cac pp tính tích phân

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN
Vấn đề 1: TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ.
2. Đổi biến số dạng 1 :
Bài 1: Tính các tích phân sau:
a/
1
2
2
0
1
1
I dx
x
=
−
∫
b/
2
2
0
4J x dx= −
∫
Bài 2 : Tính các tích phân sau:
a/
1
2
0
1
dx
I
x

=
+
∫
b/
3 1
2
0
2 2
dx
J
x x
−
=
+ +
∫
c /E=
1
2
0
1
2 2
dx
x x− +
∫
d/
1
2
0
1
dx

F
x x
=
+ +
∫
3. Đổi biến số dạng 2 :
Bài 1: Tính các tích phân sau:
a/
2
ln
e
e
dx
I
x x
=
∫
b/
ln5
ln3
2 3
x x
dx
K
e e
−
=
+ −
∫
c/

3
1
ln 2
e
dx
E
x x
=
+
∫

d/
1
2
8
0
1F x xdx= −
∫
e/
3
1
2
(1 ) 2 3
dx
G
x x
=
+ +
∫
f/

1
0
3
1
x
H dx
x
−
=
+
∫

g/
2
1
1 1
x
J dx
x
=
+ −
∫
h/
1
1 3ln ln
e
x x
M dx
x
+

=
∫
i/
2
2
1
( 1)
ln
x dx
N
x x x
+
=
+
∫
Bài 2: Tính các tích phân sau:
a/
4
3
0
sx
(sinx+cosx)
co
J dx
π
=
∫
b/
2
0

sin 2 sin x
1 3cos
x
L
x
π
+
=
+
∫
c/
2
0
sin 2 cos
1 sx
x x
I dx
co
π
=
+
∫
d/
2
2 2
0
sin 2
s 4sin
x
M dx

co x x
π
=
+
∫
e/ N=
/3
3
2
0
sin
cos
x
dx
x
π
∫
f/
2
2
4
sin x-cosx
(sinx+cosx)
K dx
π
π
=
∫
Bài 3: Tính các tích phân sau:
a/

3
2
0
sinI xtgxdx
π
=
∫
b/
2
5
0
cosJ xdx
π
=
∫
c/
2
4 2
0
cos sinM x xdx
π
=
∫
d/
2
0
cos sin 1
dx
N
x x

π
=
+ +
∫
(đ
2
x
t tg=
) e/ L=
2
4
0
s xxco dx
π
∫
f/
4
4
cos
2007 1
x
x
I dx
π
π
−
=
+
∫
g/

4
2
0
1 sin 2x
cos
J dx
x
π
+
=
∫
h/
4
0
3sin cos
sin cos
x x
A dx
x x
π
+
=
+
∫
Vấn đề 4: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN.
Bài 1: Tính các tích phânsau:
Giáo viên: Nguy n Vi t B cễ ệ ắ Trang 1
( ) [
b
a

f x dx f
β
α
=
∫ ∫
ϕ(t)] ϕ’(t)dt
.
b b
b
a
a a
udv u v vdu= −
∫ ∫
.
b b
b
a
a a
udv u v vdu= −
∫ ∫
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN
a/ A=
1
2
0
. .
x
x e dx
∫
b/ B=

1
2
0
. .
x
x e dx
−
∫
c/ C=
ln2
0
. .
x
x e dx
−
∫
d/ D=
3
1
5
0
. .
x
x e dx
∫
e/ E=
1
0
.2 .
x

x dx
∫
f/ F=
1
2 2
0
( 1). .
x
x e dx+
∫
g/ G=
3
3
1/ 3
. .
x
x e dx
∫
Bài 2: Tính các tích phân sau:
a/ A=
0
.sin .x x dx
π
∫
b/ B=
/ 2
0
( 1).cos .x x dx
π
−

∫
c/ C=
/ 2
2
0
.cos .x x dx
π
∫
d/D =
/ 6
0
(2 ).sin3 .x x dx
π
−
∫
e/ E=
/ 2
2
0
.cos3 .
x
e x dx
π
∫
f/ F=
/ 2
0
. s .
x
e co x dx

π
∫
g/ G=
2 2
0
.sin .
x
e x dx
π
∫

h/ H=
/ 2
2
0
( 2 3).sin .x x x dx
π
− +
∫
i/ I=
2
/ 4
0
sin .x dx
π
∫
k/ K=
0
cos(ln ).
e

x dx
π
∫
l/L=
/3
2
/6
ln(sin )
.
cos
x
dx
x
π
π
∫
m/
3
2
2
ln( )M x x= −
∫
Vấn đề 4: TÍCH PHÂN CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Bài 1: Tính các tích phân sau:
a/
2
2
3
3 2A x x dx
−

= − +
∫
b/
2
0
1 1
dx
D
x
=
+ −
∫
c/
( )
2
1
1C x x dx
−
= − −
∫

Bài 2: Tính các tích phân sau :
a/ A=
dxx
∫
−
π
0
2
sin1

b/
2
2
0
5 4cos 4sinB x xdx
π
= − −
∫
c/
3
0
1 s2xE co dx
π
= −
∫
Vấn đề 3: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG.
Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi:
a/ x = 0; x= 1 ; y = 0 ; y = 5x
4
+ 3x
2
+ 3. b/ y = x
2
+ 1 ; x + y = 0
c/ y = x
2
+ 2 ; y = 3x. d/ y = 4x – x
2
; y = 0
e/ y = lnx ; y = 0 ; x = e f/ x = y

3
; y =1; x = 8
Bài 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường :y = (e+1)x,
(1 )
x
y e x= +
Bài 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường :
3 2
11 6, 6y x x y x= + − =
.
Bài 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường :
2
4 3y x x= − +
và trục hồnh .
Bài 5: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường :
2
4 3y x x= − +
và y = x + 3
Bài 6: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường :
2
1 , 5y x y x= − = +
.
Vấn đề 4: THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY.
Bài 1: Cho hình H giới hạn bởi các đường : y = xlnx, y = o , x= e . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo
thành khi quay hình H quanh trục Ox.
Giáo viên: Nguy n Vi t B cễ ệ ắ Trang 2
S =
( ) ( ) ( ) ( )
C b
A c

f x g x dx f x g x dx− + −
∫ ∫
V =
[ ]
2
( ) ( )
b b
a a
S x dx f x dx
π
=
∫ ∫
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN
Baøi 1: Tính caùc tích phaân sau:
a/
1
3 4 5
0
( 1)x x dx−
∫
b/
1
5
0
(1 2 )x dx−
∫
c/
1
2
0

1
x
dx
x +
∫
d/
1
3
0
(1 ) (2 3)x x dx+ +
∫
e/
1
2 3
0
(1 )
n
x x dx+
∫
f/
1
5
1
2
y
dy
y
−
+
∫

g/
3
3
2
1
16
x
dx
x −
∫
h/
3
2
4
1
1
1
x
dx
x
−
+
∫
i/
3
2
4
1
1
1

x
dx
x
+
+
∫
j/
3
4
1
1
1
dx
x +
∫
k/
3
2
3
1
3
dx
x +
∫
l/
2
2
1
1
9

dx
x −
∫
m/
2
2
1
1
6 9
dx
x x− +
∫
n/ o/
1
2
0
3 2
x
dx
x x+ +
∫
p/
2
2
0
6 2
1
x
dx
x x

+
− +
∫
q/
5
2
4
3 1
4 3
x
dx
x x
+
− +
∫
r/
3
4
2
0
1
9
x
dx
x
−
+
∫
s/
2

3
1
1
dx
x x+
∫
t/
1
4 2
0
1
4 3
dx
x x+ +
∫
u/
1
3
8
0
1
x
dx
x +
∫
v/
3
0
1
2 1 3

dx
x x+ + +
∫
Baøi 2: Tính caùc tích phaân sau:
a/
2
1
2x x dx+
∫
b/
3
0
3 4
4
x
dx
x
−
−
∫
c/
3
3
4
3 4
4
x
dx
x
−

−
−
∫
d/
3
2
0
1
1
x
dx
x
+
+
∫
e/
7
3
3 2
0
1
x
dx
x+
∫
f/
3
3 2
0
1x x dx+

∫
g/
7/ 3
3
0
1
3 1
x
dx
x
+
+
∫
h/
2
3
0
8 4xdx−
∫
i/
1
2
0
1x x dx+
∫
j/
1
0
1
3 2

dx
x−
∫
k/
5
1/ 2
2 1x x dx−
∫
l/
2
2
0
4x x dx−
∫
m/
2
32 3
0
8x x dx−
∫
n/
2
2
3 3
0
1
x
dx
x+
∫

o/
4
2
0
9x x dx+
∫
p/
4
0
1
1
dx
x+
∫
q/
1
0
1
1
dx
x+
∫
r/
( )
2
3
0
1
1
x

dx
x
−
+
∫
s/
5
2
0
4
x
dx
x +
∫
t/
4
1
1
dx
x x+
∫
Baøi 3: Tính caùc tích phaân sau:
a/
1
2
0
1x dx+
∫
b/
1

2
0
1 x dx−
∫
c/
( )
1
2
2
1
1
1
dx
x
−
+
∫
c”/
2
1
1
1 1
dx
x x+ + −
∫
Giáo viên: Nguy n Vi t B cễ ệ ắ Trang 3
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN
d/
1
2

2
2 / 2
1 x
dx
x
−
∫
e/
1
2
0
4
dx
x−
∫
f/
1
2
2
0
4
x
dx
x−
∫
g/
2
2
1
1x

dx
x
−
∫
h/
6
2
3
9x
dx
x
−
∫
i/
1/ 2
2
2
0
9
x
dx
x−
∫
j/
( )
1
3
2
0
1

1
dx
x+
∫
k/
3 3
2 2
3
1
9
dx
x x −
∫
l/
3 /2
2 2
2 / 2
1x x dx−
∫
m/
1 2 2
2
3
2 1
1
x x
dx
x
+
− −

−
∫
Baøi 4: Tính caùc tích phaân sau:
a/
/ 4
2
0
sin ( )
4
x dx
π
π
−
∫
b/
/ 4
/6
cot .gx dx
π
π
∫
c/
( )
0
2cos3 3sin 2x x dx
π
+
∫
d/
/ 2

3
0
sin .cos .x x dx
π
∫
e/
/ 4
0
.tgx dx
π
∫
f/
1
2
0
1
cos
3
dx
x
∫
g/
/ 2
0
sin
1 3cos
x
dx
x
π

+
∫
h/
/3
3
2
0
sin
cos
x
dx
x
π
∫
i/
/ 2
3
0
4sin
1 cos
x
dx
x
π
+
∫
j/
/ 2
4
/ 4

sin
dx
x
π
π
∫
k/
/ 2
4
0
cos
1 sin
x
dx
x
π
+
∫
l/
/ 4
2 2
0
9cos 4sin
dx
x x
π
+
∫
m/
/ 4

4
8
0
sin
cos
x
dx
x
π
∫
n/
/ 4
6
0
tg xdx
π
∫
o/ EMBED Equation.DSMT4
/ 2
0
sin 2cos 3
dx
x x
π
+ +
∫
p/
( )
/ 2
5 5

0
sin cosx x dx
π
+
∫
q/
/ 4
0
sin cos
3 2sin
x x
dx
x
π
+
+
∫
r/
/ 4
0
cos3 .sin .x x dx
π
∫
s/
/ 4
2
0
1 sin
dx
x

π
+
∫
t/
/ 2
0
cos .
sin cos
x dx
x x
π
+
∫
u/ EMBED Equation.DSMT4
/ 2
0
sin .
sin cos
x dx
x x
π
+
∫
v/
/ 2
0
2 sin
dx
x
π

+
∫
w/
/ 2
3
/ 6
cos
sin
x
dx
x
π
π
∫
x/
/ 4
0
cos
2 sin 2
x sinx
dx
x
π
−
+
∫
y/
/ 4
2 2
0

; ( , 0)
cos sin
dx
a b
a x b x
π
>
+
∫
z/
/ 2
2 2 2 2
0
sin .cos .
; ( , 0)
cos sin
x x dx
a b
a x b x
π
≠
+
∫
a’/
/6
0
1 4sin .cos .x x dx
π
+
∫

b’/
/ 2
0
1 cos
dx
x
π
+
∫
c’/
0
sin cos 1
sin 2cos 3
x x
dx
x x
π
− +
+ +
∫
d’/
/ 2
0
cos .
2 cos 2
x dx
x
π
+
∫

e’/
/ 4
0
cos
dx
x
π
∫
f’/
/ 4
0
cos2
1 2sin
x
dx
x
π
+
∫
g’/
/ 4
2
0
1 2sin 2
cos
x
dx
x
π
+

∫
h’/
/ 2
2 3
/ 6
sin .cos .x x dx
π
π
∫
i’/
/ 4
3
/6
sin .cos
dx
x x
π
π
∫
j’/
/ 2
4
0
sin 2
1 sin
x
dx
x
π
+

∫
k’/
/12
0
sin 4
3
dx
x
π
π
 
+
 
 
∫
l’/
/ 4
cos2
0
.sin 2 .
x
e x dx
π
∫
m’/
/ 4
2 2
0
sin 2sin cos 8cos
dx

x x x x
π
+ −
∫
Baøi 5: Tính caùc tích phaân sau:
a/
1
3
0
x
e dx
−
∫
b/
2
1
0
. .
x
e x dx
−
∫
c/
1
2 2
0
x x
e e dx
−
 

+
 
 
∫
d/
1
0
1
x
dx
e +
∫
e/
ln2
0
1
1
x
x
e
dx
e
−
+
∫
f/
4
1
x
e

dx
x
∫
g/
(ln2)/2
6
4
0
1
x
x
e
dx
e+
∫
h/
ln2
ln(3/2)
1
x
e dx−
∫
Giáo viên: Nguy n Vi t B cễ ệ ắ Trang 4
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN
i/
2ln2
ln2
1
x
dx

e −
∫
j/
2
1
1
x
x
e dx
e −
∫
k/
7
3
1
ln
1 ln
e
x
dx
x x+
∫
l/
1
1 ln
e
x
dx
x
+

∫
m/
3
2
1
ln 1 ln
e
x x
dx
x
+
∫
n/
2
1
1
4 ln
e
dx
x x−
∫
o/
/ 2
sin
0
.cos .
x
e x dx
π
∫

p/
1
0
3
1 3
x
x
dx
+
∫
------------------------------
Vấn đề 4: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN.
Bài 1: Tính các tích phânsau:
a/
1
2
0
. .
x
x e dx
∫
b/
1
2
0
. .
x
x e dx
−
∫

c/
ln2
0
. .
x
x e dx
−
∫
d/
3
1
5
0
. .
x
x e dx
∫
e/
1
0
.2 .
x
x dx
∫
f/
1
2 2
0
( 1). .
x

x e dx+
∫
g/
3
3
1/ 3
. .
x
x e dx
∫
Bài 2: Tính các tích phân sau:
a/
0
.sin .x x dx
π
∫
b/
/ 2
0
( 1).cos .x x dx
π
−
∫
c/
/ 2
2
0
.cos .x x dx
π
∫

d/
/ 6
0
(2 ).sin3 .x x dx
π
−
∫
e/
/ 2
2
0
.cos3 .
x
e x dx
π
∫
f/
/ 2
0
. s .
x
e co x dx
π
∫
g/
2 2
0
.sin .
x
e x dx

π
∫
h/
/ 2
2
0
( 2 3).sin .x x x dx
π
− +
∫
i/
/ 2
2
/ 4
sin
x
dx
x
π
π
∫
j/
/ 4
2
0
.
cos
x
dx
x

π
∫
k/
/ 2
0
cos .
n
x dx
π
∫
l/
/ 4
2
0
.
n
tg x dx
π
∫
Bài 3: Tính các tích phân sau:
a/
1
ln .
e
x dx
∫
b/
5
2
2 .ln( 1).x x dx−

∫
c/
2
1
(2 1).ln .x x dx−
∫
d/
( )
2
1
ln .
e
x dx
∫
e/
2
1
.ln .
e
x x dx
∫
f/
2
1
(1 ln ) .
e
x dx−
∫
g/
3

1
ln .
e
x dx
∫
h/
1
2
0
.ln(1 ).x x dx+
∫
i/
2
ln
.
e
e
x
dx
x
∫
j/
2
1
ln
.
e
x
dx
x

∫
k/
1
2
ln( 1) .
1
e
x x dx
x
 
+ −
 
+
 
∫
Bài 4: Tính các tích phân sau:
a/
2
2
1 1
.
ln ln
e
e
dx
x x
 
−
 
 

∫
b/
/3
2
/ 6
ln(sin )
.
cos
x
dx
x
π
π
∫
c/
0
cos(ln ).
e
x dx
π
∫
d/
(
)
2
2
0
ln 1 .x x dx+ −
∫
e/

(
)
2
1
2
0
.ln 1
.
1
x x x
dx
x
+ +
+
∫
f/
2
/ 4
0
sin .x dx
π
∫
g/
2
2
2
/ 4
cos .x dx
π
π

∫
h/
2
1
.ln .
e
x x dx
∫
Bài 5: Tính các tích phân sau:
a/
1
sin(ln )
.
e
x
dx
x
∫
b/
1
cos(ln ).
e
x dx
π
∫
c/
/ 4
2
/6
sin . cot

dx
x gx
π
π
∫
d/
cos
0
( )sin .
x
e x x dx
π
+
∫
e/ I =
( )
/ 2
3
2
0
sin 2 1 sin .x x dx
π
+
∫
f/ J =
( )
/ 2
2
0
sin .cos 1 cos .x x x dx

π
+
∫
g/ K =
( )
/ 2
0
sin .ln 1 cos .x x dx
π
+
∫
h/ H =
( )
( )
/ 4
2
0
1 ln 1 .tg x tgx dx
π
+ +
∫
Giáo viên: Nguy n Vi t B cễ ệ ắ Trang 5
.
b b
b
a
a a
udv u v vdu= −
∫ ∫