Phương pháp tính tích phân

TÍCH PHÂN
I. ĐỔI BIẾN SỐ
1. Đổi biến số dạng 1
1.1. Phương pháp thường dùng
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b], để tính
b
a
f(x)dx
ò
ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Đặt x = u(t) và tính
/
dx u (t)dt=
.
Bước 2. Đổi cận:
x a t , x b t= = = =Þ a Þ b
.
Bước 3.
b
/
a
f(x)dx f[u(t)]u (t)dt g(t)dt
b b
a a
= =
ò ò ò
.
Ví dụ 1. Tính tích phân
1
2
2

0
1
I dx
1 x
=
-
ò
.
Giải
Đặt
x sin t, t ; dx cos tdt
2 2
p p
é ù
= - =Î Þ
ê ú
ë û
1
x 0 t 0, x t
2 6
p
= = = =Þ Þ
6 6
2
0 0
cos t cos t
I dt dt
cos t
1 sin t
p p

= =Þ
-
ò ò
6
6
0
0
dt t 0
6 6
p
p
p p
= = = - =
ò
.
Vậy
I
6
p
=
.
Ví dụ 2. Tính tích phân
2
2
0
I 4 x dx= -
ò
.
Giải
Đặt

x 2 sin t, t ; dx 2 cos tdt
2 2
p p
é ù
= - =Î Þ
ê ú
ë û
x 0 t 0, x 2 t
2
p
= = = =Þ Þ
2 2
2 2
0 0
I 2 cos t 4 4 sin tdt 4 cos tdt
p p
= - =Þ
ò ò
( )
2
2
0
0
2 (1 cos 2t)dt 2t sin 2t
p
p
= + = + = p
ò
.
Vậy

I = p
.
Ví dụ 3. Tính tích phân
1
2
0
dx
I
1 x
=
+
ò
.
Giải
Đặt
( )
2
x t gt, t ; dx (t g x 1)dt
2 2
p p
= - = +Î Þ
x 0 t 0, x 1 t
4
p
= = = =Þ Þ
4 4
2
2
0 0
tg t 1

I dt dt
4
1 t g t
p p
+ p
= = =Þ
+
ò ò
.
Vậy
I
4
p
=
.
Ví dụ 4. Tính tích phân
3 1
2
0
dx
I
x 2x 2
-
=
+ +
ò
.
Giải
3 1 3 1
2 2

0 0
dx dx
I
x 2x 2 1 (x 1)
- -
= =
+ + + +
ò ò
.
Đặt
( )
2
x 1 tgt, t ; dx (t g x 1)dt
2 2
p p
+ = - = +Î Þ
x 0 t , x 3 1 t
4 3
p p
= = = - =Þ Þ
3 3
2
2
4 4
tg t 1
I dt dt
3 4 12
1 t g t
p p
p p

+ ppp
= = = - =Þ
+
ò ò
.
Vậy
I
12
p
=
.
1.2. Phương pháp đặc biệt (dùng cho trắc nghiệm)
Hàm lượng giác ngược
+
y arcsin x x sin y= =Û
với
[ ]
x 1; 1 , y ;
2 2
p p
é ù
- -Î Î
ê ú
ë û
.
+
y arctgx x tgy= =Û
với
( )
x , y ;

2 2
p p
-ΠΡ
.
Chẳng hạn:
( )
2
arcsin , arcsin( 1) , arctg 3
2 4 2 3
p p p
= - = - - = -
.
Công thức
( ) ( )
( )
2 2
2 2
dx x dx 1 x
arcsin , arct g a 0
a a a
a x
a x
b b
b b
a a
a a
= = >
+
-
ò ò

.
Ví dụ 5. Tính tích phân
2
2
0
dx
I
4 x
=
-
ò
.
Giải
2
2
2
0
0
dx x
I arcsin arcsin 1 arcsin 0
2
4 x
= = = -
-
ò
.
Vậy
I
2
p

=
.
Ví dụ 6. Tính tích phân
3 1
2
0
dx
I
x 2x 2
-
=
+ +
ò
.
Giải
3 1
3 1
2 0
0
d(x 1)
I arct g(x 1) arctg 3 arct g1
1 (x 1)
-
-
+
= = + = -
+ +
ò
.
Vậy

I
12
p
=
.
2. Đổi biến số dạng 2
Để tính tích phân
b
/
a
f[u(x)]u (x)dx
ò
ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Đặt t = u(x) và tính
/
dt u (x)dx=
.
Bước 2. Đổi cận:
x a t u(a) , x b t u(b)= = = = = =Þ a Þ b
.
Bước 3.
b
/
a
f[u(x)]u (x)dx f(t)dt
b
a
=
ò ò
.

Ví dụ 7. Tính tích phân
2
e
e
dx
I
x ln x
=
ò
.
Giải
Đặt
dx
t ln x dt
x
= =Þ
2
x e t 1, x e t 2= = = =Þ Þ
2
2
1
1
dt
I ln t ln 2
t
= = =Þ
ò
.
Vậy
I ln 2=

.
Ví dụ 8. Tính tích phân
4
3
0
cos x
I dx
(sin x cos x)
p
=
+
ò
.
Giải
4 4
3 3 2
0 0
cos x 1 dx
I dx .
(sin x cos x) (tgx 1) cos x
p p
= =
+ +
ò ò
.
Đặt
2
dx
t t gx 1 dt
cos x

= + =Þ
x 0 t 1, x t 2
4
p
= = = =Þ Þ
( )
2
2
3 2
1
1
dt 1 1 1 3
I 1
2 4 8
t 2t
-
= = = - - =Þ
ò
.
Vậy
3
I
8
=
.
Ví dụ 9. Tính tích phân
3
1
2
dx

I
(1 x) 2x 3
=
+ +
ò
.
Giải
Đặt
dx
t 2x 3 dt
2x 3
= + =Þ
+
2 2
2
t 3 t 1
t 2x 3 x x 1
2 2
- -
= + = + =Þ Þ
1
x t 2, x 3 t 3
2
= = = =Þ Þ
( )
3 3
2
2 2
2dt 1 1
I dt

t 1 t 1
t 1
= = -Þ
- +
-
ò ò
( )
3
2
t 1 1 1 3
ln ln ln ln
t 1 2 3 2
-
= = - =
+
.
Vậy
3
I ln
2
=
.
Ví dụ 10. Tính tích phân
1
0
3 x
I dx
1 x
-
=

+
ò
.
Giải
Đặt
2
3 x x 3
t t
1 x x 1
- - +
= =Þ
+ +
2 2 2
4 8tdt
x 1 dx
t 1 (t 1)
-
= - =Þ Þ
+ +
x 0 t 3, x 1 t 1= = = =Þ Þ
1 3
2 2
2 2 2 2
1
3
8t dt t dt
I 8
(t 1) (t 1)
-
= =Þ

+ +
ò ò
.
Đặt
( )
2
t t gu, u ; dt (t g u 1)du
2 2
p p
= - = +Î Þ
t 1 u , t 3 u
4 3
p p
= = = =Þ Þ
( )
3 3
2 2
2
2 2 2
4 4
tg u tg u 1 du
tg udu
I 8 8
(tg u 1) tg u 1
p p
p p
+
= =Þ
+ +
ò ò

3 3
2
4 4
8 sin udu 4 (1 cos 2u)du
p p
p p
= = -
ò ò
( )
3
4
4u 2 sin 2u 3 2
3
p
p
p
= - = - +
.
Vậy
I 3 2
3
p
= - +
.
Chú ý:
Phân tích
1
0
3 x
I dx

1 x
-
=
+
ò
, rồi đặt
t 1 x= +
sẽ tính nhanh hơn.
3. Các dạng đặc biệt
3.1. Dạng lượng giác
Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân
2
2 3
0
I cos x sin xdx
p
=
ò
.
Giải
Đặt
t cos x dt sin xdx= = -Þ
x 0 t 1, x t 0
2
p
= = = =Þ Þ
0
2
2 2 2 2
0 1

I cos x(1 cos x) sin xdx t (1 t )dt
p
= - = - -Þ
ò ò
1
1
3 5
2 4
0
0
t t 2
(t t )dt
3 5 15
æ ö
÷
ç
= - = - =
÷
ç
÷
ç
è ø
ò
.
Vậy
2
I
15
=
.

Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân
2
5
0
I cos xdx
p
=
ò
.
Giải
Đặt
t sin x dt cos xdx= =Þ
x 0 t 0, x t 1
2
p
= = = =Þ Þ
2 2
5 2 2
0 0
I cos xdx (1 sin x) cos xdx
p p
= = -Þ
ò ò
1
1
3 5
2 2
0
0
2t t 8

(1 t ) dt t
3 5 15
æ ö
÷
ç
= - = - + =
÷
ç
÷
ç
è ø
ò
.
Vậy
8
I
15
=
.
Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân
2
4 2
0
I cos x sin xdx
p
=
ò
.
Giải
2 2

4 2 2 2
0 0
1
I cos x sin xdx cos x sin 2xdx
4
p p
= =
ò ò
2 2
2
0 0
1 1
(1 cos 4x)dx cos 2x sin 2xdx
16 4
p p
= - +
ò ò
2 2
2
0 0
1 1
(1 cos 4x)dx sin 2xd(sin 2x)
16 8
p p
= - +
ò ò
3
2
0
x 1 sin 2x

sin 4x
16 64 24 32
p
æ ö
p
÷
ç
= - + =
÷
ç
÷
ç
è ø
.
Vậy
I
32
p
=
.
Ví dụ 14. Tính tích phân
2
0
dx
I
cos x sin x 1
p
=
+ +
ò

.
Giải
Đặt
( )
2
2
x 1 x 2dt
t t g dt t g 1 dx dx
2 2 2
t 1
= = + =Þ Þ
+
x 0 t 0, x t 1
2
p
= = = =Þ Þ
1
2 2
0
2 2
1 2dt
I .
1 t 2t 1 t
1
1 t 1 t
=Þ
- +
+ +
+ +
ò

1
1
0
0
dt
ln t 1 ln 2
t 1
= = + =
+
ò
.
Vậy
I ln 2=
.
3.2. Dạng liên kết
Ví dụ 15. Tính tích phân
0
xdx
I
sin x 1
p
=
+
ò
.
Giải
Đặt
x t dx dt= - = -p Þ
x 0 t , x t 0= = = =Þ p pÞ
( )

0
0
( t)dt
t
I dt
sin( t) 1 sin t 1 sin t 1
p
p
-p
p
= - = -Þ
- + + +p
ò ò
0 0
dt dt
I I
sin t 1 2 sin t 1
p p
p
= - =p Þ
+ +
ò ò
( )
( )
2
2
0 0
dt dt
t
t t

2 4
cos
sin cos
2 4
2 2
p p
p p
= =
p
-
+
ò ò
( )
( )
( )
2
0
0
t
d
t
2 4
tg
t
2 2 2 4
cos
2 4
p
p
p

-
p p p
= = - = p
p
-
ò
.
Vậy
I = p
.
Tổng quát:
0 0
xf(sin x)dx f(sin x)dx
2
p p
p
=
ò ò
.
Ví dụ 16. Tính tích phân
2
2007
2007 2007
0
sin x
I dx
sin x cos x
p
=
+

ò
.
Giải
Đặt
x t dx dt
2
p
= - = -Þ
x 0 t , x t 0
2 2
p p
= = = =Þ Þ
( )
( ) ( )
2007
0
2007 2007
2
sin t
2
I dx
sin t cos t
2 2
p
p
-
= -Þ
p p
- + -
ò

2
2007
2007 2007
0
cos t
dx J
sin t cos t
p
= =
+
ò
(1).
Mặt khác
2
0
I J dx
2
p
p
+ = =
ò
(2). Từ (1) và (2) suy ra
I
4
p
=
.
Tổng quát:
2 2
n n

n n n n
0 0
sin x cos x
dx dx , n
sin x cos x sin x cos x 4
p p
+
p
= = Î
+ +
ò ò
Z
.
Ví dụ 17. Tính tích phân
6
2
0
sin x
I dx
sin x 3 cos x
p
=
+
ò
và
6
2
0
cos x
J dx

sin x 3 cos x
p
=
+
ò
.
Gii
+
6 6
2 2
0 0
sin x 3 cos x
I 3J dx (sin x 3 cos x)dx
sin x 3 cos x
p p
-
- = = -
+
ũ ũ

( )
6
0
cos x 3 sin x 1 3
p
= - - = -
(1).
+
( )
6 6

0 0
dx 1 dx
I J dx
2
sin x 3 cos x
sin x
3
p p
+ = =
p
+
+
ũ ũ
t
t x dt dx
3
p
= + =ị
x 0 t , x t
3 6 2
p p p
= = = =ị ị
2 2
2
3 3
1 dt 1 sin t dt
I J
2 sin t 2
sin t
p p

p p
+ = =ị
ũ ũ
( )
2 2
2
3 3
d(cos t)
1 1 1 1
d(cos t)
2 4 cos t 1 cos t 1
cos t 1
p p
p p
= = -
- +
-
ũ ũ

2
3
1 cos t 1 1
ln ln 3
4 cos t 1 4
p
p
-
= =
+
(2).

T (1) v (2)
3 1 3
I 3J 1 3
I ln 3
16 4
1
1 1 3
I J ln 3
J ln 3
4
16 4
ỡ
-
ù
ỡ
- = -
ù
ù
= +
ù
ù
ù
ù
ị
ớ ớ
ù ù
-
+ =
ù ù
= -

ù ù
ợ
ù
ợ
.
Vy
3 1 3 1 1 3
I ln 3 , J ln 3
16 4 16 4
- -
= + = -
.
Vớ d 18. Tớnh tớch phõn
1
2
0
ln(1 x)
I dx
1 x
+
=
+
ũ
.
Gii
t
2
x t gt dx (1 tg t)dt= = +ị
x 0 t 0, x 1 t
4

p
= = = =ị ị
( )
4 4
2
2
0 0
ln(1 t gt)
I 1 t g t dt ln(1 t gt)dt
1 t g t
p p
+
= + = +ị
+
ũ ũ
.
t
t u dt du
4
p
= - = -ị
t 0 u , t u 0
4 4
p p
= = = =ị ị
( )
0
4
0
4

I ln(1 t gt)dt ln 1 tg u du
4
p
p
p
ộ ự
= + = - + -ị
ờ ỳ
ở ỷ
ũ ũ
4 4
0 0
1 tgu 2
ln 1 du ln du
1 tgu 1 t gu
p p
-
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
= + =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ố ứ ố ứ
+ +
ũ ũ
( )
4 4
0 0

ln 2du ln 1 tgu du ln 2 I
4
p p
p
= - + = -
ũ ũ
.
Vy
I ln 2
8
p
=
.
Ví dụ 19. Tính tích phân
4
x
4
cos x
I dx
2007 1
p
p
-
=
+
ò
.
Giải
Đặt
x t dx dt= - = -Þ

x t , x t
4 4 4 4
p p p p
= - = = = -Þ Þ
4 4
t
t t
4 4
cos( t)
2007 cos t
I dt dt
2007 1 1 2007
p p
-
-
p p
-
-
= - =Þ
+ +
ò ò
( )
4 4
t
t t
4 4
(1 2007 ) 1
1
cos t dt 1 cos t dt
1 2007 2007 1

p p
p p
- -
+ -
= = -
+ +
ò ò
4 4 4
0
4 4
1 2
cos t dt I I cos t dt cos t dt
2 2
p p p
p p
- -
= - = = =Þ
ò ò ò
.
Tổng quát:
Với
a > 0
,
0>a
, hàm số
f(x)
chẵn và liên tục trên đoạn
[ ]
; - aa
thì

x
0
f(x)
dx f(x)dx
a 1
a a
- a
=
+
ò ò
.
Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) liên tục trên
¡
và thỏa
f( x) 2f(x) cos x- + =
.
Tính tích phân
2
2
I f(x)dx
p
p
-
=
ò
.
Giải
Đặt
2
2

J f( x)dx
p
p
-
= -
ò
,
x t dx dt= - = -Þ
x t , x t
2 2 2 2
p p p p
= - = = = -Þ Þ
[ ]
2 2
2 2
I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dx
p p
p p
- -
= - = = + = - +Þ Þ
ò ò
2 2
0
2
cos xdx 2 cos xdx 2
p p
p
-
= = =
ò ò

.
Vậy
2
I
3
=
.
3.3. Các kết quả cần nhớ
i/ Với
a > 0
, hàm số
f(x)
lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì
a
a
f(x)dx 0
-
=
ò
.
ii/ Với
a > 0
, hàm số
f(x)
chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì
a a
a 0
f(x)dx 2 f(x)dx
-
=

ò ò
.