
, const
  
thì

f(t) g(t) F(p) G(p)
     


2) Tính đồng dạng : cho
f(t) F(p)


thì
1 p
f( t) F
 

 
 
 
 với
0
 

3) Dịch chuyển ảnh : cho
f(t) F(p)

thì
at
e f (t) F(p a)



4) Tính trễ :Cho hàm
f(t)
thì hàm
(t a)f(t a)
  
gọi là hàm trễ của
f(t)
với
a 0



và khi
f(t) F(p)

thì
pa
(t a)f(t a) e F(p)

  


5) Hàm xung và biểu diễn hàm qua hàm
(t)

:Hàm xung là hàm có dạng

(t) víi a t b
f(t)
0 víi t cßn l¹i
  





khi đó ta có
f(t) (t a) (t) (t b) (t)
       

15

6) Ảnh của hàm tuần hoàn:Cho
f(t) f (t T)
 
thì
T
pt
0
pT
e f(t)dt
f(t)
1 e




ta có
pt pt pT pu
o o T
f(t) e f(t)dt e f(t T)dt e e f(u)du
  
   
  
  


T T
pT pu pu pT pu
0 0 0

e e f (u)du e f(u)du e F(p) e f(u)du F(p)

    
   
    
 
 
 
 
   
  


T
pu
0
pT
e f(u)du
F(p)
1 e

 



VÍ DỤ:Tìm ảnh của hàm
f(t) sint

7) Đạo hàm của hàm gốc: cho
f(t) F(p)


.Tìm ảnh của hàm
(k)
f (t)

với
k 1

ta có
pt pt pt
0
0 0
f (t) e f (t)dt e f (t) p e f(t)dt pF(p) f(0)
 

  
 
   
 

với
k 2

thì


2
f (t) p pF(p) f(0) p F(p) pf(0) f (0)
 
   



vậy
(k) k k 1 k 2 (k 2) (k 1)
f (t) p F(p) p f(0) p f (0) pf (0) f (0)
   

    


8) Tích phân hàm gốc : cho
f(t) F(p)

.Tìm ảnh của hàm
t
0
f(u)du


Chứng minh : Giả sử
t
0
f(u)du (t)
 

và
(t) (p)
 

.Khi đó

(t) p (p) (0)

   

nhưng
(0) 0
 
.Mặt khác
(t) f (t)

 
,nên
F(p)
(p)
p
 
.
9) Đạo hàm hàm ảnh: cho
f(t) F(p)

.Tìm gốc của
(k)
F (p)

Chứng minh:Ta đã có
0
F (p) tf(t)dt tf (t) F (p)

 
   


 nên tiếp tục lấy đạo hàm theo p
16

hai vế ta được
2
0
F (p) ( t) f (t)dt


 

,tức là
2
( t) f (t) F (p)





(k) k
F (p) ( t) f(t)



10) Tích phân hàm ảnh : cho
f(t) F(p)

.Tìm gốc của
p

F(u)du


(nếu hội tụ)
Chứng minh: Ta có

ut ut pt
p 0 0 p 0 p
f(t) f(t)
e f(t)dt du f(t)dt e du e dt F(u)du
t t
     
  
 
  
 
 
 
     


11) Tích chập và ảnh của nó : Cho hai hàm
f(t)
và
g(t)
thì
f(u)g(t u)du





được
gọi là tích chập của hai hàm
f(t)
và
g(t)
.Ký hiệu :
f g f (u)g(t u)du


  


LƯU Ý:

f g g f
  

 Nếu
f(t)
và
g(t)
là hai hàm gốc thì
t
0
f(u)g(t u)du f(u)g(t u)du


  
 

và
với
f(t) F(p)

và
g(t) G(p)

thì
f g F(p)G(p)



Chứng minh:Ta có
pt
0
f g (f g)e dt


 


t
pt pt
0 0 0 u
f (u)g(t u)du e dt g(t u)e dt f(u)du
  
 
   
   
   

   
   
   

đặt
t u v
 
thì
p(u v) pv pu
0 0 0 0
g(v)e dv f(u)du g(v)e dv e f(u)du F(p)G(p)
   
   
 
 
 
 
 
   
.
12) Công thức Duyhamen:Cho
f(t) F(p)

và
g(t) G(p)

thì




pF(p)G(p) p F(p) f(0) G(p) f(0)G(p) f(0)g(t) f g

    


hoặc


pF(p)G(p) p G(p) g(0) F(p) f(0)F(p) f(0)f (t) g f
(t)

    



17


13) Điều kiện để một hàm là ảnh của một hàm gốc
Định lý : Giả sử hàm
F(p)
là hàm biến phức thỏa mãn
1. Giải tích trong nửa mặt phẳng Re

o
p s

2.
lim ( ) 0



p
F p
3.
( )
 
 

a i
a i
F p dp
hội tụ tuyệt đối với Re
  
o
p a s

Khi đó
F(p)
là ảnh của hàm gốc
f(t)
và
f(t)
được xác định
1
( ) ( )
2
 
 




a i
pt
a i
f t F p e dp
i

14) Công thức tìm hàm gốc của một phân thức thực sự
Cho
( )
( )
( )

A p
F p
B p
(tối giản).Giả sử
( 1, )

k
a k M
là các cực điểm của
F(p)
thì
F(p)
là ảnh
của hàm gốc
f(t)
và
1

( ) Res ( ) ,

 
 
 

M
pt
k
k
f t F p e p a

III.Ứng dụng giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số:
Cho phương trình
( ) ( 1) ( 2) ( 3)
1 2 3 1
a x = f(t)
  


     
n n n n
o n n
a x a x a x a x a x
thỏa mãn điều kiện
( )
(0) 
k
k
x x

với
0, 1
 
k n

Cách giải : Giả sử
x X

thay
( ) 1 2
1 2 1

 
 
    

k k k k
o k k
x p X p x p x px x

và
f(t) ( )
F p

.Qua đó ta tính được
( )
( )

A p
X

B p
.Từ đây ta tìm được
( )
x t

Chú ý: Đối với hệ phương trình ta cũng làm tương tự
VÍ DỤ:
a)
( 1) 0 íi (0) 1; (0) 1
  
      
y t y ty v y y
b) Giải hệ phương trình

3 4 3 0
5 0

   



   

x x y
y x y

18

với điều kiện
(0) (0) (0) (0) 0

 
   
x x y y





§2:PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

I. Nhắc lại một số vấn đề về chuỗi Fourier
Cho hàm
f(x)
tuần hoàn chu kỳ
2

thì luôn có
1
f(x) cos sin
2


  

o
n n
n
a
a nx b nx

trong đó:

1
a f(x)dx





o


1
a f(x)cosxdx





n
với
n = 1,2,3


1
f(x)sinnxdx






n
b với
n = 1,2,3

Khi
f(x)
tuần hoàn chu kỳ
2

thì luôn có
1
f(x) cos sin
2


 
  

 
o
n n
n
a
n n
a x b x

ở đó các hệ số được xác định

1

a f(x)dx






o


1
a f(x)cos xdx






 
n
n
với
n = 1,2,3

19


1
f(x)sin xdx







 
n
n
b với
n = 1,2,3

Nếu hàm
f(x)
là hàm chẵn thì
0

n
b với
n = 1,2,3

còn khi hàm
f(x)
là hàm lẻ thì
0

n
a với
n = 0,1,2,3

II. Phép biến đổi Fourier

1) Định lý : Hàm
f(x)
khả tích trên


và thỏa mãn điều kiện Đirichlet thì

1
f(x) = ( )cos ( )
2
 
 
  

 
d f t t x dt
(1)

Ta có
( )cos ( )
 
f t t x
là hàm chẵn theo

và
( )sin ( )
 
f t t x
lẻ theo


nên
 
( )
1 1
f(x) = ( ) cos ( ) sin ( ) ( )
2 2
   
  
   
       
 
   
i t x
d f t t x i t x dt d f t e dt
(2)

Khi đó
(1)
và
(2)
được gọi là công thức tích phân Fourier thực và phức tương ứng,và ta có

( )
1 1
( ) ( )
2 2
   
     
   
 

  
 
 
 
 
   
i t x i x i t
d f t e dt e f t e dt d

2) Định nghĩa : Ta gọi
a)

( ) ( )

 

 

i t
f f t e dt
là biến đổi Fourier của hàm
f(x)

b)

1
f(x) = ( )
2




 


i x
f e d
là biến đổi Fourier ngược của hàm
f(x)


Nếu
f(x)
là hàm chẵn thì
 
0
1
f(x) = ( ) cos cos sin sin
 

     

 
d f t t x t x dt


0 0
2
= cos ( )cos
 
 

  
 

 
 
 
x f t tdt d

20

Và

0
( ) = ( )cos

 

f f t tdt
gọi là biến đổi Fourier theo cosin
còn

0
2
f(x) = ( )cos

  


f xd
gọi là biến đổi Fourier ngược theo cosin

Còn khi
f(x)
là hàm lẻ tương tự ta có


0
( ) = ( )sin

 

f f t tdt
gọi là biến đổi Fourier theo sin
và

0
2
f(x) = ( )sin

  


f xd
gọi là biến đổi Fourier ngược theo sin
LƯU Ý :
a) Các định nghĩa trên có ý nghĩa thuần túy toán học.
b) Nếu hàm
x(t)
là hàm dạng sóng theo biến thời gian t (với tần số f),đặt
2
 

f

thì ta có
2 2
1
( ) ( ) ( )
2
   
     
   
   
  
   

   
   
   
i t i u i ft i fu
x t e x u e du d e x u e du df

c) Trong kỹ thuật thì người ta định nghĩa :


2
( ) ( )

 




i fu
X f x u e du
là biến đổi Fourier của hàm
x(t)



2
( ) ( )





i ft
x t X f e du
là biến đổi Fourier ngược của hàm
x(t)

Ký hiệu :



ˆ
f(x) f( )
 
F là biến đổi Fourier thuận hoặc
f(x)



( )

f




1
ˆ
f ( ) f(x)

 F là biến đổi Fourier ngược
d) Hàm Dirac
0 víi 0
(t) =
víi 0




 

t
t

21

Đó là hàm chẵn và thỏa mãn
(t)dt 1



 


Với mọi hàm
( )
f t
liên tục tại 0 luôn có
( ) (t)dt (0)


 

f t f
.
Khi đó
2
(t) (t)e dt 1

 

  


i ft

 
1 2
1 = e df


 


i ft
F và
1
(at) (t)
  
a
với
0

a

VÍ DỤ:
a) Tìm hàm
( )
f t
chẵn thỏa mãn

0
1 0 1
( )cos
0 1

    

 

 



víi
f x tdt
víi

Qua đó tính tích phân
2
2
0
sin
I =


x
dx
x

Chứng minh:Ta có
1
0 0 0
2 2
( ) ( )cos cos (1 )cos
 
 
        
 
 
 
 

  
f x f x tdt xd xd


1
2 2
0
2 sin sin cos 2 1 cos
= .


    
 
  
 
 
 
x x x x
x x
x x
.
Từ


2
0
1 víi 0 1
1 cos
cos
0 víi >1

2

    



 




x
xdx
x



2
2
0
sin
1 víi 0 1
2
cos
0 víi >1
2 2
2

 
 

    


 
 
 

 

 

 
 
 

x
x
xd
x



2
2
0
1 2 víi 0 2 1
sin
cos2
0 víi 2 >1
2


    


 




u
udu
u

Với
0

thì
I =
2


22

b) Tìm hàm lẻ
( )
f t
thỏa mãn

0
1 íi 0 1

( )sin( ) 2 íi 1 2
0 íi 2

 


  





v t
f u ut du v t
v t

Do hàm lẻ nên
0 0
2
f(t) f(u)sin udu sin td
 
 
   
 

 
 
 

và

 
1 2
0 1
1
( ) sin 2 sin 3 cos 2cos 2
 
       
 
 
 
 
f t td td t s t
t

c) Từ biến đổi Fourier của
f(x) = e

x
với
x 0

.Tính
2
0
sin
I =
1




x mx
dx
x

Chứng minh:Thác triển hàm
f(x) = e

x
thành hàm lẻ,khi đó biến đổi Fourier là


2
2
0 0
0 0
( ) e in e in e e sin
1
 
 
   
 
 

           
 
 
 
 
 
u u u u

u u
X s udu s u cos u udu

Ta có

0
2
f(x) X( )sin xd

   


là biến đổi Fourier ngược của
f(x) = e

x
nên

2 2
0 0
2 sin 2 sin
e
1 1
 

   
   
 
   
 

x
x x
d d
2
0
sin .e
I=
2
1



 


m
x mx
dx
x

3) Các tính chất (trong kỹ thuật):
a) Tuyến tính : Cho


ˆ
x(t) X(f )
F và


ˆ

y(t) Y(f)
F với

;

= cosnt thì



ˆ ˆ
x(t) y(t) X(f) Y(f)
      F
b) Đồng dạng : Cho


ˆ
x(t) X(f )
F thì
 
1 f
ˆ
x(at) X
a a
 

 
 
F
c) Trễ : Cho



ˆ
x(t) X(f )
F thì


o
i2 t
0
ˆ
x(t t ) e X(f )
 
 F
23

d) Dịch chuyển ảnh : Cho


ˆ
x(t) X(f )
F thì


o
i2 f t
0
ˆ
e x(t) X(f f )

 F

e) Điều chế:Cho


ˆ
x(t) X(f )
F thì

 
 
0 0 0
1
x(t)cos(i2 f t) X(f f ) X(f f )
2
 
    
 
F
f) Đạo hàm của hàm gốc: Cho


ˆ
x(t) X(f )
F thì


(k) k
ˆ
x (t) (i2 f) X(f)
 F
Chứng minh: với

k 1

thì

2
x (t) = ( 2 ) ( )






i ft
i f X f e df
tức là


ˆ
x (t) (i2 f)X(f)

 F
với
k 2

thì

2 2
x (t) = ( 2 ) ( )







i ft
i f X f e df
tức là


2
ˆ
x (t) (i2 f) X(f)

 F .Qua đó ta được
diều phải chứng minh.
g) Đạo hàm hàm ảnh : Cho


ˆ
x(t) X(f )
F thì


n n (n)
ˆ
t x(t) ( i2 ) X (f)

  F
Vì


( )
2
( ) ( 2 ) ( )

 

  

k
k i fu
X f i u x u e du
tức là


n (n)
ˆ
( i2 t) x(t) X (f)
  F hay



n n (n)
ˆ
t x(t) ( i2 ) X (f)

  F
h) Tích chập: Cho


ˆ

x(t) X(f )
F và


ˆ
y(t) Y(f)
F thì


ˆ ˆ
x y X(f )Y(f )
 F

Chứng minh: Ta có
 
i2 ft
x y x(u)y(t u)du e dt
 
 
 
 
  
 
 
 
 
F


i2 ft

x(u) y(t u)e dt du
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i2 fu i2 fv
ˆ ˆ
x(u)e du y(v)e dv X(f )Y(f )
 
   
 
 
 

III. Biến đổi Fourier hữu hạn
Cho dãy số
 
( )


n
n
x n .Biến đổi Fourier hữu hạn của nó được xác định



2
( ) ( )

 



n
i nf
n
X f x n e (khi chuỗi vế phải hội tụ)
24

kí hiệu:


( )
x n
F =

( )
X f

Và công thức biến đổi ngược là

1
2
0
( ) ( )




i nf
x n X f e df

Nếu đặt
2
  
f
thì từ

1
2
0
( ) ( )



i fn
x n X f e df
ta có

2
0
1
( ) ( )
2


  



i n
x n X e d

Điều kiện đủ để dãy tín hiệu rời rạc
 
( )


n
n
x n có biến đổi Fourier hữu hạn là:
( )


 

n
n
x n (Tức là chuỗi hội tụ)
Tính chất: Cho


( )
x n
F =

( )
X f

và


( )
y n
F =

( )
Y f

1) Tuyến tính:


( ) ( )
  
x n y n
F =

X(f)
 +

( )

Y f

2) Trễ :


( )


o
x n n
F =

2
( )
 
o
i n f
e X f

3) Dịch chuyển ảnh:


2
( )

o
i n f
e x n
F =

( )

o
X f f

IV. Biến đổi Fourier rời rạc:
Khi các hàm số biểu diễn cho các tín hiệu thì biến đổi Fourier của chúng được gọi là biểu
diễn phổ.Việc tính toán biến đổi Fourier dựa vào máy tính phải được rời rạc hóa bằng cách

chọn một số hữu hạn các giá trị mẫu theo thời gian và phổ cũng nhận được tại một số hữu
hạn các tần có số.
1) Định nghĩa: Cho dãy số
x(n)
xác định với


n 0, 1, 2, 3, ,N-1 .
 Chuỗi Fourier
25

rời rạc của dãy
x(n)
được xác định
2
1
0
X(k) = x(n)





i kn
N
N
n
e ở đó
k



.
Đặt
2
W =

i
N
e
.Khi đó
a)
W = 1
mN
và
W W


mN n n
.Chứng tỏ
W
tuần hoàn chu kỳ N

b)
1
0
W 0





N
kn
k
nếu
n


N
và
1
0
W = N



N
kn
k
khi
n =

N
(


 
)
Vì khi
n



N
thì
W 1

n
và
W 1

Nn
nên


1
0
1 W
W 0
1-W



 

N
n
N
kn
n
k
.Còn khi

n =

N

thì
W 1

n
nên
1
0
1




N
k
N

2) Định nghĩa:Biến đổi Fourier rời rạc của dãy tín hiệu tuần hoàn chu kỳ N được xác
định :


1
0
( ) ( )W






N
mk
m
X k x m với
k = 0, N-1

Từ định nghĩa ta thấy
a)


( ) ( )
 
X k mN X k
.Chứng tỏ

( )
X k
là hàm tuần hoàn chu kỳ N
b) Biến đổi Fourier rời rạc của dãy tín hiệu
x(n)
là kết quả một chu kỳ của chuỗi
Fourier rời rạc.