Số siêu phức và giải tích phức

Số siêu phức
Trong toán học, số siêu phức là khái niệm mở rộng của số phức từ dạng tổ hợp tuyến
tính
2 chiều z = a + b.i với các hệ số thực a, b của hai đơn vị cơ sở 1 và i sang không gian
vectơ n chiều
với n hệ số thực x
0
, x
1
, x
2
, ..., x
n-1
, của n đơn vị cơ sở 1, e
1
, e
2
, e
3
, ..., e
n-1
:
z = x
0
.1 + x
1
.e
1
+ x
2
.e

2
+ ... + x
n-1
.e
n-1
Lịch sử
Phép tính
•
Phép cộng và trừ số siêu phức được định nghĩa theo tọa độ tương tự như phép
cộng và trừ vectơ trong không gian n chiều.
•
Phép nhân hai số siêu phức: xác định giá trị của (n-1)
2
tích e
i
.e
j
, còn các tích của e
i

với 1 được đặt một cách tự nhiên (1.e
i
= e
i
.1 = e
i
)
Tính chất: Phép nhân số siêu phức không có tính giao hoán, do đó, các tập hợp số
siêu phức không phài là trường số.
Các bộ số siêu phức

Mô tả số siêu phức bộ bốn trong hệ tọa độ bốn chiều ,
ij = k, ji = − k, ij = − ji
•
Bộ bốn (en:Quaternion) là số siêu phức với số chiều n = 4 có dạng x = a + bi + cj
+ dk với a, b, c, và d là các số thực còn i, j và k là các số bộ bốn đặc biệt được
định nghĩa như sau:
1. 1i = i1 = i; 1j = j1 = i; 1k = k1 = i
2.
i = j = k = − 1
2 2 2

Số
y = a − bi − cj − dk là số siêu phức bộ bốn liên hợp với x = a + bi + cj + dk
Phép nhân số siêu phức bộ bốn có tính kết hợp nhưng không giao hoán và không có ước
của không. Định lý Frobenius (en:Frobenius theorem (real division algebras)) khẳng
định rằng chỉ có trường số thực, trường số phức và vành số siêu phức bộ bốn mới có tính
kết hợp trong phép nhân vô hướng với một số thực mà thôi.
Số siêu phức bộ bốn được William Rowan Hamilton nghiên cứu và đề xuất trong khi tìm
tòi mở rộng trường số phức.

•
Bộ tám (en:Octonion)
1 i j k l il jl kl
i
−1
k
−j
il
−l −kl

jl
j
−k −1
i jl kl
−l −il
k
j
−i −1
kl
−jl
il
−l
l
−il −jl −kl −1
i j k
il
l
−kl
jl
−i −1 −k
j
jl
kl l
−il −j
k
−1 −i
kl
−jl
il l
−k −j

i
−1
•
Bộ mười sáu (en:Sedenion)
× 1 e
1
e
2
e
3
e
4
e
5
e
6
e
7
e
8
e
9
e
10
e
11
e
12
e
13

e
14
e
15
1
1 e
1
e
2
e
3
e
4
e
5
e
6
e
7
e
8
e
9
e
10
e
11
e
12
e

13
e
14
e
15
e
1
e
1
-1 e
3
-e
2
e
5
-e
4
-e
7
e
6
e
9
-e
8
-e
11
e
10
-e

13
e
12
e
15
-e
14
e
2
e
2
-e
3
-1 e
1
e
6
e
7
-e
4
-e
5
e
10
e
11
-e
8
-e

9
-e
14
-e
15
e
12
e
13
e
3
e
3
e
2
-e
1
-1 e
7
-e
6
e
5
-e
4
e
11
-e
10
e

9
-e
8
-e
15
e
14
-e
13
e
12
e
4
e
4
-e
5
-e
6
-e
7
-1 e
1
e
2
e
3
e
12
e

13
e
14
e
15
-e
8
-e
9
-e
10
-e
11
e
5
e
5
e
4
-e
7
e
6
-e
1
-1 -e
3
e
2
e

13
-e
12
e
15
-e
14
e
9
-e
8
e
11
-e
10
e
6
e
6
e
7
e
4
-e
5
-e
2
e
3
-1 -e

1
e
14
-e
15
-e
12
e
13
e
10
-e
11
-e
8
e
9
e
7
e
7
-e
6
e
5
e
4
-e
3
-e

2
e
1
-1 e
15
e
14
-e
13
-e
12
e
11
e
10
-e
9
-e
8
e
8
e
8
-e
9
-e
10
-e
11
-e

12
-e
13
-e
14
-e
15
-1 e
1
e
2
e
3
e
4
e
5
e
6
e
7
e
9
e
9
e
8
-e
11
e

10
-e
13
e
12
e
15
-e
14
-e
1
-1 -e
3
e
2
-e
5
e
4
e
7
-e
6
e
10
e
10
e
11
e

8
-e
9
-e
14
-e
15
e
12
e
13
-e
2
e
3
-1 -e
1
-e
6
-e
7
e
4
e
5
e
11
e
11
-e

10
e
9
e
8
-e
15
e
14
-e
13
e
12
-e
3
-e
2
e
1
-1 -e
7
e
6
-e
5
e
4
e
12
e

12
e
13
e
14
e
15
e
8
-e
9
-e
10
-e
11
-e
4
e
5
e
6
e
7
-1 -e
1
-e
2
-e
3
e

13
e
13
-e
12
e
15
-e
14
e
9
e
8
e
11
-e
10
-e
5
-e
4
e
7
-e
6
e
1
-1 e
3
-e

2
e
14
e
14
-e
15
-e
12
e
13
e
10
-e
11
e
8
e
9
-e
6
-e
7
-e
4
e
5
e
2
-e

3
-1 e
1
e
15
e
15
e
14
-e
13
-e
12
e
11
e
10
-e
9
e
8
-e
7
e
6
-e
5
-e
4
e

3
e
2
-e
1
-1




Giải tích phức
Giải tích phức, hay còn gọi là lý thuyết hàm biến phức, là một nhánh của toán học
nghiên cứu các hệ hàm sốmột hay nhiều biến và các biến số đều là số phức(các ánh xạ
giữa C^n và C^m). khoảng hơn 50 năm trước, dựa trên sự phát triển của Giải tích hàm,
Giải tích phức đã nghiên cứu các ánh xạ giữa các không gian vector topo phức vô hạn
chiều, đặc biệt là các không gian định chuẩn. Giải tích phức có nhiều ứng dụng trong
nhiều ngành khác của toán học, trong đó có lý thuyết số và toán ứng dụng.
Một trong những đối tượng chính của giải tích phức là các
ánh xạ giải tích phức, thường
gọi là các
ánh xạ chỉnh hình. Vì phần thực và phần ảo của một hàm giải tích một biến
thỏa mãn phương trình Laplace, nên giải tích phức được ứng dụng rộng rãi trong các bài
toán vật lý hai chiều.
Hàm một biến phức
Hàm phức là một hàm trong đó đối số và hàm số nhận giá trị phức. Chính xác hơn, hàm
phức là hàm mà tập xác định Ω là tập con của mặt phẳng phức và tập giá trị cũng là tập
con của mặt phẳng phức.
Với một hàm phức tùy ý, cả đối số và hàm số có thể tách thành phần thực và phần ảo:
và

trong đó
và là các hàm thực.
Nói cách khác, các thành phần của hàm f(z),
và

có thể hiểu như các hàm thực của hai biến thực, x và y.
Các khái niện cơ bản của giải tích phức thường được giới thiệu bằng cách mở rộng các
hàm thực sơ cấp (ví dụ hàm mũ, hàm lô ga rít và các hàm lượng giác) lên miền phức.
Đạo hàm và phương trình Cauchy-Riemann
Như trong giải tích thực, một hàm phức "trơn" w = f(z) có thể có đạo hàm tại một điểm
nào đó trong miền xác định Ω. Thực tế định nghĩa đạo hàm

tương tự trong trường hợp thực, với một điểm khác biệt quan trọng: Trong giải tích thực,
giới hạn chỉ có thể có bằng việc di chuyển trên đường thẳng thực một chiều. Trong giải
tích phức, giới hạn có được bằng cách di chuyển theo hướng bất kì trên mặt phẳng phức
hai chiều.
Nếu giới hạn này tồn tại với mọi điểm z trong Ω, khi đó f(z) được gọi là khả vi trên Ω. Có
thể chứng minh rằng mọi hàm khả vi f(z) đều là hàm giải tích. Đây là kết quả mạnh hơn
trường hợp hàm thực. Trong giải tích thực, ta có thể xây dựng hàm f(x) có đạo hàm bậc
nhất tại mọi nơi nhưng đạo hàm bậc hai không tồn tại tại một hay nhiều điểm trên tập xác
định của hàm. Tuy nhiên trên mặt phẳng phức, nếu một hàm f(z) khả vi trong một lân cận
thì nó sẽ khả vi vô hạn trong lân cận đó.
Bằng cách áp dụng phương pháp của giải tích véc tơ để tính đạo hàm riêng của hai hàm
vec tơ u(x, y) và v(x, y) vào cho hàm f(z), và xem xét hai đường đến z trong Ω, có thể chỉ
ra rằng đạo hàm tồn tại nếu và chỉ nếu