MỘT VÀI THỂ HIỆN CỦA THẾ GIỚI QUAN VÀ PHƯƠNG PHÁP LUẬN DUY VẬT BIỆN CHỨNG TRONG VIỆC XEM XÉT TOÁN HỌC VÀ VẬN DỤNG VÀO NGHIÊN CỨU, GIẢNG DẠY TOÁN HỌC

Một vài thể hiện của TGQ và PPL duy vật biện chứng ... ... 1
MỘT VÀI THỂ HIỆN CỦA THẾ GIỚI QUAN VÀ PHƯƠNG PHÁP
LUẬN DUY VẬT BIỆN CHỨNG TRONG VIỆC XEM XÉT TOÁN HỌC
VÀ VẬN DỤNG VÀO NGHIÊN CỨU, GIẢNG DẠY TOÁN HỌC
ThS Nguyễn Thành Trung
I. Mở đầu.
Mối quan hệ biện chứng giữa toán học và triết học làm bộc lộ vai trò định
hướng to lớn của triết học đối với toán học. Là người nghiên cứu toán học, hơn
hết, phải biết vận dụng triết học vào công tác chuyên môn, định hướng cho việc
nghiên cứu, giảng dạy toán học. Do thế giới quan và phương pháp luận của chủ
nghĩa duy vật biện chứng là khoa hoc, đúng đắn nhất, nên phần này sẽ sử dụng
nó để kiến giải sự phát triển của toán học qua đó rút ra ý nghĩa, phục vụ cho
công tác nghiên cứu, giảng dạy toán học.
Do phần này chủ yếu viết theo hướng vận dụng nên những vấn đề nghiên
về lí thuyết cũng như những vấn đề mang tính chuyên môn cao sẽ không được
trình bày sâu. Chỉ đi sơ lượt để thấy được hướng vận dụng như thế nào mà thôi.
Do đó, những ví dụ chọn minh hoạ là những ví dụ cơ bản, phổ thông, nhưng trực
quan, dễ hiểu không đòi hỏi phải có kiến thức sâu về toán học.
II. Mâu thuẫn là động lực phát triển toán học.
II.1. Mâu thuẫn giữa lí luận và thực tiễn là động lực phát triển
của toán học.
Trong khi phát triển nhận thức duy vật biện chứng về lịch sử, Mac và Ăng-
ghen đã chứng minh được khoa học, trong đó có toán học, không những phát
sinh mà luôn phát triển trên cơ sở vật chất nhất định, đó là thực tiễn đời sống,
hoạt động sản xuất, và những vấn đề của các khoa học khác.
Đi ngược lại lịch sử toán học, ta thấy nhu cầu so sánh các tập hợp người lao
động và công cụ lao động, phân chia sản phẩm săn bắn … nảy sinh số đếm, nhu
Một vài thể hiện của TGQ và PPL duy vật biện chứng ... ... 2
cầu đo đạt ruộng đất ở sông Nil sau mỗi trận lụt làm hình học hình thành và phát
triển… Nhu cầu nghiên cứu vận động, trước hết là vận động cơ học, làm nảy
sinh phép tính vi phân rồi tích phân.

Toám lại, toán học xuất hiện và phát triển không phải do nhu cầu nào khác,
mà là nhằm giải quyết những vấn đề thực tiễn đặt ra và đòi hỏi các công cụ từ
toán học.
II.2. Mâu thuẫn trong nội bộ toán học thúc đẩy việc mở rộng và
hoàn thiện toán học.
Đơn cử là việc ra đời số phức. Ví dụ khi giải phương trình bậc ba (x-1)
(x
2
+x+1) = 0 thì ta có ngay nghiệm là 1. Và phương trình bậc hai có hệ số âm thì
vô nghiệm. Tới đây thì ta chưa thấy mâu thuẫn gì. Nhưng ta hãy xét phương
trình sau:
x
3
- x = 0 (*)
Rõ ràng phương trình trên có 3 nghiệm là: -1; 0; 1. Nhưng khi giải bằng
phương pháp Cardino ta thấy:
Đặt x = y + z với điều kiện y.z=1/3 thì (*) trở thành
y
3
+ z
3
= 0
Đặt Y = y
3
và Z = z
3
thì ta có:
Y+Z=0 và Y.Z= 1/27
Do đó Y, Z là nghiệm phương trình X
2

+1/27 =0
Rõ ràng phương trình cuối này vô nghiệm nên phương trình (*) là vô
nghiệm (mâu thuẫn).
Chính mâu thuẫn này là cơ sở nghĩ đến việc chấp nhận căn bậc hai của số
âm và làm nảy sinh số phức.
II.3. Mâu thuẫn được giải quyết thì mâu thuẫn mới được hình
thành làm cho toán học phát triển không ngừng.
Một vài thể hiện của TGQ và PPL duy vật biện chứng ... ... 3
Theo lịch sử toán học, do nhu cầu chia vật làm xuất hiện số hữu tỷ, đến đây
thì tưởng chừng mâu thuẫn đã được giải quyết, nhưng mâu thuẫn mới lại xuất
hiện làm nảy sinh số phức….
Tóm lại, mâu thuẫn luôn xuất hiện và là động lực thúc đẩy toán học. Khi
mâu thuẫn được giải quyết không có nghĩa là toán học đã làm hết công việc của
mình, mà vấn đề mới luôn đặt ra, mâu thuẫn mới luôn xuất hiện, đòi hỏi và thúc
đẩy toán học ngày càng phát triển, ngày càng hoàn thiện và mở rộng không
ngừng.
II.4. Vận dụng “mâu thuẫn” vào nghiên cứu và giảng dạy toán học.
II.4.1. Trong công tác nghiên cứu toán học.
Phát hiện và giải quyết mâu thuẫn. Nghiên cứu toán học không có nghĩa là
tự bản thân nhà toán học nghĩ ra điều gí đó mới lạ, mà vấn đề nghiên cứu phải
bắt nguồn từ mâu thuẫn- đó là những bài toán học mà thực tiễn cuộc sống đang
đặc ra cũng như những vấn đề mà nội bộ toán học đang bế tắc.
Nói như thế không có nghĩa là ngồi chờ thực tiễn cần gì, nội bộ toán học
cần gì thì ta sẽ giải quyết điều đó. Cần có cái nhìn biện chứng, tự thân phủ định
và tạo mâu thuẫn trong toán học.
Mâu thuẫn được giải quyết không có nghĩa là kết thúc nghiên cứu. Khi bài
toán đặt ra được giải quyết, dưới cái nhìn biện chứng không cho phép nhà toán
học dừng lại mà phải tiếp tục nghiên cứu. Khi đó có thể trả lời những câu hỏi
sau :
1) Có cách nào giải quyết tối ưu hơn?

2) Có thể mở rộng hay không?
3) Nếu phủ định một hoặc một số kết quả trung gian thì có những hướng
phát triển nào khác?
4) Thu hẹp kết quả sẽ như thế nào? v.v…
II.4.2. Trong công tác giảng dạy toán học.
Một vài thể hiện của TGQ và PPL duy vật biện chứng ... ... 4
Đổi mới phương pháp dạy học đang là vấn đề cấp thiết thật sự được nhiều
người quan tâm. Trong giảng dạy giáo viên cần tạo ra được mâu thuẫn đó là mâu
thuẫn trong nội bộ nhận thức của học sinh.
Việc học tập của học sinh là quá trình tái phát minh (reinvention) lại kiến
thức đã có, dưới sự dẫn dắt của người thầy, do đó giáo viên cần tạo mâu thuẫn
qua đó tạo động cơ giúp cho học sinh có nhu cầu tìm hiểu kiến thức và có nhu
cầu tự tìm kiếm kiến thức. Ở đây xin đưa ra phương pháp dạy học giải quyết vấn
đề qua các bước sau:
Bước 1:Tạo tình huống gợi vấn đề. (Tạo mâu thuẫn trong nhận thức)
Bước 2:Trình bày vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết vấn đề.
Bước 3: Giải quyết vấn đề
Bước 4: Thể thức hoá vấn đề và kết luận.
Xin nêu ra một số phương pháp tạo vấn đề (tạo mâu thuẫn trong giảng
dạy)
1) Quan sát thí nghiệm và hình thành dự đoán.
2) Lật ngược vấn đề
Ví dụ, sau khi học định lý “nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x
0
thì liên
tục tại x
0
” . Giáo viên lật ngược vấn đề : “nếu hàm số liên tục tại x
0
thì nó có đạo

hàm tại x
0
không?”
3) Quy nạp tuong tự
Trong tam giác vuông ABC, đường cao AH, ta có
Trong tứ diện ABCD vuông tại A , đường cao AH ( tứ diện tương tự tam
giác là có đỉnh ít nhất) ta có: hay không?
4) Khái quát hoá.
5) Phát hiện sai lầm và nguyên nhân sai lầm.
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= +
2 2 2 2
1 1 1 1
AH AB AC AD
= + +
Một vài thể hiện của TGQ và PPL duy vật biện chứng ... ... 5
6) Ví dụ và phản ví dụ. v.v…
III. Cái chung - cái riêng; Phủ định của phủ định- cơ sở các phát minh
toán học.
III.1. Các phát minh toán học là sự mở rộng cái riêng và là sự phủ
định biện chứng.
III.1.1. Các hình thứ mở rộng.
Mở rộng hoàn toàn. Ví dụ việc mở rộng tập hợp số là một mở rộng hoàn
toàn.
Mở rộng là một thu hẹp tương đối.
Ví dụ trong không gian Topo (X,T), người ta đưa vào thêm khái niệm
khoảng cách, metric, ta được không gian Metric (X,d); đưa vào khái niệm
chuẩn, được không gian định chuẩn (X,

.
).
Phát minh toán học còn là sự phủ định biện chứng. Chẳng hạn, sự ra đời
hình học Lobasepxki- Bolya là sự phủ định tiên đề V của hình học Euclide, giữ
lại các tiên đề khác.
III.1.2. Ý nghĩa trong nghiên cứu toán học.
Khi nhìn nhận ba góc độ mở rộng toán học nói trên có ý nghĩa vô cùng to
lớn trong công tác nghiên cứu toán học. Xin nêu lên một vài ví dụ:
Đối với mở rộng hoàn toàn. Những vấn đề đúng với cái riêng thì cũng đúng
với cái chung vừa được mở rộng nên không cần nghiên cứu lại. Chỉ nghiên cứu
các vấn đề có ở cái chung.
Ví dụ, những tính chất có trong tập số thực R cũng có trong tập số phức do
vậy cần nghiên cứu những tính chất trong tập số phức mà tập số thực không có-
đó là những vấn đề liên quan đến căn bậc chẵn của số ảo…
Đối với sự thu hẹp tương đối. Cần nghiên cứu những vấn đề trên cái riêng
vừa được thu hẹp. Ví dụ, trên không gian metric (X,d), những vấn đề đúng trong
không gian Topo thì đúng trong Metri, do đó cần nghiên cứu những cái liên
quan đến metric d.