Chuyên đề PP Tính tích phân

C¸c ph­¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n
C¸c ph­¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n
I. Ph­¬ng ph¸p ®æi biÕn sè
II. Ph­¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn
II. Ph­¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn


Phương pháp đổi biến số
Phương pháp đổi biến số

Đổi biến số dạng 1:
Đổi biến số dạng 1:


+Quy tắc:
+Quy tắc:


Bước 1: Chọn ( một cách thích hợp )
Bước 1: Chọn ( một cách thích hợp )


Bước 2: - Lấy vi phân
Bước 2: - Lấy vi phân


- Đổi cận : Giả sử
- Đổi cận : Giả sử

Khi đó
Khi đó






Bước 3: Tính
Bước 3: Tính
( )x u t
=
'( )dx u t dt
=
x a t
x b t


= =
= =
( ). '( )I f ut u t dt


=

( ). '( )I f ut u t dt

=

( )
b
a
I f x dx=

Tính
Tính

§æi biÕn sè d¹ng 1
§æi biÕn sè d¹ng 1

Mét sè dÊu hiÖu dÉn tíi viÖc lùa chon
Mét sè dÊu hiÖu dÉn tíi viÖc lùa chon
u(t)
u(t)
2 2
a x
−
[ ]
sin , - ;
2 2
cos , 0;
x a t t
x a t t
π π
π


 
= ∈

 
 


= ∈

2 2
a x+
( )
, - ;
2 2
cot , 0;
x atgt t
x a gt t
π π
π

 
= ∈
 ÷

 


= ∈

2 2

( )a x+
DÊu hiÖu C¸ch chän


Bµi 1:
Bµi 1:
TÝnh
TÝnh
c¸c tÝch ph©n
c¸c tÝch ph©n
sau
sau
1
2
3
1
0
1I x x dx
= −
∫
2
3
2
1
2 2
dx
I
x x
=
− +

∫
I. Ph­¬ng ph¸p ®æi biÕn sè
2
2
2
1

4
dx
I
x
=
−
∫
1
2
4
0
1I x x dx= +
∫
2
3
( 1 )t x= −
( 2sin )x t
=
( )x tgt=
( 1 )x tgt− =
2
2
1

( 1) 1
dx
x
=
− +
∫
2
( 1)t x= +


Bµi gi¶i
Bµi gi¶i


§Æt:
§Æt:
2 3 2 2 3
3
1 1 1t x t x x t= − ⇒ = − ⇒ = −
Ta cã:
2
2 3xdx t dt
= −
0 1
1 0
x t
x t
= ⇒ =
= ⇒ =
VËy:

0
2
1
1
3
( )
2
I t t dt
= −
∫
1
2
3
1
0
1I x x dx= −
∫
1
3
0
3
2
t dt
=
∫
4 1
0
3
8
t

=
2
3
2
xdx t dt⇒ = −
3
8
=


C¸ch 2
C¸ch 2
1
2
3
1
0
1I x x dx= −
∫
1
1
2 2
3
0
1
(1 ) (1 )
2
x d x= − − −
∫
4

2 1
3
0
3
(1 )
8
x
= − −
3
8
=


2
2
2
1
dx

4
I
x
=
−
∫
2sin , t - ;
2 2
x t
π π
 

= ∈
 
 
2
6
2
2
2cos
4 4sin

tdt
I
t
π
π
=
−
∫
1 ; 2
6 2
2cos
x t x t
dx tdt
π π
= ⇒ = = ⇒ =
=
§Æt:
Ta cã:
VËy:
2

2
6
2cos
2 1 sin
tdt
t
π
π
=
−
∫
2
6
2cos
=
2cos
tdt
t
π
π
∫
2
2
6
6
2 6 3
dt t
π
π
π

π
π π π
= = = − =
∫


1 , t ;
2 2
x tgt
π π
 
− = ∈ −
 ÷
 
( )
2
2
1 0
1
1
co
; 2
4
s
dx dt tg t dt
x
x t x t
π
= = +
= ⇒ = = ⇒ =

§Æt:
Ta cã:
VËy:
2
2
4 4
4
0
2 2
1 0 0
(1 )
( 1) 1 1 4
dx tg t
dt dt t
x tg t
π π
π
π
+
= = = =
− + +
∫ ∫ ∫
2 2
3
2 2
1 1

2 2 ( 1) 1
dx dx
I

x x x
= =
− + − +
∫ ∫


1
2
4
0
1I x x dx= +
∫
, ;
2 2
x tgt t
π π
 
= ∈ −
 ÷
 
0 0
1
4
x t
x t
π
= ⇒ =
= ⇒ =
2
1

cos
dx dt
t
=
§Æt:
Ta cã:
VËy:
4
2
4
2
0
1
1
cos

I tgt tg t dt
t
π
= +
∫
4
4
0
(cos )

cos
d t
t
π

= −
∫
2
4
0
sin
cos
xdx
x
π
=
∫
4
0
3
1
3cos t
π
=
2 2 1
3
−
=


1
2
4
0
1I x x dx

= +
∫
2
1t x= +
2 2
1t x⇒ = +
2 2tdt xdx
=
§Æt:
Ta cã:
xdx tdt
⇒ =
0 1
1 2
x t
x t
= ⇒ =
= ⇒ =
VËy:
2
4
1
.I t tdt=
∫
2
2
1
t dt=
∫
3 2

1
1
3
t=
1
(2 2 1)
3
= −


Bµi 2:
Bµi 2:
TÝnh
TÝnh
c¸c tÝch ph©n
c¸c tÝch ph©n
sau
sau
1
5 3
0
1, 1x x dx
−
∫
3
2
2
0
sin cos
3,

1 cos
x x
dx
x
π
+
∫
1
3 2
0
5, 1x x dx
−
∫
3
2 3
0
1
6,
(1 )
dx
x+
∫
1
1 3ln .ln
4,
e
x x
dx
x
+

∫
3
2
0
1
2,
1
x
dx
x
+
+
∫
3
( 1 )t x
= −
( 1)t x
= +
2
( cos 1)t x
= +
( 1 3ln )t x
= +
( sin )x t
=
2
( 1 )t x
= −
( )x tgt
=

B o l cạ ự
B o l cạ ự


Phương pháp tích phân từng phần
Phương pháp tích phân từng phần

Sử dụng công thức:
Sử dụng công thức:


b b
b
a
a a
udv uv vdu=

Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng:
1 2
( ) ( ). ( )
b b
a a
I f x dx f x f x dx
= =

Bước 2: Đặt:
1
2

( )
( )
u f x
du
dv f x dx v
=
=




= =


Bước 3: áp dụng (1) ta có:
b
b
a
a
I uv vdu=

(1)



Khi sử dụng phư
Khi sử dụng phư
ơng pháp tích
ơng pháp tích
phân từng phần

phân từng phần
cần chú ý:
cần chú ý:


1, Lựa chọn
1, Lựa chọn
phép đặt dv
phép đặt dv
sao cho v được
sao cho v được
xác định một
xác định một
cách dễ dàng
cách dễ dàng


2, Tích phân
2, Tích phân
sau phải đơn
sau phải đơn
giản hơn tích
giản hơn tích
phân trước
phân trước
( )
b
x
a
P x e dx

Một số dạng cơ bản:
sin
b
x
a
e xdx



( )ln ( )
b
a
P x f x dx

( )sin
b
a
P x xdx


}
Đặt:
( )u P x=
Đặt:
Đặt:
ln ( )u f x
=
sin

x
e
u
x



=




Bµi 3:
Bµi 3:
TÝnh
TÝnh
c¸c tÝch ph©n
c¸c tÝch ph©n
sau
sau
1
2
1
0
ln(3 )I x x dx
= +
∫
ln 2
3
0

x
I xe dx
−
=
∫
II. Ph­¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn
4
2
0
cos 2I x xdx
π
=
∫
2
4
0
sin 2
x
I e xdx
π
=
∫
2
( ln(3 )u x= +
( )u x
=
2
( )
x

u e
=
( )u x
=


Bµi gi¶i
Bµi gi¶i
1
2
1
0
ln(3 )I x x dx
= +
∫
2
2
2
2
ln(3 )
3
2
x
du dx
u x
x
dv xdx
x
v


=


= +

+
⇒
 
=


=


1
2 3
2 1
1 0
2
0
ln(3 )
2 3
x x
I x dx
x
= + −
+
∫
§Æt:
1

2
0
1 3
ln 4 ( )
2 3
x
x dx
x
= − −
+
∫
2
2 1
0
1 3
ln 4 ( ln 3 )
2 2 2
x
x= − − +
1 1 3 3 3 1
ln 4 ln 4 ln3 2ln 4 ln 3
2 2 2 2 2 2
 
 
= − − − = − −
 ÷
 
 
 
VËy:

4
2
0
cos 2I x xdx
π
=
∫
1
cos2
sin 2
2
du dx
u x
dv xdx
v x
=

=


⇒
 
=
=



4

4
2 0
0
1 1
sin 2 sin 2
2 2
I x x xdx
π
π
= −
∫
4
0
1 1
. sin cos2
2 4 2 4
x
π
π π
= +
1 1
(cos cos0)
8 4 2 8 4
π π π
= + − = −
§Æt:
VËy:


ln 2

3
0

x
I xe dx
−
=
∫
x x
u x du dx
dv e dx v e
− −
= =
 
⇒
 
= = −
 
ln 2
ln 2
3 0
0
x x
I xe e dx
− −
= − +
∫
ln 2 ln 2
0
ln 2

x
e e
− −
= − −
ln 2 0
1
ln 2 ( )
2
e e
−
= − − −
1 1 1 1
ln 2 1 ln 2
2 2 2 2
= − − + = −
§Æt:
VËy:


2
4
0
sin 2
x
I e xdx
π
=
∫
2
2

2
1
sin 2
cos 2
2
x
x
du e dx
u e
dv xdx
v x

=

=

⇒
 
=
= −



2 2
4 0
0
1
cos2 cos 2
2
x x

I e x e xdx
π
π
= − +
∫
2 '
4
1 1
2 2
e I
π
= − + +
' 2
4
0
( cos2 )
x
I e xdx
π
=
∫
§Æt:
VËy:


' 2
4
0
cos2
x

I e xdx
π
=
∫
2
2
2
1
cos2
sin 2
2
x
x
du e dx
u e
dv xdx
v x

=

=

⇒
 
=
=



' 2 2

4 0
0
1
sin 2 sin 2
2
x x
I e x e xdx
π
π
= −
∫
4
I
= −
2
4 4
1 1
2 2
I e I
π
= − + −
2
4
1
2 (1 )
2
I e
π
⇒ = −
2

4
1
(1 )
4
I e
π
⇒ = −
§Æt:
Ta cã:
VËy:
TÝnh:


Bµi 4:
Bµi 4:
TÝnh
TÝnh
c¸c tÝch ph©n
c¸c tÝch ph©n
sau
sau
1
2
1

( 1)
e
e
lnx
I dx

x
=
+
∫
1
2
3
0
( 2 )
x
I x x e dx
= +
∫
2
2
2
0
sin
2
x
I x dx
π
=
∫
2
2
4
0
cos
x

I e xdx
π
=
∫
( Sö dông pp tõng phÇn )
( ln )u x
=
2
( 2 )u x x
= +
2
( )u x
=
( )
x
u e
=



Yêu...
Yêu...


Víi
( )
a
a
I f x dx
−

=
∫
x t
= −
2
0
( )I f x dx
π
=
∫
Cã thÓ ®Æt
Víi Cã thÓ ®Æt
2
x t
π
= −
Víi
Víi
Víi
0
( )I f x dx
π
=
∫
2
0
( )I f x dx
π
=
∫

( )
b
a
I f x dx=
∫
Cã thÓ ®Æt
Cã thÓ ®Æt
Cã thÓ ®Æt
x t
π
= −
2x t
π
= −
x a b t
= + −


TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
1
2006
1
1
sinI x xdx
−
=
∫
x t
= −
dx dt

= −
§Æt:
Ta cã:
1 1
1 -1
x t
x t
= − ⇒ =
= ⇒ =
VËy:
1
2006
1
1
( ) sin( )( )I t t dt
−
= − − −
∫
1
2006
1
sint tdt
−
= −
∫
1
2006
1
sinx xdx
−

= −
∫
1
I= −
1 1
2 0 0I I
⇒ = ⇒ =
(TÝch ph©n kh«ng
phô thuéc vµo biÕn)


2
2
0
sin
sin cos
n
n n
x
I dx
x x
π
=
+
∫
2
x t
π
= −
dx dt

= −
0 ; 0
2 2
x t x t
π π
= ⇒ = = ⇒ =
0
2
2
sin ( )
2
( )
sin ( ) cos ( )
2 2
n
n n
t
I dt
t t
π
π
π π
−
= −
− + −
∫
2
0
cos
cos sin

n
n n
x
dx
x x
π
=
+
∫
2
0
cos
cos sin
n
n n
t
dt
t t
π
=
+
∫
§Æt:
Ta cã:
(TÝch ph©n kh«ng
phô thuéc vµo biÕn)