BÀI TẬP TÍCH PHÂN HAY
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (118.08 KB, 7 trang )
30 BÀI TOÁN TÍCH PHÂN
Tìm nguyên hàm I =
6x
3
+8x +1
(3x
2
+4)
x
2
+1
dx
Bài 1
Lời giải:
Ta có
6x
3
+8x +1
3x
2
+4
=2x +
1
3x
2
+4
=⇒ I =
2x +
1
3x
2
+4
1
x
2
+1
dx =
2x
x
2
+1
dx +
1
(3x
2
+4)
x
2
+1
dx
Tính I
1
=
2x
x
2
+1
dx
Đặt
x
2
+1 =t, x
2
+1 =t
2
, 2t dt =2x dx =⇒ I
1
=2
tdt
t
=2t =2
x
2
+1
Tính I
2
=
1
(3x
2
+4)
x
2
+1
. dx
Đặt t =
x
2
+1
x
, xt =
x
2
+1, x
2
t
2
=x
2
+1, x
2
=
1
t
2
−1
, 3x
2
+4 =
4t
2
−1
t
2
−1
x dx =−
t dt
(t
2
−1)
2
,
dx
xt
=−
t dt
(t
2
−1)
2
x
2
t
,
dx
x
2
+1
=
dt
1 −t
2
I
2
=
t
2
−1
4t
2
−1
dt
1 −t
2
=
dt
1 −4t
2
=
1
2
1
2t +1
−
1
2t −1
dt =
1
4
ln
2t +1
2t −1
=
1
4
ln
2
x
2
+1 +x
2
x
2
+1 −x
Vậy I =2
x
2
+1 +
1
4
ln
2
x
2
+1 +x
2
x
2
+1 −x
+C
Tìm nguyên hàm I =
cos
2
x
sin x +
3cos x
dx
Bài 2
Lời giải:
Dùng pp hệ số bất định cos
2
x =(a sinx +b cos x)(sin x +
3cos x) +c(sin
2
x +cos
2
x)
cos
2
x =
−1
4
sin x +
3
4
cos x
(sin x +
3cos x) +
1
4
=
−1
4
(sin x −
3cos x)(sin x +
3cos x) +
1
4
I =
−1
4
(sin x −
3cos x)(sin x +
3cos x) +
1
4
sin x +
3cos x
dx
=
−1
4
(sin x −
3cos x) dx +
1
4
1
sin x +
3cos x
dx
=
1
4
(cos x +
3sinx) +
1
4
1
sin x +
3cos x
dx
Ta tính J =
1
4
dx
sin x +
3cos x
=
1
8
dx
cos(x −
π
6
)
=
1
8
cos(x −
π
6
)
1 −sin
2
(x −
π
6
)
dx
Đặt t =sin(x −
π
6
) =⇒ dt =cos(x −
π
6
) dx
=⇒ J =
1
8
dt
1 −t
2
=
1
16
1
t +1
−
1
t −1
dt =
1
16
ln
t +1
t −1
=
1
16
ln
sin(x −
π
6
) +1
sin(x −
π
6
) −1
Vậy I =
1
4
(cos x +
3sinx) +
1
16
ln
sin(x −
π
6
) +1
sin(x −
π
6
) −1
+C
Tìm nguyên hàm I =
x
3
+x
2
4
4x +5
dx
Bài 3
Lời giải:
1
I =
x
3
+x
2
4
4x +5
dx =
x
4
+x
3
4
4x
5
+5x
4
dx
=
1
20
4x
5
+5x
4
−
1
4
d(4x
5
+5x
4
) =
1
15
4
(4x
5
+5x
4
)
3
+C
Tìm nguyên hàm I =
cos2x +
2cos
x +
π
4
e
sin x+cos x+1
dx
Bài 4
Lời giải:
Ta có cos2x +
2cos
x +
π
4
=(cos x −sinx)(sin x +cos x +1)
I =
(cos x −sin x)(sin x +cos x +1)e
sin x+cos x+1
dx
=
(sin x +cos x +1)e
sin x+cos x+1
d
(
sin x +cos x +1
)
=
(sin x +cos x +1) d
e
sin x+cos x+1
=(sin x +cos x +1)e
sin x+cos x+1
−
e
sin x+cos x+1
d
(
sin x +cos x +1
)
=(sin x +cos x +1)e
sin x+cos x+1
−e
sin x+cos x+1
+C
=(sin x +cos x)e
sin x+cos x+1
+C
Tìm nguyên hàm I =
3
3x −x
3
dx
Bài 5
Lời giải:
Đặt t =
3
3x −x
3
x
=⇒ x
2
=
3
t
3
+1
=⇒ 2x dx =
−9t
2
dt
(t
3
+1)
2
I =
1
2
3
3x −x
3
x
2x dx =
−9
2
t
3
dt
(t
3
+1)
2
=
3
2
t d
1
t
3
+1
=
3t
2(t
3
+1)
−
3
2
dt
t
3
+1
Tính J =
dt
t
3
+1
=
d(t +1)
(t +1)[(t +1)
2
−3(t +1) +3]
=
1
2
(
ln3(1−t)−2ln 3t +ln(1 +t)
)
Vậy I =
1
2
x
3
3x −x
3
−
3
4
ln3
1 −
3
3x −x
3
x
−2ln3
3
3x −x
3
x
+ln
1 +
3
3x −x
3
x
+C
Tìm nguyên hàm I =
1
x
4
+4x
3
+6x
2
+7x +4
dx
Bài 6
Lời giải:
Tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ nên đa thức ở mẫu nhận x =−1 làm nghiệm
I =
dx
(x +1)[ (x +1)
3
+3]
=
1
3
(x +1)
3
+3 −(x +1)
3
(x +1)[ (x +1)
3
+3]
dx =
1
3
dx
x +1
−
(x +1)
2
(x +1)
3
+3
dx
=
1
3
ln|x +1|−
1
3
d((x +1)
3
)
(x +1)
3
+3
=
1
3
ln|x +1|−
1
9
ln|(x +1)
3
+3|+C
Tính tích phân I =
1
0
x ln
x +
1 +x
2
x +
1 +x
2
dx
Bài 7
Lời giải:
Đặt u =ln(x +
x
2
+1), dv =
x dx
x +
x
2
+1
=x(
x
2
+1 −x) d x
Suy ra du =
1 +
x
x
2
+1
x +
x
2
+1
dx =
dx
x
2
+1
, v =
1
2
(1 +x
2
)
1
2
d(1 +x
2
) −
x
2
dx =
1
3
[(1 +x
2
)
3
2
−x
3
]
I =
1
3
[(1 +x
2
)
3
2
−x
3
]ln(x +
1 +x
2
)
1
0
−
1
3
1
0
[(1 +x
2
)
3
2
−x
3
]
d x
1 +x
2
2
Mà J =
[(1 +x
2
)
3
2
−x
3
]
d x
1 +x
2
=
d x
1 +x
2
−
x
3
d x
1 +x
2
=arctan x −
1
3
(x
2
−2)
x
2
+1
Nên I =
1
3
[(1 +x
2
)
3
2
−x
3
]ln(x +
1 +x
2
)
1
0
−
1
3
arctanx
1
0
+
1
9
(x
2
−2)
x
2
+1
1
0
Vậy I =
1
3
(
8 −1)ln(1+
2) −
π
12
+
1
9
(2 +
2)
Tính tích phân I =
1
2
0
x ln
1 +x
1 −x
dx
Bài 8
Lời giải:
Với u =ln
1 +x
1 −x
, dv =x dx nên du =
2
1 −x
2
dx, v =
1
2
x
2
I =
1
2
x
2
ln
1 +x
1 −x
1
2
0
−
1
2
0
x
2
1 −x
2
dx =
1
8
ln3+
1
2
0
1 −x
2
−1
1 −x
2
dx
=
1
8
ln3+
1
2
−
1
2
1
2
0
1
1 +x
+
1
1 −x
dx =
1
8
ln3+
1
2
−
1
2
ln
1 +x
1 −x
1
2
0
=
1
2
−
3
8
ln3
Tính tích phân I =
π
0
e
−x
cos2x dx
Bài 9
Lời giải:
I =
π
0
e
−x
cos2x dx =−
π
0
cos2x d(e
−x
) =−e
−x
cos2x
π
0
−2
π
0
e
−x
sin2x dx
=e
−π
+1 +2
π
0
sin2x d(e
−x
) = e
−π
+1 +2e
−x
sin2x
π
0
−4
π
0
e
−x
cos2x dx =
1
5
(e
−π
+1)
Tính tích phân I =
3
0
x
5
+2x
3
x
2
+1
dx
Bài 10
Lời giải:
I =
3
0
x(x
4
+2x
2
)
x
2
+1
dx =
3
0
(x
4
+2x
2
) d(
x
2
+1)
I =(x
4
+2x
2
)
x
2
+1
3
0
−
3
0
x
2
+1 d(x
4
+2x
2
)
Tính J =
x
2
+1 d(x
4
+2x
2
) =
4x(x
2
+1)
x
2
+1 dx =4
x(x
2
+1)
2
x
2
+1
dx
=4
(
x
2
+1)
4
d(
x
2
+1) =
4
5
(x
2
+1)
2
x
2
+1
Nên I =(x
4
+2x
2
)
x
2
+1
3
0
−
4
5
(x
2
+1)
2
x
2
+1
3
0
Tính tích phân I =
e
1
1 +x
2
ln x
x +x
2
ln x
dx
Bài 11
Lời giải:
I =
e
1
1 +x
2
ln x
x +x
2
ln x
dx =
e
1
1
x
2
+ln x
1
x
+ln x
dx =
e
1
1
x
+ln x
1
x
+ln x
dx +
e
1
1
x
2
−
1
x
1
x
+ln x
dx
=
e
1
dx −
e
1
d
1
x
+ln x
1
x
+ln x
= x
e
1
−ln
1
x
+ln x
e
1
= e −1 −ln
1
e
+1
3
Tìm nguyên hàm I =
2(1 +ln x) +x ln x(1 +ln x)
1 +x ln x
dx
Bài 12
Lời giải:
Đặt u =1 +x ln x =⇒ du =
(
1 +ln x
)
dx
I =
(2 +x ln x)(1 +ln x)
1 +x ln x
dx =
u +1
u
du =u +ln|u|+C =1 +x ln x +ln|1 +x ln x|+C
Tính tích phân I =
π
4
0
x
2
(x
2
sin2x +1) −(x −1) sin2x
cos x(x
2
sin x +cos x)
dx
Bài 13
Lời giải:
I =
x
4
sin2x +x
2
−(x −1) sin2x
x
2
sin x cosx +cos
2
x
dx =
π
4
0
2x
4
sin2x +2x
2
−2x sin x +2sin2x
x
2
sin2x +cos2x +1
dx
=
π
4
0
2x
2
(x
2
sin2x +cos2x +1) −(x
2
sin2x +cos2x +1)
x
2
sin2x +cos2x +1
dx
=
π
4
0
2x
2
dx −
π
4
0
d(x
2
sin2x +cos2x +1)
x
2
sin2x +cos2x +1
=
2
3
x
3
π
4
0
−ln|x
2
sin2x +cos2x +1|
π
4
0
=
π
3
96
+ln2−ln
π
2
16
+1
Tìm nguyên hàm I =
(x
2
+1) +(x
3
+x ln x +2)lnx
1 +x ln x
dx
Bài 14
Lời giải:
I =
(x
2
+ln x) +x ln x(x
2
+ln x) +(1 +ln x)
1 +x ln x
dx =
(x
2
+ln x)(1 +x ln x) +(1 +ln x)
1 +x ln x
dx
=
(x
2
+ln x) dx +
d(1 +x ln x)
1 +x ln x
=
1
3
.x
3
+x ln x −x +ln |1 +x ln x|+C
Tìm nguyên hàm I =
x
2
(x
2
sin
2
x +sin2x +cos x) +sin x(2x −1 −sin x) +1
x
2
sin x +cos x
dx
Bài 15
Lời giải:
Vì x
2
(x
2
sin
2
x +sin2x +cos x) +sin x(2x −1 −sin x) +1 =(x
2
sin x +cos x)
2
+(x
2
sin x +cos x)
I =
(x
2
sin x +cos x) dx +
d(x
2
sin x +cos x)
x
2
sin x +cos x
=
x
2
sin x dx +sin x +ln |x
2
sin x +cos x|
Tính J =
x
2
sin x dx =−
x
2
d(cos x) =−x
2
cos x +2
x cosx dx = −x
2
cos x +2
x d(sin x)
J =−x
2
cos x +2x sin x −2
sin x dx =−x
2
cos x +2x sin x +2cos x
Vậy I =−x
2
cos x +2x sin x +2cos x +sin x +ln |x
2
sin x +cos x|+C
Tìm nguyên hàm I =
x(x +2)(3sinx −4sin
3
x) +2 cos x(cos x −2 sin x) +3x
2
cos3x −1
e
x
dx
Bài 16
Lời giải:
x(x +2)(3sinx −4sin
3
x) +2 cos x(cos x −2 sin x) +3x
2
cos3x −1
e
x
=
x
2
sin3x +(x
2
sin3x)
+cos2x +(cos2x)
e
x
=⇒ I =(x
2
sin3x +cos2x)e
x
Tìm nguyên hàm I =
2x
4
ln
2
x +x ln x(x
3
+1) +x −
1
x
2
1 +x
3
ln x
dx
Bài 17
Lời giải:
4
2x
6
ln
2
x +x
6
ln x +x
3
ln x +x
3
−1
x
2
+x
5
ln x
=
2[(x
3
ln x)
2
−1] +x
3
(x
3
ln x +1) +(x
3
ln x +1)
x
2
(1 +x
3
ln x)
=
(x
3
ln x +1)(2x
3
ln x +x
3
−1)
x
2
(1 +x
3
ln x)
=2x ln x +x −
1
x
2
Nên I =
2x ln x +x −
1
x
2
dx =
1
2
x
2
+
1
x
+
2x ln x dx =
1
2
x
2
+
1
x
+
ln x d(x
2
)
I =
1
2
x
2
+
1
x
+x
2
ln x −
x dx =
1
x
+x
2
ln x +C
Tìm nguyên hàm I =
x
2
sin(ln x) dx
Bài 18
Lời giải:
Đặt x =e
t
, lnx = t , dx =e
t
dt
=⇒ I =
e
3t
sin t dt =−e
3t
cos t +
3e
3t
cos t dt =−e
3t
cos t +3e
3t
sin t −
9e
3t
sin t dt
=⇒ 10I =3e
3t
sin t −e
3t
cos t =⇒ I =
1
10
3.e
3ln x
sin(ln x) −e
3ln x
cos(ln x)
+C
Tìm nguyên hàm I =
e
x
(x −1) +2x
3
+x
3
(e
x
+x(x
2
+1))
e
x
.x +x
2
(x
2
+1)
dx
Bài 19
Lời giải:
e
x
(x −1) +2x
3
+x
3
(e
x
+x(x
2
+1))
e
x
.x +x
2
(x
2
+1)
=
x
3
−1
x
+
3x
2
+e
x
+1
x
3
+x +e
x
=x
2
−
1
x
+
(x
3
+x +e
x
)
x
3
+x +e
x
Do đó
I =
x
3
3
−ln|x|+ln |x
3
+x +e
x
|+C
Tính tích phân I =
π
3
π
6
ln(tan x) dx
Bài 20
Lời giải:
I =
π
3
π
6
ln(tan x) dx=
đổi biến (x=
π
2
−x)
π
3
π
6
ln(cot x) dx =⇒ 2I =
π
3
π
6
ln(tan x.cotx) dx =0 =⇒ I =0
Tìm nguyên hàm I =
dx
sin
3
x +cos
3
x
Bài 21
Lời giải:
Ta có
1
sin
3
x +cos
3
x
=
(sin x +cos x)
(sin x +cos x)
2
(1 −sin x cosx)
=
(sin x +cos x)
(1 +sin2x)(1 −sin x cosx)
Đặt t =sinx −cosx, sin x cos x =
1 −t
2
2
,dt =(cosx +sinx) dx
I =
dt
(2 −t
2
)
1 −
1 −t
2
2
=2
dt
(2 −t
2
)(1 +t
2
)
=
2
3
1
2 −t
2
+
1
1 +t
2
dt
I =
2
3
dt
2 −t
2
+
2
3
dt
1 +t
2
Tính tích phân I =
0
−π
4
sin4x
(1 +sin x)(1 +cos x)
dx
Bài 22
Lời giải:
2(1 +sin x)(1 +cos x) =(sinx +cosx +1)
2
=
4sin2x(cos x +sin x)(cos x −sin x)
(sin x +cos x +1)
2
Đặt t =cosx +sinx, sin2x = t
2
−1, dt =(cos x −sinx) dx, x =
−π
4
, t =0, x =0, t =1
5
I =
1
0
4(t
2
−1)t
(t +1)
2
dt =4
1
0
t
2
−t
t +1
dt =4
1
0
t −2 +
2
t +1
dt
I =
2t
2
−8t +8 ln(t +1)
1
0
=2(4ln2 −3)
Tính tích phân I =
3
1
3
dx
1 +x
2
+x
98
+x
100
Bài 23
Lời giải:
I =
3
1
3
dx
(1 +x
2
)(1 +x
98
)
=
x=
1
x
3
1
3
dx
x
2
1 +
1
x
2
1 +
1
x
98
=
3
1
3
x
98
dx
(x
2
+1)(x
98
+1)
=⇒ I =
1
2
3
1
3
dx
1 +x
2
Tìm nguyên hàm I =
x
2
−3x +
5
4
7
(2x +1)
4
dx
Bài 24
Lời giải:
I =
1
4
4x
2
−12x +5
(2x +1)
4
7
dx
I =
1
8
(2x +1)
2
−8(2x +1) +12
(2x +1)
−4
7
d(2x +1)
I =
1
8
(2x +1)
10
7
−8(2x +1)
3
7
+12(2x +1)
−4
7
d(2x +1)
I =
7
136
(2x +1)
17
7
−
7
10
(2x +1)
10
7
+
9
14
(2x +1)
3
7
+C
Tìm nguyên hàm I =
2x
3
+5x
2
−11x +4
(x +1)
30
dx
Bài 25
Lời giải:
I =
2(x +1)
3
−(x +1)
2
−15(x +1) +18
(x +1)
30
dx
=
2(x +1)
−27
−(x +1)
−28
−15(x +1)
−29
+18(x +1)
−30
dx
=−
1
13(x +1)
26
+
1
27(x +1)
27
+
15
28(x +1)
28
−
18
29(x +1)
29
+C
Tìm nguyên hàm I =
x
3
−3x
2
+4x −9
(x −2)
15
dx
Bài 26
Lời giải:
I =
(x −2)
3
+3(x −2)
2
+4(x −2) +3
(x −2)
15
dx
=
(x −2)
−12
+3(x −2)
−13
+4(x −2)
−14
+3(x −2)
−15
dx
=−
1
11(x −2)
11
−
1
4(x −2)
12
−
4
13(x −2)
13
−
3
14(x +1)
14
+C
Tìm nguyên hàm I =
(x −1)
2
(5x +2)
15
dx
Bài 27
Lời giải:
Ta có
6
25(x −1)
2
=25x
2
−50x +25 =25x
2
+20x +4 −70x −28 +49 =(5x +2)
2
−14(5x +2) +49
Nên
I =
1
25
(5x +2)
17
−14(5x +2)
16
+49(5x +2)
15
dx
I =
1
25
(5x +2)
18
90
−
14(5x +2)
17
85
+
49(5x +2)
16
80
+C
Tính tích phân I =
8
4
x
2
−16
x
dx
Bài 28
Lời giải:
Đặt x =
4
sin t
, dx =
−4co s t
sin
2
t
dt ,
4
sin t
2
−16 =4cot t x =4, t =
π
2
; x =8, t =
π
6
Ta được
I =
π
6
π
2
4cot t
4
sin t
−4co s t
sin
2
t
dt =4
π
2
π
6
cot
2
t dt =4
π
2
π
6
(1 +cot
2
t −1) dt
=4(−cott −t )
π
2
π
6
=4
3 +
4π
3
Tính tích phân I =
1
1
3
(1 +x
2
)
5
x
8
dx
Bài 29
Lời giải:
Đặt x =tan t, dx =
dt
cos
2
t
,
(1 +x
2
)
5
=
1
cos
10
t
, x =
1
3
, t =
π
6
, x =1, t =
π
4
Ta được
I =
π
4
π
6
1
cos
10
t
tan
8
t
dt
cos
2
t
=
π
4
π
6
d(sin t)
si n
8
t
dt =
1
7
sin
7
t
π
4
π
6
=
128 −8
2
7
Tính tích phân I =
2
1
x −
x
2
−2x +2
x +
x
2
−2x +2
dx
x
2
−2x +2
Bài 30
Lời giải:
Đặt x =u +1, dx = du, x = 1, u = 0, x =2,u =1
Ta được
I =
1
0
u +1 −
u
2
+1
x +1
x
2
+1
du
u
2
+1
=
1
0
du
u
2
+1
−
1
0
2 du
u
2
+1(u +
u
2
+1 +1)
=
1
0
du
u
2
+1
−
1+
2
1
2 dt
t(t +1)
( với t =u +
u
2
+1, dt =
u
2
+1 +u
u
2
+1
du)
=arctan u
1
0
−2ln
t
t +1
1+
2
1
=
π
4
−ln2
7
